54316963 Metodo Matricial Para Resolver Un Portico

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU

Ing. José Enrique Rosa Ribera 1

METODO MATRICIAL PARA RESOLVER UN PORTICO

Utilizare el siguiente pórtico para explicarte el procedimiento de solución.

Tomamos una Área=0.16m2 (0.40mx0.40m) I=0.002133m4 y E= 3000000tn/m2 como propiedades geométrica y de material para cada barra.

Lo primero que debemos hallar son las cargas y desplazamientos conocidos y desconocidos para cada extremo de cada barra en coordenadas globales, en cada extremo de cada barra tendremos 3 fuerzas (axial, cortante y momento) del mismo modo 3 desplazamientos en cada uno de los sentidos de las fuerzas.

Entonces nuestro primer paso será definir las barras, las cargas y desplazamientos, para el pórtico propuesto tendremos 12 fuerzas y 12 desplazamientos, haremos la enumeración para cada extremo de cada barra, haciendo que las fuerzas desconocidas sean las de mayor índice y los desplazamientos desconocidos los de menor índice, cada fuerza y su propio desplazamientos tendrán el mismo índice (es muy importante cuidar este proceso, ya que es la base para un buen ensamblaje).



Definimos las fuerzas y desplazamientos:

Bueno, ahora las cargas Q2=‐50tn, Q3=‐83.33tn‐m, Q5=‐50tn y Q6=83.33tn‐m; son resultado de hallar las reacciones de la barra 2 como si esta fuera una viga doblemente empotrada y puestos como cargas equivalentes en el pórtico con el signo cambiado claro está para que sean equivalentes.

Ahora hallamos las matrices de rigideces en coordenadas globales para cada barra (k).

[ ]

' '' '

' ' '' '

' '' ' '

a b c a b cb a c b a cc c d c c d

ka b c a b cb a c b a cc c d c c d

− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −

= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥− −⎣ ⎦



Donde:

2 20 3

2 20 3

0 3

2

2

1

1

'

( )

'

'2

x y

y x

x y

a S S

a S S

b S S

c Sc Sd S

Sd

λ λ

λ λ

λ λ

= +

= +

= +

===

=

Luego:

Para los parámetros “λx” y “λy” tendremos que definir el sentido para cada barra, y las coordenadas de cada extremo.

0

1

2 2

3 3

4

6

12

j ix

j iy

EASLEISLEISLEIS

Lx x

Ly y

L

λ

λ

=

=

=

=

−=

−=

UNIV

Ing. J

Para

Cabe la bar

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Y ten

k1 =

VERSIDAD

José Enrique

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NACIONAL

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uestro pórtic

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una hoja Eo para cada

atrices de rig

76,80 0,00

‐384,00 ‐76,80 0,00

‐384,00

L DE SAN A

a

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a convenciónga o nos dé l

xcel podemoa barra. (Ad

gideces en co

0,00 48000,00

0,00 0,00

‐48000,00 0,00

ANTONIO A

mos la siguien

n, pues podea gana.

os insertar tdjunto a es

oordenadas g

‐384,000,00

2560,00384,00 0,00

1280,00

ABAD DEL C

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todas las fórte documen

globales para

‐76,800,00

384,0076,800,00

384,00

CUSCO ‐ PE

ón:

como “i” o ”j

rmulas para nto la hoja

a cada barra

0,00‐48000

0,000,00

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ERU

j” el extremo

hacer un trExcel para

:

0 ‐384,00 0,00 12800 384,,00 0,00 2560

4

o de

rabajo a este

4,00 00 0,00 ,00 00 0,00

“x” se refal númerfuerza o desplazato en la direcciónque correspopara unabarra “n”el extremde la bar

UNIV

Ing. J

k2 =

k3 =

Ahorala est

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n X

nde ” en mo “i” ra.

