5. Derivada.

“En la medida que las teorías matemáticas se refieran a la realidad perderán certeza;y en la medida que adquieran certeza se alejarán de la realidad.”

Albert Einstein (1879 - 1955)

5.1 La derivada como un límite.Usando la definición de límite podemos reescribir la definición de pendiente de la recta

tangente a la gráfica de una función y de velocidad instantánea de una función de la siguientemanera:

Definición 5.1.1 — Cociente incremental. Dada una función f definida en un intervaloabierto (c, d). Dados a y x en (c, d), dos números reales dentro del intervalo, se denominacociente incremental de f en el intervalo [a, x] al cociente

f (x) − f (a)x − a

=∆ f∆x= Vprom[a, x] (5.1)

El cociente incremental de f en el intervalo [a, x] representa la velocidad promediode f en el intervalo [a, x] o la pendiente de la recta secante entre los puntos de abscisa ay x. También se denomina variación promedio de f en el intervalo [a, x].

Definición 5.1.2 — Pendiente de la recta tangente - Velocidad instántea. Dada una función fdefinida en un intervalo abierto (c, d). Dado a ∈ (c, d), un número real dentro del intervalo,se define la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) como elnúmero real ma (en el caso que exista) determinado por el valor del siguiente límite

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

= lı́mx→a

∆ f∆x= lı́m

x→aVprom[a, x] = ma (5.2)

El número ma determina también la variación instantánea de la función f en x = a.

Para determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x2 + 2en el punto (a, f (a)) = (a, a2 + 2) calculamos

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

= lı́mx→a

(x2 + 2) − (a2 + 2)x − a

= lı́mx→a

x2 − a2

x − a= lı́m

x→a

(x − a)(x + a)x − a

= lı́mx→a(x + a) = a + a = 2a (5.3)

a ma = 2a

1 20 0-1 -22 4...

...

Tabla 5.1: Valores de ma.

Por lo tanto ma = 2a. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) es

y = ma(x − a) + f (a)

y = 2a(x − a) + a2 + 2

En particular, si consideramos a = 1, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f enel punto (1, 3) es

y = 2(x − 1) + 3⇐⇒ y = 2x + 1

.Podemos calcular distintos valores de ma como se muestra en la Tabla 5.1 y obtener las

ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos correspondientes como sigue:

2 Capítulo 5. Derivada.

a = 1 −→ m1 = 2 −→ y = 2(x − 1) + 3⇔ y = 2x + 1

a = 0 −→ m0 = 0 −→ y = 0(x − 0) + 2⇔ y = 2

a = −1 −→ m−1 = −2 −→ y = −2(x + 1) + 3⇔ y = −2x + 1

a = 2 −→ m2 = 4 −→ y = 4(x − 2) + 6⇔ y = 4x + 2

Ecuaciones de las rectas tangente a lagráfica de f en los puntos (a, f (a)).

En la Figura 5.1 se representan las cuatro rectas tangentes calculadas previamente.

x

yf (x) = x2 + 2

y = 2x + 1

y = 2

y = −2x + 1

y = 4x + 2

Figura 5.1: Recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x2 + 2 en el punto (a, a2) paraa = 1, 0, 1 y 2.

Definición 5.1.3 — Función derivada. Dada f una función cuyo dominio es algún intervaloabierto (c, d). Se define como derivada de f a la función definida por la regla

a 7−→ ma

Existen varias formas de escribir a la función derivada. En este curso usaremos lassiguientes notaciones

f ′ =dfdx

f ′(a) =dfdx(a) = ma

Si la variable independiente se denota por la letra x entonces se dice que es la derivadade f respecto a x.

En este caso dominio de la función f ′ está formado por todos los valores en el dominiode f para los cuales existe el límite del cociente incremental.

Si la función f admite derivada en x0 se dice que f es una función derivable en x0.

En el caso de f (x) = x2 + 2 hemos calculado previamente en 5.3 que ma = 2a por lo tanto

f ′(a) = 2a.

El Dom( f ) y el Dom( f ′) son ambos iguales a R (el límite del cociente incremental existepara cualquier valor de a).

5.1 La derivada como un límite. 3

C Hacemos algunos comentarios respecto a la notación que se usa y usaremos con lasderivadas.

