DEFINICIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES.

x

y

z

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representara como u + v. La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c ⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas:

• Para cualquiera dos vectores u y v en V :

u ⊕ v ∈ V Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma:

La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.

•Para cualquiera dos vectores u y v en V:u ⊕ v = v ⊕ u

Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma:

El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

• Para cualquiera tres vectores u, v y w en V:u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (3)

Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la

sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.

•Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple:

u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 (5)Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos:

Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro

aditivo.