LA NO LINEALIDAD (Artculo No. 3)

Dr.Cs. Manuel Silva Rodrguez. Asesor de la Comisin Nacional de Grados Cientficos.

Profesor Consultante y Titular. Investigador Titular. La Habana. Cuba. 2011.

1

LA NO LINEALIDAD. Dr.Cs. Manuel Silva Rodrguez. Asesor de la CNGC. La Habana. Cuba. 2011. En los ltimos aos, la limitacin de los modelos matemticos a la hora de expresar el funcionamiento real de la naturaleza ha sido objeto de un intenso debate. Las ecuaciones diferenciales, por ejemplo, representan la realidad como un continuo en el que los cambios de tiempo y lugar se producen uniforme e ininterrumpidamente. No queda lugar para rupturas bruscas, pero sin embargo se dan en la naturaleza. Los modelos matemticos ms avanzados son solamente una aproximacin a la realidad, vlida solamente dentro de ciertos lmites. La mayor parte de las matemticas clsicas se basan en relaciones lineales abstradas de la vida real como leyes cientficas. Pero dado que el mundo real est gobernado por relaciones no lineales, estas leyes a menudo no son ms que aproximaciones que se van afinando constantemente mediante el descubrimiento de nuevas leyes (1). El objetivo de este tercer artculo es iniciar al lector en la problemtica de la no linealidad como un importante elemento del denominado enfoque complejo o simplemente complejidad.

1. Sobre la complejidad. Los idelogos de la complejidad, defienden las siguientes ideas: El pensamiento de la complejidad se presenta como un edificio de varios pisos. El

primero, formado a partir de las teoras de la informacin, la ciberntica y los sistemas, trae consigo los instrumentos necesarios para una teora de la organizacin; el segundo con las ideas de Von Neumann, Von Foerster, Atlan y Prigogine sobre la autoorganizacin; y el tercero con los principios morineanos dialgico, de recursin organizativa (bucle recursivo o autoproductivo) y hologramtico (hologrmico) (2).

La complejidad es ciencia (estudio de la dinmica no lineal en diversos sistemas concretos), mtodo del pensamiento (aprendizaje del pensamiento relacional) y cosmovisin (elaboracin de una nueva mirada al mundo y al conocimiento que supere el reduccionismo a partir de las consideraciones holistas emergentes del pensamiento sistmico) (3).

La no linealidad. La complejidad no proviene de las partes, sino de las interacciones no lineales entre ellas (4). El primer principio del pensamiento complejo es el del bucle recursivo o autoproductivo, el cual nos ayuda a romper con la tradicional manera de explicar segn una relacin lineal que va de causas a efectos, sin concebir las retroacciones y recursividades que se establecen entre productor y producto, lo causado y lo causante, de manera de encontrar en todos los procesos el bucle autoproductivo que le da existencia y consistencia (5).

La incertidumbre. La imposible certidumbre: Nunca ser posible decidir con pleno conocimiento de causa. Es preciso integrar el principio de incertidumbre (6).

La impredictibilidad. Para prever con un ao de anticipacin el tiempo que har en un determinado lugar, tendramos que disponer de una red de informaciones que abarcara todo el planeta (7). La prediccin es posible, pero dentro de los marcos de indeterminacin que el propio sistema porte al ser entidad no hecha, devenir (8).

Lo catico. Los fenmenos caticos (no lineales) son aquellos cuya evolucin muestra una sensibilidad extrema con respecto al estado inicial: El ms mnimo

2

cambio en el estado inicial se transforma en una diferencia colosal en los estados futuros que se derivan de l. La sensibilidad extrema de los fenmenos caticos a su estado inicial significa, tambin, que por lo general sern igualmente sensibles a la forma de la ecuacin elaborada para describirlos. Si la ecuacin que utilizamos contiene la ms mnima imprecisin u omisin, muy pronto el comportamiento predicho por ella se desviar dramticamente del que tendr lugar en el mundo real. Dicho de otra manera: La teora del caos puso de manifiesto que existen numerosos fenmenos de la realidad en los que sus respuestas a un estmulo inicial minsculo, varan en forma colosal (Autor desconocido, teora del caos, 1. 05. 2000, Internet).