Por un lado, en la notacióndfdx

la variable que figura en el denominador hace referenciaa la variable independiente de la función cuyo nombre está en el numerador.

dfdx=

variable dependientevariable independiente

Esta notación se usará en los desarrollos de la siguiente manera

Dada u = t2 + 2 entonces u′ =dudt= 2t

en donde se utiliza en la misma variable independiente t para las funciones u y u′.

Actividad 5.1 Para un mol de oxígeno a 26◦ C, la presión P y el volumen V se relacionanmediante la ecuación

P =1 × 0.082 × 26

Vdonde P se mide en atmósferas y V en litros.

a) Encuentren la derivada de P respecto a V .b) ¿Cuánto vale P′(1)?

�

5.1.1 Sobre las unidades de f ′.En general se tiene que si

lı́mx→a

f (x) = L

entonces las unidades de L son las mismas que las de f (x).Por lo tanto, las unidades de f ′ serán las mismas que tiene el cociente incremental al

cociente incremental∆ f∆x=

unidades de funidades de x

.

Si f (t) es la distancia en metros y t es el tiempo en segundos entonces las unidades def ′(t) (la velocidad) serán metros/segundo.

Si f (x) es la presión en atmósferas (atm) y x es la altitud en km entonces las unidadesde f ′(x) (usualmente llamado gradiente de presión) serán atm/km.

Si f (t) es el tamaño de una población en individuos y t es el tiempo en años entonceslas unidades de f ′(t) (tasa de crecimiento) serán individuos/año.

5.1.2 Definición equivalente para f ′(a).La noción de derivada está asociada al valor del límite de las velocidades promedio

calculadas en el intervalo [a, x]. Usando la notación de ∆ f y ∆x los siguientes cocientesincrementales son equivalentes considerando que ∆x = x − a.

eje x

a x←−

∆x = x − a

eje x

ax−→

∆x = x − a

f (x) − f (a)x − a

=f (a + ∆x) − f (a)

∆x. (5.4)

De modo que la derivada, en el caso de que exista, queda determinada por

dfdx(a) = lı́m

x→a

f (x) − f (a)x − a

= lı́m∆x→0

f (a + ∆x) − f (a)∆x

La equivalencia x → a ⇐⇒ ∆x → 0 esesencial en este desarrollo. Decir que x tiendea a es equivalente a decir que la diferenciax − a tiende a 0.

Donde hemos considerado la equivalencia: x → a⇐⇒ ∆x → 0.

4 Capítulo 5. Derivada.

Actividad 5.2 Usando la expresión

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

calculen f ′(a) para los valores de a ∈ Dom( f ).

a) f (x) = 4x3 b) f (x) = 7x − 3 c) f (x) = 5 d) f (x) =1x2

�

Para resolver las Actividades 5.2 y5.3 pueden ser útiles las siguientesigualdades algebraicas

b2 − a2 = (b − a)(b + a)

b3 − a3 = (b − a)(b2 + ab + a2

)b4−a4 = (b−a)

(b3 + b2a + ba2 + a3

)¿Cómo es la expresión equivalentepara (bn − an)?

Actividad 5.3 Usando la expresión

lı́m∆x→0

f (a + ∆x) − f (a)∆x

calculen f ′(a) para los valores de a ∈ Dom( f ).

a) f (x) = π2 b) f (x) =1x

c) f (x) = 1 − 5x d) f (x) = πx4

�

5.2 La función derivada.El estudio de las funciones que intervienen en los modelos matemáticos se apoya muchas

veces, y en primera instancia, en construcciones gráficas. Ingenuamente, en ocasiones,realizamos construcciones con tablas de valores con 5 o 6 datos (10 datos quizás) conectandolos puntos con una curva suave. Otra veces, mediante softwares graficadores podemos realizarconstrucciones gráficas extremádamente sofisticadas. Sin embargo, estas dos metodologíaspueden ser insatisfactorias en algunas situaciones; por varias razones.• Primero, ¿cómo sabemos que la unión de algunos puntos en un gráfico nos producirá laforma real de la curva?• En segundo lugar, ¿cómo podemos saber dónde están las características relevantes delgráfico?• Y tercero, ¿cómo podemos estar seguros de que no nos hemos perdido nada?

Actividad 5.4 Las gráficas de la Figura 5.2 fueron construidas en forma computacional.Determinen, para cada caso: los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Además, losvalores de x en los que se alcanzan los máximos y los mínimos relativos.

