Capítulo 5

OPORTUNIDADES Y MOMENTO OPORTUNO DE INVERSIÓN

Con las matemáticas preliminares dejadas atrás, se regresará al análisis de las decisiones de inversión

bajo incertidumbre. En este capítulo y a lo largo del este libro, la principal preocupación será los gastos

de inversión que tienen dos características muy importantes. Primero, los gastos son al menos

parcialmente irreversibles; en otras palabras, los costos hundidos no pueden ser recuperados.

Segundo, estas inversiones pueden ser diferidas, así la empresa tiene la oportunidad de esperar a

que llegue nueva información sobre los precios, costos y otras condiciones de mercado antes de

acometer los recursos.

Los ejemplos simples del capítulo 2 sugieren que la habilidad para diferir un gasto de inversión

irreversible puede afectar profundamente la decisión para invertir. En particular, invalida la regla del

VAN simple como es comúnmente enseñada en las escuelas de negocios: “invertir en un proyecto

cuando el valor presente de sus flujos de caja esperados sea al menos tan grande como su costo”.

Esta regla es incorrecta porque ignora el costo de oportunidad de hacer un compromiso ahora, y por

lo tanto, renunciar a la opción de esperar la llegada de nueva información. Como se vio en el capítulo

2, el costo de oportunidad debe ser incluido como parte del costo total de inversión. En este capítulo

y los que siguen, se examinará este costo de oportunidad y sus implicaciones para la inversión a un

nivel de generalidad mayor y con mayor detalle.

En este capítulo, se expondrá y analizará con considerable detalle el modelo más básico de tiempo

continuo de inversión irreversible. En este modelo que originalmente fue desarrollado por McDonald y

Siegel (1986) una empresa debe decidir cuándo invertir en un proyecto único. El costo de la inversión,

𝐼, es conocido y fijo, pero el valor del proyecto, 𝑉. Sigue un MGB. La regla del VAN simple es invertir

siempre que 𝑉 > 𝐼, pero como McDonald y Siegel demostraron, esto es incorrecto. Por qué los

valores futuros de 𝑉 son desconocidos, hay un costo de oportunidad para invertir hoy. Por lo tanto, la

regla de inversión óptima es invertir cuando 𝑉 sea al menos tan grande como un valor critico 𝑉∗ que

excede a 𝐼. Como se verá para valores de parámetros razonables este valor crítico puede ser dos o

tres veces más grande que 𝐼. Por lo tanto, la regla del VAN no está solo equivocada, sino demasiado

equivocada.

Después de describir el modelo básico con mayor detalle, se mostrará como la regla de inversión

optima (es decir, el valor crítico de 𝑉∗) puede ser encontrado por optimización dinámica. Sin embargo,

una cuestión puede surgir, que es la elección de la tasa de descuento. Si los mercados de capitales

son “completos” (en un sentido que se hizo claro) el problema de inversión puede ser visto como un

problema de valoración de opciones y resuelto usando técnicas de análisis de derechos contingentes.

Se resolverá el problema de inversión óptima de esta manera y entonces se examinarán las

características de la opción de la empresa para invertir y su dependencia de parámetros clave.

Finalmente, se entenderá el modelo considerando procesos estocásticos alternativos para el valor del

proyecto, 𝑉. En particular, se encontrará y caracterizará la regla de inversión óptima que se aplicará

cuando 𝑉 sigue un proceso de reversión-media y cuando sigue una mezcla de movimiento browniano

y procesos de salto de Poisson.

1 El Modelo Básico

El punto de inicio es un primer modelo desarrollado por McDonald y Siegel (1986). Ellos consideraron

el siguiente problema: en qué momento es óptimo pagar un costo hundido 𝑰 a cambio de un

proyeto cuyo valor es 𝑽, dado que 𝑽 evoluciona de acuerdo al siguiente MGB:

𝑑𝑉 = 𝛼𝑉𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝑑𝑧, (1)

Donde 𝑑𝑧 es el incremento de un proceso de Weiner. La ecuación (1) implica que el valor actual de

un proyecto es conocido, pero los valores futuros son distribuidos de forma log-normal como una

varianza que crece linealmente con el tiempo; las formulas exactas están en la sección 3(a) del

capítulo 3. Así que, aunque la información llega con el tiempo, el valor futuro del proyecto es siempre

incierto.

La ecuación (1) es claramente una abstracción de los proyectos más reales. Por ejemplo, suponga

que el proyecto es una fábrica de Widgets con cierta capacidad. Si los costos variables son positivos

y los directivos tienen la opción de cerrar la empresa temporalmente cuando el precio del producto

esta abajo del costo variable y/o la opción de abandonar el proyecto completamente, 𝑉 no seguirá un

MGB aun si el precio de los widgets lo hace. Si los costos variables son positivos y los administradores

no tienen la opción de cerrar, 𝑉 puede ser negativo, otra vez está en conflicto con el supuesto de log-

normalidad. Además, se podría creer que un mercado de producto competitivo previene que el precio

se aleje demasiado del costo marginal de la industria a largo plazo, o, que es probable que los cambios

estocásticos en el precio sean poco frecuentes pero grandes, así que 𝑉 debería seguir un proceso de

salto o reversión-media. Por el momento, se ignoran estas posibilidades a fin de proveer la introducción

más simple a las técnicas e ideas básicas.

Note que la oportunidad de inversión de la empresa es equivalente a una call a perpetuidad –el

derecho pero no la obligación para comprar una acción del capital a un precio especificado. Por lo

tanto, la decisión de inversión puede ser vista como un problema de valoración de opciones.

Alternativamente, puede ser visto como un problema de programación dinámica. Se derivará la regla

de inversión óptima de las dos maneras, primero usando programación dinámica y después usando

los métodos de valoración de opciones. Esto permitirá comparar estos dos modelos y los supuestos

que cada uno requiere. Después se examinaran las características de la solución.

A continuación, se denota el valor de la oportunidad de inversión (es decir, el valor de la opción para

invertir) por 𝐹(𝑉). Se busca una regla para maximizar este valor. Por lo tanto, el pago de invertir en

el momento 𝑡 es 𝑉𝑡 − 𝐼 y, se quiere maximizar su valor presente esperado:

𝐹(𝑉) = max ℰ[(𝑉𝑇 − 𝐼)𝑒−𝜌𝑇] (2)

Donde ℰ denota la esperanza, 𝑇 es el momento futuro en el que se realizada la inversión, 𝜌 es la tasa

de descuento, y la maximización está sujeta a la ecuación (1). Para que este problema tenga sentido,

se debe asumir que 𝛼 < 𝜌; de otra manera la integral en la ecuación (1) se haría grande

indefinidamente al elegir una 𝑇 más grande. Así, esperar siempre sería la mejor política y el óptimo

no existiría. Se deja que 𝛿 sea la diferencia 𝜌 − 𝛼; así, se asume que 𝛿 > 0.

