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TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
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Unidad IV
AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA DDEERRIIVVAADDAA EE
IINNTTEEGGRRAALL
1. CARGA DE UN CONDENSADOR
Un capacitor es un dispositivo que al aplicrsele una fuente de
corriente continua se comporta de una manera especial. Ver la
figura.
Cuando el interruptor se cierra, la corriente I aumenta
bruscamente (como un cortocircuito) y tiene el valor de I = E / R
amperios (como si el capacitor / condensador no existiera
momentneamente en este circuito serie RC), y poco a poco esta
corriente va disminuyendo hasta tener un valor de cero (ver el
diagrama inferior).
El voltaje en el condensador no vara instantneamente y sube
desde 0 voltios hasta E voltios (E es el valor de la fuente de
corriente directa conectado en serie con R y C, ver diagrama).
El tiempo que se tarda el voltaje en el condensador (Vc) en
pasar de 0 voltios hasta el 63.2 % del voltaje de la fuente est
dato por la frmula:
T = R x C
Donde: R est en Ohmios y C en milifaradios y el resultado estar
en milisegundos.
Despus de 5 x T (5 veces T) el voltaje ha subido hasta un 99.3 %
de su valor final. Al valor de T se le llama Constante de
tiempo
Analizando los dos grficos se puede ver que estn divididos en
una parte transitoria y una parte estable. Los valores de I y Vc
varan en la parte transitoria (aproximadamente 5 veces la constante
de tiempo T), pero no as en la parte estable.
+
-
VcE
R Interruptor
I
C
-
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En resumen podemos decir:
Un condensador consiste en dos o ms armaduras metlicas separadas
por un material aislante llamado dielctrico.
El circuito representado en la simulacin se compone de una
resistencia, un condensador, un interruptor y una fuente de
corriente continua. En un principio las armaduras del condensador
contienen idntico nmero de cargas positivas y negativas.
Al cerrar el interruptor el polo positivo de la batera atrae los
electrones de una de las armaduras, mientras que el polo negativo
de la batera suministra electrones a la otra. Dichos electrones
nunca atraviesan el condensador en s, puesto que hay un dielctrico
en medio, pero en corriente alterna parece que la intensidad s lo
atraviesa debido a las frecuentes cargas y descargas que se
producen, por lo que la intensidad cambia de sentido
alternativamente. De este hecho surge el concepto de reactancia
capacitiva, la cual, quiere expresar la imposibilidad de circulacin
de corriente por el circuito cuando el condensador ha terminado de
cargarse. Por lo que, cuando un condensador es conectado a una
fuente de potencial se carga inmediatamente, llegando a la mxima
tensin siguiendo una curva exponencial. Una vez el condensador
alcanza la tensin de la batera, cesa el paso de corriente,
dicindose que el condensador est completamente cargado. Es entonces
cuando aparece un campo elctrico en el dielctrico, consecuencia de
la energa elctrica almacenada.
Voltaje en el condensador
E
t
t
E R
0
0
Vc
I
Zonatransitoria
Zonaestable
Corriente por R y C
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2. DESCARGA DE UN CONDENSADOR
Un condensador no se descarga de inmediato al quitrsele una
fuente de alimentacin de corriente directa. Cuando el interruptor
cambia de posicin, entonces el voltaje en el condensador Vc empezar
a descender desde Vo (voltaje inicial en el condensador).
La corriente tendr un valor inicial de Vo/R y disminuir hasta
llegar a 0 voltios.
3. DEMOSTRACIN MATEMTICA
Carga de un condensador
Considrese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el
condensador est descargado. Si se cierra el interruptor I la carga
empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el
condensador se empieza a cargar. Una vez que el condensador
adquiere la carga mxima, la corriente cesa en el circuito.
Voltaje en el condensador
t
t
-V0 R
0
0
V0
I
5t
Corriente por R y C
Vc
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En el circuito de la figura tendremos que la suma: Vab + Vbc +
Vca = 0
El extremo a tiene un potencial mayor que el extremo b de la
resistencia R ya que la corriente fluye de a a b. De acuerdo a la
ley de Ohm Vab = i R
La placa positiva del condensador b tiene mayor potencial que la
placa negativa c, de modo que Vbc = q / C
El terminal positivo de la batera a tiene mayor potencial que el
terminal negativo c, de modo que Vca = -V , donde V es la fuente de
energa de la batera
La ecuacin del circuito es: i R + q / C V = 0 Teniendo en cuenta
que la intensidad de corriente se define como la carga que
atraviesa la seccin del circuito en la unidad de tiempo, i = dq /
dt, tendremos la siguiente ecuacin para integrar
Cq
Vdtdq
R =
==t
0
q
0
dtRC1
qCVdq
RC
t1CVq exp
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en
funcin del tiempo
==RC
t-R
Vexp
dtdq
i
La carga tiende hacia un valor mximo C V al cabo de un cierto
tiempo, tericamente infinito.
La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta
que se hace cero cuando el condensador adquiere la carga mxima.
La cantidad RC que aparece en el denominador de t se denomina
constante de tiempo del circuito. Este representa el tiempo que
tomar a la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor
inicial.
