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7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
1/55
NGULO TRIGONOMTRICO
Es aquel ngulo generado por la rotacin de una semirecta alrededor de un punto fijo (centro de giro).
B
Elementos
OA: Lado InicialO A OB: Lado Final
O: Vrtice
I).- ANG. POSITIVO II) ANG. NEGATIVO
O B
OBS. :Los ngulos trigonomtricos son ilimitados.
ANGULO DE UNA VUELTAEs aquel ngulo generado por la rotacin completa deuna semi-recta.
SISTEMA DE MEDIDA DE NGULOS
1).- SEXAGESIMAL INGLES
360
vuelta11 1vuelta =360
60
1'1 1 = 60
60
'1''1 1 = 60
1 = 60
1 = 3600
2).- CENTESIMAL FRANCS
400
vuelta11g 1 vuelta = 400
g
adems:
1g= 100
m
1m
= 100s
1g= 10000
s
3).- SISTEMA RADIAL CIRCULARUnidad: radin (rad)
1 radin: Esa aquel ngulo central que determinasobre la circunferencia un arco (L) cuya longitud esigual al radio (r).
L = rAdems:r
1 vuelta = 2raddonde: O 1 rad
= 3, 1416 r
= 22/7
OBS.:
1 vuelta = 360 = 400g=2rad
vuelta = 180 = 200g=rad
Luego:rad = 180
rad = 200g
9 = 10g
FORMAS PRCTICAS DE CONVERSIN
En general:
dadoSist.
pedido.Sist
dado.Sist
elen.Ang
pedidoSist.
elenAngulo
RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS
En general:
KR
200
C
180
S
Donde:S: N de grados sexagesimalesC: N de grados centesimalesR: N de radianes
Tambin:
R200C;
R180S
RELACIN PARTICULAR:
10
C
9
S
L
4
PreuniversitarioAlumno a) :..................................................................................................
Profesor a) :
ALFREDO BUSTES CALLE Fecha : 08 03 04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : NGULO TRIGONOMTRICO Y SISTEMA DE MEDIDAS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
SentidoAntihorario
Sentido
HorarioO A
B
A
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
2/55
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 2
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Si : abc 'x
')''xx(
'x
)''xx(
'x
)'xx(
Calcular : a + b +c
Solucin : Se observa
'x
'x61
'x
'xx61
Entonces :
abc = 616161
abc = 61621
abc = 6221
a + b + c = 65
2).- Hallar un ngulo en rad que cumple :
5
S
4
C43
Solucin : Se sabe
S = 180k; C = 200k ; R = k
5
k1804
k200 43
86k = 43 =
R=2
3).- Hallar x en :
Si : x o y = 200
Solucin : En la figura :
Si : x o y = 200
xgy =180
10
x9-y = 180
9x10y = 1800
x + 10y = 200
x = 200
4).- Calcular el valor de :
6rad10
40rad3Q
g
Solucin : Pasando a grados
*3
rad x
60
rad
180
* 40gx
g10
9=36
*10
rad x
rad
180
=18
En (Q)
Q =g
g
24
96
618
3660
Q = 4
EJERCICIOS DE APLICACIN1).- Pasar :
a) 450a grados sexagesimalesb) 640 minutos sexagesimalesc) 720a grados sexagesimales
2).- Pasar :
a) 230 ma grados centesimalesb) 480sa minutos centesimales
c) 4600
s
a grados centesimales
3).- Pasar :
a) 240 a grados centesimalesb) 620ga grados sexagesimales
c) 2/5 rad a grados sexagesimalesd) 330ga radianes
4).- Calcular:
rad10/216
270360N
g
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/3
5).- Calcular un ngulo en radianes
2S+5C = 13, 6
a) /10 rad b) /100 rad
c) /1000 rad d) /50 rad
b) /40 rad
y
xg
-yxg
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6).- Calcular un ngulo en radianes si cinco veces lamedida en centesimales menos cuatro veces lamedida en sexagesimales todo multiplicado por la
medida en radianes es igual a 2, 8
a) /5 rad b) /4 rad c) /10 rad
d) /6 rad e) /100 rad
7).- Reducir :
R20
)SC()SC(P
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 100
8).- Calcular :
8rad10
1550T
g
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) N.A.
9).- En un tringulo ABC, las medidas de los ngulosinternos. Son:
rad10
xC;x10B;x9A
g
Entonces el tringulo es:a) Equilterob) Isscelesc) Rectngulod) Rectngulo Isscelese) Escaleno
10).- Siendo S y C nmeros convencionales para loscuales se cumple que:
)yx(2yxC
)1yx(2yxS
22
22
Calcular el valor de: xyy3x2
y5x81E
a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 4 e) 1/4
11).- Calcular la medida de un ngulo en radianes si:
S + C = 95
a) / rad b) /2 rad c) /3 rad
d) /4 rad e) /5 rad
12).- Calcular el valor de:
6rad10
40rad3Q
g
2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13).- Hallar la medida de un ngulo en radianes, si:
2
CR
10
1
5
SR
6
1R2
2
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14).- Si se cumple que: 262 63 = aaaHallar a
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15).- Hallar x en: x + 10y = 200
a) 200b) 100 xg
c) 205 yd) 180e) 150
16).- Hallar el nmero de radianes de un ngulo queverifica:
5
C
3
SR
a) /20 rad b) rad c) /40 radd) 20 rad e) 20rad
17).- Reducir:
SC
)SC(5
SC
SCE
22
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18).- Si:
101032/1
5R
18010
C9
Hallar: S+C
a) 10/19 b) 17/10 c) 19/9d) 10/17 e) 19/10
19).- Los ngulos de un cuadriltero AMOR se midenen tres sistemas diferentes. El ngulo A mide 30, el
ngulo M mide 5/6 rad y el ngulo O mide 90g
.Determinar la medida del ngulo R.
a) /20 rad b) 11/20 rad c) /30 rad
d) 3/20 rad e) N.A.
20).- Al medir un ngulo en sentido antihorario, seobserva que los nmeros que resultan en lossistemas convencionales se relacionan del modosiguiente:
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D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 4
La suma del triple del mayor con el doble delintermedio es igual a la suma de 125 con 46 veces el
deduplo del menor entre . De acuerdo a esto,determine la medida circular de dicho ngulo.
a) /2 rad b) /3 rad c) /4 rad
d) /5 rad e) /6 rad
21).- Halle el ngulo en radianes que cumple con larelacin:
435
S
4
C
a) /5 rad b) /6 rad c) /2 rad
d) /3 rad e) /4 rad
22).- Halle el ngulo que cumple:
C S
6
2
5
a) 27 b) 30 c) 25d) 33 e) 22
23) .- Reducir la expresin:
R3010
C
R403
S
E
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
24).- Reducir:
R60C6S2
C3S5A
a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 3 e) 1, 5
25).- Hallar el valor de:
3 8SC
SC6
SC
SCH
a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9
26).- Si la diferencia de los cuadrados de las inversasde los nmeros de grados sexagesimales ycentesimales de un ngulo es igual a K veces elcuadrado de la diferencia de dichas inversasCalcular el valor de K
a) 10 b) 20 c) 19 d) 18 e) 9
27).- Calcular:
''1
1
1
1
1
1E
s
'
m
0
g
a) 1, 674 b) 1, 564 c) 1, 754d) 1, 764 e) 1; 456
28).- Simplificar:
R160CS2
R20SCQ
a) 2 b) 1 c) 1/2 d) 1/3 e) 3
29).- Si se cumple que:
R
181
S
C
C
S
Hallar R
a) 3/2 rad b) /2 rad c) rad
d) 90rad e) 90rad.
30).- Del grfico, calcular: y/x
a)6
b) 6c)1/6d) 1/6e)3
CLAVES1) 2) 3) 4)c 5)b6)c 7)b 8)c 9)d 10)c11)d 12)d 13)b 4)c 15)a16)e 17)e 18)c 19)b 20)c21)c 22)a 23)d 24) 25)d26)c 27)d 28)b 29)e 30)b
xg
x y
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
2 MILLAS
COL2004/4pre/TRIG 01
06/03/04 J.P.B
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SISTEMA DE MEDIDA DE NGULOS
1).- SEXAGESIMAL INGLES
360
vuelta11 1vuelta =360
60
1'1 1 = 60
60
'1''1 1 = 60
1 = 601 = 3600
2).- CENTESIMAL FRANCS
400
vuelta11g 1 vuelta = 400g
adems:
1g= 100
m
1m
= 100s
1g= 10000
s
3).- SISTEMA RADIAL CIRCULAR
Unidad: radin (rad)
1 Radin:Esa aquel ngulo central que determinasobre la circunferencia un arco (L) cuya longitudes igual al radio (r).
L = rAdems:
r
1 vuelta = 2raddonde: O 1 rad
= 3, 1416 r= 22/7
OBS.:
1 vuelta = 360 = 400g=2rad
vuelta = 180 = 200g=rad
Luego:
rad = 180
rad = 200g
9 = 10g
FORMAS PRCTICAS DE CONVERSIN
En general:
dadoSist.
pedido.Sist
dado.Sist
elen.Ang
pedidoSist.
elenAngulo
RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS
En general:
KR
200
C
180
S
Donde:S: N de grados sexagesimales
C: N de grados centesimales
R: N de radianes
Tambin:
R200C;
R180S
RELACIN PARTICULAR:
10
C
9
S
4
PreuniversitarioAlumno a) :..................................................................................................
Profesor a) :
ALFREDO BUSTES CALLE Fecha : 15 03 04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : SISTEMA DE MEDIDAS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
L
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PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Determina la medida circular del ngulo quecumple:
S = 2x
x
y C = x
x
+ 11
Solucin :
10
C
9
S
10
11x
9
x2 xx
20xx= 9x
x + 99
xx= 9
Luego :
S = 2xx= 2(9) = 18
R = 18 x180
R = /10
2).- Un ngulo se puede expresar de la siguiente
manera: g0a2ab0a . Calcula la medida
radial de su suplemento:
Solucin :
g0a2aba x
g10
g
Descomposicin polinmica :
100a + b = (100a + 20a)10
g
a = 1b = 8a
b = 8
Entonces :
0aob = 108 x
53
180
Suplemento = -5
2
5
3
3).- Calcula el valor de K si:
S10
C9
R90 SK
Solucin :Se sabe :S = 180k; C=200k
R = k
Entonces :
k180x10
k200x9
k90
k180
k
2= k
k =
4).- Calcula la suma del menor y mayor valor quepuede tomar un ngulo, de modo que laexpresin:
2SC2W tome valores reales
Solucin :
Se sabe :
C-S 2 0
C-S 2
20 R/ 2 Rmin =10
Luego :
2 - 2SC 0
2 2SC
4 C S - 2
620 R/
R 10
3Rmax =
10
3
Rmin + Rmax =5
2
5).- Si : S representa la medida sexagesimal de unngulo calcula su medida radial (R) queverifique :
360
R= S +
2
S2+
4
S3+
8
S4+ . . . .
