BLOQUE IVUTILIZAS FUNCIONES POLINOMINALES DE GRADOS TRES Y CUATROBLOQUE VUTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMASUTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 91 DESEMPEOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE IV: -Reconoceelpatrndecomportamientogrficodelasfunciones polinomiales de grados tres y cuatro. -Describelaspropiedadesgeomtricasdelasfuncionespolinomialesde grados tres y cuatro. -Utilizatransformacionesalgebraicasypropiedadesgeomtricaspara obtenerlasolucindeecuacionesfactorizablesyrepresentar grficamentelasfuncionespolinomialesdegradostresycuatroenla resolucin de problemas. COMPETENCIAS A DESARROLLAR: -Seconoceyvaloraasmismoyabordaproblemasyretosteniendoen cuenta los objetivos que persigue. -Escucha,interpretayemitemensajespertinentesendistintoscontextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados. -Desarrollainnovacionesyproponesolucionesaproblemasapartirde mtodos establecidos. -Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. -Mantieneunaactitudrespetuosahacialainterculturalidadyladiversidad de creencias, valores, ideas y prcticas sociales. -Construyeeinterpretamodelosmatemticosmediantelaaplicacinde procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales hipotticas o formales. -Formulayresuelveproblemasmatemticos,aplicandodiferentes enfoques. -Explicaeinterpretalosresultadosobtenidosmedianteprocedimientos matemticosyloscontrastaconmodelosestablecidososituaciones reales. -Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos,analticosovariacionalesmedianteellenguajeverbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y comunicacin. -Analizalasrelacionesentredosomsvariablesdeunprocesosocialo natural para determinar o estimar su comportamiento. OBJETOS DE APRENDIZAJE: -Modelo matemtico de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro. -Propiedadesgeomtricasdelasfuncionespolinomialesdegrados:tresy cuatro. UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 92 -Mtodosdesolucindelasecuacionesfactorizablesasociadasauna funcin polinomial de grados: tres y cuatro. -Comportamiento de la grafica de una funcin polinomial en funcin de los valores que toman sus parmetros. -Representacin grfica de funciones polinomiales de grados: tres y cuatro. DESEMPEOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE V: -Utiliza consecutivamente los teoremas del factor y del residuo, y la divisin sinttica, para hallar los ceros reales de funciones polinomiales. -Emplea la divisin sinttica para obtener en forma abreviada el cociente y el residuo de la divisin de un polinomio entre un binomio de la forma x a. -Emplea la prueba del cero racional, el teorema fundamental del lgebra y el teorema de la factorizacin lineal para hallar los ceros de una funcin polinomial factorizable. -Aplicaycombinalastcnicasyprocedimientosparalafactorizacinyla obtencinalgebraicaygrficadecerosdefuncionespolinomiales,enla resolucin de problemas tericos y/o prcticos COMPETENCIAS A DESARROLLAR: -Seconoceyvaloraasmismoyabordaproblemasyretosteniendoen cuenta los objetivos que persigue. -Escucha,interpretayemitemensajespertinentesendistintoscontextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados. -Sustentaunaposturapersonalsobretemasdeintersyrelevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crtica y reflexiva. -Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. -Mantieneunaactitudrespetuosahacialainterculturalidadyladiversidad de creencias, valores, ideas y prcticas sociales. -Construyeeinterpretamodelosmatemticosmediantelaaplicacinde procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales hipotticas o formales. -Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos,analticosovariacionalesmedianteellenguajeverbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y comunicacin. -Analizalasrelacionesentredosomsvariablesdeunprocesosocialo natural para determinar o estimar su comportamiento. -Interpretatablas,grficas,mapas,diagramasytextosconsmbolos matemticos y cientficos. UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 93 OBJETOS DE APRENDIZAJE: -Ceros y races de la funcin -Teoremas del factor y del residuo -Divisin sinttica -Teorema fundamental del lgebra -Teorema de factorizacin lineal -Grficas de funciones polinomiales factorizables La temperatura de una superficie caliente, tal como un comal o el cofre de un carro al medioda, ylapotenciaemitidapordichasuperficieserelacionamediantelaLeydeStefanBoltzman expresada como:P= ocT 4 dondeP= se mide en W/m2 o= constante de Boltzmann, 5.67x10-8 W/m2 K c = emisividad, que depende del material de la superficie T= la temperatura de la superficie Uningenieroestobservandolapotenciatrmicaasociadaconceldassolares.Elingeniero midelatemperaturade7celdassolaresyluego,usandolafuncinpropuestaporStefan Boltzmann, calcula la potencia emitida por cada celda, considerando adems que c = 0.8. A continuacin, aparece una tabla en la que se observa la temperatura medida por el ingeniero y una columna para registrar la potencia emitida. Enseguida, aparece una grfica en la que se observa la relacin de Temperatura vs Potencia trmica. a)UsandolaleydeStefanBoltzmannobtnlosvaloresquefaltanenlacolumnadela potencia real y compara sus valores con la grfica que se muestra a continuacin . Situacin didctica UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 94 b)La potencia trmica ideal es la que se obtiene usando la ley de Stefan Boltzmann, pero considerandoquelaemisividad c =1,dedondelaecuacinquedacomoP= oT4. Usando los valores de T, de la tabla, obtn los valores de la potencia ideal y grafcalos en la misma grfica donde est la curva de la potencia real. Observa la diferencia entre las dos curvas. Con base en estas dos grficas, qu puedes decir acerca del efecto de la emisividad en la ley de Stefan Boltzmann? T(K) P real (W/m2) P ideal (W/m2) 290320.8 295 320475.6 400 420 5002835 530 Funcin Cbica 0200400600800100012001400160018002000220024002600280030003200340036003800200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550Potencia trmica (W/s) Temperatura (K) Temperatura vs Potencia trmica UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 95 Esaquellaenelcualelvalordesupotenciaes3,porlotantosuexpresinpolinomial es: f(x)= a3x3 + a2x2 + a1x + a0. Por lo que podemos decir que los coeficientes a3, a2, a1 y a0 se pueden cambiar porlas siguientes literales a, b, c, d, donde la expresin queda de la siguiente manera: f(x)= ax3 + bx2 + cx + d dondea es diferente de Cero. Cuandoelcoeficienteaesmayorquecero,lagrficacrecehacialaderechaenalgn valor de X, por ejemplo: f(x)= 2x3