1.A El Caso Determinístico

Aunque se estará más preocupado con las formas en que la decisión de inversión es afectada por la

incertidumbre, es útil primero examinar el caso en que no hay incertidumbre, es decir, 𝜎 en la ecuación

(1) es cero. Como se verá, aun habría un valor para esperar.

Si 𝜎 = 0, 𝑉(𝑡) = 𝑉0𝑒𝛼𝑡, donde 𝑉0 = 𝑉(0). Por lo tanto, dado un valor actual 𝑉, el valor de la

oportunidad de inversión asumiendo que se invierte en alguno momento futuro arbitrario 𝑇 es

𝐹(𝑉) = (𝑉𝑒𝛼𝑇 − 𝐼)𝑒−𝜌𝑇 (3)

Suponga que 𝛼 ≤ 0. Entonces 𝑉(𝑡) permanecerá constante o caerá en el tiempo, así es claramente

optimo invertir inmediatamente si 𝑉 > 𝐼, y nunca invertir en otro caso. Por lo tanto, 𝐹(𝑉) =

max[𝑉 − 𝐼, 0].

¿Qué pasa si 0 < 𝛼 < 𝜌? Entonces 𝐹(𝑉) > 0 aun si actualmente 𝑉 < 𝐼, porque eventualmente 𝑉

excederá a 𝐼. También, aun si 𝑉 no excede a 𝐼 ahora, puede ser mejor esperar en lugar de invertir.

Para ver esto, maximice 𝐹(𝑉) en la ecuación (3) con respecto a 𝑇. La condición de primer orden es

𝑑𝐹(𝑉)

𝑑𝑇= −(𝜌 − 𝛼)𝑉𝑒−(𝜌−𝛼)𝑇 + 𝜌𝐼𝑒−𝜌𝑇 = 0,

Que implica

𝑇∗ = max {1

𝛼ln [

𝜌𝐼

(𝜌 − 𝛼)𝑉] , 0}. (4)

Note que si 𝑉 no es mucho mas grande que 𝐼, tendremos que 𝑇∗ > 0. La razón para retrasar la

inversión en este caso es que en términos del valor presente, el costo de la inversión decrece por un

factor de 𝑒−𝜌𝑇, mientras que el pago se reduce por un factor más pequeño de 𝑒−(𝜌−𝛼)𝑇.

¿Para qué valor de 𝑉 es óptimo invertir inmediatamente? Fijando 𝑇∗ = 0, se ve que se debería invertir

inmediatamente si 𝑉 ≥ 𝑉∗, donde

𝑉∗ =𝜌

𝜌 − 𝛼𝐼. (5)

Finalmente, sustituyendo la ecuación (4) en la (3), se obtiene la siguiente solución 𝐹(𝑉):

𝐹(𝑉) = {[𝛼𝐼

𝜌 − 𝛼] [

(𝜌 − 𝛼)𝑉

𝜌𝐼]

𝜌/𝛼

; 𝑠𝑖 𝑉 ≤ 𝑉∗

𝑉 − 𝐼 ; 𝑠𝑖 𝑉 > 𝑉∗.

(6)

Note que 𝐹(𝑉) se incrementa cuando 𝛼 se incrementa, como lo hace el valor crítico de 𝑉∗. El

crecimiento en 𝑉 crea un valor para esperar e incrementa el valor de la oportunidad de inversión.

1.B El Caso Estocástico

Ahora, se retoma el caso general en que 𝜎 > 0. El problema es determinar el punto en el cual es

óptimo invertir 𝐼 a cambio de un activo de valor 𝑉. Puesto que 𝑉 evoluciona estocásticamente, no se

puede determinar un momento 𝑇 como se hizo arriba. En su lugar, la regla de inversión tomará la

forma de un valor crítico 𝑉∗ tal que es óptimo invertir una vez que 𝑉 ≥ 𝑉∗. Como se verá, un valor

más alto de 𝜎 resultar en un valor más alto de 𝑉∗, es decir, un valor más grande para esperar. Sin

embargo, es importante tener en mente que en general, crecimiento (𝛼 > 0) e incertidumbre (𝜎 >

0) pueden crear valor para esperar y por lo tanto, afectar el momento de inversión.

2 Solución por Programación Dinámica

En la terminología del capítulo 4, tenemos un problema de óptimo stopping en tiempo continuo. Porque

la oportunidad de inversión, 𝐹(𝑉), no da flujo de efectivo hasta el momento 𝑇 en que la inversión es

realizada, el único rendimiento de mantenerla es su apreciación de capital. Por lo tanto, como se vio

en el capítulo 4, en la región de continuidad (el valor de 𝑉 para el cual no es óptimo invertir) la ecuación

de Bellman es

𝜌𝐹𝑑𝑡 = ℰ(𝑑𝐹). (7)

La ecuación (7) solo dice que sobre un intervalo de tiempo 𝑑𝑡 el rendimiento esperado total de la

oportunidad de inversión, 𝜌𝐹𝑑𝑡, es igual a su tasa esperada de apreciación de capital,ℰ(𝑑𝐹).

Se expande 𝑑𝐹 usando el Lemma de Ito y se utilizan primas para denotar las derivadas, por ejemplo,

𝐹′ = 𝑑𝐹/𝑑𝑉, 𝐹′′ = 𝑑2𝐹/𝑑𝑉2, etc. Entonces

𝑑𝐹 = 𝐹′(𝑉)𝑑𝑉 +1

2𝐹′′(𝑉)(𝑑𝑉)2.

Sustituyendo la ecuación (1) para 𝑑𝑉 en esta expresión y notando que ℰ(𝑑𝑧) = 0 da

𝑑𝐹 = 𝐹′(𝑉)(𝛼𝑉𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝑑𝑧) +1

2𝐹′′(𝑉)(𝛼𝑉𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝑑𝑧)2,

𝑑𝐹 = 𝛼𝑉𝐹′(𝑉)𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝐹′(𝑉)𝑑𝑧 +1

2𝛼2𝑉2𝐹′′(𝑉)(𝑑𝑡)2 +

1

2𝜎2𝑉2𝐹′′(𝑉)(𝑑𝑧)2 + 𝛼𝜎𝑉2𝐹′′(𝑉)𝑑𝑡𝑑𝑧,

𝑑𝐹 = 𝐹′(𝑉)𝛼𝑉𝑑𝑡 + 𝐹′(𝑉)𝜎𝑉𝑑𝑧 +1

2𝜎2𝑉2𝐹′′(𝑉)(0) +

1

2𝛼2𝑉2𝐹′′(𝑉)𝑑𝑡 + 𝛼𝜎𝑉2𝐹′′(𝑉)(0),

𝑑𝐹 = 𝛼𝑉𝐹′(𝑉)𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝐹′(𝑉)𝑑𝑧 +1

2𝛼2𝑉2𝐹′′(𝑉)𝑑𝑡,

𝜌𝐹𝑑𝑡 = ℰ(𝑑𝐹) = 𝛼𝑉𝐹′(𝑉)𝑑𝑡 +1

2𝛼2𝑉2𝐹′′(𝑉)𝑑𝑡.

