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Índice ÁLGEBRA - 4 to AÑO DE SECUNDARIA Pág. T E M A 1 Sucesiones y Progresiones ....................................................................... 2 Sucesiones ................................................................................................................................... 2 Progresiones Aritméticas ...................... 5 Progresiones Geométricas.............................................................................................................. 8 T E M A 2 Funciones................................................................................................... 11 Relaciones Binarias ....................................................................................................................... 11 Clases de Relaciones .................................................................................................................... 17 Función ..................................................................................................................................... 25 Dominio y Rango de una Función................................................................................................... 31 Gráfica de Funciones .................................................................................................................... 38 T E M A 3 Logaritmos................................................................................................. 51 T E M A 4 Ecuaciones con Valor Absoluto................................................................. 60 T E M A 5 Ecuaciones de Grado Superior .................................................................. 63 T E M A 6 Inecuaciones de Grado Superior............................................................... 70 Inecuaciones Lineales ................................................................................................................... 70 Inecuaciones Cuadráticas............................................................................................................... 73 Inecuaciones de grado superior...................................................................................................... 75 T E M A 7 Inecuaciones con Valor Absoluto ............................................................. 78 T E M A 8 Sistema de Inecuaciones........................................................................... 81 T E M A 9 Binomio de Newton................................................................................... 84 Factorial de un Número ................................................................................................................ 84 Números Combinatorios ................................................................................................................ 86 Binomio de Newton ...................................................................................................................... 92

4º álgebra

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Page 1: 4º álgebra

Índice

ÁLGEBRA - 4 to AÑO DE SECUNDARIA

Pág.

T E M A 1 Sucesiones y Progresiones ....................................................................... 2

Sucesiones ................................................................................................................................... 2

Progresiones Aritméticas ...................... 5

Progresiones Geométricas.............................................................................................................. 8

T E M A 2 Funciones................................................................................................... 11

Relaciones Binarias ....................................................................................................................... 11

Clases de Relaciones .................................................................................................................... 17

Función ..................................................................................................................................... 25

Dominio y Rango de una Función................................................................................................... 31

Gráfica de Funciones .................................................................................................................... 38

T E M A 3 Logaritmos................................................................................................. 51

T E M A 4 Ecuaciones con Valor Absoluto................................................................. 60

T E M A 5 Ecuaciones de Grado Superior .................................................................. 63

T E M A 6 Inecuaciones de Grado Superior............................................................... 70

Inecuaciones Lineales ................................................................................................................... 70

Inecuaciones Cuadráticas............................................................................................................... 73

Inecuaciones de grado superior...................................................................................................... 75

T E M A 7 Inecuaciones con Valor Absoluto ............................................................. 78

T E M A 8 Sistema de Inecuaciones........................................................................... 81

T E M A 9 Binomio de Newton................................................................................... 84

Factorial de un Número ................................................................................................................ 84

Números Combinatorios ................................................................................................................ 86

Binomio de Newton ...................................................................................................................... 92

Page 2: 4º álgebra

Álgebra I.E.P. Corpus Christi

Tema nº 01: SuceSioneS y progreSioneS

Capacidades:

Resuelve problemas con sucesiones.

Calcula el término “n” ésimo de una progresión geométrica y aritmética.

Calcula la suma de términos de una progresión geométrica y aritmética.

Resuelve problemas, aplicando propiedades de una progresión aritmética y geométrica.

Exploración y Desequilibrio:

En una competencia de tiros al blanco dan las siguientes listas de números:a) 5; 9 ; 11; 15 ............b) 3; 6; 9; 12; .........c) -5; -1; 3; 7 ...............d) a; 3a; 5a; 7a; .........

¿En cuál de ellas, la razón entre cada par de términos es la misma? ¿Qué letra continua? A; D; G; J;..... Calcule es sexto término de la sucesión: 4; 6; 11; 21; 38;………… ¿Qué letra continua? C; O; R; P; U; S; .....Desarrollo del Tema:

1. Sucesión: Se llama sucesión a la secuencia ordenada de términos, regidos por una ley de formación.Ejemplo:

5; 12; 19; 26; 33; . . . . .

2; 6; 18; 54; 162;. . . . . .

4; 9; 16; 25; 36;. . . . . .

A; D; H; M; ………….

2. Sucesión Aritmética Lineal o de 1er Orden:Es cuando la razón es constante en la primera línea, también se le llama progresión aritmética (P.A.)Si: t1; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ;……….tn (razón constante)

Donde:tn : Término enésimot1 : primer término r : razónn : número de término

t0 : término anterior al primero3.- Sucesión Cuadrática o de 2º Orden:

Regla práctica para calcular el término enésimo de una sucesión cuadrática:

t tn = t1 + r(n-1) ó

tn = t0 + r.n

t tn = an2 + bn + c

Page 3: 4º álgebra

Ecuación Segundo Año

Si: t0 ; t1; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ;……….tn

l m n p q r r r r

Donde : a = r/2b = l – ac = t0

Sucesión Geométrica:

Donde:tn : Término enésimot1 : primer término r : razón geométrican : número de término

Sucesión Armónica o Progresión Armónica:

Sucesiones Polinomiales de Orden mayor que dos: Se usará el método más práctico que es el: uso de los números combinatorios

( ) !.!

!

xkkn

nC kn −

=

ºSi: t1; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ;……….tn

a b c d e……. m n p q …… r r r

El enésimo término se calcula así:

prÁcTica DirigiDa

1) ¿Qué término sigue? 4; 5; 10; 19; 32;….a) 49 b) 27 c) 32 d) 35 e) 37

2) Hallar x + y, en la sucesión 8; 7; 10; 9; 12; 11: x; ya) 20 b) 25 c) 22 d) 27 e) 25

3) ¿Qué número continua? 19; 38; 36; 72; 70; 140; xa)280 b)210 c)122 d)138 e)125

4) ¿Qué letra continua? B; K; E; O; H; S; K; ?a) X b) Y c) V d) W e) S

5) 1, 5; 4; 8; 9; 11; x; y . Hallar x+y a)14 b) 16 c) 30 d) 27

6) 1/2; 1/2; 1; 3; 12; 60; ......a) 360 b) 630 c)120 d)180

7) 2, 5; 9; 15; 16; 45; 23; x; y. Hallar x-y a)135 b) 105 c)30 d)72

8) A, D; I; O; . . . . a)Y b) X c) V d) W

9) En la sucesión cuántos términos acaba en 5.

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 3

t 2tn-1 x 2tn+1

t tn = 2tn-1+2tn+1

n-1 n-1 n-1 n-1

tn = t1 C + a.C + m.C + r.C

0 1 2 3

t tn = t1 x qn-1

Page 4: 4º álgebra

Álgebra I.E.P. Corpus Christi

11; 24; 37; 50;……;2598a) 20 b) 42 c) 28 d) 30 e) 25

10)¿Cuál es el término más cercano a 1000 que pertenece a la progresión aritmética? 20; 39; 58; 77;….a)999 b)989 c)908 d)1008 e)1029

11)¿Cuántos términos tiene la siguiente sucesión de primer orden?12n; 17n; 24n; 31n;........ 620n

a) 73 b) 75 c) 77 d) 79 e) 81

12)Si la siguiente sucesión:9/4; 17/9; 27/16; 39/25;......Tiene 20 términos. Determinar la diferencia de los términos de la última fracción.a) 54 b) 70 c) 76 d) 62 e) 64

13)Hallar el término de lugar ba de la siguiente P.A:

a8b; a93; b04; ba5;....a) 302 b)303 c)352 d)402 e)403

14)Dada la sucesión de primer orden: a2 + 1; 7a; 9a - 1;....Hallar el primer término que contenga 3 cifras.a)102 b)105 c)108 d)107 e)109

15)Calcular el último término de la fila 30 del siguiente triángulo numérico:

1 3 5 5 7 9 7 9 11 13 9 11 13 15 17 ............................................. a)140 b)120 c)118 d)117 e)108

16)En el triángulo numérico, hallar la suma del primer y último término de la fila 20.

1 ….. F1

3 5 ….. F2

7 9 11 ….. F3

13 15 17 19 …. F4

21 23 25 27 29...... F5

............................................. a)900 b)450 c)801 d)702 e)800

17)Calcular el término 30 de la sucesión: 2; 3; 6; 11;...................

a)840 b)843 c)942 d)823 e)834

18)Busca información del tema de Sumatorias y relaciona sus fórmulas con las referentes a Progresión Geométrica.

ENCUENTRA EN CADA CASO EL NÚMERO QUE SIGUE:

19)5; 6; 9; 17; 34; ......a) 65 b) 60 c) 75 d) 59

20) 6, 7; 13; 20; 33; 53; . . a)73 b) 86 c) 90 d) 70

21)3; 6; 11; 19; 31; .....a) 47 b) 48 c) 36 d) 52

22)1; 1; 1; 2; 12; .....a) 250 b) 160 c) 288 d)24

23) E; G; K; P;.....a) Y b) V c) X d) W

24) B, F; I; M; O . . . a)R b) S c) T d) V

25) 17; 29; 48; 76; 116; 172; ….a) 249 b) 237 c) 194 d) 227

26)3, 6; 18; 66; . . . . a)192 b) 258 c)266 d)272

27)40, 37; 33; 26; 14; . . . . . a)-19 b) -5 c)-10 d) 0

28)1, 4; 3; -1; 9; -4; 27; . . . .a)5 b) 10 c) -5 d)16

29)-2, -1; 1; 5; 13; . . . . a)50 b) 29 c)25 d) 35

30)D; G; J; M; X; U; R ; ….a) Ñ B) O C) P D) F

31) 5, .?; 32; 68; 140; 284a) 14 b) 10 c) 12 d) 20

32)El número equivocado en: 2; 5, 10; 12; 26; 29; 58; 61; 122; es:a)5 b) 10 c) 12 d) 26

progreSioneS ariTmÉTicaS

Page 5: 4º álgebra

Ecuación Segundo Año

Exploración y Desequilibrio:

En un test de capacidad se dan las siguientes listas de números:a) 3; 7 ; 11; 15; ............b) 3; 6; 9; 12;.........c) 4; 12; 20; 28; 34; 42………d) -5; -1; 3; 7;...............

¿En cuál de ellas, la razón es constante?

¿Cuánto es la suma de los 10 primeros números naturales?

¿Cuánto es la suma de los 100 primeros números naturales? ¿Será fácil calcularlo? Desarrollo del Tema:

Progresión: Es una sucesión de números que se caracteriza por aumentar o disminuir una cantidad en forma constante, llamada razón. Pudiendo ser ésta por diferencia o cociente

Progresión Aritmética: Cuando la razón se obtiene por diferencia

La progresión aritmética es considerada creciente cuando la razón es positiva. Ejemplo: 3; 9 ; 15; 21 ............

La progresión aritmética es considerada decreciente cuando la razón es negativa. Ejemplo: 30; 26; 22; 18 ............

an = a1 + (n-1)r

( )

+=

21

naaS nn

Donde: a1 = Primer término an = Ultimo término n = número de términos Sn = Suma de los “n” primeros términos

prÁcTica DirigiDa

1. Tres términos de una P.A, creciente tienen como suma 42, y como producto 2 688 el mayor es:

a) 4 b) 8 c) 16 d)32

2. ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 11 y 173?

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24

3. En la P.A: X.....-59, -61, Hallar el número de términos, si la suma de todos los términos es nulo.

a) 62 b)63 c) 64 d)F.D.

4. La suma del segundo y quinto término de una P.A. es igual a 14; la suma del

tercero y séptimo término es igual a 8. Hallar al término 100 de la P.A.

a) 185 b) –80 c) –186 d) 2005. En una P.A. cuyo primer término es 16 la

suma del cuarto y noveno término es igual a la semisuma del undécimo y decimoséptimo ¿Cuál es el valor del quinto término?

a) 24 b) 32 c) 40 d) 48

6. En una P.A. creciente de 7 términos la suma del 3ro. 4to. y 5to. término es 54 y el producto de los términos primero y último es 180. Halla la razón de la P.A.

a)2 b)3 c) 4 d)5

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 5

Fórmulas básicas

Page 6: 4º álgebra

Álgebra I.E.P. Corpus Christi

7. La suma de tres términos de una P.A. es 33. El cuadrado del último térmno excede a la suma de los cuadrados de los dos primeros en 11 ¿Cúal de los sgtes no pertenece a P.A?

a) 8 b)11 c) 14 d) 17

8. Interpolemos, usando la fórmula de an en: 5 medios aritméticos entre 8 y 32 10 medios aritméticos entre -15 y

40 6 medios aritméticos entre -7 y -56 7 medios aritméticos entre 5 y 9

9. El duodécimo término de una progresión aritmética es 15 y la diferencia común es -3. Determina el primer término.

10. La diferencia común de una progresión aritmética es 2/5 y el décimo término es 30. Halla el primer término.

11.EL primer término de una progresión aritmética es 6 y el noveno término es -74. Halla la diferencia común.

12.Determina la razón “r” de -4; …, 116; donde 116 es décimo sexto término.

13.El primer término de una progresión aritmética es -42, el enésimo término 6 y la razón es 3. ¿cuál es el número de términos?

14. ¿Qué lugar ocupa el número 109 en la P.A.: -15; -11; -7; .......?a) 32 b) 24 c) 16 d)30

15.El quincuagésimo (50) múltiplo de 3 es:a) 150 b) 144 c) 141 d)153

16.Tres términos de una P.A, creciente tienen como suma 42, y como producto 2 688 el mayor es:a) 4 b) 8 c) 16 d)32

17.Halla la suma de los números impares desde 29 hasta 137.a) 4565 b) 4594 c) 4536 d) 4702

18.Halla el número de términos y la suma de ellos, en una P.A. cuya razón es 3, su primer término es 6 y su último término 123.a) 39 y 2577 b) 40 y 2586c) 39 y 2580 d) 40 y 2577

19.En la P.A: X.....-59, -61, Hallar el número de términos, si la suma de todos los términos es nulo.a) 62 b)63 c) 64 d)F.D.

20. La suma del segundo y quinto término de una P.A. es igual a 14; la suma del tercero y séptimo término es igual a 8. Hallar al término 100 de la P.A.a) 185 b) –80 c) –186 d) 200

21.En una P.A. cuyo primer término es 16 la suma del cuarto y noveno término es igual a la semisuma del undécimo y decimoséptimo ¿Cuál es el quinto término?a) 24 b) 32 c) 40 d) 48

22. ¿Cuántos términos deben tomarse de la P.A.; -9, -6, -3.......; para que la suma sea 66.a) 9 b) 10 c)11 d)12

23.La suma de todos los números naturales múltiplos de 6, menores que 200 es:a)3366 b)3663 c)3636 d)3676

24. ¿Cuántos múltiplos de 13 existen entre 25 y 261?a) 17 b) 18 c) 19 d) 20

25.La suma de los cinco términos de una progresión aritmética es 315, y la diferencia entre el quinto y el primero es 28, ¿cuál es la progresión?

26.Un obrero debe depositar una carretilla de arena, alrededor de cada uno de 30 árboles que están en línea recta, separados 6 metros. Si el montón de arena está a 10m del primer árbol, encontrar la distancia recorrida luego de realizado el trabajo.a) 2910 b)5820 c)11640 d)4045

27.Determinar el término central de una P.A. de 7 términos, Sabiendo que la suma de los términos de lugar impar es 77 y la de los de lugar par es 56.a) 19 b) 14 c) 16 d)24

28.En una P.A. creciente de 7 términos la suma del 3ro. 4to. y 5to. término es 54 y el producto de los términos primero y último es 180. Halla la razón de la P.A. a)2 b)3 c) 4 d)5

Page 7: 4º álgebra

Ecuación Segundo Año

29.Desde los puntos A y B distantes entre sí 510 m, se mueven simultáneamente dos cuerpos, uno al encuentro del otro. El I de ellos recorre en el primer minuto 50 metros y en cada minuto siguiente dos metros más que el precedente. El II cuerpo recorre en el primer minuto 40 metros y en cada minuto siguiente 4 metros más que el precedente. ¿Después de cuántos minutos se encuentran estos dos cuerpos?

a) 5 b)15 c) 34 d)3030.Sabiendo que el término central de una

P.A. de 40 términos es 22,5. Calcular la suma de todos sus términosa) 900 b) 843 c) 964 d)845

31. ¿Cuántos medios aritméticos se deben interpolar entre 4 y 40 para que la suma de la P.A. resultante sea de 220?a)8 b)10 c) 9 d) 5

32.El mayor de tres números que forman

una P.A. es el doble del menor. ¿Cuál es el mayor de estos números, si su producto es 17496.a) 36 b) 27 c) 90 d)59

33.Determinar el décimo quinto término de una P.A.. Si la suma de sus “n” términos está determinado por: Sn = n(n+8).a) 37 b) 43 c) 64 d)45

34.Los tres términos en P.A. que aumentados en 2, 3 y 8 respectivamente son proporcionales a 10, 25 y 50. ¿Cuál no es uno de sus términos?a) 2 b) 7 c) 12 d)15

35.Si se sabe que a, a2 y 3a son los tres términos de una P.A. entonces la suma de los diez primeros términos es:a) 110 b) 84 c) 116 d)124

36.La suma de cuatro números racionales en P.A. es 20 y la suma de sus inversos es 25/4. ¿Cuál de los siguientes no lo es?a)4 b) 6 c) 8 d) 10

37.La suma de tres números en P.A. es 22,5. Si al centro se le resta 1,5 se transforma en una P.G.. Uno de los números que no pertenece es:a) 7,5 b) 3 c) 12 d)5

38.Busca información del tema de Sumatorias y relaciona sus fórmulas con las referentes a Progresión Aritmética

39.En una P.A, se cumple: a1 + a5 = 14 , a3 + a6 = 20

Calcular a4:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

40. Si: a, 2a, a2 son los 3 primeros términos de una P.A. Calcular la suma de los 10 primeros:

a) 160 b) 165 c) 166

d) 144 e) 150

41. El primer término de una P.A. es 5. El último es 45; y la suma de todos los términos es 400. Calcular el # de términos. a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

42.En una P.A. de 25 términos, el décimo tercero es igual a 30. La suma de todos los términos de la P.A es:

a) 1250 b) 1000 c) 875

d) 750 e) 700

43.Hallar la razón de una P.A. de 3 términos, tales que al adicionar 3; 10 y 2 respectivamente se obtenga números proporcionales a 2, 4 y 3. a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

44. Considere una P.A. cuyo sexto término es 3/5 del tercer término, que es positivo, si el producto de los mismos es 15. Determinar el número de términos que se debe tomar de esta P.A. para

que sumen 303

1.

45. Los lados de un triángulo rectángulo forman una progresión aritmética. Hallar la suma de las tangentes de sus dos ángulos agudos.

46. Se va a pagar una deuda de 150 soles en letras que forman una progresión aritmética. El primer pago que se realizará será de 30 soles y cada pago posterior será dos soles menos que el pago anterior. ¿En cuántas letras se terminará de pagar?

a) 6 b) 7 c) 4d) 25 e) 19

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 7

Page 8: 4º álgebra

Álgebra I.E.P. Corpus Christi

progreSioneS geomÉTricaS

Exploración y Desequilibrio:

En las siguientes listas de números: ¿En cuál de ellas, la razón es constante?

a) 1; 8; 27; 64;...............b) 3; 6; 12; 24;.........c) 2; 6; 24; 120;.........d) 1; 1 ; 1; 1;............ 3 9 27

Calcular la suma de las áreas de todos los cuadrados que se pueden inscribir sucesivamente a partir de un cuadrado de 1m de lado.

Una hoja de papel se parte por la mitad; después se superponen las dos mitades y se vuelven a partir por la mitad, y así sucesivamente. Después de 8 cortes. ¿Cuántos trocitos de papel habrá?

Desarrollo del Tema:

Progresión Geométrica: Cuando la razón se obtiene por cociente.

an = a1.r n-1 ( )( )1

1.1 −

−=r

raS

n

n

( )nnn aaP .1= ( )ra

S−

=∞ 11

Donde: a1 = Primer término an = Ultimo término n = número de términos Sn = Suma de los “n” primeros términos Pn = Producto de los n primeros términos S∝ = Suma de los infinitos términos

RECUERDA:Las progresiones geométricas pueden ser CRECIENTES y DECRECIENTES.Una progresión geométrica es creciente si su primer término es positivo y la razón es positiva y mayor que 1, y es decreciente si su primer término es positivo y la razón es positiva y menor que 1.

Si la razón es negativa, los términos de la progresión resultan alternadamente positivo y negativo; y por lo tanto, uno mayor, uno menor, uno mayor, etc.

Ejemplos:1) 4; 8; 16; 32; 64; 128; …. es una progresión geométrica creciente; Porque su primer

término es positivo y la razón es 2, positiva y mayor que 1.2) 81; 27; 9; 3; 1;, …… es una progresión geométrica decreciente; porque su primer

término es positivo y la razón es 3

1, positiva y menor que 1.

3) La progresión geométrica: -1; 5; -25; 125; …. no es creciente ni decreciente, pues la razón es negativa que es -5.

Page 9: 4º álgebra

Ecuación Segundo Año

prÁcTica DirigiDa

1. Interpolemos, usando la fórmula de an en: 5 medios geométricos entre 3 y

192 4 medios geométricos entre 5 y

-1215 5 medios geométricos entre 36 y

9/16 4 medios geométricos entre ½

y-1/2048 Dos medios geométricos entre 5 y

625

2. El sexto término de una P.G. es 1024 y la razón es 4. Entonces el tercer término es:

a) 16 b) 4 c) 16 d)64

3. Si el producto de tres números que están en P.G. es 1000 y la razón es 3. ¿Cúal de los sgtes no pertenece a P.G.?

a)10/3 b)10 c) 30 d) 3 4. La suma de los 3 términos de una P.G. es

10,5. Si el término medio es tres, hallar la razón:

a) 3,8 b)3,5 c) 1,5 d) 2

5. Calcula el primer término de una P.G. en el que el tercer término es 3 y el séptimo es 3/16

a) 12 b) 8 c) 1/3 d) 1/9

6. Encontrar el primer término de una P.G. en la cual el 3ro y 6to término son 1/18 y 1/486 respectivamente.

a) 2 b) 3 c) 1/3 d) 1/2

7. Los 4 medios geométricos interpolados entre 160 y 5 de una P.G. es:

A) 5, 10, 20, 40 B) 10, 30, 60, 90 C) 80, 40, 20, 10 D) 120, 90, 60, 30

8. Hallar el número de términos de una PG. cuyo primer término es 3, si la suma de ellos es 1092 y la razón es 3.

a)6 b) 8 c) 4 d) 5

9. Una P.G. tiene 4 términos, encuentre el último término si se sabe que la razón común es igual a 1/3 del primer término

y que la suma de los dos primeros es igual a 60.

a)60 b) 764 c) 5/3 d) 768

10. Si la suma de los 6 primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros términos, entonces la razón es:

a) 2 b) 3 c) 4 d)8

11. La diferencia del tercer término menos el sexto de una P.G. es 26 y el cociente es 27. Calcular el primer término

a) 243 b) 234 c)5/9 d)1/9

12. En una P.G. creciente de tres términos se multiplica el primer término por 4, al segundo por 7 y al tercero por 6, obteniéndose una P.A.. Hallar la razón de la P.G.

a) 2 b) 3 c) 4 d)5

13. La suma de los 3 términos de una P.G. es 10,5. Si el término medio es tres, hallar la razón:a)3,8 b)3,5 c) 1,5 d) 2

14.Calcula el primer término de una P.G.

en el que el tercer término es 3 y el séptimo es 3/16a) 12 b) 8 c) 1/3 d) 1/9

15.Encontrar el primer término de una P.G. en la cual el 3ro y 6to término son 1/18 y 1/486 respectivamente.

a) 2 b) 3 c) 1/3 d) 1/2

16.Hallar el número de términos de una PG. cuyo primer término es 3, sabiendo que la suma de ellos es 1092 y la razón es 3.a)6 b) 8 c) 4 d) 5

17. Los 4 medios geométricos interpolados entre 160 y 5 de una P.G. es:A) 5, 10, 20, 40 B) 10, 30, 60, 90 C) 80, 40, 20, 10 D) 120, 90, 60, 30

18. La diferencia del tercer término menos el sexto de una P.G. es 26 y el cociente es 27. Calcular el primer términoa) 243 b) 234 c)5/9 d)1/9

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 9

Page 10: 4º álgebra

Álgebra I.E.P. Corpus Christi

19.La cantidad que hay que sumar a 5, 13 y 29, para que formen una P.G. es:a) 2 b) 3 c) 4 d)5

20. ¿Cuántos antecesores (padre, abuelos, bisabuelos,. . .) tiene una persona después de 6 generaciones?

a)64 b)126 c) 128 )256

21.Tres madres impacientes esperan consulta con niños de 1, 37, 289 días. El pediatra para entretenerlas, les pide que averigüen dentro de cuántos días las edades de sus niños estarán en PG.a) 5 b) 3 c) 4 d)6

22. ¿Cuántos antecesores (padre, abuelos, bisabuelos,...) tiene una persona después de 10 generaciones?a) 1024 b) 2048 c) 2046 d) 1349

23.Alrededor de un punto se ha construido infinitos ángulos, cuyas medidas esta en progresión geométrica de razón ½. La medida del primer ángulo es:a) 90º b) 150º c)120º d) 180º

24.Se deja caer una pelota desde una altura de 90m, si en cada rebote la pelota se leva 1/3 de la altura de lo cuál cayó la última vez. ¿Qué distancia recorre la pelota hasta quedar en reposo?a) 180 b)135 c) 90 d)225

25. Los 4 medios geométricos interpolados entre 1215 y 5 de una PG. es:B) 500, 100, 20,10 b) 10, 50, 150, 750 C) 405, 135, 45, 15 d) 625, 250, 125, 25

26.En una PG. creciente de tres términos se multiplica el primer término por 4, al segundo por 7 y al tercero por 6, obteniéndose una PA. Hallar la razón de la PG.a) 2 b) 3 c) 4 d)5

27.Si el producto de tres números que están en P.G. es 1000 y la razón es 3. ¿Cúal de los sgtes no pertenece a P.G.?a)10/3 b)10 c) 30 d) 3

28.Determinar el término central de una PG. de 5 términos, Sabiendo que el producto de todos ellos es 1024a) 3 b) 4 c) 5 d)6

29. La suma de tres números en PA. es 22,5. Si al centro se le resta 1,5 se

transforma en una PG.. Uno de los números que no pertenece es:a) 7,5 b) 3 c) 12 d)5

30.Una PG. admite 4 términos, siendo la suma de sus extremos 27 y los centrales 18. ¿Cual de los términos no lo es? a) 24 b) 3 c) 12 d) 5

31.Hallar el mayor de tres números positivos de una PG., sabiendo que la suma es 26 y la suma de sus inversas es 13/18.a) 18 b) 3 c) 6 d) 15

32.Las edades de 4 personas están en P.G. El producto de todas ellas es 3779136 y el más joven de ellos tiene 24 años.

33.Calcular la suma de las áreas de todos los cuadrados que se pueden inscribir sucesivamente a partir de un cuadrado de 4m de ladoa) 32m2 b)16m2 c)64m2 d) 48m2

34. Sea una P.G. se tiene: que la razón

entre: 7

31

3

5 =S

S. Hallar el término 8.

35. Si se aumenta una misma cantidad a los números 20, 50 y 100, se forma una P.G. cuya razón es:

a) 1/2 b) 1/3 c) 2

d) 4/3 e) 5/3

36. ¿Cuál es la razón de una PG. de 12 términos, siendo el primero 1 y el último 2048? a) 1 b) 2 c) 4

d) 8 e) 16

37. La suma de los 6 primeros términos de una P.G. es igual a nueve veces a suma de los 3 primeros términos entonces la razón de la PG. es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 e) 8

38. Si le sumamos 3 números consecutivos a 3, 7 y 16 respectivamente, obtenemos una P.G. calcular la razón de la P.G.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

39. Sumar: ...48

1

12

1

3

1 +++

a) 1 b) 2 c) 1/2

d) 1/4 e) 4/9

Page 11: 4º álgebra

Ecuación Segundo Año

40. La suma de tres números en progresión geométrica creciente es 70; si los extremos se multiplican por 4 y el intermedio por 5, los productos están en progresión aritmética.

Hallar el segundo término de la progresión geométrica dada.

a) 15 b) 10 c) 30d) 20 e) 18

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 11

Page 12: 4º álgebra

T ema nº 02 : funcioneS

Capacidades:

Define y grafica funciones.

Resuelve problemas con funciones.

Desarrollo del Tema:

PAR ORDENADOEs un conjunto que consta de 2 elementos dispuestos en un determinado orden.

( A ; B )P r i m e r ac o m p o n e n t e

S e g u n d ac o m p o n e n t e

Propiedades:1. (A;B) ≠ (B;A)2. Si: (A;B) = (C;D) → A = C ∧ B = D

• Ejemplo:Hallar (x + y), si se sabe que:

(4x - 1;13) = (7; 2y - 1)

Resolución: Igualando las componentes:* 4x - 1 = 7 → x = 2* 2y - 1 = 13 → y = 7

∴ x + y = 9

PRODUCTO CARTESIANODados 2 conjuntos "A" y "B" no vacíos; se llama "producto cartesiano de A y B" (A × B) al conjunto de pares ordenados obtenido mediante:

A × B = { ( a ; b ) / a A b B }∈ ∧ ∈

• Ejemplo: Siendo: A = {3; 4; 5}

B = {1; 2}

A × B = { ( 3 ; 1 ) , ( 3 ; 2 ) , ( 4 ; 1 ) , ( 4 ; 2 ) , ( 5 ; 1 ) , ( 5 ; 2 ) }B × A = { ( 1 ; 3 ) , ( 1 ; 4 ) , ( 1 ; 5 ) , ( 2 ; 3 ) , ( 2 ; 4 ) , ( 2 ; 5 ) }

Propiedades:1. A × B ≠ B × A (observar ejemplo anterior)2. Siendo n(A) = número de elementos del conjunto A,

→ n(A × B) = n(A) . n(B)

RELACIÓN BINARIADados 2 conjuntos "A" y "B" no vacíos; se define "relación binaria de A en B":

R: A → Bal subconjunto de A × B obtenido mediante:

R = { ( a ; b ) A × B / a A b B a R b }∈ ∈ ∈ ∧∧

a R b Indica que entre a ∈ A y b ∈ B se cumple alguna condición establecida.

