5 Conveccion

5.1 Introduccion

El proceso de transferencia de calor por conveccion supone el movimiento de fluido.A partir de nuestra percepcion, “en un frıo de invierno, si el aire esta quieto, notenemos tanto frıo como cuando hay viento; pues cuando no hay movimiento deaire, nuestras ropas y el aire encerrado en ellas reciben calor desde nuestra piel...”1:el aire frıo generado a partir de un cuerpo caliente, es barrido por aire frıo enmovimiento modificando la transferencia de calor. Se tratara de encontrar unadescripcion analıtica de este fenomeno. Para ello, sera necesario recordar conceptosde mecanica de fluidos.

5.1.1 Flujo de capa lımite

Los flujos que pasan sobre la paredes de cuerpos solidos se adhieren a ellos. En laregion inmediatamente vecina aparece necesariamente un gradiente de velocidadesentre las paredes y el flujo libre. Esta region se denomina capa lımite. La capalımite tiene un espesor δ que se define arbitrariamente como la distancia a la cualu = 0,99U∞. En general, δ es muy pequeno respecto de las dimensiones del cuerposolido.La primera expresion matematica de la capa lımite la dieron L. Prandtl y susestudiantes en 1904. A partir de simplificaciones basadas en la geometrıa, lasdimensiones principales y el caracter laminar del escurrimiento sobre una placaplana lisa, lograron una forma reducida de las ecuaciones de Navier-Stokes. Esposible tambien un planteo dimensional del problema. Observando la figura 5.1podemos comparar 2 fenomenos que toman lugar: la conveccion y la difusion flui-dodinamicas. En efecto, supongamos que una partıcula fluida viaja una distanciax, tendra asociado un tiempo de conveccion caracterıstica τc ∼ x/U∞; por otrolado, el tiempo de difusion τd se puede estimar a partir de la ecuacion de difusionde la vorticidad2 ∂ω/∂t = ν∇2ω. Luego: ω/τd ∼ νω/δ2 y τd ∼ δ2/ν. Para despejarel valor de δ se igualan los tiempos τc = τd y resulta ası δ/x ∼ 1/

√Rex.

1Observaciones de Joseph Black en The general effects of heat (1790).2ω = ∇× u. Adviertase la analogıa con el problema de conduccion termica.

1

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 5.1: Capa Lımite.

Recordemos que el numero de Reynolds Re = U∞`/ν representa la influencia rela-tiva entre fuerzas inerciales y viscosas en un problema de mecanica de fluidos. Elsubındice x expresa la longitud caracterıstica (`) utilizada, que puede correspondera una coordenada espacial. Para la placa plana, la solucion exacta hallada por P.Blasius (alumno de Prandtl) es δ(x)/x = 4,92/

√Rex.

Figura 5.2: Desarrollo de la capa Lımite.

El regimen ilustrado en la figura 5.1 y a la izquierda de la figura 5.2 se denominalaminar y tiene validez hasta que se alcanza un estado crıtico de transicion a laturbulencia. El parametro que define el estado es el numero de Reynolds, en honora Osborne Reynolds, quien estudio este fenomeno en el flujo a traves de canerıas.La figura 5.1.1 describe la experiencia realizada por Reynolds: se inyecta tinta enel flujo a traves de un conducto para tener una visualizacion del mismo.

2

Conveccion

Figura 5.3: Experiencia de Reynolds.

Se observa primeramente que el flujo esta dominado por una sola dimension u =uex. A partir de una cierta distancia crıtica xcr el flujo comienza a tener fluctua-ciones que se manifiestan en la trayectoria del hilo de tinta. Las fluctuaciones seamplifican y luego la tinta invade el conducto completamente, evidencia de fuertesmezclas. Tıpicamente, el valor crıtico es Rec = 2100 para canerıas lisas. En placasplanas, Rec = 3 · 105 aunque el valor es muy dependiente de las condiciones deentrada del flujo: rugosidad, vibraciones, diferencias de velocidad, etc.En otros tipos de flujo, p.ej. flujo alrededor de cuerpos, flujos de mezcla de co-rrientes, de jets (chorros), la turbulencia se dispara con diferentes mecanismos alcitado y los valores de Rec pueden ser mucho menores.

5.1.2 Capa lımite termica

Espesor de capa lımite.

