5a - Funciones de Variables Aleatorias

Funciones de variables aleatorias Prof. María B. Pintarelli

136

FUNCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS

Con frecuencia en probabilidades se encuentra la necesidad de derivar la distribución de probabilidad de una función de una o más variables aleatorias.

Por ejemplo suponga que X es una v.a. discreta con distribución de probabilidad )(xp y

suponga, además, que )(XhY = define una transformación uno a uno entre los valores

de X e Y. Se quiere encontrar la distribución de probabilidad de Y. Si la transformación es uno a uno implica que cada valor de x está relacionado con un y

solo un valor de )(xhy = , y que cada valor de y está relacionado con un y solo un valor

)(ywx = donde )(yw se obtiene al resolver )(xhy = para x en términos de y.

Es claro que la v.a. Y toma el valor y cuando X toma el valor )(yw .

En consecuencia, la distribución de probabilidad de Y está dada por

))(())(())(()()( ywpywXPyXhPyYPyg =======

Ejemplo: Sea X una v.a. geométrica con distribución de probabilidad p(x) = 0.75 (0.25)

x-1 con x = 1,2,….

Encuentre la distribución de probabilidad de la v.a. Y = X2

Solución: Como los valores de X son todos positivos la transformación define una corresponden-

cia uno a uno entre los valores x e y, y = x2 y yx = .

Entonces

==

=−

caso otroen 0

,......9,4,1)25.0(75.0)()(

1yyp

ygy

Supongamos ahora que X1 y X2 son dos variables aleatorias discretas con distribución de probabilidad conjunta p(x1, x2) y que se quiere encontrar la distribución de probabi-lidad conjunta de g(y1 , y2) de las dos variables aleatorias nuevas

Teorema 1 Suponga que X es una v.a. discreta con distribución de probabilidad )(xp . Defini-

mos con )(XhY = una transformación uno a uno entre los valores de X e Y, de ma-

nera que la ecuación )(xhy = se resuelva unívocamente para x en términos de y,

digamos )(ywx = . Entonces la distribución de probabilidad de Y es

))(()( ywfyg =


137

Y1 = h1(X1 , X2) y Y2 = h2(X1 , X2) que definen una transformación uno a uno entre el conjunto de puntos (x1, x2) y (y1, y2). Al resolver las ecuaciones y1 = h1(x1 , x2) y y2 = h2(x1 , x2) de forma simultánea, obtenemos la solución inversa única x1 = w1(y1 , y2) y x2 = w2(y1 , y2) De aquí las variables aleatorias Y1 e Y2 toman los valores y1 e y2 respectivamente , cuando X1 toma el valor w1(y1 , y2) y X2 toma el valor w2(y1 , y2) . La distribución de probabilidad conjunta de Y1 e Y2 es, entonces g(y1 , y2) = P( Y1 = y1, Y2 = y2) = P(X1 = w1(y1 , y2) , X2 = w2(y1 , y2)) = p(w1(y1 , y2) , w2(y1 , y2))

Este teorema es bastante útil para encontrar la distribución de alguna variable aleatoria Y1 = h1(X1 , X2) donde X1 y X2 son variables aleatorias discretas con distribución de probabilidad conjunta p(x1, x2). Se define simplemente una segunda función, digamos Y2 = h2(X1 , X2) y mantenemos una correspondencia uno a uno entre los puntos (x1, x2) y (y1, y2) , y obtenemos la distribución de probabilidad conjunta g(y1 , y2). La distribución de Y1 es entonces la distribución marginal de g(y1 , y2) que se encuentra al sumar los valores y2. Simbolizamos la distribución de Y1 con h(y1) y entonces

∑=y

yygyh

2

),()(211

Ejemplo: Sean X1 y X2 dos variables aleatorias independientes que tienen distribuciones de Pois-

son con parámetros λ1 y λ 2 respectivamente. Encuentre la distribución de probabili-

dad de la v.a. XXY 211 += .

