Tema 4.a POTENCIA .

1. POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA.

2. EJE RADICAL.

2.1. TRAZADO DEL EJE RADICAL.

2.1.1. DADAS DOS CIRCUNFERENCIAS.

2.1.2. DE UNA CIRTCUNFERENCIA Y UN PUNTO.

2.1.3. DE DOS PUNTOS.

2.1.4. DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA.

3. CIRCUNFERENCIAS COAXIALES.

4. CENTRO RADICAL.

Tema 4.a POTENCIA .

1. POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA. http://www.youtube.com/watch?v=XUg5bBqT4-E

Una circunferencia y un punto cualquiera siempre están relacionados entre sí. Matemáticamente lo

representamos por un valor constante. Esta relación es muy importante para resolver problemas de

tangencias.

Desde el punto (P) podemos trazar un par de rectas cualquiera secantes o tangentes a la circunferencia y

que la cortará en dos puntos (A y A’) y la otra recta en otros dos (B y B’), de tal manera que siempre

ocurre: PA/PB =PB´/PA´, o bien PA · PA´= PB · PB´= k

k es la constante, o el valor de la potencia del punto con respecto a la circunferencia.

Dada la condición de constante, cuando uno de los segmentos (PA) aumenta el otro (PB) disminuye.

Dentro del haz de rectas que pasan por P también están las dos tangentes como casaos particulares de lo

visto anteriormente, sus puntos comunes con la circunferencia son coincidentes.

PT1 · PT2 = k.

PT1 = PT2 =

Del análisis de todo lo anterior resulta: PT1 · PT2 = PA · PA´ = PT2 = k.

La potencia k de un punto P exterior a una circunferencia respecto de ésta es un valor positivo igual al

producto de los segmentos que se determinan en una secante trazada desde P o al cuadrado del

segmento tomado sobre una de las tangentes trazadas desde P cuyos extremos son P y el punto de

tangencia.

Si el punto P es interior a la circunferencia y repetimos el análisis anterior, resulta la misma deducción,

pero siendo la constante negativa. PA · PA´ = PB · PB´ = -k.

En este caso no se puede hallar , por tratarse de un número complejo, como tampoco se pueden

trazar tangentes a la circunferencia desde el punto interior.

Por último, cuando el punto pertenece a la circunferencia de centro O, el valor de la potencia del punto

respecto a la circunferencia es cero, ya que uno de los segmentos es nulo.

También se puede considerar un caso límite cuando la circunferencia tiene radio cero, es decir, es un

punto. En este caso, la potencia entre los dos puntos es el cuadrado de la distancia entre ambos.

2. EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS.

El eje radical es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de

dos circunferencias. Es siempre una recta perpendicular a la recta que une los centros de las dos

circunferencias. http://dibutic.blogspot.com/2009/10/geometria-plana-tangencias-ii-eje.html

2.1. TRAZADO DEL EJE RADICAL.

2.1.1. DADAS DOS CIRCUNFERENCIAS.

2.1.1.1. LAS DOS CIRCUNFERENCIAS SON SECANTES ENTRE SÍ. Si las dos circunferencias son

secantes, el eje radical es la recta que pasa por los puntos de intersección entre

ambas. http://www.youtube.com/watch?v=hp6DRs_9EYU

2.1.1.2. LAS DOS CIRCUNFERENCIAS SON TANGENTES ENTRE SÍ. Si las dos circunferencias son

tangentes, el eje radical es la recta tangente común a ambas.

2.1.1.2.1. TANGENTES INTERIORES http://www.youtube.com/watch?v=ODIaoegaFYs

2.1.1.2.2. TANGENTES EXTERIORES http://www.youtube.com/watch?v=Lx2uG3Uvuvo

2.1.1.3. LAS DOS CIRCUNFERENCIAS SON EXTERIORES. Se trata de conocer un punto que tenga

la misma potencia respecto de las dos circunferencias, para poder trazar por el eje

radical (perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias.) http://www.youtube.com/watch?v=YTy8iBQ3iOw

2.1.1.4. UNA CIRCUNFERENCIA ES INTERIOR A LA OTRA. Se sigue el primero de los

procedimientos vistos en el apartado anterior, es decir, se utiliza una circunferencia

auxiliar que corte a las dos circunferencias dadas para poder trazar sus dos ejes

radicales y hallar el punto común, que también lo será del eje que buscamos. http://www.youtube.com/watch?v=CzqFVRRz2DU

2.1.2. TRAZAR EL EJE RADICAL DE UNA CIRTCUNFERENCIA Y UN PUNTO. Como ya hemos visto,

podemos considerar que un punto es una circunferencia de radio cero. Esto nos llevaría a los

casos vistos anteriormente de circunferencias exteriores o interiores.

2.1.2.1. MÉTODO 1: http://www.youtube.com/watch?v=W4FpPx4DrEc

2.1.2.2. MÉTODO 2: http://www.youtube.com/watch?v=YOnI0KPUTzU

2.1.3. TRAZAR EL EJE RADICAL DE DOS PUNTOS. Cuando el radio de las dos circunferencias es cero,

nos quedan dos puntos, y el segmento entre ellos es también el correspondido entre los

puntos de tangencia. Por tanto, el eje radical es la mediatriz del segmento entre esos dos

puntos.

2.1.4. TRAZAR EL EJE RADICAL DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA. Este es otro caso límite,

porque podemos considerar que una recta es una circunferencia de radio infinito. Su trazado

es inmediato: siempre coincide con la recta.

3. CIRCUNFERENCIAS COAXIALES.

Hasta ahora hemos hablado del eje radical entre dos circunferencias, pero pueden ser más de dos

las que compartan un mismo eje radical. Al conjunto de infinitas circunferencias que tienen el

mismo eje radical se les denomina circunferencias coaxiales y se dice que forman un haz: el haz

de circunferencias coaxiales.

Los centros de todas esas circunferencias del mismo haz forman una recta perpendicular a su eje

radical.

Cualquier punto del eje radical equidistará de todos los puntos de tangencias de las rectas que

pasando por dicho punto, sean tangentes a las circunferencias del haz.

http://www.youtube.com/watch?v=CzqFVRRz2DU

4. CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS.

Siempre que tengamos tres circunferencias de centros no alineados, habrá un punto con igual

potencia con respecto a las tres. Este punto se denomina Centro Radical. El centro radical de

varias circunferencias es el punto que tiene la misma potencia respecto a todas ellas.

Según esta definición, el centro radical tendrá que estar en los ejes radicales tomando las

circunferencias de dos en dos.

http://www.youtube.com/watch?v=EswGytndr9Q

4.1. CENTRO RADICAL DE UNA CIRCUNFERENCIA Y DOS PUNTOS o de TRES PUNTOS.

Podemos considerar que un punto es un caso extremo de circunferencia, la que tiene radio cero. Por

eso se puede trabajar con lo visto anteriormente. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=4441#p4441

Las potencias resultan necesarias para resolver ciertos problemas de tangencias, como comprobaremos en

temas posteriores.