Cuando una pared se encuentra a una temperatura Tw, diferente a la de la corrientelibre T∞, aparece una capa lımite termica de espesor δt, diferente de δ, comopuede apreciarse en la figura 5.4. En forma analoga a la realizada para δ, podemosestimar el espesor δt desde consideraciones dimensionales. El tiempo de difusionde la temperatura τd desde la pared y = 0 hasta y = δt se deduce a partir de laecuacion difusiva, despreciando terminos convectivos. En efecto,

a∂2T

∂y2=

∂T

∂taT∞δ2t

∼ T∞τd

3

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 5.4: Capa Lımite termica.

El tiempo de conveccion desde x = 0 hasta x = x es τconv = x/U∞.Luego, igualando los tiempos:

x

U∞∼ δ2

t

a

=⇒ δt ∼√xa/U∞

Resulta una expresion muy similar a la obtenida para δ. Podemos llevarla a unaforma mas practica:

δt ∼x

x

√xa/U∞

δtx∼

√a

xU∞

δtx∼

√a

xU∞

ν

ν

δtx∼

√1

Rex

√a/ν

δtx∼ Re−1/2Pr−1/2

donde aparece un nuevo numero adimensional, Pr = ν/a, el numero de Prandtl,que compara las difusion de temperatura respecto de la difusion de vorticidad. Lasolucion analıtica que corresponde en este caso es:

δtx

=4,916

Re1/2Pr1/3(5.1)

4

Conveccion

Nuestra estimacion permite aproximar bien δt. Con estas expresiones podemosdeducir cualitativamente la relacion entre δ y δt. Se cumple ası:

δ

δt= Pr1/3

Luego, si Pr � 1 el espesor termico es pequeno comparado con el espesor de capalımite.

Flujo de calor.

Se puede igualar el calor que se expulsa desde la pared por el fluido con la tasa detransferencia expresada en terminos de un coeficiente de transferencia de calor α:

−λf∂T

∂y

∣∣∣∣y=0︸ ︷︷ ︸

conduccion en el fluido

= α(Tw − T∞) (5.2)

donde λf es la conductividad del fluido.Senalemos que, en primer lugar, es correcto expresar la remocion del calor en lapared usando la ley de Fourier de conduccion pues para y = 0 no hay movimientoen la direccion ey, del flujo de calor q. Por otro lado, el miembro derecho dela ecuacion (5.2) no representa una condicion de borde sino que define a α. Laecuacion puede ordenarse segun:

∂

∂(y/L)

(Tw − TTw − T∞

)∣∣∣∣y=0

=αL

λf= NuL (5.3)

donde Tw, T∞, L son constantes.Queda ası definido el numero de Nusselt3 NuL, que como primer significado fısico,se asocia a la inversa de la derivada de la evolucion del campo de temperaturasrespecto a la direccion normal a la pared. Cambios bruscos de la temperaturaproduciran valores pequenos de y altos NuL. Otra interpretacion que surge de ladefinicion de NuL en la ecuacion (5.3) corresponde a comparar la conduccion enel fluido λf/L con el coeficiente de conveccion α.La determinacion de α (o de Nu, su forma adimensional) hace necesario el desarro-llo de las variables y ecuaciones que intervienen en la conveccion. Antes de hacerlo,nos detendremos a estudiar un problema clasico de la fısica de la transferencia decalor.

5

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 5.5: Problema de Benard.

5.2 Conveccion natural: problema de Benard

Consideremos entre dos placas a una capa de fluido en reposo que presenta unaestratificacion debido a calentamiento desde su base (Figura 5.5 ). Se establece en-tonces un gradiente de temperatura ∆T = Tb−Tt. Dado que la densidad del lıquidodecrece ante temperaturas crecientes, ocurrira que las capas superiores seran masdensas que las capas de lıquido inferiores. La estratificacion producira una confi-guracion potencialmente inestable bajo un campo gravitatorio vertical en formaanaloga a un pendulo en equilibrio ubicado en su posicion vertical maxima.Cuando ∆T es pequeno, el fluido permanece en reposo dado que la energıa poten-cial que ganarıa una partıcula “pesada” de las capas superiores no serıa suficientecomo para compensar las perdidas por disipacion del movimiento. Luego, mientrasel fluido se haya en reposo, el calor se transfiere unicamente por conduccion. Elperfil de temperaturas del estado “base” (sin movimiento) resulta de la ecuacionde conduccion estacionaria ∇T 2