Teorema 2 Suponga que X1 y X2 son variables aleatorias discretas con distribución de probabili-dad conjunta p(x1, x2). Definimos con Y1 = h1(X1 , X2) y Y2 = h2(X1 , X2) una trans-formación uno a uno entre los puntos (x1, x2) y (y1, y2) de manera que las ecuacio-nes y1 = h1(x1 , x2) y y2 = h2(x1 , x2) se puedan resolver unívocamente para x1 y x2 en términos de y1 e y2, digamos x1 = w1(y1 , y2) y x2 = w2(y1 , y2) Entonces la distribución de probabilidad conjunta de Y1 e Y2 es g(y1 , y2) = p(w1(y1 , y2) , w2(y1 , y2))


138

Solución: Como X1 y X2 son independientes podemos escribir

!!!!

),(21

21

2

2

1

121

2112121211

xx

xxe

x

xe

x

xexxp

λλλλλλλλ

+−−−

==

donde x1 = 1, 2, 3,…. y x2 = 1, 2, 3, …..

Definimos ahora una segunda v.a. XY 21 = .

Las funciones inversas están dadas por x1 = y1 – x2 ; x2 = y2 Con el teorema anterior encontramos que la función de distribución conjunta de Y1 e Y2 es

!)!(

),(221

21

21

22121

xyy

yyyeyyg

−=

−

+− λλλλ

donde y1 = 0, 1, 2, 3,… y y2 = 0, 1, 2, ….,y1

Notar que como x1 > 0 entonces y1 – x2 > 0 , es decir x2 < y1.

Por lo tanto la distribución marginal de Y1 es

( )λλλλ

λλλλ

λλλλλλλλ

21!!

!)!(

!

!!)!(),()(

121

1

2

221

21

1

2

221

211

2

221

21

2

10

21

2

1

1

0

21

221

1

10 221

21

211

+=

=

=−

=−

==

+−

=

−

+−

=

−

+−

=

−

+−

∑

∑∑∑

y

y

ey

y

yyyy

y

y

e

y

y

yyy

xyy

y

y

ey

y xyy

yyye

y

yygyh

donde y1 = 0, 1, 2, ….. Por lo tanto la suma de las dos variables independientes con distribución Poisson con parámetros λ1 y λ2 tiene una distribución Poisson con parámetro λ1 + λ2. Para encontrar la función de densidad de probabilidad de la v.a. Y = h(X) cuando X es v.a. continua y la transformación es uno a uno, aplicamos el siguiente teorema

Teorema 3 Supongamos que X es una v.a. continua con función de densidad de probabilidad f(x). Sea Y = h(X) una correspondencia uno a uno entre los valores de X e Y, de mane-ra que la ecuación y = h(x) se resuelve unívocamente para x e términos de y, digamos x = w(y). Entonces la función de densidad de probabilidad de Y es g(y) = f(w(y)) |w'(y)|


139

Dem.)

Supongamos que y = h(x) es una función creciente como la de la figura. Entonces

∫=

=<<=<<)(

)(

)(

))()(()(

bw

aw

dxxf

bwXawPbYaP

Al hacer cambio de variable escribimos

dyywdx )´(= y obtenemos

∫=<<b

a

dyywywfbYaP )´())(()(

Por lo tanto )´())(()( ywywfyg =

Si y = h(x) es una función decreciente como la de la figura que sigue Entonces escribimos

∫

∫∫

−=

===

=<<=<<

a

b

a

b

aw

bw

dyywywf

dyywywfdxxf

awXbwPbYaP

)´())((

)´())(()(

))()(()(

)(

)(

Con lo cual tenemos

)´())(()( ywywfyg −=

Por lo tanto vale en general que )´())(()( ywywfyg = .

Ejemplo: Sea X una v.a. continua con f.d.p. dada por

<<

=contrario caso 0

51 si 12)(

xx

xf

Encuentre la f.d.p. de la v.a. 32 −= XY


140

Solución

La inversa de 32 −= xy sería 2

3+=

yx , de donde

2

1)´( ==

dy

dxyw

Además para obtener el rango de y notar que

71 52

31 51 <<−⇒<

+<⇒<< y

yx

Por lo tanto la f.d.p. de la v.a. Y es

<<−+

=

contrario caso 0

71 si 2

1

12

23

)( y

y

yg

Para encontrar la f.d,p. conjunta de las variables aleatorias Y1 = h1(X1 , X2) y Y2 = h2(X1 , X2) cuando X1 y X2 son continuas, y la transformación es uno a uno, aplica-mos un teorema análogo al visto en el caso discreto que establecemos sin demostración.