VERSIDAD

José Enrique

4

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=

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]k =

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NACIONAL

e Rosa Ribera

48000,00 0,00 0,00

48000,00 0,00 0,00

76,80

0,00 384,00 ‐76,80 0,00

384,00

r el ensamblara lo cual deb

−⎡⎢ −⎢⎢ −⎢ −⎢⎢ −⎢−⎣

da matriz dede cada entrar el ensambla

x

L DE SAN A

a

0,00 76,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00

0,00 48000,00

0,00 0,00

‐48000,00 0,00

aje de una mbemos toma

−−−−−−

e rigideces enada que nos aje. En nuest

i

y

ANTONIO A

0,00 384,00 2560,000,00

‐384,001280,00

384,00 0,00

2560,00‐384,000,00

1280,00

matriz de rigir en cuenta l

−−−−−−

n coordenadindicará la ptro caso será

m

ABAD DEL C

‐48000,00,00 0,00

48000,00,00 0,00

‐76,800,00

‐384,0076,800,00

‐384,00

ideces en colo siguiente:

−−−−−−

as globales dposición de cá como sigue

x

CUSCO ‐ PE

00 0,00‐76,8‐384,0

0 0,0076,80‐384,0

0,00‐48000

0 0,000,00

48000,0 0,00

ordenadas g

−−−−−−

de cada barrada element:

j

y

ERU

0 0,00 384,00 12800 0,00 ‐38400 2560

0 384,,00 0,00 12800 ‐384,00 0,00 2560

globales para

− ⎤⎥− ⎥⎥−⎥− ⎥⎥−⎥

− ⎦

ra tendremosto de la matr

m

5

00 ,00 0,00 00 4,00 0,00

,00 00 0,00 4,00 00 0,00

a toda

s riz

x

y

m

x

y

m

i

j

UNIV

Ing. J

k1 =

k2 =

k3 =

Ya tetenem

VERSIDAD

José Enrique

10 76,800,00

‐384,00‐76,800,00

‐384,00

1

48000,0

0,00 0,00

‐48000,00,00 0,00

4 76,80

0,00 384,00 ‐76,80 0,00

384,00

nemos todo mos 12 fuerz

1‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐

K = ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐

NACIONAL

e Rosa Ribera

11 0,00

480000 0,000 0,00

‐480000 0,00

2 0 0,00

76,8384,0

00 0,00‐76,8384,0

5 0,00

480000,000,00

‐480000,00

listo para hazas y 12 desp

2 3 ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐

L DE SAN A

a

10 ‐3840,00 0,0 2560 3840,00 0,0 128

30 0,80 38400 2560 0,80 ‐38400 128

60 3840,00 0,0 2560 ‐3840,00 0,0 128

acer nuestraplazamientos

4 5 6‐ ‐ ‐‐ ‐ ‐‐ ‐ ‐‐ ‐ ‐‐ ‐ ‐‐ ‐ ‐‐ ‐ ‐‐ ‐ ‐‐ ‐ ‐‐ ‐ ‐‐ ‐ ‐‐ ‐ ‐

ANTONIO A

12 4,00 ‐700 00,00 384,00 700 00,00 38

3 00 ‐484,00 00,00 000 4804,00 00,00 0

6 4,00 ‐700 00,00 ‐34,00 700 00,00 ‐3

matriz ensas).

7 8 ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐

ABAD DEL C

1 76,80 0,00 ‐484,00 76,80 0,00 484,00

4 8000,00 0,00 0,00 ‐000,00 0,00 0,00 ‐

8 76,80 0,00 ‐484,00 76,80 0,00 484,00

mblada, la c

9 10 11‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐

CUSCO ‐ PE

2 0,00

48000,00 0,00 0,00

8000,00 0,00

5 0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 76,80 ‐384,00

9 0,00

48000,00 0,00 0,00

8000,00 0,00

cual será de 1

12‐ 1 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 5 ‐ 6 ‐ 7 ‐ 8 ‐ 9 ‐ 10‐ 11‐ 12

ERU

3 ‐384,00 0,00

1280,00 384,00 0,00

2560,00

6 0,00

384,00 1280,00 0,00

‐384,00 2560,00

7 384,00 0,00

1280,00 ‐384,00 0,00

2560,00

12x12 (ya qu

6

10 11 12 1 2 3

1 2 3 4 5 6

4 5 6 8 9 7

ue



Para hallar cada elemento en la matriz ensamblada solo tenemos que ubicar el lugar del elemento y buscarlo en las matrices de rigideces de cada barra, en caso de que este elemento se repitiese en más de una matriz de rigideces solo se hará una suma algebraica de cada uno de estos.

