Didáctica de matemáticas

Aportes y reflexiones

Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.)

Editorial Paidós Educador

Primera edición, 1994

Quinta reimpresión, 1997Buenos Aires

Este material se utiliza con finesexclusivamente didácticos

2

ÍNDICE

Lista de autores............................................................................................................................9

Prólogo ......................................................................................................................................11

1. Matemática para no matemáticos, por Luis A. Santaló ............................................................21

2. La didáctica de las matemáticas, por Grecia Gálvez................................................................39

3.Aprender (por medio de) la resolución de problemas, por Roland Charnay..............................51

4. Los diferentes roles del maestro, por Guy Brousseau ...............................................................65

5. El sistema de numeración: un problema didáctico, por Delia Lerner y Patricia Sadovsky ........95

6.Dividir con dificultad o la dificultad de dividir, por Irma Saiz................................................185

7.Cálculo mental en la escuela primaria, por Cecilia Parra.......................................................219

8.La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometríaen la escuela elemental, por Grecia Gálvez................................................................................273

3

CAPÍTULO IV. LOS DIFERENTES ROLES DEL MAESTRO1

Guy Brousseau

Contextualización y descontextualización del saber

El matemático no comunica sus resultados tal como los ha hallado; los reorganiza, les da la formamás general posible; realiza una “didáctica práctica” que consiste en dar al saber una forma comunicable,descontextualizada, despersonalizada, atemporal.

El docente realiza primero el trabajo inverso al del científico, una recontextualización yrepersonalización del saber: busca situaciones que den sentido a los conocimientos por enseñar. Pero, si lafase de personalización ha funcionado bien, cuando el alumno ha respondido a las situaciones propuestas nosabe que ha “producido” un conocimiento que podrá utilizar en otras ocasiones. Para transformar susrespuestas y sus conocimientos en saber deberá, con la ayuda del docente, redespersonalizar yredescontextualizar el saber que ha producido, para poder reconocer en lo que ha hecho algo que tengacarácter universal, un conocimiento cultural reutilizable.

Se ven bien las dos partes, bastante contradictorias, del rol del maestro: hacer vivir el conocimiento,hacerlo producir por los alumnos como respuesta razonable a una situación familiar y, además, transformaresa “respuesta razonable” en un “hecho cognitivo extraordinario, identificado, reconocido desde el exterior”.

Para el docente, es grande la tentación de saltar estas dos fases y enseñar directamente el saber comoobjeto cultural evitando este doble movimiento. En ese caso, se presenta el saber y el alumno se lo apropiacomo puede.

Devolución del problema y desdidactificación

Considerar al aprendizaje como una modificación del conocimiento que el alumno debe producir porsí mismo y que el maestro sólo debe provocar, nos lleva a los siguientes razonamientos.

Para hacer funcionar un conocimiento en el alumno, el docente busca una situación apropiada. Paraque sea una situación de aprendizaje es necesario que la respuesta inicial que el alumno piensa frente a lapregunta planteada no sea la que queremos enseñarle: si ya fuese necesario poseer el conocimiento porenseñar para poder responder, no se trataría de una situación de aprendizaje. La “respuesta inicial” sólo debepermitir al alumno utilizar una estrategia de base con la ayuda de sus conocimientos anteriores; pero, muypronto, esta estrategia debería mostrarse lo suficientemente ineficaz como para que el alumno se veaobligado a realizar acomodaciones –es decir, modificaciones de su sistema de conocimientos– pararesponder a la situación propuesta. Cuanto más profundas sean las modificaciones de los conocimientos, másdebe la situación “valer lo que cuesta”; es decir, más debe permitir una interacción prolongada y servisiblemente general o simbólica.

El trabajo del docente consiste, pues, en proponer al alumno una situación de aprendizaje para queproduzca sus conocimientos como respuesta personal a una pregunta, y los haga funcionar o los modifiquecomo respuestas a las exigencias del medio y no a un deseo del maestro. Hay una gran diferencia entreadaptarse a un problema que plantea el medio, insoslayable, y adaptarse al deseo del docente. Lasignificación del conocimiento es completamente diferente. Una situación de aprendizaje es una situacióndonde lo que se hace tiene un carácter de necesidad en relación con obligaciones que no son arbitrarias nididácticas. Ahora bien, toda situación didáctica contiene algo de intención y deseo del maestro.

Es necesario que el maestro logre que el alumno olvide los presupuestos didácticos de la situación.Sin ello, leerá la situación como justificada solamente por el deseo del maestro. Ahora bien, esta lecturasiempre existe.

Todos tendemos a leer lo que nos sucede en la vida como algo organizado para nosotros o paradarnos una lección. Para que un niño lea una situación como una necesidad independiente de la voluntad delmaestro, hace falta una construcción epistemológica cognitiva intencional. La resolución del problema sevuelve entonces responsabilidad del alumno, que debe hacerse cargo de obtener un cierto resultado. No estan fácil. Es necesario que el alumno tenga un proyecto y acepte su responsabilidad.

1 Corresponde al texto de una conferencia pronunciada en la UQAM, el jueves 21 de enero de 1988, Canadá.Traducción del francés de María Emilia Quaranta, reproducido con autorización del autor.

4

No basta “comunicar” un problema a un alumno para que ese problema se convierta en su problemay se sienta el único responsable de resolverlo. Tampoco basta que el alumno acepte esa responsabilidad paraque el problema que resuelva sea un problema “universal”, libre de presupuestos subjetivos.

Denominamos “devolución” a la actividad mediante la cual el docente intenta alcanzar ambosresultados.

Un ejemplo de la devolución de una situación a-didáctica

En un juego de microcomputadora, niños pequeños (5 años) deben conducir con el lápiz óptico, unoa uno, conejos a un prado y patos a una laguna. Las reglas de tal manipulación no presentan dificultadesinsuperables para la edad. Los niños pueden interpretar que la desaparición y luego la reaparición de unanimal en otro sitio corresponden a un desplazamiento. Pero pronto se plantea algo más que unamanipulación según las reglas del juego: el maestro quiere que el alumno señale todos los conejos, uno trasotro y una sola vez, antes de dirigirlos hacia el prado para desarrollar en él la enumeración de una colección.La serie de operaciones a realizar no está dada en la consigna; queda a cargo del alumno. La devolución deesta tarea se lleva a cabo por etapas.

Primera etapa: Aproximación puramente lúdica

Los alumnos aún no han comprendido que, entre los resultados del juego, algunos son deseables –todos los conejos van al prado y bailan en una pequeña ronda– y otros no –los conejos olvidados se ponenrojos y emiten un gruñido–.

Los niños juegan, “pinchan” los conejos y están contentos de provocar un efecto, cualquiera que sea.

Segunda etapa: Devolución2 de una preferencia

Los alumnos comprendieron bien cuál es el efecto deseado (por ejemplo, se ha suprimido todo efectode falsas manipulaciones), pero atribuyen los resultados, buenos o malos, a una especie de fatalidad o azar.

Este tipo de interpretación es adecuado para muchos juegos: en la “batalla” o en la “carrera decaballos” el placer nace de esperar lo que la suerte depara, mientras que el jugador no toma ninguna decisión.