Ejemplo: Sean X1 y X2 dos variables aleatorias continuas con f.d.p. conjunta dada por

Teorema 4 Supongamos que X1 y X2 son variables aleatorias continuas con f.d.p. conjunta

),( 21 xxf . Definimos con Y1 = h1(X1 , X2) y Y2 = h2(X1 , X2) una transformación

uno a uno entre los puntos (x1, x2) y (y1, y2) de manera que las ecuaciones y1 = h1(x1 , x2) y y2 = h2(x1 , x2) se puedan resolver unívocamente para x1 y x2 en términos de y1 e y2, digamos x1 = w1(y1 , y2) y x2 = w2(y1 , y2) Entonces la función de densidad conjunta de Y1 e Y2 es g(y1 , y2) = f(w1(y1 , y2) , w2(y1 , y2)) | J | donde J es el jacobiano de la transformación es decir el determinante de la matriz

y

x

y

x

y

x

y

x

J

2

2

1

2

2

1

1

1

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=


141

<<<<

= contrario caso 0

10 , 10 si 4),(

2121

21

xxxxxxf

Encuentre la f.d.p. conjunta de Y1 = X1

2 y Y2 = X1X2 Solución:

Consideramos el sistema de ecuaciones

=

=

xxy

xy

212

211 y lo resolvemos con respecto a

x1 y x2 , y obtenemos las soluciones yx 11 = y y

yx

1

22 = y entonces

calculamos

y

yy

y

y

y

x

y

x

y

x

y

x

J1

11

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

1

2

02

1

=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

Para determinar el subconjunto del plano y1y2 donde toma valores la v.a. (Y1, Y2) escri-bimos

0 10

10 10

10

10

12

1

2

11

2

1

<<→<<

<<→<<

→

<<

<<yy

y

y

yy

x

x

En el gráfico siguiente graficamos la región

La f.d.p. conjunta de Y1 e Y2 es

y1

y2

yy 12=


142

<<<<

=

=

<<<<

=

lado otroen 0

0 , 10 si 2

lado otroen 0

0 , 10 si 2

14

),(

121

1

2

121

11

2

1

21

yyyy

y

yyyyy

yy

yyg

Ejemplo: Sean X1 y X2 dos voltajes aleatorios independientes con f.d.p. dada por

100 si 10

1)( 111

≤≤= xxf 100 si 10

1)( 222

≤≤= xxf

Hallar la f.d.p. de Y1 = X1 + X2 la suma de los dos voltajes aleatorios. Solución: Como X1 y X2 son variables independientes entonces la f.d.p. conjunta de X1 y X2 es el producto de las marginales

≤≤≤≤

==contrario caso 0

100 100 si 100

1)()(),( 21

221121xx

xfxfxxf

Anotamos Y1 = h1(X1 , X2) = X1 + X2 ; Y2 = h2(X1 , X2) = X2 Se puedan resolver unívocamente para x1 y x2 en términos de y1 e y2:

yx

yyx

22

211

=

−=

Aplicamos el Teorema 4

g(y1 , y2) = f(y1 ─ y2) , y2) | J | donde 01

01

2

2

1

2

2

1

1

1

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

y

x

y

x

y

x

y

x

J

Entonces:

≤≤≤−≤=

contrario caso 0

100 100 si 100

1),( 221

21

yyyyyg

Ahora hallamos la f.d.p. de Y1 integrando g(y1 , y2) con respecto a y2 . Para entender cuáles son los límites de integración graficamos en el plano y1 y2 la región


143

100 100 221≤≤≤−≤ yyy ,

o equivalentemente

100 10 222 1≤≤+≤≤ yyyy

En la figura se ve claramente la variación de y2 . por lo tanto tenemos dos casos y la f.d.p. de Y1 es

≤≤

≤≤

=

∫

∫

−

10

10

12

0

12

11

1

1

2010 si 100

1

100 si 100

1

)(

y

yyd

y

yyd

yg

Supongamos ahora que se desea encontrar la f.d.p. de la v.a. )(XhY = cuando X es una

v.a. continua y la transformación no es uno a uno. Es decir para cada valor x correspon-de exactamente un valor de y, pero a cada valor de y corresponde más de un valor de x. En estos casos el método a seguir sería el siguiente (también válido para utilizar cuando la transformación es uno a uno): 1- Primero hallamos la función de distribución acumulada de Y, la anotamos

