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SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-1
5. SISTEMAS DISCONTINUOS Y NO LINEALES
5.1. Empleo de elementos conmutantes en sistemas de control
5.1.1. Introducción
El empleo de conmutadores (relés, transistores, tiristores, etc.) como elementos de accionamiento
y amplificación en sistemas de control presenta frente a sus contrapartes lineales, las ventajas de
un menor costo, un mayor rendimiento y una menor complejidad en su implementación.
La Fig. 5.1. muestra el principio de funcionamiento de un relé electromecánico, indicándose en
la gráfica la tensión sobre la carga como función de la tensión de la bobina de control. Se
observa que por medio de la apertura o cierre de su contacto el relé gobierna una potencia 2
0 0 / LP V R .
Fig. 5.1. Relé electromecánico.
Las tensiones de cierre (v11) y apertura (v12) del relé son diferentes entre sí, debido a la
dependencia de la fuerza de atracción magnética con respecto de la posición del contacto, como
asimismo por la existencia de fricción y juego entre los elementos mecánicos.
La potencia de accionamiento p1 = i1v11 define junto con P0 la amplificación de potencia, que
normalmente se encuentra en las cercanías de 103, del relé concebido como amplificador
electromecánico.
Se observa que el concepto de ganancia o amplificación diferencial 2
1
dvK
dv comúnmente
aplicado a elementos lineales, carece en este caso de significado. En consecuencia no serán
aplicables los métodos de la teoría de control lineal. Para sistemas no lineales no se posee una
teoría cerrada de aplicación general –como ocurre para los sistemas lineales–, sino que cada caso
deberá ser tratado (en mayor o menor medida) en forma aislada e individual. Sin embargo, son
tantas las ventajas derivadas del empleo de elementos no lineales en sistemas de control, que
resultan aceptables las mayores dificultades analíticas requeridas para su tratamiento.
La Fig. 5.2 muestra las características de corriente de colector de un transistor y permite
comparar su rendimiento operando como elemento de conmutación con el rendimiento obtenible
del mismo operando como amplificador lineal (50% como máximo en régimen senoidal).
La transición desde la condición de corte a la de saturación ha de ser lo suficientemente rápida a
fin de evitar el sobrecalentamiento del transistor.
v12 v11
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-2
Fig. 5.2. Transistor en conmutación.
La sustitución del transistor por tiristores o IGBTs permite llevar la potencia conmutada al orden
de los kilovatios y aún de los megavatios, de modo que también grandes motores, hornos de
inducción, etc., pueden ser operados mediante conmutaciones periódicas de la fuente primaria de
energía.
El principio de la conmutación puede ser realizado empleando componentes mecánicos e
hidráulicos (embragues, válvulas, etc.) con las consiguientes ventajas frente a sus contrapartes
lineales. Una ventaja adicional de los elementos de conmutación es que son fácilmente
combinables con sensores. Tal es el caso por ejemplo, de los elementos bimetálicos empleados
en controladores térmicos, o la inclusión de contactos conmutadores en instrumentos de
medición.
5.1.2. Linealización por accionamiento periódico – Ejemplos de aplicación.
Si se desea linealizar un actuador discontinuo, puede resultar interesante la idea de accionarlo en
forma periódica de manera tal de posibilitar una variación continua del valor medio de su señal
de salida:
2 2 2
1( )
t T
tv V v d
T
(5.1)
La Fig. 5.3 muestra una posible realización, en la que el contacto K es conmutado a la frecuencia
f = 1/T entre las tensiones V01 y V02:
Fig. 5.3. Conmutación modulada por ancho de pulso.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-3
Haciendo T = t1 + t2 resulta para el valor medio de la tensión de salida suponiendo un
conmutador ideal (es decir con tiempo de conmutación nulo):
1 2 12 2 01 02 02 01 02
t t tv V V V V V V
T T T (5.2)
obteniéndose así una relación lineal de 2v con el ciclo de trabajo t1/T.
Fig. 5.4. Valor medio vs. ciclo de trabajo.
La conversión de una señal continua de comando y1(t) en el ciclo de trabajo variable t1/T, es
realizada mediante un generador de pulsos, también llamado modulador de ancho de pulso (en
inglés las siglas son PWM pulse width modulator), del que la Fig. 5.5 muestra el principio
cualitativo de funcionamiento como asimismo una posible realización práctica.
Fig. 5.5. Modulador de ancho de pulso.
La señal de salida periódica del actuador (v2:=y2) contiene además del valor medio controlado 2v
fuertes componentes armónicas, dependientes del ciclo de trabajo (t1/T) y con frecuencias
correspondientes a 1/T y sus múltiplos. Al objeto de que estas armónicas originadas por el
actuador no aparezcan amplificadas en la variable de salida del sistema controlado, la planta ha
de poseer una respuesta en frecuencia de tipo pasa bajos; de esta manera solamente la
componente media de la señal de actuación tendrá efectos sobre la variable controlada.
Para precisar el precedente concepto vamos a considerar una planta proporcional (tipo 0)
accionada por un conmutador PWM, como se indica en la Figura 5.6.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-4
Fig. 5.6. Planta excitada por un modulador de ancho de pulso (PWM).
Si la señal u(t) se desarrolla en serie de Fourier, se obtiene la expresión:
10 0 0
2 1( ) sin cos 2
n
c c tu t A n n
T n T T
(5.3)
Teniendo en cuenta que 0 02 T es la frecuencia angular de la señal de conmutación,
observamos en (5.3) que u(t) posee en general armónicas pares e impares, por lo que deberá ser
convenientemente elegida con respecto de la respuesta en frecuencia de la planta (Fig. 5.7).
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Ma
gn
itu
de
(d
B)
100
101
-360
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Ph
ase
(d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Fig. 5.7. Respuesta en frecuencia de la planta.
Para la planta ejemplificada en la figura precedente, la frecuencia de conmutación deberá
elegirse a la derecha de la línea de trazos, para asegurar una buena atenuación de la componente
fundamental y de sus armónicas.
El amortiguamiento de las componentes armónicas será suficiente si se cumple la siguiente
relación empírica entre la constante de tiempo dominante Td de la planta y el período de
conmutación T:
5dT
T (5.4)
dependiendo en cada caso el valor exacto, de la naturaleza de la planta controlada. Para
actuadores eléctricos (semiconductores) que operan a frecuencias de conmutación de 50 Hz o
superiores, el requerimiento Td / T 5 puede satisfacerse sin dificultades; distinto es el caso para
los conmutadores electromecánicos que, por razones de desgaste, admiten frecuencias de
operación mucho menores.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-5
Bajo la premisa de una frecuencia de conmutación suficientemente elevada, el modulador y
actuador conmutado pueden considerarse reducidos a un elemento proporcional y cuasi-
continuo, tal como se indica en la Fig. 5.6.