Solucin :
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Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 3
360
R= S +
2
S(S +
2
S2+
4
S3+ . . . . )
360
R= S +
2
S+360
R
180
R=180
Rx 180
R
R =180
6).- Calcula un ngulo en radianes, si :
6S + 5C = 1040
Solucin : Se sabe :
S = 180
R ; C = 200
R
Reemplazando :
6 x180
R+ 5x200
R= 1040
2080
R=1040
R =2
PROBLEMAS PROPUESTOS
1).- Calcula el mayor ngulo de un tringulo ABC, si:
A =10
x rad ; B = 9x y C = 10x
g
a) 36 b) 46 c) 56d) 66 e) 90
2).- Calcula el valor de:
Q =
6rad10
40rad3
g
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3).- Simplifica:
Q =R160CS2
R20SC
a) 2 b) 1 c) 1/2
d) 1/3 e) 3
4).-Halla la medida de un ngulo en radianes, si:
2CR
101
5
SR
61R
2
2
a) b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5).- Si se cumple:
36364 = aaa
Halla:
2a
2a
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6).- Reduce la expresin:
E =
22
22
SCSC
SCSC
a) 180/181 b) 181/180 c) 10/9d) 9/10 e) 181/90
7).- Calcula :
E =
380
RCS
200
RC
180
RS
a) 1 b) 2 c) 1/2d) 1/3 e) -1
8).- Si:
10
1032/15
R18010
C9
Halla : S + C
a) 10/19 b) 17/10 c) 19/9d) 10/17 e) 19/10
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D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 4
9).- La diferencia entre la tercera parte del nmerode grados sexagesimales y la quinta parte delnmero de grados centesimales de un nguloes 5. Calcula su medida radial.
a) /3 b) /4 c) /5
d) /6 e) /9
10).- La suma del doble del nmero de gradossexagesimales con el nmero de gradoscentesimales de un ngulo es igual a 140determina la medida circular de dicho ngulo:
a) /6 b) /5 c) /4
d) /3 e) /2
11).- Calcula un ngulo en radianes
6S + 5C = 1040
a) /4 b) /5 c) /3
d) /2 e)
12).- Calcula: A x B x B x C , si:
'BCAB68g
a) 6 b) 12 c) 24 d) 30 e) 22
13).- Determina la medida circular de un ngulo, talque si a la dcima parte de su nmero desegundos sexagesimales le sumamos la mitadde su nmero de minutos centesimales resulta18700.
a) /4 b) /5 c) /6
d) /8 e) /10
14).- Halla un ngulo en radianes, si:
666777
RCS6R18
100
C9
10
S
a)
/2 b)
/4 c)
/3d) /5 e) /9
15).- Si:
g22
22
b2a2baC
2b2a2baS
Halla :
a2b
b3a2b5a103
a)2 b)1 c) 0 d) 1 e) 2
16).- Sabiendo que: 1081SC 5 C3 S
C>0 y S>0.
Calcula :
9 SR
a) /10 b) /20 c) /15
d) /4 e) /9
CLAVES
1)e 2)d 3)b 4)b 5)d6)a 7)b 8)c 9)b 10)c11)d 12)b 13)a 14)c 15)e16)b
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
2 MILLAS
COL2004/4/TRIG 02
13/03/04 J.P.B
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
9/55
1. DEFINICIN :Entindase por reas circulares al rea deun crculo, de un sector circular y de untrapecio circular.
1.1. REA DEL CRCULO.(Ac)Se denomina crculo a la reginsombreada en la figura. La distanciaconstante desde el centro a cualquierpunto de la circunferencia se le denominaradio.
Luego :
AC= R2
L= 2R
Donde : Ac : rea del crculo. L : Longitud de la circunferencia.
R : Radio O : Centro del crculo
1.1.1. rea de la Corona Circular (Acc)Es aquella regin obtenida por ladiferencia de las reas de doscrculos, tal como se muestra en lafigura.
Donde :
R : Radio del crculomayor.
r : Radio del crculomenor.
Entonces :
Acc = (R2r2)
1.1.2. rea del Sector circularEs aquella porcin del crculo talcomo se muestra en la reginsombreada.
En general :
L = R S =2
R2
S =2
R.L S =
2
L2
Donde :L : Longitud de arco.
R : Radio
: ngulo central en radianes.
S : rea del sector circular.
1.1.3. rea del Trapecio circularSe denomina trapecio circular a la
regin sombreada en la figura.
4
PreuniversitarioAlumno a) :..................................................................................................
Profesor a) :
ALFREDO BUSTES CALLE Fecha : 29 04 04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : REAS CIRCULARES
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
O
A
B
rad
R
RS
L
R
Crculo
Circunferencia
O
rO
R
rea de lacoronacircular
rea delcirculomayor
rea delcrculomenor
-=
Acc = R2 r2
D
Ll AT.C
rad
r
R-r
O
A
BC
R
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Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 2
En general :
AT.C=2
)rR( 22
AT.C=2
)rR)(L(
Donde :AT.C : rea del trapecio circularL : Longitud del arco mayor.l : Longitud del arco menor : ngulo central en radianes.
PROBLEMAS RESUELTOS1) Calcula el rea sombreada :
Solucin:
En la figura :
Sx = S - S
Sx =2
2x
42
2x2 2
Sx = 2 - /2
2) En la figura, calcula : L1+ L2+ L3,si AO = OB = 18
Solucin :
L1= 15 x /180 x 12 =
L2= 60 x /180 x 18 = 6
L3= 30 x /180 x 6 =
L1+ L2+ L3= 8
3) Calcula L en :
Solucin :
Se sabe :
L = R
= 15 x /180 = /12
Luego :
L = /12 x 72
L = 6
4) Calcula en :
Solucin :Por propiedad :
=3
45
= 1/3
5) Calcula el rea del sector.
Solucin :
S =2
RxL
S =2
6x12
S = 36
6) Calcula el rea sombreada.
l
2
15
30
L3
6
12
O
L1
AL2
B
3
54
3
6
12
6
O
A
B
72
L
72
15
3
9
42
34
2
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11/55
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 3
Solucin :x 9 = 9 = 1
Entonces :
STC=2
)37(1 22
ST.C= 20
CUESTIONARIO
1).- Halla la longitud de un arco en un sectorcircular cuyo ngulo central mide 60 y elradio 12m.a) 2m b) 4m c) 6m
d) 8
m e) 12
m2).- En la figura, halla la longitud del arco BC,
si AC=18m.
a) m b) 3m c) 5md) 6m e) 8m
3).- Halla la longitud de una circunferencia siel ngulo central de 1rad subtiende un arcode longitud 6m.a) 12m b) 13m c) 14md) 16m e) 19m
4).- En la figura, si 2OA = ADCalcula :
12
12
LL
LL
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
5).- En el grfico, halla la longitud del arco AB,si AC=6m.
a) m b) 2m c) 3md) 4m e) 5m
6).- Halla la longitud del arco de un sectorcircular de ngulo central 45, sabiendo quela longitud de la circunferencia es 600m.
a) 75m b) 60m c) 120md) 65m e) 80m
7).- En el grfico mostrado. Halla la longituddel arco BC.
a) 3m b) 4m c) 5md) 6m e) 8m
8).- En la figura, halla la longitud del arco BCsi AE = 20m.
a) m b) 2m c) 4md) 6m e) 8m
9).- Halla : si L2= 5L1
a) /3 b) /4 c) /5
d) /6 e) /8
10).- Calcula :32
21
LL
LL
a) 3b) 3/5c) 8d) 5e) 5/3
A
B
80
O C
L2L1
A
D
O
BC
A O C
3m B
C
O
2m
2m
A
D
2m
3m
A
B
O E
432
CD
Orad
L2
L1
O L1 L2 L3
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
12/55
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 4
11).- De la figura , calcula x :
a) 2/5b) 5/2c) 1
d) 3e) 6
12).- Calcula la longitud de la circunferenciainscrita si la longitud de los arcos AB y CDmiden 2 y 5.a) b) 2c) 3d) 4
e) 5
13).- Calcula si 2L1= 3L2
a) /2 b) /3 c) /4d) /5 e) /6
14).- En los sectores circulares mostrados,halla : .
a) 1/3b) 2/3c) 1d) 4/3e) 5/3
15).- Calcula :yx
yx
a) 1b) 2c) 3d) 5
e) 7
16).- Halla x en los sectores mostrados:
a) 2 b) 2,5 c) 3d) 4 e) 4,5
17).- Calcula el rea del sector AOB.
a) 20
b) 24c) 12d) 6e) 18
18).- En la figura, calcula el rea sombreada.
a) ba b) ab2 c)2
ab2
d)b
a e)
2a
b
19).- Calcula el rea sombreada.
a) R2b) R2
c)2
R2
d) 2R2
e)2
R2
20).- Calcula el rea sombreada
a) 48b) 24c) 12d) 36e) N.A.
CLAVES
1) b 2) c 3) a 4) b 5) b6) a 7) c 8) b 9) d 10)b11)d 12)c 13)c 14)b 15)e16)e 17)b 18)c 19)e 20)b
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
2 MILLAS
COL2004/4/TRIG 03
17/04/04 J.P.B
O 2 51 Rad
x
x
O 2 51Rad
A
B
C
D
O
L2
Rad
L1
O 2 4Rad
3
3
O 34
x
y
O 2 5
x
x
3
3
O 6
8
8
B
A
aB
b
H
A
A
R
R
R
OB
5
3
3
4
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
13/55
1.OBJETIVOS
1.1. Resolver problemas donde intervenganlos ngulos notables.
1.2. Utilizar los casos generales en unproblema grfico.
1.3. Calcula los valores de las razonestrigonomtricas de dichos ngulos.
2.RESUMEN TERICORAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS
NGULOS NOTABLES
R.T. 16 30 37 45 53 60 74
Sen
Cos
Tg
Ctg
Sec
Csc
CASOS GENERALES
OTROS
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Sabiendo que es agudo y adems :
tan=sen30.
Calcula : L = 4Sec2+ Cot
Solucin :
Tan
= Sen30
Tan
=
con la ayuda del tr ingulo :
4Preuniversitario
Alumno a) :..................................................................................................
Profesor a) :
ALFREDO BUSTES CALLE Fecha : 18 06 04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS NOTABLES
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
2 160
30
3
1
2
45
45
1
37
53
4
35
16
25 74
24
7
2aa
60
30
a 3
a 2 a
45
45
a
37
53
4a
3a5a
16
25a 74
24a
7a
a
a/2 2
45
45
a/2 2
37/2
a 10
3a
a
8
5a 2 82
7a
a
53/2
2a
aa 5
2
15
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
14/55
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 2
L =1
2
2
54
2
L =4. 24
5
L = 7
2) Sabiendo que : Sen=Cos60. Cos45; esagudo, calcula :
L = 2Cot2
Solucin :
Sen=2
2.
2
1Sen=
4
2.
con la ayuda del tr ingulo :
L = 2
2
142
L = 27 2
L = 927
L = 3
3) Calcula x en la igualdad:
x . Sen30 + Sec
2
60 = 4x . Tan37 + Tan
4
45
Solucin :
Con la ayuda de la tabla de los valor es delas R.T. de los ngu los not ables; t enemos :
x . Sen30+ Sec260= 4x . Tan 37+ Tan445x( )+ (2)2= 4x( ) + (1)4
2
x+ 4 = 3x + 1 4 1 = 3x -
2
x
3 =2
xx6 3 =
2
x5 x =
5
6
4) Del grfico mostrado, calcula Tan
Solucin :
I. Como : AM = MB
AM = MB = n
II. ABC : issceles
BC = AB = 2n
III. MBC : Tan =n2
n
Tan
=
5) Del grfico, calcula Tan
Solucin :
I. ABC: not able BC=3 ; AB=4
II. Como : AM = MB AM=MB = 2
III. MBC : Tan= 3/2
Nota que en este problema optamos porasig nar valores numric os . Pero l o que nodebe olvidar es que se parte de un valornumri co y d e aqu el se cal cu lan lo s demssegmentos que guarden relacin con elproblema.