Tercera etapa: Devolución de una responsabilidad y de una causalidad

Para aceptar una responsabilidad en lo que le sucede, el alumno debe considerar lo que hace comouna elección entre diversas posibilidades, para poder pensar una relación de causalidad entre las decisionesque ha tomado y sus resultados.

En esta etapa, los alumnos pueden pensar a posteriori que el desarrollo del juego hubiese podido serdiferente. Ello supone que puedan recordar algunas de sus acciones y, más precisamente, lo que tenían depertinente o no.

Esta devolución es delicada: la mayoría de los niños aceptan fácilmente del maestro la idea de queson responsables del resultado del juego, aunque sean incapaces de establecer en ese momento que elloshubieran podido obtener un resultado mejor con una elección apropiada de su parte. Ahora bien, únicamenteel conocimiento de esa relación justificaría la transferencia de responsabilidad.

Si el alumno resuelve rápidamente el problema, el hecho de haber aceptado a priori el principio de suresponsabilidad no es más que un prólogo necesario para el aprendizaje. Este último justificará luego esaresponsabilización, dando al alumno los medios para asumirlo y, finalmente, escapar de la culpabilidad.

Pero, para el alumno que no puede superar la dificultad y relacionar, mediante el conocimiento, suacción con los resultados obtenidos, la responsabilización debe ser renegociada bajo pena de provocarsentimientos de culpabilidad e injusticia, pronto perjudiciales para los aprendizajes posteriores y la noción decausalidad misma.

2 La devolución era un acto por el cual el rey –por derecho divino– abandonaba el poder para remitirlo a una cámara. La“devolución” significa: “ Ya no se trata de mi voluntad, sino de lo que ustedes deben querer, pero yo les otorgo estederecho porque ustedes no pueden tomarlo por sí solos”.

5

Cuarta etapa: Devolución de la anticipación

La relación entre la decisión y el resultado debe ser pensada antes de la decisión. El alumno se hacecargo entonces de las anticipaciones, que excluyen toda intervención oculta. Aun cuando todavía no hayasido totalmente dominada, esta anticipación es considerada como responsabilidad cognitiva del jugador, y nosólo como su responsabilidad social.

Quinta etapa: Devolución de la situación a-didáctica

Para tener éxito en el juego de los conejos, el alumno debe enumerar una colección. Pero no bastacon que lo haga una vez “por azar”. Debe saber reproducirlo a voluntad en circunstancias variadas. Esnecesario que sea consciente de este poder de reproducción y conozca, al menos intuitivamente, lascondiciones que le permiten buenas posibilidades de éxito. El alumno debe reconocer los juegos a los queacaba de aprender a jugar. Pero lo que sabe hacer no le ha sido nombrado, identificado ni, sobre todo,descrito como un procedimiento “establecido”. Así, la devolución no se realiza sobre el objeto de enseñanzasino sobre las situaciones que lo caracterizan. Este ejemplo ha sido escogido para distinguir bien losdiferentes componentes de la devolución. La enumeración no es un concepto matemático de mucho pesocultural. Sólo interviene en la enseñanza mucho más tarde, con lenguajes y problemáticas diferentes. Ni elvocabulario ni los conocimientos formales vienen, pues, a perturbar el objeto de enseñanza.

El niño, antes de este aprendizaje, podía “contar” colecciones desplazando los objetos o marcándolosde modo de tener siempre una materialización cómoda del conjunto que queda por enumerar.

Pero aquí debe realizar la misma tarea mentalmente. Sus representaciones deben ampliarse a uncontrol intelectual mucho más complejo: buscar un conejo fácil de señalar, luego otro, de modo tal derecordar que esos dos ya han sido tomados; buscar otro, bastante cercano a los primeros y que forme conellos una disposición (pequeño grupo, línea, etc.) que permita no perderlos de vista mientras busca un cuarto,que a su vez entra en la estructura para no volver a tomar un conejo ya tomado y poder saber que aúnquedan..., etcétera.

Esta “tarea” no puede ser descrita como un procedimiento ni aun “mostrada”, porque contar unacolección ante un niño no le ofrece ninguna idea sobre los medios de control que él debe adquirir.

En este ejemplo, la devolución de la situación a-didáctica puede observarse independientemente dela devolución del objeto de enseñanza (que no puede tener lugar en ese momento). Ni el maestro ni elalumno pueden identificar lo que se enseña, lo que debe conocerse o saberse, si no es por el éxito en unatarea compleja.

Un poco más tarde, las enumeraciones, en tanto producciones, podrán volverse objetos de estudiopara el alumno. Podrá reconocer las que son semejantes o diferentes, las correctas o las que fracasan...,concebir y comparar métodos..., y conocer –después– el objeto de enseñanza vinculado al juego de losconejos. Podrá abordar problemas de conteo y combinatoria más cercanos a los problemas científicos, ydefinir entonces lo que debe aprender, lo que debe resolver y lo que se le exige saber. Estas devoluciones deobjetos de estudio, objetos de saber y objetos de enseñanza deberían poder interpretarse como devolucionesde situaciones a-didácticas de otro tipo.

La idea de que existirían situaciones de aprendizaje que deberían funcionar por las virtudes propiasdel alumno y de la situación, sin que la intervención del maestro se dirija al contenido de la adquisición, esuna idea extraña para los maestros, pero también para los alumnos, y necesita de una construcción. La“desdidactificación” de las situaciones didácticas es una actividad voluntaria del maestro.

Encontramos aquí otra paradoja. Cuanto más ocupa el maestro el lugar de los niños, más contraría suproyecto. No puede decirles a los alumnos lo que quiere obtener de ellos, pues si se lo dice y los alumnos lohacen, no será porque lo hayan pensado. En ese caso, los alumnos no se apropiaron de la pregunta,simplemente hicieron lo que el maestro deseaba. El maestro intenta obtener algo que no puede decir, pormedios que no puede anunciar. Y la dialéctica es la teoría de ese funcionamiento “ortogonal” de dossistemas: el del alumno y el del maestro.

El conocimiento debe permitir la anticipación. La situación, pues, debe “exigir” que el conocimientofuncione como medio de anticipación.

Tomemos un ejemplo en el cual se ve al docente hacerse cargo de toda una serie de decisiones quedebieran corresponder al alumno: en el nivel inicial, se realizan clasificaciones de cartas que representanobjetos de diferentes colores. La maestra ha preparado un cuadro y dice: “¿Qué vamos a poner en estacasilla? Está en la línea de los barcos y en la columna de los amarillos”; “Un barco”, dice un alumno; “Sí,

6

pero ¿qué barco?”; “Un barco amarillo”; “Bien, ¿quién tiene el barco amarillo? Trae el barco amarillo”. ¿Quées lo que ha hecho el alumno? ¿Ha anticipado un resultado? ¿Ha hecho funcionar la conjunción?¿Propiedades? ¿Quién ha realizado el trabajo?

Si una situación lleva al alumno a la solución como por un carril, ¿cuál es su libertad de construir suconocimiento? Ninguna. La situación didáctica debe conducir al alumno a hacer lo que se busca pero, almismo tiempo, no debe conducirlo. Porque si la respuesta se debe exclusivamente a las virtudes de lasituación, nada debe a las “virtudes” del alumno. Dicho de otro modo, se debe definir la distancia que hayentre la determinación, por parte de la situación, de lo que el alumno debe hacer y la determinación, por partedel alumno, de lo que debe ocurrir.

