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39 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
Capítulo 5. Momento de torsión y equilibrio rotacional
Conversión de unidades
5-1. Dibuje el brazo del momento de la fuerza F sobre un eje en el punto A de la figura 5-11a.
¿Cuál es la magnitud del brazo del momento?
Se dibujan perpendiculares a la línea de acción:
rA = (2 ft) sen 250 rA = 0.845 ft
5-2. Calcule el brazo del momento sobre el eje B de la figura 5-11a. (Véase la figura anterior.)
rB = (3 ft) sen 250 rB = 1.27 ft
5-3. Calcule el brazo del momento si el eje de rotación está en el punto A de la figura 5-11b.
¿Cuál es la magnitud del brazo del momento?
rB = (2 m) sen 600 rB = 1.73 m
5-4. Halle el brazo del momento en el eje B de la figura 5-11b.
rB = (5 m) sen 300 rB = 2.50 m
Momento de torsión
5-5. Si la fuerza F de la figura 5-11a es igual a 80 lb, ¿cuál es el momento de torsión resultante en
el eje A (ignore el peso de la varilla)? ¿Cuál es el del eje B?
Las torsiones contra reloj son positivas, de modo que τA es – y τB es +.
(a) τA = (80 lb)(0.845 ft) = –67.6 lb ft (b) τB = (80 lb)(1.27 ft) = +101 lb ft
5-6. La fuerza F ilustrada en la figura 5-11b es de 400 N y el peso del hierro del ángulo es
insignificante. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en torno de los ejes A y B?
Las torsiones contra reloj son positivas, de modo que τA es – y τB es +.
(a) τA = (400 N)(1.732 m) = +693 N m; (b) τB = (400 N)(2.50 m) = –1000 N m
3 ft
2 ft rB
B A
250
F
rA
250
2 m
5 m
rB rA
600 B
300
A
F
40 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
5-7. Una correa de cuero enrollada en una polea de 20 cm de diámetro. Se aplica a la correa una
fuerza de 60 N. ¿Cuál es el momento de torsión en el centro del eje?
r = ½D = 10 cm; τ = (60 N)(0.10 m) = +6.00 N m
5-8. La varilla liviana de la figura 5-12 tiene 60 cm de longitud y gira libre alrededor del punto A.
Halle la magnitud y el signo del momento de torsión provocado por la fuerza de 200 N, si el
ángulo θ es de (a) 90º, (b) 60º, (c) 30º y (d) 0º.
τ = (200 N) (0.60 m) sen θ para todos los ángulos:
(a) τ = 120 N m (b) τ = 104 N m
(b) τ = 60 N m (d) τ = 0
5-9. Una persona que pesa 650 N decide pasear en bicicleta. Los pedales giran con un radio de 40
cm. Si todo el peso actúa en cada movimiento descendente del pedal, ¿cuál es el momento
de torsión máximo?
τ = (250 N)(0.40 m) τ = 260 N m
5-10. Una correa corre en dos poleas. La de tracción: 10 cm de diámetro, la de salida un diámetro
de 20 cm. Si la tensión en la parte superior de la correa es de 50 N en el borde de cada
polea, ¿cuáles son los momentos de torsión de entrada y de salida?
Torsión a la entrada = (50 N)(0.10 m) = 5 N m
Torsión a la salida = (50 N)(0.20 m) = 10 N m
Momento de torsión resultante
5-11. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en A de la figura 5-13? Ignore la barra.
Στ = +(30 N)(6 m) - (15 N)(2 m) – (20 N)(3 m)
τ = 90.0 N m, en sentido contrario al reloj.
F
A 200 N
r θ
60 cm θ
30 N
2 m
15 N
20 N A
4 m 3 m
41 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
5-12. Calcule el momento de torsión resultante en la figura 5-13 si el eje se mueve hasta el
extremo izquierdo de la barra.
Στ = +(30 N)(0) + (15 N)(4 m) – (20 N)(9 m)
τ = –120 N m, en sentido contrario al reloj.
5-13. ¿Qué fuerza horizontal se aplica en el punto A de la figura 5-11b para que el momento de
torsión resultante en B sea igual a cero si la fuerza F = 80 N?