0 = 0 −→ Tb − γz, donde γ = ∆T/h siendo hla distancia entre las placas.Supongamos que una perturbacion localizada dentro de una gota minuscula carac-terizada por una temperatura ligeramente superior (θ > 0). Dado que la pequenamasa de fluido caliente se haya rodeada de fluido mas frıo y denso, sufrirıa unafuerza de flotacion diferencial que la impulsarıa hacia arriba. Al encontrar en sucamino fluido aun mas frıo y denso, esto reforzarıa el movimiento, representandoel efecto desestabilizador de la configuracion. Sin embargo, dos procesos estabili-zadores se oponen. Primero, la velocidad inducida tiende naturalmente a decaerdebido a la friccion viscosa4. En segundo lugar, la difusion termica harıa que latemperatura de la gota uniformice su temperatura con respecto al resto. Por ello, lacapa de fluido permanece en reposo mientas los procesos difusivos dominan hastaque la perturbacion θ > 0 es lo suficientemente grande como para que se desarrolle

3W. Nusselt (1882-1857), ingeniero aleman que desarrollo el analisis dimensional de la trans-ferencia de calor.

4Recuerdese el rol de la viscosidad cinematica ν como coeficiente de difusion de la vorticidad.

6

Conveccion

el movimiento, la conveccion. Se entendera entonces un ∆T mayor que un valorcrıtico ∆Tc, que puede denominarse umbral de inestabilidad.¿Que sucede espacialmente en este problema? La eficiencia de los procesos es-tabilizadores disipativos depende de la distribucion horizontal de los campos develocidad y de temperatura. La disipacion es rapida para las pequenas escalas delflujo mientras es lenta en las grandes5. El establecimiento de la inestabilidad co-rrespondera, en consecuencia, con movimientos de alguna escala optima. Se verificaque esta escala es del orden de la altura h como muestra el esquema de la Figura,produciendo un patron periodico de enrollamiento, de perıodo espacial λc ≈ 2h.El problema lleva el nombre de conveccion o inestabilidad de Benard-Rayleigh apartir de las experiencias de Henri Benard(1906) y del estudio teorico de Ray-leigh(1916). Una vez presentados los fundamentos fısicos, podemos entender queuna expresion la adimensional Ra, numero de Rayleigh, resume los parametrosque participan segun:

Rah =gβ

νa(Tt − Tb)h3 (5.4)

donde, g es la aceleracion debida a la gravedad, a la difusividad termica y β elcoeficiente de expansion termica.A medida que el numero de Rayleigh crece, el termino de flotacion se hace masimportante y para Rah = 1708 (Jeffreys, H. 1928) se establece la inestabilidad yaparecen las celdas de conveccion, o de Benard. La estimacion teorica de Rayleigh,simplificando el problema al considerar contornos libres es Rah = 27π4/4.

5.3 Ecuaciones de la conveccion

5.3.1 Planteo del problema considerando fluidos newtonianos.

Incognitas(3) Campo de velocidad u(x, t)

(1) Campo de temperaturasT (x, t)

(1) Campo de presiones p(x, t)(1) Campo de densidad p(x, t)

6 incognitas

Ecuaciones(3) Conservacion de la cantidad demovimiento, F = a, ecuaciones de

Navier-Stokes.(1) Conservacion de la masa o ecuacion de

continuidad.(1) Conservacion de la energıa.

(1) Ecuacion de estado.

6 ecuacionesSe puede agregar tambien como incognita al vector densidad de flujo de calorq(x, t) que se describe con las ecuaciones de la ley de Fourier q = −Λ∇T .

5Recuerdese, de Mecanica de Fluidos: Capa Lımite.

7

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

5.3.2 Desarrollo de las ecuaciones

a) Ecuacion de continuidad.La masa de fluido que fluye hacia afuera de un volumen V0 es∮

ρu · nds

donde la integral se toma para la frontera de V0.Por otro lado, la perdida de masa por unidad de tiempo se expresa

− ∂

∂t

∫ρdV

Igualando ambas expresiones, conseguimos∮ρu · nds = − ∂

∂t

∫ρdV

La integral de superficie puede transformarse a partir de la formula de Greenen una integral de volumen:∮

ρu · nds =

∫div(ρu)dV

Ası, ∫div(ρu) +

∂ρ

∂tdV = 0

como la ecuacion vale para cualquier volumen, el integrando debe ser nulo:

div(ρu) +∂ρ

∂t= 0 (5.5)

Dρ

Dt+ ρ∇ · u = 0 (5.6)

b) Ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento.