Fig. 5.8. Linealización.
La función de transferencia 31
1
( )( )
( )P
Y sK F s
Y s ,
es válida solamente en el dominio de baja frecuencia, debiendo siempre ser tenidas en cuenta las
componentes alternas presentes en la señal y2(t).
En conmutadores de alta potencia (rectificadores controlados), las tensiones V01 y V02 son
tensiones alternas, resultando la tensión de salida v2(t) compuesta por tramos de tensión de línea
desplazados entre sí. La figura siguiente muestra el caso más simple, dado por un puente de
rectificadores alimentando el circuito de inducido de un motor de corriente continua. Aquí vale
v01 = –v02 = vl (tensión de línea), siendo conmutados una vez por semiperíodo en forma
simultánea dos rectificadores del puente diagonalmente opuestos.
El valor medio de la tensión de salida depende del ángulo de encendido , a través de la
expresión
2
2ˆ cos( )lv v
. (5.5)
Ya que el controlador de encendido de los tiristores opera en sincronismo con la red, suele ser
denominado modulador de fase de pulsos. Los rectificadores normalmente empleados en la
Y1(s) Y2(s) Y3(s)
K FP(s)
Fig. 5.9. Motor de CC alimentado por puente de tiristores.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-6
industria son circuitos polifásicos: sin embargo este hecho no modifica sustancialmente su
forma de operación.
La modulación de ancho de pulsos es una solución comúnmente utilizada en electrónica de
potencia, en particular para el control de motores eléctricos. En lo que sigue se presentarán
algunos ejemplos de aplicación.
Fig. 5.10. Llave H para control de un motor de CC. Tomado de SILICON Labs.
En la Figura 5.10 se muestra una aplicación del microcontrolador C8051F300 (de SILICON
Labs) que controla una llave H donde los MOSFET Q1 y Q2 (canal N) están modulados PWM
(comando de velocidad), mientras que Q3 y Q4 (canal P) están conmutados on-off y definen el
sentido de giro.
Fig. 5.11. Motor brushless con estator trifásico controlado mediante PIC de Microchip.
Tomado de nota aplicativa AN885.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-7
Los avance tecnológicos registrados en la producción de materiales magnéticos con alto
producto de energía y elevada temperatura de Curie, asegura la disponibilidad de imanes
permanentes de Neodimio-Hierro-Boro y Samario-Cobalto también llamados “imanes de tierras
raras”, que posibilitan la realización de motores brushless (sin escobillas), con rotor de imán
permanente y estator conmutado electrónicamente.
La Figura 5.11 muestra un motor brushless comandado por un microcontrolador PIC18FXX31
que produce la modulación PWM para control de velocidad. Los sensores Hall son utilizados
para generar el sincronismo de conmutación y también como sensor elemental de velocidad,
usando un timer para contar pulsos entre dos transiciones sucesivas de los sensores. El sentido de
rotación es gobernado por la secuencia de fases.
5.1.3. Lazos de control con elementos conmutantes
Dependiendo de la disposición de los controladores conmutantes se pueden diferenciar cuatro
tipologías básicas.
1) Conmutador con realimentación simple. El controlador conmutante acciona directamente
sobre la planta G(s) sin ninguna compensación dinámica. En la Figura 5.12 se muestra como
ejemplo un conmutador triestable con histéresis utilizado como controlador.
Fig. 5.12. Conmutador con realimentación simple.
La frecuencia de conmutación del controlador depende de la dinámica de la planta. La amplitud
de oscilación de la variable controlada y depende de los límites de conmutación y de la planta.
Utilizable con plantas de primer orden.
2) Controlador lineal y PWM. En este caso el elemento conmutante es un modulador de ancho
de pulso. La frecuencia de conmutación y la modulación PWM pueden ser producidas por un
microcontrolador, en el que se puede además incorporar el algoritmo de control lineal. Eligiendo
adecuadamente la frecuencia de conmutación, el diseño puede llevarse a cabo mediante técnicas
de control continuo.
Fig. 5.13. Controlador lineal y modulador de ancho de pulso.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-8
3) Conmutador realimentado. En esta variante el controlador conmutante es realimentado a
través de una función de transferencia GR(s) con carácter pasabajos o del tipo DTn (derivador
con mútiples constantes de tiempo).
Fig. 5.14. Conmutador con realimentación dinámica.
Desde el punto de vista del valor medio de las variables de entrada y de salida, el dispositivo no
lineal se puede representar como un elemento lineal de ganancia muy elevada,
Fig. 5.15. Función de transferencia equivalente.
con lo que se obtiene
( ) 1
( ) 1 ( ) ( )
A
R R
U s A
E s AG s G s
(5.6)
De esta manera GR(s) puede dimensionarse como un controlador continuo, adaptándolo a la
dinámica de la planta G(s). Nótese que en este caso la frecuencia media de conmutación queda
definida por la realimentación del controlador, por lo que no resulta independiente con respecto
del dimensionamiento del mismo.
4) Conmutador con doble realimentación. Esta última variante está dirigida a establecer la
frecuencia de conmutación de manera independiente. Véase Figura 5.16.
El controlador conmutante, al igual en el caso anterior recibe una realimentación negativa a
través de una función de transferencia para producir la dinámica de control adecuada, mientras
que además una realimentación positiva con una respuesta en frecuencia oportunamente elegida
para producir frecuencias de oscilación elevadas con respecto de las constantes de tiempo
dominantes de la planta.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-9
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Ma
gn
itu
de
(d
B)
100
101
-360
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Ph
ase
(d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Fig. 5.16. Conmutador con doble realimentación y diagrama de respuesta en frecuencia de la planta.
Todas las tipologías descriptas en el presente apartado, se encuentran ampliamente difundidas en
controles industriales, no solamente analógicos sino también digitales, ya que las
realimentaciones descriptas se pueden implementar de manera inmediata utilizando
microcontroladores programables.
5.1.4. Ejemplo de Análisis: controlador de dos estados y planta de primer orden con tiempo muerto
En este punto ejemplificaremos el análisis en el dominio del tiempo de una planta elemental
directamente accionada por un controlador biestable asimétrico.