• Ejemplo: Dado A = {1, 2, 3, 4} y B = {5, 6}Construir una relación de A en B, definida por:

R = {(a;b) ∈ A × B/a + b < 9}

Resolución:* Obteniendo A × B:A × B = {(1;5),(1;6),(2;5),(2;6),(3;5),(3;6),(4;5),(4;6)}

* Analizando cada par ordenado:(1;5) → 1 + 5 = 6 < 9 (cumple)(1;6) → 1 + 6 = 7 < 9 (cumple)(2;5) → 2 + 5 = 7 < 9 (cumple)(2;6) → 2 + 6 = 8 < 9 (cumple)(3;5) → 3 + 5 = 8 < 9 (cumple)(3;6) → 3 + 6 = 9 = 9 (no cumple)(4;5) → 4 + 5 = 9 = 9 (no cumple)(4;6) → 4 + 6 = 10 > 9 (no cumple)∴ R = {(1;5),(1;6),(2;5),(2;6),(3;5)}

Del ejemplo anterior podemos establecer:1. Como R es una relación de A en B, entonces:

* A: conjunto de partida de la relación.* B: conjunto de llegada de la relación.

2. Dominio de R: Dom(R) = {1; 2; 3}(Conjunto de las primeras componentes)

3. Rango de R: Ran(R) = {5;6}(Conjunto de las segundas

componentes)

Page 13: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

Ejemplos:

1. En la siguiente igualdad de pares ordenados:(2a +3b;-1) = (4;3a + b)

Calcular el valor de "a + b"Resolución:Por igualdad de pares ordenados se debe cumplir:

−=+=+

)2....(..........1ba3)1....(..........4b3a2

Resolviendo:6 a + 9 b = 1 2- 6 a - 2 b = 2

( 1 ) × 3 :( 2 ) x - 2 :

7 b = 1 4

b = 2

E n ( 1 ) : a = - 1piden : a + b = 1

2. Sea A = {1; 2; 3} y dadas las relaciones: R1 y

R2 en "A" definida por:

R1 = {(x;y) ∈ A × A/x < y}

R2 = {(x;y) ∈ A × A/x + y = 5}

Calcule el número de elementos de R1 ∪ R

2Resolución:Para determinar: R1 y R2 debemos construir el

producto cartesiano así:A × A ={(1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2;2),(2;3),(3;1), (3;2),

(3;3)}Luego:* Los elementos de R

1 son todos aquellas

(x;y) donde x < y: R1 = {(1;2),(1;3),(2;3)}

* Los elementos de R2 son todos aquellos

(x;y) donde x + y = 5: R2 = {(2;3),(3;2)}

Finalmente, el conjunto R1 ∪ R2, viene a ser:

R1 ∪ R2 = {(1;2),(1;3),(2;3),(2;3),(3;2)} ó

R1 ∪ R2 = {(1;2),(1;3),(2;3),(3;2)}

∴ n(R1 ∪ R2) = 4

3. En cada caso, se dan 2 conjuntos "A" y "B", calcular:"A × B" y graficarlos sobre el plano cartesiano.

a. A = {x ∈ IN / |x - 3| < 2}

B = {x ∈ IN / 2

32x

1 ≤+< }

Resolución: Obteniendo cada conjunto.A = {2; 3; 4}B = {2; 3; 4}

Luego:A × B ={(2;2),(2;3);(2;4),(3;2),(3;3),(3;4),(4;2), (4;3),(4;4)}Graficando:

4

3

2

1

0 1 2 3 4

B

A

A × B

b. A = {x ∈ IN /3 < x + 2 ≤ 5}B = {x ∈ IR / |x - 4| ≤ 1}

Resolución: Obteniendo cada conjunto.A = {2; 3}B = [3; 5]

El conjunto "A" posee sólo 2 elementos; en cambio el conjunto "B" está dado por un intervalo.

Graficando:

5

3

0 1 2 3 4

B

A5

E l e m e n t o sd e " B "

E l e m e n t o sd e " A "

c. A = {x ∈ IR/3 < x ≤ 6}B = {x ∈ IR/1 ≤ x < 5}

Resolución: Los dos conjuntos están dados por intervalos.Graficando en el plano cartesiano.

Page 14: 4º álgebra

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4

B

A

5

E l e m e n t o sd e " B "

E l e m e n t o s d e " A "

6

El rectángulo sombreado contiene todos los pares ordenados (x;y) ∈ A × B. Las líneas punteadas del rectángulo indican que en dicha parte de la gráfica el intervalo es abierto (A: <3;6]; B: [1;5>)En el caso que la línea sea contínua, el extremo del intervalo correspondiente es cerrado.

4. Sea: M = {1; 2; 3; 4} un conjunto sobre el cual se define la relación:

R = {(x,y)/2x - y = 3}Si "a" representa la suma de todos los elementos del dominio de R y "b" a la suma de todos los elementos del rango de R, calcular (a - b)

Resolución:* Construyendo la relación: 2x - y = 3

si: x = 1 → reemp.: 2(1) - y = 3→ y = -1 ∉ M

x = 2 → reemp.: 2(2) - y = 3→ y = 1 ∈ M

Luego (2;1) ∈ R

x = 3 → reemp.: 2(3) - y = 3→ y = 3 ∈ M

Luego (3;3) ∈ R

x = 4 → reemp.: 2(4) - y = 3y = 5 ∉ M

Se concluye que: R = {(2;1); (3;3)}Dom(R) = {2;3} → a = 2 + 3 = 5Ran(r) = {1;3} → b = 1 + 3 = 4

∴ a - b = 1

problemaS para la claSe

Bloque I

1. A partir de la igualdad:(a + b; 3a - 5) = (5; 4)Hallar "2b - a"a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Dada la operación:(3x - 1;4) + (2x + 1;y + 2) = (y + 1;10)Hallar "x + y"a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

3. Teniendo lo siguiente:(x + 1;y) + (3x - 1; 6) = (12;x + 7)Calcular "x + y"a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

4. A partir de los conjuntos:A = {1; 2; 5; 6}B = {3; 5; 7}Construir la relación "R" definida por:R = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 8}

5. Dado el conjunto: A = {2; 3; 4}, se define una relación "R", mediante:

R = {(x;y) ∈ A2/x + y = 3º}

Calcular: n(R)a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Dados los conjuntos:A = {x ∈ IN/2 < x - 1 < 7}B = {x ∈ IN/|x - 5| = 2}

Calcular: n(A × B)a) 7 b) 4 c) 8d) 6 e) 5

7. Si: A = {1; 2; 3} ∧ B = {2; 4; 6}Expresar por extensión la relación R; de "A" en "B" definida así: R = {(x;y) ∈ A × B/y = 2x}a) R = {(1;2),(2;4)}b) R = {(1;1),(2;4),(3;5)}c) R = {(2;4),(1;6)}d) R = {(1;2),(2;4),(3;6)}e) R = {(1;2),(2;4),(4;8)}

8. Dados los conjuntos:A = {x ∈ IR/3 ≤ x + 1 ≤ 4}B = {x ∈ IR/0 ≤ x - 2 ≤ 2}Hallar "A × B", "B × A" y graficar cada caso:

9. Determinar los pares ordenados (x; y) que

verifican la igualdad: (x2; x + y) = (y; 2)a) {(-2; 1), (4; 1)} b) {(1; -2), (1; 4)}c) {(-3; 1), (4; 2)} d) {(-2; 4), (1; 1)}

Page 15: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

e) {(4; -2), (1; 1)}

10.De la gráfica:

( 8 ; 1 1 )

( a + b ; 5 )( 1 2 ; a + 2 )

y

x

Hallar "ab"a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

Bloque II1. Dados los conjuntos:

A = {x ∈ ZZ /|x - 1| ≤ 1}

B = {x ∈ ZZ /x2 = 5x}

Hallar "A × B", "B × A" y graficar cada caso.

2. Dados los conjuntos:

A = {x ∈ ZZ /|x| < 2}

B = {x ∈ ZZ /-1 < 31x +

< 0}Hallar "A × B" y "B × A", graficar en cada caso:

3. Dados los conjuntos:P = {x ∈ IR /4 ≤ 3x - 2 ≤ 7}Q = {x ∈ IR /0 ≤ x - 2 ≤ 1}Hallar "P × Q" y "Q × P", graficar en cada caso:

4. Dados los conjuntos:A = {x ∈ IN /|x - 6| = 5}

B = {x ∈ IN /1 < 21x −

< 3}Hallar: n(B × A)a) 1 b) 6 c) 4d) 8 e) 5

5. Si: A = {-1; 0; 1} y R = {(x;y) ∈ A2/y2 = x2}Hallar: n(R)a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

6. Dados los conjuntos:

A = {x ∈ ZZ + /|x - 1| < 4}

B = {x ∈ ZZ /2 < 41x3 −

< 5}

Indicar cuál de todos los pares ordenados dados, no pertenecen al conjunto A × B; ni al conjunto B × A.a) (1; 6) b) (5; 4) c) (4; 4)d) (1; 7) e) (2; 5)

7. Sean los conjuntos:A = {x ∈ ZZ /-1 ≤ x < 5}B = {x ∈ ZZ / 2 ≤ x ≤ 4} y las correspondencias:R1 = {(x;y) ∈ A × B/x < y}

R2 = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 3}

Hallar el número de elementos de:Dom (R

1) ∧ Ran (R

2)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

8. Dados: A = {x ∈ IN / x = impar ∧ 3 < x < 11}

B = {x ∈ IN / x3 ≤ 100 ∧ x = 12}

Cuáles de las relaciones:I. R1 = {(9;2),(5;4),(7;3)}

II. R2 = {(3;1),(5;2),(7;3),(9;4)}

III. R3 = {(5;12),(7;4)}

están definidas de "A" en "B"a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y III e) II y III

9. Si: A = {1; 2; 3; 4; 5}Se define la relación:R = {(1;1),(2;2),(3;3),(5;1),(2;4),(5;4),(5;2),

(4;3),(3;5)}Si: M = {x ∈ A/(x;2) ∈ R}

N = {y ∈ A/(3;y) ∈ R}P = {x ∈ A/(x;5) ∈ R}

Entonces (M ∪ N) - P es:a) {2;5} b) {3;5} c) {3}d) {5} e) {1;2;4;5}

10.Dados los conjuntos:A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}B = {1; 3; 5}C = {2; 4; 6}

y las correspondencias:P = {(x;y) ∈ B × A/x + y es par}Q = {(x;y) ∈ C × B/x + y es impar}

Hallar el número de elementos de "P v Q" si existe.a) 15 b) 18 c) 21d) 27 e) 30

Bloque III

1. Dados los conjuntos: F = {x ∈ ZZ /x2 + 5 = 6x}

G = {x ∈ IR / x2 + 8 ≤ 6x}

Page 16: 4º álgebra

entonces: F × G, tiene la forma:

a) b) c)

d) e)

2. Dados los conjuntos:A = {1;5} ∪ {x ∈ IR /2 ≤ x ≤ 4}B = {x ∈ IR / 2 ≤ x ≤ 3}

entonces "A × B", tiene la forma:

a) b) c)

d) e)

3. Si "A" y "B" son los conjuntos definidos por:A = {x ∈ IR / 3 ≤ x ≤ 6}B = {y ∈ IR / -1 ≤ y ≤ 4}

Entonces, el área de la región limitada por el gráfico de A × B, es:

a) 10u2

b) 15 c) 20d) 12 e) 18

4. Dados los pares ordenados: P = (2; 3a - b); Q = (-5; 7); R = (a - 3b; -1)cuya representación en el plano cartesiano genera tres puntos. Los puntos "P" y "Q" están sobre una misma recta horizontal, mientras que "Q" y "R" sobre una misma recta vertical. Luego "a + b" es igual a:a) 3 b) -3 c) 2d) -2 e) 6

5. La gráfica del conjunto: A={1; 2};× ∈<1; 2> es:

a)

2

1

1 2 b)

2

1

1 2

c)

2

1

1 2 d)

2

1

1 2

e)

2

1

1 2

6. Dados los conjuntos:A = {1;4} ∪ {x ∈ IR /2 ≤ x ≤ 3}B = {x ∈ IR / 5 ≤ x ≤ 7}

entonces A × B tiene la forma:

a) b) c) d) e)

7. Si: A = {x ∈ ZZ /4 < x + 4 < 9}

B = {x ∈ IR / x3 - 5x2 - x + 5 = 0}

Definimos: R = {(x;y) ∈ A × B/x < y}Hallar la suma de los elementos que conforman el dominio de la relación "R".a) 6 b) 7 c) 9d) 10 e) 11

8. Sean los conjuntos: A = {x ∈ IR / |x|2 ≤ 1}

B = {x ∈ IR / 6 ≤ 3x ≤ 12}indicar la gráfica aproximada de A × B

a) b) c)

d) e)

9. Dados los conjuntos:

M = {x ∈ IN / (x - 2)(x2 - 3) = (x - 2)2x}

N = {x ∈ IR / x2 ≤ |x| + 2}Indicar lo incorrecto:a) (2; 0) ∈ M × N b) (3; 1) ∈ M × N

c) (0; 3) ∈ N × M d) 5

( ; 0)2 ∈ M × N

e) (3; -2) ∈ M × N

10.En el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5} se define una

relación "R" por: R = {(x;y) ∈ A2 / x2 - 2 ≤ y}Si: m = suma de elementos del dominio de R.

n = suma de elementos del rango de RHallar "m + n"a) 16 b) 18 c) 20d) 22 e) 24

Tarea Domiciliaria

1. Dada la igualdad:(4x - 3; 5x + 2y) = (1;11)

Hallar "x + y"

2. Sabiendo que: (a2;a + 1) = (9;-2)

Hallar "a"

3. Construir la relación "R", donde:R = {(x; y) ∈ A × B/x + y > 6}

sabiendo que:A = {1; 2; 3}B = {2; 4; 5}

e indicar el número de elementos de "R"

4. Si: A = {x/x ∈ IN ∧ 1 < x < 4}B = {x/x ∈ IN ∧ 3 ≤ x ≤ 5}

Indicar un par ordenado de A × B5. Si: P = {y/y ∈ IN ; y = 3x + 1 ∧ 2 < x < 7}

Page 17: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

N = {x/x ∈ ZZ ; x = y -3 ∧ -1 ≤ y ≤ 1}Indicar: n(P × N)

6. Si: A = {1;2}; B = {1;2}Hallar: M = {(x;y) ∈ A × B/y = 2x}

7. Si: A = {x ∈ IN / "x" es impar ∧ 7 ≤ x ≤ 12}B = {x ∈ IN / "x" es par ∧ 5 < x < 11}

determinar: R = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 15}dar como resultado n(R)

8. Si: P = {x ∈ IN /5 < x + 5 < 10}

Q = {x ∈ IR /x2 - 4 = 0}Definimos la relación: R = {(x; y) ∈ P × Q/x > y}Hallar la suma de los elementos que conforman el rango de la relación.

9. Dados los conjuntos:

M = {x ∈ ZZ /x2 + 2 = 38}

N = {x ∈ IR / x2 + 8 ≤ 6x}Entonces, M × N, tiene la forma:

10.Dados los conjuntos:A = {2;4} ∪ {x ∈ IR /3 ≤ x ≤ 7/2 }B = {x ∈ IR /3 ≤ x ≤ 5}

Entonces: A × B; tiene la forma:

11.Si: A = {x ∈ IN / "x" es impar; x ∈ ]1;8[}B = {x ∈ IN / "x" es par; x ∈ [4;10]}

Determinar: V = {(x;y) ∈ A x B/x + y < 12}

12.Del siguiente enunciado:S = {(2; 3), (1; 5), (2; 4),(1; 7)}Determinar el dominio de "S"

13.Si: A = {1;2;3}; B = {2;5}M = {(x;y) ∈ A × B/x + y ≤ 5}

Determinar el n(M)

14.Sea: A = {1;2;3;4;5} y las relaciones en "A"F = {(x;y) ∈ A x A/x < y}G = {(x;y) ∈ A x A/x + y = 5}

¿Cuántos elementos tiene F ∪ G?

15.R es una relación en A = {2; 3; 9} definida

por: R = {(x;y)/y + 1 ≤ x2}; hallar: n(R)

16.Sabiendo que:A = {x ∈ IN/4 < x < 7} ; B = {-1; 0; 1}

Indicar lo correcto:a) (-1; 0) ∈ A × B b) 7 ∈ Ac) (4; 7) ∈ A × B d) (5; 0) ∈ A × B e) 0 ∈ A

17.Realizar la gráfica de la relación:

R3 = {(x;y) ∈ R2/x ∈ [-2;5>; y ∈ [-1;4]}

18.Realizar la gráfica de la relación:

R2 = {(x;y) ∈ R2 / x ∈ [-3;5>; y ∈ [-2;4]}

19.Sean los conjuntos:A = {1;2;3;4;5;6}B = {1;4;9;16;25;36;49}

R = {(x;y) ∈ A x B/y = (2x + 1)2}

Halle su dominio y su rango.

20.Sean las relaciones:

R = {(x;y)/y = x2 - 1, x ∈ {1;2;3;4}}S = {(x;y)/y = 2x + 1, x ∈ {1;2;3;4}}

Halle: n(Dom(R)) + n(Ran(S))

21.Determinar los pares ordenados (x;y) que

verifican la igualdad: (x2; x + y) = (y;2)

22.Si: A = {1;2;3;4;5}R1 ∧ R

2 ⊂ A × A

R1 = {(x;y)/x < y}

R2 = {(x;y)/x + y = 6}; Hallar: Dom(R1 ∩ R2)

23.Dados los conjuntos:P = {x ∈ IN /1 < x < 4}Q = {x ∈ IN /1 ≤ x ≤ 4}

de las afirmaciones:I. (1;1) ∈ P × QII. (2;1) ∈ Q × PIII.(3;3) ∈ P × Q¿Cuáles son verdaderas?

24.Dados los conjuntos:A = {3;5;7}; B = {2;4;6}

se definen las relaciones:R1 = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 9}

R2 = {(x;y) ∈ A × B/y = 4}

Hallar: Dom(R1 - R2)

25.De B = {1;2;3;4} y las relaciones:R1 = {(x;y) ∈ B × B/y = x}

R2 = {(x;y) ∈ B × B/y < x}

R3 = {(x;y) ∈ B x B/x < y}

Hallar: n(R3) + n(R

2) - n(R

1)

26.De A = {x ∈ IN/x ≤ 9} y definimos:

R = {(x,y) ∈ A2/y = x}

T = {(x,y) ∈ A2/x < 4 ∧ y > 7}

Page 18: 4º álgebra

S = {(x,y) ∈ A2 /y = 2x}Hallar: n(R) + n(S) + n(T)

27.Traza la gráfica de la relación:

R2 = {(x;y) ∈ R2/x ∈ <-1;5>; y ∈ <-2;4>}

28.Si los pares ordenados (2n;0), (0;-n) y (n;1) pertenecen a la relación:

R = {(x;y) ∈ Z × Z/y = ax + b}Hallar el valor de "a + b"

29.Graficar: R = {(x;y)/y = 2x + 1, x ∈ A} donde:A = {-1; 0; 2; 3}

30.Traza la gráfica de la siguiente relación: R

1 = {(x;y) ∈ R × R/5x - 3y + 7 = 0; x ∈ <-2;4]}

CLASES DE RELACIONESSabemos que, a partir de un conjunto "A", se puede definir una relación "R" en "A", es decir:

R ∈ A × AExpresar mediante:

R = {(x;y) ∈ A × A/x Ry}

donde "x R y" indica la condición que debe cumplirse para que el par ordenado (x;y) ∈ R.

• Ejemplo:Dado: A = {2;3;4;5;6;7}, el conjunto

R = {(x;y) A × A/x + y = 9}es una relación en A, cuyos elementos son:

(2;7), (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), (7;2)Siendo "R" una relación de "A" en "A" (relación en A), se puede realizar la siguiente clasificación:

A. "R" es reflexiva, si cumple:

∀ ∈ → ∈ x A ( x ; x ) R

es decir, cualquier elemento del conjunto "A", se relaciona consigo mismo mediante la relación "R"Ejemplo: Dado el conjunto: A = {2; 3; 4}se define:

R = {(2;2), (2;3), (2;4), (3;3), (3;4)}si: 2 ∈ A → (2;2) ∈ R (correcto)

3 ∈ A → (3;3) ∈ R (correcto)4 ∈ A → (4;4) ∈ R (correcto)

∴ R es reflexiva.

B. "R" es simétrica, si cumple:

( x ; y ) R ( y ; x ) R∈ → ∈

Ejemplos:

1. Dado el conjunto: A = {4; 7; 9}se define la relación:R = {(4;7), (7;9), (7;4), (9;7), (4;4)}si: (4;7) ∈ R → (7;4) ∈ R (correcto)

(7;9) ∈ R → (9;7) ∈ R (correcto)(4;4) ∈ R → (4;4) ∈ R (correcto)

∴ R es simétrica.

2. La relación:"x es hermano de y"

también es simétrica, puesto que:"Alberto es hermano de José"

entonces:"José es hermano de Alberto"

C. "R" es transitiva, si se cumple:

( x ; y ) R ( y ; z ) R ( x ; z ) R∈ ∧ ∈ → ∈

Ejemplos:1. Dado el conjunto A = {2;4;6}

se define la relación:R = {(2;2),(2;4),(4;4),(6;6),(4;2)}

si: ( 2 ; 2 ) R ( 2 ; 4 ) R ( 2 ; 4 ) R∈ ∧ ∈ → ∈

(correcto)

( 2 ; 4 ) R ( 4 ; 4 ) R ( 2 ; 4 ) R∈ ∧ ∈ → ∈

(Correcto)

( 4 ; 4 ) R ( 4 ; 2 ) R ( 4 ; 2 ) R∈ ∧ ∈ → ∈

(Correcto)

( 2 ; 4 ) R ( 4 ; 2 ) R ( 2 ; 2 ) R∈ ∧ ∈ → ∈

(Correcto)∴ R es transitiva.

2. La relación entre conjuntos:x ⊂ y ("x" está incluido en "y")

es transitiva, puesto que:A B B C A C⊂ ∧ ⊂ → ⊂

En forma gráfica:

AB

C

U

Page 19: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

D. "R" es una relación de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.Ejemplos:1. Con el conjunto A = {1; 3; 5}

analicemos la relación definida en "A"R = {(1;1),(3;3),(5;5),(1;3),(3;1)}

veamos si "R" es reflexivasi: 1 ∈ A →(1;1)∈R

( 1 ; 1 ) R ( 1 ; 3 ) R ( 1 ; 3 ) R∈ ∧ ∈ → ∈(correcto)

3 ∈ A → (3;3) ∈ R( 3 ; 3 ) R ( 3 ; 1 ) R ( 3 ; 1 ) R∈ ∧ ∈ → ∈

(correcto)

5 ∈ A → (5;5) ∈ R( 1 ; 3 ) R ( 3 ; 1 ) R ( 1 ; 1 ) R∈ ∧ ∈ → ∈

(correcto)luego, R es reflexiva.

Veamos si "R" es simétricasi: (1;1) ∈ R → (1;1) ∈ R (correcto)

(1;3) ∈ R → (3;1) ∈ R (correcto)(5;5) ∈ R → (5;5) ∈ R (correcto)

luego "R" es transitiva

como la relación "R" es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez∴ R es de equivalencia

2. La relación de igualdad:R = {(x;y)/x = y}

es reflexiva, pues ∴∀ x → (x,x) ∈ Res simétrica, pues (x;y) ∈ R→ x = y

→ y = x→ (y;x) ∈ R

es transitiva, pues

( x , y ) R ( y ; z ) R∈ ∧ ∈

→ x = y ∧ y = z→ x = z→ (x;z) ∈ R

∴ R es relación de equivalencia.

GRÁFICA DE RELACIONESSe sabe que el producto cartesiano de 2 conjuntos "A" y "B", está dado por:

A × B = {(x;y)/x ∈ A ∧ y ∈ B}

si hacemos: A = B = R (conjunto de número reales) se tiene el conjunto.

R × R = R2 = {(x;y)/x ∈ R ∧ y = R}

Este conjunto de pares ordenados conforma el plano cartesiano:

0

y

x

II I

I VI I I

P ( a ; b )

donde: eje x: eje de abscisas

eje y: eje de ordenadas0: origen de coordenadas

I, II, III, IV: cuadrantes

Cada par ordenado (a;b) del conjunto R2, se

puede representar en el plano mediante un punto P, donde:

a: coordenada de "P" en el eje "x"b: coordenada de "P" en el eje "y"

Entonces, si definimos una relación "R", mediante:

R = {(x;y) ∈ R2/x R y}

Se dice que la gráfica de la relación R es un conjunto de puntos representados en el plano cartesiano, cuyas coordenadas satisfacen dicha relación.

• Ejemplo: A partir del conjunto A = {-2; 0; 4}graficar la relación R, dada por:

R = {(x;y) ∈ A × A/x + y > 0}Resolución:* Construyendo la relación:

R = {(-2;4),(0;4),(4;-2),(4;0),(4;4)}

* Los 5 pares representan 5 puntos que se ubican en el plano:

Page 20: 4º álgebra

y

x

4

3

2

1

- 1

- 2

- 3

- 4

0- 1- 2- 3- 4

1 2 3 4

G r á f i c a d e l ar e l a c i ó n " R "

No es necesario conocer todos los pares ordenados de una relación para graficarla; solamente con obtener algunos puntos y después unirlos mediante segmentos es suficiente (tabulación).

• Ejemplo: Graficar la relación:

R = {(x;y) ∈ R2 / x + y - 2 = 0}Resolución:* Calculamos algunos pares ordenados

(tabulando):si: x = -2→ reempl.: -2 + y - 2 = 0→ y = 4

x = -1→ reempl.: -1 + y - 2 = 0→ y = 3x = 0→ reempl.: 0 + y -2 = 0→ y = 2x = 1→ reempl.: 1 + y - 2 = 0→ y = 1x = 2→ reempl.: 2 + y - 2 = 0→ y = 0

con estos calculos se construye la tabla:

x

y

- 2

4

- 1

3

0

2

1

1

2

0

hemos obtenido los puntos:(-2;4), (-1;3), (0;2), (1;1), (2;0)

* Ahora, los ubicamos en el plano y los unimos con segmentos.

1

2

3

4y

x210- 1- 2

La figura corresponde a la gráfica de una recta.

Ejemplos:

1. Sea el conjunto: A = {-1;0;1}

se define una relación:

R = {(x;y) ∈ A2/x2 + y2 = 1}indicar verdadero (V) o falso (F)I. R es reflexivaII. R es simétricaIII. R es transitivaIV.R es de equivalenciaResolución: Construyendo la relación:

R = {(-1;0),(1;0),(0;1),(0;-1)}Ahora, analizando cada proposición:I. ¿R es reflexiva?

si: -1 ∈ A → (-1;-1) ∈ R (incorrecto)0 ∈ A → (0;0) ∈ R (incorrecto)1 ∈ A → (1;1) ∈ R (incorrecto)

luego, R no es reflexiva.II. ¿R es simétrica?

si: (-1;0) ∈ R → (0;-1) ∈ R (correcto)(1;0) ∈ R → (0;1) ∈ R (correcto)

luego, R es simétrica.

III. ¿R es transitiva?si:

( - 1 ; 0 ) R ( 0 ; - 1 ) R ( - 1 ; - 1 ) R∈ ∧ ∈ ∈→

(incorrecto)basta que no cumpla con esta condición para decir que R no es transitiva.

IV.Como R no es reflexiva ni transitiva, luego R no es de equivalencia.Rpta.: I - F / II - V / III - F / IV - F

2. En el conjunto: A = {1;2;4;5;6} se define la relación:

R = {(4;1),(1;6),(5;2),(2;5),(4; 29a +

),(5;3b - 4),(6;6)}

si "R" es una relación transitiva, calcular "a + b"

Resolución: Como la relación es transitiva.* (4;1) ∈ R ∧ (1;6) ∈ R → (4;6) ∈ R

Como: (4; 29a +

) es el único par con primera componente 4, entonces:

(4; 29a +

) = (4; 6) → 29a +

= 6 → a = 3

* (5;2) ∈ R ∧ (2;5) ∈ R → (5;5) ∈ R

Como en el caso anterior:

Page 21: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

(5; 3b - 4) = (5;5) → 3b - 4 = 5 → b = 3 ∴ a + b = 6

3. Se define la siguiente relación en Z: R = {(x ; y) ∈Z x Z / x ≤ y}La relación R es transitiva.¿Verdadero o Falso?Resolución:Para que la relación "R" sea transitiva, debe cumplir lo siguiente:

( x ; y ) R ( y ; z ) R ( x ; z ) R∈ ∧ ∈ → ∈

veamos:considerando los pares ordenados:

(x,y) ∈ R ∧ (y;z) ∈ R → (x;z) ∈ R

luego, estos elementos deben satisfacer la condición dada:

x ≤ y ∧ y ≤ z → x ≤ z→ (x;z) ∈ R

lo que queríamos comprobar:∴ R es transitiva.

4. Se define una relación en R mediante:

(x;y) ∈ R ↔ y = x3 - 8x2 + 15x

obtenga la gráfica de dicha relación.

Resolución:Dando diversos valores a "x" y calculando los valores correspondientes a "y", obtenemos los pares de valores que figuran en la siguiente tabla:

x

y

0

0

1

8

2

6

3

0

4

- 4

5

0

6

1 8

- 1

- 2 4

cada par de valores corresponde a un punto en el plano. Al ubicarlos en el plano, se unen mediante segmentos y tenemos la gráfica de la relación.