Hallaremos el elemento k11

En la matriz k1 tenemos un elemento 11 que es igual a 76.80 y en la matriz k2 tenemos un elemento 11 que es igual a 48000.00; entonces k11= 76.80 + 48000.00 = 480076.80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

48076,80 0,00 384,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0 0 0 ‐76,80 0,00 384,00 1 0,00 48076,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00 0 0 0 0,00 ‐48000,00 0,00 2

384,00 384,00 5120,00 0,00 ‐384,00 1280,00 0 0 0 ‐384,00 0,00 1280,00 3 ‐48000,00 0,00 0,00 48076,80 0,00 384,00 384,00 ‐76,80 0,00 0 0 0 4

0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 48076,80 ‐384,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0 0 0 5 K = 0,00 384,00 1280,00 384,00 ‐384,00 5120,00 1280,00 ‐384,00 0,00 0 0 0 6

0 0 0 384,00 0,00 1280,00 2560,00 ‐384,00 0,00 0 0 0 7 0 0 0 ‐76,80 0,00 ‐384,00 ‐384,00 76,80 0,00 0 0 0 8 0 0 0 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 48000,00 0 0 0 9

‐76,80 0,00 ‐384,00 0 0 0 0 0 0 76,80 0,00 ‐384,00 10 0,00 ‐48000,00 0,00 0 0 0 0 0 0 0,00 48000,00 0,00 11

384,00 0,00 1280,00 0 0 0 0 0 0 ‐384,00 0,00 2560,00 12

En el caso de que haya elemento que no existan en las matrices de rigideces de cada barra, estoy elementos se igualaran a cero.

La ecuación que debemos resolver es:



Para lo cual nos falta definir los vectores de fuerzas y desplazamientos

Q1

0

Q2 ‐50 Q3 ‐83,33 Q4 0 Q5 ‐50

Q = Q6 = 83,33 Q7 0 Q8 0 Q9 Q9 Q10 Q10 Q11 Q11 Q12 Q12

D1

D1 D2 D2 D3 D3 D4 D4 D5 D5

D = D6 = D6 D7 D7 D8 D8 D9 0 D10 0 D11 0 D12 0

De acuerdo a estos vectores, tenemos fuerzas conocidas y desconocidas así como desplazamientos desconocidos y desconocidos; las fuerzas desconocidas o reacciones que deseamos hallar tendrán desplazamientos conocidos que son cero. En función a esto podemos plantearnos la siguiente ecuación:

11 12

21 22

K KQc DdK KQd Dc⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

Donde:

Qc: matriz de fuerzas conocidas

Qd: matriz de fuerzas desconocidas

Dd: matriz de desplazamientos desconocidos



Dc: matriz de desplazamientos conocidos

Resolviendo la ecuación tenemos:

{Qc} = [K11] {Dd} + [K12]{Dc}

Ya que {Dc} = 0, entonces:

{Qc} = [K11] {Dd}…… resolviendo:

[K11]‐1{Qc} = [K11]

‐1[K11] {Dd}

{Dd} = [K11]‐1{Qc}… (1)

{Qd} = [K21] {Dd} + [K22]{Dc}

Ya que {Dc} = 0, entonces:

{Qd} = [K21] {Dd}… (2)

Por consiguiente ahora nuestro problema es hallar [K11] y [K21], los cuales obtenemos de la matriz de rigideces ensamblada.



