4.13 Flujo en rgimen variable

En un cauce el flujo que se estudia bsicamente es el de la direccin principal del movimiento (flujo unidimensional). En este tipo de movimiento solo se tienen en cuenta las variaciones de las magnitudes hidrulicas en la direccin principal del flujo. El flujo en lmina libre es el tipo flujo que habitualmente debe presentar un cauce o un canal excepto en condiciones muy locales cuando existe la presencia de obras especiales como alcantarillas, pasos bajo vas etc. Este tipo de flujo se mueve como consecuencia de su propio peso (gravedad). Desde un punto de vista ms matemtico el flujo en lmina libre es mucho ms complejo debido a que la seccin normal al flujo es variable segn el caudal que circula y segn la forma del propio cauce. El flujo en lmina libre, se presenta cuando las fuerzas de inercia y de gravedad del fluido en movimiento son comparables y las fuerzas viscosas son despreciables. Estas se miden, segn la relacin existente entre las fuerzas de inercia y las de gravedad, denominado numero adimensional de Froude (Fr). De acuerdo con el valor que toma esta variable, el flujo se puede clasificar como:

Flujo subcrtico (Fr1) que suele presentarse en conducciones de pendientes pronunciadas, donde las fuerzas de inercia adquieren una mayor importancia.

El nmero de Froude se puede evaluar de acuerdo con:

Donde v es la velocidad media del agua que ocupa una seccin recta A y el ancho superficial que ocupa es T; g es la aceleracin de la gravedad.

En cauces suele presentarse el flujo transcrtico, que corresponde a un nmero de Froude entre 0.7 y 1.3. Es un flujo bastante inestable en el sentido que suele formar resaltos o discontinuidades pero es casi siempre el que se adapta en un cauce.

El flujo puede tambin clasificarse de acuerdo con la forma en que las variables hidrulicas se presentan a lo largo del cauce y a lo largo del tiempo. As el flujo ms general es el denominado flujo no permanente. Este tipo de flujo se reconoce porque las variables hidrulicas relevantes (calado y velocidad), en cualquier seccin estn cambiando continuamente en el tiempo y a lo largo del cauce, en contraposicin con el flujo permanente, en el que dichas variables son constantes. El flujo no permanente se aproxima ms al flujo que realmente se desarrolla en un cauce cualquiera cuando se presenta un evento lluvioso. Considerar el flujo no permanente en la evaluacin de un cauce es un problema complejo pero que hoy por hoy ya est resuelto, tanto en la propia concepcin del problema como en la evaluacin del mismo, aunque hoy en da todava se es reticente a su uso. Sin embargo cada vez se hace ms necesario abordar el problema con las ecuaciones que modelan este tipo de flujo.

De todas formas es imprescindible comprender y conocer el fenmeno para darse cuenta que en ocasiones no es necesario aplicarlo y que existen mtodos de clculo ms sencillos y menos sofisticados que permiten evaluar la situacin con acierto.

CALCULO CON FLUJO GRADUALMENTE VARIADO O FLUJO PERMANENTE NO UNIFORME

El clculo de cauces mediante esta formulacin tiene en cuenta tanto la influencia de las condiciones de contorno como la del caudal mximo que circula por el cauce y tiene por objeto conocer en forma ms detallada la evolucin del perfil de la lmina de agua a lo largo del mismo. El flujo gradualmente variado se caracteriza esencialmente porque es un rgimen de flujo permanente o sea que las variables hidrulicas en cada seccin del cauce permanecen invariables en el tiempo pero varan seccin a seccin, y porque las lneas de corriente se acepta que son casi paralelas. Se puede admitir entonces una distribucin hidrosttica de presiones sin peligro de introducir grandes errores. Se aceptarn tambin las siguientes hiptesis bsicas:

1) La pendiente de la lnea de energa en cualquier seccin del flujo gradualmente variado coincide con la pendiente motriz equivalente para un rgimen uniforme que presente la velocidad y el radio hidrulico de la seccin considerada;

2) La pendiente del canal es pequea, as que factores de correccin en las ecuaciones de conservacin como el cos, tienden a la unidad, siendo el ngulo que forma el cauce con la horizontal y que se puede considerar igual al seno del ngulo y a la propia tangente. La pendiente del mismo para valores pequeos del ngulo es el valor que suele usarse, ngulos menores de 10 son los usuales.

En caso de que el ngulo sea mayor suele corregirse la energa especfica como:

En un cauce nico y casi prismtico tiende a producirse un rgimen permanente y uniforme cuando circula un caudal aproximadamente constante en el tiempo, de forma que una vez alcanzado este rgimen se tendr en el cauce un calado normal. No obstante ste se dar a cierta distancia de los contornos. La longitud de dicha distancia depende de las caractersticas hidrulicas del cauce y de la condicin de contorno. El rgimen uniforme puede llegar a formarse a muchos centenares de metros de la condicin de contorno en canales, pero en cauces difcilmente sto ocurrir. Por lo general en rgimen lento la convergencia del flujo al rgimen normal, es ms lenta que la convergencia que se da cuando el rgimen en el cauce es rpido. No obstante, en la realidad cualquier variacin que se produzca a lo largo del cauce (pendiente, material, seccin), por pequea que sea, conducir a cambios graduales en la lmina de agua. Estos cambios pueden ser producidos por pequeas variaciones en las fuerzas que actan en el seno del flujo o bien por fuerzas que se desequilibran respecto al rgimen uniforme. En este tipo de cauce es mucho ms fcil observar un cambio gradual en la lmina de agua en las zonas cercanas al contorno, ya que es all donde se producen los cambios ms radicales en la topologa de la seccin.

