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TECSUP - PFR Matemtica Aplicada

103

Unidad V

EECCUUAACCIIOONNEESS DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS En un modelo bastante simplificado se puede suponer que en una poblacin (puede ser una cra de peces en un estanque, un cultivo de bacterias para un experimento de laboratorio, etc.) la razn de cambio instantneo de la poblacin es proporcional a la poblacin presente. Esta situacin lleva al planteamiento de cierto tipo especial de ecuaciones que juegan un importantsimo papel en las aplicaciones del Clculo: las Ecuaciones Diferenciales. Las ecuaciones diferenciales surgen en una gran cantidad de contextos para describir fenmenos fsicos, qumicos, elctricos, mecnicos, radiactivos, calricos, de vibraciones y muchos ms. Definicin: Una ecuacin diferencial es aquella en que la incgnita es una

funcin y en la cual aparece una o ms de las derivadas de la funcin.

Ejemplo de algunas ecuaciones diferenciales. Las siguientes son ecuaciones diferenciales:

1. y + y +y = 2 x

2. 21

' 2 2=

+

+

xyyx

3. x y x 2 y = y

En todos los casos se supone que y es una funcin de x. Todas las ecuaciones diferenciales que se dan en el ejemplo anterior se dice que son ordinarias porque dependen de solo una variable independiente. La primera y la tercera son de segundo orden porque la derivada de orden mayor que aparece es y y la segunda es de primer orden porque la derivada de mayor orden que aparece es y . Una funcin f (x) es solucin de una ecuacin diferencial si al ser sustituida en la ecuacin la satisface. Verificando una solucin

Ejemplo: Verificar que la funcin f (x) = e 2x es solucin de la siguiente ecuacin

diferencial:

y - 3 y + 2 y = 0.

Matemtica Aplicada TECSUP - PFR

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Solucin: Tomamos en el lugar de y la funcin f (x).

Tenemos que: f (x) = 2 e 2x y f (x) = 4 e 2x

y por lo tanto: y 3 y + 2 y = 4 e 2x 3 (2 e 2x) + 2 (e 2x) = 4 e 2x 6 e 2x + 2 e 2x = 0

Dado que el resultado ES 0, podemos decir que, f (x) s es solucin de la ecuacin diferencial.

Ejemplo: Verificar que la funcin g (x) = e 3x no es solucin de la siguiente ecuacin

diferencial:

y - 3 y + 2 y = 0. Solucin: Tomando ahora en vez de y la funcin g (x).

Tenemos que: g (x) = 3 e 3x y g (x) = 9 e 3x

y sustituyendo: y 3 y + 2 y = 9 e 3x 3 (3 e 3x) + 2 (e 3x) = 9 e 3x 9 e 3x + 2 e3x = 2 e 3x

El resultado NO ES 0, por lo tanto, g(x) no es solucin de la ecuacin diferencial.

Ejercicio: Pruebe que h (x) = e x s es solucin de la ecuacin diferencial del ejemplo

anterior.

Solucin: Tomamos en el lugar de y la funcin h (x). Tenemos que: h (x) = e x y h (x) = e x

y por lo tanto: y 3 y + 2 y = e x 3 (e x) + 2 (e x) = e x 3 e x + 2 e x = 0

Como el resultado ES 0, podemos decir que, h(x) s es solucin de la ecuacin diferencial.


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Probar que una funcin dada es solucin de una ecuacin diferencial es un proceso relativamente sencillo, sin embargo, encontrar las soluciones (esto es, resolver la ecuacin) no es en general un problema tan fcil. Desde luego, no es propsito resolver aqu estas ecuaciones. Cabe advertir que existen muchsimas familias de ecuaciones diferenciales, que se resuelven por mtodos particulares. Por otra parte, el uso del clculo integral en la resolucin de ecuaciones diferenciales es fundamental. 1. CRECIMIENTO POBLACIONAL

Sea N (t ) la poblacin en el instante t (puede ser que t sea segundos, horas, das, aos, etc., dependiendo de la poblacin de que se trate). Entonces, la razn instantnea de cambio es N (t ).