De la figura:

- 2 - 20

1 2

3

4

5

6

1 0

2 0

- 2 0

- 1 0

problemaS para la claSe

Bloque I1. A partir del conjunto A = {3;4;5}

Se definen las relaciones en A:R1 = {(3;3),(4;3), (4;5), (5;5)}

R2 = {(3;3),(3;5), (4;4), (5;4)}

R3 = {(3;3),(4;4), (5;3), (5;5)}

Indicar cuáles son reflexivas.a) Sólo R1 b) R1 y R2 b) Sólo R3d) Sólo R2 e) R2 y R3

2. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4}Se definen las relaciones siguientes:R = {(1;1), (2;1), (1;2), (3;3)}S = {(1;4), (4;1), (3;4), (4;3)}T = {(2;4), (4;2), (3;2), (3;3)}¿Cuáles son simétricas?a) R b) S c) Todasd) R y S e) R y T

3. Se tiene la relación simétrica:R = {(5; 7), (7; 2a + b), (1; 8), (3b - 1; 1)}Definida sobre un conjunto "A".Calcular (a + b).

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Para el conjunto: A = {1;3;5}Se define la relación reflexiva.R = {(1;a-2), (3;3), (5;b+3), (1;3), (3; a - b)}Indicar verdadero (V) o falso (F).I. R es simétrica.II. R es transitiva.III. R es de equivalencia.a) VVF b) VFF c) FVVd) FFF e) VVV

5. Se define una relación simétrica S, de tal forma que:(4; 2) ∈ S → (2; 2a + b) ∈ S (5; 1) ∈ S → (1; a + 2) ∈ S Hallar el valor de "b".a) 2 b) -3 c) -6d) 3 e) -2

6. Sea T una relación transitiva tal que: (2; 9) ∈ T ∧ (9; m + 2) ∈ T → (2; 11) ∈ T(5; 7) ∈ T ∧ (7; 9) ∈ T → (5; n+2) ∈ T

Page 22: 4º álgebra

A

( 3 p - 2 )

( 2 n - 1 )

m

0 1 3 4

A

4

7

Calcular: nm +a) 9 b) 7 c) 16d) 2 e) 4

7. La relación R = {(2;a+b), (4;5), (5b;9)}Tiene por gráfica:

A

B

9

6 + b

5

0 2 4 a + 4Hallar "a . b".a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 20

8. Dada la gráfica de una relación reflexiva en:A = {1, 3, 4, 7}Calcular "m + n + p"

a) 4 b) 5c) 6 d) 7

e) 8

9. Dada la gráfica de una relación R en A.

A

3

1

0 1 3 5

A5

con A = {1;3;5}. Luego:a) R es reflexiva b) R es simétricac) R es transitiva d) R es equivalenciae) Todas

10.Con el conjunto: A = {1;3;4}Se define la relación:S = {(x;y) ∈ A x A / (x + y) es par}Indique lo correcto.a) S es reflexiva b) S es simétricac) S es transitiva d) S es equivalenciae) Todas

Bloque II

1. En el conjunto A = {2; 3; 5; 6}Se considera la relación:

R = {(x;y) ∈ A2 / x = y ∨ x + y = 8 }Podemos afirmar que:

I. R es reflexiva.II. R es simétrica.III. R es transitiva.a) Sólo I b) I y II c) Sólo IIId) II y III e) Todas

2. Si el par ordenado (a2 - 16; a+ 2) pertenece al segundo cuadrante de un plano cartesiano, calcular la suma de los valores enteros de "a" que verifican esta condición.a) 3 b) 2 c) -1d) 4 e) 5

3. Dada la siguiente gráfica.

- 3

- 2

- 10 1 2 3

- 2- 3 - 112

3

y

x

Indicar a qué relación corresponde:

a) y = 2x b) y = 2x -1 c) y = 2x +1 d) y = x + 1 e) y = x - 1

4. Las siguientes relaciones:R = {(a;b), (b;c), (a;c), (c;c)}S = {(a;a), (b;b), (a;c), (a;b)}T = {(a;a), (b;a), (c;c)}Se definen a partir de A = {a; b; c}Indicar lo correcto.a) R es transitivab) S es transitivac) T es transitivad) Ninguna es transitivae) R y S son transitivas

5. Con el conjunto A = {1; 2; 3}Se define la relación:R = {(1;1), (2;2), (3;3), (1;2), (2;1)}Señale lo correcto.a) R no es reflexivab) R no es simétricac) R no es transitivad) R es de equivalenciae) Todas son correctas

6. Graficar la relación en R:

S = {(x;y) ∈ R2 / 2x - y + 1 = 0}

Page 23: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

7. Graficar mediante tabulación , la siguiente

relación: 3x - y2 = 0

8. Sabiendo que x ≥ 0, graficar la relación

mediante tabulación: x2 + y2 = 25

9. A partir del conjunto A = {2; 5; 6}Se construyen las relaciones:

R1 = {(x;y) ∈ A2 / x ≠ y}

R2 = {(x;y) ∈ A2 / x + y es impar}

R3 = {(x;y) ∈ A2 / xy = 1º0}

¿Cuáles son simétricas?a) R1 b) R2 c) R1 y R2d) R1 y R3 e) Todas

10.Dado el conjunto A = {1; 2; 3; 4}Sobre el cual se definen las relaciones:

R1 = {(x;y) ∈ A2 / |x| = y}

R2 = {(x;y) ∈ A2 / y = x + 2}

R3 = {(x;y) ∈ A2 / 3(4y + 8) = 4(3x + 6)}

Luego, serán reflexivas:a) R1 b) R1 y R2 c) R1 y R3d) R2 e) R2 y R3

Bloque III

1. Graficar la relación:R = {(x;y) / 2x - 3y - 6 = 0; 1 < x ≤ 6 }

a)

y

x

b)

y

x

c)

y

x

d)

y

x

e)

y

x

2. Graficar, mediante tabulación, la siguiente relación:

y = x3 - 6x2 + 8x

a)

y

xb)

y

x

c)

y

xd)

y

x

e)

y

x

3. La gráfica de la relación x2 + y2 = r2

corresponde a una circunferencia de centro "0" y radio "r", tal como se muestra en la figura:

0- 2

y

x

Si el área del triángulo sombreado es 3r, calcular "r".

a) 2 b) 5 c) 102

d) 15 e) 234. Se define la relación:

R = {(x; y) ∈ R2 / (2a - b)x - 3y + b - 5 = 0}Si: (1; 3) ∈ R, calcular el valor de "a".a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

5. Dada la relación R definida por:R = {(x;y) ∈ R x R / |x - y| ≤ 4}Es cierto que:a) R es reflexivab) R es simétricac) R es transitivad) R es de equivalenciae) R no es equivalencia

6. Obtener el área de la figura formada por la gráfica de la relación:

R = {(x;y) ∈ R2 / |x| + |y| = 2}

a) 2µ2 b) c) 4d) e) 8

7. Calcular el área que forma la gráfica de la relación:

Page 24: 4º álgebra

R = {(x;y) ∈ R2 / |x - 5| = |y - 2|}Con el eje de ordenadas.

a) 5µ2 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

8. Graficar la relación en R.R = {(x;y) / |x| = |y - 2|}

a)

y

x- 2- 2

2

b)

y

x- 2

2

- 2

c)

y

xd)

y

x- 2 2

2

e)

y

x

2

- 2

2

9. Se definen las siguientes relaciones en A = {a;b;c;d}:R1 = {(a;a),(a;b), (b;b), (b;c), (c;c), (a;c), (d;d)}

R2 = {(a;a),(a;b), (b;a), (b;c), (c;b), (c;c), (d;d)}

R3 = {(a;a),(a;b), (b;b), (c;c), (c;d), (d;d)}

Si se tienen "m" relaciones reflexivas, "n" relaciones simétricas y "p" relaciones transitivas, hallar "m + n + p".a) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) 5

Tarea Domiciliara

1. A partir del conjunto A = {2;8;9}Se define la relación:R = {(x;y) ∈ A x A / x - y = 0}Indicar un elemento en R.

2. Dado el conjunto A = {3; 5; 7} y las relaciones en A: R = {(3;3), (5;5), (7;7)}S = {(3;5), (5;5), (5;7)}T = {(3;7), (5;5), (7;7)}Indica cuál o cuáles son reflexivas.

3. Sobre el conjunto A = {1; 4; 9}Se definen las relaciones siguientes:R = {(1;4), (4;1), (1;9)}S = {(1;9), (4;9), (9;1)}T = {(1;1), (4;9), (9;4)}¿Cuáles son simétricas?

4. Dado el conjunto A = {1; 3; 5; 7}Sobre el cual se definen las relaciones:R = {(1;1), (3;3), (5;5), (7;7)}S = {(1;5), (3;3), (5;7), (1;7)}T = {(7;5), (5;3), (7;3)}¿Cuáles son transitivas?

5. Sobre el conjunto: A = {2; 4; 6}Se construye la relación S.S = {(2;2), (2;4), (4;4), (6;6), (4;2)}¿Es de equivalencia? Justifique.

6. La gráfica de una cierta relación R : A → BEstá dada por:

A

2

1

0 1 2 3

B3

Señale lo correcto:a) (1;2)∉R b) (3;2)∉R c) (2;2)∉Rd) (3;1)∉R e) (1;1)∈R

7. La relación: R = {(1;4), (2;2), (3;1)}Tiene la siguiente gráfica:

A

( b + 1 )

( 3 c - 2 )

0 ( a - 2 ) 2 3

B4

Calcular: E = a + b + c

8. La siguiente gráfica:

Page 25: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

- 3

- 2

- 10 1 2 3- 2- 3 - 1

12

3

y

x

¿A qué relación corresponde?

9. Graficar la relación: 2x - y - 4 = 0

a)

y

xb)

y

x

4

- 2c)

y

x4

2

d)

y

x. - 4

2

e)

y

x

10.Graficar la relación: x - y2 = 0

a)

y

xb)

y

xc)

y

x

d)

y

xe)

y

x

11.Dado el conjunto A = {4; 5; 6}Se define la relación reflexiva:R = {(4; 2m), (5; n+3), (6; 3p)}Calcular "m", "n" y "p".

12.Se tiene una relación simétrica R, tal que:(3; 7) ∈ R → (7; 2a - 5) ∈ R Calcular el valor de "a".

13.Sea R una relación transitiva tal que:(3; 5) ∈ R ∧ (5; x - 4) ∈ R → (3; 7) ∈ R Calcular "x".

14.Con el conjunto A = {2; 4; 7}Se define la relación:T = {(x;y) ∈ A x A / x + y = 3º}¿"T" es simétrica? Justifique.

15.Dada la gráfica de una relación R en A:

A

2

1

0 1

A

3

2 3Donde A = {1; 2; 3} Marque lo correcto.a) R es reflexiva b) R es simétricac) R es transitiva d) R es de equivalenciae) Todas

16.Si el par ordenado (2 - x; x - 4) pertenece al tercer cuadrante de un plano cartesiano, ¿cuál es el menor valor entero que verifica esta condición?

17.Dada la relación:R = {(x;y) ∈ R x R/ x - y + 3 = 0; x ∈ [-1;4>}Bosquejar su gráfica.

a) b) c)

d) e)

18.Graficar la relación:R = {(x;y) / |x| = |y|}

a)

y

x

b)

y

x

c)

y

x

d)

y

x

e)

y

x

19.Graficar la relación:

R = {(x;y) R x R / (x - 2)2 + y2 = 4; x ≤ 2}

a) b) c)

d) e)

20.Graficar, mediante tabulación, la relación establecida mediante:

Page 26: 4º álgebra

y = x3 - 4x

a) b) c)

d) e)

21.En A = {1; 2; 4; 6; 8} se define la relación:R = {(x;y) / 3 es divisor de "x + y"}¿R es reflexiva, simétrica y transitiva? Justifique.

22.Dado el conjunto: A = {2; 4; 7}Se define la relación reflexiva.R = {(2; a - 1), (4; 2a - b), (7; b + c)}Calcular el valor de: a + b - c

23.Graficar la relación:|x| + |y| = 4

a) b) c)

d) e)

24.A partir de la figura:

0

A

H B x

y

x = - y + 92

Hallar el área del triángulo OAB, si: 12

HBOH =

25.Se tiene dos relaciones definidas en el conjunto: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}

S = {(x;y) ∈ A2 / y = 2x + 5}

T = {(x;y) ∈ A2 / x2 + y2 = 25}

Se puede afirmar acerca de la clase de relación:

26.Mediante tabulaciones, graficar la relación:

x2 - 2x + y2 - 3 = 0 , con x ≥ 0

a)

y

x

b)

y

x

c)

y

x

d)

y

x

e)

y

x

27.Dada la relación en R.S = {(x;y) / - 1 < x - y < 2}¿Es reflexiva?

28.Graficar la relación definida en R

x2 - 4x + y2 - 10y + 13 = 0

a) b) c)

d) e)

Page 27: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

función:

Dados 2 conjuntos "A" y "B" no vacíos; se define FUNCIÓN DE "A" EN "B":

F : A → BA la relación de A en B que cumple:"A un elemento del conjunto "A" le corresponde un único elemento del conjunto B".

* Ejemplos:

A B

F

x y

c o n j u n t o d e p a r t i d a

c o n j u n t o d e l l e g a d a

A B

F

1

2

4

4

3

0

A B

G

3

5

6

2

4

1

F = {(1;4), (2;3), (4;0)} G = {(3;2), (3;4), (6;1)}

Si es función No es función

(cumple definición) (No cumple definición)

Pues al elemento 3 de A le corresponde 2 elementos de B.

Observaciones:

1. (x;y) ∈ F → y = F(x), donde:x : pre - imagen de yy : imagen de x mediante F.

Ejemplo: De la función: F = {(4;1), (6;2), (3;7)}(4; 1) ∈ F → F(4) = 1 (6; 2) ∈ F → F(6) = 2(3; 7) ∈ F → F(3) = 7

2. (a;b) ∈ F y (a;c) ∈ F → b = cEjemplo: Si F = {(2; a), (3; b + 1), (2;5), (3; 6), (7; 2a - 1)}

Es función, calcular "a + b"Resolución:

* (2; a) ∈ F ^ (2;5) ∈ F → a = 5* (3; b + 1) ∈ F ^ (3; 6) ∈ F → b + 1 = 6

b = 5∴ a + b = 10

3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓNConjunto de pre - imágenesRANGO DE UNA FUNCIÓNConjunto de imágenesEjemplo: De la función:

F = {(4;1), (6;2), (3;7)}Dominio de F = Dom(F) = {4; 6; 3}Rango de F = Ran(F) = {1; 2; 7}

Page 28: 4º álgebra

4. y = F(x) se le llama Regla de correspondencia de F.Ejemplo: Dado F(x) = 2x + 1,

con Dom(F) = {4, 6, 0}* x = 4 → F(4) = 2(4) + 1 = 9* x = 6 → F(6) = 2(6) + 1 = 13* x = 0 → F(0) = 2(0) + 1 = 1Luego: F = {(4;9), (6;13), (0;1)}

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Sea "F" una función real (F : R → R) La gráfica de F es el conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano obtenido mediante:

G = {(x,y) ∈ R x R / x ∈ Dom (F) ^ y = F(x)}

"Una relación F ⊂ R x R es una función real si y solamente si las rectas paralelas al eje "y", que cortan a la gráfica de F, lo hacen a lo más en un punto".

1 p u n t o

F

y

x

2 p u n t o s

y

x

G

F es función, pues la recta paralela al eje "y" trazada, G no es función, pues la recta paralela al eje "y" trazada,

corta a su gráfica en un sólo punto. corta a su gráfica en más de 1 punto.

Ejemplos:

1. Si la relación:

F = {(a;5), (2; a2 - 3a), (4; a), (2; 2a - 6), (4; b - 1)}

Es una función, entonces el valor de:F(b) + F[F(a) - 3] será:Resolución:* Por ser el conjunto una función, entonces:

(2; a2 - 3a) ∈ F ^ (2; 2a - 6) ∈ F → a2 - 3a = 2a - 6

→ a2 - 5a + 6 = 0Resolviendo: a = 2; a = 3

También: (4;a) ∈ F ^ (4; b - 1) ∈ F → a = b - 1* Si: a = 2 → b = 3 ; reemplazando en F: F = {(2; 5), (2; -2), (4; 2), (2; -2), (4; 2)}

→ F = {(2; 5), (2; -2), (4; 2)} No es función.

* Si: a = 3 → b = 4 ; reemplazando en F: F = {(3; 5), (2; 0), (4; 3), (2; 0), (4; 3)}

→ F = {(3; 5), (2; 0), (4; 3)} Si es función.

Luego, piden: F(4) + F[F(3) - 3] = F(4) + F(2) =

2. La tabla muestra los valores hallados para la función:

F(x) = ax2 + b x 1 0F(x) 8 5

Luego, el producto "a.b" es:Resolución: de la tabla* Si: x = 1 → F(1) = 8

Luego: F(1) = a(1)2 + b → a + b = 8 ....... (1)

* Si: x = 0 → F(0) = 5

Luego: F(0) = a(0)2 + b → b = 5 ......... (2)

Reemplazando: (2) en (1) → a = 3∴ a . b = 15

3. Dada la regla: F(x) = C (C ∈ Q-)Tal que:

F(7)2 + F(5) = 20Hallar: F(2003) + F(2004)

Resolución: F(x) = C (función constante)

* Dado: ( F(7) )2 + ( F(5) ) = 20 C C

Tenemos: C2 + C = 20Resolviendo: C = -5 v C = 4Condición: C < 5 ∴ C = -5

Page 29: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

Luego: F(x) = -5 ∴∀ x ∈ R∴ F(2003) + F(2004) = -5 + (-5) = -10

4. Indicar la suma de elementos del dominio de:

F = {(a;b), (1;7), ( 2b

;c), ( 2c

;11)}Si: F(x) = x + 3aResolución: de la función tenemos:* x = a → F(a) = b

a + 3a = b → 4a = b

* x = 1 → F(1) = 7

1 + 3a = 7 → a = 2 Luego: b = 8

* x = 2b

= 4 → F(4) = c 4 + 3a = c → c = 10

Luego: F = {(2;8), (1;7), (4;10), (5;11)}

∴ Dom(F) = {2,1,4,5} → suma = 12

problemaS para la claSe

1. ¿Cuáles de las siguientes relaciones, representan funciones?R1 = {(4;2), (5;8), (9;2), (3;7)}

R2 = {(2;8), (3;9), (2;7), (9;5)}

R3 = {(5;4), (6;8), (7;8), (2;8)}

R4 = {(9;6), (7;4), (7;8), (7;3)}

R5 = {(6;3), (6;3), (6;3), (9;8)}

a) R1 , R2 b) R1 , R3 , R5 c) R2 , R4d) R4 , R5 e) Todas

2. Señale cuál de las siguientes relaciones son funciones:R1 = {(3;2), (5;2), (7;2)}

R2 = {(5;1), (4;3), (8;9), (5;3)}

R3 = {(5;3), (5;4), (5;5)}

R4 = {(5;3), (7;8), (6;5), (9;11)}

R5 = {(5;5), (6;6), (7;7), (8;8)}

a) Todas b) R3, R4, R5 c) R1, R3d) R1, R4, R5 e) R2, R4

3. Si el siguiente diagrama corresponde a una función:

A B1

2

5

7

F

2 a173 a - 59

Entonces, la suma de elementos del rango de F, es:a) 27 b) 22 c) 16d) 15 e) 10

4. Si el conjunto de pares ordenados:F = {(1;2a+1), (a;b -1), (1;a+4), (3;5), (4;6)}

Representa una función, calcular "ab".a) 6 b) 9 c) 12d) 15 e) 18

5. Si: F = {(2; a+3), (2; 2a-1), (4; b+3), (a; 3b + 1), (5; 2)}Es función, calcular "ab".a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

6. Dada la función:F = {(5;8), (5;a-1), (3;2b), (10; 1), (3; b + 7)}Calcular:

E = F(a - 6) + F(b + 3)a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

7. Si el conjunto de pares ordenados:

F = {(2;a2), (2;16), (8;a+b), (8;6), (b;5)}Representa una función, indicar la suma de elementos del dominio.a) 16 b) 18 c) 20d) 22 e) 24

8. Si la relación:

F = {(3; a2), (a; a+1), (2; 5), (3; a+2)}Es una función, calcular el valor de:E = F(F(a) + 2) - F(2 - a)a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Sea F una función definida por:F = {(7;3a-1), (a;a-1), (3;a-2), (4;a+2),(5;2a)}

si: F(2 + F(n)) = a - 1 Halle el valor de "n".a) 3 b) 4 c) 7d) 5 e) 8

10.Sea f(x) una función lineal tal que:f(4) = 1; 2f(2) = 3f(3)entonces podemos afirmar:a) f(2)=2 b) f(3)=1 c) f(10)=5

Page 30: 4º álgebra

d) f(-2)=7 e) f(2)+f(8) = 3

Bloque II1. Dada la siguiente función:

<−≥+

=4x;7bx34x;5ax

)x(f

Sabiendo que: f(6) - f(2) = 2(7 - 3b)Calcular: f(f(12))a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

2. Sea la función definida por:f = {(3;9), (a-1; b), (3; 2a - 1), (b;2b + 3), (9;b+1)}si: f(f (f (4) ) ) = b + 1, entonces el valor de "b" es:a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 3

3. ¿Cuáles de las siguientes gráficas no son funciones?

I.

y

x II.

y

x III.

y

x

IV.

y

x V.

y

x

VI.

y

x

a) II b) III y V c) I, III, VI

d) III y VI e) IV, V

4. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde al de una función?

I.

y

x II.

y

x III.

y

x

IV.

y

x V.

y

x VI.

y

x

a) II,IV,V b) II,III,V c) I,III,Vd) I,III,IV e) Todas

5. La siguiente tabla:x 2 4y 2a + b + 5 2b

Muestra los valores hallados para la función:F(x) = a |x - 5| + bCalcular "b".a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

6. Dada la función definida por F(x) = dx

c

+

x ∈ IR - {-d}, para la cual se realiza una tabulación:

x 1 4 -11 ... F(x) 3 2 m ...

Hallar "m".a) -4 b) -3 c) 1/4d) 1 e) 2

7. Dada la función:F = {(a; b), (3; c), (1; 3), (2b; 4)}Además: F(x) = x - 2aIndique el producto de elementos de DF ∩ RFa) 1 b) 2 c) -3d) -1 e) 3

8. Sea la función:F = {(24;a+6), (a;a-1), (3;a-2), (4;a-2),(a;2a)}Si se cumple: F(2 + F(n)) = a + 1El valor de "n" es:a) 3 b) 4 c) 7d) 5 e) No se puede determinar.

9. Halle el área de la región sombreada en el siguiente gráfico:

y

x1

f ( x ) = 9 - x 2

a) 20µ2 b) 6 c) 24d) 18 e) 32

10.Halle la longitud del segmento PQ en la gráfica mostrada.

y

x

f ( x ) = x - 9 x3

- 1 4

Q

P

a) 36 b) 28 e) 24d) 20 e) 21

Bloque III

Page 31: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

1. Se define la función:

+ <= − ≤ < + ≥

2x 3 si: x 3f(x) | x 5 | si: 3 x 7

x 3 si: x 7Calcular:f(9) - f(f(3))a) 3 b) 4 c) 5d) 0 e) 7

2. Hallar "ab" de la gráfica:y

x

f ( x ) = a x + b3

( 1 ; 2 )( 0 ; a )

a) 1 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

3. Dada la gráfica de la función y = 2x + a, halle la distancia del punto "P" al origen de coordenadas.

y

x2

P

4

a) 38 b) 32 c) 53

d) 28 e) 45

4. Sean las funciones definidas por:f = {(x;y) ∈ R x R / f(x) = 3x + 2}

g = {(4;n), (7;n+1), (n+1;5)}si: f(4) + g(g(a)) = 19Halle el valor de "a".a) 4 b) 7 c) 11d) 5 e) 9

5. Halle la pendiente de una función f(x) lineal, tal que:f(x+y) = f(x) + f(y) ....... (1)

f(2) + f(5) = 42 ............ (2)a) 7 b) 4 c) 12d) 21 e) 6

6. Sea f(x) una función lineal que pasa por los puntos (4;7) y (5; G(4)) donde G(x) = 2x + 2, halle para que valor de x, f(x) y G(x) toman el mismo valor.a) 3 b) 7 c) 8d) 9 e) 6

7. El área de la figura sombreada es de "a" µ2. Calcular "a".

y

x

f ( x ) = 5 - 2

a- a

x2

a) 3 b) 5 c) 4d) 5/2 e) 3/2

8. Si F es una función constante que satisface la

siguiente condición: 1)100(F)2000(F3

−π−

Entonces, el rango de F es: a) -2 b) {-3} c) {-2}d) {2} e) {3}

9. A partir de la función.F = {(7;6), (7;a-2), (5;2b), (9;8), (5;b+3)}Calcular:E = F(a-3) + F(b+6)a) 24 b) 22 c) 14d) 18 e) 15

10.Sea f(x;y) con dominio x ∈ R; y ∈ R tal que:

f(x; y) =

− ≥ ∧ ≥

< ∨ <

xy si: x 0 y 0

xsi: x 0 y 0

y

si: x ∈ <0; 1> entonces:

E = f[ f [ (1-x)2 ; y4 ]; (x-1) ]se reduce a:

a) y(1-x) b) -x2 c) -y2

d) x - 1 e) xy

Tarea Domiciliara

1. Si se cumple:(2x-1; 8) = (5; y+5); Calcular "x+y" 2. Si se cumple:

Page 32: 4º álgebra

(5; a+1) + (b -1; 6) = (14;8); Hallar "b-a".

3. ¿Cuántos pares ordenados posee A x B, si:A = {x ∈ IN / "x" es par ^ 2 ≤ x < 10 }B = {x ∈ IN / "x" es impar ^ 6 < x ≤ 11 }

4. Sean los conjuntos:A = {4;5;6}B = {1;2;3}y la relación R, definida por:R = {(x;y) ∈ A x B / x + y ≤ 6} El número de elementos de R es:

5. Dado el conjunto A = {1;2;3}Se define la relación:R = {(x;y) ∈ A x A / x + y ≥ 5}Obtener el número de elementos de R.

6. ¿Cuántas de las relaciones siguientes son funciones?R1 = {(2;2), (3;2), (4;2)}

R2 = {(1;0), (1;2), (3;3)}

R3 = {(-1;0), (-1;1), (2;3)}

R4 = {(1;0), (1;1), (1;2)}

R5 = {(-1;1), (1;2), (2;1)}

Justificar su respuesta.

7. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función?

a)

y

x

b)

y

x

c)

y

x

d)

y

x e)

y

x

8. Si el conjunto:F = {(7;a+1), (a;b-2), (7;6), (5;1), (1;3)}Es una función, calcular "a-b".

9. Si el siguiente conjunto:F = {(1;2a), (2;2b-1), (5;1), (1;3a-5), (2;7)}Es una función, calcular F(a-b).

10.Hallar la suma de los elementos del rango de

la función: F = {(2;5), (3;a2), (3;4), (a;10)}

11.Hallar el valor de "y - x", si:(3x + y; 2x - 5) = (23; x + 1)

12.El diagrama muestra 2 funciones A y B:

5

c

m

2

5

a

b

3 b - 1

c

F G

Si: G(F(5)) + G[F(G(5))] = G[F(F(m))]Hallar "b".

13.Obtener el valor de n(A x B), si:

A = {x ∈ IN /1 ≤ 51x −

< 2}B = {x ∈ IN / |x-5| = 8}

14.Dados los conjuntos:A = {3; 5; 7}B = {2; 4; 6}Se definen las relaciones:R1 = {(x;y) ∈ A x B / x + y = 9}

R2 = {(x;y) ∈ A x B / y = 4}

Obtener: R1 ∩ R2.

15.Sea: A = {1; 2; 3; 4; 5} y las relaciones definidas por:R1 = {(x;y) ∈ A x A / x = 2y}

R2 = {(x;y) ∈ A2 / x + y = 5}

¿Cuántos elementos tiene R1 ∪ R2?

16.Indicar aquellos conjuntos que representan funciones:R1 = {(1;2), (2;4), (3;5)}

R2 = {(1;2), (3;6), (5;2), (5;4)}

R3 = {(3;5), (4;6), (2;1)}

R4 = {(4;6), (4;3), (4;3)}

R5 = {(3;2), (4;5), (3;1)}

17.Indicar cuántas gráficas corresponden a una función:

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

18.Hallar el dominio de la función:F = {(b; a-1), (9; b+3), (a+1; 2a-7), (2a-1; a),

(a+1; 3)}

19.A partir de la función:

Page 33: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

F = {(2; a+2), (a; b-2), (2; 2a-1), (8; a+5), (3; 14-b)}Calcular: F(a) + F(b)

20.Dada la función:

F = {(4; 8), (b; 3), (5; a2), (4; a+b), (5; 9)}Obtener: F(b) + F(5) + b

21.Hallar la suma de los pares ordenados (a;b) que verifican la igualdad:

(2a; a2 + b) = (b; 3)22.Dados los conjuntos:

A = {x ∈ IN / x = y + 2 ∧ 1 < y ≤ 4}B = {x ∈ IN / x = 2y ∧ 6 < y ≤ 10}Calcular: n(A x B)

23.Con los conjuntos de la pregunta anterior, se construye una relación R, dada por:R = {(x;y) ∈ A x B / y = 3x + 2}Se pide calcular cuántos elementos conforman la relación.

24.Se define una función F, mediante:F = {(a;x+5), (b;x), (a;y+7), (c;d), (b;3y)}Calcular el valor de "x.y".

25.Si se cumple: (2x-3; 5) + (3x -7; y + 2) = (7y + 1; 9)

Calcular el resultado de: E = (2; 3) + (x; y)

26.Hallar "a+b" a partir de la función:

F = {(2; 2c3a

+−

), (3;6), (2; c13b

−+

), (9;4), (2;3)}

27.Dada la función:F = {(1;8), (2;6), (3;-1), (4;7), (5;-11)}Construir el conjunto A, definido mediante:A = {x / F(x+1) ≥ 1}

28.Se definen las siguientes funciones:F = {(x;y) ∈ R x R / y = 3x + 2}G = {(4;n), (7;n + 1), (n+1;5)}Si: F(4) + G[G(a)] = 19

Calcular "a".