Fig. 5.17. Lazo de control conmutante elemental
A
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-10
Ante la aplicación de una excitación en escalón w(t) = w0(t) y asumiendo que vale y(t) = 0 para
t < 0, aparece un error e(t) = w0 – y(t) .
La condición de conmutación para el biestable vale
1 para 0
0 para 0R
e tu t
e t
(5.7)
El andar cualitativo de las señales w(t), y(t), e(t) y de la variable de actuación u(t) = uR(t) en
función del tiempo se muestran en la Figura 5.18.
Fig. 5.18. Evolución temporal de las variables.
El comportamiento periódico que el lazo de control exhibe a partir del instante t = t1 se conoce
como ciclo de trabajo y constituye una oscilación de ciclo límite típica de sistemas de control no
lineales.
El tiempo muerto (tiempo de tránsito o retardo de transporte) Tt de la planta provoca un retardo
en la conmutación del elemento biestable, y cuando Tt 0 la frecuencia tiende a infinito y la
amplitud del ciclo de trabajo disminuye.
A continuación se analizan a continuación los parámetros característicos del ciclo de trabajo (ver
Figura 5.19).
ciclo de trabajo;
el tiempo muerto Tt
afecta la frecuencia
error actuante
salida del controlador
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-11
Fig. 5.19. Análisis del ciclo de trabajo.
El ciclo de trabajo periódico puede ser descompuesto en segmentos de funciones temporales
crecientes (I, III, …) y decrecientes (II, IV, …). Para el segmento I calculado a partir de t = t1 = 0
se tiene:
0 0 0( ) 1 t T t T
I S S Sy t w K w e K w K e (5.8)
transcurrido el tiempo muerto Tt se alcanza el punto de inversión de sentido con el valor:
1 0( ) tT T
I t S Sy y T K w K e
(5.9)
Para el segmento II se obtiene, desplazando el origen de tiempos a t*
= t2
** *
0 2 0( ) que para vale: ( ) tT Tt T
II t II ty t w e t T y y T w e (5.10)
Si se toma un nuevo origen de tiempos: t**
= t – Tt se tendrá, para el mismo segmento II
****
1( ) t T
IIy t y e (5.11)
y para t**
= T1 se alcanza el punto de quiebre
1
2 1 1( )T T
IIy y T y e
(5.12)
De (5.9), (5.10) y (5.12) se obtiene con facilidad:
1
0 0t tT T T T T T
S Sw e K w K e e (5.13)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-12
de donde resulta fácil deducir 0
1
0
lnt
t
T T
S S
T T
K w K eT T
w e
(5.14)
Procediendo de una manera totalmente análoga sobre el segmento III se puede calcular:
02
0
lnt
t
T T
S
T T
S
w e KT T
w K e
(5.15)
Con lo que el período T0 del ciclo de trabajo resulta ser
2
0 0
0 1 2
0 0 0
11ln
t tT T T T
S S
S
K e e w w KT T T T
f w w K
(5.16)
En la Figura 5.20 se representa la frecuencia de operación normalizada f0T en función de la
amplitud de la señal de entrada, normalizada respecto de la ganancia de la planta w0/KS ,
llevando como parámetro la relación entre el tiempo muerto y la constante de tiempo de planta
Tt / T.
0 2
0 0
0 0
0 0
1 1
1ln 1
ln 1
1
t t
t t
T T T T
S ST T T T
S
S S
f TK e e w w K
e ew w K
w w
K K
(5.17)
0 0.25 0.5 0.75 10
0.5
1
1.5
w0/K
S
f 0 T
Tt / T=0.2
Tt / T=0.4
Tt / T=1
Tt / T=1.5
Fig. 5.20. Frecuencia normalizada del ciclo de trabajo.
Como resulta evidente en la figura precedente, la máxima frecuencia de operación se da en el
centro del dominio de trabajo w0 [0, KS] . Por otra parte es evidente que la variación relativa
de la frecuencia disminuye a medida que aumenta la importancia del tiempo muerto Tt frente a la
constante de tiempo T de la planta.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-13
Con referencia a la Fig. 5.18 y teniendo en cuenta los resultados precedentes, se determina que
la amplitud de oscilación del ciclo de trabajo depende únicamente de la ganancia estática KS de
la planta y de la relación Tt / T, siendo independiente de la amplitud de la señal de entrada.
0 1 2
11
2tT T
Sy y y K e
(5.18)
Por su parte, el error actuante promedio depende –como era de esperarse– también del valor del
setpoint w0 :
1 2 0 0
1 11
2 2tT T
Se y y w K w e
. (5.19)
Finalmente, se debe insistir una vez más que el dominio de trabajo se extiende para amplitudes
de la señal de entrada inferiores a KS, es decir 0 w0 KS.
5.1.5. Presentación de un conmutador con doble realimentación
Pasaremos a analizar a continuación el funcionamiento de un circuito empleado muy
frecuentemente y que constituye un modulador de ancho de pulso, aplicable a configuraciones
como la precedentemente presentada en la Figura 5.16.
Fig. 5.21. Características del modulador y formas de onda de corriente de entrada y tensión de salida.
1
m
m m
sC
sC R
200
10
V
IR i1 +
i0 v2
+
im
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-14
Un amplificador en contrafase, cuya característica corriente de entrada vs. tensión de salida
(v2,i0) se muestra en la Fig. 5.21, es realimentado positivamente a través de la red Rm, Cm. Como
se puede deducir del diagrama de bloques adjunto, el circuito es inestable si se cumple que
0 1m
m
RK
R (5.20)
en cuyo caso, se generan oscilaciones cuyo período T se puede calcular partiendo de la forma de
onda de la corriente de entrada al amplificador. Si Tm = Cm Rm es la constante de tiempo del
circuito de realimentación, y recordando que i1 es la corriente de comando que genera la tensión
de entrada se tiene:
1
2
/201 10
/20 11 10
(0)
( )
m
m
t TC
m
t TC
m
V vi e I
R
V v ti e I
R
(5.21)
Resulta importante resaltar que las expresiones (5.21) corresponden al funcionamiento del
amplificador en estado saturado. Cuando la corriente de entrada i0 = i1 + im toma valores dentro
del intervalo [–I0 , +I0] el amplificador opera en su zona lineal, pero como en ella el funcio-
namiento es inestable, la tensión de salida invierte su signo en forma casi instantánea,
alcanzando el valor de saturación de signo opuesto.
