56289617-Aplicacion-Integrales-Definidas

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ESCUELA DE CONTADORES AUDITORES DE SANTIAGO

Carrera de Contador Audito

Guía V Aplicaciones de las integrales indefinidas.

Conceptos previos:

Como ya sabe la variación de una cantidad “y” con respecto a otra cantidad “x” se estudia usualmente

términos de dos conceptos: la variación promedio y la variación marginal. La variación marginal pued

obtenerse diferenciando o derivando una función, tal función puede obtenerse integrando su variació

marginal. En este capítulo se verán aplicaciones del Calculo Integral en el caso de las funciones cost

ingreso y consumo. Una aplicación semejante se presentará para la formación de capital.

Costo

Si el costo total ¨y¨ de producir y comercializar ¨x¨ unidades, esta función es ( ) y f x , luego el cos

promedio por unidad es la función( )

( ) y f xg x x x

, La función costo marginal será ( dy y f xdx

Es decir, el costo marginal es la primera derivada, ( ) f x , de la función costo total ( ) y f x , c

respecto a x. Por lo tanto, el costo total será la integral con respecto a x de la función costo margina

esto es: ( ) ( ) y f x dx f x K

Para obtener la única función costo total al integrar la correspondiente función costo marginal, deb

especificarse una condición inicial lo cual permite valorar la constante de integración correspondient

Frecuentemente tal especificación se hace en términos de un costo fijo o inicial, es decir, el valor del cos

cuando x = 0, es decir, no hay producción.

Ejemplo:

En un fábrica de chocolates la función costos marginales está dada por la relació

2( ) 2500 ln( 20 20436, 02C x x , donde “x” representa kilos de chocolate producido. Determine

función costo de la fábrica considerando que sus costos fijos ascienden a 2000 unidades monetaria

Calcule el costo que le significa a la fábrica producir 25 kilos de chocolate.

Solución:

5000ln( 20)

20

x y

xes función costo marginal

La función costo se obtiene integrando la función costo marginal así la función es

25000ln( 20)( ) 2500 ln( 20

20

xC x d x x K

x

La constante K se obtiene valorando la función costo obtenida C(0)=2000, luego K = -20436,02 así

función requerida por el problema es:

2( ) 2500 ln( 20 20436, 02C x x





Para determinar el costo de los 25 kilos de chocolate se evalúa la función obtenida haciendo x = 25,

que produce un costo de C(25) = 19710,77 unidades monetarias

Ingreso

Para una cierta función de demanda:

( ) y f x

en el cual ¨ y ¨ es precio por una cantidad ¨ x ¨ de unidades a vender, el ingreso total R es el produc

de ¨ x ¨ e ¨ y ¨ , es decir:

( ) ( ) R x xy xf x

El ingreso marginal en función de la cantidad demandada es la derivada de la función ingreso c

respecto a ¨ x ¨, esto es:

( )dR

R xdx

Por lo tanto, la función ingreso total es la integral con respecto a ¨ x ¨ de la función ingreso margina

es decir:

( ) ( ) R x R x dx K

Para tener la única función ingreso total debe existir una condición inicial que permita calcular el valor d

la constante de integración. Para evaluar la constante puede aplicarse la condición inicial de que

ingreso es cero o nulo si la cantidad demandada es nula o cero.

Note que el ingreso promedio es el precio por unidad, por lo cual ingreso promedio y función demand

son idénticas.

Ejemplo

En una fábrica de calzado se ha determinado que su función ingreso marginal esta dado por la relació

2129600 3 y x x , siendo “x” pares de calzado comercializado. Determine la función ingreso

esta fábrica

Solución

2129600 3 y x x es función ingreso marginal

2 21( ) 129600 3 129600 3

9 I x x x dx x K

Para calcular la constante K se valora la función ex x = 0 pues si no hay venta el ingreso es nulo es deci

= 0, luego K = 40

Así la función ingreso es:

21( ) 129600 3 40

9 I x x





Utilidad

La función utilidad en una empresa depende da las funciones ingreso y costo, así la función utilidad

la diferencia entre las funciones ingreso y costo. La función utilidad marginal será la diferencia entre

ingreso marginal y el costo marginal.

Ejemplo

La función utilidad marginal en una cierta empresa está dada por la relación ln(2 3) y x donde

son unidades producidas y comercializadas. Determine:

a) la función utilidad considerando que la producción y venta de 50 unidades produce una utilidad de 30

dólares.

b) la utilidad que genera la producción y venta de 100 unidades.

Solución:

ln(2 3) y x es función utilidad marginal

La función utilidad se obtiene integrando la utilidad marginal, así

3( ) ln(2 3) ln(2 3) ln(2 3)

2U x x dx x x x x K

La constante K se obtiene valorando la función obtenida de acuerdo a los datos del problema dado, es

es con x = 50, U = 300, obteniendo asi un valor para la constante K = 115,1737, con lo que la funció

utilidad del problema propuesto es :

3( ) ln(2 3) ln(2 3) 111,3114

2U x x x x x

La parte b del problema se obtiene valorando x = 100 en la función utilidad obtenida para obtener

correspondiente utilidad.

Luego la utilidad es U(100) = 550.6018 dólares

Ejercicios Propuestos

1.- La función costo marginal de una fábrica de abrigos es ( 20) 25 y x x , donde “x” es número d

abrigo confeccionado. Determine la función costo de esta fábrica si se han considerado que los costos fijo

ascienden a 300 dólares.

2.-El costo marginal en dólares de una industria que fabrica carteras está dado por la funció

3600( )

500

xC x donde “x” representa número de carteras producidas.

Determine la función costo de la fábrica si sus costos fijos ascienden a 300 dólares.





3.- Suponga que el ingreso marginal en una fabrica esta dado por la función ( ) 2400 18 8 R x x x

donde “x” representa número de unidades fabricadas y comercializadas. Determine la función ingreso d

esta fábrica.

(Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función ingreso, además si no vende no tie

ingreso, es decir el ingreso es nulo o cero si x = 0)

4.- El costo marginal y el ingreso marginal en una operación petrolera están dadas pos las funcion

2/ 3( ) 18C x t ,

2/ 3( ) 81 3 R x t respectivamente, donde C (costo) y

R (ingreso) están medidos en millones de dólares y t en años. Determine el tiempo que debe permanec

la operación para que la utilidad sen máxima y determine la utilidad en este periodo.

5.- El costo marginal en dólares en un fábrica de pernos esta dado por la relación

21

1

x x y

x, don

“x” es número de pernos producidos. Determine la función costo de la fábrica considerando que s

costos fijos son de 24 dólares, calcule el costo de producir 15 pernos.

6.- La función utilidad marginal en dólares lograda al producir y vender “x” productos

26 8 1 y x x . Determine la función si cuando se producen y venden 100 unidades la utilidad total e

de 20500 dólares, calcule la utilidad que produce la producción y venta de 250 unidades.

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