Por lo tanto, la ecuación de Bellman se transforma (después de dividir por 𝑑𝑡) en:

1

2𝛼2𝑉2𝐹′′(𝑉) + 𝛼𝑉𝐹′(𝑉) − 𝜌𝐹 = 0. (8)

Será fácil de analizar la solución y compararla con la obtenida usando el análisis de derechos

contingentes si se hace la sustitución de 𝛼 = 𝜌 − 𝛿. Para asegurar la existencia de un óptimo, se

debe asumir que 𝛼 < 𝜌, o 𝛿 > 0. Con esta notación, la ecuación de Bellman se transforma en la

siguiente ecuación diferencial que debe ser satisfecha por 𝐹(𝑉):

1

2𝛼2𝑉2𝐹′′(𝑉) + (𝜌 − 𝛿)𝑉𝐹′(𝑉) − 𝜌𝐹 = 0. (9)

Además, 𝐹(𝑉) debe satisfacer las siguientes condiciones de frontera:

𝐹(0) = 0, (11)

𝐹(𝑉∗) = 𝑉∗ − 𝐼, (12)

𝐹′(𝑉∗) = 1. (13)

La condición (10) surge de la observación de que si 𝑉 tiende a cero, permanecerá en cero. Por lo

tanto, la opción para invertir no tendrá valor cuando 𝑉 = 0. Las otras dos condiciones vienen de la

consideración de la inversión óptima. 𝑉∗ es el precio al cual es óptimo invertir. La condición (11) solo

dice que al invertir, la empresa recibe un pago neto de 𝑉∗ − 𝐼. Finalmente, la condición (12) dice que

si 𝐹(𝑉) no fuera continua y suave en el punto de ejercicio critico 𝑉∗, se podría mejorar ejerciendola

en un punto diferente.

Note que la ecuación (9) es una ecuación diferencial de segundo orden, pero hay tres condiciones de

frontera que deben ser satisfechas. La razón es, que aunque la posición de la primera condición (𝑉 =

0) es conocida, la posición de la segunda condición no lo es. En otras palabras, la “frontera libre” 𝑉∗

debe ser determinada como parte de la solución. Que necesita de la tercera condición.

La ecuación (11) tiene otra útil interpretación. Escrita como 𝑉∗ − 𝐹(𝑉∗) = 𝐼. Cuando la empresa

invierte, obtiene el proyecto valuado 𝑉, pero renuncia a la oportunidad u opción para invertir, que es

valuada en 𝐹(𝑉). Así, su ganancia neta del costo de oportunidad es 𝑉 − 𝐹(𝑉). El valor crítico 𝑉∗

es donde su ganancia neta iguala al costo directo o tangible de la inversión 𝐼. Equivalentemente, se

podría escribir la ecuación como 𝑉∗ = 𝐼 + 𝐹(𝑉∗), fijando el valor del proyecto igual al costo total

(costo directo más costo de oportunidad) de hacer la inversión. Se discutirá este punto con mayor

detalle después.

Para encontrar 𝐹(𝑉) se debe resolver la ecuación (9) sujeta a las condiciones de frontera (10)-(12).

En este caso la solución es fácil de encontrar; se puede adivinar una forma funcional y determinar por

sustitución si funciona. Primero se establece la solución y se derivan algunas de sus propiedades y

después se discute con mayor detalle.

Para satisfacer la condición (10), la solución debe tomar la forma

𝐹(𝑉) = 𝐴𝑉𝛽1 , (13)

Donde 𝐴 es una constante aun por ser determinada, y 𝛽1 > 1 es conocida como una constante cuyo

valor depende del parámetro 𝜎, 𝜌 y 𝛿 de la ecuación diferencial.

Las condiciones de frontera restantes (11) y (12) pueden ser usadas para resolver las dos constantes

desconocidas –la constante 𝐴 y el valor crítico 𝑉∗ en el cual es óptimo para invertir. Por sustitución

de (13) en (11) y (12) y reordenando se encuentra que

𝑉∗ =𝛽1

𝛽1 − 1𝐼, (14)

y

𝐴 =𝑉∗ − 𝐼

(𝑉∗)𝛽1=

(𝛽1 − 1)𝛽1−1

(𝛽1)𝛽1𝐼𝛽1−1. (15)

Las ecuaciones (13)-(15) dan el valor de la oportunidad de inversión y la regla de inversión óptima, es

decir, el valor critico 𝑉∗ el cual es óptimo para invertir. Se examinaran las características de esta

solución con algunos detalles después. Por el momento, el punto más importante es que, puesto que

𝛽1 > 1, tenemos que 𝛽1/(𝛽1 − 1) > 1 y 𝑉∗ > 𝐼. Así, la regla simple del VAN es incorrecta; la

incertidumbre y la irreversibilidad dan una brecha entre el valor crítico 𝑉∗ e 𝐼. El tamaño de la brecha

es el factor 𝛽1/(𝛽1 − 1) y es importante examinar su magnitud para los valores realistas de los

parámetros subyacentes y su respuesta a cambios en estos parámetros. Para hacer eso se debe

examinar la solución (13) con mayor detalle.

2.A La Ecuación Cuadrática Fundamental

Puesto que la ecuación diferencial homogénea de segundo orden (9) es lineal en la variable

dependiente 𝐹 y sus derivadas, su solución general puede ser expresada como la combinación lineal

de cualesquiera dos soluciones independientes. Si tratamos con una función 𝐴𝑉𝛽, vemos por

sustitución que satisface la ecuación y 𝛽 es una raíz de la ecuación cuadrática

1

2𝜎2𝛽(𝛽 − 1) + (𝜌 − 𝛿)𝛽 − 𝜌 = 0. (16)

Las dos raíces son

𝛽1 =1

2−

(𝜌 − 𝛿)

𝜎2+ √[

(𝜌 − 𝛿)

𝜎2−

1

2]

2

+2𝜌

𝜎2> 1,

y

𝛽2 =1

2−

(𝜌 − 𝛿)

𝜎2− √[

(𝜌 − 𝛿)

𝜎2−

1

2]

2

+2𝜌

𝜎2< 0.