Será necesario que el conocimiento intervenga como anticipación y no progresivamente comorespuesta. A la inversa, si el maestro no tiene intención, proyecto, problema o situación elaborada, el niño nohará ni aprenderá nada; ¿y se verá por ello liberado del peso del deseo del maestro?

La didáctica no consiste en ofrecer un modelo para la enseñanza, sino en producir un campo decuestiones que permita poner a prueba cualquier situación de enseñanza, y corregir y mejorar las que se hanproducido, formular interrogantes sobre lo que sucede.

Los primeros trabajos permitieron distinciones, que considero muy útiles, para aproximarse a losproblemas de enseñanza en función de un carácter del conocimiento (el carácter “explícito” o no). Esto hadado la presentación en términos de situaciones de acción, formulación y prueba. La teoría de las situacionesorganiza una lectura de los hechos didácticos, permite perfeccionar las clases. Sin embargo, hay casos en losque organizar una situación de acción para un problema creará un obstáculo para su resolución. No esnecesario organizar acciones siempre y para cualquier conocimiento. Una situación de acción no esautomáticamente beneficiosa para hacer avanzar la reflexión del alumno. No rechazo en absoluto esta teoría,pero no quisiera que se la utilice de forma mecánica.

Institucionalización

a) Los conocimientos

En primer lugar, recordemos nuestro proyecto inicial: la elección de las condiciones de enseñanzaque acabamos de mencionar se justifica esencialmente por la necesidad de dar un sentido a losconocimientos.

El sentido de un conocimiento se compone de:– el “tejido” de los razonamientos y pruebas en los cuales está implicado, incluyendo,

evidentemente, las huellas de las situaciones de prueba que han motivado esos razonamientos;– el “tejido” de las reformulaciones y formalizaciones con ayuda de las cuales el alumno puede

manipularlo, junto con una cierta idea de las condiciones de comunicación que las acompañan;– modelos implícitos asociados a él –ya sea porque el conocimiento los produce o porque resulta

de ellos– y las huellas de las situaciones de acción que los hacen funcionar o, simplemente, loscontextualizan;

– y las relaciones más o menos asumidas entre estos diferentes componentes, relacionesesencialmente dialécticas. Por ejemplo, el encadenamiento “pregunta/respuesta”: las preguntastienden a articularse entre ellas, independientemente de las respuestas recibidas, y las respuestashacen lo mismo por su lado. Articular “buenas” respuestas con “buenas” preguntas lleva areformular, alternativa y pertinentemente (diríamos, dialécticamente), unas y otras.

Los diferentes tipos de situaciones cuyas devoluciones hemos mencionado tienen por objeto hacerque el alumno mismo dé un sentido a los conocimientos que maneja conjugando esos diferentescomponentes.

Por un instante creímos haber considerado con ellas todas las clases posibles de situaciones. Pero ennuestras experiencias en las escuelas Jules Michelet vimos que, llegado un momento, los maestrosnecesitaban reservarse un espacio; no querían pasar de un tema al siguiente, y deseaban detenerse para “reverlo que habían hecho”, antes de continuar: “Algunos alumnos se pierden, esto no va más, hay que hacer algo”.Hizo falta un cierto tiempo para que nos diéramos cuenta de que se veían realmente obligados a hacer algo,por razones a las que era necesario dar una explicación.

Las situaciones “a-didácticas” son las situaciones de aprendizaje en las que el maestro ha logradohacer desaparecer su voluntad, sus intervenciones, en tanto informaciones determinantes de lo que el alumnohará: son las que funcionan sin la intervención del maestro en el nivel de los conocimientos. Hemos

7

fabricado situaciones a-didácticas de todo tipo. El maestro estaba allí para hacer funcionar la máquina pero,en relación con el conocimiento mismo, sus intervenciones estaban prácticamente anuladas. Teníamos allísituaciones de aprendizaje en el sentido de los psicólogos, y se podía pensar que habíamos reducido laenseñanza a sucesiones de aprendizajes. Ahora bien, estábamos obligados a preguntarnos qué era lo quejustificaba esa resistencia de los maestros a reducir totalmente el aprendizaje a los procesos que habíamospensado. No se trataba de juzgarlos ni a ellos ni a los métodos, sino de comprender lo que legítimamentetenían necesidad de hacer y por qué necesitaban hacerlo con un cierto ocultamiento frente a losinvestigadores.

Fue así como “descubrimos” (!) lo que hacen todos los docentes en sus clases pero que nuestroesfuerzo de sistematización había hecho inconfesable: deben tomar nota de lo que han hecho los alumnos,describir lo que ha sucedido y lo que tiene una relación con el conocimiento al que se apunta, dar un status alos acontecimientos de la clase, como resultado de los alumnos y como resultado del docente, asumir unobjeto de enseñanza, identificarlo, relacionar esas producciones con los conocimientos de los otros(culturales, o del programa), indicar que ellos pueden ser reutilizados.

El docente tenía que constatar lo que los alumnos debían hacer (y rehacer) o no, habían aprendido odebían aprender.

Esta actividad es ineludible: no se puede reducir la enseñanza a la organización de aprendizajes.La consideración “oficial” del objeto de enseñanza por parte del alumno, y del aprendizaje del

alumno por parte del maestro, es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del procesodidáctico: este doble reconocimiento constituye el objeto de la INSTITUCIONALIZACIÓN.

¡El rol del maestro también consiste en institucionalizar! La institucionalización se realiza tantosobre una situación de acción –se reconoce el valor de un procedimiento que se convertirá en un recurso dereferencia– como sobre una situación de formulación. Hay formulaciones que se conservarán (“Esto se diceasí”, “Aquéllas merecen ser recordadas”). Lo mismo sucede con las pruebas: es necesario identificar lo quese retendrá de las propiedades de los objetos que hemos encontrado.

Por supuesto, todo puede reducirse a la institucionalización. Las situaciones de enseñanzatradicionales son situaciones de institucionalización pero sin que el maestro se ocupe de la creación delsentido: se dice lo que se desea que el niño sepa, se le explica y se verifica que lo haya aprendido. Alprincipio, los investigadores estaban un poco obnubilados por las situaciones adidácticas porque era lo quemás faltaba a la enseñanza tradicional.

b) E1 sentido

Hay otra cosa de la que tardamos mucho en tomar conciencia: nuestra concepción inicial,implícitamente, sostenía que las situaciones de aprendizaje son el portador casi exclusivo del conocimientode los alumnos. Esta idea surge de una concepción epistemológica bastante discutible, una idea empirista dela construcción del conocimiento: el alumno, colocado frente a una situación bien elegida, en contacto conun cierto tipo de realidades, debería construir su saber idéntico al saber humano de su época (!). Esa realidadpuede ser una realidad material en una situación de acción, o una realidad social en una situación decomunicación o de prueba. Se sabe bien que es el maestro quien ha elegido las situaciones porque apuntaba aun determinado conocimiento, pero ese conocimiento, ¿podía coincidir con el sentido “común”? El alumnohabía “construido un sentido” pero, ¿era institucionalizable? Se podía proceder a una institucionalización delos conocimientos, pero no del sentido. El sentido, dentro de una situación, no es recuperable por losalumnos: ante un cambio de maestro, el nuevo ya no sabe qué es lo que se ha hecho. Si queremos volversobre lo que se ha hecho, es necesario que tengamos conceptos para ello, que esos conceptos seanuniversales, que puedan ser movilizados junto con otros.

