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Problemas de Álgebra
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 1 -
ÁLGEBRA
01. La gráfica de la función polinomial
2P x x x 2 es
02. Determine la suma de las raíces no
reales de la ecuación 5 4 3 2x x 11x 11x 18x 18 0
A) 1 B) 5i C) 3 4i D) 0 E) -1
03. Sea 3 4
f(x) x 1 x 5 . Halle la
gráfica de f(x).
04. En la figura adjunta se muestra la
gráfica de un polinomio P de grado mínimo, ¿cuál es el cardinal del
conjunto B x R / P x 0 ?
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
y
x
0
A)
y
x
0
D)
y
x
A)
1
5
y
x
B)
1
5
y
x
D)
1
5
-5 -3
y
x 0 4 6
y
x
0
B)
y
x
0
C)
y
x
0
E)
y
x
C)
1
y
x
E)
4 1
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 2 -
05. En la figura adjunta se muestra la gráfica de la función polinomial
y P x , entonces podemos afirmar:
I. P(x) no puede ser de grado 6. II. P(x) no puede ser de grado 8. III. El coeficiente principal es positivo. IV. El coeficiente principal es
negativo. V. El coeficiente principal es racional.
Indique cuántas son correctas. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
06. Sea 3 2P x ax bx cx d un
polinomio con coeficientes complejos. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. P(x) tiene tres raíces. II. P(x) tiene exactamente una raíz. III. P(x) tiene dos raíces reales. A) VFF B) FFF C) FVF D) FFV E) FVV
07. Dada la ecuación cúbica en x:
3 23x ax bx 12 0 ; donde
a;b , si una raíz es 1 3 ,
determine el valor de b a
9
.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
08. Resuelva
7 5 4 2 3x 20x 2x 40x 64x 128 0
de cómo respuesta la suma de todas las raíces reales.
A) 3 2 B) 32 2 C) 20
D) 2 20 E) 20
09. Si las ecuaciones
4 2x ax 5 0 , 4 3x x bx 10 0 tienen 3 raíces comunes. Determine el valor de "a b" .
A) -3 B) -2 C) 2 D) 3 E) 5
10. Si tres de las raíces de la ecuación
4 3 2x px qx rx s 0 son tgA;
tgB; tgC donde A; B; C son los ángulos de un triángulo. Determine la cuarta raíz.
A) p r B) p s
2
C) ps D) 2p p 4s
2
E) 2p p 4s
2
11. Sea 50 4P x x x 1 , halle la suma
de sus raíces. A) -1 B) 0 C) 2 D) 4 E) 5
12. Indique el valor de verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Si a; b y c son raíces de la
ecuación 33x 1 7x , entonces
3 3 31 1 1a b c 7
a b c
.
II. Toda ecuación polinomial de coeficientes reales y de grado impar posee el menos una raíz real.
III. La suma de las raíces complejas
de la ecuación 3 2x 7x 17x 15 0
es 4. A) VVV B) VVF C) VFF D) FVV E) VFV
0 -1 2 3
y
x
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 3 -
13. Si el número n 31 a es solución real
de la ecuación 6 4 2x 3x 3x 8 0 ,
determine el valor de n aa n es
A) 17 B) 32 C) 57 D) 100 E) 177
14. Dada la ecuación 5 4 3 2x 2x 3x 8x 3x 2 0 , de
raíces x1; x2; x3; x4; x5, tal que
5m
xn
, donde m;n Z 0 .
