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7/26/2019 5) Herramientas Matemticas Para La Localizacin Espacial2
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Herramientas Matemticas para la Localizacin
Espacial
Sistema cartesiano de referencia
Normalmente los sistemas de referencia se denen mediante ejesperpendiculares entre s como un origen denido. Estos se denominan
sistemas cartesianos, en el caso de tra!ajar en el plano "# dimensiones$, el
sistema de referencia %&' correspondiente (ueda denido por dos )ectores
coordenados %& %' perpendiculares entre s con un punto de interseccin
com*n %. "+igura .-a$.
Si se tra!aja en el espacio "tres dimensiones$, el sistema cartesiano %&'/ est
compuesto por una terna ortonormal de )ectores coordenados %&, %', %/, tal
como se )e en la gura .-!. Se trata de una terna ortonormal a derec0as.
Figura 3.1
Si se tra!aja en un plano, con un sistema coordenado %&' de referencia
asociado, un punto a )endr e1presado por las componentes "x, y$
correspondientes a los ejes coordenados del sistema %&'. Este punto tiene
asociado un )ector p"x, y$, (ue )a desde el origen % del sistema %&' 0asta el
punto a ")er +igura .-a$. 2or tanto, la posicin del e1tremo del )ector pest
caracterizado por las dos componentes "x, y$, denominadas coordenadas
cartesianasdel )ector (ue son las proecciones del )ector pso!re los ejes
%& %'.
En el caso de (ue se tra!aje en tres dimensiones, un )ector )iene denido con
respecto al sistema de referencia %&'/ mediante las coordenadas a cada uno
de los ejes coordenados. En el caso de la +igura .-.!, el )ector p estar
denido por las componentes cartesianas "x, y, z$.
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3oordenas polares cilndricas
2ara un plano, es posi!le tam!i4n caracterizar la localizacin de un punto o
)ector prespecto a un sistema d ejes cartesianos de referencia %&' utilizando
las denominadas coordenadas polares p"r,5$ "+igura .#a$. En esta
representacin, rrepresenta la distancia desde el origen % del sistema 0asta ele1tremo del )ector p, mientras (ue 5 es el ngulo (ue forma el )ector pcon el
eje %&.
En el caso de tra!ajar en tres dimensiones, un )ector p podr e1presarse con
respecto a un sistema de referencia %&'/, mediante las coordenadas
cilindricas p"r,,z$ "+igura .#!$. Las comoponentes r tiene el mismo
signigcado (ue en el caso de coordenadas polares, aplicando el razonamiento
so!re el plano %&', mientras (ue la componente ze1presa la proeccin so!re
el eje %/ del )ector p
Figura 3.2
3oordenadas esf4ricas
6am!i4n es posi!le utilizar coordenadas esf4ricas para realizar la localizacin
de un )ector en un espacio de tres dimensiones. 7tilizando el sistema de
referencia %&'/, el )ector ptendr como coordenadas esfricas"r, 5, 8$,
donde la componente res la distancia desde el origen % 0asta el e1tremo del
)ector p9 la componente 5 es el ngulo formado por la proeccin del )ector p
so!re el plano %&' con el eje %&9 la componente 8 es el ngulo formado porel )ector pcon el eje %/ "+igura .$.
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Figura 3.3.:epresentacin de un )ector en coordenadas
esf4ricas
:epresentacin de la orientacin
7n punto (ueda totalmente denido en el espacio a tra)4s de los datos de su
posicin. Sin em!argo, para el caso de un slido, es necesario adems denir
cul es su orientacin con respecto a un sistema de referencia. En el caso de
un ro!ot, no es suciente con especicar cul de!e ser la posicin de su
e1tremo, sino (ue en general, es tam!i4n necesario indicar su orientacin. 2or
ejemplo, en el caso de un ro!ot (ue tenga (ue realizar so!re una pieza cur)a
una operacin de pulido, no !astara con especicar los puntos de la supercie
para situar adecuadamente la 0erramienta, sino (ue ser necesario tam!i4n
conocer la orientacin con (ue la 0erramienta 0a de realizar la operacin.
7na orientacin en el espacio tridimensional )iene denida por tres grados deli!ertad o tres componentes linealmente independientes. 2ara poder descri!ir
de forma sencilla la orientacin de un o!jeto respecto a un sistema de
referencia, es 0a!itual asignar solidariamente al o!jeto un nue)o sistema,
despu4s estudiar la relacin espacial e1istente entre los dos sistemas. ;e
forma general, esta relacin )endr dada por la posicin orientacin del
sistema asociado al o!jeto respecto al de referencia. 2ara el anlisis de los
distintos m4todos de representar orientaciones se supondr (ue am!os
sistemas coinciden en el origen, (ue por tanto no e1iste cam!io alguno de
posicin entre ellos.
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Matrices de rotacin
Las matrices de rotacin son el m4todo ms e1tendido para la descripcin de
orientaciones, de!ido principalmente a la comodidad (ue proporciona el uso
del lge!ra matricial.