Así, la solución general de la ecuación (9) puede ser reescrita como

𝐹(𝑉) = 𝐴1𝑉𝛽1 + 𝐴2𝑉𝛽2 ,

Donde 𝐴1 y 𝐴2 son constantes a determinar. En nuestro problema, la condición de frontera (10)

implica que 𝐴2 = 0, obteniendo la solución (13).

Para responder a nuestras preguntas económicas relacionadas con el múltiplo 𝛽1/(𝛽1 − 1),

debemos, por lo tanto, examinar la ecuación cuadrática (16) con mayor detalle. Puesto que esta

ecuación, o alguna forma cerrada similar, aparecerá en casi todo el capítulo, lo que ayuda establecer

una terminología estándar y obtener algunos resultados generales desde el principio.

Generalmente, denotaremos la variable en la ecuación por 𝛽 y la expresión cuadrática completa por

𝒬. Asi, 𝒬 es una función de 𝛽. El coeficiente de 𝛽2en 𝒬(𝛽) es positivo, así, la gráfica es una parábola

que abre hacia arriba que tiende a ∞ cuando 𝛽 → ±∞. También, 𝒬(1) = −𝛿 < 0 y 𝒬(0) =

−𝜌 < 0. Por lo tanto, la gráfica cruza el eje horizontal en un punto a la derecha de 1 y otro a la

izquierda de cero. Que es, una raíz llamada 𝛽1 que excede a 1 y la otra 𝛽2 es negativa.

Nos enfocaremos en la raíz positiva 𝛽1. ¿Cómo cambia 𝛽1 si un parámetro, por ejemplo 𝜎 cambia?

Esto se responde por estática comparativa estándar. Diferenciando la expresión cuadrática totalmente:

𝜕𝒬

𝜕𝛽∗

𝜕𝛽1

𝜕𝜎+

𝜕𝒬

𝜕𝜎= 0,

Donde todas las derivadas son evaluadas en 𝛽1. La figura 2 muestra que 𝜕𝒬/𝜕𝛽 > 0 en 𝛽1. También

𝜕𝒬

𝜕𝜎= 𝜎𝛽(𝛽 − 1) > 0

En 𝛽1 > 1. Por lo tanto, 𝜕𝛽1/𝜕𝜎 < 0. En otras palabras, cuando 𝜎 incrementa 𝛽1 decrece, y por lo

tanto, 𝛽1/(𝛽1 − 1) incrementa. Cuanto mayor es la cantidad de incertidumbre sobre el futuro de 𝑉

mas grande es la brecha entre 𝑉∗ e 𝐼, es decir, cuanto más grande es el exceso de rendimiento

exigido por la empresa antes estará dispuesta a realizar la inversión irreversible.

Los lectores pueden igualmente verificar otras dos propiedades de esta ecuación cuadrática. Primero,

𝛽1 incrementa cuando 𝛿 incrementa, así un valor más alto de 𝛿 significa una brecha mas pequeña

𝛽1/(𝛽1 − 1). Segundo, 𝛽1 decrece cuando 𝜌 se incrementa, así, un 𝜌 mas alto implica una brecha

más amplia.

Algunos limites relacionado con 𝛽1 son también informativos. Nos limitamos a establecerlos; ellos son

fácilmente verificables usando la fórmula algebraica. Primero, cuando 𝜎 → ∞, tenemos que 𝛽1 → 1

y 𝑉∗ → ∞, es decir, la empresa nunca invierte si 𝜎 es infinita. A continuación considere que sucede

cuando 𝜎 → 0. Tenemos

Si 𝛼 > 0, entonces 𝛽1 → 𝜌/(𝜌 − 𝛿) y 𝑉∗ → (𝜌/𝛿)𝐼.

Si 𝛼 ≤ 0, entonces 𝛽1 → ∞ y 𝑉∗ → 𝐼.

Esto resultados se ajustan a aquellos del caso determinístico que examinamos anteriormente.

2.B Relación a la Teoría de la Inversión Neoclásica

Para llevar este análisis un poco más adelante, suponga que el proyecto es en si mismo una empresa

de vida infinita que produce un flujo de ganancia, 𝜋𝑡, que sigue el proceso

𝑑𝜋 = 𝛼𝜋𝑑𝑡 + 𝜎𝜋𝑑𝑧.

Por lo tanto, 𝑉 esta dado por

𝑉𝑡 = ℰ ∫ 𝜋𝑠𝑒−𝜌(𝑠−𝑡)𝑑𝑠

∞

𝑡

=𝜋𝑡

𝜌 − 𝛼,

y 𝑑𝑉 esta dada por la ecuación (1). La regla Marshaliana usual es invertir siempre que 𝑉𝑡 ≥ 𝐼, o,

𝜋𝑡 ≥ (𝜌 − 𝛼)𝐼. Sin embargo, la ecuación (14) nos dice que en su lugar, la empresa debería invertir

cuando

𝜋𝑡 ≥ 𝜋∗ =𝛽

𝛽 − 1(𝜌 − 𝛼)𝐼 > (𝜌 − 𝛼)𝐼. (17)

Otra manera de mirar esto es en términos del enfoque Jorgensoniano para la inversión. De la ecuación

cuadrática (16) satisfecha por 𝛽1, tenemos

𝛽

𝛽 − 1(𝜌 − 𝛼) = 𝜌 +

1

2𝜎2𝛽1.

Así, el nivel de ganancia critica 𝜋∗ puede ser escrita como

𝜋∗ = (𝜌 +1

2𝜎2𝛽1) 𝐼 > 𝜌𝐼. (18)

Por lo tanto, hemos asumido depreciación cero, 𝜌𝐼 es el costo de uso Jorgensoniano del capital; la

regla de Jorgensoniano es invertir cuando 𝜋𝑡 = 𝜌𝐼. La ecuación (18) dice que las futuras ganancias

son inciertas, el límite 𝜋∗ debe exceder este costo de uso del capital.

En ausencia de incertidumbre, la regla de inversión Jorgensoniana tiene que la empresa invierte

cuando 𝜋𝑡 = 𝜌𝐼, no cuando 𝜋𝑡 = (𝜌 − 𝛼)𝐼. Como vimos antes, este puede ser visto como la regla

del momento óptimo. Otra vez, la firma debe elegir 𝑇 para maximizar

max𝑇

(𝜋0𝑒𝛼𝑇

𝜌 − 𝛼− 𝐼) 𝑒−𝜌𝑇 =

𝜋0𝑒−(𝜌−𝛼)𝑇

𝜌 − 𝛼− 𝐼𝑒−𝜌𝑇 . (19)

La solución es invertir en el momento 𝑇 cuando

𝜋𝑇 = 𝜋0𝑒𝛼𝑇 = 𝜌𝐼. (20)

(Se puede verificar que 𝛼 > 0 es la condición de segundo orden para esta maximización.) Por lo

tanto, la firma debería esperar para invertir aun si no hay incertidumbre, porque esperar permite el

aplazamiento ( y por lo tanto el descuento) del pago 𝐼. Como la ecuación (18) muestra con

incertidumbre hay un término adicional 1

2𝜎2𝛽1, así, que la empresa debe esperar aún más tiempo

antes de invertir. El término adicional puede pensarse como la corrección al modelo de inversión

neoclásico.