4
2
14
45
B
C
A M
45
B
C
A M nn
37B
C
A
M
37B
C
AM
4
2 2
3
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
15/55
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 3
6) En la figura AD=4DC; calcula Tan
Solucin:
I. DBC : not able DB=1; BC = 3 ;DC=2
II. Como : AD = 4DC AD=8
III. ABC : Tan
=
9
3
C U E S T I O N A R I O
1).- Calcula : 1-Cos60-2Sen230
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
2).- Simplificar :
60Cos
1
45Ctg1
60Tan1
2
2
a) 4 b) 2 c) 6 d) e) 4
3).- Simplifica :
30xTan60Tan1
30Tan60Tan
a) 3 b) 3 /3 c) 1 d) 2 e) 3
4).- Calcula :
(Tan37 + Ctg53)Csc30
a) 9/4 b) 9/16 c) 3/2 d) 4/9 e) 3/4
5).- Simplifica :
2
30Ctg
60Ctg30Ctg
60Ctg.30Ctg1
a) 3 b) c) 2 d)
2
3 e)3
6).- Calcula la medida de en la figura
a) 30b) 45c) 60d) 37e) 53
7).- Calcula x en :
a) 5b) 10c) 15d) 20e) 25
8).- En la figura. Calcula 3Cot
a) 3b) 5c) 7d) 9e) 10
9).- En la figura.
Halla : E = Tan+ Tan2+Tan3
a) 22b) 22/3c) 23/3d) 10e) 15
10).- Calcula Tan en la figura:
a) 1/2b) 1/3c) 2d) 3/2e) 3/4
14
37
10
60
30
37
5
x
3 + 73
135
6
24
8 25 55
a2a
45
53
B
C
AD
30
B
C
AD
30
8 1
60
23
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
16/55
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 4
11).- Si: Sensec= 1
Halla el valor de:
Tan
Tan.Tan
3Cot
2
a) 32 b) 3 2 c) 3
d) 1/2 e) 1
12).- En la figura, calcula:Q = TanA + TanC
a) 15/23b) 20/17c) 13/19d) 17/20e) 19/13
13).- Calcula x
a) 4b) 5c) 6d) 7
e) 8
14).- Simplifica
4Ctg.
4Sec.
3Tg
6Ctg.
4Tag.
3Sec
a) 0 b) 2 c) 4 3
d) 7 6 e) 6
15).- Siendo ABC tringulo equiltero.
Halla: Tg
a)3
3
b)4
3
c) 5
3
d)6
3
e)7
3
16).- Calcula Tg del grfico.(AM = MD)
a) 1/7b) 2/7c) 3/7
d) 4/7e) 6/7
17).- Calcula: Tg del grfico.
a) 1b) 2c) 2/7d) 3/7e) 4/7
18).- Del grfico halla : Tg, si DC = 2AD
a) 1/8b) 1/4c) 3/8d) 1/2e) 5/8
19).- Calcula Tgde acuerdo al grfico.
a) 1/3b) 3/4c) 4/3d) 2/3e) 3/2
20).- Calcula Tan en la figura.
a) 3
b)2
3
c)2
2
d)2
1
e) 2
CLAVES1) a 2) a 3) b 4) a 5) d6) b 7) b 8) c 9) b 10)d11)c 12)d 13)b 14)b 15)d16)e 17)e 18)c 19)c 20)b
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
2 MILLAS
COL2004/4/TRIG 04CR
17/06/04 J.P.B
135 62 2
CA
B
7 82
x
5
2
D
C
B
A
37 45A M D
C
45
37
53C
DA
B
A B
CD 37
45
30
3 1
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
17/55
I.- DEFINICIN:
Consiste en determinar los ladosdesconocidos de un tringulo rectngulo entrminos de un lado y ngulo conocido.
II.- PROCEDIMIENTOS:
1.- Se forma una fraccin donde en el
numerador se coloca el lado por conocer yen el denominador se coloca el ladoconocido.
2.- A continuacin se identifica que razntrigonomtrca del ngulo conocido lecorresponde a la fraccin formada.
3.- Finalmente se despeja el lado por conocer.
Ejemplo:En la figura calcula X e Y en trminos
de m y .
Solucin:
* mx Sen
x = mSen
* Cosm
y
y = mCos
III.- REA DEL TRINGULO
En todo tringulo se cumple que el rea esigual al producto de dos lados multiplicadopor el seno del ngulo comprendido pordichos lados y todo dividido entre dos.
En general:
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Calcula el rea del tringulo ABC.
Solucin:
S =2
371010 Sen
S =5
350
S = 30
2.- Calcula , x en:
Solucin:Por resolucin de s
m
BC= SenBC = mSen
BC
x= Senx = BCSen
x=mSenSen
3.- Calcula: tan
4Pre-Universitario
Alumno a) :..................................................................................................
Profesor a) :
Alfredo Bustes Calle Fecha: 28 06 04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE TRINGULOS RECTNGULOS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
y
mx
A
B
C
c a
b
S =2
Senab
Donde:S : rea del
tringulo
A C
B
1010
37
169
A
B
CD
x
m
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
18/55
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 2
Solucin:
En la figura:
tan=16
H... (I)
tan=H
9... (II)
(I) x (II)
Tan2=16
H xH9
Tan=4
3
4.- En la figura:
Halla:
tan
tan
Solucin:
Luego:Tan=
Cos
Sen
10
6
Tan=5
3Tan
5
3
Tan
Tan
5.- Del grfico, halla BC en funcin de m, y .
Solucin:
Trabajando por partes:
i. ) ADB: m
BDtan BD = mtan
ii. ) DBC: BDx cot
m
xcot
tan
x = mtan.cot
6.- En un tringulo ABC (B = 90), se sabe
que: BC = n mCAB = , Cul es surea?Solucin:Graficando el problema:
i.) n
ABcot AB = ncot
ii.)22
nnBCABS
.cot.
n
S cot2
2
169
H
2
2 6
26
6Cos 6Sen
2Cos
2Cos
A
B
D
C
m
A
B
D
C
m
mtan
x
A
C
B
n
ncot
S
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
19/55
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 3
CUESTIONARIO
1).- Halla , x en:
a) msencsc b) mcossecc) mtgtg d) m(tg+tg)e) N.A.
2).- Halla, x en:
a) msentg b) msensenc) m d) 1/m e) N.A.
3).- Halla x:
a) mseccsc b) msencosc) mtg d) mcote) N.A.
4).- Halla: x + y
a) m(sen+cos) b) mseccscc) mtg d) mcot
e) N.A.
5).- Calcula x en la figura
a) atgsec b) asensenc) atg d) asec e) N.A.
6).- En la figura, halla x
a) atgtg b) a(cot-cot)c) a(cot+cot) d) asensene) N.A.
7).- Calcula x si: Cot-Cot=4
a) 10 b) 20 c) 15d) 25 e) N.A.
8).- Del grfico, halla , si: a = 2b
a) 45 b) 30 c) 60d) 75 e) N.A.
9).- Calcula, Tan
a) 2/3 b) 3/2 c) 4/9d) 9/4 e) N.A.
10).- Del grfico. Calcula: cot- tan
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2 e) N.A.
m x
x
m
x
x y
m
a
x
a
x
5
x
a b
m
94
B
A
C
DE
F
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
20/55
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 4
11).- Si:18
5cos , calcula R
a) 5 b) 10 c) 18 d) 36 e) N.A.
12).- En el grfico siguiente.Halla x si Tan = 0,75
a) 0,75 b) 1 c) 1,25d) 1,5 e) 1,75
13).- Halla: 2cos2
a) a+b/a b) a+b/b c) a+b/2ad) a+b/2b e) a/b
14).- Calcula AB en trminos R y
a) Rcsc(1+ctg) b) Rsec(1+tg)c) R(1+sec)ctg d) R(1+csc)tge) R(1+tg)sec
15).- Calcula DN en trminos de k y
a) k tg b) k tg3c) k tg2 d) k2tg2 e) k2tg
16).- Calcula AC si la regin sombreada es uncuadrado de lado
a) (1+sec+cos) b) (1+sec+csc)c) (1+tg+Ctg) d) (1+tg+sec)e) (1+ tg+csc)
17).- De la figura calcula:E = 3(ctgx+ctgy)
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
18).- Calcula x en:
Si: Cot-Cot=5
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
19).- Calcula x en:
a) msensen b) mcoscosc) mtantan d) msecsec
e) N.A.
CLAVES
1) a 2) a 3) a 4) a5) a 6) b 7) b 8) a9) a 10) a 11) c 12) b13) a 14) c 15) b 16) c17) d 18) b 19) a
COL2004/4Pre/TRIG 05 22/06/04 V.A.A
x
7
42
a
b
BA
C
O R
B
A C
D
N
A C
B
3 2
x
x
20
x
m
A B
C
10
O
R
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
21/55
I.- DEFINICIN:Son aquellos ngulos representados en elplano vertical.
II.- CLASIFICACIN:1.- NGULO DE ELVACIN:
ES aquel ngulo formado por la lneahorizontal y la visual.La visual es una lnea imaginaria que partedel observador hacia el objeto y que estapor encima de la lnea horizontal.
2.- NGULO DE DEPRESIN:
Es aquel ngulo formado por la lneahorizontal y la visual.La visual es una lnea imaginaria que parte
del observador hacia el objeto y que estapor debajo de la lnea horizontal.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- De un edificio de 24m de altura se divisauna torre con un ngulo de elevacin de 30 yla base de la torre con un ngulo de depresinde 60 . Halla la altura de la torre.
Solucin:
En la figura:
H = 32
2.- Una persona de 1.20m de estatura observalos puntos A y B con ngulos de depresin yelevacin que miden 45 y 37respectivamente. Calcula la altura del edificio.
Solucin:Graficando:
AB = 2,1
4PRE-UNIVERSITARIO
Alumno a) :..................................................................................................
Profesor a) :
Alfredo Bustes Calle Fecha: 28 06 04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : NGULOS VERTICALES
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
OBJETO
OBSERVADORL. Horizontal
ng. de elevacin
OBSERVADOR
OBJETO
L. Horizontal
ng. de depresin
1,2
1,2 1,2
1,24537
53
0,9
B
A
8 3
24 24
6030
60
8
30
60
8 3
Torre
edificio H
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
22/55
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 2
3.- Desde un punto en tierra ubicado a 4m deun poste, se divisa su parte ms alta con unngulo de elevacin de 37. Cul es la alturadel poste?
Solucin:
4.- Un nio de 1,5m de estatura divisa unapiedra en el suelo con un ngulo de depresinde 37. A qu distancia del nio se encuentrala piedra?
Solucin:
Como se forma un tringulo rectngulonotable, decimos:1,5 = 3a a = 0,5 (proporcin ya conocida)x = 4a = 4(0,5) x = 2m
5.- Desde lo alto de un poste se divisa unobjeto en el suelo con un ngulo de depresin (cot= 4). Si el objeto se halla a 20m delposte, qu altura tiene el poste?
Solucin:
En el tringulo rectngulo formado:
xx
204
20cot
x = mx 54
20
6.- Desde un punto en tierra se divisa lo altode un edificio con un ngulo de elevacin .Nos acercamos una distancia igual al doble dela altura del edificio y el ngulo de elevacines ahora . Calcula: L = cot- cot.
