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5.3 Modelo de regresión lineal con el uso de matrices

Al ajustar un modelo de regresión lineal múltiple en particular cuando el

número de variables pasa de dos, el conocimiento de la teoría matricial puede facilitar las manipulaciones matemáticas de forma considerable.

Suponga ue el e!perimentado tiene " variables independientes !#, !$, % ,!"   & n observaciones &#, &$, % , &n  cada una de las cuales se puedene!presar por la ecuación

'i(b)*b#!#i*b$!$i*%* b" !"i*ei

 

+ste modelo en esencia representa n ecuaciones ue describen cómo segeneran los valores de respuesta en el proceso científico. on el uso de lanotación matricial, podemos escribir la ecuación '(-b*e

onde

+ntonces la solución de mínimos cuadrados para la estimación de b ue seilustra en la sección +stimación de coeficientes, /0egresión linealMúltiple1 implica encontrar b para la ue

SS+(2&-b42&-b4

se minimi6a. +ste proceso de minimi6ación implica resolver para b en la

ecuación

no presentaremos los detalles relacionados con las soluciones de lasecuaciones anteriores. +l resultado se reduce a la solución de b en

2--4b(-&

 7ótese la naturale6a de la matri6 -, aparte del elemento inicial, el i8simorenglón representa los valores ! ue dan lugar a la respuesta &i. Al escribir 

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'

9as ecuaciones normales se pueden escribir en la forma matricial A:(gSi la matri6 A no es singular, podemos escribir la solución para elcoeficiente de regresión como

 b(A#g(2--4#-'

e esta forma se puede obtener la ecuación de predicción o la ecuación deregresión al resolver un conjunto de "*# ecuaciones con un número igualde incógnitas. +sto implica la inversión de la matri6 -- de "*# por "*#.

9as t8cnicas para invertir esta matri6 se e!plican en la ma&oría de los librosde te!to sobre determinantes & matrices elementales. ;or supuesto,MA<9A: dispone de muc=os pauetes de computadora de alta velocidad

 para problemas de regresión múltiple, pauetes ue no sólo imprimenestimaciones de los coeficientes de regresión, sino ue tambi8n

 proporcionan otra información relevante para =acer inferencias respecto ala ecuación de regresión.

 

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+jemplo #>

Se midió el porcentaje de sobrevivencia de cierto tipo de semen animal,despu8s del almacenamiento en varias combinaciones de concentraciones

de tres materiales ue se utili6an para aumentar su oportunidad desobrevivencia, los datos son los siguientes>

 

'2?sobrevivencia4 -# 2peso ?4 -$ 2peso ?4 -3 2peso ?4

$5,5 #,@ 5,3) #),B)

3#,#$ C,3$ 5,$ D,)

$5,D C,$$ B,# @,$)

3B, #),5$ ,C3 B,5)

#B, #,#D ##,C) D,)

$C,@ #,$$ 5,B5 D,D)

$C, ,#) C,C$ B

$5,D C,3$ B,@$ D,#)

3$ ,)B ,$ B,@)

$5,$ ,#5 @,C) D,$)

3D,@ #),#5 ,B3 D,)

35,@ #,@$ 3,#$ @,C)

$C,5 #,@) 5,3) B,$)

 

+stime el modelo de regresión lineal múltiple para los datos dados.

SE9FGó7>

9as ecuaciones de estimación de mínimos cuadrados, 2--4b(-&, son

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e los resultados de una computadora obtenemos los elementos de lamatri6 inversa

 

' despu8s, con el uso de la relación b( 2--4 #  -&, los coeficientesestimados de regresión son>

 b)( 3D.#5@, b#( #.)#C#, b$( #.BC#C, b3().333

e auí, nuestra ecuación de regresión estimada es>

H(3D.#5@*#.)C#!##.BC#C!$).333!3

;ara el caso de una sola variable independiente, el grado del polinomio demejor ajuste a menudo se puede determinar al graficar un diagrama dedispersión de los datos ue se obtienen de un e!perimento ue da n paresde observaciones de la forma I2!i &i4G(#,$,%nJ.

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Al resolver estas r*# ecuaciones, obtendremos las estimaciones b), b#,%, br , & por ello generamos la ecuación de predicción de regresión polinomial

+l procedimiento para ajustar un modelo de regresión polinomial se puedegenerali6ar al caso de más de una variable independiente, de =ec=o, elestudiante de análisis de regresión debe, en esta etapa, tener la facilidad

 para ajustar cualuier modelo lineal en digamos " variables independientes.Suponga, por ejemplo, ue tenemos una respuesta ' con "($ variablesindependientes & se postula un modelo cuadrático del tipo

 

donde &# i(#,$,%,n, es la respuesta para la combinación 2!#i  !#i4 de lasvariables independientes en el e!perimento. +n esta situación n debe ser almenos C, pues =a& seis parámetros a estimar mediante el procedimiento demínimos cuadrados.

Además como el modelo contiene t8rminos cuadráticos en ambasvariables, se deben usar al menos tres niveles de cada variable.

+l lector debe verificar con facilidad ue las ecuaciones normales demínimos cuadrados 2--4b(-& están dadas por>

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+jemplo $

9os siguientes datos representan el porcentaje de impure6as ue ocurren avarias temperaturas & tiempos de esterili6ación durante una reacciónasociada con la fabricación de cierta bebida.

<iempo de esterili6ación-$2min4

<emperatura -#2K4

@5 #)) #$5

#5 #.)5 #).55 @.55

 

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$)

 

#.D3

 

D.B

 

C.5D

#C.5C #3.C3 D.$3

 

$5

#5.B5 ##.@5 B.@B

$$.# #B.55 #5.D3

$#.CC #@.DB #C.

+stimar los coeficientes de regresión en el modelo

m &L!(b) * b# !# * b$!$ * b##!#$ * b$$!$

$*%*b#$!#!$

Solución>

 b)(5C.CCB :##().)))B#

 b#().3C$3 :$$().)B#@#

 b$($.@5$DD :#$().))3#