τ = P (2 m) – (80 N)(5 m) (sen 300) = 0
2 P = 200 N; P = 100 N
5-14. Dos ruedas de 60 cm y 20 cm de diámetro giran sobre el mismo eje, figura 5-14. ¿Cuál es el
momento de torsión resultante en torno de un eje central con los pesos ahí indicados?
r1 = ½(60 cm) = 0.30 m; r2 = ½(30 cm) = 0.15 m
τ = (200 N)(0.30 m) – (150 N)(0.15 m) = 37.5 N m; τ = 37.5 N m, contra reloj
5-15. Suponga que retira el peso de 150 N de la rueda más pequeña de la figura 5-14. ¿Qué nuevo
peso puede colgar para obtener un momento de torsión resultante de cero?
τ = (200 N)(0.30 m) – W (0.15 m) = 0; W = 400 N
5-16. Calcule el momento de torsión resultante de la esquina A.
Στ = +(160 N)(0.60 m) sen 400 – (80 N)(0.20 m)
Στ = 61.7 N m – 16.0 N m = 45.7 N m
τR = 45.7 N m
5-17. Halle el momento de torsión resultante de C en la figura 5-15.
Στ = – (80 N)(0.20 m) = –16 N m
30 N
2 m
15 N
20 N
A 4 m 3 m
2 m
5 m
rB
B
300
P
F = 80 N
C
B
A
80 N
400 20 cm
60 cm
r
400
160 N
C
80 N
400 20 cm
60 cm r
160 N
42 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
*5-18. Halle el momento de torsión resultante del eje B.
Fx = 160 cos 400; Fy = 160 sen 400
Στ = – (123 N)(0.2 m) + (103 N)(0.6 m) = 37.2 N m
Equilibrio 5-19. Una regla de material uniforme se ha equilibrado en su punto medio en un punto de apoyo.
Una pesa de 60 N cuelga a 30 cm. ¿En qué punto debe colgar una pesa de 40 N para
equilibrar el sistema? (El peso de 60 N está a 20 cm del eje.)
Στ = 0; (60 N)(20 cm) – (40 N)x = 0
40 x = 1200 N cm o x = 30 cm:
El peso debe colgar en la marca de 80 cm.
5-20. En una regla se colocan pesas de 10 N, 20 N y 30 N en las marcas de 20, 40 y 60 cm,. La
regla se balancea sobre un solo apoyo en su punto medio. ¿En qué punto habrá que agregar
una pesa de 5 N para obtener el equilibrio?
Στ = (10 N)(30 cm) + (20 N)(10 cm)
– (30 N)(10 cm) – (5 N) x = 0
5 x = (300 + 200 –300) o x = 40 cm
El peso de 5 N debe estar a los 90 cm.
5-21. Una tabla de 8 m con peso despreciable está sostenida a 2 m del extremo derecho, donde se
le aplica un peso de 50 N. ¿Qué fuerza descendente se tendrá que ejercer en el extremo
izquierdo para alcanzar el equilibrio?
Στ = 0: F (6 m) – (50 N)(2 m) = 0
6 F = 100 N m o F = 16.7 N
5-22. Un poste de 4 m usado por dos cazadores para cargar un venado de 800 N que cuelga a 1.5
m del extremo izquierdo. ¿Cuáles son las fuerzas ascendentes para cargarlo?
Στ = A (0) – (800 N)(1.5 m) + B (4.0 m) = 0
4B = 1200 N o B = 300 N
ΣFy = A + B – 800 lb = 0; A = 500 N
Fx
Fy B
80 N
400 20 cm
60 cm
160 N
20 cm x
40 N 60 N
10 cm 30 cm
10 N 20 N
x
5 N 30 N
50 N
F 6 m 2 m
800 N
B A 2.5 m 1.5 m
Eje
43 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
5-23. Suponga que la barra de la figura 5-16 tiene un peso despreciable. Halle las fuerzas F y A
considerando que el sistema está en equilibrio.
Στ = (80 N)(1.20 m) – F (0.90 m) = 0; F = 107 N
ΣFy = F – A – 80 N = 0; A = 107 N – 80 N = 26.7 N
F = 107 N, A = 26.7 N
5-24. ¿Cuáles deben ser las fuerzas F1 y F2 para lograr el equilibrio en la figura 5-17?
Στ = (90 lb)(5 ft) – F2 (4 ft) – (20 lb)(5 ft) = 0;
F2 = 87.5 lb ΣFy = F1 – F2 – 20 lb – 90 lb = 0
F1 = F2 +110 lb = 87.5 lb + 110 lb, F1 = 198 lb
5-25. Considere la barra ligera sostenida como indica la figura 5-18. ¿Cuáles son las fuerzas que
ejercen los soportes A y B?