El sentido también debe ser un poco institucionalizado. Veremos cómo. Es lo más difícil del rol deldocente: dar sentido a los conocimientos y, sobre todo, reconocerlo. No existe una definición canónica delsentido. Por ejemplo, hay razones sociales que hacen que los maestros se apeguen a la enseñanza delalgoritmo de la división. Todas las reformas intentaron operar sobre la comprensión y el sentido, pero engeneral fracasaron, y el objeto de la reforma aparece como contradictorio con la enseñanza de los algoritmos.Los docentes se repliegan sobre lo que es negociable, es decir, el aprendizaje formal y dogmático de losconocimientos, porque es posible identificar el momento en que fue realizado en la sociedad. Existe la ideade que los saberes pueden enseñarse pero que la comprensión es responsabilidad del alumno. Así, se puedeenseñar el algoritmo y los “maestros buenos” intentan luego darle sentido. Esta diferencia entre forma ysentido hace que sea difícil concebir no sólo una técnica para enseñar el sentido sino también un contratodidáctico al respecto. Dicho de otro modo, no podremos pedirles a los maestros que utilicen una situación de

8

acción, formulación o prueba si no hallamos un recurso que les permita negociar el contrato didácticovinculado a esta actividad; es decir, si no podemos negociar en términos utilizables esta acción de enseñanza.

Por ejemplo, en geometría, supongamos que queremos favorecer el dominio por parte del alumno desus relaciones con el espacio. Será difícil negociar este objetivo, si no es en las clases de los más pequeños,porque no existe como objeto de saber. Se confunde con la enseñanza de la geometría que, no obstante, notiene nada que ver: no es cierto que la geometría se refiera a las relaciones con el espacio.

Hay un cierto número de conceptos matemáticos que no son de interés para los matemáticos –pero sílo serían para la didáctica– y no tienen, por ello, status cultural o social: por ejemplo, la enumeración de unacolección no es un concepto matemático importante y, sin embargo, es un concepto importante para laenseñanza. ¿La didáctica tiene derecho a introducir en el campo de las matemáticas conceptos que le seríannecesarios? Es un tema que habrá que debatir con la comunidad matemática y con otras comunidadescientíficas.

La negociación, por parte de los maestros, de la enseñanza de la comprensión y del sentido planteaun verdadero problema didáctico: problema técnico y teórico de contrato didáctico.

¿Cómo definir, negociar el objeto de la actividad, con el público, con el maestro, con el alumno, conlos otros maestros?

Por ejemplo, ustedes saben que hay varias divisiones pero sólo poseemos una única palabra parareferirnos a ellas. De hecho, la división en los enteros y la división en los decimales... dependen deconcepciones diferentes, lo que plantea muchos problemas. Los maestros carecen de la posibilidad de tenerun objeto que se denominaría “el sentido de la división’ sobre el cual puedan decir que están trabajando.

Intentamos ofrecer un modelo didáctico del sentido, negociable entre el maestro y el alumno, y quepermita hacer trabajar al alumno sobre el sentido de la división con un vocabulario, con conceptos que seanaceptables y desarrollen realmente su conocimiento; es decir, situaciones donde realice divisiones. Esesentido implica clasificaciones, recursos, terminología. Pero existe un peligro en un trabajo de este tipo:desarrollar una especie de seudoconocimiento o desconocimiento ridículo e inútil.

No debemos pensar que la didáctica sólo consiste en presentar como descubrimientos lo que hacenlos niños pequeños. Es necesario resolver problemas mediante conocimientos teóricos y recursos técnicos. Esnecesario proponer algo para actuar sobre algunos fenómenos de enseñanza; pero primero es necesarioidentificarlos y explicarlos. El trabajo de gestión del sentido del contrato didáctico, en relación con el sentidopor parte del maestro o entre maestros de niveles diferentes, es un problema teórico delicado y uno de losprincipales desafíos de la didáctica. Actualmente, maestros de diferentes niveles ofrecen conclusiones quetienden a producir una anulación de las actividades de nivel inferior en relación con las actividades másformales porque no pueden negociar otra cosa.

La recuperación, por parte de un maestro, de conocimientos anteriores no institucionalizados es algomuy difícil. Para fabricar conocimientos nuevos puede utilizar algo de los conocimientos que él mismo haintentado introducir. No es fácil. Pero, cuando esos conocimientos no han sido introducidos por él y hanempezado a funcionar, los problemas se vuelven casi insuperables: la única manera de salir de eso espidiéndoles a los maestros de las clases inferiores que enseñen, de modo bastante formal, los saberes que elmaestro de las clases superiores puede identificar y que pueden servirle en un nivel explícito para construir loque quiere enseñar él mismo.

No sabemos mucho acerca de las interacciones entre las situaciones didácticas; ¿cómo se gestionanen el t iempo? Debemos entonces desarrollar nuestra concepción de la construcción del sentido.

c) Epistemología

Otro rol del maestro consiste en asumir una epistemología: por ejemplo, los pedagogos preconizan labúsqueda de situaciones que permitan poner al niño en contacto con problemas reales. Pero cuanto másrealiza la situación de acción ese contacto con la realidad, más complejos son los problemas de status delconocimiento. Y, si el maestro no tiene un buen control de sus concepciones epistemológicas en relación coneste tipo de situaciones, más cargados de consecuencias estarán sus errores.

En efecto; al mismo tiempo que enseña un saber, el docente sugiere cómo utilizarlo. Manifiesta asíuna posición epistemológica, que el alumno adopta mucho más rápidamente, porque el mensaje permaneceimplícito o aun inconsciente. Por desgracia, esa posición epistemológica es difícil de identificar, asumir ycontrolar, y, por otro lado, parece desempeñar un papel importante en la calidad de los conocimientosadquiridos.

Para mostrar, a la vez, la importancia y la dificultad del rol epistemológico del docente, tomemos elejemplo de la medición: cuando se trata de contar una colección finita o calcular el precio de un campo, la

9

mayoría de las actividades matemáticas en la escuela primaria hacen un pasaje por la realidad o la ficción deuna medición. Es, pues, una noción importante para la escolaridad obligatoria.

Ahora bien, la medición efectiva es una práctica compleja donde las manipulaciones deinstrumentos, el empleo de las estructuras numéricas y los conocimientos matemáticos elementalesnecesarios sólo pueden justificarse realmente elucidando problemas mucho más complejos como, porejemplo, la aproximación y los cálculos de errores.