Solucin:
Del grfico:
h
mh
2
cot
h
mcot
piden : L = cot- cot
L =h
m
h
mh 2
L = 22
Lh
h
CUESTIONARIO
1).- Desde lo alto de un faro de 58m de altura
se observa un buque con un ngulo dedepresin de 30. A qu distancia seencuentra el buque del faro?
a) 58 b) 58 3
c) 60 d) 29 3
e) 60 3
2).- Desde un helicptero que vuela a 600msobre el nivel del mar se miden los ngulosde depresin de dos buques que forman conel helicptero un plano vertical, estandoadems a un mismo lado de l,obtenindose 37 y 53. Calcula la distanciaentre los buques.
a) 400 b) 300 c) 350d) 450 e) 500
P
A
B
x
37 4
Como el tringulo rectngulo formadoes notable (37 y 53),adems: PB = 4mPiden : AB = x
x = 3m
3737
371,5m
x
x
20
h
m2h
1ra 2 a
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
23/55
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 3
3).- Calcula la estatura de la persona entrminos de m, H y .
a) H + mtan b) H - mtan
c) H - mcot d) H + mcot
e) N.A.
4).- Determina la altura de un rbol si se tieneque el ngulo de elevacin con el que seobserva su parte superior, disminuye de 53a 37, cuando el observador recorre 14m.
a) 12 b) 24 c) 30
d) 36 e) 40
5).- Una persona colocada a orillas de un rove el extremo superior de un rbol, plantadosobre la rivera opuesta, bajo un ngulo deelevacin de 60, si se aleja 40m el ngulode elevacin es 30. Cul es el ancho delro?
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30
6).- Una persona de 1,75m de altura observaun rbol con un ngulo de depresin de 30su base y con un ngulo de elevacin de 60su parte superior. Halla la altura del rbol.
a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
7).- Un mono que se encuentra sobre un rboles observado desde un punto del suelo conun ngulo de elevacin y la copa del
rbol es observada desde el mismo punto a12m, de distancia y con un ngulo deelevacin 2, halla tg si la distancia quetendr que subir el mono para llegar a lacopa del rbol es de 5m.
a) 5/13 b) 5/12 c) 12/5d) 13/12 e) N.A.
8).- Desde un punto, ubicado a 36m de labase de un poste, se observa la partesuperior de este con un ngulo de elevacinde 37. Cunto se tendr que avanzar paraque el nuevo ngulo de elevacin tenga unatangente igual a 0,9?
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
9).- Desde cierto punto del cuelo se observa laparte superior de un edificio con un ngulode elevacin y desde el punto medio dela distancia que separa el pie de la torre ydicho punto, la elevacin angular es 90 - .Calcula tg.
a) 2 b) 22/ c) 3
d) 33/ e) N.A.
10).- Desde la base y la parte superior de unatorre se observa la parte superior de unedificio con ngulos de elevacin de 60 y30 respectivamente, si la torre mide 24m.Entonces la altura del edificio es:
a) 30 b) 32 c) 34d) 36 e) 38
11).- Una persona de 2m de estatura observala base de un poste de luz con ngulo dedepresin de 30 y la parte superior con unngulo de elevacin de 60. Calcula la alturadel poste.
a) 4m b) 6m c) 4 3
d) 8m e) 6 3
12).- Desde un punto del suelo se observa laparte superior de un edificio con un ngulode elevacin de 15, acercndose 36m haciael edificio el nuevo ngulo de elevacin es eldoble del anterior. Calcula la altura deledificio.
a) 6 3 m b) 12m c) 18m
d) 12 3 m e) 24m
13).- Una antena de radio est sobre la azoteade un edificio. Desde un punto a 12m dedistancia de la base del edificio los ngulosde elevacin de la punta de la antena y de laparte superior son 53 y 37
xx
m
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Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 4
respectivamente. Calcula la altura de laantena.
a) 6m b) 7m c) 8md) 9m e) 10m
14).- Una persona ubicada a 36m del pie deuna torre, observa su parte mas alta con unngulo de elevacin cuya tangente es 7/12que distancia en la misma direccin debealejarse con respecto del punto anterior paraque la tangente del nuevo ngulo deelevacin sea 1/4a) 12m b) 21m c) 36md) 48m e) 84m
15).- Un avin vuela en lnea horizontal
paralela al suelo, en un cierto instante elpiloto observa en tierra una ciudad, con unngulo de depresin de 37 y luego derecorrer 42Km en direccin a la ciudad loobserva nuevamente pero ahora con unngulo de depresin de 53. Calcula la alturaque vuela el avin.
a) 42Km b) 50Km c) 60Kmd) 72Km e) 96Km
16).- Desde la parte inferior del quinto piso deun edificio se observa la parte superior deuna torre con un ngulo de elevacin de 37y desde la parte superior del primer piso seobserva con un ngulo de elevacin de 45determina la altura de la torre, si losobservadores estn separados 3m.
a) 11m b) 13m c) 16m
d) 18m e) 19m
17).- Desde la parte superior e inferior de unmuro se observa la parte superior de otromuro con ngulo de elevacin de 37 y 45respectivamente. Si el muro ms alto mide48m, entonces la altura del otro muro es:
a) 8m b) 12m c) 16md) 24m e) 32m
18).- Desde lo alto de una cima de observa unobstculo con un ngulo de depresin de
60, si dicho obstculo dista 20 3 m de piede la cima. Calcula la altura de la cima.
a) 20m b) 20 3 m c) 60m
d) 60 3 e) 40m
19).- desde un punto en el suelo se observa laparte ms alta de una torre con un ngulo deelevacin , desde la mitad de la distanciaque separa el punto de la torre se observanuevamente la parte ms alta de la torre conngulo de elevacin que es el complemento
del anterior. Calcula cot.
a) 2 b) 2 2 c) 2 /2
d) 2 /4 e) N.A.
20).- Un nadador se dirige hacia un faro y loobserva con un ngulo de elevacin de 30,al avanzar 10m. El ngulo de elevacin seduplica. Halla la altura del faro
a) 5m b) 3m c) 9,66m
d) 5 3 m e) N.A.
CLAVES
1) b 2) c 3) b 4) b5) c 6) b 7) b 8) c9) b 10) d 11) d 12) c13) b 14) d 15) d 16) b17) b 18) c 19) a 20) d
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2 MILLAS
COL2004/4Pre/TRIG 06
25/06/04 V.A.A
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1.DEFINICIN
Es aquel sistema conformado por dos rectasperpendiculares entre s.El punto de corte recibe el nombre de origende coordenadas. Adems el plano quedadividido en cuatro regiones; cada uno de los
cuales se denomina cuadrante.
x: Eje de abscisasy: Eje de ordenadas
2.UBICACIN DE UN PUNTO
Un punto queda localizado en el plano;cuando se conocen los valores que lecorresponden a la proyeccin del punto sobrecada uno de los ejes. En el grfico :
Donde :
x1, y1: componentes de P.El punto es : P(x1;y1)
x1 : abscisa
y1 : ordenada
OP : radio vector
Se cumple : r2= x1
2+ y1
2
3.DISTANCIA ENTRE DOS
PUNTOS
En general :
4.PUNTO MEDIO DE UN
SEGMENTO
En general :
4Preuniversitario
Alumno a) :....................................................................... Semana : 12
Profesor a) :
Alfredo Bustes Calle Fecha : 27 08 04
Planificacin Estratgica para unaEducacin de Calidad
TEMA : PLANO COORDENADO
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
x
y
ICIIC
IIIC IVC
+ + + + +- - - -
----
++++
1
y1
P(x1; y1)
Y
Xx1
y1
y1
O
d(A, B) =2
122
12 )yy()xx(
X = 2
xx 21
y =2
yy 21
B(x2; y2)
y
x
A(x1; y1)
d
B(x2; y2)
A(x1; y1)
M(x; y)
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5.PROPIEDAD DEL
BARICENTRO
Donde :
G Baricentro
En general :
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- La distancia entre los puntos (2, 1) y (5, 4)
es K 6 . Calcula k.
Solucin :
Dato : (2; 1) y (5; 4)Se sabe que la distancia entre los
puntos :
d = 22 )14()25(
d = 18
Por dato :
k 6 = 18
k =6
18
k = 3
2).- Dados los puntos :
A(2; 5) , B(7; 9) y C(-3; 4)
Halla :
3
5
DC841AB26ACP
Solucin :
Por distancia entre 2 pun tos :
AC = 26)45()32 22
AB = 41)95()72 22
BC = 55125)49()37 22
P = 35
55x841x41x26x26
P = 3 27 P = 3
3).- Si dos vrtices de un tringulo son A(-4; 6)y B(-3; 8). Halla la suma de las coordenadasdel tercer vrtice sabiendo que las medianasde dicho tringulo se intersectan en el puntoP(2; 6).
Solucin :
Dato : A (-4; 6) , B(-3; 8) , C(x; y )
P(2; 6) Baricen tro
Se sabe :
3
x)3()4( = 2 x = 13
63
y86
y = 4
x + y = 17
4).- De la figura, halla a si AB//MN.
Solucin :Por e l punto medio de un segmento :
32
4a
a + 4 = 6 a = 2
X =3
xxx 321
y =3
yyy 321
A(x1; y1) C(x3 ; y3)
B(x2; y2)
G(x; y)
B(1; 8)
M(4; 6)
C(7; 4)N(5/2; 3)(-2; a)
A
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5).- Qu punto est ms alejado delorigen?a) A(1; 2) b) B(3; -1) c) C(2; 3)d) D(4; 0) e) E(-3; 4)
Solucin :
Hallando el radio-vector d e cada punto :
rA= 521 22
rB= 10)1(3 22
rC= 1332 22
rD= 1604 22
rE= 254)3( 22
El punto ms alejado es E
6).- Cul es el mayor lado de un tringulocuyos vrtices son : A(-1; 3), B(2; 5) yC(4; -1)?
Solucin:
d(A; B)=
22
)53()21( d(A; B)= 1349
d(B; C)=22 )51()24(
d(B; C)= 40)364(
d(A; C)=22 ))1(3()41(
d(A; C)= 41
El lado mayor m ide 41
C U E S T I O N A R I O
I . Escrib e (V) o (F) segn cor respo nd a :
Sean los puntos A(x1; y1) ; B(x2; y2) y C(x3; y3) entonces :
1. La distancia entre A y B es d(A; B) = (x2x1)2
+ (y2y1)2 ( )
2. Las coordenadas del punto medio del segmento BC son M
3yy;
2xx 3232 ( )
3. Las coordenadas del baricentro del tringulo ABC son:3
xxxx 321
;
3
yyyy 321
( )
4. Las coordenadas del punto medio del segmento AB son M
2
yy;
2
xx 2121 ( )
5. La distancia entre los puntos B y C es : d(B, C) = 2232
23 )yy()xx( ( )
A(-1; 3)
B(2; 5)
C(4; -1)-1
2
4
5
3
-1
y
x
E
C
B
D
-1
2
3 4
4
3
2
-3
y
x1
A
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II. Completa en los espacio s v acos :
1. El sistema .............................. est dividido en .............. cuadrantes.
2. En el par (x; y ) la ........................... componente es la abscisa del punto.
3. En el par (x; y) la segunda ............................. es
la..................................................................
4. La distancia del origen de coordenada al punto P(x; y) se denomina :
....................................
I II . Subr aya la alternativa c orrecta :
1).- Halla la distancia entre los puntos (-1; 2) y(3; -1)
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
2).- Halla la distancia entre los puntos :
(-4; -8) y (2; 4)
a) 3 5 b) 5 5 c) 6 5
d) 8 5 e) N.A.