2.C Relación con la 𝒒 de Tobin

Tobin (1969) introdujo una magnitud 𝑞, definida como el ratio “del valor de los bienes de capital

existente o de los títulos” a “su costo de reproducción actual”. Esto se ha convertido en el concepto

central en la teoría ortodoxa de la inversión. La idea es que si este ratio excede la unidad, una empresa

puede incrementar su valor de mercado incrementad su stock de capital. Por lo tanto, deberíamos ver

una empresa invirtiendo cuando el valor de 𝑞 de la empresa es superior a 1, pero no cuando es menor

que 1. Además, podemos agregar calculando una 𝑞 basada en el valor de mercado promedio de las

empresas en una industria (o la economía entera) y el correspondiente costo de remplazo del capital.

Deberíamos, entonces, observar a nivel agregado que el gasto de inversión esta positivamente

relacionado al valor de esta 𝑞.

Un numero de cuestiones surgen respecto a la mediada e interpretación de 𝑞. Una importante, es que

lo que debería de importar para la inversión es la 𝑞 marginal, es decir, la 𝑞 que aplica a la inversión

incremental del proyecto de la industria o empresa, en contraposición, a la 𝑞 media que se aplica al

valor total o stock de capital de la empresa o industria. Como se ha indicado, el numerado de 𝑞 es el

valor de mercado de los activos existentes. Lo que es relevante para la decisión de inversión es el

efecto del siguiente proyecto en el valor de la empresa. Hemos visto que para conseguir esto, el costo

de usarla opción para invertir debe ser sustraído del valor del proyecto. Por lo tanto, cuando un

proyecto de valor 𝑉 y la opción valuada 𝐹(𝑉) es instalada, el valor de la empresa debería incrementar

en 𝑉 − 𝐹(𝑉), no en 𝑉. Correspondientemente, 𝑞 sería definida como el ratio [𝑉 − 𝐹(𝑉)]/𝐼.

Entonces, el valor crítico de 𝑞 que justifica la inversión seria 1, en efecto, como vemos de la ecuación

(11), que define el valor critico 𝑉∗.

Sin embargo, es difícil asignar la parte del valor de mercado de una empresa que proviene de la unidad

marginal del capital. Parcialmente, por esto, 𝑞 ha llegado a ser definida o, a lo menos medida, de

forma diferente, es decir, como la razón del valor presente esperado de las ganancias que se

derivarían de una inversión completada al costo de su construcción. Esto corresponde a usar el valor

de un activo existente, donde la opción para invertir, ya ha sido ejercida y su costo de oportunidad es

una cosa pasada. En nuestra notación, esto significa definir 𝑞 como 𝑉/𝐼. Podemos expresar el criterio

de inversión correcto en términos de esta notación de 𝑞:

𝑞∗ =𝛽1

𝛽1 − 1> 1 (21)

Como 𝑉 fluctua, habrá periodos de tiempo cuando el 𝑞 medido convencionalmente excede a 1 sin

atraer la inversión. Esto da una nueva perspectiva en el efecto de la irreversibilidad sobre la decisión

de inversión de la empresa.

Algunos artículos han usado la primera de las definiciones de arriba de 𝑞 y otros la segunda. Por lo

tanto, tendremos que ser cuidadosos para distinguirlos. Llamaremos a la primera –el valor neto de la

opción y tiene a 1 como el límite superior- el concepto de “valor de la empresa”, y el segundo –

omitiendo el valor de la opción y teniendo a 𝛽1/(𝛽1 − 1) como el nivel crítico- el concepto de “valor

de los activos en lugar”.

3 Solución por Análisis de Derechos Contingentes

Si la empresa hace que la inversión sea llevada en público y sus administradores quieres que sus

decisiones se reflejen en los intereses de los accionistas, tratarían de maximizar el valor de mercado

de la empresa. ¿Cómo sabemos que la regla de inversión derivada arriba hará esto? Un problema con

esta regla de inversión es que está basada sobre una tasa de descuento constante y arbitraria, 𝜌. No

es claro de dónde viene esta tasa de descuento, o incluso que deba ser constante en el tiempo. Como

vimos en el capítulo 4, usamos los métodos de derechos contingentes para derivar una regla de

inversión modificada ligeramente, que en efecto, maximizará el valor de mercado de la empresa. En

esta sección, examinaremos los pasos requeridos con detalle.

3.A Reinterpretando el Modelo

El uso del análisis de derechos contingentes requiere de un importante supuesto: los cambios

estocásticos en 𝑽 deben ser replicados por activos existentes en la economía. Específicamente los

mercados de capitales deben ser suficientemente completos, así que, al menos en principio, uno

podría encontrar un activo o construir un portafolio dinámico de activos (es decir, un portafolio cuyas

proporciones se ajustan continuamente con el cambio de los precios de los activos), cuyo precio está

perfectamente correlacionado con 𝑉. Esto es equivalente a decir que los mercados son

suficientemente completos que las decisiones de la empresa no afectan el conjunto de oportunidades

factibles para los inversores.

El supuesto de “similares” debería sostenerse para la mayoría de los commodities, que son

ampliamente comercializados en los mercados de futuros y de físicos y para los bienes

manufacturados, al grado de que los precios estén correlacionados con los valores de las acciones o

portafolios. Sin embargo, puede haber casos en que este supuesto no se mantiene.

En esta sección suponemos que si se sostiene, es decir, que en principio la incertidumbre sobre

valores futuros de 𝑉 puede ser replicado por activos existentes. Con este supuesto, podemos

determinar la regla de inversión que maximiza el valor de mercado de la empresa sin hacer ningún

supuesto sobre la tasa de descuento o preferencias de riesgo. También, el uso de análisis de derechos

contingentes hará mas fácil interpretar ciertas propiedades de la solución. Por supuesto, si el supuesto

de similares no se mantiene, la programación dinámica, todavía puede ser usada para maximizar el

valor presente de flujo de ganancias esperadas de la empresa, sujeta a una tasa de descuento

arbitraria.