La dialgica no es la dialctica, especialmente con el sentido que este trmino ha tomado en la tradicin hegeliano-marxista. En esta tradicin del choque entre instancias contrarias surgir una tercera mejor, en la que las contradicciones se superan. Por el contrario, en la dialgica moriniana se mantiene viva la diferencia entre instancias que pueden ser tanto antagnicas, concurrentes, como complementarias, y no se plantea una sntesis superadora que disuelva las tensiones (9).

La dialctica de la interrelacin predomina sobre la dialctica de la contradiccin. Se devela una dialctica distinta donde la comprensin de la solucin de las contradicciones se aparta de los grandes modelos explicativos elaborados en la historia del pensamiento filosfico, desde la filosofa clsica alemana a nuestros das (10).

Nueva relacin sujeto-objeto. El reto de las nuevas teoras tiene en su centro la elaboracin de un ideal de racionalidad nuevo, no clsico, que cuestiona la separacin absoluta entre sujeto y objeto, y se propone la reinclusin del sujeto real en el proceso de produccin del saber. Esto significa inclusin de sus valores y su moralidad (11).

En dos palabras, los complexlogos, con su teora de la complejidad, intentan establecer una nueva visin del mundo que ellos consideran diferente y superior a todas las anteriores. A continuacin presentamos los recuadros 1 y 2 con un resumen de las principales ideas que defienden, las cuales hemos ido exponiendo con anterioridad.

RECUADRO 1: CRTICA DE LA COMPLEJIDAD Y LOS COMPLEXLOGOS AL PARADIGMA MECANICISTA DE NEWTON (12)

Edgar Morin, renombrado complexlogo francs, seala que el pensamiento mecanicista (simplificante) idealiza (interpreta la realidad a travs de un ideal) racionaliza (encierra la realidad en el orden de un sistema determinista) y normaliza (elimina lo extrao, lo irreductible y lo azaroso). En este paradigma se distinguen cuatro principios bsicos, que pudieran considerarse verdaderos dolos de la mente.

1. Disyuncin. Aisla y separa los sistemas de sus circunstancias y entorno. 2. Reduccin. Encuentra componentes elementales y sus mecanismos de

accin; el universo es una mquina. 3. Abstraccin. Establece leyes generales desconociendo las particu-

laridades de donde surgen. 4. Causalidad. Entendida como una serie de causas-efectos lineales e

irreversibles.

3

RECUADRO 2: CUALIDADES BSICAS DE LOS FENMENOS COMPLEJOS (13)

Nuestras posiciones (crtica a la teora de la complejidad): Los complexlogos consideran a la teora de la complejidad como: a) una nueva

visin de la ciencia, b) un mtodo del conocimiento, y c) una concepcin del mundo. Pero es que el marxismo-leninismo (M-L) tambin es ciencia, mtodo del conocimiento, y concepcin del mundo. Qu ha pasado entonces?: Ignoran al M-L, conocindolo? No lo conocen? El anlisis de la literatura nos muestra que una mayora importante de los complexlogos no se han ledo las obras de los clsicos y repiten ideas que estn claramente contenidas en dichas obras; muchos de sus idelogos parecen no estar al corriente de la nica autntica revolucin en la lgica en dos mil aos: la lgica dialctica.

Otro punto oscuro de la teora emergente que nos ocupa es la sustitucin de la dialctica marxista por la dialgica. Las contradicciones, para los complexlogos, no tienen necesariamente que resolverse, pueden coexistir indefinidamente como fuente de desarrollo en oposicin a la concepcin M-L, que s preconiza una solucin a favor de uno de los contrarios. Preguntamos: No se resolver nunca la contradiccin explotadores-explotados? Estamos condenados los pobres a ser miserables toda la vida?

Es cierto que el paradigma mecanicista (simplificante) ya estaba agotado, pero aun as haba que negarlo dialcticamente y no de forma metafsica como hicieron los complexlogos. Por otra parte, existe la concepcin M-L que por su carcter dialctico lleva implcito el cambio constante y ha dado soluciones fundamentadas a muchas de las inquietudes planteadas por la complejidad. Se trata, por lo tanto, de

Los complexlogos plantean como cualidades bsicas de los fenmenos complejos, en oposicin a los principios bsicos del paradigma mecanicista (simplificante), las siguientes:

1. Dialgica. Interaccin de principios, fuerzas o procesos opuestos entre s, pero necesarios para mantener la estabilidad de la organizacin. No es la dialctica de Marx.

2. Recursividad organizacional. Proceso en el cual los productos y los efectos son, al mismo tiempo, causas y productores de aquello que los produce.