Determine el valor de
5 1 5 2 5 3 5 4
1 2 3 4
x x 1 x x 1 x x 1 x x 1E
x x x x
A) 10 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
15. Determine el polinomio mónico de
menor grado posible que tenga coeficientes enteros y admita a
2 3 1 y a 2 3 como dos de
sus raíces. De cómo respuesta la suma de sus coeficientes. A) -8 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
16. Si el siguiente polinomio
5 4 3 2 2P x x 3x mx 7x nx p ,
tiene como raíz de multiplicidad tres al número uno. Halle m n . A) 10 B) 11 C) 13 D) 21 E) 30
17. Si tiene la misma siguiente ecuación
5 4 2x 5x ax bx c 0 donde
a;b;c y 2 2 es una raíz de
la ecuación. Halle la suma de productos binarios de las 3 raíces racionales. A) -6 B)-1 C) 1 D) 5 E) 6
18. En la ecuación 3 2x ax bx c 0 se cumple que una de las raíces es la opuesta de la otra, ¿qué condiciones existe entre a, b y c? A) a ab 0 B) c ab 0
C) a bc D) 2b ac
E) 2c ab
19. Conociendo que n 4 determinarlo
de 2
n n1 i 1 i 256
A) 2 B) 6 C) 10 D) 14 E) 18
20. Simplifique la expresión
2 4 6 8 80i i i i iZ 1 i i i i i A) 0 B) 1 C) 1 i D) 1 i E) -1
21. Si Z,W tal que Z 2; W 3 ,
calcule el valor de
Z Z W W Z W Z WJ
Z W Z W Z W Z W
A) 5
2 B)
5
3 C)
3
4
D) 6
5 E)
5
4
22. Halle
3
2 i 5 1 i 3
5 i 3
A) 2 B) 3 C) 5
D) 5 3 E) 6 2
23. Si se tiene el complejo
2 3 19
Z 1 i 1 i 1 i 1 i
Determine e z m z
A) 511 B) 512 C) 1023 D) 1024 E) 2048
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 4 -
24. Halle tal que
z 1 z 2 4 2i
A) 1 i B) 1 i C) 1 2i
D) 1
2i2 E)
11 i
2
25. Si 3b 2ai
4 3i
es real y de módulo uno.
Halle a b . A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 7
26. Si se cumple
1 ai a 3iki, k; a
a i 1 ai
, halle
4k 1 . A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) 20
27. Para qué valor real de a es número
a 2 a 9 iZ
a 5 ai
este representado
en el plano mostrado en la figura
A) 1
5 B) 5 C) 5
D) 10 E) 25
28. Dados los complejos z1, z2, z3
representados en el plano de Argand-Gauss.
Indique el valor de verdad:
I. 1 2Arg z ,z 340º
II. 1 2e z m z 0
III. 3 1Arg z Arg z 240º
A) FVV B) FVF C) VVV D) FFF E) FFV
29. Considere el número complejo
Z 2 3 2i , el cual se puede
representar en el plano por el par
ordenado 2 3,2 . Para rotar Z en
sentido antihorario un ángulo de 270º se debe multiplicar z por
A) i2 B) 2i 1 C) -i
D) i 1 E) z
30. Si 2/ z z . Halle el de z que cumple dicha relación A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
31. Halle la suma de todos los números z
tal que z 5 y
22
7 Re(z) 22 Im z 3 85
A) 88
i5
B) 48
i5
C) 8i
D) 58
i5
E) 38
i5
32. Si y 1
z 1z
, halle el mayor
módulo de z.
A) z 2 B) 1 5
z2
C) 1 6
z2
D) z 1 3
E) 1
z 12
Im
Re
Im
e
z1
z3
z2
45º
15º
15º
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 5 -
33. Para todo z a bi definimos
z b ai . Indique el valor de verdad
de las afirmaciones:
I.
z z
II. z z
III. i z z
A) VVF B) VFF C) FVV D) FFV E) FFF
34. Dadas las siguientes proposiciones,
indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. z : z 2i 2z i z 3i
II. 1
Si z 1 z entonces Re z2
III. Si z se localiza en el primer
cuadrante, entonces - z se localiza en el segundo cuadrante.
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF
35. Halle el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones:
I. Sean z,w tal que z w 3 ,
entonces Re z Re w .
II. Si z pertenece al III cuadrante,
entonces 1
z pertenecen al I
cuadrante. III. Si z y w son imaginarios puros
diferentes, entonces z w es imaginario puro.