3).- Calcula las coordenadas del baricentro deltringulo.
A(-2; -1) ; B(5; 4) ; C(0; -2)
a) (1; 1) b) (1; 1/3) c) (3; 1)d) (1; 4) e) N.A.
4).- Calcula las coordenadas del baricentro deltringulo :
M(1; 4); N(11; 5); P(3; -6)
a) (5; 1) b) (1; 5)c) (3; 21) d) (1; 4)e) N.A.
5).- Calcula las coordenadas del punto mediode los segmentos :
a) A(2; 6) y B(4; 8)b) M(-1; -5) y N(-7; 9)
6).- Calcula las coordenadas del punto P en el
segmento :A(-1; 4) ; B(3; 8) / PBAP
a) (2; 2) b) (1; 6)c) (1; 4) d) (6; 1)
7).- Calcula las coordenadas del punto P en elsegmento.
M(0; 7) y N(6; 1) / PN2MP
a) (4; 3) b) (3; 4)c) (5; 3) d) (3; 5) e) N.A.
8).- Calcula las coordenadas del punto P en elsegmento :
A(-3; 2) ; B(4; 9) / PB4AP3
a) (6; 1) b) (1; 6)c) (1; 7) d) (7; 1) e) N.A.
9).- Calcula las coordenadas del punto P en elsegmento.
A(-1; -4) ; B(7; 4) / PB3AP5
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
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a) (2; -1) b) (1; -2)c) (2; 1) d) (1; 1) e) N.A.
10).- La distancia entre los puntos (2; 1) y
(5; 4) es k 6 . Calcula k :
a) 2 b) 1 c) 3
d) 1/2 e) 5
11).- La distancia entre los puntos (2; -1) y(5;-5) es la misma que entre los puntos (-3;
0) y (x; 3). Halla los valores de x.
a)7 b) 1 c) 5d) 4 e) {-7; 1}
12).- Calcula la coordenada del vrtice C enel paralelogramo ABCD.
a) (6 ; 4)b) (5 ; 5)c) (6 ; 5)d) (5 ; 4)e) (3 ; 5)
13).- Dados los puntos M(2 ; 2) y N(5; -2).Halla en el eje de abscisas un punto P demodo que el ngulo MPN sea recto.
a) (0; 3) b) (0; 6) c) (0 ; 1)d) (0; 5) e) (0; 9)
14).- Dados los puntos :
A(2; 5); B(7; 9); C(-3; 4)Halla :
P = 35
BC841AB26AC
a) 1 b) 2 c) 3d) e) 1/3
15).- Si dos vrtices de un tringulo sonA(-4; 6) y B(-3; 8). Halla la suma de lascoordenadas del tercer vrtice sabiendo quelas medianas de dicho tringulo seintersectan en el punto P(2; 6)
a) 16 b) 15 c) 18d) 14 e) 17
16).- Si O es el centro de la circunferencia.Halla dicho centro.
a) (3; 5)b) (0; 8)
c) (1; 1)d) (3; 2)e) (2; 3)
17).- De la figura calcula a; si MN//AB
a) 0b) 1c) 2d) -2e) -4
CLAVES
1) c 2) c 3) b 4) a 5) --
6) b 7) a 8) b 9) a 10)c
11)e 12)d 13)b 14)c 15)e
16)d 17)c
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200 MILLAS
COL2004/TRIG 07
24/08/04 J.P.B
C
D(3; 1)
B(2; 3)
A
B(1; 8)
M(4; 6)
A(-2; a) N(5/2 ; 3) C(7 ; 4)
N
2a
3a
P(4; 11)
0(-1; 6)
M
R(5; -4)
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
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1.- NGULO EN POSICIN NORMAL
Es un ngulo trigonomtrico cuyo vrtice es elorigen de coordenadas, cuyo lado inicial (L.I.)coincide con el semieje de las abcisas y cuyolado final (L.F.) nos indica el cuadrante al cual
pertenece. Tambin se le denomina ngulo enposicin estndar o en posicin cannica.Ejemplos:
y : ngulos en posicin normalIIIC y IIC (estndar)
2.- NGULOS COTERMINALES
Son ngulos en posicin normal que tienen elmismo lado final.
- = 360K = 2K
RT () = R.T. ()
k.n Entero
3.- RAZONES TRIGONOMTRICAS DE
UN NGULO ESTNDAR CUALQUIERA
Se define razn trigonomtrica de un nguloestndar a la relacin o cociente que seestablece entre la abscisa (x), ordenada (y) yradio vector (r) de un punto que pertenece allado final del ngulo.
Y
P(x,y)r
y
o x X
: ngulo estndar cualquierax: abscisay: ordenada
r: radio vector
)0r,y,xr( 22
4.- NGULOS CUADRANTALES
Son aquellos ngulos en posicin normal,cuyo lado final coincide con cualquier de los 4semi-ejes coordenados.
Los ngulos cuadrantales no pertenecen aningn cuadrante.
4Preuniversitario
Alumno a) :................................................................... Semana 13
Profesor a) :
Alfredo Bustes Calle Fecha: 06 09 04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO DE CUALQUIER MAGNITUD
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
L.I.
L.F.
L.I.
L.F.
90
0 (360)
180
270
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D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 2
ngulo Cuadrantal = 90K = k/2
Donde :K = nmero entero
5.- RELACIONES DE LOS NGULOS
CUADRANTALES
0 90 180 270 360
Sen 0 1 0 -1 0
Cos 1 0 -1 0 1
Tan 0 N 0 N 0
Cot N 0 N 0 NSec 1 N -1 N 1
Csc N 1 N -1 N
6.- SIGNOS DE LAS RAZONES
TRIGONOMTRICAS
I II III IV
Sen+ + - -
Cos + - - +
Tan + - + -
Cot + - + -
Sec + - - +
Csc + + - -
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Si el punto P(-1, 3) pertenece al lado finaldel ngulo en posicin normal ; calcula :K = sen.cos.Solucin:
x = -1y = 3
r = 10 piden:
K = sen.cos=
rx
ry
K =
10
1
10
3
K =10
3
K = -0,3
2.- Si el punto Q(-3; -4) pertenece al lado finaldel ngulo cannico .
Calcula: E = sec+tanSolucin:
Graficando tenemos:
x = -3y = -4r = 5
nos piden:
E = sec+tan=x
y
x
r
E =3
4
3
5
3
4
3
5
E = 3
45
E =3
1
3.- Sabiendo que: sen =5
3 ; IVC,
calcula:S = sec- tan
P(-1;3) 3
-1 x
y
r = 22 yx
r =22
yx
y
x
-4
-3
Q(-3; -4)
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Solucin:
En este tipo de problemas se puedeproceder as:Como:
sen=r
y
5
3
Luego:r2= x2+ y2x2= r2y2x2= 259 = 16 x = 4x = -4 (no lo toma: IVC)
Graficando; reconocemos el punto del ladofinal de , luego podemos ubicar el punto(4; -3) as:
4.- Sabiendo que:tan= 0,5; IIIC,Calcula:
C = sen.cos
Solucin:
Otra forma de resolver estos problemas,es decir conocida una R.T. calculamoscualquier otra; es con la ayuda de untringulo rectngulo, pero teniendo muy encuenta el cuadrante al cual pertenece elngulo considerado. As en el ejercicio:
tan= 0,5 =..
..tan
AC
OC
2
1
10
5
luego, no olvide que: IIIC: sen=5
1
cos =5
2
entonces: C =5
2
5
2
5
1
C = 0,4
5.- Sabiendo que:cos= -0,8; IIC
Calcula:E = csc+ cot
Solucin:
Aplicando el caso anterior:
6.- Seala el signo de:
E =
140
200100
tan
cos.sen
Solucin:
Identificando los cuadrantes:
100 II C sen100: (+)
200 IIIC cos200: (-)
140 II C tan140: (-)
luego:
)(
)(
)(
))((
E E = (+)
y = -3r = 5
y
-3
4
5
(4; -3)
x
Entonces:
S = sec-tan=
x
y
x
r
S =4
35
4
3
4
5
S = 2
1
2
5
4
5 3
cos= -0,8 =10
8
cos=H
AC ..
5
4
como: IIC:
csc= +3
5
cot=3
4
entonces:
E =3
45
3
4
3
5
E =3
1
y
x
SenCsc Positivastodas
TanCot
CosSec
(+)
(+)(+)
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CUESTIONARIO
1).- Calcula el cosen la figura :
a)10
10
b)5
10
c)9
10
d) 10
e) N.A.
2).- Calcula : sec- tan
a) -1
b)1/3
c) -3
d) 1e) N.A.
3).- Calcula :
cot ; si sen= 1/3 y II C
a) -2 2 b)3
22
c)5
22 d) - 2 e) N.A.
4).- Indica el signo de :
Q = sen220 tan250 cos150
a) (+) b) (-) c) (+) (-)
d) faltan datos
5).- Calcula el valor de :
E = 3sen90 + 5cos+ 2tan2
a)1 b)2 c) -3d) 2 e) 3
6).- Calcula el valor de :
E = cos(sen) + sec(tan0)
a) 1 b) 2 c) 0d)2 e) 3
7).- Calcula :
T = cos1cos2cos3. ....cos180
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
8).- Si : tan= 2,4. Halla : senadems cos< 0
a)13
5 b)
1312 c)
13
12
d)13
5 e) N.A.
9).- Indica el signo de :
P = sen140 - tan330 - cos250
a) (+) b) (-)c) (+) (-) d) faltan datos
10).- Si : cos=41
40 y IV C
Halla : E = csc+ cot
a)9 b)1/9 c) 9d) 1/9 e) N.A.
(1; -3)
y
x
(-3; 4)
y
x0
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11).- En la figura, calcula :
P = sec+ tan
a) - 10
b) 5 c) - 10 +1
d)3
310
e)3
110
12).- En qu cuadrante se cumple :
3Tan.Sen < 0
a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) N.A.
13).- En qu cuadrante se cumple :
3Sen.Cos < 0
Calcula :
|Cot|
Cot
|Tan|
Tan
|Cos|
Cos
|Sen|
Sen
a)1 b)2 c) -3d)4 e) -5
14).- Indica el signo de :
Q =
119sen
271sec118cot329csc
a) (+) b) (-) c) (+) y (-)d) (+) o (-) e) N.A.
15).- En que cuadrante se cumple :
Sen> 0 y tan< 0
a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) I y IIC
16).- Calcula :
E = 2Tan+3Sen2
3 +2Sec2- Cos180
a) 0 b)2 c) 3
d)3 e) N.A.
17).- Evala :
Q =
180secbtanab0cosa
270cscbsecab290sena22
22
a) 0 b)baba
c)
baba
d)b
a e) N.A.
18).- En la figura halla : tan
a) 3/4 b) 4/3 c) 3/5
d) 4/4 e) 5/4
(-3; 1)
y
x0
(2a, a+6)y
x
(a, a+1)
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19).- En la figura, halla : tan
a) 2/3b) 3/2c) 1
d) e) N.A.
20).- Si :
(cos)5Cos= 27/125 y tan
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I. DEFINICIN
Son aquellas igualdades entre las razones trigonomtricas de una cierta variable; las cuales severifican para todo valor de la variable, que no indetermina a la razn trigonomtrica existente en laigualdad.