3. Emergencia. Propiedad resultante de la unidad global del sistema, y no presente en ninguno de los componentes del sistema por separado; es una consecuencia de la red de interacciones y de las relaciones entre estos.

4. Principio hologramtico. Intenta superar la antinomia holismo-reduccionismo. El holismo no ve ms que el todo; lo global en lo global. El reduccionismo no ve ms que partes; explica el todo por las partes y las partes por el todo. Este principio (el hologramtico) ve las partes en el todo y el todo en las partes como articulacin y codeterminacin.

5. No linealidad. Perturbaciones pequeas pueden amplificarse en el sistema y ocasionar grandes modificaciones, o viceversa, perturbaciones intensas pueden ser absorbidas en el seno del sistema sin variaciones notorias.

4

defender y actualizar el M-L y no de sustituirlo por un paradigma que en la generalidad de las ocasiones repite los mismos principios de ste. Nosotros partimos de la concepcin de Fidel Castro de que cada vez me siento ms atrado por las ideas de Marx, de Lenin y de Engels, porque nos ensearon mucho, nos abrieron el camino al pensamiento. No vamos a decir que eso pas. Nosotros somos los que estamos ante el desafo de que esas ideas avancen por encima de obstculos enormes, tal vez no imaginados por los propios creadores de la doctrina del marxismo y el leninismo (14).

Hay que estudiar de nuevo el marxismo y el leninismo. Pensamos que a partir de estas cinco obras: El manifiesto comunista, Antidring, Ludwuig Feuerbach y el fin de la filosofa clsica alemana, Dialctica de la naturaleza y Materialismo y empiriocriticismo.

2. Sobre la teora del caos (la no linealidad). La no linealidad constituye la esencia de lo que muchos investigadores denominan teora del caos. Con el fin de comprender qu es y qu abarca dicha teora, decidimos incluir una explicacin elaborada al respecto en el Instituto de Astrofsica de Canarias que de forma resumida y clara aborda este polmico tema (15). Primer paso: El fantasma de la no linealidad. A finales del siglo XIX, el matemtico y fsico Henri Poincar (1854-1912) cuestion la perfeccin newtoniana en relacin con las rbitas planetarias, lo que se conoce como el problema de los tres cuerpos. Planteaba una atraccin gravitatoria mltiple, que hasta entonces se resolva con las leyes de Newton y la suma de un pequeo valor que compensara la atraccin del tercer elemento. Poincar descubri que, en situaciones crticas, ese tirn gravitatorio mnimo poda realimentarse hasta producir un efecto de resonancia que modificara la rbita o incluso lanzara el planeta fuera del sistema solar. Este devastador fenmeno se asemeja al acople del sonido cuando un micrfono y su altavoz se encuentran prximos: el sonido que emite el amplificador vuelve al micrfono y se oye un pitido desagradable. Los procesos de realimentacin se corresponden en fsica con las ecuaciones iterativas, donde el resultado del proceso es utilizado nuevamente como punto de partida para el mismo proceso. De esta forma se constituyen los sistemas no lineales, que abarcan el 90% de los objetos existentes. El ideal clsico slo contemplaba sistemas lineales, en los que efecto y causa se identifican plenamente; se sumaban las partes y se obtena la totalidad. Poincar introdujo el fantasma de la no linealidad, donde origen y resultado divergen y las frmulas no sirven para resolver el sistema. Se haba dado el primer paso hacia la teora del caos. Segundo paso: El efecto mariposa. "Espero que Dios no sea tan cruel para hacer que el mundo est dirigido por frmulas no lineales", comentaban algunos cientficos en la dcada de los 50. Result que, en efecto, la naturaleza se rega por ellas. En consecuencia, como indica Ignacio Garca de la Rosa, astrofsico del Instituto de Astrofsica de Canarias (IAC), "el trmino no lineal es un poco injusto; sera como llamar a los animales elefantes y no elefantes, pero como en aquellos tiempos no se podan estudiar estos sistemas, se redujo la terminologa". En este caso, la panacea se manifest en forma de ordenador que, aunque no poda resolver la naturaleza no lineal mediante frmulas, permita realizar simulaciones. En 1960, el meteorlogo Edward Lorenz dio, sin proponrselo, el segundo paso hacia la teora del caos. Entusiasta del tiempo, se dedicaba a estudiar las leyes atmosfricas y