El valor intermedio de la tensión sobre el condensador es:
1 1/ /
1 20( ) (0) 1 ;m mt T t T
C Cv t v e e V
(5.22)
además, debido a la periodicidad del proceso resulta
2 2/ /
1 2 1 20( ) ( ) (0) ( ) 1 .m mt T t T
C C C Cv T v t t v v t e e V
(5.23)
Operando sobre las expresiones (5.21) a (5.23) y luego de algunos cálculos se obtiene la
expresión del valor medio de la salida
1 22 20
1 2
t tV V
t t
(5.24)
siendo
1 10 1 10
1 10 1 101 2 1 2
1 2
2
1 10
(2 / 1)(1 / )ln
(2 / 1)(1 / )
4 ( 1)ln 1
1 ( / )
m
m
m m
K i I i I
K i I i It t t t
t t T K K
i I
(5.25)
La frecuencia de oscilación vale:
2
1 10
1 1 1
4 ( 1)ln 1
1 ( / )
m m m
fT T K K
i I
(5.26)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-15
Los gráficos correspondientes a las funciones (5.25) y (5.26) llevando Km como parámetro, se
muestran en la Fig. 5.22.
Para i1 = 0 se origina una forma de onda de tensión v2 aproximadamente rectangular y
simétrica (t1/T = 0.5) de frecuencia máxima f0=1/{Tmln[1+4K(K–1)]}. Para i1 = I10
desaparece la oscilación pues el amplificador permanece saturado en uno u otro sentido.
El amplificador realimentado resulta así un modulador de ancho de pulso de frecuencia variable;
como la red de realimentación Rm, Cm no conduce componente continua alguna, el amplificador
puede ser empleado para generar la función de transferencia del controlador que se desee,
implementando una oportuna realimentación negativa, materializando el esquema de la Fig. 5.16.
La figura 5.23 muestra una aplicación de lo que se acaba de exponer, donde el modulador excita
dos transistores de potencia que cierran el circuito de alimentación del campo a doble bobinado
de una excitatriz (generador) de corriente continua.
Fig. 5.23. Control de una excitatriz de CC.
[GR(s)]
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
i1
/ I10
Km
=1.3
2
Km
=5
(t1-t
2) / T
Fig. 5.22. Valor medio y frecuencia normalizados para el modulador de la Fig. 5.21.
-1 -0.5 0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
i1
/ I10
Km
=2
Km
=5
Km
=1.3f T
m
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-16
La fuerza magnetomotriz media en el generador,
1 21 2e e
e
E t tF N i i N
R T
(5.27)
resulta una transformación lineal de la característica 1 21 10 vs
t ti I
T
de la Fig. 5.22. Las
bobinas de choque L1 y L2 desacoplan los bobinados de campo filtrando al mismo tiempo las
corrientes; los diodos D1 y D2 impiden la aparición de picos de sobretensión sobre los
transistores durante la conmutación de los mismos.
La red de realimentación negativa GR(s) conduce a una función de transferencia tipo PID para
el controlador. La constante de tiempo R1C1 ha de ser lo suficientemente elevada para evitar
que la realimentación negativa perturbe la frecuencia de oscilación del modulador.
La siguiente figura, muestra la respuesta al escalón de un controlador PID con amplificador de
potencia modulado por ancho de pulso. La frecuencia de conmutación de los transistores de
potencia se encuentra normalmente en el orden del centenar de Hertz.
Fig. 5.24. Respuesta al escalón de un PID conmutado.
5.2. Controladores biestables.
Para un conjunto de componentes conmutados, tales como interruptores, motores de
posicionamiento, quemadores de fuel-oil, etc., no se puede cumplir con el requisito de operar a
una frecuencia de conmutación elevada respecto del retardo dominante de la planta, ya que el
desgaste, las pérdidas de conmutación y las solicitaciones a las que se somete la planta pueden
alcanzar magnitudes inacepables, pues dichos valores se incrementan con la frecuencia de
operación.
El requerimiento de una frecuencia de conmutación adaptada a las necesidades del sistema
puede ser cumplido haciendo que la planta misma sea la que determine dicha frecuencia. El
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-17
resultado de la aplicación de esta idea es la aplicación de controladores biestables con
realimentación simple (recordar Fig. 5.12). Como ahora la frecuencia de conmutación es baja,
no es posible emplear los conceptos de linealización del valor medio, por lo que el tratamiento
matemático del problema se ve inevitablemente complicado. Sin embargo las principales
propiedades de un sistema de control de este tipo, pueden ser deducidas a partir del análisis de un
sistema idealizado.
5.2.1. Ejemplo de análisis.
La Fig. 5.25 muestra un sistema de control, cuyo compensador y actuador están constituidos por
un conmutador de dos estados con histéresis y cuya planta se considera aproximada por una
función de transferencia de tipo proporcional con tiempo muerto y retardo de primer orden,
( )1
mT s
e
eG s K
T s
que como sabemos es una buena aproximación a muchas funciones de
transferencia de procesos. Supondremos constante la perturbación z(t).
Fig. 5.25. Lazo con controlador biestable.
El sistema es controlable para valores de la variable comando x1 pertenecientes al dominio
02 1 01K y z x K y z ; (5.28)
para valores de x1 fuera de estos límites, el sistema permanece saturado en uno u otro sentido, es
decir
2 2max 01 2 2min 02 o bien x x K y z x x K y z . (5.29)
Para x1 , z1 constantes la variable de salida describe una oscilación periódica, cuyos parámetros
son calculables en base a la Fig. 5.26.
1
2
1 2 min 01 2 min
2 max 1 01 1
1 2 max 02 2 max
2 min 1 02 1
1
1
1
1
m
e
m
e
m
e
m
e
t T
T
T
T
t T
T
T
T
x x K y z x e
x x K y z x e
x x K y z x e
x x K y z x e
(5.30)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-18
Fig. 5.26. Oscilación de las variables.
Supondremos en lo que sigue que 01 02; y que m eK y K y T T por lo que las
funciones exponenciales pueden ser reemplazadas por sus aproximaciones de primer orden
1
m
e
T
T m
e
Te
T
(5.31)
Luego el valor medio de la variable controlada es
01 022 2 max 2 min 1
11
2 2
m m m
e e e
T T y y Tx x x x K z
T T T
; (5.32)
el error medio actuante resulta
01 021 2 1
2
m
e
T y yx x x K z
T
(5.33)
anulándose para
01 0210
2
y yx K z
; (5.34)
para este valor x1 = x10, es t1 = t2 y x2(t) describe una oscilación simétrica.