ΣτΑ = B (11 m) – (60 N)(3 m) – (40 N)( 9 m) = 0;
B = 49.1 N ΣFy = A + B – 40 N – 60 N = 0
A = 100 N – B = 100 N – 49.1 N; B = 50.9 N
5-26. Una correa en V enrollada en una polea de 16 pulg de diámetro. Requiere un momento de
torsión resultante de 4 lb ft, ¿qué fuerza debe aplicar a la correa?
R = ½(16 in) = 8 in R = (8/12 ft) = 0.667 ft
τ = F (0.667 ft) = 4 lb ft; F = 6.00 lb
5-27. Un puente pesa 4500 N, tiene 20 m de longitud y soportes en ambos extremos. Halle las
fuerzas que ejerce en cada extremo un tractor de 1600 N a 8 m del extremo izquierdo.
ΣτΑ = B (20 m) – (1600 N)(8 m) – (4500 N)( 10 m) = 0;
B = 2890 N ΣFy = A + B – 1600 N – 4500 N = 0
A = 6100 N – B = 6100 N – 2890 N; B = 3210 N
F
80 N
F
A
90 cm 30 cm Eje
20 lb F2
5 ft
Eje
1 ft
90 lb
F1 4 ft
B 3 m
Eje
40 N
2 m
60 N
A 6 m
B 10 m
Eje
4500 N
2 m
1600 N
A 8 m
44 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
5-28. Una plataforma de 10 ft que pesa 40 lb la sostienen escaleras de tijera. Un pintor que pesa
180 lb está a 4 ft del extremo derecho. Encuentre las fuerzas que ejercen los soportes.
ΣτΑ = B(10 ft) – (40 lb)(5 ft) – (180 lb)( 6 ft) = 0;
B = 128 lb ΣFy = A + B – 40 lb – 180 lb = 0
A = 220 lb – B = 220 lb – 128 lb; A = 92.0 lb
*5-29. Una barra horizontal de 6 m, de 400 N, gira sobre un pivote fijo, véase figura 5-19. La
barra sujeta un cable a 4.5 m de la pared y sostiene un peso de 1200 N en el extremo
derecho. ¿Cuál es la tensión en el cable?
φ = 900 – 370 = 530; Ty = T sen 530
ΣτΑ = (T sen 530)(4.5 m) – (400 N)(3 m) – (1200 N)(6 m) = 0;
3.59 T = 1200 N + 7200 N; T = 2340 N
*5-30. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce la pared sobre la
barra? ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de esa fuerza?
ΣFx = H – Tx = 0; H – T cos 530 = 0; H = (2340 N) cos 530; H = 1408 N
ΣFy = V + T sen 530 – 400 N – 1200 N = 0; V = 1600 N – (2340 N) sen 530 = –269 N
Así, las componentes son: H = 1408 N y V = –269 N. La resultante es:
2 2 0-2691434 N; tan = =10.8 SE
1408R H V ! != + = R = 1434 N, 349.20
Centro de gravedad
5-31. Una barra con longitud de 6 m pesa 30 N. De su extremo izquierdo pende una pesa de 50 N
y en el derecho se aplica una fuerza de 20 N. ¿A qué distancia del extremo izquierdo debe
aplicar una sola fuerza ascendente para establecer el equilibrio?
ΣFy = F – 50 N – 30 N – 20 N = 0; F = 100 N
Στ = F x – (30 N)(3 m) – (20 N)(6 m) = 0
(100 N) x = 210 N m; x = 2.10 m
B 4 ft
Eje
180 lb
1 ft
40 lb
A 5 ft
1.5 m H
Ty
Ty B 1.5 m
Eje
1200 N 400 N
V 3 m
Eje
F
20 N 30 N 50 N
x
3 m 3 m
45 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
5-32. Una esfera de 40 N y otra de 12 N unidas por una varilla ligera de 200 mm de longitud. ¿A
qué distancia del punto medio de la esfera de 40 N está el centro de gravedad?
ΣFy = F – 40 N – 12 N = 0; F = 52 N
Στ = F x – (40 N)(0) – (12 N)(0.20 m) = 0
(52 N) x = 2.40 N m; x = 0.0462 m or x = 46.2 mm
5-33. Pesas de 2, 5, 8 y 10 N penden de una varilla ligera de 10 m a distancias de 2, 4, 6 y 8 m del
extremo izquierdo. ¿A qué distancia del extremo izquierdo está el centro de gravedad?