ρDu

Dt= ρfv + div(¯σ) (5.7)

siendo fv las fuerzas volumetricas y el tensor de tensiones ¯σ. Desarrollando parafluido newtoniano y flujo incompresible,

ρ∂u

∂t+ (u grad )u = ρfv +

grad p

ρ+ ν∇2u (5.8)

la ecuacion de Navier-Stokes.

8

Conveccion

c) Ecuacion de conservacion de la energıa. Recordemos de mecanica de fluidos, larelacion para la variacion de energıa cinetica e interna para un fluido perfecto:

∂

∂t

(ρu2

2+ ρε

)= −div

[ρu

(u2

2+ h

)](5.9)

se relaciona con la divergencia de la densidad de flujo de energıa ρu (u2/2 + h),donde h representa a la entalpıa. Podemos tener una idea mas precisa delsignificado fısico del segundo termino integrando en un cierto volumen.∫

−div[ρu

(u2

2+ h

)]dV = −

∮ρu

(u2

2+ h

)dS

de acuerdo al teorema de Green. La integral de superficie pone de manifiestoel flujo de la cantidad ρu (u2/2 + h) que puede llamarse ası vector densidadde energıa. Recordando la definicion de entalpıa h = ε + p/ρ, agrupando losterminos, la expresion anterior toma la forma:

−∮ρu

(u2

2+ ε

)dS −

∮u pdS

y podemos identificar en ella el transporte de la energıa cinetica e interna masel trabajo efectuado por las fuerzas de presion sobre el fluido contenido dentrode la superficie.En un fluido real, ademas, deberemos considerar los procesos de friccion viscosa6

(u ¯σ′) ası como tambien las fuentes de calor q = λ∇T . La densidad total deflujo de energıa en el fluido en presencia de viscosidad y de termoconduccionresulta:

ρu(u2/2 + h

)− (u ¯σ′)− λ∇T

La ecuacion general de conservacion de la energıa se expresa entonces segun:

∂

∂t

(ρu2

2+ ρε

)= −div

[ρu

(u2

2+ h

)− (u ¯σ′)− λ∇T

](5.10)

Si desarrollamos el miembro izquierdo:

∂

∂t

(ρu2

2+ ρε

)=u2

2

∂ρ

∂t+ u ρ

∂u

∂t+ ρ

∂ε

∂t+ ε

∂ρ

∂t

podemos sustituir∂ρ

∂ta partir de la ecuacion de continuidad y

∂u

∂tdesde la ecuacion

de Navier Stokes. Entonces,

∂

∂t

(ρu2

2+ ρε

)= −u

2

2div (ρu )− ρ(u ∇)

u2

2− u ∇p+ ui

∂σ′ik∂xk

+ ρ∂ε

∂t+ ε div (ρu )

6en forma escalar uiσik

9

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Introduzcamos la relacion termodinamica para la energıa interna:

dε = T ds− p dV = T ds+p

ρ2dρ

luego,∂ε

∂t= T

∂s

∂t+

p

ρ2

∂ρ

∂t= T

∂s

∂t− p

ρ2div (ρu )

sustituyendo esta expresion y utilizando la definicion de entalpıa, h = ε+ p/ρ,

∂

∂t

(ρu2

2+ ρε

)= −(h+

u2

2)div (ρu )− ρ(u ∇)

u2

2− u ∇p+

+ ui∂σ′ik∂xk

+ ρT∂s

∂t

(5.11)

La relacion termodinamica para los incrementos de entalpıa es dh = T ds + dp/ρ,luego ∇p = ρ∇h− ρT∇s. Por otro lado, el termino de disipacion puede desarrollarsesegun:

ui∂σ′ik∂xk

=∂

∂xk

(uiσ′ik

)− σ′ik

∂ui∂xk

≡ div (u · σ′)− σ′ik∂ui∂xk

Reemplazando estas expresiones y sumando y restando div (λ∇T )