II.CLASIFICACIN
1. IDENTIDADES RECPROCAS
Senx.Cscx=1; n , nZCscx=Senx
1
Cosx.Secx=1;x(2n+1)2
,nZSecx=
Cosx
1
Tanx.Cotx = 1; xn2
, nZCotx=
Tanx
1
2. IDENTIDADES T. POR DIVISIN
Tanx =Cosx
Senx; x(2n+1)
2
; nZ
Cotx = Senx
Cosx
;
xn; n
Z
3. IDENTIDADES T. PITAGRICAS
Sen2x = 1-Cos
2x
Sen2x + Cos
2x = 1; x R
Cos
2
x =1-Sen
2
x
Sec2x-Tan
2x=1
Tan2x+1 = Sec
2x; x(2n+1)
2
, n R
Tan2x = Sec
2x - 1
Csc2x-Cot
2x = 1
Cot2x+1 =Csc2x; x n, nRCot
2x = Csc
2x-1
Los problemas que se presenten , son de tipodemostracin; simplificacin, condicionales yeliminacin de variables; pero lo msimportante es el manejo adecuado de lasigualdades ya conocidas, para obtener lasolucin del problema.
Observacin:
Verso de x : Ver x = 1- CosxCoverso de x : Cov x = 1- SenxExsecante de x : Ex secx = Secx-1
4Pre-Universitario
Alumno a) :.......................................................................
Profesor a) :
Alfredo Bustes Calle Fecha: 13 09 04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
1 Tema N IX 2 Contenido N 9.1 ; 9.2 3 Semana N : 16 y 17
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PROBLEMAS RESUELTOS
1) Demuestra que :Tan
2x . Cosx . Cscx = Tanx
Solucin :En este problema, la idea es reduc ir elm iembro dela igualdad mscompl icado y obtener un resul tadoigual al otro miembro. Uno de loscr iterio s ms u til izado s, es el decolocar la expresin a reducir , entrm ino s de senos y/o cos enos; y parael lo es bueno recordar:
Cscx =Senx1 ; Secx =
Cosx1
Tanx=Cosx
Senx; Cotx=
Senx
Cosx
En el prob lema :
Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx ; no ta que :
Tan2x =
xcos
xsen2
2
xcos
xsen2
2
. Cosx .senx
1= tanx
Reduc iendo :
xtan
xcos
senx
= tanx tanx = tanx
2) Simplifica :
L = tanx . cos2x - cotx . sen
2x
Solucin :
Vamos a colocar la expresin entrm inos d e senos y cos enos ; as :
L = tanx . cos2x cotx . sen
2x
L = xsen.senx
xcosxcos.xcos
senx 22
Reduciendo :
L = senx . cos x cosx . senx
L = 0
3) Reduce:
L = (secx - cosx) (cscxsenx)
Solucin :Pasando a senos y cosenos :
L =
senx
senx
1xcos
xcos
1
operando :
L =
senx
xsen1
xcos
xcos122
;
pero : 1- co s2x = sen
2x
1- sen2x = cos
2x
reemplazando :
L =senx
xcos.xcosxsen 22 L = senx.cosx
4) Simplifica :
L = xcot
xcosxcsc
senxxsec
Solucin :
Vamos a co locar toda la expresin entrm inos d e senos y cos enos ; as :
L =senx
xcos.xcos
senx1
senxxcos
1
xcotxcosxcsc
senxxsec
Operando y o rdenando :
L =senx
xcos.
senx
senx.xcos1xcos
xcos.senx1
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Reduciendo :
L =xsen
xcos.
senx
1xcos
1
L =senx
xcos.
xcos
senx
L = 1
5) Reduce :
L = (secx + tanx1) (secxtanx+1)
Solucin :
Si bien , el pasar a senos y c osenos ,es un cr i ter io m uy g eneral izador; nosiempre es necesar io tales cambios;si no tambin al m anejar las ot rasrazon es tr igo nomtric as s iemp re quetengan relacin. En el prob lema, po rejemp lo :
L = (secx + tanx -1) (secx -tanx+1)
operando :
L = sec2x secx . tanx + secx + tanx . secx
tan2x + tanx secx + tanx 1
2tanxreduciendo :
L = sec2x - tan
2x + 2tanx 1 = 1 + 2tanx 1
1 L = 2tanx
6) Reduce :
L = CosxCosxSenx
x4Cosx4Sen
Solucin :En muchos problemas; el uso de los
productos notables es necesar io parasimpl i f icar expresiones; siendo estoscaso s, impo rtante, la adaptacin de laspropiedades algebraicas a la expresintri go nomtri ca a anal izar. En el p rob lema,tenemos :
L =xcossenxxcosxsen 44
- cos x ; no ta que :
a2b
2= (a + b) (a b )
En la expresin :
L =
xcosxcossenx
xcosxsen 2222
L = xcosxcossenxxcosxsenxcosxsen 2222
Pero : sen2x + cos
2x = 1
Luego :
L =xcossenxxcosxsen 22
- cos x
Nota que :sen
2x-cos
2x = (senx + co sx)(senx -cosx )
L = xcosxcossenx
)xcossenx)(xcossenx(
Reduciendo .L = senx + cosx cosx
L = senx
CUESTIONARIO
1).- Demuestra las siguientes identidadestrigonomtricas:a) sen
4x + cos
4x = 1 - 2.sen
2x.cos
2x
b) sen6x + xcos
6x = 1 - 3.sen
2x.cos
2x
c) tanx + cotx = secx.cscx
d) sec2x + csc
2x = sec
2x.csc
2x
e) (1 + senx + cosx)2= 2.(1+senx).(1+cosx)
2).- Halla n para que se cumpla la siguienteidentidad trigonomtrica:
(senx + cosx)2
- (senx - cosx)2
= n.senx.cosx
a) 1 b) 2 c) 4 d)1 e) -4
3).- Calcula el valor de n que hace que severifique la siguiente identidadtrigonomtrica:
cscx + n.cotxsenx
xcos1
a)1 b) 1 c) 0 d) 2 e) -2
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4).- Calcula n de tal manera que secumpla:
(senx + cosx).(tanx + cotx) = n + cscx
a) senx b) secx c) cosxd) cscx e) tanx
5).- Reduce:A = (1- cos
2x).(1+cot
2x)+(1-sen
2x).(1+tan
2x)
a) 0 b)2 c) 2 d)1 e) 1
6).- Simplifica:
xcos
senxsenxB
1
112
a) 1 b) 2 c) 3 d) e) 1/3
7).- Reduce la expresin:Q = secx - tanx.senx
a) senx b) cscx c) cosxd) secx e) N.A.
8).- Simplifica:
H=16(sen6
x+cos
6
x)-24(sen
4
x+cos
4
x)+10(sen
2
x+cos
2
x)
a) 0 b) 1 c)1 d) 2 e) -2
9).- Simplifica :E = tan
2x + cot
2x + 2 - sec
2x.csc
2x
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A.
10).- Reduce la siguiente expresin
trigonomtrica: R =
12222 xsec.xtanxsec.xtanxsec
0 < x < 90
a) secx b) tanx c) 1d) 0 e) N.A.
11).- Si los catetos de un tringulo
rectngulo son : ( 3senx + 4cosx ) y(4senx - 3cosx) respectivamente, luego lahipotenusa ser igual a:a) 5 b) 5senx.cosx c) 5senxd) 5cosx e) N.A.
12).- Simplifica: K = 3xcosxsec
senxxcsc
a) senx b) cosx c) cscxd) secx e) ctgx
13).- Reduce:P=(tanx+cotx).(senx+cosx+1).(senx+cosx-1)
a) 0 b)1 c) 1 d)2 e) 2
14).- Reduce la expresin:
xsecxcos
xtanxsenD
22
22
a) 0 b) 1 c) 2 d)1 e) -2
15).- Simplifica:
F = 12121212 1111 xsecxcscxcosxsen
a) 0 b) 1 c)1 d) 2 e) -2
16).- Reduce:
P = xcscxsecxcosxsen 2266 1
a)3 b) 3 c)2 d) 2 e) 1
17).- Calcula:Z = (tan50+csc40).(cot40-sec50)
a) 1 b)1 c) 0 d) 2 e) -2
18).- Si: cosx + secx = 4 :Calcula: E = cos
2x + sec
2x
a) 18 b) 16 c) 14 d) 12 e) 10
19).- Si: sec2x + csc
2x = 100:
Halla: J = tanx + cotx
a) 0.01 b) 0,1 c) 1d) 10 e) 100
20).- Si: (1 + cosx).(1 - cosx) = nHalla: K = (senx - 1).(senx + 1)
a) n b)n c) 1+nd) 1-n e) n-1
CLAVES
1) - 2) c 3) a 4) b5) c 6) b 7) c 8) d
9) a 10) c 11) a 12) e
13) e 14) d 15) d 16) a
17) b 18) c 19) d 20) e
COL2004/4Pre/TRIG 09 10/09/04 V.A.A
7/25/2019 4 Trigonometria - 200 Millas
40/55
I. DEFINICIN
Es aquel ngulo conformado ya sea por lasuma la diferencia de dos ms ngulos.
Ejemplos :
x = + + y = 45 - 20
Observacin :
Sen(x+y) Senx + Seny
Tan- TanTan(-)
II.FRMULAS BSICAS
Para la suma la diferencia de dos ngulos
(x y)
1) Sen(x y) = Senx Cosy Seny Cosx
2) Cos(x y) = Cosx Cosy Senx Seny
3) Tan(x y) =TanxTany1
TanyTanx
III. PROPIEDADES
1) Tgx+Tgy+Tgx Tgy Tg(x+y)=Tg(x + y)
2) Sen(x+y)Sen(x-y)=Sen2x-Sen
2y
3)CosyCosx
)yx(Cos =Tgx Tgy
4)SenySenx
)yx(Cos =Cotx Coty-1
Adems :
Si : + + = n 180n (nZ)
Tg+Tg+Tg=TgTgTg
CotCot+CotCot+CotCot=1
Si : ++=(2n+1)/2 (2n+1)90
TgTg+TgTg+TgTg=1
Cot+Cot+Cot=CotCotCot
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Simplifica :
L =Cosx
)x60(Sen)x60(Sen
Solucin :En la expresin; desarrol lando cadatrm ino del numerador :
L =Cosx
)x60(Sen)x60(Sen
L =Cosx
60Cos.SenxCosx.60Sen60Cos.SenxCosx.60Sen
Simpl i f icando:
L =Cosx
Cosx.60Sen2
L = 2Sen60=2
2
3
L = 3
2) Determina el valor de :
L =x4Cos.SenxCosx.x4Senx3Cos.x2Senx2Cos.x3Sen
Solucin :
Recuerda que :
Sen .Cos+Sen .Cos=Sen(+)
Luego ; si : =3x
=2x
Sen3x.Cos2x+Sen2x.Cos3x=Sen(3x+2x)= Sen5x
En la expresin :
L =x4Cos.SenxCosx.x4Senx3Cos.x2Senx2Cos.x3Sen
4Preuniversitario
Alumno a) :.......................................................................