La solución clásica consiste en no evitar a la relación didáctica dificultades ajenas al conocimiento,que finalmente debe ser aprendido en un momento dado. Habrá que enseñar, pues, sucesiva y, sobre todo,separadamente los diferentes conocimientos necesarios comenzando por los “más simples”. Por ello,ninguno podrá ser justificado en el momento del aprendizaje por el problema de conjunto por resolver. Lasjustificaciones provisorias o parciales, aun incompatibles, se yuxtapondrán, se contaminarán sin modificarseni adaptarse realmente. Si bien los conocimientos explícitos mismos pueden permanecer bajo la vigilanciaepistemológica de los matemáticos, su sentido, en particular sus posibilidades de empleo (por parte delalumno), se verá profundamente afectado, así como también el rol del saber en la actividad del alumno.

Al respecto de esta hipótesis, la opción tomada, sin control de la fragmentación de losconocimientos, conduce a privarlos de sus posibilidades de funcionamiento.

La noción de medida se introduce con el único ejemplo de la medida de los cardinales finitos,ilustrada con diversas medidas discretas.

Si un alumno considera que 3 + 4 = 6, el maestro no le dice que no ha errado por mucho sino que suresultado es comprobablemente falso. Para cada medición existe un valor verdadero para una medida exactay única. El resultado calculado coincide perfectamente con el resultado “observado”.

La construcción de las estructuras numéricas en (Q+, D+, R+) se realiza de modo tal de nocuestionar ese modelo.

Entonces, las mediciones efectivas deben ralearse. Para no contradecirse, el maestro debe evitaralgunas confrontaciones entre el cálculo y la realidad, y debe acondicionar especialmente las otras.

Por ejemplo: ¿el cálculo ofrece una precisión ridícula frente a las posibilidades de medición efectiva?Entonces, el maestro impone una convención de precisión estándar (retorno implícito a los naturales) o bienelige los datos para que el cálculo resulte exacto.

En la confrontación de una previsión calculada y una medición efectiva, el valor calculado esconsiderado correcto y la medición como más o menos “buena” según la amplitud del error constatado (!).Esto pone de manifiesto la habilidad del que mide. El error es, pues, algo así como una falta, unainsuficiencia del aparato...; incluso una ruptura de contrato por parte del maestro que ha salidoimprudentemente de la comodidad de los problemas donde lo real sólo es evocado y, por lo tanto,negociable.

En ese modelo, las mediciones efectivas jamás deben ser objeto de operaciones porque se desconoceel cálculo diferencial aplicado al cálculo de errores. Así, los datos de un problema rara vez son objeto de unamedición. Asimismo, nunca se realiza una real anticipación de una observación; en consecuencia, no secuestiona la teoría ni sus supuestos deterministas.

Así, un alumno sólo podrá comenzar a considerar mediciones efectivas con una comprensiónconveniente de la teoría que subyace a su acción y un dominio satisfactorio de las técnicas necesarias,después de haber trabajado seriamente con análisis, integrales, diferenciales y cálculo de error, cálculo deprobabilidades, etcétera.

Antes de ese momento,• las mediciones no deberán ser efectivas (solamente evocadas en un enunciado, por ejemplo)• o deberán realizarse en casos muy particulares (conjuntos finitos, medidas discretas, etc.)• o no quedarán bajo el control de la comprensión del alumno en una situación de referencia

conveniente.En todos los casos, el maestro se ve obligado a ocultar o tratar metafóricamente las cuestiones sobre

las relaciones entre los números que se utilizan en las medidas y las magnitudes físicas que ellos representan,en particular las cuestiones de saber cuáles operaciones sobre los primeros permiten prever qué sobre lossegundos y, finalmente, las cuestiones sobre las relaciones entre la teoría y la práctica.

De allí resulta una posición epistemológica errónea pero, sobre todo, puramente ideológica yaceptada como inevitable.

Este “divorcio” entre los conceptos matemáticos enseñados y las actividades efectivas de losalumnos es mal vivido por los docentes. Intentaron reducirlo y luchar contra la desaparición de lasactividades de los alumnos y de los contratos con la realidad. Por diferentes razones, esos movimientospedagógicos se apoyaron en supuestos ideológicos tales como:

10

– “la actividad, la efectividad, hacen comprender y aprender mejor” (la mano forma al cerebro);– “la realidad evita los errores de comprensión” (empirismo/realismo);– “la utilidad, lo concreto, motivan al alumno”.

Sostengo que el efecto de esos movimientos ha sido el opuesto a lo esperado: el conflictoteoría/práctica nunca se ha visto más exacerbado. Se ha profundizado el abismo entre los docentes y el saber.Muchos maestros de enseñanza primaria están convencidos de que la teoría, el “saber oficial”, es undiscurso, una convención, de una eficacia relativa o dudosa a la cual podemos aportar todos losacondicionamientos personales o sustituir por otros saberes “paralelos”. La oposición de la racionalidad, laciencia, y aun el saber como medio para aprehender la realidad se desarrollaron al mismo tiempo y en losmismos ambientes que esos movimientos pedagógicos.

Para fundamentar la relación causa-efecto entre estos dos fenómenos se hace necesario un breveanálisis didáctico.

En primer lugar, “ la realidad” es mucho más difícil de “comprender” que una teoría. Sólo puedesuscitar conocimientos precisos, o corregir errores, a través de una organización específica y muy estricta dela actividad del alumno. El conocimiento de las situaciones didácticas y la epistemología son indispensables.Sin técnica didáctica, “consume” naturalmente más motivación que la que produce. La utilidad inmediatasólo es un factor de motivación entre otros, sin más. La utilidad a largo plazo (como “las matemáticas” parala física) es una motivación muy débil. Sin mediación epistemológica y didáctica, las declaracionesfundamentales resultan falsas.

Sin embargo, los maestros que multipliquen las experiencias, las mediciones efectivas, no estaránmejor preparados para tratar sus consecuencias. Al contrario, esperarán mayor comprensión por parte de losalumnos pero en situaciones en realidad más oscuras (“Observa..., ¿no ves?”). Los alumnos multiplican lasmediciones pero, si sólo “debe haber” un único valor, habrá que elegirlo finalmente como una convenciónsocial (por lo tanto, dudosa) o como una verdad garantizada por el maestro.

A cada momento, el docente debe violar subrepticiamente las relaciones teoría/práctica que susconvicciones pedagógicas le hacen profesar. Debe forzar a la teoría a surgir, toda armada, de una realidad, ydebe de hecho falsear o negociar su utilización, manipular las motivaciones del alumno para obtenersimulacros y, como ese surgimiento debe ser inexorable, t iende a admitir que la realidad es transparente y lateoría evidente...

Al alumno no le va mejor: sus mejores manipulaciones nunca le aseguran la certeza ni el saber, quele llegan por otro camino. Sólo le quedan el atascamiento, el error, la decepción y la convicción de que lateoría sólo funciona, en el mejor de los casos, cuando la utiliza el maestro..., y aun entonces..., ¿no se trataríasólo de una convención?

El docente termina por pensar como sus alumnos.Sería necesario un estudio más profundo para mostrar cómo un movimiento cultural de la

importancia de los que mencionamos, se nutre y amplifica, entre otras fuentes, en las relaciones didácticaslocales.

Veamos si existe una alternativa a la solución clásica, y si el maestro puede asumir una posiciónepistemológica mejor en el problema de la medida. No tratamos de ofrecer una solución sino solamente uncontraejemplo.