El modelo dice que esta razn de cambio es proporcional a la poblacin:

N (t ) N (t )

Dos cantidades son proporcionales si su cociente es una constante, digamos k. De manera que en este caso particular tenemos:

ktNtN

=)(

)('

que es la ecuacin diferencial que describe el modelo. Esta es una ecuacin diferencial sencilla y podemos encontrar su solucin de un modo relativamente fcil.

En efecto, si integramos a ambos lados de la ecuacin obtenemos:

dtkdttN

tN =)(

)('

ln N (t ) = k t + M

y

x0

Crecimiento exponencial


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Recuerde que )(

)(' ' ) )(ln (

tNtN

tN = y M constante arbitraria.

Si aplicamos la exponencial a ambos lados tenemos: N (t ) = e k t + M que por las propiedades de la exponencial, se puede escribir como: N (t ) = C e k t

Donde: C = e M. Se puede comprobar que C es la poblacin inicial.

Por la forma de la solucin este modelo se llama de crecimiento exponencial.

Ejemplo: Bacterias y crecimiento

Una poblacin de bacterias crece segn el modelo de crecimiento exponencial. Si inicialmente haba 1,500 bacterias y a los 20 minutos ya haba 2,000 bacterias, encontrar una funcin que describa el nmero de bacterias presente en cada instante t. Cuntas habr a los 30 minutos?

Solucin: La funcin es N (t ) = C e k t

Sabemos que C es la poblacin inicial, en este caso 1 500; entonces: N (t ) = 1 500 e k t

Para tener la funcin completa debemos encontrar k; sta la determinamos a partir de la otra informacin:

N (20) = 1 500 e 20 k = 2 000 e 20 k = 2 000 / 1 500 = 4 / 3

Es decir: e 20 k = 4 / 3, pero esta ecuacin se puede poner en forma logartmica como: 20 k = ln (4 / 3)

Entonces se tiene: 20 k = 0,287682 k = 0,287682 / 20

k = 0,0143

y, por lo tanto, la funcin es: N (t ) = 1 500 e 0,0143 t

Para saber el nmero de bacterias a los 30 minutos evaluamos la funcin en 30:

N (30) = 1 500 e (0,0143) 30 = 1 500 e 0,429 = (1 500) (1,535721) = 2 303,58

y

x0

N (t ) = 1 500 e k t

1 500


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Podemos decir que a los 30 minutos habr alrededor de 2 300 bacterias.

Ejemplo: Poblacin y crecimiento

El crecimiento de una ciudad, es proporcional al nmero de habitantes que hay en un instante cualquiera. Si la poblacin inicial es de 400 000; y al cabo de 3 aos es de 450 000.

Cunto tardar en duplicarse? Qu poblacin habr en 10 aos?

Datos: Inicialmente para t = 0 aos C = 400 000 habitantes

Para t = 3 aos N (3) = 450 000 habitantes

Solucin: La funcin es N (t ) = C e k t

Sabemos que C es la poblacin inicial, en este caso 400 000; entonces: N (t ) = 400 000 e k t

Para tener la funcin completa debemos encontrar el valor de k

Este valor de k lo determinamos a partir de t = 3 aos:

N (3) = 400 000 e 3 k = 450 000 e 3 k = 450 000 / 400 000 = 45 / 40 = 9 / 8

Es decir: e 3 k = 9 / 8, pero esta ecuacin se puede poner en forma logartmica como: 3 k = ln (9 / 8)

Entonces se tiene: 3 k = 0,117783 k = 0,117783 / 3 k = 0,03926

y, por lo tanto, la funcin es: N (t ) = 400 000 e 0,03926 t

Para saber el tiempo en que la poblacin se duplica tenemos: 800 000 =

400 000 e 0,03926 t

Por lo tanto: e 0,03926 t = 2 en forma logartmica: 0,03926 t = ln (2)