Sea 𝑥 el precio de un activo o portafolio dinámico de activos perfectamente correlacionados con 𝑉, y

sea 𝜌𝑥𝑚 la correlación de 𝑥 con el portafolio de mercado. Por lo tanto, si 𝑥 esta perfectamente

correlacionado con 𝑉, 𝜌𝑥𝑚 = 𝜌𝑉𝑚. Asumiremos que el activo o portafolio no paga dividendos, así su

rendimiento total es la ganancia de capital. Entonces 𝑥 evoluciona de acuerdo a

𝑑𝑥 = 𝜇𝑥𝑑𝑥 + 𝜎𝑥𝑑𝑧 (22)

Donde 𝜇 es la tasa de tendencia, es la tasa esperada de tener este activo o portafolio de activos. De

acuerdo al CAPM 𝜇 debería reflejar el riesgo sistemático del activo. 𝜇 estará dada por

𝜇 = 𝑟 + 𝜙𝜌𝑥𝑚𝜎,

Donde 𝑟 es la tasa de interés libre de riesgo y 𝜙 es la prima de mercado del riesgo. Así, 𝜇 es la tasa

esperada de riesgo ajustado del rendimiento que los inversores demandarían si han de poseer el

proyecto. Asumiremos que 𝛼 es la tasa esperada de cambio en 𝑉, que es menor a la rentabilidad

ajustada al riesgo 𝜇. (Como veremos, la empresa nunca invertiría si este no fuera el caso. No importa

el nivel actual de 𝑉, la empresa siempre estaría mejor esperando y manteniendo su opción para

invertir.) 𝛿 será la diferencia entre 𝜇 y 𝛼, es decir, 𝛿 = 𝜇 − 𝛼. Así, estaremos asumiendo que 𝛿 >

0, y juega el mismo papel que el supuesto de correspondencia en la formulación de la programación

dinámica.

El parámetro 𝛿 juega un importante papel en este modelo. Será útil recurrir a la analogía de una call

financiera. Si 𝑉 fuera el precio de una acción del capital corporativo, 𝛿 sería la tasa de dividendos del

stock. El rendimiento total esperado sobre el stock sería 𝜇 = 𝛿 + 𝛼, es decir, los dividendos más la

ganancia esperada del capital. Si la tasa de dividendos 𝜹 fuera cero, una call sobre el stock sería

siempre ejercida en la madurez y nunca ejercida prematuramente. La razón es que el rendimiento

total del stock es capturado por su movimiento de precio, y por lo tanto, por la call, por lo que no hay

ningún costo de mantener la opción viva. Sin embargo, si la tasa de dividendos es positiva, existe un

costo de oportunidad de mantener la opción viva en lugar de ejercerla. Ese costo de oportunidad es

el flujo de dividendos que uno renuncia para mantener la opción en lugar del stock. Por lo tanto,

𝛿 es una tasa de dividendos proporcional, cuanto más alto es el precio del stock, mayor es el flujo de

dividendos. En algún precio suficientemente alto, el costo de oportunidad de los dividendos

percibidos se vuelve suficientemente grande como para que valga la pena ejercer la opción.

Para nuestro problema de inversión, 𝜇 es la tasa de rendimiento esperada de poseer el proyecto

terminado. Es la tasa de equilibrio establecida por el mercado de capitales e incluye una prima de

riesgo apropiada. Si 𝜹 > 𝟎, la tasa esperada de ganancia de capital del proyecto es menor que

𝝁. Por lo tanto, 𝜹 es un costo de oportunidad de retrasar la construcción del proyecto, y en su

lugar mantener la opción de inversión viva.

Si 𝛿 fuera cero, no habría costo de oportunidad de mantener viva la opción y uno nuca invertiría, no

importa cuán alto sea el VAN de proyecto. Esto es porque asumimos que 𝛿 > 0. Por otro lado, si 𝛿

es muy grande, el valor de la opción será muy pequeño, porque el costo de esperar es grande. Cuando

𝛿 → ∞ el valor de la opción tiende a cero, en efecto, la única opción es invertir “ahora o nunca” y el

VAN estándar aplica.

El parámetro 𝛿 puede ser interpretado de diferentes maneras. Por ejemplo, podría reflejar el proceso

de entrada y la capacidad de expansión de los competidores. O puede simplemente reflejar el flujo de

caja del proyecto. Si el proyecto es de vida infinita, entonces, la ecuación (1) puede representar la

evolución de 𝑉 durante la operación del proyecto, y 𝛿𝑉 es la tasa de flujos de caja que el proyecto

rinde. Por lo tanto, asumimos que 𝛿 es una constante, esto es consistente con que los flujos de efectivo

esperados sean una proporción constante del valor del mercado del proyecto.

Cuando algún otro parámetro del modelo (como 𝜌) varíe, debemos preguntarnos que sucede con 𝛿.

Varias posibilidades pueden ser imaginadas. Se supone que la tasa de interés libre de riesgo 𝑟 es

fijada por el mercado de capitales, independiente de lo que suceda a cualquier otro activo. El precio

de mercado agregado de riesgo 𝜙 es igualmente exógeno. Ahora, suponga que 𝜎 incrementa. Esto

incrementa la tasa de descuento de riesgo ajustada 𝜇. Para preservar el equilibrio en el mercado para

𝑥, 𝛼 o 𝛿 deben cambiar. Dos casos extremos son posibles lógicamente, primero, 𝛼 podría ser un

hecho fundamental de 𝑥, así que 𝛿 debe responder a un cambio en 𝜇. Alternativamente, 𝛿 podría ser

un parámetro de conducta básico y el proceso de precio de 𝑥 debe cambiar para que 𝛼 se ajuste. Una

tercera posibilidad es que 𝛼 y 𝛿 tomen parte en el ajuste. En nuestros ejercicios de estática

comparativa y numéricos frecuentemente consideraremos a 𝛿 como un parámetro básico

independiente de 𝜎 pero mencionaremos posibilidades alternativas donde ellos hacen una diferencia

material en los resultados.

3.B Obtención de una Solución

Vamos a regresar a la valoración de nuestra oportunidad de inversión y la regla optima de inversión.

Otra vez, determinaremos 𝐹(𝑉) casi de la misma manera que hicimos en el ejemplo de dos periodos

del capítulo 2 o la teoría general del capítulo 4, sección 2 – por construcción de un portafolio libre de

riesgo, determinando su tasa esperada de rendimiento e igualando esa tasa de rendimiento a la tasa

libre de riesgo de interés.

Considere el siguiente portafolio: mantener la opción para invertir, que vale 𝐹(𝑉) y una posición corta

de 𝑛 = 𝐹′(𝑉) unidades del proyecto (o equivalentemente, del activo o portafolio 𝑥 que está

perfectamente correlacionado con 𝑉). El valor de este portafolio es Φ = 𝐹 − 𝐹′(𝑉)𝑉. Note que este

portafolio es dinámico; cuando 𝑉 cambia 𝐹′(𝑉) puede cambiar de un intervalo de tiempo corto a otro,

así la composición del portafolio será cambiante. Sin embargo, sobre cada intervalo de longitud 𝑑𝑡, 𝑛

se mantiene fija.