)()( yYPyG <=

2- Luego para hallar la f.d.p. derivamos G(y) con respecto a la variable y

3- Por último determinamos el rango de Y. Ejemplo: Sea X una v.a. continua con densidad

f(x) para 21 <<− x . Sea Y = X2 Solución: Primero hallamos la F.d.a. G(y)

y1

y2

yy 21=

yy 2110 =−

a− a

a


144

Para esto observamos el gráfico anterio y notamos que Y toma valores no negativos

>

<<

<<−−

<

=

=

>

<<<

<<<<−

<

=<=≤=

4 1

41 )(

10 )()(

0 0

4 1

41 )(

10 )(

0 0

)()()( 2

y

yyF

yyFyF

y

y

yyXP

yyXyP

y

yXPyYPyG

Entonces se deriva aplicando regla de la cadena y obtenemos

<<

<<−+

=

contrario caso 0

41 2

1)(

10 2

1)(

2

1)(

)( yy

yf

yy

yfy

yf

yg

Otra forma de resolver este problema: y = x2 es uno a uno en el intervalo (-1 ; 0) y también es uno a uno en el intervalo (0 ; 2) Entonces aplicamos el Teorema 3 en ( -1 ; 0) y luego en el intervalo (0 ; 2) Para los x en el intervalo (-1 ; 0) resolvemos y = x2 en términos de x :

)(ywyx =−=

Entonces según el teorema 3: g(y) = ─ f(w(y)) |w'(y)|

10 2

1)()( <<−= y

yyfyg (1)

Para los x del intervalo (0 ; 1) resolvemos y = x2 en términos de x :

)( ywyx ==

Entonces según el teorema 3: g(y) = f(w(y)) |w'(y)|

10 2

1)()( <<= y

yyfyg (2)

Como para los y tales que 0 < y < 1 puede ocurrir (1) ó (2) entonces

a


145

10 2

1)(

2

1)()( <<+−= y

yyf

yyfyg

Ahora para los x en (1 , 2) hay un solo caso: resolvemos y = x2 en términos de x :

)( ywyx ==

Entonces según el teorema 3: g(y) = f(w(y)) |w'(y)|

41 2

1)()( <<= y

yyfyg

Por lo tanto escribimos

<<

<<+−

=

lado otroen 0

41 2

1)(

10 2

1)(

2

1)(

)( yy

yf

yy

yfy

yf

yg

Ejemplo:

Sea X una v.a. continua con f.d.p.

<<

=contr caso 0

10 si 1)(

xxf

Sea Y = 2 ln X. Hallar la f.d.p. de Y. Solución: Primero hallamos la F.d.a. de Y. Observar que Y toma valores positivos

)(1)(1

)2

(ln1)2

(ln)ln2()()(

22 eFeXP

yXP

yXPyXPyYPyG

yy −− −=≤−=

=−≤−=−≥=≤−=≤=

Entonces

>−−

=∂

−∂=

−−−

contrario caso 0

0 )2

1)()(()(1(

)(222 yeef

y

eFyg

yyy

Pero )( 2efy− = 1 si 10 2 << −

ey

, es decir si 02>y

Por lo tanto la f.d.p. de Y es

>

=−

contrario caso 0

0 )2

1)((

)(2 yeyg

y


146

Practica

Función de variables aleatorias 1) El gerente de un almacén en una fábrica ha construido la siguiente distribución de

probabilidad para la demanda diaria (número de veces utilizada) para una herra-mienta en particular.

y 0 1 2

p(y) 0.1 0.5 0.4

Le cuesta a la fábrica $10 (dólares) cada vez que se utiliza la herramienta. Encuen- tre la fdp y la Fda de Z = 10Y el costo diario para el uso de tal herramienta. 2) Una magnitud aleatoria X tiene la siguiente ley de distribución

x -1 -2 1 2

p(x) 0.3 0.1 0.2 0.4

a) Hallar la fdp y la Fda de la v.a. Y = X

2

b) Hallar la fdp y la Fda de la v.a. Z = 3X+2 c) Hallar la fdp y la Fda de la v.a. U = 2-3X