Entonces: 0,03926 t = 0,6931 t = 0,6931/0,03926 t = 17,65 aos 17 aos, 7 meses, 24 das

Para saber el nmero de habitantes al cabo de 10 aos evaluamos la funcin

en 10 aos:

N (10) = 400 000 e (0,03926) 10 = 400 000 e 0,3926 = (400 000) (1,4808) = 592 330

Podemos decir que al cabo de 10 aos habr alrededor de 592 330 habitantes.


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Grfica que nos indica el comportamiento de la poblacin y el tiempo en el cual se duplica.

Grfica que nos dice el comportamiento de la poblacin y el nmero de habitantes que habr al cabo de los 10 aos.

2. ECUACIONES DIFERENCIALES

Son muchas las situaciones que se pueden describir mediante ecuaciones diferenciales. A continuacin damos dos ejemplos de circuitos elctricos y dos de mezclas qumicas.

Circuitos elctricos simples

Ejemplo I: Una fuerza electromotriz de 20 voltios se aplica en un tiempo, t =

0, a un circuito formado por un inductor de 2 henrios, conectado en serie con un resistor de 40 ohmios. Si la intensidad de la corriente es nula para t = 0. Calcular:

a) El valor de la intensidad de corriente en cualquier instante de

t > 0 b) El valor lmite de la intensidad de corriente.


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Solucin: Se recomienda hacer una grfica con los elementos del circuito elctrico; indicando:

E = fuerza electromotriz = 20 voltios

L = inductor = 2 henrios

R = resistor = 40 ohmios

I = intensidad en amperios

De cuerdo a la ley de Kirchhoff, se cumple que: La fuerza electromotriz es igual a la suma de la cada de voltaje en el inductor y a la cada de voltaje en la resistencia

tdId

L

= cada de voltaje en el inductor

R I = cada de voltaje en la resistencia

IRtdId

LE +=

Aplicando a nuestro problema, tenemos:

ItdId

+= 40

220

Vemos que es una Ecuacin Diferencial Lineal, resolvindola se tiene:

2

120 +==+ tecI 1020

I

td

Id ver anexo N 1

De acuerdo al enunciado del problema, tenemos que para cuando: t = 0, la corriente: I = 0, con lo cual se puede calcular la constante c

De la ecuacin final tenemos que: 2

1=c

Respuesta a) Por lo tanto, resulta que la intensidad de corriente en cualquier instante

est dada por la siguiente ecuacin:

amperios )(12

1 20 teI =

E

R

L

I

+-


110

Respuesta b) Para resolver esta pregunta, hacemos que =t , por lo que resulta que:

amperios 2

1=I

Anexo N1

1020 =+ It d

I d

(1). Itd

Id= 2010

(2). tdI

Id

2010

=

(3). integrando (2): += ctdIId

2010

Donde: c = constante porque las integrales no tienen lmites

(4). Cambio de variable: 10 20 I = U

(5). Derivando (4): 0 20 d I = d U -20 d I = d U 20

=

UdId

(6). Reemplazando (5) y (4) en (3): += ctdUUd

20

+= ctdUUd

20

1

(7). Recordar: XX

Xdln

= , y que XXd = ctU += ln20

1

(8). Reemplazando de (4): ctI +=

)2010ln(20

1

)(20)2010ln( ctI +=

(9). Recordar: aeXaX ==ln

)(202010 cteI += 1020 )(20 += + cteI 20

10

20

)(20+=

+ cteI

2

1

20

)2020+=

cteI

2

1

20

2020+

=

ct eeI

20

20 cec

=


111

2

120 += tecI

Ejemplo II: Un condensador de 5 x 10-3 faradios est conectado en serie con

un resistor de 25 ohmios y una fuerza electromotriz de 50 voltios. Se cierra el interruptor cuando t = 0. Suponiendo que para t = 0 la carga del condensador y la intensidad de corriente son nulas, determinar:

a) La carga en cualquier instante.

b) La intensidad de corriente en cualquier instante.

c) La carga mxima que puede alcanzar el condensador.