29.Dada la función:

−−−−= )x;x(,

x5

1;

3x

1)1;3(),z1;y(),2y;1(G

Donde: G ⊂ R x R ; x ∈ ZZCalcular "x + y + z"

Dominio y rango De una funcion

Dada una función real "F".F : R → R

Si: (x; y) ∈ F entonces: y = F(x)Donde recordaremos que:x = Pre - imageny = Imagen de "x" mediante F.

Dominio y rango 1. Todos los pares ordenados (x; y) se pueden

graficar en el plano cartesiano, recordando que el dominio (conjunto de pre-imágenes) está relacionado con el eje de abscisas; y el rango (conjunto de imágenes) está relacionado con el eje de ordenadas.

2. Cuando se tiene la gráfica de una función en el plano cartesiano, para hallar el:a) Dominio: se proyecta la gráfica perpendicularmente sobre el eje "x" (abscisas), y se unen los intervalos resultantes.b) Rango: Se proyecta la gráfica perpendicularmente sobre el eje "y" (ordenadas), y se unen los intervalos resultantes.• Ejemplo: Dada la gráfica de una función F.

y

x

3

- 2

- 1

5

F

Determinar el dominio y rango.Resolución: de acuerdo a las indicaciones anteriores.

y

x

3

- 2

- 1

5

RANGO

D O M I N I ODOM (F) = [-2;5>

Page 34: 4º álgebra

RAN (F) = [-1; 3>

CRITERIOS PARA CALCULAR EL DOMINIO Y RANGO

Dada una función real "F" con regla de correspondencia y = F(x), para obtener el:a) Dominio, se despeja "y" en función de "x", analizando los valores que pueden tomar "x" de forma que "y" exista.b) Rango, se despeja "x" en función de "y" analizando los valores que puede tomar "y" de forma que "x" exista.

Las condiciones que deben cumplir las variables analizadas (condiciones de existencia) de manera que sean reales, son:

B

A∈ IR → B ≠ 0

PAR A ∈ IR → A ≥ 0

EJEMPLO DE APLICACIÓN

1. Hallar el dominio de: F(x) = 4x −

Resolución: 4x − ∈ IR → x - 4 ≥ 0 x ≥ 4

Graficando:

- ∞ + ∞4El intervalo solución de "x" será el dominio de

F. ∴ DOM(F) = [4; +∞>

2. Hallar el dominio de: G(x) = 7

4

−xx

Resolución: 7

4

−xx

∈ IR → x - 7 ≠ 0

x ≠ 7

Es decir, G(x) no existe cuando x = 7

∴ DOM(G) = IR - {7}

3. Determine el rango de: H(x) = x2 + 4Resolución: para el rango, despejamos "x" en

función de "y".

y = x2 + 4 → x2 = y - 4

x = ± 4y −

∈ IR → y - 4 ≥ 0 y ≥ 4Graficando:

- ∞ + ∞4∴ RAN (H) = [4; +∞>

4. Hallar el rango de: F(x) = 5

3

+xx

Resolución: y =5

3

+xx

(Rango : valores de "y")

→ y(x + 5) = 3xyx + 5y = 3xyx - 3x = -5y

x(y - 3) = -5y → x = 3

5

−−y

y

Luego; si 3

5

−−y

y∈ R → y - 3 ≠ 0

y ≠ 3∴ RAN(F) = IR - {3}

1. Hallar el dominio de la función "F" definida por:

F(x) = 4 2x16 −

Resolución: De acuerdo a las condiciones de existencia:

4 2x16 − ∈ IR → 16 - x2 ≥ 0

Multiplicando por (-1): x2 - 16 ≤ 0Factorizando: (x+4)(x-4) ≤ 0Punto críticos: x = -4 ∧ x = 4

Graficando:

- ∞ + ∞- 4

+ +-

4∴ DOM (F) = [-4;4]

2. Proporcionar el dominio de:

G(x) = 6x2x41x4

−−−+

Resolución: El dominio de G(x) se obtendrá:

* 4 1x + ∈ IR → x + 1 ≥ 0

x ≥ -1 ................. (α)

* x4 − ∈ IR → 4 - x ≥ 0x ≤ 4 ................. (β)

* 2x - 6 ≠ 0 (denominador ≠ 0)x ≠ 3 ................. (γ)

Los cuales deben cumplirse simultáneamente.Luego, de (α), (β) y (γ):

x ≥ -1 ∧ x ≤ 4 ∧ x ≠ 3 -1 ≤ x ≤ 4 ∧ x ≠ 3DOM (G) = [-1;4] - {3}

3. Hallar el rango de la función:

Page 35: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

F(x) = 4x

4x32

2

−+

Resolución: Sea y = F(x) → y = 4x

4x32

2

−+

* Despejando "x": y(x2 - 4) = 3x2 + 4

yx2 - 4y = 3x2 + 4

yx2 - 3x2 = 4y + 4

x2 (y - 3) = 4(y+1)

x2 = 3y)1y(4

−+

Entonces: x = ± 23y1y

−+

* Luego, si x ∈ IR → 3y1y

−+

≥ 0Resolviendo: puntos críticos -1; 3

- ∞ + ∞- 1

+ +-

3RAN (F) = <-∞ ;-1] ∪ <3; +∞>

4. Dada la función F(x) = x2 - 1 con dominio en el intervalo [-4;-2] ∪ [-1;1]Hallar el rango.Resolución:En este caso, vamos a obtener el rango a partir del dominio.Del dato, podemos afirmar que:-4 ≤ x ≤ -2 v -1 ≤ x ≤ 1Elevando al cuadrado las inecuaciones:

4 ≤ x2 ≤ 16 v 0 ≤ x2 ≤ 1Restando 1 a cada miembro:

3 ≤ x2 - 1 ≤ 15 v -1 ≤ x2 - 1 ≤ 0

)x(F

)x(F

Luego: RAN(F) = [-1; 0] ∪ [3; 15]

5. Siendo m < -1; se define la función F por

medio de F(x)=1

1

−+x

x; x ∈ [m;m+2].

Hallar el máximo valor de la función.Resolución: Dando forma a la regla de correspondencia.

y = F(x) =1

1

−+x

x = 1 +

1

2

−x

* Usando dato: m ≤ x ≤ m + 2Restamos 1: m - 1 ≤ x - 1 ≤ m + 1Como m < -1, entonces m + 1 < 0

Luego: 1m1

1x1

1m1

−≤

−≤

+Multiplicando por 2:

1m2

1x2

1m2

−≤

−≤

+

Sumando 1: 1 + 1m2+ ≤ 1 + 1x

2− ≤ 1 + 1m

2−

1m3m

++

≤ F(x) ≤ 1m1m

−+

Fdevalormínimo

Fdevalormáximo

∴ máximo valor de F = 1m1m

−+

6. Calcular el dominio de la función:

f(x) = x6 - 3x4 + 3x2 - 12Sabiendo que el rango es:

RAN(f) = <-12 ; 16>

Resolución:Se sabe que: f(x) ∈ <-12,16>

→ -12 < f(x) < 16

-12 < x6 - 3x4 + 3x2 - 12 < 16

Sumando (11) a cada miembro.

-12 + 11 < x6 - 3x4 + 3x2 - 12 + 11 < 16 + 11

- 1 < x6 - 3x4 + 3x2 - 1 < 27

-1 < (x2 - 1)3 < 27

Extrayendo raíz cúbica: -1 < x2 - 1 < 3

Sumando 1: 0 < x2 < 4

→ 0 < x2 ∧ x2 < 4 ; resolviendo:→ x ∈ IR ∧ x ∈ <-2 ; 2>→ x ∈ <-2 ; 2>

∴ DOM(f) = <-2 ; 2>

problemaS para la claSe

Page 36: 4º álgebra

Bloque I1. Hallar el dominio de las siguientes funciones:

* F(x) = 4x3 + 8x2 + 7

* G(x) = 3x5x4 2 +

* H(x) = 3x2

5x3x4

++

−−

* I(x) = x3

4x5

43

+−

+

2. Hallar el dominio en:

* F(x) = 5x − + 3x2

* G(x) = 4x − -4 x7 − +

3 x

* H(x) = 5xx

2x4

−+−

3. Relacionar las funciones con sus respectivos dominios:

F(x) = 3x4 - 7x + 2 I. x ∈ IR - {9 ; 10} II. x ∈ IR - {0 ; 3}

G(x) = 7xx3

3x1

−+

− III.x ∈ IR - {0} IV. x ∈ IR - {0 ; 9}

H(x) = x4

9xx

32

−−

+ V. x ∈ IR

VI. x ∈ IR - {3 ; 7}a) F-I; G-II; H-V b) F-II, G-V; H-VIc) F-V; G-VI, H-IV d) F-V; G-VI; H-IIe) F-V; G-VI; H-I

4. Relacionar las funciones con sus respectivos dominios:

F(x) = 2x + 6x − I. x∈[1;+∞>-{3}II. x∈<-∞,6]

G(x) = 564 xx102x −−+− III.

x∈[2;10]IV. x∈[2;+∞>

H(x) = 1x

3xx3 2

−+− V. x∈[6;+∞>

VI. x∈[1;+∞>a) F - II; G - I, H – IV b) F - V; G - II; H - IIIc) F - IV; G - I; H - V d) F - V; G - III; H - Ie) F - VI; G - III; H - I

5. Hallar el dominio de la función:

F(x) = 5xx9

1x4

−−

++

6. Hallar el dominio de:

6x5

x104x)x(F−

+−+−=

a) [4; 10] - {6} b) [4; 6]c) [4; 6] ∪ {0} d) [4; +∞>e) [6; 10]

7. Dada la función definida por:

F(x) = |x - 5| + 2x +Si DOM(F) = {2; 7; 14}, indicar la suma de elementos del rango.a) 24 b) 23 c) 22d) 21 e) 20

8. Hallar el rango de la función:

F(x) = 2x1x4

+−

a) IR - {-4} b) IR - {4} c) IR - {2}d) IR - {-2} e) φ

9. Dada la gráfica de la función F(x):y

x

8

- 2

- 7

93

4

- 5

Obtener el dominio y rango.

10.A partir de la gráfica de la función F(x):y

x8

- 2

- 3

7

34

- 6 4

Calcular el DOM(F) ∩ RAN(F), e indicar la suma de elementos enteros del conjunto pedido.a) -4 b) -3 c) -2d) -1 e) 0

Page 37: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

Bloque II1. Hallar el rango de la función:

F(x) = 3x21x6

−+

a) R - {3/2} b) R - {-3} c) R - {-3/2}d) R - {3} e) φ

2. Hallar el rango de:

F(x) = x2 + 4x + 7; x ∈ IRa) IR b) [1; +∞> c) [3; +∞>d) <-∞; 1] e) <-∞; 3]

3. Hallar el rango de:

F(x) = x2 - 6x + 5; x ∈ IRa) <-∞; -4] b) [-4; +∞> c) <-∞; 4]d) <-∞; 0] e) [4; +∞>

4. Si el rango de la función:F(x) = |x - 4| - 2es RAN(F) = [-2; 3]Hallar el dominio.a) <-1; 8> b) [-1; 9] c) [-9; -1]d) [-1; 8] e) <-1; 9>

5. Dada la función F(x) = |x2 - 12| + 5con DOM(F) = <2; 4>Calcular el RAN(F)a) <5; 13] b) [5; 13> c) <5; 13>d) [5; 13] e) <5; +∞>

6. Dada la función: F(x) = |x2 - 9| + 2 con dominio = [2;7]Obtener el rango de la función.a) <2; 40] b) [2; 42> c) [2; 42>d) [2; 42] e) [2; 40]

7. Calcular el dominio de la función:F(x) = |2x - 7| - 8Sabiendo que el rango es: RAN(F) = <-5; 1]a) [-1; 2> ∪ <5; 8] b) <+2; 13]c) <1, 13> d) [1; 5]e) [0; +∞>

8. Obtener el número de elementos enteros del dominio de la función:

F(x) = 1x

x33x2 −

−+−

a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

9. Dadas las funciones "F" y "G" de variable real:

F(x) = 2xx2

−−

; G(x) = x2 + 6x + 8; ∴∀ x ∈ IR

Calcular: DOM(F) ∩ RAN(G)a) <-1; 2> b) <-1; 2] c) [-1; 2>d) [-1; 2] e) [-1; +∞>

10.Dada la función: F(x) = 2x2 + 3x + 2; x ∈ IR

Donde RAN(F) = >∞+

+;

1aa

Calcular el valor de "a".a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

Bloque III1. Dada la función definida por:

F(x) = |x - 3| + x2 + 1x +Si: DOM(F) = {3,8,0}, indicar la suma de elementos del rango.a) 86 b) 81 c) 87d) 85 e) 83

2. Dada la gráfica de F(x):

- 7 - 2

- 1

- 5

1 7

5

x

y

Se cumple: DOM(F) ∩ RAN(F) = [a;b> ∪ [c;d]Calcular "a + b + c + d"a) 0 b) 1 c) -3d) 13 e) -13

3. ¿Cuántos enteros presenta el dominio de la función?

F(x) = 7xx3

10x2x4

−+

−+−

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

4. ¿Cuántos enteros presenta el dominio de la función?

F(x) = 4x1

6x7x4 2

−+−+−

5. Obtener la suma de elementos enteros del rango de la función:F(x) = ||x+1| - 2|Si se conoce que DOM(F) = [-3;1>a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

6. Hallar el dominio de la función:

F(x) = x2 - x + 1

Page 38: 4º álgebra

Si su rango es

1;43

a) <0; 2> b) [0; 1] c) <-2; 2>d) <-3; 3> e) <0; 4>

7. Sea la función F(x) = -2(x - 4)2 + 8 cuyo dominio pertenece al intervalo [a; 4]Hallar "a + b", sabiendo que el rango está dado por [6; b]a) 5 b) 6 c) 7d) 9 e) 11

8. Calcular el dominio de la función:

F(x) = n2 |3x||7x| −−+ (n ∈ IN)

a) <-∞; -2] b) <-∞; 2] c) φd) [-2; +∞> e) IR

9. Sea la función: F(x) = 5x − + x8

1

− (x ∈ ZZ )

Si la suma de los elementos del rango es:

aa6

23++

+

Indicar el valor de "a".a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.Hallar el dominio de la función:

F(x) = xx|3x| −−+−

a) <-9; 0> b) [-9; 0> c) [-9; 0>d) [-9; 0] e) <-∞; 0]

Tarea Domiciliaria

1. Hallar el dominio de la función F, cuya gráfica es:

- 9

- 4

5

7

x

y

2. Calcular el dominio de la siguiente función:

F(x) = 7x1x6

−−

3. Obtener el dominio de: F(x) = 7x3 + 8x +

4. ¿Cuántos enteros presenta el dominio de la

función: = − + +4 8F(x) 1 x x 8 ?

5. Determinar el dominio de:

H(x) = 2xx30 −−

6. Sea: M(x) = x2 - 5Con dominio = {2; 3; 4}Entonces, los elementos del rango suman:

7. Hallar el rango de h(x) = 5 - 2x Si se sabe que DOM(h) = <-3;4]

8. Hallar el rango de:

F(x) = 5x21x3

−−

9. Obtener el rango de la función:

H(x) = x2 - 2x + 3; x ∈ IR

10.Si el rango de la función: F(x) = x + 2Es <5;7], entonces el dominio de F es:

11.Obtener el rango de la función F, cuya gráfica es:

- 6- 4

5

8

x

y

3- 2 6

- 1 0

a) <-6; 8> b) <-6; 3] c) [-10; 8]d) [-6; 3> e) [-6; 6>

12.Relacionar cada función con su dominio:

I. F(x) = 6xx4

− a. IR - {-10}

II. G(x) = 8xx6

x5

−+

b. IR - {6}

III. H(x) = 10x6

35x

+++

c. IR - {0; 8}

13.Determinar el dominio de:

Page 39: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

F(x) =

43

1x22xx3

−+−−

14.Hallar el dominio de:

F(x) = 1x31x24 −++

15.En la función:

G(x) = 1xx4

x21x

−+

−+

El dominio es de la forma [a;b> - {c}Calcular "a", "b" y "c" (en ese orden)

16.Señale la suma de elementos del conjunto de

imágenes de la función: F(x) = x2 + 2siendo DOM(F) = {-2; -1; 1; 2}

17. Sea la función F(x) = x2 + 4x + 9, cuyo dominio es:

x ∈ <-10; 3]. Si el rango es: y ∈ [a;b>

Calcular: ab −

18.Hallar el rango de:

F(x) = 10x21x6

−−

19.Se define la función F(x) = -x2 + 10x - 21, x ∈ IR.Entonces el máximo valor que puede admitir F es:

20.Dada la función H(x) = |x - 1| - 5, la cual tiene

RAN(H) = [-5 ;1>. Calcular la cantidad de elementos enteros no positivos que posee el dominio.

21.Dada la gráfica de la función "F".

- 2

1 0

x

y

- 1

- 2

- 11

1

Calcular: DOM(F) ∩ RAN(F)

22.Hallar el dominio de:

G(x) = x20xx

2x323

2

−+−

23.Obtener el dominio de la función:

G(x) = 6 |4x||14x| +−−

24.Dada la función:

G(x) = 1x

x3|3x||x|4

24

−+

−−

Indicar el número de elementos enteros de su dominio.

25.Hallar el rango de la siguiente función:F(x) = |x-3| + x

26.Calcular "m", sabiendo que el rango de la función:

F(x) = -3x2 + x + 5 es de la forma <-∞; m1m5 +

]

27.Determine el rango de la función:

H(x) = (|x - 5| + 1 + x). x5 −

28.Dada la función H(x) = 1x6x

++

Si: DOM(H) = <2;3], hallar el rango.

29.Hallar el dominio de la función:

F(x) = x3 + 3x2 + 3x - 3Si su rango es RAN(F) = <-5;60]Dar como respuesta el número de valores enteros que posee.

grafica De una función Sabemos que los pares ordenados (x;y) que conforman la función y = F(x) se pueden ubicar en un plano cartesiano. Esta representación geométrica se le conoce como GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.

Ejemplo:* Graficar la función: F(x) = 2x - 1 , sabiendo que: DOM(F) = {-2; -1; 0; 1; 2}

Resolución:Obteniendo los pares ordenados de F.

x = -2 → F(-2) = -5 → (-2; -5) ∈ F

Page 40: 4º álgebra

x = -1 → F(-1) = -3 → (-1; -3) ∈ Fx = 0 → F(0) = -1 → (0; -1) ∈ Fx = 1 → F(1) = 1 → (1; 1) ∈ Fx = 2 → F(2) = 3 → (2; 3) ∈ F

1 2 3- 3 - 2 - 1 0

- 1

- 2

- 3

- 4

- 5

4

3

2

1

G r á f i c a d e F ( x )

y

x

* Luego, ubicamos los pares ordenados:

FUNCIONES NOTABLES

FUNCIÓN CARACTERÍSTICA GRÁFICA

ConstanteF(x) = C

C : ConstanteDOM(F) = RRAN(F) = {C} x

y

C

( C > 0 )

IDENTIDADF(x) = x

RAN(F) = RDOM(F) = R

x

y

C

4 5 º

Page 41: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

LINEALF(x) = ax + b(a ≠ 0)

a: Pendienteb : Intersectado con "y"RAN(F) = RDOM(F) = R x

y

b

a > 0

x

y

b

a < 0

CUADRÁTICA

F(x)= ax2 + bx + c(a ≠ 0)Donde:

∆ = b2 - 4ac

V: vértice de la parábola (h; k)

h = -a

b

2

k = - a4

∆ ó

= − b

k f2a

DOM(F) = R

RAN(F) = De acuerdo a la gráfica

x

y

h

k V ( h ; k )

a < 0

RAN(F) = <-∞ ; k]

a > 0

RAN(F) = [k;+∞>

x

y

h

k V ( h ; k )

F(x) = x3

CúbicaRAN(F) = IR DOM(F) = IR

x

y

VALOR ABSOLUTOF(x) = |x|

<−≥

=0x;x0x;x

|x|

RAN(F) = R0+

DOM(F) = R

x

y

4 5 °4 5 °

F(x) = xRAÍZ CUADRADA

RAN(F) = R0+

DOM(F) = R0+

x

y

Page 42: 4º álgebra

MULTIPLICATIVOINVERSO

F(x) =x

1DOM(F) = R - {0}RAN(F) = R - {0}

x

y

TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES

Lo que viene a continuación es un conjunto de técnicas para trazar las gráficas de funciones más complicadas, a partir de funciones básicas (estudiadas anteriormente)

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

HO

RIZ

ON

TA

L

x

y

h

F ( x + h )

x

y

F ( x )

x

y

h

F ( x - h )

F(x) se desplaza a la izquierda Posición inicial F(x) se desplaza a la derecha

VE

RT

ICA

L

x

y

h

F ( x ) + h

x

yF ( x )

x

y

h

F ( x ) - h

F(x) se desplaza hacia arriba Posición inicial F(x) se desplaza hacia abajo

Page 43: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

RFL

EJO

S

HO

RIZ

ON

TA

L

x

yF ( x )

x

yF ( - x )

Posición inicial F(x) se refleja respecto al eje "y"

VE

RT

ICA

L

x

yF ( x )

x

y- F ( x )

Posición inicial F(x) se refleja respecto al eje "x".

VA

LOR

A

BS

UT

O

x

yF ( x )

P a r t e N e g a t i v a

x

y| F ( x ) |

R e f l e j o d eP a r t e N e g a t i v a

Posición Inicial La parte negativa de F(x) se grafica sobre el eje "x".

Ejemplos:

1. Obtener la pendiente de una función lineal "F", sabiendo que F(1) = 3 y F(2) = 2F(3)Resolución:* Si "F" es función lineal, entonces

F(x) = ax + b (donde a: pendiente)

* Datos:F(1) = 3 → a(1) + b = 3 → a + b = 3 ..... (α)F(2) = 2F(3) → a(2) + b = 2 [a(3) + b]

b = -4a ........... (β)

Reemplazando (β) en (α): a + (-4a) = 3-3a = 3

∴ a = -1

2. Sea F(x) una función cuadrática cuya gráfica pasa por los puntos (0;12), (2;0) y (3; 0). Hallar el valor de F(-1).Resolución:* Si F(x) es cuadrática, luego

Page 44: 4º álgebra

F(x) = ax2 + bx + c. Para calcular F(-1) es preciso obtener "a", "b" y "c".

* De los datos:(0; 12) ∈ F → F(0) = 12

a(0)2 + b(0) + c = 12 → c = 12(2;0) ∈ F → F(2) = 0

a(2)2 + b(2) + 12 = 0 →2a + b = -6 .......... (α)(3;0) ∈ F → F(3) = 0

a(3)2 + b(3) + 12 = 0 →3a + b = -4 ........... (β)

* Finalmente, la función F(x) = 2x2 - 10x + 12∴ F(-1) = 24

3. Graficar las funciones siguientes:a) F(x) = |x-2|b) G(x) = |x| + 5

c) H(x) = x−

d) I(x) = (x+2)2 + 3

Resolución:

a) F(x) = |x-2| b) G(x) = |x| + 5

x

yF ( x )

y = | x - 2 |y = | x |

x

yF ( x )

y = | x | + 5

5

0

y = | x |

La gráfica de F(x) se desplaza hacia la derecha La gráfica de G(x) se desplaza hacia arriba2 unidades 5 unidades.

c) H(x) = x− d) I(x) = (x + 2)2 + 3

x

y

y = x√y = - x√

0

5

x

y

0

3y = ( x + 2 ) + 32

- 2

y = x 2

La gráfica de H(x) se refleja hacia la izquierda, En este caso ocurre doble desplazamiento: (respecto al eje "y") 1. 2 unidades a la izquierda.

2. 3 unidades hacia arriba.

4. Graficar: F(x) = |x2 - 10|Resolución: Usamos valor absoluto (ver cuadro anterior)

Page 45: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

x

y

P a r t e N e g a t i v a - 1 0

0 x

y

R e f l e j o d e l aP a r t e N e g a t i v a

1 0

F(x) = x2 - 10 F(x) = |x2 - 10|

5. Indicar la gráfica de F(x) = 7 - |x - 2|Resolución:* Gráfica 1: y = |x| (función valor absoluto)

x

y

* Gráfica 2: y = |x - 2| se desplaza dos unidades a la derecha.

x

y

2

* Gráfica 3: y = |x - 2| es simétrica a: y = - |x-2| con respecto al eje x. (Reflejo vertical).

x

y

2

* Gráfica 4: y = 7 - |x - 2| se desplaza hacia arriba 7 unidades.

x

y

7

2

6. Según el gráfico de f(x):

x

y

7

- 2

1f ( x )

Indicar el gráfico de f(-x) - 1

Resolución:* y = f(-x) es simétrica a f(x) respecto al eje "y". (reflejo horizontal)

x

y

2

1

* y = f(-x) - 1 se desplaza una unidad hacia abajo.

x

y

2

- 1

7. Sea la función F(x) descrita por el gráfico.

x

y

Indicar el gráfico de F(2-x)Resolución:* Nos piden graficar: y = F(2 - x) = F[-(x - 2)]

* Inicialmente: y = F(x)

Page 46: 4º álgebra

x

y

* Gráfica 1: y = F(x-2). Se desplaza 2 unidades a la derecha.

x

y

2

* Gráfica 2: y = F[-(x - 2)]. Es simétrica en el eje "y" respecto a la función: y = F(x-2)

x

y

8. Hallar el área del triángulo formado por la intersección de la función: F(x) = 2 - |x + 1| y el eje "x".

*

x

y

y = | x |

*

x

y

y = | x + 1 |

- 1

*

x

y

- 1

*

x

y

- 1

2

*

x

y

- 1

2

2

b

Luego, el triángulo sombreado es la figura formada por la intersección de F(x) y el eje "x", cuya altura conocemos (2 unidades). Para hallar la base (b) efectuamos:

2 - |x + 1| = 0(Intersección con "x")

|x + 1| = 2x + 1 = 2 v x + 1 = -2 x = 1 v x = -3

Luego, la base "b" está dada por la separación entre x = 1 y x = -3; es decir: b = 4

∴ área = 2hb ×

= 224 ×

= 4µ2.

9. Sean las funciones

F(x) = x2 - 4x + 5 y G(x) = x - 1Que presentan puntos "A" y "B" comunes entre si. Si de dichos puntos se bajan perpendicularmente al eje de abscisas, indicar el área encerrada bajo la recta, el eje "x" y dichas perpendiculares.Resolución:* Graficando F(x) y G(x) en el plano:

- 1

A

x

y

T 2 R0

F

1

B

"A" y "B" son puntos de intersección; al bajar perpendiculares al eje "x" se obtienen

Page 47: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

los puntos "T" y "R". La figura cuya área nos piden calcular es el trapecio ABRT Si: AT : base menor

BR : base mayorTR : Altura

Luego :

Área =

+

2

BRATTR ................ (α)

Para calcular las bases, hay que obtener los puntos "A" y "B":

x2 - 4x + 5 = x - 1 (Intersección)Resolviendo: x = 2 v x = 3

x = 2→ G(2) = 1 → punto A = (2; 1)x = 3→G(3) = 2 → punto B = (3; 2)

* Del gráfico, se puede calcular:AT = 1

BR = 2 Área =

+

221

1 = 23

µ2

TR=1

problemaS para la claSe

Bloque I1. Graficar las funciones siguientes:

a) F(x) = 2x – 4 b) F(x) = -3x + 12

2. Graficar las funciones:a) F(x) = |x-2| + 4 b) F(x) = -|x-1| + 5

3. Graficar las funciones:

a) F(x) = (x-3)2 + 5 b)F(x) = 10x - x2 - 23

4. Graficar: F(x) = -|x - 6| + 2

a)

x

y

2

6

b)

x

y

2

6

c)x

y

d)

x

y

2

6

e)

x

y

2

5. La gráfica de y = F(x) es:

x

y

3

1

1 2 40

¿Cuál de las gráficas corresponde a la función y = F(x+4) -3?

a)

x

y

b)

x

y

Page 48: 4º álgebra

c)

x

y

d)

x

y

e)

x

y

6. Si la gráfica de y = F(x) es:

x

y

- 3

- 4

Graficar: y = F(x - 4) + 5

7. Dada la gráfica de F(x) mediante:

x

y

- 2

- 34

Graficar la función -F(x + 2)

8. Luego de graficar F(x) = -x2 + 6x - 14Se obtiene una parábola cuyo vértice está dado por el par ordenado (a; b). Calcular "a + b".a) 8 b) 2 c) -2d) -8 e) 5

9. Si la gráfica de F(x) es:

x

y

- 5

4

2

Graficar: -F(x + 2) + 4

a)

x

y

b)

x

y

c)

x

y

d)

x

y

e)

x

y

10.Hallar el área de la región sombreada:

A

x

y

8

F ( x ) = x - 4 x - 1 22

a) 10 b) 28 c) 0,61d) 18 e) 80

Bloque III1. La gráfica de la función F(x) = -2x + 4

Se muestra en la figura:

x

y

a

b

Se pide calcular: ab.a) 4 b) 6 c) 16d) 8 e) 0

2. Sea la función lineal F(x) = ax + b tal que cumple: F(b) = 15 y F(-b) = 9.Calcular la pendiente de la gráfica de F(x).a) 1/3 b)1/4 c) 1/5

d) 1/6 e) 1/7

3. Se tiene una función lineal "F", de tal forma que cumple:F(0) = F(2) - 16Si la gráfica pasa por el punto (0; 7), obtener la regla de correspondencia de F.a) F(x) = 2x + 7 b) F(x) = 8x - 7c) F(x) = -8x - 7 d) F(x) = 8x + 7e) F(x) = -8x + 7

Page 49: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

4. Obtener el área de la figura formada por la

gráfica de la función

−= 10 2xF(x)

5 y los ejes cartesianos

a) 5 u2 b) 10 c) 15d) 40 e) 20

5. Hallar el área de la región formada por la función:

F(x) = -3

2 x + 4, con los ejes coordenados.

a) 48 µ2 b) 16 c) 24d) 12 e) 9/4

6. Determine el área de la región formada por la gráfica de la función F(x) = - |x| + 4 y el eje de abscisas.

a) 8 µ2 b) 12 c) 16d) 32 e) 64

7. Se tienen las funciones:

F(x) = x2 - 4x + 5 y G(x) = x - 1Cuyas gráficas se cortan en los puntos "A" y "B".Se pide obtener la suma de las ordenadas de dichos puntos.a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

8. Las gráficas de las funciones:

F(x) = x2 + 8 y G(x) = 6x se intersectan en los puntos (a;b) y (c;d)Calcular: E = a + b + c + d

a) 36 µ2 b) 38 c) 40d) 42 e) 44

9. Indicar el área de la región formada por:F(x) = |x - 2| - 6 y el eje "x".

a) 36µ2 b) 18 c) 42d) 15/2 e) 4/3

10.Halle el área de la región sombreada.y

x- 5

F ( x ) = x - 4 92

a) 72µ2 b) 144 c) 288d) 36 e) 18

Bloque III1. ¿En cuántos puntos se intersectan las gráficas de

f(x) = 5 - x y g(x) = |x + 3|?¿Cuáles son estos puntos?a) 1; (1,4) b) 2; (1,4) y (3,5)c) 1; (3,5) d) 2; (1,5), (3,4)e) 1; (1,5)

2. Si h es una función lineal de pendiente 3 e intercepto con el eje "y" 5. Halle la regla de correspondencia de la función g(x), si:g(x) - x = h(1) + h(x+1)a) 4x + 4 b) 4x + 12 c) 4x + 16d) 3x + 12 e) 3x + 16

3. Sea la función lineal F(x) tal que pase por el punto (4; 11).Además: 2F(1) = F(2) + 3.Calcular el valor de la pendiente.a) 1 b) 2 c) 3/2d) 4 e) 3

4. Hallar el área de la región formada por las gráficas de las funciones: F(x) = |x - 5| y G(x) = 3

a) 18 µ2 b) 16 c) 12d) 9 e) 6

5. Sean las funciones:

f(x) = x2 - 2x - 3g(x) = x + pCuyas gráficas se cortan en 2 puntos, tales que al unirse forman la diagonal de un cuadrado. Si uno de los puntos mencionados es (3;0); hallar el área de dicho cuadrado.

a) 3µ2 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

6. Si la gráfica de la función y = F(x) es:

4

x- 3 3

y

Graficar la función y = |F(x-2) - 3|

a)x

yy

b)

x

yy

Page 50: 4º álgebra

c)

x

yy

d)

x

yy

e)

x

yy

7. Graficar: F(x) = |x2 - 3|

a)x

3yy

b)x

- 3

yy

c)x

- 3

yy

d)x

3yy

e)x

- 3

yy

8. Graficar la función:

≤−

<<≥

=

1-x;x

1x1-;|x|1x;x

)x(F2

2

a)

x- 1 1

yy

b)x- 1 10

yy

c)x- 1 10

yy

d)x- 1 10

yy

e)x- 1 10

yy

9. Obtener el área de la región formada por las gráficas de las funciones:

F(x) = bx - a2

G(x) = -ax + b(b + 2a) ; (a > 0; b > 0)y el eje de ordenadas.

a) (a+b)2 b) (a+b)3 c) 2)ba( 2+

d) 2)ba( 3+

e) a+b

10.Dadas las funciones:F(x) = |x - n|G(x) = 4 - |x - 3|Hallar la suma de valores de "n" para que las gráficas de F(x) y G(x) se intersecten en más de 2 puntos.a) -1 b) 7 c) 8d) 6 e) 5

Tarea Domiciliaria

1. Graficar: F(x) = x - 2

2. Graficar: F(x) = |x + 3|

3. Graficar: F(x) = x2 - 2x + 54. Luego de aplicar desplazamientos sobre la

gráfica de y=F(x), se obtiene la gráfica de y=F(x-4)+5. ¿Cuáles fueron los desplazamientos?