f(x) =1x3 + 4x2 + 1x - 2 Pero si a es menor que cero, la grfica decrece hacia la derecha en algn valor de X, por ejemplo: UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 96 f(x)= -2 x3 f(x)= -1x3 + 3x2 + x -3 Lasfuncionespolinomialespresentangraficasdependiendodesugrado,dichasfunciones presentanracescuyosnmerossonaquellosquehacenelvalordey=0visualmenteson aquellos puntos que tocan al eje de las X, que en este caso particular se trata de una funcin de tercer grado o cbica. UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 97 Dadaslassiguientesfunciones,determinaqutipodefuncinson,grafcalasyanotalas caractersticas que tiene cada grfica. FuncinCaractersticas y = x3 - 1TIPO: CubicaCRECE HACIA_____Derecha____ RAICEZ X1 = 1 X2 = NAX3 = NA y = 2x3 TIPO:_CubicaCRECE HACIA_____Derecha____ RAICEZ X1 = 0 X2 = NAX3 = NA y = x3 - 3x2 +1 y = x3 4x + 2 y= -x3 +x +4TIPO:_CubicaCRECE HACIA_____Izquierda____ RAICEZ X1 = 0 X2 = NAX2 = NA y= -3x3 + 2 y= x3 + 2x2 + 3xy= x3- 5x2 + x + 2 Funcin Curtica Es una ecuacin que se puede poner bajo la forma cannica: cona =0,dondea,b,c,dye,sonnmeros quepertenecenauncuerpo, usualmentealos realeso los complejos, en su forma estndar se presenta como () ( )

En la funcin cuartica el dominio es el conjunto de nmeros reales, pero el rango slo es una parte de ellos, a diferencia de la funcin cbica la cual cruza desde hasta- a UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 98

Los parmetros tienen el mismo efecto que en la funcin de grado dos (cuadrtica); en el caso que el parmetro a sea positivo la funcin tiende infinitamente hacia arriba, si el parmetro a es negativo, la funcin tiende infinitamente hacia abajo.Cuandoseconocelafuncinestndardeunafuncincuartica,sepuedeconocerelpunto mximo o mnimo, esto depender del signo del parmetro a. As mismo una grfica de cuarto grado,puede cortar en 4 puntos al eje de las X, tal como se observa en la siguiente grfica. Paraencontrarlasracesocerosdeunafuncinesnecesarioconsiderarquef(x)=0. Cuando es una funcin de primer grado, su solucin es resolver despejando la variable X, por ejemplo: ()Si (), entonces y despejando x tenemos:

Esto significa que la grfica cortara en 2 Cuandolafuncinesdesegundogrado,debemosencontrarlosvaloresquesatisfaganla ecuacin (),esdecir,hay que resolverlaecuacinporlosdiferentesmtodos queson frmula general, factorizacin, completando cuadrados. UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 99 Por ejemplo: ()

Al igualar a cero tenemos que:

Factorizando: ( )( ) Resolviendo:

Actividad 1: Acontinuacin,semuestransietefuncionescbicasydecuartogrado.Segnlas caractersticasqueescribisteenelejercicioanteriorylascaractersticasdecadaexpresin UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 100 algebraica, determina cul funcin corresponde a cada grfica. Escribe la letra correspondiente en la columna tipo de funcin de la tabla anterior. a) y=x3+2 b) y=x4-3x2+1c) y= -x4+2d) y= -x3+x e) y=x3-3x-4 f) y= -x4-2x3-1 GrficaTipo de funcin Caractersticas cuarticaCRECE X1 = -1.6 X2 = -0.6 X3 = 0.6 X4 = 1.6 CUARTICA DECRECE X1 = -1.2 X2 = 1.2 X3 = NA X4 = NA UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 101 CUBICACRECE IZQUIERDA DECRECE DERECHA X1 = -1 X2 = 0 X3 = 1 CUBICACRECE DERECHA DECRECE IZQUIERDA X1= -1.3 X2 = 1.2 X3 = NA UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 102 UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 103 Teorema del Residuo y del Factor El mtodo ms comnmente usado en la resolucin de funciones de orden 3 o 4 es la divisin. Cuandotenemosunpolinomiop(x)yqueremosdividirloentreunbinomiodelaforma , dondeesunnmerorealcualquiera,esmssencillorealizarladivisinsinttica,cuyo procesoempiezaporordenarelpolinomiode maneradecrecienteenlaspotencias,utilizando los coeficientes del polinomio para realizar la divisin entre el binomio. El Teorema del Residuo se enuncia de la siguiente forma: Si un polinomio f(x) se divide entre el binomio x - c, donde c es cualquier nmero real o complejo, entonces el residuo es f(c). Esto significa que el residuo viene a ser el valor que se obtiene al sustituir a en el polinomio.Elprocesodeladivisindepolinomiosesmuyparecidoalprocesodeladivisincon nmeros. UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 104 Por ejemplo: Cociente 6x - 2 Divisorx - 4 \ 6x2 - 26x + 12Dividendo-6x2 + 24x - 2x + 12 +2x- 84Residuo Elprocesoterminacuandoelultimorenglnesdemenorgradoqueeldivisor.Entoncesel ltimorenglncontieneelresiduo,yelsuperioralcociente,interpretandoelresultadodelas siguientes maneras: 6x2 - 26x + 12 = 6x - 2 +4___ x- 4x-4 6x2 - 26x + 12=(x - 4)(6x - 2)+ 4 Este teorema proporciona una herramienta de comprobacin del algoritmo de la divisin, como se muestra a continuacin:Siseconsidera()

yseevalaenx=4,elcualresultadedespejarase obtiene:()

()()

() () () Lo que significa que el algoritmo de la divisin que se realiz es correcto,ya que el polinomio evaluado en x=4resulta 4, como el residuo en la divisin. Este teorema es importante para encontrar las races o ceros de una funcin, pues si el residuo es cero, significa que el binomio por el cual se dividi es un factor, esto es, se ha encontrado otra forma de factorizar un polinomio. Usa la divisiny el teorema del residuo para evaluar P(c): UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 105 a)P (x) = 2x2+9x+1,c=1/2 b)P (x) = x3+3x2-7x+6,c=2 c)P (x) = 5x4+30x3-40x2+36x+14,c=-7 d)P (x) = 6x5+10x3+x+1,c = -2 El Teorema del Factordice:Si c es una raz de f(x) = 0, es decir f(c) = 0, entonces, es un factor de f(x). Por ejemplo: f(x)= x3 - 7x + 6 Si x= 1 f(x)= (1)3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0x = 1 X 1 = 0 Si x= 2 f(x)= (2)3 - 7(2) + 6 =8- 14+ 6 = 0x = 2 X 2 = 0 Si x= 3 f(x)= (3)3 -7(3)+ 6 = 27- 21+ 6 = 12 " No es raz Si x= -3 f(x)= (-3)3 - 7(-3) + 6= -27+21+ 6 = 0 x = - 3 X + 3 = 0 tenemos que:f(x)= x3 - 7x + 6 = ( )( )( ),entonces:

Recordandoquesi(),entonceselnumeroesuncerodelpolinomio.Tambin podemosexpresarloanteriordiciendoqueesunarazdelaecuacinpolinomial(), as los ceros del polinomio son . UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 106 Ejemplo 1: Si las races de la funcin polinomial son 1, 1, 5, 2, determinar dicha funcin.Basndoseenelteoremadelfactor,concadaunadelasracesseformaelfactor correspondiente, quedando de la siguiente manera: x1 = - 1, x2 = 1, x3 = - 5 y x4 = 2 Por lo tanto, la ecuacin que satisface es: ( )( )( )( ) Multiplicando los factores nos queda: (

)(

)

+ 10 = 0 Por lo tanto la funcin se expresa: ()

Lafuncinobtenidaseextiendeinfinitamentehaciaarriba,peroestaecuacinnoeslanica que cumple con las races, hayotra forma de funcin que cumple con las races anteriores y es: ()

Parasimplificaranmselprocedimientodeladivisindepolinomios,sepuedeutilizarotro mtodo menos complicado, el cual es la divisin sinttica,elcual es un proceso abreviado del algoritmo de divisin que se conoce hasta ahora. Evala las siguientes funciones, mediante el teorema del factor, indicando si es razo no. a) ()

f(-4) = 0SI es raz b) ()

f(1) =13NO es raz c) ()

f(5) = 0 SI es raz d) ()

f(-2) =0 SI es raz e) ()

f(-1) = -1NO ES RAIZ Divisin Sinttica o Regla de Ruffini UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 107 Sirve para encontrar las races de una funcion ParausarelmtododeladivisinsintticaoregladeRuffiniesimportanteidentificardos trminos,dondesonlosfactoresde

ysonlosfactoresde

,considerando este ejemplo ()

Los factores de 4 son ={1, 2, 4} y los factores de ={1, 3}. Se requiere determinar todos los cocientes

.

= {

} Estegrupodenmerosrepresentatodaslasposibilidadesderacesracionalesde(),para saberculessonserequiererealizarladivisinsintticayaquelloscuyoresiduoseaiguala cero nos permitir encontrar los factores del polinomio. 3 -147 41 13-11 -4 3 -11-40

Elresultadodelresiduoesigualacero,porloquex=1esunarazde()

, por lo tanto los coeficientes de los resultados del cociente son: 3, -11 y -4, obteniendo el polinomio: ()

Igualando a ceronos queda:

Factorizandoy encontrando las races nos queda: ( )( ) ( )( )

Por lo que las races del polinomio ()

son:

Ejercicios: RESOLVER Y GRAFICAR CON EL METODO DE DIVISION SINTETICA UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 108 a) f(x)= x3 - x2 - 14x + 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, -1, -2, -3, -4, -6, -8, 12, b) f(x)= x3 - 4x2 - 9x + 36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 c) f(x)= x3 + 3x2 - 40x d) f(x)=4x4 - 28x3 - 76x2 + 28x + 72 e) f(x)= x4 - 20x2 + 64 Teorema fundamental del lgebra Elteoremafundamentaldellgebraestableceque ()

.Cuando(

)seaplicaa polinomios con coeficientes reales. Esto significa que toda ecuacin de grado 1 o mayor tiene al menos un nmero complejo como solucin. Por tanto toda ecuacin polinomial de gradotiene exactamentesoluciones. Puestoquetodoceroesunpolinomio,correspondeaunfactorlineal(segnelteoremadel factor),elteoremafundamentaldellgebraaseguraquepodemosfactorizarcualquier polinomio P(x) de gradocomo: ()(

)

()Donde

() es el grado y

es un cero de (). Al aplicar el teorema fundamental del lgebra al cociente

() obtenemos la factorizacin ()( ) (

)

() Donde

() es el grado de y

es un cero de

(). Continuando este proceso durante pasos, se llegara a un cociente final

()Teorema de Factorizacin Lineal: Un polinomio de gradotiene exactamentefactores lineales. Por ejemplo:

La funcin se iguala a cero:

( ) ( ) UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 109 Se factoriza: ( )(

) Al resolver los trminos: ( ) (

) Ejercicios: a) x3 + 2x2 - 3x - 6 b) x3 + 4x2 - 8x + 32 c) x4 - 2x3 - 4x2 + 8x Secuencia Didctica 1: El gasto del ingreso quincenal que tiene cierta familia se ve reflejado por la funcin ()

. Esta funcin modela el comportamiento del ingreso familiar conforma avanzan los das de la semana. 1.- Cunto recibe de sueldo Quincenalmente esta familia? UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 110 2.- Cual es el comportamiento dela grfica que representa los gastos? 3.- Cunto es el monto con el que cuenta esta familia al paso de una semana?