0

48076,80 0,00 384,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 ‐76,80 0,00 384,00

D1

‐50 0,00 48076,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00 0,00 0,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 D2

‐83,33 384,00 384,00 5120,00 0,00 ‐384,00 1280,00 0,00 0,00 0,00 ‐384,00 0,00 1280,00 D3

0 ‐48000,00 0,00 0,00 48076,80 0,00 384,00 384,00 ‐76,80 0,00 0,00 0,00 0,00 D4

‐50 0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 48076,80 ‐384,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 D5

83,33 = 0,00 384,00 1280,00 384,00 ‐384,00 5120,00 1280,00 ‐384,00 0,00 0,00 0,00 0,00 D6

0 0,00 0,00 0,00 384,00 0,00 1280,00 2560,00 ‐384,00 0,00 0,00 0,00 0,00 D7

0 0,00 0,00 0,00 ‐76,80 0,00 ‐384,00 ‐384,00 76,80 0,00 0,00 0,00 0,00 D8

Q9 0,00 0,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 48000,00 0,00 0,00 0,00 0

Q10 ‐76,80 0,00 ‐384,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 76,80 0,00 ‐384,00 0

Q11 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 48000,00 0,00 0

Q12 384,00 0,00 1280,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 ‐384,00 0,00 2560,00 0

El criterio para dividir la matriz ensamblada es tomar la división entre las fuerzas conocidas y desconocidas, de tal manera que [K11] sea una matriz cuadrada.

Entonces resolvemos la ecuación (1), ya que no es tan sencillo invertir una matriz de 7x7, usaremos el Excel para hallar la inversa, así como las multiplicaciones entre matrices, para lo cual se usan las siguientes fórmulas:

Minversa: que nos devuelve la matriz inversa de una matriz seleccionada; lo que debemos hacer es en una celda escribir “=minversa”, nos pedirá que seleccionemos la matriz a invertir, entonces la seleccionamos la matriz “=MINVERSA(C94:I100)” y nos dará como resultado el primer elemento de la matriz inversa, para poder ver todos los elementos de la matriz tenemos que seleccionar el numero de filas y columnas que tendrá nuestra matriz inversa (que siempre es una matriz cuadrada y del mismo orden de la matriz que estamos invirtiendo) y tomando como primer elemento de esta selección el elemento que obtuvimos al introducir la formula de minversa, y apretamos F2, luego la combinación CTRL + SHIFT + ENTER, y nos mostrará todos los elementos de la matriz inversa.

Mmult: que nos da el producto de dos matrices; debemos escribir en una celda la fórmula “=mmult”, nos pedirá el ingreso de matriz1 y matriz2 separadas por “;” y finalmente seguimos los pasos explicados en la función anterior.



Ahora, resolvamos la ecuación (1):