Supngase (ue se tiene en el plano dos sistemas de referencia %&' %7< con
un mismo origen %, siendo el sistema %&' el de referencia jo el sistema %7Seg*n la gura .-- el sistema %7
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Ejemplo #3alcular el )ector r(1zresultante de trasladar al )ector r1z "=,=,--$ seg*n la
transformacin $"p$ con p",,F$ ")er gura .-#$.
plicando la ecuacin ".#$ se o!tiene>
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:otacin
Supngase a0ora (ue el sistema %7
' a su )ez un )ector r1,,zrotado seg*n $ )endr e1presado porr(1,,zseg*n>
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Ejemplo >Seg*n la +igura .-, el sistema %7
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6raslacin junto con rotacin
La principal )entaja de las matrices 0omog4neas reside en su capacidad de
representacin conjunta de la posicin orientacin. Esta representacin se
realiza utilizando al mismo tiempo la matriz de rotacin R1 el )ector de
traslacin p1- en una misma matriz de transformacin 0omog4nea. Es portanto la aplicacin conjunta de lo )isto en los dos apartados anteriores.
La traslacin la rotacin son transformaciones (ue se realizan en
relacin a un sistema de referencia. 2or lo tanto, si se (uiere e1presar la
posicin orientacin de un sistema %7
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6raslacin seguida de rotacin
2ara el caso de realizar primero una traslacin seguida de una rotacin so!re
los ejes coordenados del sistema %&'/, las matrices 0omog4neas resultantes
son las siguientes>
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EPEM2L%>
7n sistema %7
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EPEM2L%>7n sistema %7
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3.3.4.)omposicin de matrices #omogneas
nteriormente se 0a mencionado (ue una matriz de transformacin
0omog4nea sir)e, entre otras cosas, para representar el giro la traslacin
realizados so!re un sistema de referencia. Esta utilidad de las matrices
0omog4neas co!ra a*n ms importancia cuando se componen de las
matrices 0omog4neas para descri!ir di)ersos giros traslaciones
consecuti)os so!re un sistema de referencia determinado.
;e esta forma, una transformacin compleja podr descomponerse en la
aplicacin consecuti)a de transformaciones simples "giros !sicos
traslaciones$.
2or ejemplo, una matriz (ue representa un giro de un ngulo @so!re el eje
%&, seguido de un giro de ngulo 8 so!re el eje %' de un giro de un
ngulo 5 so!re el eje %/, puede o!tenerse por la composicin de las
matrices !sicas de rotacin>
;e!ido a (ue el producto de matrices no es conmutati)o, tampoco lo es la
composicin de transformaciones. Si se in)ierte el orden de aplicacin de las
transformaciones, el resultado es, lgicamente, distinto>
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*+*'-/
Se (uiere o!tener la matriz de transformacin (ue representa al sistema
%O7
se muestra una matriz (ue representa un giro de ngulo @ so!re el eje %& del
sistema fijo %&'/, seguido de un giro de )alor 8 so!re el eje %< un giro de
ngulo 5 so!re el eje %B del sistema en mo)imiento %7
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EPEM2L%>%!tener la matriz de transformacin (ue representa las siguientes
transformaciones so!re un sistema %&'/ jo de referencia> traslacin de un
)ector p1z",-A,-A$9 giro de GA so!re el eje %O7 del sistema trasladado giro
de GA so!re el eje %O< del sistema girado.
Se escogen las matrices !sicas correspondientes se componen en orden
in)erso al ejemplo anterior.
;e forma general, a la 0ora de componer di)ersas transformaciones mediante
matrices 0omog4neas, se 0an de tener en cuenta los siguientes criterios>
-. Si el sistema jo %&'/ el sistema transformado %O7
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%B de una rotacin 8 so!re el eje %< del sistema (ue est siendo
transformado.
3.3.5.r"cos de transformacin
Es frecuente encontrar situaciones en las (ue la localizacin espacial de un
o!jeto o de un sistema de referencia asociado, pueda realizarse a tra)4s de la
composicin de di)ersas transformaciones distintas. En la gura .-F se tiene
un manipulador cua !ase est referida al sistema del mundo %&'/ mediante
la transformacin M$:. su )ez, para pasar de la !ase del manipulador a su
e1tremo se utiliza la transformacin :$E.
Figura 3.1Ejemplo de aplicacin de di)ersas transformaciones para
localizar un o!jeto
El e1tremo de la 0erramienta est referido con respecto al e1tremo del
manipulador por la transformacin E$H. su )ez, un o!jeto est referido con
respecto al sistema %&'/ mediante la transformacin M$%, por *ltimo, el
e1tremo de la 0erramienta est referido con respecto al o!jeto a tra)4s d la
transformacin %$H. Se o!ser)a (ue el nal de la 0erramienta puede ser
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referido con respecto al sistema %&'/ de dos maneras distintas> a tra)4s del
manipulador a tra)4s del o!jeto. ;e tal manera (ue se puede escri!ir>
Figura 3.1. Qrco de
transformacin
Esta relacin se puede representar mediante un grco de transformacin
como el de la +igura .-G "27LF-$. ;e tal manera (ue si se (uiere o!tener la
relacin entre el o!jeto la 0erramienta !astar multiplicar am!os miem!ros
de la ecuacin anterior por M$%-o!teni4ndose>
3ual(uier otra relacin puede ser o!tenida fcilmente a partir del grco. 2ara
ello se ir desde el o!jeto inicial al nal multiplicando las matrices detransformacin correspondiente a los arcos del grco, considerando (ue de
recorrerse 4stos en el sentido in)erso a las Rec0as de!er utilizarse una matriz
in)ersa. s la relacin entre la !ase del ro!ot el o!jeto )endr dada por>
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o !ien por>