Un tubo-capilar alimentado por un flujo constante producido por
un frasco de Mariotte es la analoga hidrulica de la carga de un
condensador.
ba
c
+q -q
i
V
I
C
R
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Balance energtico
La energa aportada por la batera hasta el instante t es:
==t
0t
dtiVRC
tCVE tb exp1
2
La energa disipada en la resistencia hasta el instante t es:
==t
0
2dtRi
RC
tCVE
tR
2exp1
2
2
La energa almacenada en el condensador en forma de campo
elctrico es:
22 2
exp12
==
RC
tCVE tC C
q21 2
Comprobamos que Eb = ER + EC. Parte de la energa suministrada en
la batera se disipa en la resistencia, y otra parte se acumula en
el condensador.
Cuando se completa el proceso de carga t, la mitad de la energa
suministrad por la batera se disipa en la resistencia y la otra
mitad se acumula en el condensador.
Ejemplo:
Sea un condensador de capacidad C = 1,5 F en serie con una
resistencia de R = 58 k y una batera de V = 30 V.
En el Sistema internacional de unidades la capacidad se mide en
faradios (F), siendo un faradio la capacidad de un conductor que
sometido a una diferencia de potencial de 1 voltio, adquiere una
carga elctrica de 1 culombio. Empecemos a contar el tiempo cuando
se cierra el interruptor. En el instante t = 60 ms
Solucin: en primer lugar convertimos unidades
s1060tms10
sms 60t
000 58Rk 10
k 58 R
faradios 105,1CF 10
FmF 5,1C
3 3
3
66
==
==
==
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La carga del condensador es:
=RC
t1VCq exp
Respuesta:
La intensidad de corriente es:
Respuesta:
La energa suministrada por la batera es:
Respuesta:
= 63
6
105,1000 58
1060exp130105,1q
( )( )69,0exp130105,1q 6 =
( )5,0130105,1 6 = q
culombios 1042,22 6=q
=RC
tRV
i exp
)5,0(58000
30
105,1000 581060
exp58000
306
3
=
=
i
i
=CRtVCE tb exp12
=6
326
105,1000 58
1060exp130105,1bE
amperes41060,2 =i
J10726,6b
E 4=
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La energa disipada en la resistencia es:
Respuesta:
La energa acumulada en el condensador es:
Respuesta:
Cuando se completa el proceso de carga t ,
La carga del condensador es q = C V = 1,510-630 = 45 C La energa
suministrada por la batera es Eb = 13,510-4 J La energa acumulada
en el condensador es Ec = 6,7510-4 J La energa total disipada en la
resistencia es ER = 6,7510-4 J
=CRtVCE tR
2exp12
2
=
6
326
105,1000 58
10602exp1
230105,1
RE
222exp1
221
=CRtVC
Cq
E tC
6
26
105,1
)1042,22(21
=CE
joule 41068,1 =CE
J1005067,5R
E 4=
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100
Descarga de un condensador
Consideremos ahora el circuito que consta de un condensador,
inicialmente cargado con carga Q, y una resistencia R, y se cierra
el interruptor I.
La ecuacin del circuito ser la siguiente: Vab + Vba = 0
Como la corriente va de a hacia b, el potencial de a
es ms alto que el potencial de b. Por la ley de Ohm Vab = i
R.
En el condensador la placa positiva a tiene ms
potencial que la negativa b, de modo que Vba = -q / C.
La ecuacin del circuito es: i R q / C = 0
Como la carga disminuye con el tiempo i = -dq / dt. La ecuacin a
integrar es:
Cq
dtdq
R =
== CR tQq exp
tq
Q
dtRCq
dq
0
1
La carga del condensador disminuye exponencialmente con el
tiempo. Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la intensidad,
en el sentido indicado en la figura que disminuye exponencialmente
con el tiempo.
==RC
t-RCQ
i expdtdq
La descarga tubo-capilar es la analoga hidrulica de la descarga
del condensador.
Balance energtico
La energa inicial del condensador es:
CQ
E2
0 21=
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La energa disipada en la resistencia hasta el instante t es:
==
t
dtRi0
2
RCt
1CQ
E R2
exp2
2
La energa almacenada en el condensador en forma de campo
elctrico en el
instante t es:
==
RCt
CQ
EC2
exp2
2
Cq 2
21
Comprobamos que Ec = E0 - ER. La energa en el condensador se
disipa en la resistencia. Cuando se completa el proceso de descarga
t, toda la energa almacenada en el condensador se ha disipado en la
resistencia
Ejemplo:
Sea un condensador de capacidad C = 1.5 F en serie con una
resistencia de R = 58 k cargado inicialmente con Q = 45 C.
Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el
instante t = 60 ms.
La carga del condensador es:
C106,22105,1000 58
1060exp1045 6
6
36
=
=
q
La intensidad es:
A1060,2105,1000 58
1060exp
105,1000 58
1045 4
6
3
6
6
=
=
i
La energa almacenada inicialmente en el condensador es:
J1075,6105,1
1045(21
46
2)6
=
=oE
La energa disipada en la resistencia es:
J1005,5105,1000 58
10602exp1
105,1
)1045(21 4
6
3
6
26
=
=
RE
La energa acumulada en el condensador es:
J1070,1105,1
)106,22(21 4
6
26
==CE
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ANOTACIONES:
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