5

realizar simulaciones a partir de sus parmetros ms elementales. Un da, para estudiar con ms detenimiento una sucesin de datos, copi los nmeros de la impresin anterior y los introdujo en la mquina. El resultado le conmocion. Su tiempo, a escasa distancia del punto de partida, diverga algo del obtenido con anterioridad, pero al cabo de pocos meses -ficticios- las pautas perdan la semejanza por completo. Lorenz examin sus nmeros y descubri que el problema se hallaba en los decimales; el ordenador guardaba seis, pero para ahorrar espacio l slo introdujo tres, convencido de que el resultado apenas se resentira. Esta inocente actuacin fij el final de los pronsticos a largo plazo y puso de manifiesto la extremada sensibilidad de los sistemas no lineales: el llamado "efecto mariposa" o "dependencia sensible de las condiciones iniciales". Se trata de la influencia que la ms mnima perturbacin en el estado inicial del sistema puede tener sobre el resultado final o, como recoge el escritor James Gleick, "si agita hoy, con su aleteo, el aire de Pekn, una mariposa puede modificar los sistemas climticos de Nueva York el mes que viene". Cualquier variacin, ya sea en una milsima o una millonsima, constituye una pequea muesca que modificar el sistema hasta el punto de hacerlo imprevisible. La iteracin ofrece resultados estables hasta cierto punto, pero cuando ste se supera el sistema se derrumba en el caos. Los cientficos J. Briggs y F. D. Peat aplican esta idea al ciclo vital humano: "Nuestro envejecimiento se puede abordar como un proceso donde la iteracin constante de nuestras clulas al fin introduce un plegamiento y una divergencia que altera nuestras condiciones iniciales y lentamente nos desintegra". Tercer paso: Digiriendo la complejidad. El carcter no lineal e iterativo de los sistemas de la naturaleza permite que instrucciones muy sencillas originen estructuras extremadamente complejas. La fsica de la complejidad busca reglas simples que expliquen estos organismos complejos. El astrofsico Ignacio Garca de la Rosa parte de la pirmide de la evolucin (que incluye quarks, ncleos atmicos, tomos, molculas simples, biomolculas, clulas, organismos y sociedades) para tratar la complejidad: "La mayor parte de la materia -seala- se encuentra en los estadios inferiores y no forma elementos ms desarrollados, de modo que la pirmide va cerrndose; nosotros somos una minora en comparacin con todo el material que hay en el Universo. La pirmide va de la abundancia de lo sencillo a la complejidad de lo escaso". Este concepto guarda relacin con el de lenguaje, que parte de las letras y pasa por las palabras, frases, prrafos, captulos, libros, etc., con la peculiaridad de que las letras no tienen nada que ver con las palabras y as sucesivamente. Del mismo modo que la "z" no est emparentada con el concepto de "azul", las molculas que dan origen a una cebra no determinan su constitucin. Las estructuras complejas tienen propiedades ajenas a los ingredientes anteriores, lo que plantea un problema para la ciencia, que pierde su capacidad de prediccin. En la fsica clsica se presupone que los objetos son independientes de la escala que se emplee para medirlos y que existe la posibilidad de relacionarlos con su medida exacta. No as en la geometra fractal y la lgica borrosa, instrumentos empleados por los cientficos del caos. Bart Kosko, autor de la llamada lgica borrosa, afirma de modo tajante que "cuanto ms de cerca se mira un problema en el mundo real, tanto ms borrosa se vuelve su solucin". Pero si la precisin difumina an ms el objeto de estudio, qu estrategia debe emplearse para estudiar los sistemas complejos? Aqu interviene la teora de la totalidad, que concibe el mundo como un todo orgnico, fluido e interconectado. Si algo falla no debe buscarse la "parte daada", como en el caso de un televisor o una

6

lavadora, sino que hay que revisar el sistema completo, se trata de una unidad indisoluble. El gran error histrico de la ciencia consiste en observar la naturaleza de modo fragmentado y explicarlo todo mediante la suma de partes, ignorando dos cuestiones primordiales: la imposibilidad de "meter la totalidad en el bolsillo", porque el bolsillo tambin forma parte de ella, y la dependencia que existe entre el observador, lo observado y el proceso de observacin; el hombre integra la realidad, de modo que su mera presencia altera el objeto de estudio. La obsesin por interpretar el caos desde el punto de vista del orden debe dejar paso a una interpretacin global, que salva las fronteras de las diferentes disciplinas y acepta la paradoja que convierte lo simple y lo complejo, el orden y el caos, en elementos inseparables. De hecho, lo ms complejo que ha concebido el hombre, el fractal de Mandelbrot, se cre a partir de una ecuacin iterativa muy simple; el caos es una inagotable fuente de creatividad, de la que puede tambin surgir el orden (y viceversa). Las civilizaciones antiguas crean en la armona entre el caos y el orden, y definan el caos como una "suerte de orden implcito". Quiz sea el momento de hacerles caso.