En un CM13 la maestra da una de las últimas clases sobre la medida.T iene un gran recipiente vacío, un vaso, una balanza Roberval, pesas y un balde. Dice: “Observen,

vuelco un vaso de agua en este recipiente. Uno de ustedes vendrá a pesar todo. ¿Qué peso encontraremos?”.Para los alumnos, se trata de una adivinanza, una estimación. Escriben sus previsiones en sus

cuadernos. Un alumno realiza un doble pesaje. “Esto pesa 225 g”, dice. Cada uno compara con suanticipación. Maestra: “¿Quién acertó?”. Toma algunos resultados y los escribe en el pizarrón. Maestra:“¿Quién ha hecho la mejor previsión?, ¿y la peor?”. Sin dificultad, los alumnos utilizan el valor absoluto dela diferencia.

Maestra: “Miren, ahora vuelco un segundo vaso de agua en el recipiente. ¿Qué peso hallaremosahora?”. Algunos alumnos multiplican 225 g por 2, pero otros intuyen que hay una trampa e intentan corregirsu previsión. Sin comentarios ni recogida de previsiones... El pesaje esta vez indica 282 g. Comparación delas anticipaciones de los alumnos..., algunos se iluminan: “Eh... Yo entendí algo...”, pero la maestra noalienta ningún comentario.

3 Cuarto grado de la escuela primaria.

11

Maestra: “Continuemos, pongo un tercer vaso de agua”. Esta vez, ya unos diez alumnos restan elprimer resultado del segundo y le agregan la diferencia:

282 – 225 = 57; 57 + 282 = 339

Otros manipulan sus números, dos o tres multiplican imperturbablemente por tres el primer valor.Otro alumno pasa a realizar el doble pesaje: 351 gramos... Asombro, decepción y sentimiento de injusticia enaquellos que habían hecho el cálculo anterior. La maestra permanece neutra. Un alumno ha propuesto elvalor exacto. Los demás lo presionan para que diga cómo lo hizo: “Vi que la aguja estaba más bien haciaallá, entonces pensé...”. El niño alardea; es el mejor y, además, se da cuenta realmente de que tiene suerte....¿qué gana?

La maestra se resiste al deseo de imponerle la “explicación”. El juego de adivinanza continúa: losalumnos comprenderán de manera progresiva que el cálculo no ofrece necesariamente el valor hallado con labalanza. Los alumnos que utilizaron este método de previsión se acercan a explicarlo y se rebelan al verlofracasar. Ese método toma en cuenta todos los elementos esenciales del problema de un modo que pareceracional, y se comunica bien.

Los alumnos que no lo habían inventado lo utilizan para comparar..., lo comprenden. Maestra:“¿Cuál es el peso del agua de un vaso?... No, no, no pesaremos mi vaso.... calcúlenlo”. Según lasexperiencias escogidas para calcular las diferencias, ¡los pesos varían!... La discusión se aclara... “El vaso noestá lleno exactamente del mismo modo cada vez... No podemos estar seguros. La maestra debe manipularcon cuidado...”. Primera conclusión: la maestra debe manipular con cuidado, mostrar que el vaso está bienlleno, esperar que el agua se calme...

Si las diferencias subsisten, los alumnos pueden ser llevados a pensar que varios pesajes de unmismo objeto no ofrecen el mismo valor... Así, llegarán más o menos lejos en el análisis de los errores demedida.

Existen maneras de detener esta cadena de razonamientos; basta, por ejemplo, reemplazar el aguapor arena bien seca y la balanza Roberval por una balanza de resorte: la precisión de la lectura llega al nivelde los gramos y el peso de los vasos de arena, de un pesaje a otro, varía mucho menos que un gramo.

El modelo de una medida entera y determinista se ajusta allí perfectamente. Para obtener la idea deque el método de cálculo es la mejor manera de prever los resultados de los diferentes pesajes a pesar de loserrores de medida aleatorios, es necesario conducir un proceso de actividades, de comunicaciones deresultados, intercambios de pruebas, reflexiones y debates.

Los alumnos aceptan fácilmente utilizar encuadres para disminuir la incertidumbre del resultado,pero es necesario organizar situaciones donde el equilibrio entre previsión segura y previsión precisaadquiera su sentido... económico.

d) El lugar del alumno

Se trata de mostrar, como en los párrafos anteriores, que los problemas de enseñanza son también, ya veces principalmente, problemas de didáctica. El lugar del alumno en la relación didáctica ha sidoreivindicado –como el lugar de la “realidad”– desde diferentes aproximaciones –psicoanalítica, psicológica,pedagógica, etcétera–.

La epistemología genética ha ofrecido en ese sentido los argumentos más serios y más cercanos alconocimiento, pero otros trabajos son necesarios para utilizar sus aportes. Frecuentemente, los errores delalumno son interpretados por el docente como una incapacidad para razonar en general o, al menos como unerror de lógica: en un contrato didáctico amplio, el docente se hace cargo de las representaciones, del sentidode los conocimientos. Pero, en condiciones más estrictas, simplemente es llevado a señalar dónde larespuesta del alumno se contradice con los saberes anteriores, evitando con cuidado todo diagnóstico sobrelas causas del error. Este, reducido a su aspecto más formal, t iende a convertirse ya sea en un “error delógica” –“su razonamiento es incorrecto, revisen la implicación”– o en la ignorancia de un teorema o de unadefinición.

En esta reducción drástica, el alumno se identifica con una producción algorítmica dedemostraciones según las reglas de la lógica matemática. Ese contrato permite al docente la defensa mássegura: sólo se hace cargo de los conocimientos reconocidos en su propio dominio. Basta con que losexponga en un orden axiomático y exija los axiomas como evidencias.

Ahora bien, obviamente los niños utilizan algunas representaciones o algunos conocimientosdiferentes de los que queremos enseñarles. La lógica de los niños, el pensamiento “natural”, ya son bastante

12

conocidos. Les hace cometer errores que podemos inventariar y observar regularmente. Algunos de esosconocimientos pueden constituirse en obstáculos (¿didácticos?, ¿ontogenéticos?, ¿epistemológicos?) y darlugar a conflictos cognitivos.

¿Qué lugar, qué status, qué función dar a esas representaciones?¿Es necesario (¿es posible? y ¿cómo?):

– rechazarlas implícitamente cada vez?– ignorarlas?– aceptarlas sin reconocerlas?– manejar su evolución sin que los alumnos lo sepan?– analizarlas con los alumnos?– reconocerlas, exponerlas y darles explícitamente un lugar en el proyecto de enseñanza?

Sabemos que el sujeto cognitivo utiliza predicados amalgamados, conectivos prelógicos, metáforas,metonimias... Sabemos que el desarrollo del pensamiento lógico del alumno consiste en evolucionesdiscontinuas donde las contradicciones entre los componentes contextuales van a la par con la extensión delos prefunctores y la decantación de los predicados, y donde la sintaxis y la semántica están implicadas almismo tiempo. Estas se separan lentamente, en períodos diferentes según los sectores...