A) VVV B) FVF C) VFF D) FVV E) FFF
36. Determine
21 2 3 1 2
5z 5z 2z z z z
4 si
4 4
1
1 i 1 iZ ;
2 i
23
2
4i iZ ,
1 2i
683
3Z i 1 i
A) 7i B) -7i C) 7i-20 D) 8i E) 10i
37. Indique el valor de verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. El módulo del complejo
3 2
6
1 i 1 iz
1 i
es
1
4.
II. El argumento principal del
complejo Z sen icos8 8
es
5
8
.
III. El complejo 30 30
Z 1 3 i 1 3 i
es un complejo real. A) VFV B) VVF C) VFF D) VVV E) FVV
38. Determine la menor parte imaginaria
entre las raíces complejas de
3 2P z z 3 i z 2 3i z 6
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
39. Si z1 y z2 son las raíces cuadradas
del número complejo z 0 , entonces
el valor de 3
1 2z z es
A) z1 z2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 6 -
40. Si z C , cumple la condición 22z z 12i 8, z C , entonces el
complejo z es A) 2 3i B) 2 3i C) 3 2i
D) 3 2i E) 3 3i
41. Dado un número complejo Z que
cumple 3z 36 5z 40i
z 4 z 8 . Halle un valor de z .
A) 6 8i B) 6 17i C) 6 9i
D) 6 17i E) -i 42. Determine la verdad (V) o falsedad
(F) de las siguientes afirmaciones:
I. Sea 1 2z ,z de módulo 1,
entonces 1 2 1 2z z 2 z z .
II. Si 1 2 1 2 1 2z z z z ; z ,z 0 ,
entonces 1 2z / z es imaginario
puro.
III. 1 2 1 2 1 2z z z z z ,z
A) VVF B) VFF C) FFV D) VVV E) VFV
43. Sea w 0 \ (fijo). Si z es un
número complejo tal que ze w . Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:
I. Re z w
II. m z arg w 2k , k
III. f : definida por zf z e
es suryectiva. A) VFF B) FVF C) VVF D) VVV E) FVV
44. Sea tal que z z 1 2i . Halle
Re z m z .
A) 1
2 B)
1
2 C)
5
2
D) 7
4 E) 3
45. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. z ; z 2i 2z i z 3i
II. Si z 1 z , entonces 1
Re z2
.
III. Si z se localiza en el primer
cuadrante, entonces z se localiza en el segundo cuadrante.
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF
46. Determine el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones:
I. 11
1arg arg z
z 2
II. Si 1z cis , entonces
isen1arg z 0 .
III. 1 1n
22
z z1arg arg
n zz
.
A) VVV B) FVV C) VVF D) VFV E) FVF
47. Halle el valor de
1001 cos x isenx
1 cos x isenx
; siendo x
4
A) -21000 B) -2 C) -1
D) 2 E) 2100
48. Dada 3 i a bi , calcule
3 3M 1 1
a b
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
49. Si E es un número real, halle el valor
de
325 2 i
E i3 4i
.
A) -2 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 7 -
50. Halle el valor de n: 2n 2n n2i 2 2i 1 i 96i
A) 1
2 B)
1
10 C) 2
D) 3 E) 4
51. Si 1
ai 3z
b i
, 2
bi az
3 i
están
ubicados en el plano gauseano de la siguiente forma
Halle una relación entre a y b. A) a b B) a 2b C) a 3b D) a 5b E) 2a b
52. Halle el valor de
3 5E 1 i 2i 4 1 i
A) 4 - i B) i C) 4i D) 3 - i E) 1 - i
53. Si z tal que nz 1, n z 1 ,
halle el valor de w , si:
2 3 n 1w 1 2z 3z 4z n z
A) n n 1
2
B)
n n 1
2
C) 2 D) n
z 1
E) n
z 1
54. Halle una expresión equivalente para n
1 sen icosE
1 sen icos
A) n
cis n2
B)
ncis n
2
C) n
cis2
D)
ncis
2
E) cis n n
55. Sea el número complejo z, tal que
1z 2cos
z . Calcule 10
10
1z
z .