{Dd} = [K11]‐1{Qc}

48076,80 0,00 384,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 0

0,00 48076,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00 0,00 0

384,00 384,00 5120,00 0,00 ‐384,00 1280,00 0,00 0

K11 = ‐48000,00 0,00 0,00 48076,80 0,00 384,00 384,00 ‐76,8

0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 48076,80 ‐384,00 0,00 0

0,00 384,00 1280,00 384,00 ‐384,00 5120,00 1280,00 ‐384

0,00 0,00 0,00 384,00 0,00 1280,00 2560,00 ‐384

0,00 0,00 0,00 ‐76,80 0,00 ‐384,00 ‐384,00 76,8

0,0227923 7,811E‐06 ‐0,001954 0,0227923 ‐7,81E‐06 0,0009748 0,0009748 0,03254

7,811E‐06 2,083E‐05 ‐1,56E‐06 7,811E‐06 2,083E‐09 ‐2,34E‐06 ‐2,34E‐06 ‐1,56E‐05

‐0,001954 ‐1,56E‐06 0,0003909 ‐0,001954 1,562E‐06 ‐0,000195 ‐0,000195 ‐0,003904

[K11]‐1 = 0,0227923 7,811E‐06 ‐0,001954 0,0228131 ‐7,81E‐06 0,0009748 0,0009748 0,032561

‐7,81E‐06 2,083E‐09 1,562E‐06 ‐7,81E‐06 2,083E‐05 2,343E‐06 2,343E‐06 1,56E‐05

0,0009748 ‐2,34E‐06 ‐0,000195 0,0009748 2,343E‐06 0,0004888 0,0004888 0,005863

0,0009748 ‐2,34E‐06 ‐0,000195 0,0009748 2,343E‐06 0,0004888 0,0020513 0,013675

0,0325404 ‐1,56E‐05 ‐0,003904 0,0325612 1,562E‐05 0,0058629 0,0136754 0,143273

D1

0,0227923 7,811E‐06 ‐0,001954 0,0227923 ‐7,81E‐06 0,0009748 0,0009748 0,03254 0

D2 7,811E‐06 2,083E‐05 ‐1,56E‐06 7,811E‐06 2,083E‐09 ‐2,34E‐06 ‐2,34E‐06 ‐1,56E‐05 ‐50

D3 ‐0,001954 ‐1,56E‐06 0,0003909 ‐0,001954 1,562E‐06 ‐0,000195 ‐0,000195 ‐0,003904 ‐83,33

D4 = 0,0227923 7,811E‐06 ‐0,001954 0,0228131 ‐7,81E‐06 0,0009748 0,0009748 0,032561 0

D5 ‐7,81E‐06 2,083E‐09 1,562E‐06 ‐7,81E‐06 2,083E‐05 2,343E‐06 2,343E‐06 1,56E‐05 ‐50

D6 0,0009748 ‐2,34E‐06 ‐0,000195 0,0009748 2,343E‐06 0,0004888 0,0004888 0,005863 83,33

D7 0,0009748 ‐2,34E‐06 ‐0,000195 0,0009748 2,343E‐06 0,0004888 0,0020513 0,013675 0

D8 0,0325404 ‐1,56E‐05 ‐0,003904 0,0325612 1,562E‐05 0,0058629 0,0136754 0,143273 0

D1

0,244 D2 ‐0,001 D3 ‐0,049 D4 = 0,244 D5 ‐0,001 D6 0,057 D7 0,057 D8 0,814



Con {Dd} podemos resolver la ecuación (2):

{Qd} = [K21] {Dd}

0,00 0,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0

‐76,80 0,00 ‐384,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0

K21 = 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0

384,00 0,00 1280,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0

Q9

0,00 0,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,000

0,244

Q10 ‐76,80 0,00 ‐384,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000 ‐0,001

Q11 = 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000 ‐0,049

Q12 384,00 0,00 1280,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000 0,244

‐0,001

0,057

0,057

0,814



Estas son las reacciones, entonces dibujamos la solución.



Pero nuestro objetivo principal es graficar los diagramas de fuerzas axiales, cortantes y momento flector para lo cual hallaremos las fuerzas internas de cada barra.

Conservando la orientación que le dimos a cada barra en un principio, hallaremos las fuerzas internas (qxi, qyi, qmi, qxj, qyj, qmj) que son las fuerzas en dirección X, Y e momento de cada barra en coordenadas locales.

Primero hallamos las matrices de rigideces en coordenadas locales (k’) para cada barra, debemos tener mucho cuidado en no confundir estas matrices con las de rigideces en coordenadas globales.

De igual manera podemos usar una hoja Excel para insertar las formulas para cada elemento de la matriz de rigideces en coordenadas locales.

48000,00 0,00 0,00 48000,00 0,00 0,00 0,00 76,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00

k1 = 0,00 384,00 2560,00 0,00 ‐384,00 1280,00 ‐48000,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00

0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 76,80 ‐384,00 0,00 384,00 1280,00 0,00 ‐384,00 2560,00

48000,00 0,00 0,00 48000,00 0,00 0,00 0,00 76,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00

k2 = 0,00 384,00 2560,00 0,00 ‐384,00 1280,00 ‐48000,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00

0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 76,80 ‐384,00 0,00 384,00 1280,00 0,00 ‐384,00 2560,00

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

E A E AL L

E I E I E I E IL L L LE I E I E I E IL L L Lk

E A E AL L

E I E I E I E IL L L LE I E I E I E IL L L L

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦



48000,00 0,00 0,00 48000,00 0,00 0,00 0,00 76,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00

k3 = 0,00 384,00 2560,00 0,00 ‐384,00 1280,00 ‐48000,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00

0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 76,80 ‐384,00 0,00 384,00 1280,00 0,00 ‐384,00 2560,00

Ahora hallamos las matrices de transformación de coordenadas para cada barra (T).

De igual manera podemos usar una hoja Excel para insertar las formulas de cada elemento.