3) Sea Y una v.a. continua con fdp dada por

≤≤−

=lado otroen 0

10 ),1(2)(

yyyf

a) Determine la fdp de X = 2Y-1 b) Determine la fdp de Z = 1-2Y c) Determine la fdp de W = Y

2

4) Sea X una v.a. con fdp dada por

( )

≤≤−

=contrario caso ,0

11 ,2

3)(

2xx

xf

a) Hallar la fdp de Y = 3X b) Hallar la fdp de Z = 3-X c) Hallar la fdp de W = X2

5) La proporción de impurezas en ciertas muestras de minerales es una v.a. X con la fdp:

( )

≤≤+

=contrario caso ,0

10 ,2

3)(

2xxx

xf

El valor en dólares de tales muestras es )2/(5 XU −= . Obtenga la fdp de U.

6) Un paracaidista desea aterrizar sobre un blanco T, pero se da cuenta que es igual- mente probable que vaya a aterrizar en cualquier punto sobre el segmento (A,B) con


147

punto medio T. Obtenga la fdp de la distancia D entre su punto de aterrizaje y el blanco. (Sugerencia: tomar A = -1, B = 1 y T = 0. Entonces el punto de aterrizaje del paracaidista tiene una coordenada X, con fdp dada por

≤≤−

=contrario caso ,0

11 ,1)(

xxf

La distancia entre X y T es X ).

7) El porcentaje de alcohol en cierto compuesto es una v.a. Y, con la siguiente fdp.:

≤≤−

=lado otoen ,0

10 ),1(20)(

3 yyyyf

Suponga que el precio de venta del compuesto depende del contenido de alcohol.

Específicamente, si 3

23

1 << y , el compuesto se vende a C1 dólares el galón; de

otra manera se vende a C2 dólares el galón. Si el costo de producción es C3 dólares por galón, encuentre la distribución de probabilidad de la ganancia por galón. 8) Una máquina produce envases esféricos cuyos radios varían de acuerdo con la fun- ción de densidad de probabilidad

≤≤

=contrario caso ,0

10 ,2)(

rrrf

Obtenga la función de densidad para el volumen de los envases. 9) La función de densidad de Weibull está dada por

>=

−−

contrario caso ,0

0 1

)(

1 yemyyf

my

m α

α

en donde my α son constantes positivas. Se utiliza mucho esta función de densidad

como un modelo para la duración de sistemas físicos. Supóngase que Y tiene la fdp de Weibull, obtenga la fdp de Y

m.

10) Referido al ejercicio 3) de la Practica de Variables aleatorias bidimensionales, la

reducción en la cantidad del contaminante debido al dispositivo anticontaminante

está dada por U = X − Y. Obtenga la fdp de U. 11) En referencia al ejercicio 4) de la Practica de Variables aleatorias bidimensionales,

sea U = X + Y, la proporción de los dos tipos de componentes por unidad. Obtenga la fdp de U.


148

12) En un proceso de sinterización de dos tipos de polvo de cobre la función de densi-dad para X, la proporción del volumen de cobre sólido en una muestra, es

≤≤−

= lado otroen 0,

1 x 0 x),6x(1f(x)

La fdp de Y, la proporción de cristales de tipo A en el cobre sólido, es

≤≤

=lado otroen 0,

1y0 ,3yg(y)

2

La variable Z = X.Y da la proporción del volumen de la muestra debido a los cristales de tipo A. Obtenga la fdp de Z, suponiendo que X e Y son independientes. 13) En un sistema electrónico operan conjuntamente dos componentes de dos tipos dife-

rentes. Sean X e Y la duración aleatoria de los componentes del tipo I y II respecti-vamente. La fdp conjunta está dada por

( )

>>

=+−

lado otroen ,0

0 ,0 ,e x 8

1y)f(x,

y)/2(x yx

(Las mediciones están en cientos de horas). La eficiencia relativa de los dos tipos de componentes se mide por Z = Y/X. Obtenga la fdp de Z.

14) Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes que tienen cada una la distribución de probabilidad

f(x) =

>−

contrario caso 0

0 xsi ex

Muestre que las variables aleatorias Y1 e Y2 son independientes cuando

Y1 = X1 + X2 e Y2 = XX

X

21

1

+

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