ΣFy = F – 10 N – 8 N – 5 N – 2 N = 0; F = 25 N
Fx – (2 N)(2 m) – (5 N)(4 m) – (8 N)(6 m) – (10 N)(8 m) = 0
(25 N) x = 152 N m; x = 6.08 m
5-34. Calcule el centro de gravedad de un martillo si la cabeza de metal pesa 12 lb y el mango de
32 in que la sostiene pesa 2 lb. Suponga que la construcción y el peso del mango son
uniformes.
ΣFy = F – 2 lb – 12 lb = 0; F = 14 lb
Fx – (12 lb)(0) – (2 lb)(16 in) = 0; Fx = 32 lb in
(14 lb) x = 32 lb in; x = 2.29 in de la cabeza.
Problemas adicionales
5-35. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en torno del pivote de la figura 5-20?
τ = (80 N)(0.6 m) – (200 N)(0.4 m) sen 400
= 48.0 N m – 51.4 N m; τ = – 3.42 N m
5.36 ¿Con qué fuerza horizontal, aplicada al extremo izquierdo de la varilla, figura 5-20, se llega
al equilibrio rotacional?
Del problema 5-33: τ = - 3.42 N m.
Así, si Στ = 0, entonces se debe adicionar la torsión de +3.42 N.
F
12 N 40 N 200 mm
x
10 N 5 N 8 N 2 N
2 m
2 m 2 m
2 m
2 m x F
F
16 in 16 in
x
2 lb 12 lb
200 N
60 cm
40 cm r 400
400 80 N
F
40 cm
r 400 80 N
46 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
F (0.6 m) cos 400 = +3.45 N m; F = 7.45 N
47 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
5-37. Pesas de 100, 200 y 500 N colocadas sobre una tabla ligera que descansa en dos soportes,
como se aprecia en la figura 5-21. ¿Cuáles son las fuerzas que ejercen los soportes?
Στ = (100 N)(2 m) + B(8 m)
– (200 N)(3 m) – (500 N)(6 m) = 0; B = 425 N
ΣFy = A + B – 100 N – 200 N – 500 N = 0
A = 800 N – B = 800 N – 425 N; A = 375 N
Las fuerzas ejercidas por los soportes son: A = 375 N y B = 425 N
5-38. Una viga de acero de 8 m pesa 2400 N sostenida a 3 m del extremo derecho. Si se coloca un
peso de 9000 N en el extremo derecho, ¿qué fuerza se debe aplicar en el extremo izquierdo
para equilibrar el sistema?
ΣτΑ = A (5 m) + (2400 N)(1 m) – (9000 N)( 3 m) = 0;
A = 4920 N ΣFy = A + B – 2400 N – 9000 N = 0
B = 11 400 N – A = 11 400 N – 4920 N; A = 6480 N
*5-39. Halle el momento de torsión resultante del punto A, figura 5-22.
Στ = (70 N)(0.05 m) sen 500 – (50 N)(0.16 m) sen 550
Στ = 2.68 N m – 6.55 N m = –3.87 N m
Στ = –3.87 N m
*5-40. Halle el momento de torsión resultante del punto B, figura 5-22.
Στ = (70 N)(0) – (50 N)(a + b) ; Primero encuentre a y b.
a = (0.05 m) cos 500 = 0.0231 m; b = (0.16 m) sen 550 = 0.131 m
Στ = – (50 N)(0.0231 m + 0.131 m) = –8.16 N m
Στ = –8.16 N m
Eje
100 N 200 N 500 N
A B 3 m 3 m 2 m 2 m
A 9000 N
F 4 m 3 m 1 m
2400 N
b
a 70 N
50 N
B
5 cm
16 cm
500
550
r
r
70 N
50 N
B 5 cm
A
16 cm
500
550
A 9000 N
F 4 m 3 m 1 m
2400 N
48 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
Preguntas para la reflexión crítica
*5-41. Una caja de 30 lb y otra de 50 están en extremos opuestos de una tabla de 16 ft sostenida
en su punto medio. ¿A qué distancia del lado izquierdo se debe colocar una caja de 40 lb
para lograr el equilibrio? ¿Sería diferente si pesara 90 lb? ¿Por qué sí o por qué no?