Hasta aqu la explicacin de los cientficos del Instituto de Astrofsica de Canarias (IAC). En el ANEXO incluimos un esquema con la obtencin del fractal copo de nieve de Koch, uno de los ms sencillos que se conocen y una vista del fractal de Mandelbrot. Deseamos subrayar de nuevo que el carcter complejo y sistmico del mundo lo estudiaron y desarrollaron Marx y Engels en el siglo XIX, antes que los cientficos a los que se hace referencia, cuestin sta que no se reconoce en la explicacin del IAC. Lo til de dicha explicacin est en que nos presenta de forma sencilla el fenmeno de la no linealidad y nos aporta una referencia para movernos en ese espinoso mundo de la matemtica aplicada, incluso cuando se emplea en las ciencias sociales.

3. Un ejemplo de la no linealidad. Veamos primero qu entender por linealidad. Una relacin lineal se puede describir matemticamente de forma sencilla, expresndose de una u otra manera como una lnea recta en una grfica. Las matemticas pueden ser complejas, pero las soluciones se pueden predecir y calcular (16). En la linealidad: Siempre hay una solucin. La solucin es nica. Efecto y causa se identifican plenamente. Existe una relacin causa-efecto. Es posible identificar tres formas geomtricas de representacin:

- La lnea recta: Una variable dependiente (efecto) y una variable independiente (causa).

- El plano: Una variable dependiente (efecto) y dos variables independientes (causas).

- El hiperplano: Una variable dependiente (efecto) y tres o ms variables independientes (causas). No puede representarse en la geometra euclideana.

Examinemos la representacin lineal grfica de la relacin entre las variables coeficiente de evaporacin Y y velocidad del aire X, presentes en el fenmeno del paso del aire a travs de una turbina de aviacin. Vase el esquema 1. La ecuacin Y=0.069+0.0038X que relaciona las dos variables objeto de anlisis nos informa que un incremento de la velocidad del aire, provocar siempre un aumento del coeficiente de evaporacin y que para cualquier valor de X existir tambin un valor de

7

Y. Nos informa, adems, que la causa del incremento del coeficiente de evaporacin es el aumento de la velocidad del aire que atraviesa la turbina. La ecuacin que nos ocupa permite predecir, sin necesidad de realizar mediciones reales, qu valor alcanzar Y

para un determinado valor de X. La no linealidad, en cambio, se caracteriza porque el resultado de un proceso es utilizado nuevamente como punto de partida para el mismo proceso. Recordemos que los fenmenos caticos (no lineales) son aquellos cuya evolucin muestra una sensibilidad extrema con respecto al estado inicial: El ms mnimo cambio en el estado inicial se transforma en una diferencia colosal en los estados futuros que se derivan de l. La sensibilidad extrema de los fenmenos caticos a su estado inicial significa, tambin, que por lo general sern igualmente sensibles a la forma de la ecuacin elaborada para describirlos. Si la ecuacin que utilizamos contiene la ms mnima imprecisin u omisin, muy pronto el comportamiento predicho por ella se desviar dramticamente del que tendr lugar en el mundo real. Dicho de otra manera: La teora del caos puso de manifiesto que existen numerosos fenmenos de la realidad en los que sus respuestas a un estmulo inicial minsculo, varan en forma colosal (Autor desconocido, teora del caos, 1. 05. 2000, Internet). En las pginas siguientes y los esquemas del 2 al 4, representamos de manera resumida el caso ocurrido con unas vigas de madera durante la construccin de la parrillada de un hotel en la ciudad de La Habana. Este caso ilustra de manera sencilla lo que hemos venido planteando acerca de la no linealidad.

E S Q 2 : E L C A S O D E L A N O L IN E A L ID A D E N U N AV IG A D E M A D E R A

M O M E N T O D E IN E R C I A ( I )R e la c i n n o lin e a l e n t re e l a n c h o (b ) y la a l tu ra (h )d e u n a v ig a d e m a d e ra d e s e c c i n r e c ta n g u la r .