5. A partir de la gráfica de F(x), dado por:

x

4

y

- 3

Obtener la gráfica de: F(x+5) - 3

6. Sea G(x) una función lineal que verifica G(5) = 17 G (2) = 6 + G(0)

Calcular: G(7)

7. Hallar el área de la región formada por la

gráfica de la función F(x) = -4

3x + 6, con los

ejes coordenados.

8. Del gráfico:

x

y = F ( x )

y

0

Page 51: 4º álgebra

Funciones Cuarto Año

Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que F(x) = |x-6|

9. Determinar los puntos de intersección de las gráficas de las funciones:

F(x) = x2 y G(x) = 3x - 2

10.Hallar el área de la región sombreada:

x

F ( x ) = - x + 92

y

11.La figura:

x

b

y

- 5

corresponde a la gráfica de F(x) = ax + 15.Calcular "a+b".

12.Si la gráfica de F(x) = |x - a| + b (a > 0; b > 0)Está dada por:

x

4 b - 9

y

2 a - 5

Calcular "a - b"

13.Obtener el vértice de la parábola, cuya gráfica

está representada por F(x) = -x2 + 6x - 10.

14.Dada la gráfica de F(x):

x

2

y

1- 3

- 1

¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a F(x-3) + 1?

a)x

y

b)x

y

c)x

y

x

y

d)

y

x

e)

y

x

15.A continuación se muestra la gráfica de F(x):y

x

¿Cuál de las siguientes gráficas representa a la función: -F(-x)?

a)

y

x

b)

y

x

c) d)

y

x

e)

y

x

16.Sabiendo que la gráfica de una función lineal pasa por los puntos (8;38) y (0;-2), se pide calcular la pendiente de dicha función.

17.Se tiene una función "F" cuya regla de correspondencia verifica la igualdad:

2(3 - F(x) ) = xCalcular el área de la figura que forma la gráfica de "F" con los ejes coordenados.

18.Luego de graficar: F(x) = |x| - m (m > 0) se observa que dicha gráfica forma con los ejes

coordenados, un triángulo cuya área es 64µ2. Calcular el valor de F(-2).

19.Halle los puntos de intersección de las gráficas de:

F(x) = x2 - 4x + 17

Page 52: 4º álgebra

G(x) = 3x + 5E indique la suma de coordenadas de uno de ellos.

20. Dado el gráfico:

x

V

y

Donde: F(x) = -x2 + 6x - 5Hallar el área de la región sombreada.(V : Vértice de la parábola)

21.Graficar: F(x) = -|x2 - 1|

22.Si la gráfica de una función F(x) está dada por:

x

y

La gráfica de -F(-x) es:

23.Graficar:

<= ≥

2x ; x 1F(x)5 ; x 1

24.Si: (a - 2; b + 1) es el único punto de intersección de las gráficas de: F(x) = |x| y G(x) = 6 - xCalcular "ab".

25.Sabiendo que F es una función lineal de pendiente 3 e intersecta al eje "y" en 5; obtener la regla de correspondencia de la función G(x), si: G(x+12) - x = F(1) +

26.La gráfica de la función F(x) = x2 + bx + c es una parábola que pasa por los puntos (0;2) y (1;5). Luego, dicha gráfica está dada por:

27.La figura formada por las gráficas de F(x) = |x-5| y G(x) = P (0 < P < 5) es un triángulo

cuya área es 16µ2. Se pide graficar G(x).

a)

x

y

b)

x

y

c)

x

y

d)

x

y

e)

x

y

28.Al graficar las funciones: f(x) = |x-5| y G(x) = |x+3| ; se observa que hay solo un punto

de intersección entre ellos. Calcular la distancia de dicho punto hacia el eje de abscisas.

29.Graficar: f(x) = x2 - 2|x| - 3

30.Hallar la relación que deben cumplir m y n para que las gráficas de:

F(x) = x2 + x + mG(x) = n - 3xSe intersecten en un solo punto.

Page 53: 4º álgebra

Logaritmos Cuarto Año

Tema nº 03: l o g a r i T m o S

Capacidades:

Define logaritmo.

Aplica propiedades de logaritmos.

Resuelve ecuaciones con logaritmos

Resuelve problemas con logaritmos, aplicando su definición y propiedades.

Desarrollo del Tema:

NOTACIÓN:L o g a

b→ N ú m e r o d e l o g a r i t m o ( a > 0 )

B a s e d e l l o g a r i t m o ( b > 0 b 1 )∧ ≠Se lee: Logaritmo de "a" en base "b".

DEFINICIÓN: El logaritmo se define como el valor (c) al que hay que elevar la base (b) para obtener el número (a).

Asi: Logba = c ⇔ a = b

c

Donde: a > 0b > 0 ; b ≠ 1

Ejemplos. Calcular cada caso e indicar el número de soluciones

* Log 81 = 4 ⇔ 81 = 34 * Log 169 = ⇔ 3 13

* Log 64 = 6 ⇔ 64 = 26 *Log 625 = ⇔ 2 5

• Resolver: Log (3x - 2) = 2 x

Resolución:De la definición:

Log (3x - 2) = 2 ⇔ 3x - 2 = x2

x 0 = x2 - 3x + 2

x - 2

x - 1Ahora tenemos que:

x = 2 v x = 1 (Posibles soluciones)

Pero: base del logaritmo: x ≠ 1Luego la única solución es 2.El número de soluciones = 1

* Resolver:

Log(-x - 1)(2x2 - x + 1) = 2

E indicar el conjunto solución.Resolución:De la definición:

Page 54: 4º álgebra

log(-x-1)(2x2 - x + 1) = 2 ↔ (-x -1)2 = 2x2 - x + 1

Efectuando: 0 = x2 - 3x Ahora tenemos que: x = 0 v x = 3Pero base de logaritmo = - x - 1 > 0Luego, no hay solución. Ec. Incompatible.

RELACIÓN FUNDAMENTAL

bc = a ................ (1)

Log a = c................ (2) b

Reemplazando (2) en (1):

blog

ba = a

Ejemplos: calcular cada caso:

• 4l o g 3

4 = 3 • ( x - 2 )l o g 3

( x - 2 ) =

• 5l o g 4

5 = 4 • ( 2 x )l o g 4

( 2 x ) =

• Resolver:

xlogx3x-2

= 27Resolución:

Tenemos que: xlog

x 3x-2 = 27

Entonces: 3x-2

= 33

Luego: x - 2 = 3 x = 5

• Resolver:

l o g 4l o g 3

4= - 8

3

4 - 3 x

Resolución:

log3 4 log 4 34-3x = -8

log 3 3 4-3x = -8

4 - 3x = - 8 → x = 4

PROPIEDADES OPERATIVAS

1ra. logbb = 1 ; logb1 = 0

2da. logbA + logbB = logb(AB)

3ra. logbA - logbB = logb(A/B)

4ta. nlogbA = logbAn

5ta. logbn am =

n

mlogba

Si a = b: logbn bm =

n

m

6ta. logb a = logbn an

7ma. alogbc = clogba

CAMBIO DE BASE

logba = b

a

x

x

log

logx > 0; x ≠ 1

Si x = a: logba = balog

1

REGLA DE LA CADENA

logba . logcb . logdc . loged = logea

DEFINICIONES

Logaritmo Decimal: Llamado también logaritmo vulgar o de Briggs, su base es 10.

loga = log10a

Ejemplo:

* log10 000 = log10104 = 4

* log(1/10) = log1010-1 = -1

Logaritmo Neperiano: Llamado también logaritmo natural, su base es "e" (número de Neper) cuyo valor es e = 2,718281... Lnx = logex ; x > 0

Cologaritmo (Colog)

Cologbx = logbx-1 ; x > 0 b > 0 ; b ≠ 1

Antilogaritmo (Antilog)

Antilogbx = bx ; x ∈ IR, b > 0 ; b ≠ 1

Con la propiedad:

Page 55: 4º álgebra

Logaritmos Cuarto Año

Antilogb logbx = x

ejercicioS DeSarrollaDoS

1. Calcular:

3alogxalog x73M +=Si se sabe que: x = 2log32 ; a = 2Resolución:Reemplaza el valor de "a"; aplicamos P.7.

32log32log x7xM +=32logx8M =

Ahora reemplazamos el valor de "x" en M.

= log 2 log 33 2M 8.(2 )

= log 2.log 33 2M 8.2Por la regla de la cadena:

42.8M ==

2. Hallar "x" en: x.log2 + log(log2) = log(log16)

Resolución:En el primer término aplicamos: P.4.

log2x + log(log2) = log(log16)Tenemos una suma de logaritmos aplicamos P.2.

log(2x.log2) = log(log16)

Comparando: 2x . log2 = log16

2x. log 2 = log24

Aplicamos: P.4.

2x . log2 = 4log2

2x = 4 ⇒ x = 2

3. Calcular:

E = log23. log612 - 6log

1

2log

1

123

+

Resolución:

E = log23. log612 - 6log

1

2log

1

123

+

E = log23. log612 - log23 + log612

E = log23 (log612 - 1) + log612

E = log23 (log612 - log66) + log612

E = log23 . log62 + log612

E = log63 + log612 = log636 = 2

4. Efectuar:

(1+logx2 xy + logy2-1 x2) logx3y3 x

3

Resolución:

= (logx2 x2 + logx2 xy + 2

2log

1

xy

) logx3y3 x3

= (logx2 x2 + logx2 xy + logx2 y

2) logx3y3 x3

= (logx2 x3 y3) . logx3y3 x

3 = logx2 x3 =

2

3

5. Si: x =10 3 . Halle n de:

x4log41x3log3xlogn 23)x( ++= Resolución:

x4log412x3log3xlogn 2.23x +=

x2log42n3xlog

2.2xx +=2x2log2n 2.2x3 +=

2n22n x33x2x3 =⇒+=Reemplazando el valor de "x".

51

n210n 3.333.33 =⇒=

56

n33 56

n =∴=

ejercicioS para la claSe

1. Calcular: M = 2log25 + 10log3 - log264 a) 3 b) -2 c) 2d) 5 e)

Page 56: 4º álgebra

2. Calcular: H = log332 + 36log62 + log5125

a) 9 b) 8 c) 6d) 5 e) 3

3. Calcular "x": log3(2x - 1) = 2

a) 6 b) 5 c) 8d) -5 e) 3

4. Hallar el valor de "x" en:log2(x - 1) = log23 + log24

a) 6 b) 12 c) 13d) 8 e) -13

5. Calcular el valor de "x" en:log3(3x - 5) = log318 - log39

a) 2/3 b) 7/3 c) 1/3d) 3 e) -2/3

6. Calcular el valor de "x" en: log2(log3(2x - 1)) = 1

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10

7. Calcular: E = log168 + log8127 + log12525

a) 7/6 b) 13/6 c) 5/6d) 5/12 e) 2

8. Resolver: (log2x)2 - 5log2x - 24 = 0

Indicar el producto de solucionesa) 64 b) 32 c) 16d) 256 e) 128

9. Reducir: H = antilog5(log52 + colog5(log39))

a) 25 b) 5 c) 1d) 1/5 e) 1/25

10. Si log2 = a y log3 = b. Hallar el valor de: log72a) 3a + 2b b) 6ab c) 4abd) 3a + 4b e) 2a + 3b

11. Indicar el producto de soluciones de la

ecuación: log2x - logx2 - 24 = 0

a) 1010 b) 104 c) 102

d) 103 e) 105

12. Hallar: E = log197 antilog197 23 + colog28

a) 23 b) 26 c) 20d) 19 e) 17

13. Si: log2 = a , log3 = bHallar: log48a) 4a + b b) 4ab c) 1 + 2a

d) 1 - a + 2b e) 2 + a

14. Resolver: 29x9e )112x(Ln −=−

a) 9 b) 3 c) 2d) 6 e) 4

15. Hallar "x".

3

2 logx + 3 log x -

6

1 logx = log 81

a) 3 b) 9 c) 1/9d) 1/3 e) 27

16. Resolver:

2)3xlog(

)5x7xlog( 2

=+

−+

a) 8 b) 13 c) 14/13d) 14 e) 4

17. Reducir: M = 2log log 100 + log log 2 - log log 16a) 2 b) 1 c) 0d) log2 e) log log 2

18. 8. Efectuar:

ylog11

xlog11

xy ++

+a) 1 b) -1 c) 0d) logyx e) logxy

19. Resolver:

217

xlogxlogxlog 9273

=++

a) 9 b) 3 c) 3 3d) 27 e) 3

20. Resolver: log3x . log3(9x) = 35

Indique el producto de sus soluciones.

a) 3-1 b) 3-2 c) 33

d) 32 e) 3

21. Reducir:

644log323log335log3 28125 ++

a) 16 b) 25 c) 18d) 27 e) 32

22. Si: a3b3 = a + b . Hallar "x" de:

(a + b)logabx = 64a) 10 b) 8 c) 6

Page 57: 4º álgebra

Logaritmos Cuarto Año

d) 4 e) 2

23. Calcular:

8log6)2log31

(log9M 32

348 ++=

a) 49 b) 12 c) 51d) 38 e) 63

24. Reducir:

ylog1

1xlog2

1

xyy ++

+a) 1 b) 0 c) logxxy

d) logxyy e) logxyx

25. Revolver: Ln(2x) . loge . logx10 = 3

a) 2 b) 2 c) 4

d) 1/2 e) 4 2

26. Reducir: E = log0,25antilog64colog8(1/2)

a) 1 b) -1 c) 1/2d) -1/4 e) 1/4

27. Si: log27 = a ∧ log 15 = b

Hallar: log2

a)2

1(a + 3b - 3) b)

3

1 (a - 3b + 3)

c)3

1 (3b - a - 3) d)

3

1 (a - 3b + 3)

e)3

1 (3b - a + 3)

28. Efectuar:

172log1

240log2

345log3

532 ++

++

+a) 2 b) -1 c) 1d) 1/2 e) -1/2

29. Calcular: E = colog6 antilog3 (log312 + 1)

a) 1/2 b) 2 c) -2d) 1/4 e) -1/2

30. Si: ak = k

k 1+ Calcular:

logba1+ logba2 + logba3 + . . . + logba99

donde: = 104/7

a) 3 b) 2 c) 3,5d) 4 e) 2,5

Tarea Domiciliaria

1. Calcular: log636 + log381 + log20,25

2. Calcular: E = 25 log58 - 3 log35 + 100 log9

3. Si: log9 = a, log6 = b ; Hallar: log 8

4. Resolver:

3logx - log32 = 2log

2

x

5. Resolver: (logx)2 - 7logx + 12 = 0E indicar el producto de soluciones:

6. Si: log2 = x, log3 = yHallar: log 144

7. Si:

Log24 + log242 + log243 + ... + log24n = log246

El valor de "n" es:

8. Reducir:

2log211

3log211

94 ++

+

9. Calcular:

)3log2(logantilogcoF 43

44 +=

10. Efectuar: antilog3 colog3 63 +

colog3639

11. Calcular: 112log.311log23log.52log

49A +=12. Resolver:

3)x5log()x35log( 3

=−−

E indicar la mayor solución.

13. Resolver:4))1x((loglog 22

=−

14. Resolver: log2x(3 + log2x) = 40

Indique la solución.

Page 58: 4º álgebra

15. Si: (m+n)4 = m.n

(m + n)4logmnx2 = 4; (x > 0)

16. Reducir:

2log13

6log23

122 ++

+

17. Reducir:xlog)1y)(log1xy(logM 2)xy(y2xx ++=

18. Calcular: colog6 antilog3 (log312 + 1)

19. Obtener: E = log2 antilog2 log3 log2(512)

20. Resolver: antilog (log (Lnx) + log9) = 18

21. Resolver: log2 (x2 + 7x) = 3

E indique la suma de sus soluciones.

22. Calcular:

32log325log

59log4E =

23. Indicar el producto de soluciones de:2log9x - 12logx9 = 5

24. Si: log2 = a ∧ log 3 = bHallar: log660

25. Resolver:

1x1x)17x82x2(1xlog

+=−+−−

E indicar el producto de soluciones

26. Resolver: 4xlogxlog816 22 −=+

27. Si: ]bloga[log

21

2ba

log +=

+

a2 + b2 = xab, el valor de "x" es.

28. Calcular:

A = log antilog colog 0,25 - 2log2 + Lne3 - 2

29. Hallar "x" en:colog3(1 + log2(x-1) ) = log1/24

ejercicioS para la claSe

1. Calcular:

+=

log 5 326

3

2 log 6H

log 3a) 16 b) 18 c) 25d) 27 e) 9

2. 2. Calcular el valor de:

= + −3 5M log 10 log 3 log 5

a) 2 b) 0 c) 3d) -1 e) 1/2

3. Calcular el valor de "x" en: log3(5x + 1) = 4

a) 15 b) -15 c) 16d) 20 e) 17

4. Calcular "x" en:

( )= og 7l 37x log 3

a) 1 b) 0 c) -1d) 1/2 e) 3/2

5. Resolver e indicar el producto de soluciones en:

3log3(2 - x) = x2 - 2x - 4a) 3 b) -2 c) -6d) 2 e) -1

6. El valor de "x" en la ecuación:

3logx81 = x es:a) 1 b) 3 c) 1/2d) 1/9 e) 1/27

7. Si log 9 = a , log 6 = b ; Calcular el logaritmo vulgar de 25a) a + 2b - 2 b) a - 2b + 1c) a + 2b - 1 d) a - 2b + 2e) 2a - 2b + 2

8. Resolver: 8 + log3(4log3x) = log3(36log3x)

a) 27 b) 9 c) 81d) 16 e) 144

9. Sea: f(x) = log3x

Hallar el valor de "x" en:f(81) - f(x) = f(x) - 2f(3)

a) 81 b) 27 c) 3d) 1/3 e) 9

Page 59: 4º álgebra

Logaritmos Cuarto Año

10. Sean:

= + 9(x)3

f log x2 y

= 18

(x)g log x

Calcular: E = g(f(243))a) 3/2 b)-2/3 c) -1/4

d) -1 e) -1/2

11. Halle "x" que verifica: )n(loglognlog x22

=

a) nn b) n c) n

d)n n e) nn-1

12. Halle: x x si:

Log7eLog7.Lnx = Log(Lnx)

e → número de NÉPER

a) e b) e2 c) e-1

d) e10 e)e e

13. Hallar "x" de:

(Antilog3 Log4 Antilog3 (Log34)2)2

a) 8 b) 16 c) 64d) 128 e) 1024

14. Resolver:

log3(x-4)+log32 = log3(5x2 - 16x - 12) - 1

a) 2 b) 6 c) 4d) 8 e) Hay 2 respuestas

15. Resolver: log log(x - 5) + log2 = log log (x + 1)e indicar la suma de soluciones.a) 11 b) 12 c) 24d) 8 e) 10

16. Resolver: 5log2x - 3log4x = 28

a) 64 b) 128 c) 256d) 512 e) 1024

17. Resolver: 3log2x -2log

1

x

=8logx2

Indicar una solución entera.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

18. Resolver: logx12 - 3logx24 + logx6 = 4

a) 3 b) - 3 c) ± 3d) 2 e) -1

19. Resolver: 2log(logx) = log(7-2logx) - log5

a) 3 b) 5 c) -3;5d) 10 e) 8

20. Resolver la ecuación:x + log (1 + 2x) = xlog5 + log 6Hallar: x + 1a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 8

21. Si: x9loga 4x =

Hallar el logaritmo de 6 en base 2.

a) 1aa+ b) 1a

1+ c) a

1a +

d) a+1 e) 2a

22. Efectuar:

1ylogylog1

1xlog1

1E x

xyxy++

−−

−=

a) logxxy b) logyx c) logyxy

d) logxyx e) 1

23. Calcular "x" de:

0)x2(log.alogalog

aloga/1ax

x2

x2a =+

a) a b) a c) a2

d)4 a e) a4

24. Si: logxyx2 = 2a

Donde x > y son enteros consecutivos.Hallar: Logxyy

a) 1+a b) 1-a c) 1-2a

d) 1+2

ae) 1-

2

a

25. Si: 10x + 10y = p ; x - y = log

−+qp

qp

Hallar: 10x - 10y

a)

−+qp

qpb) p - q c) q

d) 2q e) logp - logq

26. Luego de resolver la siguiente ecuación:logx2 - logx/162 = logx/642

Indicar el producto de sus soluciones.a) 12 b) 17 c) 1

Page 60: 4º álgebra

d) 16 e) 24

27. Calcular "x" en:

5xlog Inx1 ex =−

a)

elog

5e

10

b)

10In5

10e

c)

elog5

e10

d)

10In5

10e

e)

10In

5e

10

28. Sabiendo que "x", "y", "z" verifican:

zx1

zy1

yx1

−=

−+

−Hallar:

)zxlog()zylog()yxlog(

−−+−

a) 1 b) 3 c) 2d) 1/2 e) -1

29. Si "x" e "y" son valores que satisfacen el sistema:

+=

=

)2...(..........)yLn4(ex4

)1(..........................ye2

ex

donde "e" es el número de NEPER, halle "xy".

a) 3e2 b) 3e c) 2e3

d) 2e5 e) 4e

30. El valor absoluto de la diferencia de las soluciones de la ecuación:

81log321

logx51

32

x5log2

−=

+

a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

Tarea Domiciliaria

1. Hallar "x" Si: log3x5 + log3x2=28

2. Resolver:

− − + =1 12 2

log (x 1) log (x 3) 1

3. Si: Lognm = 2 ∧ Logmp = 3

Calcular: logn3 (m2p4)

4. Resolver:

1)2x(log31

xlog 23

2 =−+

y dar como respuesta la suma de las

soluciones.

5. Dada la ecuación:

2e4e

yxx −−=

Encontrar "x", para y = 1,5.

6. Si se sabe que:

0196225)7x22x14(14log)7x22x15(15log

=−+−+−

Dar como respuesta el mayor valor de "x".

7. Hallar el valor de "x" en:

340xlog

)11xlog(3

=−

++

8. Resolver la ecuación:

1695log)19x132x2(5log213 =

+−

y calcular el producto de las soluciones.

9. El logaritmo de 50

2 en base 2

2 es "y"

Calcular: log505+log10y10+y

10. Resolver:

log2 3.log3 4.log45 ...log2001 2002 logy x = log20032002

Page 61: 4º álgebra

Logaritmos Cuarto Año

Calcular la suma de cifras de: (x + y + 2003)

11. Resolver:

2log2log)2(log64x

16xx =

Indicar la suma de soluciones.

12. Hallar el valor de "x" en:

+ +=

+ + −2

2

1 log (x 4)1

log ( x 3 x 3)

13. Resolver: 47log)21x72x(7log

32 =+−

Indicar una solución.

14. Del sistema adjunto, proporcionar: logxy

alog a . x = blog b . y ... (1)

blog b . x = alog a . y ... (2)

15. Si "e" representa la base de logaritmos

neperianos, resolver (L = Ln)

=

+−

e1

LeLxeLx

logxlog

x

16. Si: x = logb . antilogb . cologb . antilogb(-

b-1) Calcular:

( ) − + + +

2x 2 2

b x 1x

log 2 x colog b colog bx b

17. Resolver la siguiente ecuación:

27)xlog(log )]x[log(loglog)xlog(log3

=

18. Hallar el valor de "x" en el siguiente sistema

de ecuaciones:xy = yx ; 8x = 5y

19. Resolver el sistema y dar el valor de "y":

−5

5

log(log 8)log 8 1

20. Resolver la ecuación:

xlogxlogalog

xlog2

alog

xlogaa

x1

a

2

2−=−

21. Resolver la ecuación:

axa

xlogax

logaxxlogaxlog 44a

44a =+++

22. Resolver:

(logb)logx.(logb)logx2(logb)logx3...(logb)logxx= (logb)x2+x

23. ¿Qué valor de "x" verifica la igualdad

)]3log3(logco[logantixloganti3624 =

24. Hallar el valor de "a" en la siguiente

expresión:

( ) =aa aa

a aa alog a .log a a .log a 3

25. Calcular "E", si: x = 10 3

++=

xlog6x2log

xlog3

x 643logE

26. Resolver el sistema. Hallar "x".

log2xy - log2 = 8 . . . (1)

2logx = 4logy……...... . (2)

Page 62: 4º álgebra

27. . Si se verifican las ecuaciones, hallar "xy"(2x)log2 = (5y)log5

5logx = 2logy

Page 63: 4º álgebra

Ecuaciones con Valor Absoluto Cuarto Año

Tema nº 04: ecuacioneS con valor abSoluTo

Capacidades:

Resuelve ecuaciones con valor absoluto.

Desarrollo del Tema:

Definición: ejemplo:

<−≥

=0x;x

0x;x|x| ( )4343 3232 −−=−

Propiedades:1) |x| ≥ 0 ; ∀ x ∈ R

2) |xy| = |x| |y| ∀ x , y ∈ R

3) |y|

|x|

y

x = ; y ≠ 0

4) |x|2 = x2

5) |x| = |-x|

6) nn |x|x =

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

yxyx|y||x|

)axax(0aa|x|

−=∨=↔=−=∨=∧≥↔=

Ejemplo:

1) |2x + 1| = 5x + 3

=

−=∨−=∧−≥

+−=+∨+=+∧≥+

7

4.S.C

7

4x

3

2x

5

3x

))3x5(1x23x51x2(03x5

2) |2x2 – 2x + 5| = |x2 + 2|

3) |x – 3| + |x + 1| = |x – 2|

- 1 2 3

I I I I I I I V

En I: x – 3 + x + 1 = x – 2x > 3 ∧ x = 0⇒ No hay solución

En II: -x + 3 +x + 1 = x – 2 2< x < 3 ∧ 6 = x⇒ No hay solución

En III: -x + 3 + x +1 = -x + 2 -1 < x < 2 x = -2⇒ No cumple

En IV: -x + 3 – x – 1 = -x + 20 = x

⇒ No cumple.