A) sen(10)i B) –sen(10)i C) 2sen(10)i D) 4sen(10)i E) 9sen(10)i
56. Sea z x yi , tal que nz 1; z 1 ,
tal que 2 n 1wi 1 2z 3z nz . Halle w en términos de x e y.
A) ny
nix 1
B) ny ni
2 1 x 2
C) ny ni
1 x 2
D)
ny
ni2 1 x
E) ny ni
2 x 1 2
57. Halle el argumento de complejidad
wz i , si w es una raíz cúbica no real de la unidad.
A) 4
B)
2
C)
3
4
D) E) 3
2
58. Determine el total de números
enteros positivos n de dos cifras que verifican la igualdad
n1 3 1 3
i i2 2 2 2
A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80
Im
e
z1
z2
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 8 -
59. ¿Cuántas raíces complejas tiene la
ecuación 100z 1 0 con argumento
en el intervalo 4
;25 25
?
A) 0 B) 4 C) 5 D) 8 E) 10
60. Determine el número de raíces que
se encuentran en el tercer cuadrante
del plano complejo: si 50z i 1 . A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
61. Halle una de las soluciones de la
ecuación 4 3 2z 2z 7z 18z 26 0 , si 1 i
es una solución de la ecuación. A) 1 4i B) 2 3i C) 5 2i
D) 2 3i E) 2 5i 62. Respecto a las raíces de la ecuación
6 3z 7z 8 0 podemos afirmar que: I. Una raíz se ubica en c/u de los
cuadrantes y dos en el eje imaginario.
II. Una raíz se ubica en c/u de los cuadrantes y dos en el eje real.
III. Dos raíces se ubican en el I cuadrante, dos en el II cuadrante y dos en el eje imaginario.
A) FVV B) FVF C) FFF D) VFF E) FFV
63. Al resolver la ecuación
2x 5 i x 8 i 0 , indique el
cuadrado de una de sus raíces. A) 3 4i B) 5 12i C) 3 4i
D) 4 12i E) 3 2i 64. Con respecto a la ecuación
4 3 2z 4z 6z 4z 5 0 , señale el valor de verdad de cada una de las afirmaciones. I. Tiene 2 raíces reales y 2
imaginarios.
II. La suma de los cuadrados de las raíces es 4.
III. Una de sus raíces está en el III cuadrante.
A) VFF B) VFV C) VVF D) FFF E) FVF
65. Sea A z / z 2 z 2i 2 . Si
z A , halle la suma de los valores de
z tal que z z 2i sea máximo.
A) 2i B) i C) 3i D) 4i E) 1 2i
66. Sea
R z / z 5 3 arg z 0,2
Halle un z R tal que arg(z) sea máximo.
A) 12 16
i5 5 B) 2 2i
C) 5 3i D) i
E) 16 12
i5 5
67. Si M es el conjunto definido por
z 2M z / m 3
z 1
, entonces
la gráfica que mejor representa al conjunto M es:
1
1 0
y
x
A)
1
0
y
x
B)
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 9 -
68. Determine la región compleja
determinada por el conjunto:
A z / z z 9 z 3 i 1 0 arg z3
69. La gráfica que mejor representa al
conjunto A z / z 2 m z
es
70. Determine el dominio de
x x 1log 3 37
5f x log e
A) B) 0; C) 1;
D) 3;3 E) 2;2
1 0
y
x
C)
2 1 0
y
x
D)
2
1
-1
-1 0
y
x
E)
232222-2--
Im
Re
3;1
A)
Im
Re
3;1
B)
Im
Re
3;1
C)
Im
Re
3;1
D)
Im
Re
3;1
E)
Im
e -2
1
2
A)
Im
e
B)
Im
e -2
-1 2
C)
Im
e -2
-1 2
D)
Im
e -2
-1 2
E)
1
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 10 -
71. Sea la función 2
x x
4 xf x
5 7
,
determine el dominio maximal.