La ganancia efectiva de lazo cerrado, definida como
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-19
2
1
1 1m
e
x T
x T
(5.35)
indica que el controlador biestable posee un efecto proporcional. Poniendo en forma equivalente
a un sistema lineal
2
1 1
A
A
x K
x K
(5.36)
resulta la ganancia de lazo abierto para el control biestable
1eA
m
TK
T , (5.37)
luego el sistema trabaja con tanta mayor precisión cuanto menor pueda hacerse la relación Tm/Te.
Ésta es sin embargo una propiedad de la planta y no del controlador. El ancho 2 de la
histéresis del controlador no aparece en el precedente análisis simplificado.
Se deduce para la amplitud de oscilación de x2(t)
01 022 2 max 2 min
11
2 2
m m
e e
T T
T Ty yx x x e K e
(5.38)
o bien, para m eT T
01 022 1
2
m m
e e
T y y Tx K
T T
(5.39)
x2 resulta independiente del punto de operación (x1) y de la perturbación (z). Los principales
parámetros que la influencian son la amplitud de la histéresis y la capacidad de actuación
K(y01–y02).
Si x2 es la variable de salida del sistema (o variable controlada final), x2 deberá ser lo más
pequeña posible. Si en cambio x2 es una variable intermedia, es tolerable una mayor amplitud
de oscilación, ya que la misma será atenuada por los siguientes componentes de la planta, en el
supuesto que éstos posean característica pasabajos de respuesta en frecuencia.
Reemplazando las exponenciales por sus aproximaciones y suponiendo nula la perturbación
(z=0), se obtienen las pendientes “medias”
2 01 11
2 02 12
0 en el intervalo
0 en el intervalo
e
e
dx Ky xt
dt T
dx Ky xt
dt T
(5.40)
en base a lo cual se deducen las formulaciones aproximadas de los tiempos de conmutación
2 21 2
01 1 1 02
2 2 y e e
x xt T t T
Ky x x Ky
, (5.41)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-20
siendo la frecuencia de operación
01 1 1 02
1 2 2 01 02
1 1 1
2e
Ky x x Kyf
T t t T x K y y
. (5.42)
La frecuencia se anula cuando uno de los factores del numerador de (5.42) desaparece, es decir
al producirse la saturación del controlador. La frecuencia es máxima para f /x1 = 0, lo que se
verifica para x1=K(y01+y02)/2, es decir en el centro del dominio de control.
Dicho máximo vale:
01 02
1
84
o
e m
m
fT T
TK y y
. (5.43)
Fig. 5.27. Variación de la frecuencia de oscilación.
Como puede observarse, el comportamiento dinámico de los lazos de control biestables es, en
principio, fácil de calcular. Debido a la no-linealidad no es posible concebir una respuesta
normalizada “al escalón unitario” tal como se acostumbra al tratar con sistemas lineales. La Fig.
5.27 muestra la respuesta transitoria de x2 ante diferentes variaciones en escalón de la variable
de referencia x1. Como la variable manipulada posee solamente dos estados posibles, x2 sigue la
misma función exponencial, hasta alcanzar un nuevo valor medio y reiniciarse el ciclo de
conmutaciones periódicas.
El reducido tiempo de respuesta es una característica particular de los controladores biestables ya
que, contrariamente a lo que ocurre en los sistemas lineales, la variable manipulada aparece
aplicada con su máximo valor aún para pequeñas perturbaciones o para pequeños cambios en el
punto de ajuste.
Interesa ahora responder a la pregunta de si en todos los casos –es decir para cualquier planta
controlada– los sistemas biestables se comportan como en el ejemplo precedente o si, como de
costumbre, pueden aparecer problemas de estabilidad. Con las herramientas de que disponemos
hasta el momento no podemos dar una respuesta general a la pregunta y aplazaremos la respuesta
hasta el tratamiento de las funciones descriptivas de elementos no lineales. Aquí solamente
mencionaremos que pueden aparecer los siguientes casos críticos:
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-21
a) Tras un transitorio más o menos amortiguado se establece una oscilación del tipo
descripto en la variable de salida, pero con una amplitud inadmisiblemente elevada;
b) Aparece una oscilación inestable, cuya amplitud tiende a crecer fuera todo límite.
En ambos casos el sistema de control deja de cumplir su finalidad y no puede ser utilizado. Sin
embargo, puede ser demostrado que para plantas con respuesta estacionaria proporcional y
función de transferencia con cualquier número de elementos de retardo, no puede darse el caso
b), aunque no puede excluirse que aparezca el caso a). Tanto es así que constituye el caso
normal, razón por la cual veremos a continuación algunos métodos para arribar a sistemas de
control prácticamente utilizables.
5.2.2. Aplicaciones.
Cuando la oscilación estacionaria a la salida de la planta resulta de amplitud elevada y no puede
reducirse la capacidad de actuación K(y01–y02), deberá aumentarse la frecuencia de conmutación
dentro de las posibilidades del actuador. Un método eficaz para ello, es el de realizar un control
en cascada, realimentando para la generación de las oscilaciones, una variable intermedia de la
planta tal como se muestra en la Fig. 5.28.
Fig. 5.28. Controlador biestable en cascada.
Como la frecuencia de conmutación es originada tan sólo por una parte de los retardos de la
planta, su magnitud es más elevada que en el caso de realimentar la variable de salida x21.
Además las oscilaciones de x22 son filtradas en amplitud por los retardos contenidos en FS1
(característica pasabajos), de modo que la amplitud de las oscilaciones presentes en x21 se ve
considerablemente reducida.
El diseño del controlador FC1 se ve grandemente simplificado si se considera el lazo de control
interior reemplazado por un elemento de primer orden con ganancia unitaria y una constante de
tiempo equivalente.
La estructura mostrada en la figura precedente es perfectamente aplicable en una sistema de
climatización (calefacción) en el que la caldera reciba energía térmica de un quemador de
combustible operando en la modalidad de todo-nada (encendido o apagado). En este caso x22
estaría representando la temperatura del agua de la caldera, mientras que x21 es la temperatura del
ambiente a calefaccionar.
En el ejemplo desarrollado se observa la presencia de un transductor adicional necesario para la
medición y realimentación de la variable intermedia x22. Esto trae desde luego aparejadas
mayores dificultades en la instalación y puesta a punto del sistema de control. Es por ello que,
en muchos casos se prefiere el sistema de la Fig. 5.29 (denominado controlador biestable con
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-22
realimentación) que no requiere transductor adicional. El elemento de retardo (Fy) representa un
circuito de ganancia (Ky) y constante de tiempo (Ty) ajustables, incluido en el mismo controlador.