�

−1 −.5 .5 1 1.5 2 2.5

−4

−2

2

4

6

−.4 −.2 .2 .4

.25

.3

.35

.4

.45

.5

Figura 5.2: Gráficas realizadas en forma computacional para la Actividad 5.4.

5.2 La función derivada. 5

Actividad 5.5 Si graficamos con alguno de los softwares usuales las funciones f (x) = 2x

(no hemos estudiado aún las funciones exponenciales pero los graficadores pueden hacersu gráfica sin dificultad) y g(x) = x10 se obtiene una gráfica similar a la que presentamosen la Figura 5.3.

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x = x10? �

x

y

1

2

−1 1

y = 2x

y = x10

Figura 5.3: Gráficas de las funcionesf (x) = 2x y g(x) = x10.

Algunos comentarios respecto a las actividades anteriores.

• Las gráficas de la Actividad 5.4 corresponden a la misma función

f (x) = (x − 13 )

5 − 2x3 + 15

pero con distintas escalas gráficas.

• La ecuación 2x = x10 tiene 3 soluciones reales (y varias soluciones más que soncomplejas) pero la tercer solución, que no se detecta en los gráficos usuales, se escapa alas escalas tradicionales:

x ≈ 58.77 con el correspondiente y = 258.77 ≈ 4.9 × 1017.

Lo que nos interesa entonces es poder obtener mejores respuestas a este tipo de activi-dades usando análisis matemático. Específicamente, utilizando la función derivada comoherramienta esencial para encontrar todas las características que nos interesen de una función.

eje x

eje y

a

eje x

eje y

a

eje x

eje y

a

Figura 5.4: Ejes cartesianos para laActividad 5.6.

Actividad 5.6a) Discutan con sus compañeros/as y docentes la validez de las siguientes proposiciones:

• Una recta tangente a la gráfica de una función corta la gráfica sólo en un punto.• Si una recta corta la gráfica de una función en un único punto entonces se tratade la recta tangente.

b) Utilicen los 3 sistemas de ejes coordenados de la Figura 5.4 para realizar las gráficasque se piden a continuación:• La gráfica de una función y una recta tangente en x = a que sólo se cortan unavez.• La gráfica de una función y una recta tangente en x = a que se cortan dos omás veces.• La gráfica de una función y una recta que NO sea tangente en x = a y que secorten una única vez en x = a.

�

x mx

-2047.5111620

Tabla 5.2: Valores de mx .

Actividad 5.7 Considerando la Figura 5.5,a) Dibujen las rectas tangentes a la gráfica de la función g en los puntos de abscisa

x = −2, 0, 4, 7.5, 11, 16, 20.b) Completen la Tabla 5.2 con las pendientes de las rectas tangentes.c) Dibujen en la gráfica de la Figura 5.6 los puntos correspondientes a la Tabla 5.2.d) Realicen un bosquejo para la gráfica de g′ como una curva suave que conecte los

puntos. Incorporen una escala adecuada a los ejes cartesianos.e) ¿Cuántas veces corta al eje x la gráfica realizada en la Figura 5.6?f ) Según la gráfica realizada en la Figura 5.6, cuál es el valor de g′(2)? ¿Cuál es el

valor de g′(10)?g) Comparen los valores propuestos de g′(2) y g′(10) con las pendientes de las rectas

tangentes a la gráfica de g en la Figura 5.5. Usen la información para ajustar lapropuesta de gráfica de g′(x).

�

6 Capítulo 5. Derivada.

eje x

eje y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

-6-5-4-3-2-1012345678

Figura 5.5: Gráfica de la función g.

eje x

eje y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

-6-5-4-3-2-1012345678

Figura 5.6: Puntos correspondientes a la Tabla 5.1 y propuesta de gráfica de la función g′.

x f ′(x)

-2-1012

Tabla 5.3: Valores de f ′(x).

Actividad 5.8 En la Figura 5.7a se presenta la gráfica de una función f .a) Determinen, de manera aproximada, los valores f ′(−2), f ′(−1), f ′(0), f ′(1) y f ′(2).

Completen la Tabla 5.3.b) En la Figura 5.7b se presenta un sistema de ejes coordenados para representar los

valores de f ′ en función de x. Representen los valores encontrados en el inciso a).El gráfico no tiene escalas en el eje vertical para que se puedan ubicar los datosencontrados de manera adecuada.

c) En la Figura 5.7b, utilicen los puntos marcados para realizar un bosquejo de lafunción f ′.