Solucin: Se recomienda hacer una grfica con los elementos del circuito

elctrico; indicando:

Q = carga en coulombios

E = fuerza electromotriz = 50 voltios

C = condensador = 5 x 10-3 faradios

R = resistor = 25 ohmios

De los datos del problema tenemos: CQ

RIE +=

Y si adems sabemos que: tdQd

I

=

Por lo tanto: CQ

tdd

RE +=

Q

Reemplazando valores del problema tenemos:

28

Q

105

Q 2550 3 =+

+= QtddQ

tdd

Podemos observar que es una Ecuacin Diferencial Lineal que resolvindola se tiene:

tecQ += 8

4

1 ver anexo N 2

De acuerdo al enunciado del problema, tenemos que para cuando: t = 0, la carga: Q = 0, con lo cual se puede calcular la constante c

E

R

C

I

+ -


112

De la ecuacin final tenemos que: 4

1=c

Respuesta

a) Por lo tanto, resulta que la carga en cualquier instante ser:

coulomb )e-(141 8 tQ == e

4

1-

4

1 8 tQ

Respuesta

b) Para la intensidad de corriente en cualquier instante, se calcula

previamente:

)888 (e4

8 e

4

1

4

1

)e1(

4

1

ttt Itd

dI

td

d

td

QdI

====

amperios e2 8 tI =

Respuesta

c) Haciendo = t , resulta:

coulomb 0,25=mximoQ

Anexo N2

28 =+ Qt d

Q d

(1). Qtd

Qd= 82

(2). tdQ

Qd

82

=

(3). integrando (2): += ctdQQd

82


(4). Cambio de variable: 2 8 Q = X


113

(5). Derivando (4): 0 8 d Q = d X -8 d Q = d X

8

X

=

dQd

(6). Reemplazando (5) y (4) en (3): += ctdXd

8 X

+= ctdXd

X

8

1

(7). Recordar: UU

Udln

= , y que PPd = ctX += ln8

1

(8). Reemplazando de (4): ctQ +=

)82ln(8

1

)(8)82ln( ctQ +=

(9). Recordar: aeXaX ==ln

)(882 cteQ += 28 )(8 = + cteQ 8

2

8

)(8

=

+ cteQ

4

1

8

)88+

=

cteQ

4

1

8

88+

=

ct eeQ

8

8 cec

=

4

1+= tecQ 8

3. PROBLEMAS QUMICOS Y MEZCLAS

Ejemplo I: Se tiene un recipiente que contiene 400 litros de agua y un contenido de 25 kilogramos de sal. Esta mezcla se mantiene uniforme mediante un mecanismo de agitacin. Si a este depsito ha de ingresar salmuera que contiene 0,25 kilogramos de sal por litro de salmuera a razn de 12 litros por minuto: determinar:

a) La cantidad de sal que

contendr en cualquier instante, si la mezcla sale del recipiente con el mismo gasto que entra.

b) La sal que contendr al cabo

de 30 minutos. c) Cundo contendr 75

kilogramos de sal?

12 litros / minuto

t = 0400 litros de agua 25 kilogramos de sal

12 litros / minuto 0,25 kilogramos de sal por litro de salmuera


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Solucin: Iniciada la operacin tendremos:

Al transcurrir t minutos, hay x kilogramos de sal en el recipiente.