La didáctica ingenua sólo permite proponer al alumno ejercicios lógicos (matemáticos) sobrecomponentes decantados. Conocer al sujeto cognitivo, ¿basta para resolver los problemas del alumno? Nocreo: la creación y la gestión de las situaciones de enseñanza no son reductibles a un arte que el maestropodría desarrollar espontáneamente con buenas actitudes (escuchar al niño, etc.) en torno a simples técnicas(utilizar juegos, material o el conflicto cognitivo, por ejemplo). La didáctica no se reduce a una tecnología, ysu teoría no es la del aprendizaje sino la de la organización de los aprendizajes de otro o, más generalmente,la de la difusión y la transposición de los conocimientos.

La discusión propuesta arriba no tiene marco teórico ni fundamento experimental ni solución fuerade la didáctica.

El razonamiento del alumno es un punto ciego de la didáctica “ ingenua”, porque su tratamiento exigeuna modificación del contrato didáctico. No basta conocer al sujeto cognitivo; es necesario tener mediosdidácticos (y socioculturales) para reconocerlo.

La situación es la misma cada vez que el alumno tiene que poner en práctica una teoría. Por ejemplo,para formular en una ecuación un problema o usar una teoría en física: el primer análisis de la situación y elrecurso a las nociones teóricas se hace primero con la ayuda de modelos espontáneos y de exploración delpensamiento natural. En caso de que esta fase fracase, el docente, encerrado en un contrato que lo obliga aenseñar la ciencia pero no el modo de descubrir la ciencia, sólo puede exponer nuevamente su teoría. Estaimposibilidad de tratar lo que permite la puesta en práctica de la teoría lo lleva a justificarse con undiagnóstico erróneo (“Ustedes no conocen su teoría”) y, finalmente, lo condena a correr de fracaso enfracaso.

Aceptar hacerse cargo de los medios individuales de aprendizaje del alumno (el sujeto cognitivo)exigiría:

– una modificación completa del rol del maestro y de su formación;– una transformación del conocimiento mismo;– otros medios de controles individuales y sociales de enseñanza;– una modificación de la epistemología del docente, etc.

Es una decisión que plantea problemas que sólo la didáctica puede, quizá, resolver. Seguramente noes una decisión que surja de la libre elección de los docentes ni de su arte. Insistimos sobre estacontradicción: si actualmente el sujeto no tiene lugar en la relación de enseñanza (lo tiene en la relaciónpedagógica), no es porque los maestros se obstinen en el dogmatismo sino porque no pueden corregir lascausas didácticas profundas de esta exclusión. Corremos el riesgo de pagar caros errores que consisten enexigir al voluntarismo y a la ideología lo que depende del conocimiento. Corresponde a la didáctica labúsqueda de explicaciones y soluciones que respeten las reglas del juego de la tarea del docente o negociarlos cambios sobre la base de un conocimiento científico de los fenómenos. Actualmente, no podemosenseñar a los alumnos el “pensamiento natural”, pero tampoco podemos dejar que la institución convenza alos alumnos que fracasan porque son idiotas –o enfermos– porque nosotros no queremos afrontar nuestroslímites.

13

Que mis palabras no parezcan demasiado pesimistas. Las investigaciones avanzan a medida que losproblemas se plantean mejor: en geometría, el tratamiento de la representación del espacio es estudiadocomo un proyecto didáctico distinto de la enseñanza de la geometría.

Algunos trabajos de estos últimos años muestran la posibilidad de tratar, en la relación didáctica, elpensamiento lógico del niño.

Se trata de situaciones y contratos que permiten hacerse cargo explícitamente de la evolución y el rolde esos modos de pensamiento no sólo en la elaboración de los medios de prueba sino también en laformación del juicio y la regulación de las conductas sociales (juegos de coalición, admisión de datos,etcétera).

En estos dos ejemplos vemos cómo, llegado el caso, la consideración del sujeto psicocognitivo pasapor una definición del alumno que reclama en realidad una transformación de la organización del sabermismo en una transposición didáctica y un cambio de contrato.

Vimos ese mismo fenómeno, por ejemplo, en relación con la enumeración: esta actividad cognitivaes indispensable para el alumno en el aprendizaje del número, y le resulta útil a lo largo de toda laescolaridad, pero no existe en tanto objeto de conocimiento matemático. Entonces, nunca ha podido serenseñada correctamente y la “práctica” no ha podido tomar en cuenta las dificultades de los alumnos con estanoción.

e) La memoria, el tiempo

Lo que el alumno tiene en su memoria parece ser el objetivo final de la actividad de enseñanza. Lascaracterísticas de la memoria del sujeto, en particular su modo de funcionamiento y su desarrollo, han podidoaparecer como la base teórica de la didáctica. De modo tal que se ha podido reducir así la enseñanza a laorganización del aprendizaje y de las adquisiciones del alumno-individuo.

Varios trabajos muestran la insuficiencia (los inconvenientes) de esta concepción que ignoraespecialmente las relaciones entre la organización del saber (y sus modificaciones en la relación didáctica), laorganización del medio y sus exigencias institucionales y temporales para generar tal o cual memorización, yla reorganización y las transformaciones de los conocimientos que el sujeto opera. Algunos fenómenos deobsolescencia de las situaciones y del saber, el uso paradójico del contexto solicitado o rechazado según lasnecesidades, las variaciones rápidas del status de los conocimientos escolares y las transposiciones didácticasque derivan de ellas, las realizaciones didácticas de diferentes tipos de memoria prueban que la memoria delalumno es un tema didáctico muy distinto de la memoria del sujeto cognitivo. Los docentes manipulan elsaber enseñado y los recuerdos de los alumnos de modo complejo. También deben organizar el olvido de loque por un momento fue útil y ya no lo es, como también la reactivación de lo que necesitan.

Esta gestión se realiza en el marco de una negociación que compromete la memoria del sistemadidáctico, y ya no solamente la del alumno.

Un maestro que no recuerda lo que ha sido hecho por tal o cual alumno o lo que ha sido establecidocomo saber común o lo que ha sido convenido, o un maestro que deja completamente a cargo del alumno laintegración de los momentos de enseñanza, es un maestro sin memoria. Es incapaz de ejercer presionesdidácticas personalizadas y específicas que parecen indispensables en el contrato didáctico. La “memoriadidáctica” del docente y del sistema regula, además, los cambios de actitudes ante la presencia o no derecursos del medio, las transformaciones del lenguaje. Se observa comúnmente que los alumnos sólo puedenrecordar algunos conocimientos en presencia de alguien que haya compartido la historia de sus relacionescon esos conocimientos, o en presencia de los dispositivos particulares que han utilizado. Transformar losrecuerdos en conocimientos movilizables es una operación didáctica y cognitiva, pero no solamente un actoindividual de memorización. La organización de la memoria didáctica forma parte de una gestión másgeneral del t iempo didáctico.

La gestión de los fenómenos didácticos

No podemos presentar aquí los fenómenos didácticos que se manifiestan en la negociación delcontrato didáctico y que el docente debe controlar. Se trata de diversos efectos de pérdida de sentido: efectoTopaze, Jourdain, efecto de analogía, de deslizamiento metadidáctico, de desmenuzamiento, etcétera. Noslimitaremos a un pequeño cuadro (figura l).