La posición corta de este portafolio requiere de un pago de 𝛿𝑉𝐹′(𝑉) por unidad de tiempo; de otra

manera, ningún inversor racional entrara en posición larga de la transacción.

Un inversor que mantiene una posición larga en el proyecto demandará el rendimiento de riesgo

ajustado 𝜇𝑉, que incluye la ganancia de capital 𝛼𝑉 más el flujo de dividendo 𝛿𝑉. Puesto que la

posición corta incluye 𝐹′(𝑉) unidades del proyecto, requerirá el pago de 𝛿𝑉𝐹′(𝑉). Tomando este

pago en cuenta, el rendimiento total de mantener el portafolio en un intervalo de tiempo 𝑑𝑡 es

𝑑𝐹 − 𝐹′(𝑉)𝑑𝑉 − 𝛿𝑉𝐹′(𝑉)𝑑𝑡

Para obtener una expresión para 𝑑𝐹, se usa el lema de Ito:

𝑑𝐹 = 𝐹′(𝑉)𝑑𝑉 +1

2𝐹′′(𝑉)(𝑑𝑉)2

Por lo tanto, el rendimiento total sobre el portafolio es

𝐹′(𝑉)𝑑𝑉 +1

2𝐹′′(𝑉)(𝑑𝑉)2 − 𝐹′(𝑉)𝑑𝑉 − 𝛿𝑉𝐹′(𝑉)𝑑𝑡

1

2𝐹′′(𝑉)(𝑑𝑉)2 − 𝛿𝑉𝐹′(𝑉)𝑑𝑡

De la ecuación (1) para 𝑑𝑉 conocemos que (𝑑𝑉)2 = 𝜎2𝑉2𝑑𝑡, así, el rendimiento del portafolio es

1

2𝜎2𝑉2𝐹′′(𝑉)𝑑𝑡 − 𝛿𝑉𝐹′(𝑉)𝑑𝑡

Note que este rendimiento es libre de riesgo. Por lo tanto, para evitar posibilidades de arbitraje, se

debe igualar 𝑟Φ𝑑𝑡 = 𝑟[𝐹 − 𝐹′(𝑉)𝑉]𝑑𝑡:

1

2𝜎2𝑉2𝐹′′(𝑉)𝑑𝑡 − 𝛿𝑉𝐹′(𝑉)𝑑𝑡 = 𝑟[𝐹 − 𝐹′(𝑉)𝑉]𝑑𝑡

Dividiendo todo por 𝑑𝑡 y reordenando términos da la siguiente ecuación diferencial que F(V) debe

satisfacer:

1

2𝜎2𝑉2𝐹′′(𝑉) + (𝑟 − 𝛿)𝑉𝐹′(𝑉) − 𝑟𝐹 = 0. (23)

Observe que la ecuación es casi idéntica a la ecuación (9) obtenida usando programación dinámica.

La única diferencia es que la tasa de interés libre de riesgo es remplazada por la tasa de descuento

𝜌. Las mismas condiciones de frontera (10)-(12) serán aplicadas aquí y por las mismas razones que

antes. Así, la solución para 𝐹(𝑉) otra vez, tiene la forma

𝐹(𝑉) = 𝐴𝑉𝛽1 ,

Excepto que ahora 𝑟 remplaza a 𝜌 en la ecuación cuadrática para el exponente 𝛽1, y por lo tanto

𝛽1 =1

2−

(𝑟 − 𝛿)

𝜎2+ √[

(𝑟 − 𝛿)

𝜎2−

1

2]

2

+2𝑟

𝜎2. (24)

El valor crítico 𝑉∗ y la constante 𝐴 están dadas, otra vez, por la ecuación (14) y (15).

Por lo tanto la solución de derechos contingentes a nuestro problema de inversión es equivalente a

una solución de programación dinámica, bajo el supuesto de neutralidad del riesgo (es decir, la tasa

de descuento 𝜌 es igual a la tasa libre de riesgo). Así, siempre que los similares se mantengan, la

solución estará sujeta a una tasa de descuento asumida. En cualquier caso, la solución tendrá la

misma forma y los efectos de los cambios en 𝜎 o 𝛿 serán igualmente los mismos. Sin embargo, vale

la pena señalar un punto. Sin spanning, no hay teoría que determine el valor correcto para la tasa de

descuento 𝜌 (a menos que hagamos supuestos restrictivos sobre las funciones de utilidad de los

inversores o administradores). El CAMP, por ejemplo, no se mantendría y no podría ser usado para

calcular una tasa de descuento ajustada al riesgo de manera usual.

4 Características de la Regla de Inversión Óptima

Asumamos que se sostienen los spanning y examinaremos las características de la regla de inversión

óptima y el valor de la oportunidad de inversión como están dadas por las ecuaciones (13), (14), (15)

y (24).

………………………………………………..

Note que 𝐹(𝑉) se incrementa cuando 𝜎 se incrementa, al igual que el valor crítico 𝑉∗. Así, una

incertidumbre más grande incrementa el valor de las oportunidades de inversión de la empresa, pero

(por esa misma razón) disminuye la cantidad de la inversión actual que la empresa va a hacer. Como

resultado, cuando el mercado o el entorno económico de una empresa se vuelve más incierto, el valor

de mercado de la empresa puede subir, aun cuando la empresa invierta menos y tal vez produzca

menos.

La dependencia de 𝑉∗ sobre 𝜎 ………………………..

Observe que 𝑉∗ incrementa rápidamente con 𝜎. Así, la inversión es altamente sensible a la volatilidad

en los valores del proyecto, independientemente de las preferencias de los inversionistas o

administradores e independientemente del grado con el cual el riesgo de 𝑉 esta correlacionado con

el mercado. Las empresas pueden ser neutrales ante el riesgo y los cambios estocásticos en 𝑉 pueden

ser completamente diversificables; un incremento en 𝜎 todavía incrementara a 𝑉∗ y por lo tanto,

tenderá a deprimir la inversión.