∴ C.S. = ∅

C.S.CCxCx

07x2x303x2x2x5x2x22x5x2x2

22

2222

∈∴∈∈

=+−∨=+−−−=+−∨+=+−⇒

Page 64: 4º álgebra

problemaS para la claSe

Resolver los siguientes casos: (Hallar el conjunto solución)

1) |x – 2| = 5

2) |3x – 5| = -2

3) |3x – 1| = x

4) |x – 8| = 3

5) |2x – 3| = 7

6) |3x – 5| = 2x

7) |6x – 8| = 2

8) |2x – 9| = x + 2

9) |x – 8| = 2x

10) |x2 – 5x| = |6|

11)|x – 2| = - 5

12) x23

1x4 =−

13) 63 =+y

14) 74

6 =+f

15) 8345 +=− rr

16) 1324 +=− gg

17) kk 2235 =−−

18) 2338 −=− mm

19)zz 4516 −=+

20) 12

53 −=−d

d

problemaS para la caSa

Hallar el conjunto solución:

1) |x – 5| = 3a) {8 ; 2} b) {8 ; 0} c) {6 ; 1}d) {3 ; 4} e) N.A.

2) |2x – 3| = 5a) {-4 ; -1} b) {4 ; -1}c) {3 ; -1} d) {5 ; -2} e) N.A.

3) |5x – 6| = -2a) {4/5 ; 8/5} b) {4 ; 8/5} c) {4 ; 9} d) {4/3 ; 8/3}

e) N.A.

4) |2x – 7| = 13a) {10 ; 3} b) {-3 ; 5}c) {10 ; -3} d) {-3 ; 9} e) N.A.

5) |6x – 2| = 2xa) {5 ; 9} b) {1 ; 4}c) {1/8 ; 3/4} d) {1/2 ; 1/4} e) {2 ; 4}

6) |7x – 9| = |x|a) {3/2 ; 9/8} b) {3 ; 8}

c) {3/2 ; 3} d) {6 ; 8} e) N.A.

7) |x2 – |x – 2|| = x – 1 a) C.S. = {1 ; -1 ; 3}b) C.S. = {2 ; -3 ; 1}c) C.S. = {1 ; -2 ; 9}d) C.S. = {1 ; -1 ; 4}e) N.A.

8) |3 – |x|| = 2a) C.S. = {-2 ; 1 ; 3 ; 0}b) C.S. = {-3 ; 2 ; 1}c) C.S. = {-5 ; -1 ; 1 ; 5}d) C.S. = {-2 ; 1 ; 5 ; 9}e) N.A.

9) Resolver: 1435 +=− xx

A) 4 B) 2/9 C)4 ó 2/9 D)-4 ó -2/9 E) -4

10) Resolver: xx 342 =−

A) -1 B) 4 C)1 ó 4 D)-1 ó 4 E) DC∪

Page 65: 4º álgebra

Ecuaciones con Valor Absoluto Cuarto Año

11) Resolver: 41

13 =−+

x

x

A) 4 B) -3/7 C)5 ó 3/7D)-5 ó 3/7 E) N.A.

12) Resolver: 0202 =−+ xx

A) 5 y -4 B)4 y -4 C)5 y -5D)-5 y 4 E) -4

13) Resolver: 42 =−x

Siendo la solución: { }baSC ;.. −=

Calcular: a + b

A) -6 B) 8 C)-4 D)0 E)4

14) Resolver: 425 −=+ xx , e indicar la suma de las raíces obtenidas.

A) 26/3 B) 28/3 C)3

19

D)9 E)-1/3

15)Dadas las ecuaciones:

I. 0753 =−+− xx

II. 1222 +=+ xx

Calcular la suma de todas las raíces

que se obtienen de I y II

A) 5 B) 3 C)9 D)2 E)4

16) Determinar el numero de soluciones de la ecuación 20031 =−xA) 5 B) 3 C)1 D)2 E)4

17) Resuelva 06125122

=−−+−−+ xx

A) { }2;3 B) { }9;5 − C) { }9;5

D) { }9;5− E) { }5;1−

18) Resuelva xx 5432 =++

A) { }3;1 B)

7

3;

7

1 C)

3

7

D)

3

7;

4

1 E)

7

1;

3

1

19) Resuelva:( ) 020393 2 =+−−− xx

Dando como respuesta la suma de los

elementos de su conjunto solución.

A) 10 B) 12 C)4 D)6 E)9

20) Resuelva 111 −=−+− xxxA) { }1;1 − B) { }1;0 − C)

{ }1;2

D) { }2;1 −− E) { }1;0

21) Resuelva xxx =−+12

A) { }21;21;1 ++− B) { }2;1

C) { }21;1 + D) { }2;1 +−E) { }21;21 ++−

22) Resolver: 2 5 2 1 2 5x x x− + + = +( )

; hallar el menor valor de "x".

a)-2 b)-5 c) -3 d)2 e)5

23) Resolver: 2 1 2 8( )x + − =

; hallar la suma de valores de "x".

a)-2 b)-1 c)0d) 1 e) 16

24) Resolver: 2x x− + = − +5 3 5 8

; hallar el producto de valores de "x".

a) 50 b) -50 c) 10d) 5 e) 0

25) Resolver: 3 5 2 5 8 x x+ − + =

; hallar el mayor valor de "x".

a) 3 b) 4 c) 5 d)6 e)7

26) Resolver: 3 5 2 15x x− = +

Hallar un valor de "x".

a) 5 b)-2 c) 10 d) -20 e) -10

27) Resolver: 2 3 12x x+ = −

, hallar el producto de valores de "x".

a) 35 b) -45 c) -35 d) 15e) -75

Page 66: 4º álgebra

28) Si: x + − = −5 8

;

Además y a + − =3 12

¿Indique el mayor valor que puede tener "y"?a) -1 b) 15 c) 12d) 20 e)18

29) Indique la suma de valores de: "x+y" si se cumple que:

x 1 3

y 1 2

+ + =

− + =

8

7

a) 0 b) 20 c) -20 d) -12e) 8

30) Resolver la siguiente ecuación:

296 −++=+ xxx e indique el

número de elementos de su conjunto solución.

a) 0 b) 20 c) 20 d)12e) 8

31)resolver e indicar el número de elementos de su conjunto solución.

0652 =+− xx

a) 4 b) 2 c) 5 d) 6 e) 8

32) hallar el conjunto solución de:

4262293 ++−=++− xxxx

a) 1/2 b) -1/2 c) 2 d) 12 e) 7

33) hallar la suma de las raíces de la ecuación:

15217322 =−+− xx

a) 11/2 b) 6 c) 7 d) 9/2 e) 5

34)Resolver :

0612512 2=−−+−−+ xx

a) { }5,9− b) { }2,3− c) { }9,5− d) { }3,5− e) { }4,8−

35) Resolver : 233 +=− xx

a) { }2,5− b)

4

1,

4

5 c) { }3,2−

d) { }3,5− e) { }5,5−

36)Resolver :252312 +=−+−−+ xxxx

a)

3

11,

3

1,5 b)

3

11,

3

2,3

c)

−−

3

1,3,2 d) { }3,5−

e)

−−

3

1,5,3

37)Las soluciones de la ecuación :

xxx −=−− 3318 2 son :

a) –5 y 3 b) –7 y –5 c) –6 y 2 d) –5; -7 y 3 e) –5; -6 y 3

38) Resolver: 0531433 2 =−−−− xx a) { }2,2− b) { }4,3− c) { }8,2− d) { }3,5− e) { }1,3−

39) Resolver : xx 64053 2 −=−

a) { }2,5− b) { }2,3− c) { }3,5 −− d) { }3,5− e) { }5,3−

40) 432 +=−− xx

a) 2

1 b)

2

5− c)

2

5,

2

11 d)1 e)

2

1,

2

5

41)Después de resolver la ecuación :

235 =+−x ; se puede decir que:a) Su solución es x = 5 b) Su solución es x = 8c) Su solución es x = 0d) Es una ecuación indeterminadae) Es una ecuación imposible.

42)Las soluciones de la ecuación :

03=+xx ; son : a) –1; 0 b) –2; -1 c) –2; 0 d) –1; 1 e) 0; 1

43) Resolver: 20924 =++− xx

Dar como respuesta el máximo valor entero del conjunto solucióna) -2 b) -1 c) 2 d) 1 e) 3

44) Resolver :042

2 =−− xx

Dar la suma de soluciones. a) 0 b) 1 c) 2 d)3 e) 4

Page 67: 4º álgebra

Ecuaciones con Valor Absoluto Cuarto Año

45)Resolver la ecuación siguiente :

xxx −=−+ 3122 Dar la suma de soluciones. a) 1 b) 3 c) 5 d) –5 e) -3

Page 68: 4º álgebra

Tema nº 05: ecuacioneS De graDo Superior

Capacidades:

Resuelve ecuaciones de grado superior.

Desarrollo del Tema:

Ecuaciones Polinómicas

00a........2nx2a1nx1anx0a)x(P =++−+−+=

Son ecuaciones de la forma:

Donde: n10 a,.......,a,a los coeficientes( )0a ≠ .

n ∈ IN , n ≥ 1 es el grado de la ecuación.

Definición.‘‘r’’ es una ‘‘raíz’’ o ‘‘cero’’ del polinomio:

0)r(P)x(P =⇔

Ejemplo: Sea el polinomio:

012x4x3x)x(P 23 =−−+=Se observa que:

ecuación. la de raíz una es 2 xEntonces

0P(2) 012)2(4)2(3)2()2(P;2x:Si 23

==

=−−+==

Teorema del factor

‘‘r’’ es una ‘‘raíz’’ o ‘‘cero’’ del polinomio )rx()x(P −⇔ es factor de P(x).

Ejemplo:Sean: 1; −2; 0 las raíces o ceros del polinomio P(x), hallar sus factores.Resolución:

1er factor: (x − (1)) = (x − 1)2do factor:(x − (−2)) = (x + 2)3er factor: (x − 0) = x

Entonces P(x) tendrá como tres de sus factores:

x),2x(),1x( +−

Definición:‘‘r’’ es una raíz de multiplicidad "k" de un polinomio P(x) si:

= − ⋅ ≠kP(x) (x r) Q(x); Q(r) 0 k ∈ IN; k ≥ 2

Ejemplo:Indicar las raíces del polinomio:

463 x)3x()1x()2x()x(P −−+=e indicar la multiplicidad de dichas raíces.Resolución:Igualamos cada factor a cero:

0)2x)(2x)(2x(0)2x( 3 =+++⇒=+De donde:

2x02x2x02x2x02x

−=→=+−=→=+−=→=+

2x −=∴ es una raíz de multiplicidad 3.De igual manera para

6(x 1) 0 x 1− = ⇒ = es una raíz de multiplicidad 6.

4. dadmultiplici de raíz una es 0 x0x

simple. raíz una es 3 x0)3x(4 =⇒=

=⇒=−

Método básico de resolución de una ecuación polinómica.1° Se factoriza.2° Cada factor se iguala a cero.

Ejemplos:1. Resolver:

x3 + 5x2 + 9x + 45 = 0Resolución: Factorizando:

0)9x)(5x(

0)5x(9)5x(x2

2

=++

=+++

Igualando cada factor a cero.

3i x 9x09x

5x05 x22

±=−=⇒=+∗

−=⇒=+∗

Page 69: 4º álgebra

Ecuaciones de Grado Superior Cuarto Año

Las raíces son: −5; 3i; −3i

2. Resolver:

x4x15x220x 234 ++=+Resolución:

La ecuación se puede escribir:

020x4x15x2x 234 =+−−−

La factorización no es inmediata, se puede resolver aplicando la regla de Ruffini:

1x =

1

1

1

3

2

11

2

−−−

10

6

161

15

−−

−−−

0

20

2016

4

−−−

020

20

2x −=

21,:son raíces dos −∴Notar que se aplicó Ruffini hasta que quedaron 3 términos formándose una ecuación de 2do grado:

0)2x)(5x(010x3x1 2

=+−=−−

Resolviendo: x= 5 y x = −2

Finalmente las raíces de la ecuación son: 1, −2, 5, −2.

3. Si x0 es raíz de: x3 − 4x2 + 1 = 0

Halle:

3x2

7xE

20

30

++

=

Resolución:Como "x0" es raíz debe verificar la

ecuación:

01x4x 20

30 =+−

Despejamos:

1x4x

:x20

30

30

−=Reemplazando:

( )

( )

2E

3x2

3x22E

3x2

6x4E

3x2

71x4E

20

20

20

20

20

20

=++

=

++

=

++−

=

Teorema de Cardano – VieteEste Teorema permite encontrar una relación entre las raíces de un polinomio P(x) y sus coeficientes.Si: x1; x2; x3; … xn son las ‘‘n’’ raíces de la ecuación polinominal:

P(x) = a0xn + a1xn−1+ a2xn−2 + … + an−1x + an = 0 ; a0 ≠ 0

Entonces se cumple:

Suma de raíces:

x + x + x + . . . + x = 1 2 3 n

a 1a 0

Suma de productos binarios de las raíces:

x1x2 + x1x3 + x1x4 + … + xn-1 xn = 0

2

aa

Suma de productos ternarios de las raíces:

− −+ + + = − 31 2 3 1 2 4 n 2 n 1 n

0

ax x x x x x ... x x x

a

Producto de las "n" raíces:

0

nnn321 a

a)1(x...xxx −=

Page 70: 4º álgebra

Ejemplo:

1. Para una ecuación de 3° GradoForma General:

Si "x1", "x2", "x3" son las raíces de la

ecuación en "x":Tenemos que:

x1 + x2 + x3 = 0

1

a

a−

x1x2 + x1x3 + x2x3 =0

2

a

a

x1x2x3 = 0

3

a

a− ⇒ Negativo pues el

grado es impar

2. Para una ecuación de 4to GradoForma General:

Si "x1", "x2", "x3", "x4" son las raíces de

la ecuación en "x", tenemos que:

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

1

a

a−

x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 +

x3x4 = 0

2

a

a

x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 =

0

3

a

a−

x1x2x3x4 = +0

4

a

a ⇒ Positivo pues el

grado es par.

Ejemplo:

En la ecuación: 0cbxaxx 24 =+++La suma de inversas de dos de sus raíces es igual a la tercera raíz. Indicar una de ellas.

Resolución:Sean las raíces: x1, x2, x3

Del enunciado: 3

21x

x1

x1

=+

Efectuando: 3

21

12 xxx

xx=

+

de donde: 21312 xxxxx =+Sumando "x3" para formar la suma de

raíces:

3213312 xxxxxxx +=++Usamos las propiedades de suma y producto de raíces:

3xca +−=−Despejamos la raíz "x3":

3xac =−

Ejemplos:Sabiendo que la ecuación tiene 4 raíces: "x1", "x2", "x3", "x4"

− + − − + =3n 11 3 2nx (k n)x 2nx nk 0

Además:

54

xxx1

xxx1

xxx1

xxx1

421431432321

=+++

Hallar "k".Resolución:Para que la ecuación presente 4 raíces debe ser de 4to grado:

5n411n3

==−

Reemplazando:

0k5x10x)5k(x5 234 =+−−+De la condición operando se obtiene:

54

xxxxxxxx

4321

3214 =⋅⋅⋅+++

Reemplazamos la suma y producto de raíces:

=

( k 5 )45

5 k 52

Resolviendo: k = 1.

ejercicioS para la claSe

1. Resolver: 2x3 + x2 = 15x Si tiene raíces: 321 xxx <<

Page 71: 4º álgebra

Ecuaciones de Grado Superior Cuarto Año

Indicar: 3

21

xxx +

a) 1 b) -5/6 c) -6/5d) -2/185 e) -10/3

2. Resolver:

(x2 - 9)(x2 - 3x) - 10(x2 - 9) = 0si sus raíces son: x1 < x2 < x3 < x4

Halle: 4231 xxxx +a) −21 b) 9 c) −19d) 30 e) 28

3. Indicar la suma de los cuadrados de los ceros no racionales de la ecuación:

02x7x2x 23 =−−+a) 14 b) 13 c) 10d) 5 e) 2

4. Si: "x2" y "x3" son las raíces de la

ecuación: 012x23x3x2 23 =−−+

Además: 321 xxx <<

Calcular: 321 xx2x +−a) 0 b) 2 c) 1d) −2 e) −1

5. Siendo "x1", "x2" y "x3" raíces de la

ecuación: 3x3 - 2x2 + 7x + k = 0

Además: 78

xx1

xx1

xx1

313221=++

Hallar "k"a) 7/4 b) -7/4 c) 1d) -1 e) 1/4

6. Sea la ecuación:

0)1k2(nxx)3k(x 23 =−++−+de raíces "x1", "x2", "x3"; si:

71

xx1

xx1

xx1

313221=++

Halle "k"a) 5 b) 4 c) 3d) 7 e) 26/9

7. La ecuación:

(n + 1)xn- 1 + 7x2 - 2nx + 3n = 0tiene tres raíces x1; x2; x3

Halle: 321321 xxxxxxE +++=a) -1/5 b)-19/5 c)-1d) -17/5 e) -2

8. Sea: "x1" , "x2" , "x3" y "x4" raíces de:

07x9x5x4x3 234 =+++−Calcular:

43214321 xxxxxxxxE ++++=a) −3 b) -8/3 c) 7/3d) 11/3 e) −1

9. Resolver: x4 - 2x3 - 7x2 + 8x + 12 = 0

si tiene raíces: 4321 xxxx <<<

Indicar: 343121 xxxxxx +++a) 7 b) 8 c) 9d) 11 e) 12

10. Si la ecuación: 2x3 + 7x2 - 3x - 3 = 0tiene una raíz racional. Indique la suma de sus raíces irracionales.a) 3/2 b) −3 c) 3d) -3/2 e) 1/2

11. Si una raíz de la ecuación:

0)n (m 0nmxnxmx 23

≠⋅=+++

es: x1 = −3

Calcular: E = m . n-1 + 1a) 1/3 b) 4/3 c) 3/4d) 1 e) 4

12. Si "x0" es una raíz de la ecuación:

x5 - 3 = 4xHallar el valor de:

1x85x2

0

50

+−

a) 1/2 b) 2/3 c) -3/5d) −4 e) 1

13. Resolver: (x2 + 2)2 = 6x2 + 3e indicar su mayor solución.a) -3 b) 4 c) 1d) 3 e) 16

14. La ecuación:

2xn+3 - (n + 1)xn+2 + nx + 5 = 0tiene 7 raíces. Hallar la suma de estas.a) 1,5 b) −2,5 c) 4,5d) 2,5 e) −4

15. Sea: P(x) = 9x3 - 36x2 + 44x - 16Hallar la mayor de las raíces.

Page 72: 4º álgebra

a) 2 b) 3 c) 2/3d) 4 e) 4/3

26. Para que en la siguiente ecuación:

0mxx8x3 45 =+++El producto de sus raíces sea igual a la suma de coeficientes de la ecuación, "m" debe tomar el valor de:a) −3 b) −9 c) −12d) 7 e) 12

27. En la ecuación cúbica:

0cbxaxx 23 =+++se sabe que la suma de las inversas de dos de sus raíces es igual a la tercera, luego una raíz es:a) b − a b) c − b c) c − ad) a − b e) b − c

28. Calcular la suma de las once raíces que presenta la ecuación polinomial:

04x3x4 7n23n2 =++ −+

a) -3/2 b) -2/3 c) -1/2d) -1 e) 0

29. Sea "a", "b" y "c" raíces de la ecuación:

2x3 - x + 5 = 0

Calcular: 3b1b

E3

−+=

a) 1/2 b) 2 c) c 2d) -3/2 e) 3

20. Dada la ecuación: x3 + ax - 5 = 0con a ∈ IR cuyas raíces son "x1", "x2" y "x3Calcular la suma de cubos de dichas raíces.a) -3 b) -15 c) 9d) 15 e) 18

21. La ecuación: 234 x11x18x9x +=++

Tiene como una de sus raíces:a) -2 b) 1 c) 3d) 9 e) 6

22. Resolver la ecuación:

0bx10x9x2 23 =+++si las raíces son proporcionales a 1, 2, 6.

Calcular: b2 − 1.a) 1 b) 3 c) 8d) 15 e) 24

23. Si: x1, x2 y x3 son las raíces de la

ecuación: 05x7x4 =−+Calcular:

3

33

2

32

1

31 x

5x

x5

xx5

x −+−+−

a) 0 b) −7 c) −14d) −21 e) 10

24. Determinar el valor de ‘‘m’’ si las raíces de la ecuación cúbica:

05mxx)1n4(x 25n2 =++−−−

Están en progresión aritmética.a) 16 b) 25 c) 36d) 49 e) 64

25. Calcular (a + b)2, si la ecuación:

x3 − 14x2 + 72x − ab = 0tiene sus raíces proporcionales a 1, 2 y 4.a) 64 b) 100 c) 225d) 81 e) 121

26. Si una raíz de la ecuación:

x3 - 12x2 + 39x - n = 0Es la semisuma de las otras dos.

Calcular: 3nE −=a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 1

27. Sea la ecuación:

1x5x5x 23 −=−Cuyas raíces son: −1; α; βResolver:

1616

22

−ββ+

−αα

a) 1 b) 2 c) −3d) 4 e) −2

28. Si: α es una raíz de la ecuación:

x2 = -x - 1 y β es una raíz de la

ecuación: x5 = x + 2

Indicar el valor de: β5 − α3β + 2a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

29. Si: = − = −1 2x 3 2 3; x 3; "x3"

son raíces de la ecuación:

x3 + ax2 + bx + c = 0

Determinar: )xa( 3−

si: c = 4 63 −

Page 73: 4º álgebra

Ecuaciones de Grado Superior Cuarto Año

a) 34

32 +b) 228 −−

c) 39 +− d) 32

e)32

34

30. Calcular el valor de ‘‘m’’, sabiendo que las raíces de:

4x3 - 24x2 + mx + 18 = 0Son:

β−α=

α=β+α=

3

2

1

x

x

x

a) 18 b) 21 c) 23d) 25 e) 27

Tarea Domiciliaria

1. Al resolver: x3 = 3x2 + 4xSe obtiene las raíces "x1”; "x2”; "x3",

que cumplen que:x1 < x2 < x3. Calcular: (x1 + x3)x2.

2. Resolver:

0)16x(4)x5x)(16x( 222 =−++−

Si sus raíces son: x1 = x2 < x3 < x4.Halle:

32

41

xxxx

++

1. Sea la ecuación:

x3 - (2n + 1)x2 + (7n + 2)x - 6n = 0de raíces: "x1", "x2", "x3" que cumple:

249

xx1

xx1

xx1

313221

=++

Calcular "n"

4. Resolver: (x2 − 1)2 = 8(x2 − 1)e indicar la menor raíz de la ecuación.

5. Sea la ecuación:

5x3 - (3m - 1)x2 - px + 5n2 - 6 = 0de raíces:

= −

= −

=

1

2

3

x n

1x

5x 13Calcular la suma de valores que toma ‘‘n’’.

6. Si se cumple que: 3x3 - x2 - 12x + 4 = 0

Presenta por raíces: "x1"; "x2"; "x3", y

además: x1 + x2 = 0,

x1 > x2.

Calcular: (x1 + 3x3 − x2)

7. Se tiene la ecuación:

0nx7x4x 3n =++−cuyas únicas raíces son:

ax

na2x

nax

n2ax

4

3

2

1

−=−=−−=

+=

Calcular: ‘‘a’’.

8. Sea la ecuación:

x5 - (5 + n)x4 - (3 - 2n)x3 + n + 1 = 0que presenta a una de sus raíces: x1 = 1

Calcular: 5 + n.9. Calcular la menor raíz de:

06x13xx2 23 =+−+

10. Sea la ecuación:

4xn+4 - 2xn+2 - x - 8 = 0Cuyas raíces únicas son "x1", "x2", "x3"

y "x4".

Calcular: F = x1 + x2 + x3 + x4 + x1 . x2 . x3 . x4

11. Se tiene la ecuación:

xn - (k - 6)x2 - (k + 3)x + n = 0de raíces "x1", "x2", "x3" únicas.

Calcular ‘‘k’’ si la suma de raíces es igual al producto de ellas.

12. Sea la ecuación:

Page 74: 4º álgebra

x4 - (n - 3)x3 - (n - 1)x2 + (2n - 7)x + 2 = 0de raíces "x1"; "x2"; "x3" y "x4" que

verifican que:x1 + x2 + x3 + x4 = 2n − 7

Indicar el valor de "n".

13. Resolver:

06xx7xx 234 =++−−Si sus raíces son: x1 < x2 < x3 < x4Indicar: x1 + x2 − (x3 + x4)

14. Si la ecuación: 01xx3x2 23 =+−−tiene una raíz racional. Indique la suma de sus raíces irracionales.

15. Sean las raíces de la ecuación:

024xx3x16x8 234 =−+−−"x1", "x2", "x3", "x4".

Calcular: )xxxx(xxxxM 43214321 +++−=

16. Se tiene la ecuación:

0)3n(xxx2nxx 23n1n2 =−+−+−−+

que presenta 9 raíces. Calcular el producto de sus raíces.

17. Si: ‘‘x0’’ es una de las raíces de:

3x4 - 7 = 9x. Calcular:

1x

x94H

40

0

−+

=

18. En la ecuación: x4 + x + 6 = x3 + 7x2

Indicar sus raíces.

19. Calcular la suma de los cuadrados de las raíces irracionales de la ecuación:

3 2x 4x 2x 5 0− − + =

20. Sabiendo que "x0" es una de las raíces

de: 4x3 - 8x2 = 9Calcular:

+

20

3 20 0

9 4x

x x

21. Si la ecuación:

4x2n-5 + (n2 - 2)xn-1 + nx2 + n - 8 = 0tiene 5 raíces. Hallar el producto de las raíces.

22. Si ‘‘a’’ es una raíz de la ecuación:

x4 - x - 4 = 0. Hallar: 44a

F =a+4

23. Si las raíces de la ecuación:

x3 - 8x2 + 7x + k = 0son proporcionales a 1, 2 y 5.Calcular ‘‘k’’.

24. Si la ecuación: 3x2 - 3x - 1 = 0Tiene por raíces "x1" ∧ " x2".

Calcular:

= − + −1 21 2

1 1H 3x 3x

x x

25. Sabiendo que la ecuación: 3 2x - abx + qx + 27 = 0

tiene sus raíces proporcionales a −1, 3, 9.Calcular ‘‘a . b’’.

26. Si: "x1" y "x2" son raíces de:

2x(x - 3) = (x + 3)(x - 1)

Calcular: + + + − +5 5 3 3 4 4

1 2 1 2 1 2x x 3(x x ) 8(x x )

27. Calcular la suma de las doce raíces que presenta la ecuación polinomial:

3x4n+4 - (n + 1)x4n-2 + nx7 - (n + 1)x + 8 = 0

28. Dada la ecuación: ax3 - a2x2 + ax - 4 = 0a∈lN. Si una raíz es ‘‘a’’. Halle el producto de las otras 2 raíces.

Page 75: 4º álgebra

Inecuacaciones de Grado Superior Cuarto Año

Tema nº 0 6: i n e c u a c i o n e S D e g r a D o S u p e r i o r

Capacidades:

Resuelve inecuaciones de grado superior , aplicando criterios adecuados.

Resolver las siguientes inecuaciones:

a) ( ) ( )xxx

583

22

3

5

2

152 −>−>−

b)3

2

2

12

6

23

5

12 ++>−+− xxx

c) 21

83 −≥−+

x

x

d) ( )4

11

5

32 +≥−−− xx

x

Resolver las siguientes inecuaciones lineales:

a) El intervalo para el cual se verifica la desigualdad :

55

133 <

−−<

x

x ; es :

b) El número entero “x” que cumple con la desigualdad :

2

1

19

12

1 ++<<

+ x

x

x

x ; es :

c) Al resolver la inecuación :

2

31

5

4 >−−+x

x y sumar los valores enteros que la satisfacen, se obtiene :

Desarrollo del Tema:

1. INECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO : Es de la forma :

ax + b > 0 ó ax + b < 0

La solución de esta inecuación es análoga a la solución de una ecuación lineal.

Ejemplo : 5x – 3 < 2x –1 < x + 7

NOTA : Luego:

5x – 3 < 2x – 1 ∩ 2x – 1 < x + 7

x < 2/3 ∩ x < 8

x ∈< -∞, 2/3 >

2. RESOLUCIÓN Y DISCUSIÓN :Sea la inecuación : ax + b > 0 .......... (1)

a < x < b ⇒ a < x ∩ x < b

Page 76: 4º álgebra

ax > -bSi a > 0, dividiendo ambos miembros entre una cantidad positiva el sentido de la

desigualdad no varía.

a

bx −>

Si a < 0, dividiendo ambos miembros entre una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte.

a

bx −<

Si a = 0, la inecuación (1) se reduce a : b > 0Ella se verifica para todo valor de “x” si b es positivo y se denomina inecuación indeterminada. Si b es negativo o nulo, carece de raíces y se denomina inecuación imposible.

Se ha visto que la resolución de una inecuación de primer grado con una incógnita da lugar a soluciones elementales de la forma :

x > aSi x > a, se dice que el número “a” es el límite inferior de los valores de la incógnita, lo que significa que cualquier número mayor que “a” es una solución de la inecuación. La inecuación x > a se ilustra gráficamente del siguiente modo : sobre el eje numérico se marca el punto correspondiente al número “a”, los valores de la incógnita “x” que verifican la inecuación, se representan por los puntos que se encuentran a la derecha del punto “a”.

x > a ó a < x

Como el valor “x” no toma el valor infinito, éste representa el límite superior. La solución se designa en forma genérica como :

a < x < ∞y aplicando la notación de intervalos como :

x ∈ <a, +∞>que se lee : “x” pertenece (∈) al intervalo abierto a, +∞

x < bSi x < b, se dice que el número “b” es el límite superior de la incógnita, lo que significa que cualquier número menor que “b” es una solución de la inecuación. La inecuación x < b se ilustra gráficamente del siguiente modo : sobre el eje numérico se marca el punto correspondiente al número “b”, los valores de la incógnita “x” que verifican la inecuación, se representan por los puntos que se encuentran a la izquierda del punto “b”. En este caso, el límite inferior es el valor de menos infinito.

x < b

La solución se designa como :-∞ < x < b ó x ∈< -∞, b >

prÁcTica DirigiDa

En cada uno de los ejercicios dados, aplica la información teórica recibida.