0,000

1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ‐1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

T1 = 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ‐1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ‐1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000

1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000

T2 = 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000

[ ]

0 0 0 00 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 1

x yy x

Tx yy x

λ λλ λ

λ λλ λ

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦



0,000

‐1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

T3 = 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000

Hallamos todas estas matrices para poder resolver la siguiente ecuación en cada barra:

La matriz {D} se refiere a los desplazamientos hallados en la ecuación (1) y los que ya conocemos que son iguales a cero; de manera que cada desplazamiento corresponde a la dirección indicada en la matriz {q} las cuales son dirección en x, y e m(giro) en el extremo de la barra que se está analizando.

Para la barra 1 tenemos:

D10 D11

{D} = D12 D1 D2 D3


D1 D2

{D} = D3 D4 D5 D6


D4 D5

{D} = D6 D8 D9 D7

{ } [ ]{ }q k T D⎡ ⎤= ⎣ ⎦



Comenzamos:

q1xi

48000,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

q1yi 0,00 76,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00 ‐1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

q1mi = 0,00 384,00 2560,00 0,00 ‐384,00 1280,00 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000

q1xj ‐48000,00 0,00 0,00 48000,00 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 ‐1,000 0,000 0,244

q1yj 0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 76,80 ‐384,00 0,000 0,000 0,000 ‐1,000 0,000 0,000 ‐0,001

q1mj 0,00 384,00 1280,00 0,00 ‐384,00 2560,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 ‐0,049

q2xi

48000,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,244

q2yi 0,00 76,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ‐0,001

q2mi 0,00 384,00 2560,00 0,00 ‐384,00 1280,00 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 ‐0,049

q2xj = ‐48000,00 0,00 0,00 48000,00 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,244

q2yj 0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 76,80 ‐384,00 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 ‐0,001

q2mj 0,00 384,00 1280,00 0,00 ‐384,00 2560,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,057

q3xi 48000,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,000 ‐1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,244

q3yi 0,00 76,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ‐0,001

q3mi = 0,00 384,00 2560,00 0,00 ‐384,00 1280,00 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,057

q3xj ‐48000,00 0,00 0,00 48000,00 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000

q3yj 0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 76,80 ‐384,00 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000

q3mj 0,00 384,00 1280,00 0,00 ‐384,00 2560,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,057

(Cada unos los recuadros son matrices)

Efectuamos la multiplicación de estas matrices para cada barra por las formas ya explicadas y haciendo uso de una hoja Excel.



FUERZAS INTERNAS EN COORDENADAS LOCALES



tenemos como resultado

q1xi ‐53,12 q1yi 0,00 q1mi = 31,24 q1xj 53,12 q1yj 0,00 q1mj ‐31,24

q2xi

0,00 q2yi 3,12 q2mi ‐52,09 q2xj = 0,00 q2yj ‐3,12 q2mj 83,33

q3xi 46,88 q3yi 62,50 q3mi = 312,52 q3xj ‐46,88 q3yj ‐62,50 q3mj 312,52



q2xi

0,00 + 0 0,00 q2yi 3,12 + 50 53,12 q2mi ‐52,09 + 83,33 31,24 q2xj = 0,00 + 0 = 0,00 q2yj ‐3,12 + 50 46,88 q2mj 83,33 + ‐83,33 0,00

q2xi

0,00 q2yi 53,12 q2mi 31,24 q2xj = 0,00 q2yj 46,88 q2mj 0,00

Con las fuerzas internas ya nos es posible trazar los diagramas de fuerzas axiales, cortantes y momentos para cada barra.

TENEMOS QUE HACER UNA CORRECCION EN LA BARRA 2 DEBIDO A LA TRANSFORMACION DE LA CARGA DISTRIBUIDA EN LAS CARGAS EQUIVALENTES.

ESTA CORRECCION CONSISTIRA EN HACER UNA SUMA ALGEBRAICA DE LAS REACCIONES PRODUCIDAS POR LA CARGA DISTRIBUIDA SOBRE LA BARRA 2 COMO SI ESTA FUERA UNA VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA.

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54316963 Metodo Matricial Para Resolver Un Portico