Fig. 5.29. Biestable realimentado.
El controlador biestable con realimentación puede considerarse como un caso especial (Tm=0)
del sistema de la Fig. 5.14 y tiene la propiedad de operar como modulador proporcional de ancho
de pulso. Para x3=cte, en condiciones de régimen vale:
1
2
4 max 3 3 01 3
4 min 3 3 02 3
1
1
y
y
t
T
y
t
T
y
x x x K y x e
x x x K y x e
(5.44)
con lo que se obtienen los tiempos de conmutación
01 3 02 31 2
01 3 02 3
ln ; lny y
y y y y
K y x K y xt t
T K y x T K y x
. (5.45)
Para simetría de la variable manipulada es y02 = –y01 y vale
01 32
01 3
lny
y y
K y xt
T K y x
. (5.46)
El valor medio de la variable manipulada es entonces
01 3 01 3
01 3 01 31 201 01
1 2 01 3 01 3
01 3 01 3
ln
ln
y y
y y
y y
y y
K y x K y x
K y x K y xt ty y y
t t K y x K y x
K y x K y x
(5.47)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-23
obteniéndose para la frecuencia de conmutación,
1 2 01 3 01 3
01 3 01 3
1 1 1
lny y y
y y
ft t T K y x K y x
K y x K y x
. (5.48)
La frecuencia máxima se encuentra asimismo aquí en el centro del intervalo de controlabilidad
[(+Kyy01)], lo que corresponde para x3 = 0 y vale
001
01
1
2 lny
y
y
fK y
TK y
. (5.49)
Fig. 5.30. Valor medio y frecuencia para el controlador biestable realimentado.
La ganancia media del controlador biestable puede obtenerse de la curva de y :
01
3 01
01
1m
ymedy
y yK
x K yK
y
; (5.50)
para 01
1 resulta y m
y
K y KK
lo que corresponde a la ganancia de un amplificador ideal realimentado.
El comportamiento dinámico del controlador biestable realimentado puede juzgarse en base al
andar de la variable realimentada x4. Tras una variación de x3 en forma de escalón, siguen la
variable realimentada x4 y la variable manipulada y, el andar esquematizado en la Fig. 5.31. En
la transición de un ciclo estacionario de conmutación a otro aparece un pulso más ancho, cuya
duración depende de forma no lineal de x3, lo que conduce a caracterizar al controlador biestable
con realimentación de primer orden, como un compensador PD no lineal.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-24
Fig. 5.31. Variación del ancho de pulso para un escalón de x3 .
Este tipo de comportamiento no resulta sorprendente, pues de la misma forma como se definió la
ganancia estática media Km del controlador biestable realimentado, podríamos, en forma
aproximada, definir su característica dinámica como
11
( )( )
y
y y
T sF s
F s K
(5.51)
que corresponde a un elemento ideal proporcional más derivador. Siguiendo esta línea de
pensamiento, podemos llegar a la realización de un controlador PID no lineal, utilizando en la
realimentación una función de transferencia de la forma
( )1 1
Iy
I a
T sF s
T s T s
(5.52)
que es fácilmente implementable mediante elementos pasivos. Nótese finalmente que el análisis
realizado brinda una justificación formal de las consideraciones cualitativas realizadas al tratar el
conmutador con realimentación dinámica (recordar Fig. 5.14).
5.3. Conmutador triestable e integrador.
Para muchas aplicaciones, la operación periódica de un controlador biestable resulta inadmisible
o indeseable, aún para frecuencias de conmutación reducidas. Algunas razones ya han sido
mencionadas: desgaste y pérdidas de conmutación, especialmente en actuadores mecánicos.
Para muchas plantas controladas resulta inaceptable, por razones operativas y sobre todo de
seguridad, una variación abrupta de la variable manipulada (variable de control) desde su valor
mínimo a su valor máximo. Frecuentemente y en especial en procesos químicos, las variables
manipuladas deben variar suavemente o por pequeños incrementos, ya sea para no perturbar el
proceso o para no producir solicitaciones exageradas sobre la planta.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-25
Fig. 5.32. Conmutador, integrador y planta controlada.
Se puede evitar la conmutación periódica en estado de régimen, si la salida del actuador
conmutante puede tomar, además de los valores extremos positivo y negativo, también el valor
cero y está conectada con un integrador, tal como se muestra en la Fig. 5.32. Si la señal de error
x3 se encuentra entre los umbrales de actuación es y1 = 0 y por lo tanto y2 = constante.
Para x3 > la variable manipulada y2 crece y para x3 < decrece, con la velocidad constante
2 10
i
dy y
dt T donde Ti es el tiempo necesario para provocar una variación de y2 tal que 2 10y y
(tiempo de repetición del integrador). El andar de y2(t) tiene la forma de una poligonal de tres
pendientes distintas; si en sustitución del conmutador se empleara un compensador lineal
continuo, y2 tomaría la forma de una curva suave y continua en su derivada primera.
En el caso de que la planta no posea de por sí un factor integrante, deberá intercalarse un
integrador entre el conmutador y la planta. Frecuentemente resulta normal que en todas las
plantas cuya variable manipulada sea de naturaleza mecánica, exista un motor que actúa sobre
una válvula, una compuerta, un órgano de mezcla o sobre la toma variable de un transformador
regulable, por ejemplo. Constatamos que se trata normalmente de plantas que reaccionan en
forma comparativamente lenta y que no requieren o no admiten rápidas variaciones de la
variable manipulada.
5.3.1. Linealización por actuación periódica.
Al igual que los biestables, los conmutadores triestables pueden ser linealizados por actuación
periódica y modulación de ancho de pulsos. La actuación se realiza de tal manera que la variable
y1 conmute entre dos estados sucesivos o permanezca en el valor cero.
PLANTA
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-26
Fig. 5.33. Variable conmutada y1 y variable manipulada y2.
Si la frecuencia de conmutación es suficientemente elevada y2(t) describe aproximadamente una
curva continua y suave con la pendiente media
2 1 10 10 10 2 2 100 o bien 0i i i i
dy t y y y dy t y
dt T T T T dt T T . (5.53)
Se observa que el conmutador triestable presenta las ventajas, respecto del biestable, que por lo
menos en estado de régimen, no hay conmutación, y que la variable manipulada y2 varía en
forma continua. La velocidad de respuesta es limitada, como ocurre con todos los
compensadores de tipo integrador y la utilización de un controlador triestable más integrador
estará justificada en aquellos casos en que la planta no se encuentre sometida a perturbaciones de
gran amplitud o de efecto muy rápido sobre la variable controlada.