1. Hale el conjunto solución de cada una de las inecuaciones :a) 120 < 21x – 6 < 204b) 5(x + 3) + 4 < x – 1c) 3x – 14 ≤ 7x – 2

d) 9824

66 <+< x

e) 3332

21 <−< x

f) 4(3x - 1) < 4(x + 9)

2. Hallar los valores de “x” que satisfacen a la limitación siguiente :

2x – 5 < x + 3 < 3x – 7

b-∞ +∞0

Page 77: 4º álgebra

Inecuacaciones de Grado Superior Cuarto Año

a) < 5, 8 > b) < 5, 10 > c) < 1, 7 >d) < -4, 8 > e) < 3, 5 >

3. El intervalo para el cual se verifica la

desigualdad : 55

133 <

−−<

x

x ; es :

a) 5 < x < ∞ b) 3 < x < 5 c) -∞ < x < 5 d) 12 < x < ∞ e) 15 < x < ∞

4. El número entero “x” que cumple con la

desigualdad :2

1

19

12

1 ++<<

+ x

x

x

x ; es :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. La solución de la inecuación :

14

3 >−x

; es :

a) 1 < x < 4 b) 4 < x < 7c) -∞ < x < 1 ; 4 < x < ∞d) -∞ < x < 4 ; 7 < x < ∞e) 4 < x < 5 ; 7 < x < ∞

6. Al resolver la inecuación :

2

31

5

4 >−−+x

x

y sumar los valores enteros que la satisfacen, se obtiene :a) 40 b) 44 c) 45 d) 50 e) 56

7. ¿Cuáles son los números naturales que al multiplicarlo por 6, siempre da un número menor que 36?

8. Jorge fabrica un número determinado de mesas. Si duplica su producción y vende 60, le quedan más de 24. Luego fabrica 10 más y vende 28. Tendrá entonces menos de 10 mesas. ¿Cuántas mesas se fabricaron?a) 96 b) 43 c) 45 d) 88 e) 120

9. El intervalo en el cual debe estar comprendido el número “n” para que la raiz de la ecuación :

nx

n

x +−= 123

sea menor que 1 , debe ser :

a) –2 < n < 4 b) –4 < n < 2 c) -∞ < n < -4 ; 2 < n < ∞d) -∞ < n < -2 ; 4 < n < ∞e) -∞ < n < 2 ; 4 < n < ∞

10. ¿Cuántos números enteros, satisfacen la inecuación?

( ) ( )xxx

583

22

3

5

2

152 −>−>−

a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6

11. Resolver :

(x – 1)*2 ≤ (3*x)*2

1≤ (1+2x)*5, si en R

definimos la operación a*b = 2

ba −

a)

3

8,

3

7 b)

3

8,

3

6 c) <

3

8,

3

7]

d)

8,3

7 e) N.A.

12. La suma de los valores enteros y positivos de “x” que satisfacen a la siguiente inecuación :

74

185

2

135

273++

>xx

; es :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 10

13.El triple de un número es mayor que 14 y menor que 16. ¿Cuál es el número?.a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 15

14.Resolver :

( )4

362

2

36 −≥−−− xx

x

a) [ -7, +∞> b) [ -7, 8> c) [ -7, 0] d) [7, 25] e) [7, +∞ >

15.Resolver :

21

83 −≥−+

x

x

a) < -∞, -6/5 ] ∪ < 1, +∞ >b) < -∞, 5/6 ] ∪ < 2, +∞ >c) < -∞, -1 ] ∪ < 2, +∞ >d) < -∞, -1 ] ∪ [ 1, +∞ >e) < -∞, 6 ] ∪ [ 7, +∞ >

16.Resolver :

3

2

1

3

5

1 <+−<x

x

a) < 4, 11 > b) [ 4, 11 ] c) < 4, 12 ] d) < 0, 7 > e) N.A.

17.Resolver :

Page 78: 4º álgebra

22

5

1

6 −>−

−− xx

a) < -∞, -1/2 > ∪ < 1, 2> ∪ < 3, +∞>b) < -∞, -1 > ∪ < 5, 6> ∪ < 6, +∞>c) < -∞, -2 > ∪ < -1, 2> ∪ < 3, +∞>d) < -∞, -1/2 > ∪ < 3, +∞>e) < -∞, -1/2 ] ∪ < 1, 2> ∪ [ 3, +∞>

18. En R definimos la operación * por :

a*b = 2

ba + ; según esto, resolver :

( ) ( ) ( ) 5*234

3**21*12 xxx +≤≤−

a) [ 5/6, +∞ > b) [ 7/9, +∞ > c) [3, 19] d) [ 6/7, +∞ > e) N.A.

19.Resolver :

( ) ( )x xx x 123 12 2.004.0 −+ − >a) < -∞, -3 > ∪ < 0, 1/2 > b) < -∞, 0 > ∪ < 0, 1 > c) < -∞, 5 > ∪ < 1, 5/6 >

d) < -∞, -2> ∪ < 0, 1 > e) N.A.

20.Resolver :

3812 >−−+ xxa) [ 8, 12 > ∪ < 24, ∞ >b) [ 3, 15 > ∪ < 15, ∞ >c) [ 0, 9 ] ∪ < 10, 18 ]d) [ 8, 12 ] ∪ [ 24, ∞ >e) N.A.

21.En un gallinero había un cierto número de gallinas. Se triplico este número y se vendieron 95, quedando menos de 87. Después se duplicó el número de gallinas que había al principio y se vendieron 40, quedando mas de 79. ¿Cuántas gallinas había inicialmente en el gallinero?a) 20 b) 30 c) 40 d) 60 e) 80

22. Investiga y resuelve las existencias de ejercicios de diversas complejidades que pudieran existir con inecuaciones lineales o de primer grado.

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

EXPLORACIÓN Y MOTIVACIÓNEstimado alumno, exploremos nuestros saberes previos:a) Resolver : 03103 2 <+− xx

b) Resolver : 01562 >++ xx

c) Resolver : ( )( ) 04332 22 >−−−+ xxxx

d) Resolver : 02

223

2

≤−−++xxx

xx

e) Resolver : ( )( ) 0822 22 <−+−− xxxx

f) Resolver : 0642 <+− xx

g) Resolver : 01562 >++ xx

h) Resolver la siguientes inecuación : 2

1

152

122 −−

>−− xxxx

3. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA : Una inecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma :

02 >++ cbxax ó

Page 79: 4º álgebra

Inecuacaciones de Grado Superior Cuarto Año

02 <++ cbxax

Siendo a ≠ 0 y positivo, si “a” fuera negativo se multiplican ambos miembros por –1 para hacerlo positivo, con lo cual se cambia de sentido a la desigualdad.Resolver una de estas inecuaciones es hallar entre que intervalos debe variar “x” para que satisfaga a la condición impuesta.

4. RESOLUCIÓN : Para determinar las soluciones de una inecuación de segundo grado se aplica cualquiera de estos dos procesos :

1. Se factoriza el trinomio cbxax ++2 , si no fuera factorizable directamente se encuentran las raíces x’ y x’’ de la ecuación :

02 =++ cbxax , con lo cual se tendrá :

( ) ( ) 0''' >−− xxxx ó

( ) ( ) 0''' <−− xxxx

Es decir, la inecuación dada se reduce a dos inecuaciones lineales que permiten resolver el problema.

2. Aplicando las propiedades del trinomio cbxax ++2 y la representación gráfica, dan las soluciones con gran sencillez.

prÁcTica DirigiDa

1. Resolver la inecuación : 01282 >+− xx a) 6 < x < +∞ ∪ -∞ < x < 2 b) 2 < x < +∞ ∪ -∞ < x < 0 c) 1 < x < +∞ ∪ -∞ < x < 1 d) 6 ≤ x < +∞ ∪ -∞ < x ≤ 2

2. Resolver : 03522 <−+ xx a) x ∈ < -7, 5 > b) x ∈ < -2, 7 > c) x ∈ < 0, 7 > d) x ∈ < -2, 5 > e) N.A.

3. Resolver : 025102 >+− xx a) x ∈ R – {5} b) x ∈ R c) Absurdo d) x = 5 e) x ∈ < -5, 5>

4. ¿Qué valores de “x” verifican la

desigualdad? 5

742

5

23

−−<+

−+

x

x

x

x

a) x ∈ < 4, 7 > b) x ∈ < 1, 5 > c) x ∈ < 0, 2 > d) x ∈ < -1, 7 > e) N.A. 5. Resolver : 054 2 >−− xx

a) x ∈ Rb) x ∈ < - ∞, -1/4> ∪ < 5, +∞ > c) x ∈ < - ∞, -5> ∪ < 0, +∞ > d) x ∈ < - ∞, -3/5> ∪ < 1, +∞ >

e) N.A.

6. Si: )1)(1(

2

)2)(1(

1

−+

+≥

++

XX

X

XX

X Hallar la

suma del valor entero máximo y mínimo del conjunto solución. a)-1 b)2 c)0 d)4 e) –5

7. Hallar el mayor valor de “m” que cumple la relación: Mxx ≥++ 21433

ℜ∈∀x a)-16 b)-11 c)-12 d)-13 e)-14

8. Hallar el menor valor entero del conjunto solución en:

3342322

−≤+−

+−

xx

xx.

a)2 b)3 c)-1 d)0 e) –3

9. Resolver:22

282

ax

a

ax

a

ax

x

−≤

+−

−; si a<0

a) [ ><>−− aaUaa 2,,3 b) < -3a, -a > c) < a,2a > d)< 3a, 5a>e) [-a, 3a >

10.Resolver :

623

2 ≤+

− xx

Page 80: 4º álgebra

a) >< 3,2 b) >−−< 3,2

c) >−< 3,2 d) [ ]3,2−e) ] [ ]+∞∪−−∞< ,32,

11.Resolver :

( )( ) 04332 22 >−−−+ xxxxa) x ε <-3, 1> b) x ε <-3, 1] c) x ε <-1, 3> d) x ε [-3, 1] e) N.A.

12. La solución de la inecuación :

03013

62

2

<++−+xx

xx

–10 < x < 2 f) –10 < x < -3; -3 < x < 2g) -∞ < x < -2; 3 < x < 5h) –3 < x < 2i) -∞ < x < -3; -3 < x < ∞

13. Hallar el menor número real M tal que se cumpla : Mxx ≤−+ 266 ; para todo “x” real

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

14.Hallar el mayor número real “m” tal que se cumpla :

4142 +−≤ xxm ; para todo “x” real. a) 37 b) 38 c) 39 d) 40 e) 41

15. Resolver : 3812 >−−+ xx a) x ∈ [ 8, 12 > ∪ < 24, +∞ > b) x ∈ < - ∞, -1> ∪ < 0, +∞ > c) x ∈ < 9, 18 ] ∪ [ 5, +∞ > d) x ∈ < - ∞, 0> ∪ < 24, +∞ > e) x ∈ < - ∞, -1/2> ∪ < 5, +∞ >

16. Resolver : 10252 2 +−>− xxx a) x ∈< 5, +∞ > b) x ∈[ 5, +∞ > c) x ∈< 2, +∞ > d) x ∈< 5/2, +∞ > e) x ∈< -∞, 5/2 > ∪ [5, +∞ >

17. Investiga y resuelve las existencias de

ejercicios de diversas complejidades que pudieran existir en un sistema de inecuaciones cuadráticas o de segundo grado.

inecuacioneS De graDo Superior

a) Resolver : 082 23 >−− xxxb) Resolver : 03019154 234 <++−− xxxx

c) Resolver : 02

223

2

≤−−++xxx

xx

d) Resolver: 7

742832

−−≤++x

xxx

Resolver las siguientes inecuaciones :

a) Resolver :

14

111522

234

−>++

−−−−xx

xxxx

b) Resolver :

)43)(5()1(4 ++<− xxx

c) Resolver :

042

652

2

≥−++−

xx

xx

d) Resolver la siguientes inecuación :

0)7(

402223

≥+

−++−xx

xxx

Page 81: 4º álgebra

Inecuacaciones de Grado Superior Cuarto Año

5. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR : Una inecuación de grado superior a dos con una incógnita es aquella que se puede reducir a la forma :

0...22

110 >++++ −−

nnnn axaxaxa

ó

0...22

110 <++++ −−

nnnn axaxaxa

Donde n ≥ 3 y a0 ; si a0 no fuera positivo se hace positivo.

6. RESOLUCIÓN : Para determinar lassoluciones de una inecuación de grado superior con una incógnita, se encuentran las “n” raíces :x1 < x2 < ... < xn de :

0...22

110 =++++ −−

nnnn axaxaxa

Con lo cual se obtiene :(x – x1)(x – x2) ... (x - xn) > 0ó(x – x1)(x – x2) ... (x - xn) < 0

Donde el producto del primer miembro tiene sus factores ordenados de mayor a menor.

7. MÉTODO ANALÍTICO :a) Si las raíces son reales y desiguales, se encuentran los intervalos formados por estas

raíces y los valores extremos +∞ y -∞ ; colocando signos alternadamente (+) y (-), viniendo de derecha a izquierda, en los intervalos consecutivos del producto.

b) Para la solución se toman los intervalos que tienen signo igual al sentido de la desigualdad.

c) Si hay raíces dobles, los trinomios que dan origen a estas raíces iguales se pueden dejar de escribir en la inecuación, teniendo cuidado de no tomar en la solución los puntos para los cuales existe la raíz doble.

d) Si hay raíces complejas (estas se presentan por pares conjugados) los trinomios que dan origen a estas raíces complejas conjugadas son siempre positivas, por lo cual se pueden dejar de escribir en la inecuación.

x1 x

2x

n

++ _---∞ +∞

Page 82: 4º álgebra

prÁcTica DirigiDa

En cada uno de los ejercicios dados, aplica la información teórica recibida

1. Resolver la inecuación :

024269 23 <−+− xxxa) x ∈ < - ∞, -1/4> ∪ < 5, +∞ > b) x ∈ < - ∞, 2> ∪ < 3, 4 > c) x ∈ < - ∞, -1> ∪ < 8, +∞ > d) x ∈ < - ∞, -2> ∪ < 5, +∞ > e) N.A.

2. Resolver :

( ) ( )( ) ( ) 0

73

42 2

<−+−−xx

xx

x ∈ < -∞, -3 > ∪ < 2, 7 > -{4}x ∈ < -∞, 0 > ∪ < 3, 5 > -{4}x ∈ < -∞, -3 > ∪ < 0, 7 > -{4}x ∈ < -∞, -3 > ∪ < 2, +∞ > -{4}N.A.

3. Resolver :

( )( )( ) ( )

054

312

≥+−

−−xx

xx

a) x ∈ <-5, -3> ∪ [ 3, 4 > ∪ < 4, +∞ >

b) x ∈ < -∞, -3 > ∪ < 2, +∞ >c) x ∈ < -∞, -3 > ∪ < 2, 7 > -{4}d) x ∈ < -5, 1 ] ∪ [ 3, 4 > ∪ < 4, +∞

>e) N.A.

4. ¿Qué valores de “x” verifican la desigualdad?

012148

123

<+++

+xxx

x

a) <-10, 0> b) <-6, 0 > c) <-6, -1> d) <-2, 5 > e) N.A.

5. Resolver :

08292 234 >+−−+ xxxxa) < -∞, -4 > ∪ < -1, 1 > ∪ < 2, +∞ >b) < -∞, -6 > ∪ < 0, +∞ >c) < -∞, -1 > ∪ < -1, 0 > ∪ < 1, +∞ >d) < -4, 2>e) < -∞, -1 > ∪ < 0, 1 > ∪ < 3, +∞ >

6. Resolver :

024221172 234 <++−− xxxxa) < -3/2, -1 > ∪ < 2, 4 >b) < -3/2, 0 > ∪ < 1, 4 >

c) < -∞, -1 > ∪ < 2, +∞ >d) x ∈ R –{-1}e) < -7, -1 > ∪ [ 3, 4 >

7. Resolver :

0242022 2345 <+−−−− xxxxx

a) < -∞, -2 > ∪ < 2, +∞ >b) < -∞, -1 > ∪ < 0, +∞ >c) < -∞, -2 > ∪ < 1, 3 >d) < -∞, 0 > ∪ < 1, 3>e) N.A.

8. Resolver :

0322

122<

+−

−−

xx

xx

a) x ∈ < -3, 4 > b) x ∈ < -3, 0 > c) x ∈ < -3, +∞ > d) x ∈ < -3, 7 > e) x ∈ < -3, 4 > ∪ < 7, +∞ >

9. Resolver :

040187

6563223

234

<−+−

+−−+xxx

xxxx

a) < -∞, -2 ] ∪ [ -3/2, 5>b) < -∞, -2 > ∪ < -3/2, 5>c) < -∞, 0 ] ∪ [ 1, 5>d) < -∞, -2 ] ∪ [ 2, +∞ >e) N.A.

10.Resolver : ( )( ) 04332 22 >−−−+ xxxx

a) x ε <-3, 1> b) x ε <-3, 1] c) x ε <-1, 3> d) x ε [-3, 1] e) N.A.

11.Resolver :

11522 +>−− xxxa) < -∞, -1] ∪ [ 3, +∞ >b) < -∞, -1> ∪ < 3, +∞ >c) < -∞, -3]d) < -∞, 0] ∪ [ 1, +∞ >e) N.A.

12.Resolver :

1 321 3 328 − ++ + < x xx x

Rpta. : < -∞, -1> ∪ < 1, +∞ >

Page 83: 4º álgebra

Inecuacaciones de Grado Superior Cuarto Año

13. Investiga y resuelve las existencias de

ejercicios de diversas complejidades que

pudieran existir en un sistema de inecuaciones grado superior.

Page 84: 4º álgebra

Tema nº 0 7: i n e c u a c i o n e S c o n v a l o r a b S o l u T o

Capacidades:

Resuelve inecuaciones con valor absoluto, aplicando criterios vistos en clase.

Desarrollo del Tema:

Teoremasa ∈ IR

|x| > a ↔ x > a ∨ x < -a |x| < a ↔ a > 0 ∧ -a < x < a |x| = |y| ↔ (x + y)(x - y) = 0∴∀ x; y ∈ IR; |x + y| ≤ |x| + |y|(Desigualdad triangular)

Nota:|x + y| = |x| + |y| ↔ xy ≥ 0|x + y| < |x| + |y| ↔ xy < 0

1. Resolver: x2 ≥ 3|x| + 4Resolución:Se sabe que: x2 = |x|2. Luego se tendrá:

|x|2 ≥ 3|x| + 4

|x|2 - 3|x| - 4 ≥ 0(|x| - 4)(|x| + 1) ≥ 0

Observa que: |x| + 1 > 0; ∴∀ x ∈ IREn consecuencia: |x| - 4 ≥ 0 ↔ |x| ≥ 4

x ≥ 4 ∨ x ≤ -4 ∴ x ∈ <-∞; -4] ∪ [4; +∞>

2. Resolver: |5x - 2| ≤ 3x + 4Resolución:

I. 3x + 4 ≥ 0 ↔ x ≥ -3

4... S

1

II. |5x - 2| ≤ 3x + 4→ -(3x + 4) ≤ 5x - 2 ≤ 3x + 4→ -2 ≤ 8x ∧ 2x ≤ 6

→ - 4

1≤ x ∧ x ≤ 3

→ x ∈

3 ;41

- ... S

2

III. x ∈ S1 ∩ S

2

Graficando:

43

14 3- -

− ∞ + ∞

∴ C.S. =

− 3;

41

3. Resolver: |x2 + x - 2| < |x2| + |x - 2|Resolución: |a + b| < |a| + |b|sólo si: ab < 0Dando forma a la inecuación propuesta:

|(x2) + (x - 2)| < |x2| + |x - 2|del teorema se tiene:

x2(x - 2) < 0x - 2 < 0 ↔ x ≠ 0

x < 2x ∈ <-∞; 2> - {0}

le restamos el cero, pues: x = 0, no verifica la inecuación original.

4. Resolver: |x + 1| < |x - 2|Resolución:Elevando al cuadrado:

|x + 1|2 < |x - 2|2 ↔ (x + 1)2 < (x - 2)2

(x + 1)2 - (x - 2)2 < 0Diferencia de cuadrados:

[x + 1 + x - 2][x + 1 - x + 2] < 0(3)(2x - 1) < 0

6x - 3 < 0 → 6x < 3

x < 2

1

∴ x ∈ 21

;- ∞

5. Resolver:(x - 2)2 > 4|2 - x| + 5

Resolución:Por propiedades:

(x - 2)2 = |x - 2|2

|2 - x| = |-2 + x| = |x - 2|Reemplazando:

|x - 2|2 - 4|x - 2| - 5 > 0(|x - 2| - 5)(|x - 2| + 1) > 0

Pero: |x - 2| + 1 > 0 ∴∀ x ∈ IR∴ |x - 2| - 5 > 0

|x - 2| > 5x - 2 > 5 ∨ x - 2 < -5

x > 7 ∨ x < -3Graficando:

Page 85: 4º álgebra

Inecuaciones con Valor Absoluto Cuarto Año

7- 3- ∞ + ∞

x ∈ <-∞; -3> ∪ <7; +∞>

Page 86: 4º álgebra

problemaS propueSToS

1. Resolver: |x2 - 3x - 1| < 3a) <-∞; 1> ∪ <1; 2> b) <-1; 1> ∪ <2; 4>c) <-1; 1] ∪ <2; 4] d) <0; 1> ∪ <2; 4>e) <-1; 1> ∪ <4; +∞>

2. Resolver: |x2 - 2x - 4| ≥ 4a) <-∞; -2] ∪ [4; +∞>b) <-∞; -2] ∪ <0; 2]c) <-∞; -2] ∪ <0; 2] ∪ [4; +∞>d) <-∞; -2] ∪ [0; 2] ∪ [4; +∞>e) <-∞; -2] ∪ [2; 4]

3. Resolver: (x - 5)2 - 10 ≤ 3|5 - x|a) [0; 10] b) <0; 10>c) IR - {0; 10} d) φe) <-∞; 0> ∪ <10; +∞>

4. Resolver: (x - 2)2 - 15 > 2|2 - x|a) IR - [-2; 6] b) IR - [-2; 7]c) IR - [-1; 7] d) IR - [-3; 7]e) IR - [-3; 6]

5. Resolver:(|x - 1| + |x - 2|)(|1 - x| - |2 - x|) ≤ x2 - 6

a) x ∈ IR b) x ∈ φc) x ∈ IR - {2} d) x∈<-∞; -1] ∪ [3; +∞>e) x ∈ [-1; 3]

6. Resolver: |x2 - 2|2 ≤ 3|x2 - 2| + 4

a) [- 2 ; 2 ] b) [0; 6 ]

c) [- 3 ; 3 ] d) [- 6 ; 6 ]

e) [0; 3 ]

7. Resolver: ||x| + 2| ≤ |x|2

a) <-∞; -2] ∪ [2; +∞> b) [-2; 2]c) [0; 2] d) [-2; 0]e) [1; 2]

8. Resolver: |x2 - 4| ≤ (x + 2)2

a) x ∈ [0; 2] ∪ {-2} b) x ∈ [0; 6] - {2}

c) x ∈ IR+0 - {-2} d) x ∈ IR+

0 ∪ {-2}

e) x ∈ IR

9. Resolver: |x2 - 3| < |x2 - x + 2|

a) 21

;- ∞∪ <1; 5> b)

∞1

- ; -2 ∪ <1; 5>

c) <-∞; -2> ∪ <1; 5> d) 41

;- ∞ ∪ <1; 5>

e) <-∞; 1> ∪ <1; 5>

10.Sabiendo que: b > 0 ∧ |x - a| < 2bHallar la variación de:

b3a-xb+

a)1 ;

31

b) 51

;1-c)

1 ;51

d) 23

;1e) 5

1 ;

51

-

6. Si: |x - 3| < 5; halle el intervalo en el que se encuentra la siguiente expresión:

F(x) = |(x - 2)2 - 5|a) [-5; 31] b) [0; 31> c) [0; 36>d) <0; 36] e) [-5; 32>

7. Resolver: |x2 - x - 3| < |x2 + 2|

a) 21

;- ∞∪ <1; 5> b) 2

1- ;- ∞

∪ <1; 5>

c)1 ;

21

- ∪ <5; +∞> d) 2

1- 5;-

∪ <1; +∞>e) <-∞; -5> ∪ <1; +∞>

8. Si: |x - 1| < 1, Halle el menor valor entero de |F|, además: F(x) = x2 - 4x + 7a) 8 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

9. Resolver: |x2 + x - 1| ≤ |x2 - x + 3|a) [2; +∞> b) <-∞; 2]c) <-∞; 2> d) <-∞; 1> ∪ [2; +∞>e) N.A.

10.Halle el conjunto "A" por extensión si:A = {x ∈ IR / |x3 - 1| ≤ |x2 + x + 1|}

a) [1; 2] b) [0; 2] c) <2; 3>

d) [0; 4] e) [0; 2 ]

16. Si: |x| < 3. Hallar el mínimo valor de "P". Con P(x) = (x +2)2 + 5.

17. Resolver: |x2 - x + 1| ≤ 1. Luego indicar un elemento del conjunto solución.

19. Resolver: 2x2 + 11 ≤ x 2 + |7x| - 1

20. Resolver: x2 - 8x + 10 + |x - 4| ≤ 0

21. Resolver: ||x| - 3| ≥ ||x| - 1|

22. Resolver: |x2 + 3x - 10| ≤ | x 2 + x - 6|

Page 87: 4º álgebra

Inecuaciones con Valor Absoluto Cuarto Año

23. Resolver: |x - 2|2 > 3|x -2|+ 4 24. Si: |x - 2| < 4. Halle el intervalo en el que se

encuentra la siguiente expresión: H(x) =

( ) |366x| 2 +−

25. Resolver: |x -1|2 - x + 1 > 0

26. Resolver: |5x - 4| ≤ |3x + 2| + 2 |x -3|

27. ¿Cuál será el conjunto de números enteros no negativos que cumplan la desigualdad?|x - 1| + |x| ≤ 1 - 2x

28. Resolver:

2

2x

+ 3 2x

≤ 47

29. Dados los conjuntos:A = {x ∈ IR / |x - 2| < |x +1| }B = {x ∈ IR / |x - 4| + |x - 2|< |x +3| }Hallar: A ∩ B.

30. Si: a > 0 ∧ b < 0 Además al resolver: |bx - 3b| + |3a - ax| < a2 - b2

Se obtiene como C.S.: <p; q> Hallar: p + q.

Page 88: 4º álgebra

T ema nº 08: SiSTema De inecuacioneS

Capacidades:

Resuelve problemas sobre sistema de inecuaciones.

Desarrollo del Tema:

SISTEMA DE INECUACIONES

a) Graficar y dar las soluciones comunes del sistema :x > 5 ............... (1)x > -3 ............... (2)

b) Dar las soluciones comunes del sistema :x > -2 ........... (1)x < 3 ........... (2)

c) Resolver el siguiente sistema :( x – 1 )( x + 2 ) > ( x + 4 )( x – 2 ) ... (1)( x + 3 )( x + 1 ) > ( x + 4 )( x – 3 ) ... (2)

d) La suma de los valores enteros de “x” que satisfacen al siguiente sistema : 5x – 1 > 0 ............ (1) 3x – 11 < 0 ............ (2) 7x – 23 < 0 ............ (3) 24x – 5 > 0 ............ (4)

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:

a) En el sistema de inecuaciones :2x + 5y < x – 4 ................ (1)3x – 2 > 4x – 8 – 2y ................ (2)El número de valores enteros, positivos y diferentes de “x” que dan valores enteros para “y”, es:

b) El valor entero y positivo de “x” que satisface al siguiente sistema :

133 =− yx .......... (1)

217127 <−< yx .......... (2)

c) Entre Jaime y Carlos tienen menos de 6 hijos, Carlos tiene mas hijos que Eusebio, y aunque Jaime tuviera un hijo menos, seguiría teniendo más hijos que Eusebio. ¿Cuántos hijos tiene cada uno de ellos?

d) Se sabe que el cuádruplo del número de monedas que hay dentro de una bolsa es tal, que disminuido en 5, no puede exceder de 31, y que el quíntuplo del mismo número de monedas aumentado en 8, no es menor que 52. ¿Cuál será dicho número?

BÁSICO CONCEPTUAL:

8. SISTEMA DE INECUACIONES : Se llama sistema de inecuaciones, al conjunto de inecuaciones que se verifican para los mismos valores numéricos de las incógnitas.Así las inecuaciones : ax + b > 0 ............ (1)

Page 89: 4º álgebra

Sistema de Inecuaciones Cuarto Año

cx + d > 0 ............ (2) ex + f > 0 ............ (3)

Forman un sistema de tres inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Resolver dicho sistema, es determinar los límites entre los cuales están comprendidas las soluciones comunes a todas las inecuaciones.

Si las inecuaciones no admiten ninguna solución común, se dice que el sistema es incompatible, imposible o absurdo.

Si en el sistema hay alguna inecuación incondicional, podrá suprimirse, pero si hubiese alguna imposible, el sistema sería incompatible.

9. RESOLUCIÓN : Para determinar las soluciones de un sistema de primer grado con una incógnita, se debe de tener en cuenta lo siguiente :3. Se hallan las soluciones de cada inecuación por separado.4. Se comparan para establecer las soluciones comunes a todas las inecuaciones.