∂

∂t

(ρu2

2+ ρε

)= −div

[ρu (h+

u2

2)− (u σ′)− λ∇T

]+

+ ρT

(∂s

∂t+ u · ∇s

)− σ′ik

∂ui∂xk− div (λ∇T )

(5.12)

Si comparamos esta expresion con la obtenida en (5.11), podemos deducir la ecuaciongeneral de la transferencia de calor :

ρT

(∂s

∂t+ u · ∇s

)= σ′ik

∂ui∂xk− div (λ∇T ) (5.13)

Si no hay viscosidad (σ = 0) ni conduccion termica, el miembro derecho es nulo yse obtiene la ecuacion para un fluido perfecto. El miembro izquierdo de la ecuacionrepresenta a la derivada total7 ds/dt multiplicada por ρT . ds/dt da cuenta de la evo-lucion de la entropıa de una masa unitaria a medida que esta se mueve en el espacio.ρTds/dt da cuenta de la ganancia de calor de esta masa por unidad de volumen: poruna parte debido a la energıa disipada por la viscosidad del fluido y por otra, debidoa la conduccion del calor.La incompresibilidad del flujo nos permite simplificar la ecuacion general. En efecto, sila velocidad del fluido es pequena comparada con la velocidad del sonido, las variacio-nes de presion que ocurren como resultado del movimiento resultan suficientementepequenas como para despreciar las variaciones de densidad y de otras magnitudes

7(o Ds/Dt)

10

Conveccion

termodinamicas. Sin embargo, en transferencia de calor, bien puede aparecer el casode un fluido calentado en forma no uniforme y la densidad varıa con la temperatura(recordemos el problema de Benard). No podemos considerar la densidad uniformey en la determinacion de derivadas de las cantidades termodinamicas es necesariosuponer que la presion es constante. Luego, tenemos:

∂s

∂t=

(∂s

∂T

)p

∂T

∂t, ∇s =

(∂s

∂T

)p

∇T

Dado que T

(∂s

∂T

)p

es el calor por unidad de masa a presion constante, Cp, la

ecuacion (5.13) toma la forma:

ρCp

(∂T

∂t+ u · ∇T

)= σ′ik

∂ui∂xk− div (λ∇T ) (5.14)

Recordemos, que las tensiones viscosas las podemos representar para un fluido new-

toniano incompresible σ′ik = µ

(∂ui∂xk

+∂uk∂xi

). Verificamos que podemos encontrar la

ecuacion para el problema de conduccion de un medio isotropo (λ constante espacial-

mente), si descartamos a u . Queda, ρCp∂T

∂t= λ∇2T , admitiendo sı, que el camino

ha sido mas trabajoso.

d) Ecuacion de estado Podemos citar, por ejemplo a la de un gas ideal p/ρ = RTm conm la masa molecular. Por ultimo, a pesar de que trabajamos con magnitudes quecambian con el tiempo, las consideraremos evaluadas en equilibrio termodinamico,una buena aproximacion si los gradientes de velocidad y de temperatura no son muyelevados.

5.4 Analisis Dimensional

A partir del planteo de las ecuaciones del problema de conveccion, podemos inferirque el coeficiente de transferencia por conveccion forzada α depende de las siguien-tes magnitudes: α = f(λ, x, ρ, Cp, ν, U∞). Queda excluida del analisis la cantidad(Tw − T∞) pues se trata de conveccion forzada. El teorema pi de Buckinghamnos da las herramientas para construir 3 grupos adimensionales desde la anteriorrelacion. Resultan8 ası Π1 = Re, Π2 = Nu y Π3 = νρCp/λ = ν/a = Pr. El nume-ro de Prandtl depende exclusivamente de las propiedades del fluido en cuestion,comparando la difusion de vorticidad a la difusion del calor. Para gases, su valores del orden de la unidad. Para lıquidos, varıa mas ampliamente. En lıquidos muy

8Recordar que la difusividad termica a = λ/(ρCp).