I= b h 3/ 1 2

h

b

D E F O R M A C I N ( )d e u n a v ig a d e m a d e ra s im p lem e n te a p o y a d a , d elo n g itu d l , s om e t id a a u n a c a rg a u n i fo rm em e n te

d is tr ib u id a q y s e c c i n b x h .= 5 q l4/ 3 8 4 E I

5 /3 8 4 ...C o e fic ie n te q u e d e p e n d e d e la s c o n d ic io n e s d e a p o yo .E = 1 1 9 0 0 K g /cm 2 p a r a la p in o te a . l

q

ESQ 1: CO EFICI ENT E D E EVAPORACIN (Y ) Y VELOCID AD D EL AIR E (X )

Y (m m 2 /seg)

X (cm /seg)0 120 240 360 400

1.0

0.5

1.5Y=0.06 9+0.00 38XY=0.07 X=000Y=0.53 X=120Y=0.98 X=240Y=1.44 X=360 Pred icc in

8

Se trataba de varias vigas que sustentaban el techo de la mencionada parrillada. Como parte del proceso normal de diseo se calcularon las deformaciones de las vigas simplemente apoyadas, de longitudes l, sometidas cada una de ellas a cargas uniformemente distribuidas q y secciones b x h. La deformacin de cada viga se determin mediante la expresin:

=5ql4/384EI donde 5/384 es un coeficiente que depende de las condiciones de apoyo, E=11 900 Kg/cm2 para la pinotea e I denota el momento de inercia determinable con la expresin:

I=bh3/12 que no es otra cosa que la relacin no lineal entre el momento de inercia I y la seccin (ancho b y altura h) de cada una de las vigas de madera que nos ocupan. Ya se haba calculado que b=5 cm y h=10 cm con lo cual el valor del momento de inercia de diseo I (Vd) alcanzaba el valor de 417 cm4. Sin embargo, al hilar (cortar, aserrar) las vigas cometieron el error de cortarlas con una altura h de 9 cm en lugar de los 10 cm requeridos por el diseo. Se introdujo un error de un cm, suficiente para que el momento de inercia I se redujera de 417 cm4 a 304 cm4. Vase el esquema 3.

En consecuencia, este mnimo cambio en el estado inicial de las vigas (1 cm menos de altura) se transform en una notable diferencia en el estado final de las mismas, cuyas deformaciones se incrementaron en un 37%, con el consiguiente arqueamiento de las vigas sustentadoras del techo y la preocupacin de los usuarios del lugar por la posible cada de aqul. Vase el esquema 4.

ESQ 3: EL CASO DE LA NO LINEALIDAD EN UNA VIGA DE MADERA

(variacin en las condiciones iniciales de la viga)

MOMENTO DE INERCIA (I)I=bh3/12

Viga diseada (Vd)..... b=5 cm y h=10 cm.I (Vd)=(5x1000)/12.....417cm

4

Viga realmente hilada (Vh)..... b=5 cm y h=9 cm.I (Vh)=(5x729)/12.....304cm

4

h

b

9

4. Conclusiones. Terminamos este artculo con la idea de Alan Woods acerca de que a lo largo de la historia nunca ha sido suficiente para la clase dominante derrocar una revolucin. Es menester erradicar la memoria de la revolucin, borrar todas sus ideas y todos sus ideales, para que las futuras generaciones no puedan tener acceso a las mismas. La revolucin debe ser condenada al olvido. Esta ha sido la actitud de la burguesa, no slo hacia la revolucin proletaria, sino tambin hacia su propia revolucin (17). Los complexlogos no descubrieron la no linealidad, aunque la teora del caos se encuentra todava en su infancia, nadie puede dudar que sus descubrimientos se aproximan bastante al mtodo dialctico descubierto por Hegel y elaborado desde un punto de vista materialista por Marx y Engels (18). Varios de los mtodos estadsticos que examinaremos en los artculos siguientes ya han ido incorporando de alguna manera, en sus versiones ms modernas, el fenmeno de la no linealidad que desde posiciones marxistas-leninistas hemos presentado aqu.

Notas y referencias bibliogrficas. 1. Tomado, con pequeas modificaciones, de Woods, Alan y Grant, Ted (2005):

Razn y revolucin. Filosofa marxista y ciencia moderna, Editorial de Ciencias Sociales, La Habana, pg. 395 y 396).