La elección de las soluciones comunes se facilita si las soluciones de cada inecuación se representan sobre el eje numérico.

prÁcTica DirigiDa

En cada uno de los ejercicios dados, aplica la información teórica recibida

1. Dar las soluciones comunes del sistema x < -1 ............ (1)x < 4 ............ (2)

a) -∞ < x < -1 b) -∞ < x < 0 c) -∞ < x < 2 d) –1 < x < +∞ e) –1 ≤ x < +∞

2. Dar las soluciones de :x > 2 .............. (1) x < -1 .............. (2)

a) < -∞, -1 ] ∪ [ 2, +∞ >b) < -∞, 0 > ∪ < 3, +∞ >c) < -∞, -1 > ∪ < 2, +∞ >d) < -∞, 0 ] ∪ [ 3, +∞ >e) < -∞, 0 > ∪ < 1, +∞>

3. Hallar los valores enteros de “x” e “y” en:

5x – 3y > 2 ................. (1)2x + y < 11 .................. (2) y > 3 .................. (3)

a) x = 2 ; y = 4 b) x = 4 ; y = 3 c) x = 3 ; y = 4 d) x = 4 ; y = 2 e) x = 1 ; y = 3

4. Hallar las soluciones enteras y positivas de “x” é “y” que satisface al siguiente sistema :

2x – 5y > x + 4 ............ (1)3x + 13 > 2y + 4x ............. (2)

a) x = 7 ; y = 5 b) x = 3 ; y = 9

c) x = 1 ; y = 3 d) x = 10 ; y = 1 e) x = 2 ; y = 7

5. La suma de los valores enteros de “x” que satisfacen al siguiente sistema de inecuaciones :

13

72

5

83

2

513 ++>−+− xxx ...... (1)

72

11

5

13 xxx −+<−− ...... (2)

a) 5 b) 9 c) 14 d) 20 e) 27

6. Hallar las soluciones enteras y positivas de “x”, “y”, “z” que satisfacen al siguiente sistema :

2x + 3y +5z > 23 .......... (1) 2x – y + 5z < 13 .......... (2) y – z > 1 .......... (3)

y < 4 ......... (4)f) x = 1 , y = 2 , z = 3g) x = 5 , y = 3 , z = 1h) x = 4 , y = 1 , z = 1i) x = 0 , y = 2 , z = 4j) N.A.

7. Siendo “x”, “y”, “z” los valores enteros que satisfacen al siguiente sistema de inecuaciones :

x + y + z > 14 ........... (1)x – y + z < 6 ........... (2) Y < z ........... (3) Z < 7............. (4)

El valor de la expresión:

Page 90: 4º álgebra

x zy 823 −− ; es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. En el sistema de inecuaciones :

2x + 5y < x – 4 ............... (1)3x – 2 > 4x – 8 –2y ............... (2)

El número de valores enteros, positivos y diferentes de “x” que dan valores enteros para “y”, es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. El valor entero de “x” que satisface al siguiente sistema de inecuaciones :

x + y > 76 ............. (1)x – y < 10 ............. (2)x + 2y < 112 ............. (3) ; es :

a) 34 b) 35 c) 42 d) 43 e) 44

10.Las soluciones enteras y positivas de “x” é “y” que satisfacen al siguiente sistema de inecuaciones :

0832 >+−− xxy .......... (1)

42 <− xy .......... (2) a) x1 = 1 ; y1 = 1 b) x1 = 2 ; y1=1 c) x1 = 1 , y1 = 1 ; x2 = 2 ; y2 = 2 d) x1 = 1 , y1 = 1 ; x2 = 1 ; y2 = 2 e) x1 = 1 , y1 = 1 ; x2 = 2 ; y2 = 1 11.Resolver el siguiente sistema de

inecuaciones:

3

3

9

2

+−>

++

x

x

x

x ................... (1)

1

5

4

1

−−<

−−

x

x

x

x ................... (2)

a) –8 < x < 5 ∪ 10 < x < 41 b) –3 < x < 0 ∪ 1 < x < 3 c) –∞ < x < 2 ∪ 2 < x < 33 d) –3 < x < 1 ∪ 21 < x < 33 e) –3 < x < 1 ∪ 1 < x < 41

12.La solución del sistema de inecuaciones :

1

8

2

7

−−<

++

x

x

x

x ................ (1)

2

3

5

4

+−>

−+

x

x

x

x ................ (2) ; es :

a) 2

1

4

3 <<− x b) 4

32 −<<− x

c) 12

1 << x d) 1 < x < 5

e) 2

12 <<− x ; 51 << x

13.La solución del sistema de inecuaciones :

01112 5 >−+ −x x .......... (1)

024 13 5 >− −− + xx x ......... (2) , es :

k) 5 < x < 7 l) 3 < x < 5m) –2 < x < -1 n) -∞ < x < -2 ; 5 < x < 7o) 3 < x < 5 ; 7 < x < +∞

14.La solución del siguiente sistema de inecuaciones :

0234 2 >++ xx ........... (1)

07262 <−+ xx ........... (2)

45122 −− xx >0 ............ (3) a) -12 < x < -3 b) –3 < x < 6 c) 6 < x < 15 d) -∞ < x < -12 e) 15 < x < ∞

15. Entre que límites debe estar comprendido el valor de “K” para que el

valor de la fracción : 1

12

2

+++−

xx

kxx esté

comprendido entre (-3) y (+3) para todo valor de “x”.a) –5 < k < 1 b) –2 < k < 0c) –1 < k < 6 d) 2 < k < 8e) –4 < k < 7

16. Dado : x > 0, y > 0, x > y é z ≠ 0 , la desigualdad que no siempre es correcta es:a) x + z > y + z b) x – z > y – z

c) xz > yz d) 22 z

y

z

x >

e) 22 yzxz >

17. Investiga y resuelve las existencias de ejercicios de diversas complejidades que pudieran existir en un sistema de inecuaciones lineales o de primer grado.

Page 91: 4º álgebra

Sistema de Inecuaciones Cuarto Año

Tema nº 9: binomio De newTon

Capacidades:

Define correctamente el factorial de un número.

Opera con factoriales.

Opera con números combinatorias.

Resuelve problemas sobre binomio de Newton

Desarrollo del Tema:

Introducción: El desarrollo del binomio de Newton se aplica para poder determinar los términos del resultado de potencias binomios, cuando los exponentes son números naturales mayores que tres, pues cuando los exponentes son pequeños podemos aplicar productos notables.Cuando se asignan valores a las variables se pueden generar diversas sumatorias con número combinatorios, las cuales serian difíciles de sumar sin usar el binomio de Newton, por ejemplo se llega a

calcular que: 2020

20

20

4

20

3

20

2

20

1

20

02... CCCCCC =++++++ en forma directa, pues 220 es el resultado de

desarrollar; (1 + 1)20 por Binomio de Newton.

CONCEPTOS PREVIOS

FACTORIALEl factorial de un número sólo está definido en el conjunto de los número naturales y es igual el producto del número dado, por todos los número naturales menores que él, sin incluir el cero.

NOTACIÓNPara indicar el factorial de un número empleamos cualesquiera de los siguiente símbolos ! ó L.

n!n ∨Se lee: “factorial de n”Por definición: n...4321n ⋅⋅⋅=

Ejemplo: 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 7204! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24n! = 1 . 2 . 3 …………. (n – 2) (n –

1)n

Por definición: 1! = 1Por convención:0! = 1

PROPIEDADES : 1. Si a! = b! ⇒ a = b , ∀ a, b ∈ Z+

Ejemplo: x! = 24 ⇒ x! = 4! ⇒ x = 4(2x – 1)! = 6 ⇒ (2x – 1)! = 3!

→ 2x – 1 = 3 2x = 4 ⇒ x = 2

2. Si a! = 1 ⇒a = 1 ∨ a = 0

3. n! = n (n – 1)! , ∀ n ∈ Z+ ∧ n > 1Ejemplo: 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

5!6! = 6 . 5!

(n + 2)! = (n + 2) (n + 1)!(n – 3)! = (n – 3) (n – 4)!

4. n! = n(n – 1) (n – 2) … (n – k + 1) (n – k)! “k” multiplicaciones indicadasDonde: n – k ≥ 0

Ejemplo: 7! = 7 . 6 . 5! 7! = 7 . 6 . 5 . 4!7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3!

ejercicioS reSuelToS

1) Simplificar:!16

!18N =

Solución: Emplearemos una de las propiedades anteriormente descritos.

Podemos escribir: !16

!18N =

Como !16

1817!16 ××=

Simplificando 3061817 =×=

2) Simplificar:!)8p(

!)qp(I

−−=

Page 92: 4º álgebra

Solución:

)8p(

1

!)qp()8p(

!)qp(I

−=

−−−=

3) Simplificar:

!a

!)1a(aE

−=

Solución: Recordemos que a(a – 1) ! = a!, luego:

!a

!)1a(aE

−=

4) Calcular n: n! x 4 x 5 x 6 x 7 = 7!

Solución: Escribiremos el factorial de 7 convenientemente

⇒ n! x 4 x 5 x 6 x 7 = 3! X 4 x 5 x 6 x 7 Luego: n! = 3!

∴ n = 3

5) Hallar “a” si: 720 = (a – 8)!Solución:

720 = (a – 8)!Nos damos cuenta que: 720 = 6!Reemplazando, tenemos: 6! = (a – 8)!

6 = a – 8 a = 14

ejercicioS propueSToS

1) Para cada caso, encontrar el valor equivalente de:

a. N!2

!5=

b. !6

!6!8M

+=

c. P!8!14

!9!13 =

d. !19

!20!21C

−=

e. !13

!13!15K

−=

f. !0

!1!5M

+=

g. !12

!2!13

!14

!0!13A

×+

×=

h. !5

!8!7!6P

++=

i. !2

!3!2!1J

++=

j. !23

!25!24!23N

++=

k. !6

!8!7!6P

++=

l. !11

!11!12!13M

++=

2) Simplificar:

a. !)35n(

!)36n(P

++

=

b. !)2n(

!)1n(nG

+−

=

c. !)4r(

!)5r(Q

−−

=

d. !)2p(

!)1p(N

++

=

e. !28!29

!302R

=

f. !)2x(

!)2x(P

−+

=

g. !21!19!20

)!20(22!22!20P

++−+=

h. !)3p(!)1p(

!)2p(!pR

+−+=

3) Hallar a + b, si 8!3

!b!a=

4) Determinar en: 4!5!3

n12!58×=

×××

nÚmero combinaTorio

Se define como el número total de grupos que se pueden formar con “n” elementos tomados de “k” en “k”, de modo que los grupos se diferencias por lo menos en un elemento.

NOTACIÓN:

k

nC

n

k

Page 93: 4º álgebra

Sistema de Inecuaciones Cuarto Año

Se lee: combinaciones de “n” elementos tomados de k en k, o simplemente combinaciones de n en k.

DEFINICIÓN: !k!)kn(

!nC

n

k −=

Donde: n, k ∈ Z ; n ≥ k ≥ 0Además: n es el índice superior

k es el índice inferior

EJEMPLOS:

84!6!3

!6789

!6!)69(

!9C

9

6=

××××=

−=

35!4!3

!4567

!4!)47(

!7C

7

4=

××××=

−=

1!5!0

!5C

6

6== ∴ 1C

n

n=

n!1!)1n(

!nC

n

1=

−= ∴ nC

n

1=

PROPIEDAD: +∈∀= Zn,1Cn

0

Ejemplos: 20C20

0=

42C42

1=

1C10

0=

1C40

0=

17C17

1=

1C17

0=

PROPIEDADES:

Sean: n, k ∈ Z+ ; n ≥ k:

1) k...............321

)1kn().........2n)(1n(nC

n

k ⋅⋅+−−−=

Ejemplo:

84654321

456789C

9

6=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

354321

4567C

7

4=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

2) Combinatorios Complementarios

CCn

kn

n

k −=

Ejemplo:

56321

678CC

8

3

8

5=

⋅⋅⋅⋅==

84321

789CC

9

3

9

6=

⋅⋅⋅⋅==

4521

910CC

10

2

10

8=

⋅⋅==

Observación: Se recomienda usar

esta propiedad cuando 2

nK > .

3) Suma de combinatorios

CCC1n

1k

n

1k

n

k

+

++==

Ejemplo: CCC8

3

7

3

7

2=+

CCC21

7

20

6

20

7=+

4) Degradación de índices

CC1n

1k

n

k k

n −

−=

Ejemplo: CCC9

4

9

4

10

52

5

10 ==

CCC11

3

11

3

12

43

4

12 ==

Resultados importante:

1- +∈== Zn;1CCn

n

n

0

2- { }1Zn;nCCn

1n

n

1−∈== +

Page 94: 4º álgebra

ejercicioS reSuelToS

1) Hallar n: 16CC

8n

4

5n

7 =−

Solución:Efectuando, obtenemos:

1 41 51 6)7n()6n()5n(

1 6567)7n()6n()5n(

1 6!)8n(!4567

!)8n()7n()6n()5n(!4

1 6!)8n(!7!)1 2n(!)1 2n(!)5n(!4

1 6

!4!)48n(!)8n(

!7!)75n(!)5n(

××=−−−

×××=−−−

=−×××

−−−−

=−−

−−

=

−−−

−−−

Si igualamos los términos que indican las flechas, obtenemos: n = 21

2) Halle x: CCC9

5

x

5

x

4=+

Solución: De las propiedades, nos damos

cuenta: CCC1x

5

x

5

x

4

+=+

Reemplazando:

CC9

5

1x

5=+

Identificando términos: x + 1 = 9 ∴ x = 8

3) Hallar S: CCCCC12

6

11

6

10

6

9

6

9

2S ++++=

Solución:

CCCC

CC

CCCCCC

1 3

7

1 2

6

1 2

7

1 2

7

1 1

7

1 0

7

9

7

1 2

6

1 1

6

1 0

6

9

6

9

2S

=+∴

++++=

4) Calcule x: CCx

30

x

2910=

Solución: Desarrollando, se tiene:

!)30x(!30

!x10

!)29x(!29

!x

−=

32x329x3

1

30

10

29x

1

!)30x(30!29

10

!)30x()29x(!29

!x

=⇒=−⇒

==−

−=

−−

DeSarrollo Del binomio De newTon

Sea P(x ; y) = (x + y)n , n ∈ Z+, y recordemos que:(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 (x + y)5 = ? . . .(x + y)n =

⇒ El objetivo de éste capitulo es encontrar las potencias del binomio (x + y) cuando n ≥ 5.

Para ello vamos a estudiar 2 métodos o formas de poder conocer el desarrollo de (x + y)n:

Page 95: 4º álgebra

Sistema de Inecuaciones Cuarto Año

EL TRIÁNGULO DE PASCAL

Analicemos las primeras potencias de (x + y) y escribamos solamente sus coeficientes en el siguiente esquema triangular. Para ello consideremos (x + y) ≠ 0:

=+=+

=+=+=+

=+=°+

6

5

4

3

2

1

)yx(

)yx(

)yx(

)yx(

)yx(

)yx(

)yx(

1615201561

15101051

14641

1331

121

11

1

. . . . . .

¿Qué observamos?Observamos que cada elemento (coeficiente) que está dentro del triángulo resulta de sumar los elementos que están encima de el, y el primero y el último de cada potencia es 1.

Procediendo de esta manera podemos conocer:

(x + 7)7 = 1 7 21 35 35 21 7 1

Por otro lado, observando los desarrollos de (x + y)n; n = 2; 3; 4 estos son polinomios homogéneos completos y ordenados (en forma decreciente respecto a la primera variable y en forma creciente a la segunda). Por lo que ahora si podemos conocer el desarrollo de P(x ; y) = (x + y)n, cuando n ≥ 5.Veamos el caso particular de P(x ; y) = (x + y)7:

(x + y) 7 = x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 12x2y5 + 7xy6 + y7

MÉTODO DE LOS COEFICIENTES BINOMICOS

Analicemos los coeficientes en el desarrollo de (x + y)4 y (x + 5)5: (x + y)4 = 1 4 6 4 1

↑ ↑ ↑ ↑ ↑

C4

0 C

4

1 C

4

2 C

4

3 C

4

4

Luego, el desarrollo de (x + y)4 puede escribirse como:

44

4

34

3

224

2

34

1

44

0

4 yxyyxyxx)yx( CCCCC ++++=+

De manera similar

55

545

4325

3235

245

155

05 yxyyxyxyxx)yx( CCCCCC +++++=+

Con todo lo anterior, podemos enunciar el siguiente teorema:Dado el polinomio P(x ; y) = (x + y)n , n ∈ Z+, el desarrollo de P(x ; y) es:

nn

n

1nn

1n

1nn

1

nn

0

n yxy............yxx)yx( CCCC ++++=+ −−

Page 96: 4º álgebra

Donde los números combinatorios son llamados coeficientes binomiales.

Ejemplo: Halle el desarrollo de (x + y)6

66

656

5326

4336

3246

256

166

06 yxyyxyxyxyxx)yx( CCCCCCC ++++++=+

PROPIEDADESSea P(x ; y) = (x + y)n , n ∈ Z+

1) El desarrollo es un polinomio homogéneo, completo y ordenado de grado “n”.2) El número de términos del desarrollo es (n + 1)3) Los coeficientes de términos equidistantes de los extremos son iguales.4) La suma de coeficientes del desarrollo es 2n.

∑coef (P(x ; y)) = 2n

Ejemplo: (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

Notamos que: GRADO = 5NÚMERO DE TÉRMINOS = 6∑coef. = 32 = 25

Observación:

1. Si el binomio es (x – y), luego la ∑coef. del desarrollo de (x – y)n es CERO.Veamos para el caso de (x – y)5:(x – y) 5 = x5 – 5x4 + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 ∑coef. = 1 – 5 + 10 – 10 + 5 – 1 = 0

2. En P(x ; y) = (x + y)n, si hacemos x = 1 ∧ y = 1, tenemos:

P(1 ; 1) = (1 + 1)n = nn

n

n

1

n

02.............. CCC =+++

Ahora, si hacemos: x = 1 , y = -1:

P(1 ; -1) = (1 – 1)n = 0................. CCCCn

n

n

2

n

1

n

0=±+−

.............................. CCCCCCn

5

n

3

n

1

n

4

n

2

n

0+++=+++⇒

TÉRMINO GENERAL

• Contando de izquierda a derecha:kknn

k1k yxt C −+ =

Donde 1kt + es el término de lugar (k +1)Ejemplo:En el desarrollo de P(x) = (x2 + 2y3)6 determina el tercer término.Solución:

686

2

23426

2123 yx4)y2()x(tt CC =⋅= +

• Contando de derecha a izquierda: knkn

k1k yxt C −+ =

Ejemplo: En el desarrollo de Q(x) = (x3 – 2y6)5 determine el término de lugar 4 con respecto al final.Solución:

1295

3

26335

3134 yx4)y2()x(tt CC =−== +←

TÉRMINO CENTRALSea P(x ; y) = (x + y)n

Page 97: 4º álgebra

Sistema de Inecuaciones Cuarto Año

• Si n es par: el desarrollo del binomio tendrá un único término central, el lugar que

ocupa es 12

n + , luego: 2

n2

nn

2n

12

nc yxtt C

+

=

• Si n es impar: el desarrollo del binomio tendrá dos términos centrales, los lugares que ocupa son:

2

3n

2

1n +∧+

ejercicioS reSuelToS

1) Hallar el 5to término en el desarrollo de: (x + y)7

Solución:

43435

4477

4145

yx35yx321

657t

yxtt4k,7n C=×

××××=

==⇒== −+

2) Indicar el penúltimo término de la expansión de (x2 – 1)8

Solución:

2pen

77828

78PEN

x8t

)1()x(tt7k,8n C−=

−==⇒== −

3) Indicar el término independiente en el desarrollo de: 10

46

x

1x

+

Solución:

k106010

k1k

k4k66010

k1k

k

4k10610

k1k

xt

xxt

x

1)x(t

10n

CC

C

−+

−−+

−+

=

⋅=

⋅=

=

* Para que el término sea independiente, no debe tener ninguna variable, sólo el coeficiente. Por lo cual:

60 – 10k = 0 → k = 6

2104321

78910t C

10

6IND =⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⇒

problemaS para la claSe

1) Hallar el término central en el desarrollo

de: 10

3

8

ba4

2) Calcular la siguiente suma:

CCCC7

7

7

2

7

1

7

0....S +++=

3) En el desarrollo del binomio 14

x

1x

¿Qué lugar ocupa el término de 2do grado?

Page 98: 4º álgebra

4) Señale el valor del término independiente del desarrollo de:

92

4

3

3

x

+

5) Señale el coeficiente de término de grado 7 en el desarrollo de (x7 + x-7)7.

6) Hallar el término independiente en el

desarrollo de: n4

3

x

1x

+ , n ∈ Z+.

7) Determine “m + n”, si el 4to término del desarrollo de: (x + 2)n es 80xm.

8) Hallar el valor de “m”, si el cuarto término del desarrollo de (a2 – b)m

contiene la décima potencia de “a”.

9) En el desarrollo de: n

3

x

1x3

+ ; la

suma de coeficientes de su desarrollo es 234. ¿Qué lugar ocupa un término que contiene a “x” elevado a un exponente igual al número de su lugar?

10) ¿Cuántos términos posee el desarrollo de (x3 + x-n)n sabiendo que 2 de sus términos consecutivos contienen “x” y x respectivamente?

11) ¿Cuál es el coeficiente del antepenúltimo término, contado a partir

del extremo final en el desarrollo de (a2 + 2b)17?

12) ¿Qué valor toma “n” en: (x11 + x-2)17 de modo que el producto de los términos centrales sea constante?

13) Si: CC76

1n

77

n113

−= , hallar: (n / 7) !

14) Simplificar: C

CC9

5

11

4

10

3

10

54 +

15)Usando propiedades, simplificar:

CCCCCCCC

12

7

16

10

12

4

16

6

13

8

14

5

14

10

13

5K+

=

16) Señale el término independiente de “x”

en el desarrollo de; 92

5,0

x

x

5,0

+

17) Simplificar: !)1n(!n

!)2n(!)1n(!n

++++++

18) Determine el coeficiente del término central de: P(x , y) = (x + 2y)6

19) En el desarrollo de (1 + x)45 sólo los coeficientes de los términos de lugares (2n + 1) y (n + 2) son iguales. Halle “n”.

20) Determine el valor de “x”, si el tercer término es doble del sexto término en el desarrollo de: (2x + 1)7.

problemaS para la caSa

1) Calcular “x“ en:

136CCC2x

2

1x

2

x

2=++ −−

a) 9 b) 10c) 11 d) 8 e) N.A.

2) Resolver el sistema:

=

=

−+

CC

CCx

2y

x

y

x

1y

x

1y

10

21

a) x = 10 ∧ y = 5b) x = 12 ∧ y = 6c) x = 10 ∧ y = 6d) x = 9 ∧ y = 3

e) N.A.

3) Resolver:

CCCx

2

x

3

x

422 −=

a) x = 4 b) x = 5c) x = 9 d) x = 6 e) a y b

4) Calcular el término independiente en el desarrollo de: (-3 + 2x2)5

a) 6(3)5 b) 9(3)2

c) 27 d) -5(3)5 e) N.A.

5) Calcular “n” en: 2n! – (n – 1) (n – 1)! = 6! + 5!a) 6 b) 5

Page 99: 4º álgebra

Sistema de Inecuaciones Cuarto Año

c) 4 d) 9 e) 8

6) Si se cumple: CC5y

4

1x

y

++ = .

Calcular: (x + y)a) 20 b) 12c) 3 d) 13 e) 15

7) Hallar el término independiente en el desarrollo de:

6

x

3

3

x

a) -15 b) -12c) -20 d) 13 e) 20

8) Determine el tercer término en el desarrollo de: (x + 3)n, si se sabe que su cuarto término es 270xa.a) 90x3 b) 30x3

c) 60x2 d) -90x3 e) N.A.

9) Resolver: CC24

x2

24

x 2 =a) 5 b) 3c) 1 d) 2 e) 6

10) Calcular el término independiente en el

desarrollo de: 9

4 x

1x

+

a) 80 b) 84c) -84 d) 81 e)-81

11) Calcular el lugar del término que contiene a x2 en el desarrollo de:

14

x

1x

a) 9 b) 8c) 7 d) 6 e) 5

12) Si en el desarrollo de: 22

2

x

3x2

+

existe un término de la forma: αx2, ¿Qué lugar ocupa dicho término?a) 5 b) 7c) 6 d) 8 e) 9

13) Calcular el coeficiente del sexto término del desarrollo de : (x + 2y)n, sabiendo que su quinto término es:

44kk

4yxk2 C −

a) 1700 b) 1792c) 1692 d) 1600 e) -17792

14) Hallar n + k, si se sabe que el cuarto término del desarrollo de (x + 2y)n es 80xk.a) 3 b) 4c) 5 d) 6 e) 7

15)Hallar el valor de n, sabiendo que:

184!n

)3!n(!n =+

a) 4 b) 8c) 12 d) 16 e) N.A.

binomio De newTon

Deducción del binomio de newton para exponentes naturales.Si multiplicamos el binomio (a+b) entre si, tomando 1, 2, 3,…………., n factores, se obtiene lo siguiente

( ) baba1n 1 +=+⇒=

( ) 222 bab2aba2n ++=+⇒=

( ) 32233 bab3ba3aba3n +++=+⇒=

( ) 4322344 bab4ba6ba4aba4n ++++=+⇒=

( ) 543223455 bab5ba10ba10ba5aba5n +++++=+⇒=Los coeficientes se pueden obtener formando el triangulo de Pascal o de Tartaglia.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

( ) ⇒+ 0ba

( ) ⇒+ 1ba

( ) ⇒+ 2ba

( ) ⇒+ 3ba

( ) ⇒+ 4ba

( ) ⇒+ 5ba

Page 100: 4º álgebra

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1Termino general de lugar (k+1)

( ) ( ) kkn b.akn1kT −=+

Siendo

kn

el coeficiente binomial

!k

)1kn.().........2n)(1n(nkn +−−−=

Ejemplos

i) 10321

345

!3

34535 =

××××=××=

ii) 1454321

567858 =

×××××××=

Representación del desarrollo del Binomio de Newton mediante coeficientes binomiales

n2n1nnn bn

n......b.a

2

nb.a

1

na

0

n)ba(

++

+

+

=+ −−

Siendo el término de lugar “k+1”

kkn1k b.a

k

nT −

+

=

Donde nkC

k

n=

Combinaciones de “n” en “k”

!k)!.kn(

!nCn

k −=

En el cual n! es el factorial de n n! = n(n-1) (n-2) (n-3)…………….1 .

Propiedades de

k

n

Para n ∈ Ν , Κ ∈ Ν

1) 10

8Ejemplo1

0

n=

⇒=

2) 17

7Ejemplo1

n

n=

⇒=

3)

=

=

6

7

1

7Ejemplo

kn

y

k

n

También

Si la base del binomio es una diferencia, los términos del desarrollo serán alternados (positivos los de lugar impar y negativos los de lugar par)

Page 101: 4º álgebra

Sistema de Inecuaciones Cuarto Año

(a-b)n = + , - , + , - , + , - , + , ……………………..

problemaS para la claSe

1. En: 16

23

xx

1

− ; Hallar el 7mo Término

2. Hallar el 5to Término de: 35)a1( +

3. Hallar el término central del desarrollo

de: 1633 )ba( −

4. Hallar el grado relativo a “x” del término de lugar 28 en el desarrollo de:

353 )xx2( +

5. Hallar el grado relativo a “x” del término central en el desarrollo de:

40

4 9

7

x

1x

+

6. Simplificar:!13!12

!14!13!12S

+++=

7. Hallar el grado relativo a “x” del décimo término del desarrollo de:(a-b )15

8. Hallar el coeficiente del séptimo término de: (2+x) 9

9. Hallar el grado absoluto del término

central de: 873 )yx( +

10.Hallar el tercer término de 14

2

c

1c

11.Hallar el término de lugar 4 de:( x-y ) 10

12.Hallar el término de lugar 15 en:( m-n ) 18

13.Hallar el 5to término en el desarrollo de:( 3x2+2y3 ) 6

14.Hallar el 8vo término del desarrollo de:( 5x3+3y2 ) 10

15.Hallar el 9no término del desarrollo de ( 2x4+3y3 ) 11

16.Hallar el 3er término de: ( 2x4+3y2 ) 5

17.Hallar el término central de: ( 2x2+3y ) 4

18.Hallar el término central de:( 2n2+m3 ) 10

19.Hallar el término central de: 12

b

3

a

2

+

20.El 5to término del desarrollo de:7

22 y

1

x

1

+

problemaS para la caSa

1. Hallar el 4to término de:542 )y3x2( +

A) 44 yx1080 B) 104 yx1080

C) 124 yx1080 D) 124 yx

E) yx1080

2. Hallar el 6to término de: 732 )y2x3( +Ver cual es el grado absoluto.A) 20 B) 21C) 23 D) 22E) 10

3. Hallar el tercer término del desarrollo de:

1054 )y3x( +A) 322 yx405 B) 3216 yx405

C) 232 yx405 D) 1616 yx405

E) 44 yx405

4. Hallar el término central de: 832 )yx( −A) 84 yx70 B) 88 yx70

C) 128 yx70 D) 812 yx70

E) 43yx70

5. Hallar el término central de: 433 )ba( −

Page 102: 4º álgebra

A) 66ba6 B) 44ba6C) 33ba6 D) 54ba6E) 45ba6

6. Hallar el término central de: 6)ba3( −A) 33ba540− B) 44ba540−C) 2b540− D) 2a540−E) 6b540−

7. Hallar el término de lugar 5 en:632 )yx( +

A) 32 yx15 B) 124 yx15

C) 312 yx15 D) 1212 yx E) yx15

8. Hallar el término de lugar 10 en:1032 )yx( −

A) 410 yx B) 610 yx85

C) yx48 10 D) 1216 yx56 E) N.A.

9. Calcular el término central del desarrollo de: 8)b2a( +A) 22ba1120 B) 44ba1120C) 33ba1120 D) 88ba1120 E) N.A.

10.Calcular el tercer término del desarrollo de: 5)3x2( +A) 2x720 B) 31x720

C) 3x720 D) 9x720 E) x720

11.Calcular el término central del desarrollo

de:10

2x

1x

+

A) 5x252 B) 5x

252

C) 3x

252 D) 8x252 E) x252

12.Hallar el término que contiene a x8 en el desarrollo de: ( x+y ) 13

A) 38 yx1287 B) 88 yx1287

C) 58 yx1287 D) 68 yx1287

E) 108 yx1287

13.Hallar el valor de x de tal manera que la suma del 3ro y 5to término en el desarrollo de ( x+1 ) 4 sea igual a 25A) ±1 B) ±2C) ±3 D) ±4 E) 5

14.El último término en el desarrollo de:( x - 3y ) 5

A) 5y15− B) 5y15−C) 5y15− D) 5y15− E) 5y15−

15.Cual es el coeficiente de x14 en el desarrollo de: ( x2+x3 ) 6

A) 12 B) 18C) 15 D) 21 E) 24