11

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

viscosos puede llegar a ser grande. La tabla siguiente da una idea general de lasmagnitudes a 20◦C:

Aire 0.733Agua 6.75

Alcohol 16.6Glicerina 7250Mercurio 0.044

Por otra parte, en problemas de conveccion natural, entran en juego fuerzas vo-lumetricas y debe incluirse entre los parametros a g la aceleracion de la gravedady al coeficiente de expansion termica β. Habıamos visto la justificacion fısica delnumero de Rayleigh en la ecuacion (5.4), y podemos completarla a partir del pro-blema dimensional α = f(λ, x, ρ, Cp, ν, U∞, g, β). Se usa tambien en la practica elnumero de Grashof,

Grh = Rah/Pr

. En los casos en los que el movimiento del fluido es determinado por Ra, tendremosconveccion natural. El numero de Nusselt se determina ası en funcion de Ra (oGr) y de Pr.Podrıa ocurrir una competencia entre los dos fenomenos, forzado y natural, y apartir de un cierto umbral, Gr/Re2 ∼ 1 se deberan usar relaciones de conveccionmixta.

5.5 Turbulencia

Asi como senalamos, el flujo de capa lımite conoce, a partir de un umbral delnumero de Reynolds, un cambio cualitativo. Las lıneas de tinta de la experien-cia de O. Reynolds se distribuıan homogeneamente, evidencia de un fenomeno defuertes mezclas. Si el regimen laminar se caracterizaba por un movimiento orde-nado, de trayectorias suaves de las partıculas, de estructuras bien definidas, porel contrario, el regimen turbulento presenta vortices cuyos tamanos y tiempos sedescriben a partir de distribuciones probabilısticas y las lıneas de corriente sondifıciles de distinguir. Se trata de flujos que contienen todo un espectro de escalas.En flujos laminares el transporte de cantidad de movimiento en la direccion per-pendicular a las paredes se realiza por difusion. En forma similar sucede el inter-cambio de calor desde las paredes hacia el seno del fluido. En flujos turbulentos, eltransporte tambien ocurre en las microescalas segun los mismos procesos difusivos.Sin embargo, las otras escalas presentes juegan un rol que provee un mecanismoadicional de transporte de cantidad de movimiento y de energıa. El movimiento

12

Conveccion

Figura 5.6: Estructura de la Capa Lımite

de paquetes, porciones de flujo de mayor escala, se realiza desde cercanıas de lapared hasta flujo libre y el intercambio es intenso. El tiempo de transporte de unvortice turbulento es mucho menor al tiempo que el asociado a la difusion. La fric-cion y el flujo de calor aumentan en forma muy considerable. Se puede pensar encoeficientes de viscosidad y de conductividad efectivos que asimilan estos efectos.Una capa viscosa subsiste, lleva el nombre de subcapa viscosa, aunque su espesores muy pequeno comparado con el de una capa lımite laminar bajo condicionescomparables.Recordemos que podıamos aproximar la cantidad de calor que fluye a traves de

una capa lımite laminar segun:

qlam ≈(Tw − T∞)(

δt,lamk

) = αlam(Tw − T∞)

Una expresion similar surge de considerar la capa lımite turbulenta:

qturb ≈(Tw − T∞)(δsvk

+δt,turbkturb

) = αturb(Tw − T∞)

Observamos que dividimos la resistencia termica en dos: una parte que correspondea la region subviscosa (sv) y otra que corresponde al resto de la capa. Notemos quela capa subviscosa se comporta igual que la capa laminar siendo la conductividadk, propiedad del fluido, el parametro principal. Para la capa exterior, turbulenta,de espesor δt,turb, hemos definido un coeficiente kturb que, como senalaramos, agre-ga los efectos propios de la fuerte interaccion y mezclado con el seno del fluido:kturb depende de las caracterısticas del flujo.Establecidas los ordenes de magnitud, es razonable aproximar la resistencia total

13

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 5.7: Evolucion de los espesores termicos y viscosos en la Capa Lımite deuna placa plana.

Figura 5.8: Coeficientes de conveccion y de friccion en la Capa Lımite

como δsv/k y entonces, dado que δsv � δt,lam, podemos deducir que αturb � αlam.Recordemos que habıamos encontrado una relacion entre los espesores de capa

lımite termica y viscosa, que servıa para interpretar el numero de Prandtl. Si hi-cieramos algo semejante para el caso turbulento, dado que los espesores dejan deser una funcion de las propiedades (viscosidad cinematica, conductividad termica)del fluido sino del flujo, el valor que toman δt,turb y δturb es semejante como ilustrala figura 5.7.Mencionemos por ultimo que la rugosidad de una superficie puede afectar al pro-

ceso de transferencia de calor si es capaz de afectar los gradientes de temperatura yde velocidad. Comparando los espesores δt,lam y δvs, podemos inferir que tamanospequenos de rugosidad afectan mucho mas a un flujo turbulento que a uno laminar.En efecto, el flujo en la capa lımite turbulenta es mucho mas sensible a la rugosidad;por el contrario, en problemas laminares, la rugosidad desaparece como parametro.