�

5.3 Máximos y mínimos locales en una función. 7

−2 −1 0 1 2−10

−5

0

5

10

x (variable independiente)

f(variabledependiente)

(a) Gráfica de la función f .

−2 −1 0 1 2

0

x (variable independiente)

f′(derivada)

(b) Propuesta de gráfica de la función f ′.

Figura 5.7: Gráficas de una función f y propuesta de gráfica de su función derivada f ′.

Actividad 5.9 En el sistema de ejes de la Figura 5.8 bosquejen una porción de la gráfica deuna función k cerca de x = a basados en la siguiente información sobre su derivada:• k ′(a) = 0• k ′(x) es negativa para los valores de x < a.• k ′(x) es positiva para los valores de x > a.

�

eje x

eje y

a

Figura 5.8: Ejes cartesianos.Actividad 5.10 En el sistema de ejes de la Figura 5.9 bosquejen una porción de la gráfica deuna función k cerca de x = a basados en la siguiente información sobre su derivada:• k ′(a) = 0• k ′(x) es negativa en ambos lados de x = a.

�

eje x

eje y

a

Figura 5.9: Ejes cartesianos.5.3 Máximos y mínimos locales en una función.

Lo primero que nos proponemos es determinar qué características tienen aquellos puntosde la gráfica de una función derivable en la que se alcanzan los valores máximos locales ylos valores mínimos locales.

Figura 5.10: Gráfica de una fun-ción f con intervalos de crecimiento,intervalos de decrecimiento, valoresmáximos locales y valores mínimoslocales.

c dx1

x0

x2

Mínimo local

¿?

Mínimo local

Máximo local

8 Capítulo 5. Derivada.

Teorema 5.3.1 — Condición necesaria para la existencia de un máximo o mínimo local.Dada una función f definida en un intervalo abierto (c, d) que es derivable en x0 ∈ (c, d)

y alcanza allí un máximo o un mínimo local, entonces (necesariamente) debe ser

f ′(x0) = 0.

Dicho de otra manera: La recta tangente en el punto de abscisa x0 debe ser horizontal.

Si comenzáramos nuestro análisis en un x0 perteneciente al intervalo (c, d) en el cual sealcanza un valor mínimo local veremos cómo se comportan los cocientes incrementales.

c dx1

x0

x2

Mínimo local

Máximo local

∆x > 0

∆ f ≥ 0

∆x < 0

∆ f ≥ 0

Recordemos que:∆x = x − x0∆ f = f (x) − f (x0)

Dado que f (x0) es un valor mínimo local podemos afirmar que f (x0) ≤ f (x) para todoslos valores de x cercanos a x0. O sea, f (x) − f (x0) ≥ 0.

En cambio, x − x0 puede ser positivo o negativo según se tome x → x+0 o x → x−0 .

Por lo tanto, los cocientes incrementales quedan

f (x) − f (x0)

x − x0=∆ f∆x=

Si x → x+0 entonces

∆ f ≥ 0∆x > 0

≥ 0 (1)

Si x → x−0 entonces∆ f ≥ 0∆x < 0

≤ 0 (2)

Como sabemos que f es derivable en x0 entonces las afirmaciones (1) y (2) implican cada unalo siguiente

lı́mx→x+0

f (x) − f (x0)

x − x0≥ 0︸︷︷︸

Por (1)

lı́mx→x−0

f (x) − f (x0)

x − x0≤ 0︸︷︷︸

Por (2)

0.

Para satisfacer ambas condiciones a la vez será f ′(x0) = 0 necesariamente.

C Un comentario importante respecto al razonamiento anterior. Utilizamos una propiedadde los límites que no mencionamos previamente: si para todos los valores x cercanos ax0 se cumple que G(x) ≤ M y además se sabe que existe el límite de G(x) para x → x0entonces necesariamente

lı́mx→x0

G(x) ≤ M .

5.3 Máximos y mínimos locales en una función. 9

Actividad 5.11 ¿Cómo debe modificarse el razonamiento anterior para el caso que x0 sea laabscisa de un punto (x0, f (x0)) donde se alcance un valor máximo local?

�

El Teorema 5.3.1 nos brinda una condición necesaria que deben cumplir todos aquellospuntos de la gráfica de una función f derivable en un intervalo abierto alcance un valormáximo local o un valor mínimo local.