Tampoco podemos explicar cómo la relación didáctica exige una diversificación de los roles quedeben considerar el docente y el alumno, o con los cuales podrían identificarse. Esos roles movilizandiferentes saberes y funcionamientos del saber.

14

A título introductorio y puramente sugerente, la figura 2 indica esos diferentes roles del maestro ydel alumno.

El maestro cumple roles diferentes y el alumno también.

Figura 1

Pl: corresponde al docente que reflexiona sobre la secuencia que debe realizar: considera a lasituación de enseñanza como un objeto, prepara su clase.

S1: corresponde al alumno que considera una situación de enseñanza desde el exterior.P2: corresponde al docente que enseña; se encuentra en una situación didáctica, actúa y tiene ante sí

algo que es la situación de aprendizaje y, junto a él, independientemente de la situación de aprendizaje, unalumno con el que puede hablar, sobre el que puede actuar y que puede, a su vez, actuar sobre él.

S2: corresponde al alumno que considera su propia situación de aprendizaje, a quien se le hablasobre su aprendizaje.

S3: corresponde al alumno aprendiz, en situación de aprendizaje, enfrentado a una situación que yano es una situación didáctica. Mira a un alumno S4, que podría ser él mismo, en situación de actuar sobre elmundo, alguien que toma decisiones. Es la situación de referencia. S3 es el sujeto epistemológico, S4 es elsujeto activo. S4 considera la situación objetiva que hace actuar a los sujetos. S5, a menudo hipotéticos, son

Aprendizajedesmenuzado

Intento deEnseñanza

No reconocidopor el maestro

Reconocido porel maestro

Fracasopercibido

Nuevo intento“independiente”

Ilusiónempirista

Efecto deAnalogía

Justificación orecuperación delnuevo intento.

Explicación

Responsabilidadpor los errores

Reducción Reducciónno reconocida reconocida

EfectoTopaze

ImplícitamenteAnte el alumno

Explícitamente

No identificado(por el alumno)

Identi ficado,reconocido

Efecto

El docenteelige a voluntad

un hechoclasi ficado y

reconstruye susignificación

EfectoJourdain

Responsabilidaddel alumno

Responsabilidaddel docente

Recuperación delintento “ reduciendo”

el problema

Responsabilidaddel conocimiento

Reiterado

Deslizamientometadidáctico

Metáforasheurísticas

Responsabilidaddel docente

Reducción a laenseñanza formalEfecto

“Bloom”Rupturateoría/prácticadesaparición

del saber

15

los sujetos que se encuentran dentro del problema: por ejemplo, “Tres personas se dividen...”. El alumnopuede identificarse con este sujeto pero no hay intrusión del alumno en este nivel.

El alumno puede identificarse en las diferentes posiciones del sujeto.El status del conocimiento no es algo fijo: cambia en los diferentes niveles.Los diferentes tipos de situaciones, didácticas y a-didácticas, que se evidencian son los siguientes:

situación a-didáctica objetivasituación de referencia adidácticasituación de aprendizaje adidácticasituación de enseñanza (situación didáctica)situación metadidáctica

Se incluyen entre sí según una relación de “situación actuada” a “situación como objeto de análisis”,siendo su esquema global el siguiente:

El alumno puede identificarse con las diferentes posiciones epistemológicas; el rol y el sentido delsaber difieren en cada nivel; los conocimientos cambian de nivel y status progresivamente con elaprendizaje. Las posibilidades ofrecidas o no al alumno para que juegue o simule los diferentes rolescontribuyen de modo importante a la formación y evocación del sentido de los conocimientos.

Conclusión

Como vimos, el maestro es una especie de actor. Actúa según un texto que ha sido escrito en otraparte y según una tradición. Podemos imaginarlo como un actor de la Comedia del Arte: inventa su juego enel momento en función de una trama.

A esta concepción subyace la idea –absolutamente cierta– de que el docente necesita libertad ycreatividad en su acción. Un docente que simplemente recita no podría comunicar lo esencial, y siquisiéramos hacerle presentar una situación sin margen para recrearla, la enseñanza fracasaría. ¿Puede existiruna concepción más profesional del docente? ¿Puede utilizar situaciones totalmente hechas para recrearcondiciones de aprendizaje idénticas al modelo conocido?

Ello implica que distingamos entre lo que no puede modificar y aquello sobre lo que puede dirigir sutalento personal. Siguiendo con nuestra comparación, el actor se convertiría en un actor cuyo “texto” sería lasituación didáctica por conducir (evidentemente, no el texto en sentido estricto).

16

BIBLIOGRAFÍA

Artigue, M. (1984): Contribution á l’ étude de la reproductibiité des situations didactiques, Tesis degraduación, Universidad de París VII.

Brousseau, G. (1986): Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques, Tesis de graduación,Burdeos.

Brousseau, G.: “Le contrat didactique: Le milieu”, en Recherches en Didactiques des Mathématiques, 1990,vol. 9/3, 308-336.

Conne, F. (1990): Savoir et connaissance dans la perspective de la transposition didactique, en preparación.Chevallard, Y (1985): "La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné", La Pensée

sauvage, Grenoble.Chevallard, Y (1988): Sur l' analyse didactique. Deux études sur les notions de contrat et de situation,

IREM d' Aix-Marseille.Chevallard, Y (1989): "Le concept de rapport au savoir: rapport personnel, rapport institutionnnel, rapport

officiel", Séminaire de Didactique des Mathématiques et de l'Informatique, Grenoble.Douady, R. (1984): Jeux de cadres et dialectique outil-objet dans l'enseignement des mathématiques, Tesis

de graduación, Universidad de París VII.Gras, R. (1979): Contribution á l'étude expérimental et á l’analyse de certaines acquisitions cognitives et de

certains objectifs didactiques en mathématiques, Tesis de graduación, Universidad de Rennes.Laborde, C. (1982): Langue naturelle et écriture symbolique: deux codes en interaction dans l'enseignement

mathématique, Tesis de graduación, Univerdad de Grenoble.Margolinas, C. (1989): Le point de vue de la validation: essai de synthese et d'analyse en didactique des

mathématiques. Tesis, Universidad de Grenoble.Perret-Clermont, A.N.; Brun, J.; Conne, F. y Schubauer-Leoni, M.L. (1982): Décontextualisation et

recontextualisation du savoir dans l' enseignement des mathématiques á des jeunes éléves, Facultadde Psicología y de Ciencias de la Educación, Ginebra.

Ratsimba-Rajohn, H. (1981): Etude de deux méthodes de mesures rationnelles: la commesuration et lefractionnement de l'unité, en vue d'élaboration de situations didactiques. Tesis del Tercer Curso,Universidad de Burdeos.

Rouchier, A. (1991): Etude de la conceptualisation dans le système didactique en mathématiques etinformatique élémentaires: proportionnalité, structures itérativo-récursives, institutionnalisation,Universidad de Orléans, Tesis de graduación.

Schubauer-Leoni, M.L. (1988): "Le contrat didactique dans une approche psycho-sociale des situationsd'enseignement", en Interaction didactiques, nº 8, Seminario de Psicología, Facultad de Letras,Universidad de Neuchátel, Suiza, págs, 63-75.