………………………………………………………

Observe que un incremento en 𝛿 resulta en un decremento de 𝐹(𝑉) y por lo tanto, un decremento en

el valor crítico 𝑉∗. (En el límite cuando 𝛿 → ∞, 𝐹(𝑉) → 0 para 𝑉 < 𝐼 y 𝑉∗ → 𝐼.) La razón es que

𝛿 se vuelve más grande (teniendo todo lo demás constante excepto para 𝛼), la tasa esperada de

crecimiento de 𝑉 cae, y por lo tanto la apreciación en el valor de la opción para invertir y adquirir 𝑉

cae. En efecto, llega ser más costoso esperar en lugar de invertir ahora. Para ver esto, considere una

inversión en un edificio de apartamentos, donde 𝛿𝑉 es el flujo neto de los ingresos por alquiler. El

rendimiento total del edificio que debe ser igual a la tasa de mercado de riesgo ajustado que tiene dos

componentes –este flujo de ingresos más la tasa esperada de ganancias de capital. Por lo tanto,

cuanto mayor sea el flujo de ingresos relativo al rendimiento total del edificio, más se renuncia teniendo

una opción para invertir en el edificio en lugar de poseer el edificio en sí mismo.

Hemos tratado a 𝜎 y 𝛿 como parámetros independientes. Si en su lugar permitimos que 𝛿 se ajuste

cuante 𝜎 cambia, entonces cada unidad de incremento en 𝜎 requiere un incremento en 𝛿 de 𝜙𝜌𝑥𝑚

unidades, porque

𝛿 = 𝜇 − 𝛼 = 𝑟 + 𝜙𝜎𝜌𝑥𝑚 − 𝛼.

Ahora, podemos especificar los valores deseados para estos parámetros, y entonces combinar las

dos cálculos de arriba para obtener el efecto de los cambios en 𝜎 para este caso.

Si la tasa libre de riesgo 𝑟, se incrementa, 𝐹(𝑉) se incrementa y también lo hace 𝑉∗. La razón es que

el valor presente de un gasto de inversión 𝐼 realizado en el momento futuro 𝑇 es 𝐼𝑒−𝑟𝑇, pero el valor

presente del proyecto que uno recibe a cambio para ese gasto es 𝑉𝑒−𝛿𝑇. Por lo tanto, si 𝛿 es fija, un

incremento en 𝑟 reduce el valor presente del costo de inversión pero no reduce su pago. Sin embargo,

note que mientras un incremento de 𝑟 incrementa el valor de las opciones de inversión de una

empresa, también se reduce el número de opciones que son ejercidas. Por lo tanto, una tasa de interés

más alta reduce la inversión, pero por una diferente razón que en el modelo estándar. En el modelo

estándar, un incremento de la tasa de interés reduce la inversión porque incrementa el costo de capital;

en este modelo, incrementa el valor de la opción para invertir y por lo tanto incrementa el costo de

oportunidad de invertir ahora.

Una vez más, en este cálculo mantenemos 𝛿 fija cuando 𝑟 incrementa. Si en su lugar, mantenemos

fija a 𝛼, entonces 𝛿 se incrementa de uno en uno con 𝑟. Ahora un nivel más bajo de 𝑟 reduce 𝛽1 e

incrementa el nivel crítico de 𝑉∗. En este sentido, una tasa de interés más baja desalienta la inversión.

Esta es una manifestación pura de la idea de opción: una tasa de interés baja hace el futuro

relativamente más importante, por lo tanto, incrementa el costo de oportunidad de ejercer la opción

para invertir.

…… provee otra manera de ver como la regla de inversión óptima depende de los valores de los

parámetros. También, nos permite lanzar nuestros resultados en términos de la 𝑞 de Tobin. Aquí

usamos la definición del “valor de los activos in place” que ignora el costo de oportunidad de ejercer

la opción, (…). Entonces 𝑞∗ = 𝑉∗/𝐼 = 𝛽1/(𝛽1 − 1) es el valor crítico de esta 𝑞, es decir, el múltiplo

de 𝐼 requerido para invertir. La (…) muestra el contorno de la constante 𝑞∗ para diferentes valores de

la combinación de parámetros 2𝑟/𝜎2 y 2𝛿/𝜎2.

Hemos multiplicado a 𝑟 y 𝛿 por 2/𝜎2 porque como se puede verificar sustituyendo 𝛽1 = 𝑞∗/(𝑞∗ −

1) en (16), 𝑞∗ debe satisfacer

2𝑟

𝜎2= 𝑞∗ (

2𝛿

𝜎2) −

𝑞∗

𝑞∗ − 1.

(…), el múltiplo es grande cuando 𝛿 es pequeño o 𝑟 es grande.

Estos resultados de estática comparativa son los mismos que aquellos aplicados a las call financieras.

Nuestra opción para invertir es análoga a una call a perpetuidad sobre un stock que paga dividendos,

donde 𝑉 es el precio del stock, 𝛿 es la tasa de dividiendos proporcional, e 𝐼 es el precio de ejercicio

de la opción. El valor de la call sobre el stock y la regla de ejercicio óptima dependerá de los parámetros

𝜎, 𝛿 y 𝑟 como se muestra.

Repetimos que es importante ser cuidadoso cuando interpretamos resultados de estática comparativa,

porque los parámetros diferentes improbablemente sean independientes unos de otros. Por ejemplo,

un incremento en la tasa libre de riesgo, 𝑟, es probable que resulte en un incremento en la tasa

esperada de riesgo ajustada, 𝜇, que, si la tasa de ruido 𝛼 es constante implica un incremento en 𝛿.

Igualmente, un incremento en 𝜎 es probable que sea compensado por un incremento en 𝜇, que otra

vez implica un incremento en 𝛿 si 𝛼 is constante. Estas interdependencias deberían mantenerse en

mente como un cambio en el parámetro de conducción del mercado (tal como 𝑟) afectará el valor de

oportunidad de inversión y la regla óptima de inversión.

Otra cuestión que deberían mantener en mente cuando se realizan experimentos de estática

comparativa es que nuestro modelo asume que los parámetros 𝛼, 𝜎, etc., son números fijos. Si 𝛼 y 𝜎

están cambiando en el tiempo o respondiendo a cambios en el estado variable 𝑉 (determinística o

estocásticamente) y la empresa sabe esto, debería tomar esto en cuenta cuando determine la regla

de inversión óptima. Por ejemplo, puede ser que 𝛼 y 𝜎 en la ecuación (1) debería ser remplazada con

funciones 𝛼(𝑉, 𝑡) y 𝜎(𝑉, 𝑡). Esto complicaría el problema considerablemente. Si el tiempo afecta los

parámetros, el valor de la oportunidad de inversión será igualmente una función de 𝑉 y 𝑡, la ecuación

(23) se transforma en una ecuación diferencial parcial. Aun si 𝛼 y 𝜎 son funciones solo de 𝑉, como

con un proceso de reversión-media para 𝑉, la ecuación diferncial ordinaria para 𝐹(𝑉) se volverá más

complicada y típicamente necesitará solución numérica. Pronto se verá un ejemplo de esto.1

incluido

1