Corresponde ahora analizar las siguientes 3 situaciones: ¿por qué decimos condiciónnecesaria, ¿qué pasa si la función no es derivable? y ¿qué pasa si el intervalo no es unintervalo abierto?

5.3.1 Valores estacionarios.La condición f ′(x0) = es una condición necesaria pero no es suficiente. Es posible que

existan puntos para los cuales se cumpla f ′(x0) = 0 pero que, sin embargo, no sea alcancenallí valores máximos locales ni valores mínimos locales.

En la Figura 5.7a, la Actividad 5.10 y en la Figura 5.10 aparecen ejemplos en los que larecta tangente en un punto es horizontal pero sin embargo no se trata de un valor máximo nimínimo local.

Definición 5.3.1 — Valores estacionarios. Los valores de x para los cuales f ′(x) = 0 sedenominan valores estacionarios de f .

Por lo tanto, los valores máximos locales y los valores mínimos locales de funcionesderivables en un intervalo abierto siempre se alcanzan en valores estacionarios. Aunque noen todos los puntos estacionarios se alcanzarán siempre valores máximos locales o valoresmínimos locales.

5.3.2 Valores críticos.La condición f ′(x0) = 0 conlleva la hipótesis de saber que la f ′(x0) existe; o sea, de saber

que la función es derivable en x0. Aquellos valores de x0 para los cuales no exista la derivadano están incluidos entonces en el teorema de condición necesaria para los máximos o mínimoslocales. Como ejemplos podemos adaptar las gráficas presentadas en la Figura 4.9 del Módulo4 como siguen en la Figura 5.11.

Figura 5.11: En ninguna de estassituaciones la curva posee recta tan-gente en el punto (3, 2).

En ambos casos, para x = 3 se alcanzan máximos (Gráfica B) o mínimos (Gráfica C)locales de la función; sin embargo, en ninguno de los casos existe f ′(3). De modo que losvalores máximos o mínimos locales de una función también pueden enocntrarse en aquellosvalores de x en los que la función no es derivable.

Definición 5.3.2 — Valores críticos. Aquellos valores de x en el dominio (pero no en elborde) de una función f en los que la derivada no existe ,o aquello en los que la derivadaexiste y vale f ′(x) = 0, se denominan valores críticos de f .

Remarcamos que los valores críticos de una función deben ser siempre valores en sudominio.

10 Capítulo 5. Derivada.

� Ejemplo 5.1 Mostraremos, analíticamente, que f (x) =1xno tiene valores críticos.

Corresponde encontrar los valores del dominio (que no están en el borde) en los que laderivada no existe, y los valores estacionarios.Considerando que el Dom( f ) = R − {0} tenemos que el dominio no tiene bordes.

Según lo que realizaron ustedes en la Actividad 5.3b) se tiene que f ′(x) = −1x2 para

todos los valores de x , 0. O sea que la función es derivable en todo su dominio.Por otro lado, los valores estacionarios de f deben cumplir la ecuación

f ′(x) = 0⇐⇒ −1x2 = 0⇐⇒ −1 = 0

que es absurdo porque −1 es distinto de 0. Por lo tanto la ecuación no tiene solución.No hay valores críticos.

�

Conjuntos Intervalos:

Conjunto ∅Conjunto vacío. Sin elementos.

Conjunto (a, b){x ∈ R : a < x < b }

Conjunto [a, b]{x ∈ R : a ≤ x ≤ b }

Conjunto (a, b]{x ∈ R : a < x ≤ b }

Conjunto [a, b){x ∈ R : a ≤ x < b }

Conjunto (a,+∞){x ∈ R : a < x }

Conjunto (−∞, b){x ∈ R : x < b }

Conjunto [a,+∞){x ∈ R : a ≤ x }

Conjunto (−∞, b]{x ∈ R : x ≤ b }

Conjunto (−∞,+∞)Todos los números reales. R.

Tabla 5.4: Los intervalos que formanla base de otros conjuntos más com-plejos que usaremos de dominio.

Actividad 5.12 ¿Cuántos y cuáles son los valores críticos de las siguientes funciones?

a) f (x) = πx4 b) f (x) = x3 − x�

Actividad 5.13 Realicen la gráfica de una función que cumpla las siguientes condiciones:tenga 2 máximos relativos, 4 valores estacionarios, 1 mínimo relativo y 5 valores críticos.