2. Morin, E. (1996): Por una reforma del pensamiento. En la revista El Correo de la UNESCO, febrero, Pars, pg. 13-14.

3. Maldonado, C. (1999): Citado por Carlos Delgado en La filosofa del marxismo ante la revolucin del saber contemporneo, pg. 5, ponencia indita presentada en la Universidad de La Habana.

4. Sotolongo, P. (2003): Juventud Rebelde, Suplemento En Red, 21 de diciembre. 5. Quintela, S. (2004): Enfoque de la complejidad y educacin liberadora. En la revista

Educacin, No. 111, enero-abril, La Habana, pg. 34. 6. Ekeland, I. (1996): La imposible certidumbre. En la revista El Correo de la

UNESCO, febrero, Pars, pg. 20-22. 7. Ibdem, pg. 21.

ESQ 4: EL CASO DE LA NO LINEALIDAD ENUNA VIGA DE MADERA

(variacin en el estado final de la viga)

DEFORMACIN ()de una viga de madera simplemente apoyada, de longitud l, sometida a

una carga uniformemente distribuida q y seccin b x h.

=5ql4/384EIdiseo=2.623951x10-9ql4 cm. real=3.599302x10-9ql4 cm.

real es un 37% mayor que lo admisible.

l

q

10

8. Delgado, C. (2001): La filosofa del marxismo ante la revolucin del saber contemporneo, pg. 7, ponencia indita presentada en la Universidad de La Habana.

9. Quintela, S. (2004): Obra citada, pg. 34. 10. Delgado, C. (2001): Obra citada, pg. 7. 11. Ibdem, pg. 3. 12. Fontenla, J. (2008): La evolucin en la era de la complejidad. Charles Darwin siglo y

medio despus. Editorial Cientfico-Tcnica, pg. 80-81. La Habana. 13. Ibdem, pg. 83-84. 14. Castro, F. (2005): Granma, 25 de marzo. 15. Tomado de Internet: Silbia Lpez de Lacalle. Instituto de Astrofsica de Canarias.

Teora del caos: hacia el conocimiento de la realidad. 16. Woods, Alan y Grant, Ted (2005): Razn y revolucin. Filosofa marxista y ciencia

moderna, Editorial de Ciencias Sociales, La Habana, pg. 395. 17. Ibdem, pg. 14. 18. Ibdem, pg. 18.

Otras fuentes consultadas. Abru, Luis F. e Infante, Claudia (2006): La educacin mdica frente a los retos de la

sociedad del conocimiento, Universidad 2006, Curso No. 9 Innovando el posgrado: de la visin escolstica hacia la sociedad del conocimiento, La Habana.

Agudelo, G. y Alcal, J. G. (2002): La complejidad. Tomado de Internet. Redondo, L. (sin fecha): Alcance de la teora de la complejidad. La Habana, versin

digital. Sotolongo, Pedro L. y Delgado, Carlos J. (2006): La revolucin contempornea del

saber y la complejidad social, CLACSO, Buenos Aires. Woods, Alan y Grant, Ted (sin fecha): Teora del caos y marxismo. Tomado de

Internet.

11

ANEXO

ESQUEMA 5: OBTENCIN DEL FRACTAL COPO DE NIEVE Fractal, en matemticas, figura geomtrica con una estructura compleja y pormenorizada a cualquier escala. Normalmente los fractales son autosemejantes, es decir, tienen la propiedad de que una pequea seccin de un fractal puede ser vista como una rplica a menor escala de todo el fractal. Un ejemplo de fractal es el copo de nieve. El copo de nieve de Koch se obtiene al aadir repetidamente tringulos a un simple tringulo equiltero. Las nuevas adiciones se hacen dividiendo los lados en tres partes iguales y colocando un nuevo tringulo en el tercio central. De esta manera, cada nueva figura es ms compleja, pero todos los tringulos que la forman son exactamente iguales al original. Esta igualdad entre la figura original y cualquiera de sus ms minsculos detalles es caracterstica de los fractales. Fuentes: Microsoft Encarta 2009 y Enciclopedia Britnica 2009.

12

A continuacin una vista del fractal de Mandelbrot. En este fractal tambin se aprecia una igualdad entre la figura original y cualquiera de sus ms minsculos detalles. Fuente: Enciclopedia Britnica 2009.

ESQUEMA 6: FRACTAL DE BENOIT MANDELBROT