Profesor a) :
Alfredo Bustes Calle Fecha: 27 09 04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPUESTOS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Semana N18 y 19 Tema N X Contenido N 10.1-10.2
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L =x5Sen
x5Sen L=1
3) Calcula el valor de Sen75
Solucin :En este caso, descomponemos 75como la suma de dos nguloscon ocido s, por ejemp lo :
Sen75= Sen(45+30)
desarrol lando :
Sen75= Sen45.Cos30+Sen30.Cos45Reemp lazando valores no tables:
Sen75=22
.21
23
.22
Sen75 =4
26
Sugerencia, no olvides el siguientetr ingu lo :
4) Reduce :
L =Senx.Sen)x(Cos
Cosx.Sen)x(Sen
Solucin :
Vamo s a desarro llar lo s trm in osco noc idos ; as :
L =Senx.Sen)x(Cos
Cosx.Sen)x(Sen
L =Senx.SenSenx.SenCosx.CosCosx.SenCos.SenxCosx.Sen
Reduciendo :
L =CosxSenx
Cosx.Cos
Cos.Senx
L = Tanx
5) Calcula el valor de Cos8
Solucin :Descomponemos 8 usando dos
ngu los conoc idos :
8= 45- 37Esto es : Cos8= Cos(45-37)
Cos8= Cos45.Cos37+Sen45.Sen37
Reemp lazando valores conoc idos :
Cos8=
5
3.
2
2
5
4.
2
2
Cos8 =10
27
como sugerencia; no olvides estetr ingu lo :
6) Simplifica : L =
Cos.Cos
)(Sen- Tan
Solucin :
En estos casos; lo ideal es d esarrol larla frmula :
L =
Cos.Cos
Cos.SenCos.Sen- Tan
Luego , la fraccin la desdoblamos enhomogneas as :
L =
Cos.CosCos.Sen
Cos.CosCos.Sen -Tan
Reduciendo :
L =
Cos
Sen
CosSen - Tan
L = Tan + Tan - Tan
15
4
26
26
75 8
5 2
7
82
1
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L = Tan
CUESTIONARIO
1).- Calcula el valor de :
a) sen15b) cos15
2).- Calcula el valor de :
a) tan16b) cot8
3).- Reduce : P =
)yx(Cosx)yx(Cos
)yx(Sen)yx(Sen
a) Tanx b) Tanyc) Cotx d) Cotye) 1
4).- Calcula :
Q = Secx Secy [ (cos(x + y) + cos(xy) ]
a) 1 b) 2 c) 3d)2 e) -1
5).- Calcula : E = sen6/12 + cos
6/12
a) 11/16 b) 13/16c) 12/13 d) 15/17e) 1/4
6).- Calcula :
Q =)yxtan(
ytanxtan
)yxtan(
ytanxtan
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
7).- Si : + = 150 reduce :
(sen+cos)2+ (cos+ sen)
2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 3 e) 2 3
8).- Si : cos(+45) =6
2.
Calcula : sen. cos
a) 1/9 b) 2/9 c) 4/9d) 3/9 e) 5/9
9).- Reduce :
cosycos
)y(sen
ycoscos
)y(sen
coscos
)(sen
a) tgtgtgy b) ctgctgctgy
c) 1 d)1 e) 0
10).- Si tgtg= 3/2 y coscos= 1/3
Halla : cos (+)
a) 1 b)1 c) 1/6d)1/6 e) 5/6
11).- Calcula :
10tg
40tg50tg
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
12).- Si : + = 45,
calcula : 1 + (1 + tg) (1 + tg)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
13).- Calcula :
10cos10sen
35cos
a) 1 b) 2 c) 2 /2
d) 2 2 e) 2 /4
14).- Si y son ngulos del tercer y cuarto
cuadrante respectivamente y sen = 3/5 y
cos=3/5.Calcula : cos (- )
a) 0 b)1 c)24/25d) 24/25 e) 1
15).- Si : tg2=
2
2
tg41
tg4 y tg(+) = 6
calcula : tg(-)
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a) 24 b) 1/24 c) 2/3d) 3/2 e) 1
16).- Reduce :
E =)(tg
tgtg)(tg
tgtg
a) 0 b) 1 c) 2d)1 e) -2
17).- Si : 3sen= 2sen(+2).
Calcula : tg(+ ) ctg
a) 5 b)5 c) 1/5d)1/5 e) 1
18).- Reduce :
M =
)60a(sen)60a(sen
)a60cos()30a(sen
a) 2 b) 1 c) 3
d) 6 e) -1
19).- Si : tg(2A + 3B) = 3 y
tg(3A + 2B) = -2
Halla : tg(AB)
a) 1 b)1 c) 7d) 1/7 e)1/7
20).- Calcula :
3 tg 20 + 3 tg40 + 3tg20 - tg40
a) 3 b) 3 3 c) 3
d) 1 e) 6
21).- Del grfico calcula : Tg
a) 4/13 b) 6/13 c) 2/3d) e) 3/4
CLAVES
1) -- 2) -- 3) a
4) b 5) b 6) b
7) c 8) c 9) e
10)d 11)b 12)c
13)c 14)c 15)c
16)c 17)a 18)c
19)a 20)c 21)a
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
COL2004/TRIG 10
24/09/04 J.P.B
3a2aa
6a
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44/55
I.- EN GENERAL:
1.- Sen2x = 2Senx.Cosx2.- Cos2x = Cos2xSen2x
2.1.- Cos2x = 1- 2Sen2x2.2.- Cos2x = 2Cos2x1
FRMULAS DE DEGRADACINa.- 2Sen2x = 1-Cos2xb.- 2Cos2x = 1+Cos2x
3.- Tan2x =xTan
Tanx2
1
2
II.- OTRA FORMA DE EXPRESAR EL
SEN2X Y COS2X
a.- Sen2x =xTan
Tanx2
1
2
b.- Cos2x =xTan
xTan2
2
1
1
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- CalculaE = Sen15.Sen75
Solucin:
2E = 2Sen15.Cos15
2E = Sen30
2E =2
1
E =4
1
2.- Reduce:P = 1 - 8Cos2x + 8Cos4x
Solucin:
Agru pando en form a con veniente.
P = 1 - 8Cos2x(1 - Cos
2x)
P = 1 - 8Cos2x.Sen
2x
P = 1 - 2(2Senx.Cos x)2
P = 1-2Sen22x
P = cos4x
3.- Reduce:P = 2Sen3x.Cosx + 2Senx.Cos3x
Solucin:
Factorizando 2Senx.Cosx
P = 2Senx .Cosx (Sen2x + Cos
2x)
P = Sen2x (1)
4.- Reduce:
Q =xSenxCos
xSenxCos
221
221
Solucin:
Por degradacin:
Q =Cosx.SenxxCos
Cosx.SenxxSen
22
22
2
2
Q = )SenxCosx(Cosx
)CosxSenx(Senx
2
2
Q = Tanx
5.- Calcula: Tan21
Solucin:
Tan21= Tan(37- 16)
Tan21=
24
7
4
31
24
7
4
3
16371
1637
.Tan.Tan
TanTan
Tan21=117
44
4Preuniversitario
Alumno(a) :.......................................................................
Profesor (a) : Alfredo Bustes Calle Fecha: 22/10/04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DEL NGULO DOBLE
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Semana N23 Tema N XI Contenido N 11.2
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6.- Calcula:E = Cos415 - Sen415
Solucin:
Por di ferencia de cuadrados
E=(Cos215+Sen
215)(Cos
215-Sen
215)
(1) Cos2(15)
E = Cos30
E =2
3
CUESTIONARIO
1).- Simplifica :
K=(Cos4- Sen4)2 + (2SenCos)2
a) Cos2b) Sen2c) Tg2
d) Sec2e) 1
2).- Calcula :
xCosxSen81
x4CosP22
a) 1b) Senx
c) Cos2xd) 2e) Cosx
3).- Simplifica :2
2
2
2
2
Tg1
Tg2
Tg1
Tg1B
a) Cero b) 1 c) 2
d) 3 e) 1/2
4).- Calcula :
2Tg
Tg)12Sec(R
a) 1 b) 0 c) 4
d) 2 e) 3
5).- Si : x =2
, calcula :
Cosxx2Sen
x2TgB
a) 2 b) 1/2 c) -2
d)1/2 e) 0
6).- Reduce :
2Tg1
2Tg2
2Cos1
2Cos1P2
a) 2Tg
b) Tg2
c) 0
d) 2Tg
e) 2Tg2
7).- Calcula :
Q = Cos20 Cos40 Cos80
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8
d) 1/16 e) 1
8).- Reduce :
16Cos22222E
a) Sen
b) 2Sen
c) 2Cos
d) Cos
e) 2
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D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 3
9).- Si : x=1845
Halla: P=Cos3Sen - Sen3Cos
a)16
62
b)16
26
c)10
62
d) 1/2
e)3
2
10).- Halla :
2
2Cos1.2Sen
)2Cos1(T
a) Sen
b) Cos
c) Tg
d) Ctg
e) Sec
11).- Reduce :
CosSen
)2Cos1(2)2Cos1(2E
a) 1 b) 2 c) 4
d) 3 e) 1/2
12).- Simplifica :ACosASen
ACosASenE
441
441
a) Ctg2A b) CtgA c) TgA
d) Tg2A e) 1
13).- Reduce :
SenxTgxCosx
SenxSenxCosx
x2Senx2SenP2
a) Senx
b) Cosx
c) 1
d) Tgx
e) 0
14).- Si : TgxTg2x = a
Halla : M=Tg2xSec22x
a) a2 b) 2a2 c) a2/2d) 4a2 e) 3a2
15).- Si x = 90
Calcula :Cosxx2Sen
x2TgB
a) 2 b) 1/2 c) -2
d)1/2 e) 0
16).- Reduce :16SenCosCos2Cos4Cos8
a) Sen8
b) Cos8
c) Sen16
d) Cos16
e) Sen32
17).- Simplifica : 2SenCos3+ 2Sen3Cos
a) Cos2
b) Sen2
c) Sen4
d) Cos4
e) Sen
18).- Si : Tg+ Ctg= n. Halla : sen2
a) n b) 2n c) n/2
d) 1/n e) 2/n
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19).- Halla : x
a) 9b) 10c) 11d) 12
e) 15
20).- Halla : Sen4si : Tg=3
a) 25/24
b)24/25
c)12/25d) 7/25
e)7/25
CLAVES
1) e 2) a 3) b 4) a
5) c 6) c 7) c 8) b
9) a 10) b 11) b 12) d
13) e 14) a 15) c 16) c17) b 18) e 19) d 20) b
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
2 MILLAS
COL2004/4Pre/GEOM 11
20/10/04 VAA
5
4x
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48/55
I. PRINCIPALES ECUACIONES
En general las principales ecuaciones que nospermiten Calcula las R.T del ngulo mitad son:
1) Sen2
Cosx1
2
x
2) Cos2
Cosx1
2
x
3) Tan 2
Cosx1
2
x
NOTA : El signo () depende del cuadrante
en el cual se encuentra el ngulo mitad y dela R.T que la est afectando.
II.EQUIVALENCIAS
IMPORTANTES
1) Tan
2
x= Cscx - Cotx
2) Cot
2
x= Cscx + Cotx
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Calcula :
E = (Cot22,5-1) (Cot15 - 2)
Solucin :
Por las equivalencias:
E = (Csc45+Cot45-1) (Csc30+ Cot30-2)
E = ( 2 + 11) (2 + 3 - 2)
E = 6
2) Reduce :
Q = Cscx + Csc2x + Csc4x + Cot4x
Solucin : Por propiedad :
Q = Csc x + Csc2x + Csc4x + Cot4x
Cot2x
Q = Cscx + Csc2x + Cot2x
Cotx
Q = Cscx + Cotx
Q = Cot x /2
3) Si : Cscx + Cotx = Cos
Halla :2Sec
2xTan
Sen2
xCsc 22
Solucin: En el dato :
Cot x /2 = Cos Tan x/2 = Sec
Reemplazando :
2
SenCos1
2SecSec
Sen2/xCot1 2222
2Sec2/xTan
Sen2/xCsc 22
= 1
4Preuniversitario
Alumno a) :.......................................................................