Un cauce que no sea prismtico ofrecer casi siempre un flujo gradualmente variado, siempre y cuando el cambio en la seccin del cauce sea gradual a lo largo de su longitud, de lo contrario el flujo que suceder ser del tipo rpidamente variado. Los flujos rpidamente variados creados por variaciones del cauce ocasionan variaciones de presin y turbulencias que suelen traducirse en prdidas de energa. En este caso es conveniente utilizar una prdida de energa proporcional al cambio total de energa cintica en la transicin. Suelen usarse valores de 0.1 para contraccin y 0.3 para expansiones. Es decir que las prdidas son:

En donde 1 y 2 representan la secciones de entrada y salida, respectivamente. Resulta difcil determinar qu cambio en la seccin es o no gradual, pero existen criterios que indican cual deber ser la variacin mxima permitida para que el flujo dentro del cauce se considere gradualmente variado. Por ejemplo, aquellos cambios que no produzcan el despegue de la capa lmite provocando turbulencias y vrtices.

ECUACIN DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

Si el rgimen de flujo es permanente es posible asignar a una lnea de corriente de una seccin de canal una energa respecto de un nivel de referencia cualquiera (NR). (ver figura 1). Esta energa es la suma de dos trminos conocidos:

1) la energa de posicin de la seccin z + y 2) la energa especfica del propio fluido respecto de la solera del canal, E

Por tanto la energa total y la especfica estn dadas respectivamente por:

Las variables ya han sido definidas con anterioridad. De aqu se concluye que la variacin de energa total, H, respecto de las abscisas x de referencia del cauce, es decir, la pendiente motriz, es la suma de dos trminos: 1) la variacin de cota o pendiente del canal y 2) la variacin de energa especfica.

Tanto la pendiente de la lnea de energa como la pendiente del canal se considera que disminuyen a medida que se avanza en la direccin positiva dex . As, la variacin respecto de x de estos trminos es respectivamente -Sf y So. Es posible expresar la variacin de la energa especfica en el canal (sea ste prismtico o no) como igual a la diferencia entre la pendiente del canal y la lnea de energa, de manera que:

Siendo dE dx / la variacin o derivada total de la energa especfica respecto de x, pues hay que tener en cuenta que E es una funcin de las variables (x, y), donde y es el calado de agua en la seccin considerada. Realizando la derivada total de la energa especfica encontramos que:

De esta derivada resultan dos trminos. El primer trmino es el que distingue al cauce entre prismtico y no prismtico. Si el cauce fuese prismtico este primer sumando es nulo, y por tanto la variacin de energa especfica es slo funcin del calado en la seccin.

ANLISIS DE LA ECUACIN DIFERENCIAL DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO. Las ecuaciones diferenciales de primer orden necesitan una condicin en el contorno para su solucin. De otro modo, se encuentra la solucin general o integral general. La solucin general implica encontrar una familia de curvas que representan todas las soluciones posibles de la ecuacin diferencial. En nuestro caso particular no es posible debido a que la no linealidad de la ecuacin diferencial impide la integracin analtica de la solucin. En la prctica usualmente se suele encontrar la solucin para un determinado valor de la condicin de contorno, que en este caso es un calado de agua en alguno de los dos extremos del cauce. Cul de los extremos debemos conocer para obtener el perfil de agua? En caso de que el flujo que aparezca en el cauce sea supercrtico, el valor del calado en el contorno que ha de conocerse debe situarse aguas arriba y en el caso que el flujo sea subcrtico el valor que se usar, ser el calado en el contorno situado aguas abajo.

Esto debe hacerse independientemente del valor de la pendiente del cauce. Matemticamente hablando debe conocerse la condicin en el contorno que no pertenezca a las asntotas de la ecuacin. De lo contrario no puede calcularse con exactitud la integral de la ecuacin diferencial. Por ejemplo si el calado es tal que el flujo que se presenta es uniforme, entonces dy dx / es cero, ya que dy = 0, y seguir constante en toda la integracin, independiente de la regin de x que se est integrando. Otro ejemplo consiste en integrar a partir de un calado crtico. En este caso / dy dx tiende a infinito y por tanto cualquier valor incrementado de y ser extremadamente grande para cualquier valor de dx por pequeo que sea, Cuando se realizan integrales numricas en el primer caso no se dan problemas de errores numricos pero sin embargo el valor de y permanece constante indefinidamente. En el segundo caso se pueden dar problemas graves de curvas de remanso anmalas (este problema se mostrara ms adelante con un ejemplo numrico). Numricamente la solucin debe encontrarse siempre dando el valor del contorno contrario a la asntota del rgimen uniforme. Es un buen ejercicio comprobar que en la mayora de las curvas las asntotas al calado normal se encuentran aguas arriba en rgimen lento y aguas abajo en rgimen rpido.