14

Conveccion

Correlaciones

Para el caso de la placa plana, sigue siendo valida la relacion entre Nu, Re, Pr yCf .

Nux ≈Pr1/3CfRex

2(5.15)

Luego, para estimar Nux alcanza con conocer Cf para el caso turbulento. Ası surge,para una placa plana:

Nux = 0,0285Pr1/3Re0,8x (5.16)

5.6 Flujos externos

Un caso cualitativamente diferente es el de la conveccion sobre cuerpos que pre-sentan desprendimiento de la capa lımite. El caso tıpico es el flujo alrededor de uncilindro.Para numeros de Reynolds pequenos Re < 1, el flujo contornea al cilindro sindesprenderse y los efectos viscosos dominan el arrastre.

F ≈ µU∞δDL

CD = F/(ρU2∞DL)

CD ≈ µ/(ρU∞δ) = νD/(ReDδ)

Recordando que δ/D ∼ 1/√ReD,

CD ∼ 1/√ReD (5.17)

Para Re moderados se produce el desprendimiento de la capa lımite laminar. Ladistribucion de presiones sobre el cilindro pasa a ser preponderante frente a lafriccion viscosa. Es decir, si CD = CP + Cf , CP � Cf . Podemos realizar unaestimacion grosera de CP a partir de un modelo de flujo potencial. Si la presiondelante en el cilindro es p ≈ p∞+ ρU2

∞, detras, por efecto del desprendimiento sepuede asociar a p∞. Luego,

F ≈ ρU2∞ ∗D ∗ L

CD = F/(ρU2∞LD) ≈ 1

Y la aproximacion es correcta como apreciamos en la figura 5.12.El numero de Nusselt no se relaciona directamente con el arrastre como ocurrıa enel flujo sobre la placa plana. La evolucion del flujo sobre la superficie del cilindrose muestra cualitativamente en la figura 5.13 Podemos definir un Nuθ local en

15

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 5.9: Flujo alrededor de un cilindro para bajos Re

funcion del angulo sobre el cilindro. Para el regimen laminar sin desprendimiento,el flujo se caracteriza por desarrollar la capa lımite laminar desde θ = 0 hastaθ = π. Dado que δt crece, la resistencia termica es mayor y Nu decrece.El mismo comportamiento aparece en la primera fase del regimen de Re modera-dos. Sin embargo, el desprendimiento de la capa lımite introduce otro factor sobreNuθ. El desprendimiento alternado de vortices, la calle de vortices de Benard - VonKarman se establece. La estela presenta fluctuaciones que, aun en el caso laminar,favorece el mezclado y ası incrementa el coeficiente de transferencia de calor. Elregimen turbulento aparece primero como consecuencia de ulteriores inestabilida-des en la estela.Por ultimo, para altos numeros de Reynolds, la turbulencia llega a desarrollarsesobre la pared del cilindro, antes de que el flujo se desprenda. Como consecuenciade ello, Nu aumenta en forma abrupta. El crecimiento no es monotono pues elespesor de la capa lımite termica aumenta. Al producirse el desprendimiento, Nuvuelve a aumentar.Como resultado de los mecanismos mencionados, el numero de Nusselt para elflujo alrededor del cilindro es una funcion creciente respecto de Re, como ilustrala figura 5.14.

16

Conveccion

Figura 5.10: Flujo alrededor de un cilindro para moderados Re

Figura 5.11: Flujo alrededor de un cilindro para altos Re

17

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 5.12: Coeficiente de arrastre para el flujo alrededor de un cilindro en funcionde Re.

Figura 5.13: Nu local en funcion del angulo para tres regımenes cualitativamentediferentes.

18

Conveccion

Figura 5.14: Nu local en funcion del angulo para tres regımenes cualitativamentediferentes.

19