Profesor a) :
Alfredo Bustes Calle Fecha: 15 11 04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : RELACIONES TRIGONOMTRICAS DEL NGULO MITAD
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Semana N 24 Tema N XIII Contenido N 13.1 ; 13.2
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4) Si : Senx + Cosx = 2 ; x I C
Calcula : Cot x/2
Solucin :
En el dato al cuadrado
Sen2x + Cos2x + 2Senx + Cosx = 2
(1) + Sen2x = 2
Sen2x = 1
2x = 90
x = 45
En tonces : Cot 45/2 = Csc 45+ Cot45
Cot x /2 = 2 +1
5) Calcula :
E =Cotx
)CotxCscx(otx2/xCot
Solucin : Desarrol lando
E =Cotx
)CotxCscx(CotxCscx
E =Cotx
Cotx2 E = 2
6) Reduce :
E = Tan2
x + 2Sen22
x Cotx
Solucin :
E = Cscx Cotx + (1 Cosx) Cotx
E = Cscx Cotx + Cotx CosxCotx
E = Senx
xCos
Senx
1 2
E =Senx
xSen
Senx
xCos1 22
E = Senx
CUESTIONARIO
I ) Escrib e (V) si es verd adero o (F) si es
falso:
a) Csc+ Cot
= Tan
/2 ( )
b) Csc- Cot = Tan /2 ( )
c) Si : 180 < x < 270 x/2 IIC ( )
d) Si : 270< x < 360 x/2 IIIC ( )
e) Sen2x/2 =
2
Cosx1 ( )
f) Cos2x =
2
Cosx1 ( )
g) Cot2+ Csc2= Cot ( )
h) Tan15 = 2 = 3 ( )
I I) Subraya la alternativa c orrecta
1).- Reduce : A = Ctg2
b(CsbCtgb)
a) 1 b) Tg b/2 c) Tg bd) Cos b/2 e) Sec b/2
2).- Calcula el valor : Tg /8
a) 2 - 1 b) 2 + 1
c) 2 - 2 d) 2 + 2
e) 2 /4
3).- Si : 3/2 < x < 2x y Cosx = 1/9 . Calcula:
Csc x/2
a) 1,0 b) 1,2 c) 1,4d) 1,5 e) 1,6
4).- Siendo Cos= 0,28 y Sen< 0. Calcula el
valor de : Cos /2
a) 3/5 b)3/5 c) 4/5d)4/5 e) N.A.
FV
V
F
V
V
V
V
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5).- Siendo : Cos= donde Calcula el valor de :
W = 3 Sen/2 + 5 Cos/2
a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 4 e) 1
6).- Al simplificar la expresin :
A =Ctgx22/xCtg
2/Tgx2
, se obtiene :
a) 1 b) 2 c) 4/2d)1 e)
7).- Siendo : Tg 32
x3
4
Calcula el valor de Sen3x
a) 3/5 b) 4/5 c)3/5d)4/5 e) 1
8).- Dada la relacin : Sen+ Cos=3
2
Calcula : Ctg2
28
a) 1 b) 2 c) 1/2d) 4 e) 1/4
9).- De la relacin :
2Ctg=
8Ctg.
8Tg
8Tg
8Ctg
obtener el valor de
a)12
b)
9
c)
6
d)4
e)
3
10).- Reduce la siguiente expresin :
4
Tg1
4Tg1
E2
2
a) Sen2 b) Cos2 c) Tg2
d) Ctg2 e) 2Tg
11).- Determina k de modo que /4 sea razde la ecuacin :
k2
xTg
2
xTg
3
a) 3 2 - 4 b) 3 2 -6 c) 6 2 -2
d) 4 2 -6 e) 4 2 +6
12).- Halla el valor de :
H = (Csc2+ Csc4+ Csc8+ Ctg8) Tg
a) 1 b) Tg2 c) Ctg
d) 2 e)
13).- Simplifica la expresin siguiente :
E =Tg+ 2Tg2+ 4Ctg4
a) Ctg b) 2Ctg2 c) Ctg2
d) 4Csc4 e) 4Ctg4
14).- En un tringulo ABC se cumple que :
SenB SenC = Cos2A/2
que tipo de tringulo es:
a) Issceles b) Rectnguloc) Equiltero d) a y b e) a y c
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15).- Siendo :
Cos A =yx
zCCos;
zx
yCosB;
zy
x
Determina el valor de :
B= Tg22
A+ Tg
2
2
B+ Tg
2
2
C
a) 1 b) c) 2d) 3 e) 4
16).- Calcula : Tg
2
xsabiendo que :
Senx =22
ba
ab2
a) b
a b)
a
b c)
b
a
d) a
b e) 1
17).- Indica el valor de :
8
7Cos
8
5Cos
8
3Cos
8CosW
4444
a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3
CLAVES
01) a 02) a 03) d
04) d 05) c 06) b
07) d 08) 09) d
10) a 11) d 12) a
13) a 14) a 15) e
16) 17)
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
COL2004/TRIG 12
12/11/04 J.P.B
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52/55
1) Principales Ecuaciones :
a) Sen3x = 3Senx4Sen3x
b) Cos3x = 4Cos3x3Cosx
c) Tan3x =x3Tan-1
xTan-3Tanx2
3
2) Otra forma de expresar :
a) Sen3x = Sen2x (2Cos2x + 1)
b) Cos3x = Cosx(2Cos2x1)
c) Tan3x =Tanx
1x2Cos21x2Cos2
3) Equivalencias Importantes :
a) 4Senx Sen(60x) Sen(60+x) = Sen3x
b) 4CosxCos(60-x)Cos(60+x) = Cos3x
c) TanxTan(60 - x) Tan(60+x)=Tan3x
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Simplifica :
E =x3CoxCos
xSenx3Sen3
3
Solucin :
E =)Cosx3xCos4(xCosxSenxSen4Senx3
33
33
E =)xCos1(Cos3
)xSen1(Senx32
2
E =Senx
Cosx
xSenCosx
xCosSenx2
2
E = Cotx
2).- Calcula :K = Sen10Sen50Sen70
Solucin :
Mult ip l icando po r 4
4k = 4Sen10Sen50Sen704k = Sen30=
k=1/8
3).- Halla n para que la expresin sea unaidentidad.
nCosx
x3Cos
Senx
x3Sen
Solucin :
nCosx
x3Cos
Senx
x3Sen
nCosx
)3xCos4(xcos
Senx
)xSen43(Senx 22
6 4 (Sen2x + Cos
2x) = n
(1)n = 2
4).- Simplifica :E = (Cos3x+ 2Cosx) (Sen3x2Senx)
Solucin :
E=(4Cos3x-3Cosx+2Cosx)(3Senx4Sen
3x
2Senx)
E = (4Cos3x Cosx ) (Senx 4Sen
3x)
E =Cos xSenx(3-4Sen2x)(4Cos
2x 3)
E =2
2Sen3xCos3x
E = 0,5Sen6x
4Preuniversitario
Alumno a) :.......................................................................
Profesor a) :
Alfredo Bustes Calle Fecha: 22 11 04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : RELACIONES TRIGONOMTRICAS DEL NGULO TRIPLE
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Semana N 24 Tema N XIII Contenido N 13.1 ; 13.2
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5).- Si: Tanx =11
1; Calcula : Tan3x
Solucin:
Tan3x =
121
131
121
13
11
1
31
3
2
3
.xTan
xTanTanx
Tan3x =
121
118
121
362
11
1 )(.
Tan3x =649
181
6).- Halla el valor de:E = Cos20.Cos40.Cos80
Solucin:
4E = 4Cos20.Cos40.Cos804E = Cos60
4E =2
1
E =8
1
CUESTIONARIO
1).- Calcula : Sen18
a)4
15 b)
4
15 c)
4
25
d)4
26 e) 3/4
2).- Evala : 4Sen18Cos36
a) 1 b) 2 c) 1/2d) 3 e) 1/3
3).- Calcula :
E =
40Cos840Cos6
40Sen1240Sen9
3
3
a) 32
3 b) 3
4
3 c) 2
3
3
d) 25
3 e) 3 3
4).- Simplifica :
E =
6Sen372Cos
84Sen318Cos
a)Cot34 b)Cot25 c)Cot36d) Cot
35 e) Cot
36
5).- Calcula : a2+ b
2a partir de :
aCsc=3-4Sen2
bSec= 4Cos2-3
a)1 b) 0 c) 1d) e)1/2
6).- Si : Sen3=3Tan, Sen0. Halla.
E = (4Cos3) (3+Cos)
-1
a) 1 b)1 c) 0d)2 e) 2
7).- Halla n para que la expresin sea unaidentidad :
nCosx
x3Cos
Senx
x3Sen
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
8).- Halla :
M = Tg3x-xTg31
xTgTgx3
2
3
a) 0 b) 1 c) Tgxd) Ctgx e) -1
9).- Si Tg = 2. Halla : 11Tg3
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
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10).- Simplifica :
K=A3Cos
A2SenACosA3Sen
a) SenA b) CosA c) TgAd) 2SenA e) 2CosA
11).- Si : 4CtgA =ATg31
ATg3
2
2
Halla :Ctg3A
a) 4 b) c) 1
d) e) -4
12).- Calcula : J = Cos20 Cos40Cos80
a) b) c) 1/6d) 1/8 e) 1/10
13).- Calcula : K = Sen10Sen50Sen70
a) b) c) 1/6d) 1/8 e) 1/10
14).- Calcula : L=4Sen5Sen55Sen65
a)4
26 b) 26 c) 2+ 3
d) 2- 3 e)4
26
15).- Simplifica:
M = 4Sen
3
xSen
3
xSen
3
x
Se obtiene :
a) Senx b) 2Senx c)3
Senx
d) 3Senx e)4
Senx
16).- Reduce : 3Cosx3x3Cos
Senx3x3Sen
a) Tgx b) Ctgx c) -Tgxd)Ctgx e) Secx
17).- Reduce : M =4Cos3x - 6Cos
23
2
x
a) 0 b) Sen2x c) Cosxd) Cos3x e)2Cos 3x/2
18).- Simplifica :x3CosxCos
xSenx3Sen
3
3
a) Cotx b) Secx c) Cscxd) Tanx e) Senx
19).- Simplifica :
Sen
3SenSen
Cos
3CosCos 33
a) Cos b) Sen c) 1d) 3 e) 0
20).- Si : Tan(+15) = 2/3, calcula Tan3
a) -9
46 b)
9
46 c)
37
55
d) -37
55 e) N.A.
21).- Si : Sen3
2x
3
Calcula : Sen3x
a)27
28 b) -
27
28 c) -
27
219
d)27
219 e) N.A
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22).- Simplifica :
P = Cos3xCos3x - Sen3xSen
3x
a)4
x4Cos31 b)
4
x4Cos31
c) Cos4x d) 3Cos4x
e) N.A.
23).- En la figura :3
2
OC
AO .
Calcula :ODOB
a) 3 b) 6 c) 9d) 11 e) 13
CLAVES
1) a 2) a 3) a 4) c
5) c 6) a 7) c 8) a
9) b 10) a 11) b 12) d
13) d 14) e 15) a 16) a
17) d 18) a 19) d 20) c
21) d 22) a 23) d
3
A
B
2
OD
C