A) 2;0 B) 2;0 C) 1;0
D) 0;1 E) 1;1
72. Determine el rango de x x 1f x 5
A) ;5 B) 0;5 C) 0;5
D) 0; E)
73. La gráfica que mejor representa la
función x 2f x e 2
74. Si definimos x xe e
f x2
,
x xe e
g x2
y
f xh x
g x . Sobre
las gráficas
La gráfica correcta es A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III
75. Dada la función f definida por
xf x e x 2 . Indique el valor de
verdad de las siguientes proposiciones: I. Tiene solo una raíz. II. Es decreciente en el intervalo
0;2 .
III. Existe una raíz en 3;0 .
A) FVF B) FFF C) VFF D) VVV E) FFV
0
y
x
A)
y
x
B)
y
x
C)
y
x
D)
y
x
E)
f
II
g
I
h
III
1
-1
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 11 -
76. Determine la gráfica de f; si establecemos que
3xx1
M x R / ee
;
2f x x 2 x ; x M
77. Sean las reglas de correspondencia y
las gráficas xf x b e ; xg x e b
Valore las proposiciones siguientes:
I. La gráfica de f es I. II. La gráfica de g es II. III. Las gráficas se intersectan en más
de un punto. A) VVV B) VFV C) VVF D) FFF E) VFF
78. Determine el rango de la función
1 In 1 xf x e
,
1 1x ;
2 4
A) e
;e2
B) e
;e2
C) e
e;2
D) e
;e2
E) e
;e2
79. Determine el dominio de la función
3
8 1
2
1f x log 2x 4 log
5x 3
A) 2 1
;5 4
B)
3 1;
5 3
C)
4 1;
5 4
D) 3 1
;5 2
E)
7 2;
5 3
80. El rango de la función
2log 2 log sgn x x5 x3 3f x 5 2 e e
es a; , entonces el valor de
5a a 2 es A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
81. Determine el dominio de
4 3 2f x log log log 8 x
A) ,6 B) ,7 C) ,8
D) 0, E) 8,
82. Se define
bf x log x; x 0; b 1, b 0 ,
valore las proposiciones siguientes:
y
x 1 -1
0
A)
y
x -1 0
B)
1
y
x -1
0
C)
y
x 1 -1
0
E)
y
x -1 0
D)
-1
1
-1
I
II
y
x
100
1
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 12 -
I. Si 2 1b b 0, entonces f 0
2
II. Si
2f 1 f 2 entonces, x R : f x 2x 3 0
III. Si
2f 2 f 1 entoces, x R : f x 2x 4 0
A) VVV B) FVV C) FVF D) FFV E) VFV
83. Si el logaritmo de 53 9 en base 15 27
es igual a 4 5 347 14 29 x .
Calcule 3logx2x 10 .
A) 2 B) 3 C) 4 D) 18 E) 27
84. Determine el valor de
7n 3 2 2 4 n 2 1
16E25
n 2 18
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2
85. Determine el valor de
2 41 log log25 13E 4 625 13
A) 625 B) 626 C) 720 D) 825 E) 1040
86. Sea x , x 1 tal que log log a5 3
log x5x 2 . Halle el valor de
27T 3 log a 2 .
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
87. Determine el valor de
3 4 10 11E log 2 log 3 Log 9 log 10
A) 11log 2 B) 10log 11 C) 23log 11
D) 11log 9 E) 11log 5
88. Si y son las raíces de
2 2x 3x m 0 con 3
m2
, halle el
valor de
m m m mR log log log log
m 1 . A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7
89. Calcule la función inversa de
3 3f x log x 3 log x 3
A) xf x 3 9
B) xf x 3 1
C) xf x 3 1
D) xf x 3 1
E) xf x 3 9
90. Resolver
3logx9 27x , de cómo
respuesta la menor de sus soluciones.
A) 3 B) 1
3 C)
1
9
D) 1
27 E)
1
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