Fig. 5.34. Triestable con histéresis y realimentación.
La actuación periódica puede ser lograda realimentando un conmutador triestable, al que se ha
agregado un pequeño grado de histéresis, a través de una función de transferencia del tipo
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-27
( )1
y
y
y
KF s
sT
(5.54)
que es fácilmente realizable con elementos pasivos. Como en estado de régimen es y1 0, la
precisión del sistema de control no es afectada por la presencia de la realimentación Fy(s).
Cuando la variable x3 supera uno de los umbrales x3>2, y1 oscilará entre 0 e y10 o bien entre
0 y –y10 . El controlador triestable con realimentación puede pensarse formado por dos
conmutadores biestables realimentados, que operan en diferentes dominios de la variable de
entrada.
Fig. 5.35. Triestable realimentado: valor medio de la salida y frecuencia de conmutación.
La pendiente media de la característica de transferencia de la variable linealizada 1y como
función de x3 es:
12 10
3
10
1 1 para m
yy
dyK y
dx KK
y
. (5.55)
Si la frecuencia de operación es suficientemente elevada se tendrá la situación de la figura
siguiente,
mK
1
iT s
1
iT s
x3 y1 y2 x3 y2 con i y iT K T
Fig. 5.36. Linealización: diagramas en bloque equivalentes.
En la figura 5.37 se muestra el andar de y1(t) e y2(t) para un escalón en la variable de
excitación x3. Al igual que en el caso de un controlador biestable puede interpretarse el
alargamiento del primer pulso como un efecto de adelanto, de modo que en conjunto se obtiene
el comportamiento de un compensador PI, cuyos parámetros dependen de la magnitud de la
excitación x3(t). Empleando una Fy(s) con dos retardos de tiempo en la realimentación, se
obtiene un comportamiento similar al de un compensador PID.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-28
Fig. 5.37. Respuesta al escalón.
El efecto de linealización que acabamos de describir, tiene lugar cuando la frecuencia de
conmutación es suficientemente alta, con relación a la banda pasante de la planta controlada. El
empleo de una frecuencia de conmutación elevada, tiene por efecto que una variación
determinada y2 queda subdividida en muchos “pasos” pequeños, lo que implica múltiples
conmutaciones en cada transitorio del proceso de control. Resulta entonces aconsejable
seleccionar una frecuencia de conmutación no muy elevada, adaptando el retardo de la red de
realimentación Fy(s) a la función de transferencia de la planta controlada.
5.3.2. Controlador triestable con frecuencia de conmutación mínima.
La idea perseguida es evitar las excesivas conmutaciones del motor de actuación (integrador) de
modo que, por efecto de un escalón de excitación, se lleve la variable y2 “de un solo tirón” a su
nuevo valor final, reduciendo así drásticamente la cantidad de conmutaciones del motor. Un tipo
de operación de este tipo, óptimo respecto del número de conmutaciones, exige un conocimiento
preciso de la planta y de las perturbaciones incidentes sobre la misma, lo que en general no
resulta factible.
Aunque normalmente el caso general no es realizable, puede ser tomado como modelo de
referencia y, en este sentido, la solución presenta un interés no despreciable.
La figura 5.38 muestra un lazo de control compuesto por un conmutador triestable, un integrador
(motor de actuación) y la planta controlada (representada por una función de transferencia
pasabajos). Se considera incluido en la función de transferencia de la planta el retardo (constante
de tiempo de arranque) del motor. El retardo de conmutación del controlador se indica como un
tiempo muerto a la salida del conmutador.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-29
Fig. 5.38. Lazo cerrado con controlador triestable realimentado.
La función de transferencia de la planta es
2
2 1
1( )
1P n
n
F sa s a s a s
(5.56)
en la que una oportuna normalización ha conducido a obtener una ganancia unitaria. Como es
sabido, el coeficiente a1 tiene el significado de la constante de tiempo equivalente de la planta.
5.3.2.1. Conmutador sin realimentación.
Supondremos por el momento que Fy(s) =
0. Consideraremos una variación en escalón de x1
para deducir la condición necesaria para lograr un comportamento aperiódico del lazo de control.
Si en t=0 ocurre el escalón x1(t) = x10, el controlador conmutará a +y10 una vez transcurrido el
retardo puro Tm; y2 crecerá linealmente con lo que x2(t) corresponderá a la respuesta de la
planta ante una excitación en rampa. Estas relaciones se muestran en la Fig. 5.39.
Fig. 5.39. Respuesta al escalón para Fy =
0.
mT se 1 iT s ( )PF s
( )yF s
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-30
Para t = t1 la variable controlada alcanza el nivel de conmutación
2 1 10 1( )x t x (5.57)
y luego de transcurrido Tm el motor se detiene. En el intervalo siguiente y2(t) se mantiene
constante
2 2 1 1( ) ( ) ; m my t y t T t t T (5.58)
con lo que x2 tiende a este valor final. En caso de que este valor, como en la Fig. 5.39 se
encuentre por encima del límite que marca el umbral x10+2 el controlador conmuta en sentido
inverso y el motor gira también a la inversa, con lo que vuelve a repetirse el proceso. Aparece
entonces un fenómeno transitorio probablemente muy poco amortiguado.
