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Cálculo diferencial e integral de una variable

Cálculo de

volumen

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Cálculo diferencial e integral de una variable

INTRODUCCIÓN

Al tratar de calcular el volumen de un sólidoenfrentamos el mismo problema que al tratarde calcular un áreaDebemos usar el Cálculo Inte!ral para lle!ar auna definición e"acta

#ara ello$ recordaremos los vol%menes desólidos sencillos como cilindros & prismas

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  3

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ah

Cilindro RectoV = Ah

r 

h

Cilindro circular V = r 2h

ab

c

ParalelepípedoRectangular 

V = abc

El volumen de un sólido cualquiera podrádescomponerse en la suma de volúmenes de sólidoselementales como los anteriores

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Cálculo diferencial e integral de una variable

'O(U)*N D* UN +Ó(IDO D* R*'O(UCIÓN

Sólido de revolución es el que se obtiene algirar una región del plano alrededor de una

recta del plano llamada eje de revolución.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

i!erencial de

volumen"#i

f $ x i%

2[ ( ) ]i i iV f x x∆ = π ∆

2[ ( ) ]i i iV f x x∆ = π ∆

a #i b

 #i

&=!$#%

!$#i%

),TODO D*( DI+CO

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Cálculo diferencial e integral de una variable

T*OR*)A

+ea f   una función continua en el intervalo

-a$ b. & f / x 0 1 2 en -a$ b. *l volumen delsólido obtenido al !irar alrededor del e3e 4 lare!ión limitada por la curva y 5 f / x 0$ las rectas"5a$ "5b & el e3e 4 es6

2

1

2

lim [ ( )]

[ ( )]

n

i in

i

b

a

V f x x

 f x dx

→ ∞=

= π ∆

= π

∑

∫ 

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  7

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 1:

Calcule el volumen del sólido generado al rotaralrededor del eje X la región acotada por la curvay = x2 y las rectas x = 1 x = 2 y = !"

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  8

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 2:

Calcule el volumen del sólido de revolucióngenerado al rotar alrededor del eje #  la regiónlimitada por la curva y $ x2 % 2 = ! x = ! y = !y = 1"

 &

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Cálculo diferencial e integral de una variable

&" Calcula el volumen del sólido que se o'tiene al

girar la región R alrededor del eje y "( )

≤≤≤≤ℜ∈= y

 x y y x R2

!(12 ;/,

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Cálculo diferencial e integral de una variable

el e'emplo anterior se desprende lo siguiente(

*l volumen obtenido al !irar la re!iónlimitada por la curva x  5 g/y 0 & las rectas" 5 2$ & 5 c$ & 5 d /c7d0$ alrededor del eje Y  será i!ual a6

2[ ( ) ]d 

cV g y dy= π∫ 

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Cálculo diferencial e integral de una variable

),TODO D* (A ARAND*(A

Cuando la re!ión a !irar está limitada por dos

funciones f / x 0 &  g/ x 0 continuas en -a$ b.$ lasrectas "5a & "5b

a b#

&

 

#

$)%

Diferencial devolumen

f $ x i%g $ x i%

 #i

i22

i   #%%*#$g+%*#$! +$V   ∆

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Cálculo diferencial e integral de una variable

T*OR*)A

)ean f  y g dos *unciones continuas en +a b, tales

que f - x . / g- x . para toda x en +a b," El volumendel sólido generado al rotar alrededor del eje X laregión limitada por f - x . g- x . y las rectas  x=a  y x=b será:

2 2

1

2 2

lim ([ ( )] [ ( )] )

([ ( )] [ ( )] )

n

i i in

i

b

a

V f x g x x

 f x g x dx

→∞=

= π − ∆

= π −

∑

∫ 

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo (:

Calcule el volumen del sólido generado al giraralrededor del eje X la región acotada por lapará'ola y = x2 $ 1 y la recta y = x $ &"

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 0

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo :

Calcule el volumen del sólido generado al giraralrededor del eje # la región limitada por las curvas x  = y 2 $ 1 y  x  = y 2 $ y  $ ("

,2 ,- - 2 / 0 1

,

,2

,-

-

2

#

&

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Cálculo diferencial e integral de una variable

#

 #i

A$b%A$a%

ba #i

A$#i%3l di!erencialde volumen

A$#i%

 #i

 Vi = A$#i% #i

Cálculo de vol%menes de sólidos que no son de revolución

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Cálculo diferencial e integral de una variable

El volumen del sólido será aproximadamente:

)e de*ine el volumen 3 como el l4mite de la suma

de 5iemann

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 6: Calcular el volumen de una es*era de

radio R"

#

&

#

R&

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 7: 8tilice la de*inición anterior para calcularel volumen de una pirámide de altura h  y 'asecuadrada de lado b.

h

b

 &i

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 9:

alle el volumen del sólido que se o'tiene algirar la región limitada por y=! y=2x2 x&alrededor del eje y "

),TODO D* (O+ CA+CARON*+ CI(INDRICO+

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Cálculo diferencial e integral de una variable

),TODO D* (O+ CA+CARON*+CI(INDRICO+

En algunos casos se desea calcular el volumen deuna región limitada por una *unción y   = f - x .  algirar alrededor del eje y para lo cual se de'en;allar los extremos locales de f - x . y despejar x ent<rminos de y - x =g-y .." Esto muc;as veces es

muy complicado por lo que se usará otro m<todo:los cascarones cil4ndricos"

8Cómo esco!er9a elelemento diferencial

de volumen:

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Cálculo diferencial e integral de una variable

#i#i

!$#i%

i*erencial de

volumen

#i  #i

!$#i%

>ara espesores lo su*icientemente peque?os elvolumen será igual a:

iiii   x x f   xV    ∆=∆   )(π  2

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Cálculo diferencial e integral de una variable

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Cálculo diferencial e integral de una variable

T*OR*)A

+ea f  una función continua en el intervalo

-a$ b. +upon!a que f / x 0 1 2 para toda " en-a$ b.$ si la re!ión limitada por la curvay 5 f / x 0$ el e3e 4 & las rectas x = a & x = b !iraalrededor del e3e ;$ el volumen obtenido será6

1

lim 2 ( )

2 ( )

n

i i in

i

b

a

V x f x x

 x f x dx

→∞=

= π ∆

= π

∑

∫ 

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 1!:

etermine el volumen del sólido de revolucióngenerado al girar alrededor del eje # la regiónlimitada por la curva y = &x % x& el eje # y la rectay = 2"

Cá f

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 11:

@a región limitada por la curva y = x2

las rectasy = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = &"Calcule el volumen generado"

& = ,