Στ = (30 lb)(8 ft) + (40 lb)(x) – (50 lb)(8 ft) = 0;
x = 4.00 ft Note que el peso en el centro NO
contribuye a la torsion alrededor del centro y por
consiguiente, el punto de equilibrio no es afectado,
sin importar el peso.
5-42. En un banco tiene una piedra pequeña, una regla de 4 N y un soporte con borde de navaja.
Cómo usa esos tres elementos para hallar el peso de la piedra pequeña.
Mida las distancias a y b, determine F y después
calcule el peso W a partir de métodos de equilibrio.
*5-43. Calcule las fuerzas F1, F2 y F3 para que el sistema de la figura 5-23 quede en equilibrio.
Note las fuerzas de acción-reacción R y R’.
Primero, trabaje la tabla superior:
Στ (de R) = 0; R es hacia arriba.
ΣτR = (300 lb)(6 ft) – (50 lb)(2 ft) – F1(8 ft) = 0
F1 = 213 lb
Ahora, ΣFy = 0 da: 213 lb + R –300 lb – 50 lb = 0; R = 138 lb = R’
Sume los momentos de torsión F2 con R’ = 138 lb hacia abajo:
ΣτF = (138 lb)(3 ft) + F3(7 ft) – (200 lb)(5 ft) = 0; De donde: F3 = 83.9 lb
ΣFy = 0 = F2 + 83.9 lb – 138 lb – 200 lb; F2 = –254 lb
Las tres fuerzas desconocida: F1 = 213 lb, F2 = –254 lb, F3 = 83.9 lb
0.5 m F 4 N W
b a
x
F
W 40 lb
8 ft 8 ft
50 lb 30 lb
50 lb 2 ft
5 ft
2 ft 6 ft
3 ft 2 ft 300 lb
200 lb
F3 F2
F1
R’’
R
49 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
*5-44. (a) ¿Qué peso W producirá una tensión de 400 N en la cuerda atada a la vigueta de la
figura 5-24? (b) ¿Cuál sería la tensión en la cuerda si W = 400 N? Ignore el peso de la
vigueta en ambos casos.
(a) Στ = (400 Ν)(4 m) sen 300) – W (6 m) cos 300 = 0
W = 154 N
(b) Στ = T(4 m) sen 300 – (400 N)(6 m) cos 300 = 0
T = 600 N
*5-45. Suponga que la vigueta de la figura 5-24 pesa 100 N y que el peso suspendido W es igual a
40 N. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?
Στ = Τ(4 m) sen 300) – (40 N)(6 m) cos 300
– (100 N)(3 m) cos 300 = 0
T = 234 N
*5-46. En las condiciones del problema 5-45, ¿cuáles son las componentes horizontal y vertical
de la fuerza que ejerce el gozne sobre la base de la vigueta?
ΣFx = H – 1169 N = 0; o H = 1169 N
ΣFy = V – 100 N – 400 N = 0; o V = 500 N
H = 1169 N y V = 500 N
**5-47. ¿Cuál es la tensión en el cable de la figura 5-25? El peso de la vigueta es 300 N, pero se
ignora su longitud. (Seleccione el eje en la pared, L se cancela.)
0 0 0sen75 (300 ) sen30 546 sen30 02
LTL N L!" = # # =
T sen 750 = 75.0 N + 273 N; T = 360 N
Axis
300
4 m
2 m 400 N
W 300
100 N Eje
300
4 m
2 m T
W 300
V
H
100 N Eje
300
4 m
2 m 1169 N
400 N
300
T
H
546 N
L
r
750
300 N
450
300
V
50 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados
**5-48. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza que ejerce la pared sobre la vigueta,
figura 5-25? También, suponga que el peso de la tabla es de 300 N.
Remítase a la figura y datos dados en el problema 5-7 y recuerde que T = 360 N.
ΣFx = H - (360 N) cos 450 = 0; H = 255 N
ΣFy = V + (360 N) sen 450 – 300 N – 546 N = 0; V = 591 N
H = 255 N y V = 591 N
*5-49. El eje trasero está a 3.4 m del delantero de un auto. 60 % del peso del auto descansa en las
ruedas delanteras, ¿a qué distancia del eje frontal se localiza el centro de gravedad?
Στ = 0.6W(0) + 0.4W(3.4 m) – F x = 0
Pero F = W: 1.36 W – W x = 0
x = 1.36 m en el eje frontal
600
300
450
T = 360 N
0.4W
x F
0.6W 3.4 m
Eje