Tema 4.b SECCIÓN ÁUREA .

1. SECCIÓN ÁUREA.

2. OBTENCIÓN GRÁFICA.

2.1. OBTENER EL SEGMENTO ÁUREO A PARTIR DE OTRO SEGMENTO DADO.

2.2. OBTENER UN SEGMENTO CONOCIENDO SU ÁUREO.

3. RECTÁNGULO ÁUREO.

4. TRIÁNGULO ÁUREO.

5. ESPIRAL ÁUREA.

Tema 4.b SECCIÓN ÁUREA .

http://www.youtube.com/watch?v=fGAkCg6bLqE&feature=related(a partir del minuto 4). 2ª parte:

http://www.youtube.com/watch?v=vv1wUqOzZEE&feature=related

1. SECCIÓN ÁUREA. Poco probable en el examen

http://www.youtube.com/watch?v=xkRisloEgYk

Siempre podremos dividir un segmento m en otros dos (x y lo que queda m-x), de modo

que se cumpla la siguiente condición:

=

Cuando esto ocurre decimos que el segmento x es la sección áurea del m, o que lo

divide en razón media y extrema. Y pasa cuando la relación entre m y x es m = 1,618 x.

En el renacimiento se denominaba Divina Proporción, por considerarla la más armónica

de todas las proporciones.

El número 1,618 se llama número áureo o número de oro. ɸ = (1 + )/2 = 1,618

De aquí se deduce: x2 = m (m-x) = m2 – mx

m2 = x2 + mx = x (x + m)

Lo que significa que, si al segmento m se le suma su áureo x, el segmento que resulta,

x+m, tiene como sección áurea el segmento inicial m, y así consecutivamente,

formando una sucesión progresiva. Es decir, la parte menor es a la mayor como la

mayor a la suma de ambas.

La parte menor que resulta al dividir un segmento en media y extrema razón es sección

áurea de la parte mayor.

Y vistas las anteriores propiedades se llega a la conclusión de que existe una serie de

segmentos en la que cada uno es la suma de los dos anteriores y es, a su vez, la sección

áurea del siguiente, formando una sucesión progresiva. m-x, x, m, m+x, 2m+x…. Por

ejemplo, el segmento x- (m-x) es la sección áurea de m-x, que a su vez, lo es de x y éste

lo es de m, que a su vez lo es de m+x, etc.

2. OBTENCIÓN GRÁFICA.

2.1. OBTENER EL SEGMENTO AÚREO A PARTIR DE OTRO SEGMENTO DADO.

Acabamos de demostrar que una de las relaciones entre un segmento m y

su áureo x es que el segmento m es, a su vez, áureo de m+x, por lo que se

ha de cumplir: m2= x(x + m).

Esta fórmula coincide con la de la potencia de un punto P respecto a una

circunferencia de centro O y diámetro m, en la que m es igual a , la raíz

cuadrada de la potencia. Por lo que se puede usar esta construcción para

obtener el segmento áureo de otro dado.

http://www.youtube.com/watch?v=YuqtZFcLzjY (1er. Ejercicio: división áurea de un

segmento)

2.2. OBTENER UN SEGMENTO CONOCIENDO SU ÁUREO.

Repitiendo el razonamiento anterior, pero cambiando la posición del

segmento dado, podemos obtener el resultado.

http://www.youtube.com/watch?v=MXCYigcJYcg

http://www.youtube.com/watch?v=YuqtZFcLzjY (2º ejercicio: construcción del

segmento áureo de otro)

¿Recuerdas el método para hacer un pentágono regular a partir de su

lado? Este método es así porque el lado de un pentágono regular es el

segmento áureo de la diagonal. http://www.youtube.com/watch?v=6HyfnJHhyM4

3. RECTÁNGULO ÁUREO.

Es aquel cuyo lado menor es el segmento áureo del mayor.

Por lo visto con los segmentos áureos, este rectángulo tiene como propiedad más

importante la de poder ser dividido ilimitadamente en cuadrados y rectángulos que

también serán áureos, mayores y menores que él. Ya lo has visto en:

http://www.youtube.com/watch?v=fGAkCg6bLqE&feature=related (a partir del minuto 4)

4. TRIÁNGULO ÁUREO.

Es el triángulo isósceles cuya base es el segmento áureo de los otros dos lados. Sus

ángulos miden 36º y 72º.

5. ESPIRAL AÚREA.

A partir de una sucesión de rectángulos áureos convenientemente colocados, se puede

realizar mediante cuartos de circunferencias tangentes entre sí, una construcción

llamada espirar áurea, pudiéndose realizar ilimitadamente. También se puede realizar

una espiral logarítmica a partir del triángulo áureo.

http://www.youtube.com/watch?v=sCeQ_5BPV20&feature=related

En la antigüedad los geómetras consideraron que en la relación áurea existía armonía de

proporciones, por lo que se halla presente con frecuencia en el arte y la arquitectura de la

antigüedad, llegando hasta nuestros días. El formato de tu DNI es un rectángulo áureo.

http://desenderismo.com/bricomates/?page_id=95

http://www.youtube.com/watch?v=-WF6V9RQFz8&feature=related