Para lograr que el motor se detenga a la primera deconmutación dentro del límite del umbral,
deberá ser:
12 1 10 10 2( )m
i
ty t T y x
T (5.59)
donde t1 queda determinado por la Ec. (5.57). Llamando r(t) al error de la respuesta de la
planta ante la excitación en rampa, es
12 1 2 1 1 10 1 10 1( ) ( ) ( ) ( )m
r m r m
i
t Tx t y t t T y t T x
T
(5.60)
De (5.59) y (5.60) se deduce:
10 1 1 2( )m
r m
i
Ty t T
T (5.61)
El error r(t) puede ser calculado fácilmente a partir de la función de la transferencia de la planta
1 10
2
11 2 1 10
2
2 1
( ) 1 ( )
( )1
r P
i
n
nr n
n i
yt F s
T s
a s a s a yt
a s a s a s T s
L
L (5.62)
A fin de llevar a cabo un cálculo aproximado, supongamos que el error r haya alcanzado para
t = t1 su valor estacionario
1 101( ) ( )r m r
i
a yt T
T . (5.63)
De las expresiones (5.61) y (5.63) se deduce la condición
1 101 2
( )m
i
a T y
T
(5.64)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-31
o bien
2 10 1 2
1i m
dy y
dt T a T
. (5.65)
Como en interés de una buena precisión han de ser 1 y 2 suficientemente pequeños, y como a
su vez a1 puede tomar valores elevados en el caso de procesos químicos e industriales, la
condición (5.65) conduce a velocidades de actuación muy bajas en la mayoría de los casos
prácticos. Por ello, suele adoptarse una velocidad de actuación 2 ó 3 veces más elevada que la
indicada por (5.65), aceptándose un pequeño sobrepasamiento y algunas oscilaciones previas al
establecimiento del valor de régimen de la variable controlada.
5.3.2.2. Conmutador con realimentación complementaria.
Si elegimos Fy(s) de modo que a la salida del bloque de realimentación aparezca justamente el
error a la rampa r(t):
4 1( ) ( )r mx t t T (5.66)
es entonces
2 4 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )r mx t x t x t t T y t (5.67)
vemos así que la realimentación a través de Fy(s) elimina el error dinámico originado en los
retardos de la planta.
De la (5.67) se obtiene la condición
( ) 1
( )Py
i i
F sF s
T s T s (5.68)
o sea
1 ( )
( ) Py
i
F sF s
T s
(5.69)
con lo que resulta
1 2
1 1 1
2
2 1
1
( )1
nn
y n
i n
a as s
a a aF s
T a s a s a s
(5.70)
es decir,
1(0)y y
i
aK F
T . (5.71)
Si el sistema de control se encuentra en estado de régimen es y1 0 y x4 tiende a cero. Vemos
por lo tanto que la realimentación complementaria no influye de ninguna manera sobre la
precisión estática del sistema.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-32
Fig. 5.40. Respuesta al escalón para realimentación complementaria.
La Fig. 5.40 muestra el transitorio correspondiente a una variación en escalón de la variable de
entrada. La condición de conmutación del controlador triestable es ahora:
12 1 1 2 1 10 10 1( ) ( ) ( ) m
r m
i
t Tx t t T y t y x
T
(5.72)
Para 1 2 mt t T y deberá encontrarse por debajo del nivel de conmutación
12 1 10 10 2( )m
i
ty t T y x
T
(5.73)
sustrayendo las dos expresiones precedentes se deduce
10 1 2
m
i
Ty
T (5.74)
con lo que la condición para la velocidad de actuación es ahora
2 10 1 2
i m
dy y
dt T T
. (5.75)
Debido a la realimentación complementaria, la velocidad de actuación resulta independiente de
los parámetros de la planta.
Empleando un conmutador electrónico es Tm 0 de modo que el tiempo de integración podría
tomar teóricamente cualquier valor. Un límite práctico lo da el hecho que la planta (FP) es en la
mayor parte de los casos variable y conocida sólo en forma aproximada, de modo que la
realimentación complementaria (Fy) puede realizarse sólo de manera imperfecta. Cuanto más
elevada se elija la velocidad de actuación dy2/dt = y10/Ti tanto mayor será el error r de la planta,
lo que a su vez conduce a un aumento de la ganancia de realimentación Ky. La pequeñez del
dominio de tolerancia (1,2 << y10) hará que, una ligera desadaptación de la realimentación
respecto de la planta, conduzca a oscilaciones poco amortiguadas. Será entonces necesario
limitar la velocidad de actuación de modo de obtener una respuesta transitoria aceptable.
Mediante un ejemplo simplificado veremos el cálculo de la realimentación para un controlador
triestable con respuesta aperiódica. Sea una planta de segundo orden
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-33
1 2
1( )
(1 )(1 )PF s
sT sT
(5.76)
y con 1 ( )
( ) Py
i
F sF s
T s
se obtiene
1 2
1 2 31 23 1 2
1 2 1 2
11
( ) ; ,(1 )(1 ) (1 )(1 )
y y
i
T Ts
T T T sT TF s K T T T
T sT sT sT sT
(5.77)
En la Fig. 5.41 se muestra un ejemplo de realización de un controlador eléctrico triestable con
motor de actuación (integrador mecánico).
Por amplificación de la señal x0 (= x3–x4) y tras superar el umbral impuesto por los diodos,
acciona una de las bobinas de los relés S1 o S2 provocando la rotación del motor M en uno u otro
sentido. Mediante los contactos auxiliares S’1 o S’2 se aplica una tensión continua V0 a la
red de realimentación (R0, R1, R2; C0, C2); la tensión resultante x4 se realimenta negativamente
a la entrada del amplificador. Bajo el supuesto de cumplirse R0 << R1 y de contarse con un
amplificador de alta impedancia de entrada se tendrá
4 2 2
1 0 0 2 1 2
( ) 1( )
( ) (1 ) 1 ( )y
X s sC RF s
Y s sC R sC R R
, (5.78)
y eligiendo convenientemente los valores de los componentes, se reproducirá la expresión (5.77).
Fig. 5.41. Realización de un controlador triestable con realimentación complementaria.
La Fig. 5.42 muestra la respuesta de lazo cerrado en condiciones de adaptación perfecta
(ganancia normalizada Ky = 1) y de desadaptación para Ky = 1.5 y Ky = 0.67 observándose
cómo afecta la desadaptación al tiempo de respuesta del sistema.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-34
Fig. 5.42. Efecto de la desadaptación en la respuesta de lazo cerrado.
Por otra parte, como se puede verificar con facilidad, la función de transferencia Fy(s) puede ser
calculada en base a una aproximación de primer orden de la planta, es decir en base a la
constante de tiempo equivalente. Para nuestro ejemplo vale:
1 2
1 2
1 1( ) ; =
(1 )(1 ) 1P e
e
F s T T TsT sT T s
(5.79)
resultando
1 ( ) 1 1
( )1 1
P ey y
i i e e
F s TF s K
T s T sT sT
(5.80)
Dado el limitado ancho de banda de la respuesta deseada, los resultados que pueden ser
alcanzados con la aproximación de primer orden y la formulación ‘exacta’ son prácticamente
idénticos.
x10+2
x10+2
x10+2 x10
x10
x10
x10-2
x10-2
x10-2
Ky = 1.5
Ky = 0.67
Ky = 1