Problema. (Se propone este problema pero se puede proponer otro u otros similares). 1. Una caja de cartn tiene una base cuadrada y cada una de las cuatro aristas de la base tiene una longitud de x pulgadas como se muestra en la figura. La longitud total de las aristas de la caja es de 144 pulgadas. a)Expresa el volumen V de la caja como una funcin de x. b)Trace la grfica de la funcin V. c)DadoquetantoxcomoVrepresentancantidadespositivas(longitudyvolumen, respectivamente), cul es el dominio de V? 2.Lacajadeuntrailerquetransportamercancasparaunacadenadesupermercados,tiene una capacidad de 100 m3, si el ancho es x, el largo 3x+3 y la altura 2x-2 metros, cules son sus dimensiones? Actividad 1: 1. Usa winplot u otro programa de computadora, o bien, una tabulacin para valores cercanos a cero, para graficar las siguientes funciones. Aydate de papel milimtrico si no se cuenta con una computadora. Utiliza media hoja para la grfica o imprmala si usas algn paquete UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 111 decomputadorayenlaotramitadanotasuscaractersticassegnlassiguientes preguntas: -Corta al eje x? Cuntas veces? -Sus extremos estn hacia arriba, hacia abajo o alternados? -Qu pasa cuando el signo del trmino principal (el que tiene la potencia mayor) es positivo o negativo? a)y = x3 b)y = -x3-1 c)y = x3+2 d)y = -x3+x e)y = x3+x2-3x-1 2. Dadas las siguientes funciones, grafcalas a partir de encontrar los ceros de los polinomios mediante factorizacin. a) y = x3-xb) y = x3-x2-6x c) y = x4-4x2 d) y = -x4-4x3-3x2 (Problema tomado del libro Preclculo, Stewart, J., Ed. Thompson). 3. Usa la divisin sinttica para realizar las siguientes divisiones: a) 3x312x29x +1x 5b)122 3 4++ + xx x x x c) x39x2+27x 27x 3d) 6x4+10x3+5x2+ x +1x +23 4. Usa la divisin sinttica y el teorema del residuo para evaluar P(c): e)P (x) = 2x2+9x+1,c=1/2 UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 112 f)P (x) = x3+3x2-7x+6,c=2 g)P (x) = 5x4+30x3-40x2+36x+14,c=-7 h)P (x) = 6x5+10x3+x+1,c=-2 Actividad 2: Apartirdelalecturadelprocedimientoparalaobtencindelosceros(osoluciones)deun polinomio y/o la explicacin del profesor, determina los ceros de los siguientes polinomios. a)x3 - 3x2 - 4x + 12 = 0 b)x3 - 4x2 + x + 6 = 0 c)x3-4x2-7x+10=0 d)x4-5x2+4=0 e)x4-x3-5x2+3x+6=0 f)4x3-4x2-x-1=0 5. Actividad 3: Resuelve los siguientes problemas: a)Unsilodegranosestformadoporunaseccinprincipalcilndricayuntecho semiesfrico.Sielvolumentotaldelsilo(incluyendolapartedentrodelaseccindel techo) es de 15,000 pies3 y la parte cilndrica tiene 30 piesde altura, cul es el radio del silo, aproximado a la dcima de pie ms cercana? b)Unprediorectangulartieneunreade5000pies2.Unadiagonalentreesquinas opuestasmide10piesmsqueunladodelpredio.Culessonlasdimensionesdel predio, aproximadas al entero ms cercano? Material a utilizar: UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZASFUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 113 -Graficador de funciones online. http://fooplot.com/index.php -Pginas para descarga de programas para graficar funciones. http://www.programas-gratis.net/b/programa-para-graficar-funciones-matematicas-Programa winplot para graficar funciones. Se puede elegir la versin en espaol. http://math.exeter.edu/rparris/- Excel. - Proyector. - Laboratorio de cmputo (en donde sea posible). - Material para hacer grficas en papel (lpiz, regla, borrador). El docente te informar los aspectos que va a evaluar y cmo lo va a hacer, y dado el caso, te dar una copia en papel o electrnica del instrumento que usar para evaluarlo. Debidoalaimportanciadeestasactividadessumativas,elprofesorsiconsideranecesario podr aadir otras actividades para asegurar el logro del aprendizaje.