La ecuacin ser:

400)1212(400x

tx

=+

Luego al transcurrir dt minutos, x se incrementa en dx.

dx = (cantidad de sal que entra) (cantidad de sal que sale) que es la ecuacin de continuidad

dx = E dt S dt

Sal que entra: dtdtE == 325,012

Sal que sale: dtxdtxS ==1003

40012

Por lo tanto tenemos:

3= 3 - = 3 (1 - )

100 100 x

dx dt dt dx dt


t

eCxdtx

dx 1003

100)100

1(3

== ver anexo N 3

De acuerdo al enunciado del problema, tenemos que para cuando: t = 0, el contenido de sal es de 25 kilogramos, con lo cual se puede calcular la constante C

De la ecuacin final tenemos que: 75)1(10025 == CC

Respuesta a) Por lo tanto, resulta que la cantidad de sal en cualquier instante est dada

por la siguiente ecuacin: t

ex 1003

75100

= Respuesta

b) Para resolver esta pregunta, hacemos que minutos 30=t , por lo que resulta

que:

x = 69,5 kilogramos


115

Respuesta

c) Contendr 75 kilogramos de sal en:

6,3631

ln1003

7575100

7510075 1003

100

3

==

==

ttee

tt minutos

Anexo N3

dtxdx =

10013

(1). dtx

d=

1003

3

x

(2). integrando (1): +=

ctdx

d

1003

3

x


(3). Cambio de variable: Ux =1003

3

(4). Derivando (3): dUdx =1003

0 dUd =3

100 x

(5). Reemplazando (4) y (3) en (2): +=

cdtU

Ud 3

100

+= cdtUUd

3100

(6). Recordar: vv

dln

v= , y que vd = v ctU += ln3100

(7). Reemplazando de (3): ctx +=

1003

3ln3

100

)(1003

1003

3ln ctx

+=


116

(8). Recordar: aevav ==ln

)(

100

3

1003

3ct

ex +

= )(

100

3

31003 ct

ex +

= )(

100

3

3100

100ct

ex

=

tceex 100

3

100

3

3100

100

= 3 3

- -100 100100=100 -

3

c tx e e

c

eC 1003

3100

=

3

100100 C

= t

ex

Ejemplo II: Un tanque se llena con 320 litros de salmuera que contiene 8

kilogramos de sal disuelta. Luego se introduce en el tanque a un gasto de 16 litros por minuto, salmuera que contiene 0,3 kilogramos de sal por litro y la mezcla bien agitada sale del tanque con el mismo gasto.

a) Establecer la ecuacin

diferencial para la cantidad de sal en cualquier instante.

b) Hallar la cantidad de sal en

cualquier instante. c) Determinar la concentracin

de sal despus de 10 minutos

d) Cunta sal contendr el

tanque, cuando haya transcurrido mucho tiempo?

Solucin: Iniciada la operacin tendremos:

Al transcurrir t minutos en el tanque, hay x kilogramos de sal.

La concentracin ser: 320)1616(320x

tx

=+

Sal que entra: dtdtE == 4,80,316

Sal que sale: dtxdtxS ==

2032016

16 litros / minuto 0,3 kilogramos de sal por litro

16 litros / minuto

t = 0320 litros de salmuera 8 kilogramos de sal


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Respuesta a) Por lo tanto tenemos:

dtxdxdt

xdtdx =

= )96(20

208,4


2096)20

96(

t

eCxdtx

dx

=

=

De acuerdo al enunciado del problema, tenemos que para cuando: t = 0, el contenido de sal es de 8 kilogramos, con lo cual se puede calcular la constante C

De la ecuacin final tenemos que: 88)1(968 == CC

Respuesta b) Por lo tanto, resulta que la cantidad de sal en cualquier instante est dada

por la siguiente ecuacin:

208896

t

ex

= Respuesta

c) La concentracin de sal cuando t = 10 minutos es:

13,03208896 20

10

=

=

einconcentrac kilogramos / litro

Respuesta

d) Al transcurrir =t tenemos:

X = 96 kilogramos


118

ANOTACIONES:

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

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