�

5.3.3 Bordes del intervalo.Por último, ¿qué pasa si la función está definida en un conjunto que no es un intervalo

abierto? Los conjuntos que no son intervalos abiertos pueden tener diversas formas: pueden serintervalos cerrados sencillos como el intervalo [1, 5] pero también pueden ser conjuntos máscomplejos como por ejemplo el conjunto de los números racionales Q. Nos concentraremosen los conjuntos de la forma, que ya conocemos, de la Figura 5.4, o que se pueden formaruniendo una cantidad finita de ellos. Por ejemplo,• La función f (x) =

√x2 − 1 tiene como dominio natural Dom( f ) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).

• La función g(x) =1

x − 3tiene como dominio natural Dom(g) = (−∞, 3) ∪ (3,+∞).

En general, podrá pasar que los valores de x para los cuales las funciones tomen susvalores máximos locales o valores mínimos locales también se encuentren en los bordesde los conjuntos que estemos estudiando. Por ejemplo, una función creciente en el intervalo[−1, 1] toma sus valores máximos y mínimos en los bordes del intervalo. Ver Figura 5.12.

x

y

−1 1

Mínimo local

Máximo local

Figura 5.12: Gráfica de una funciónen un intervalo cerrado con valoresmáximos y mínimos que se alcanzanen los bordes del dominio.

Primeras conclusiones y reflexiones.La exploración de los valores críticos (que incluye los valores estacionarios de una

función y su comportamiento en los bordes del intervalo) permiten tener una la listacompleta de valores en los la función con la que estemos trabajando tome sus valores máximoso mínimos locales. Ninguno de estos valores máximos/mínimos se nos “escapará” siempre ycuando seamos capaces de:• Averiguar en qué valores de x una función es derivable y en qué puntos no. Requiere

mayor destreza en el cálculo de límites de los cocientes incrementales. Nos ocuparemosde esto en la siguiente sección.• Resolver la ecuación f ′(x) = 0. Requiere destreza algebraica para “despejar” la variable

x. Aunque puede suceder que la ecuación no sea resoluble en forma exacta por métodosalgebraicos y tengamos que recurrir a métodos de aproximación.• Identificar correctamente el dominio de la función junto con sus bordes. Aquí se conjuganvarias cosas. Principalmente conocer las características de las funciones básicas.

5.4 Existencia de la derivada. 11

5.4 Existencia de la derivada.Como mencionamos anteriormente, nos interesa saber cuándo existe y cuándo no existe el

límite correspondiente al cálculo de una derivada

lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

(5.5)

Ya hemos mencionado en el Teorema 4.3.1 del Módulo 4 (página 13) que la existencia delos łímites laterales y su igualdad es suficiente para poder afirmar que el límite 5.5 existe.

Definición 5.4.1 — Derivadas laterales. Consideramos dos casos por separado.

• Si f es una función definida en un intervalo de la forma [a, d), entonces se denominaderivada lateral por derecha de f en x = a al número, si es que existe,

f ′+(a) = lı́mx→a+

f (x) − f (a)x − a

• Si f es una función definida en un intervalo de la forma (c, a], entonces se denominaderivada lateral por izquierda al número, si es que existe,

f ′−(a) = lı́mx→a−

f (x) − f (a)x − a

Actividad 5.14 Discutan entre compañeros/as y docentes, ¿qué representan geométricamentelas derivadas laterales de una función? Redacten la explicación que consideren adecuada yrealicen un gráfico que sirva como ayuda. �

Actividad 5.15 La Figura 5.13 presenta la gráfica del volumen ventricular del corazóndurante un latido normal de 0.8 segundos. Durante la sístole, el ventrículo se contrae yexpulsa la sangre hacia la aorta. La diástole, es el período en el que el ventrículo se relaja yrecibe sangre que proviene de la vena cava.¿Cómo describirían el comportamiento ventricular a los 0.3 segundos? ¿El ventrículo secontrae a la misma velocidad con la que se relaja? ¿Cuál es la velocidad del flujo de sangre(en ml/segundos) que entra al ventrículo al comenzar la diástole?

�

Figura 5.13: Volumen ventricular (en ml) en función del tiempo (en segundos).

12 Capítulo 5. Derivada.

Teorema 5.4.1 Considerando f una función definida en un intervalo abierto (c, d) quecontiene a x = a.

f es derivable en x = a ⇐⇒ f ′−(a) y f ′+(a) existen y son iguales.

En este caso se cumple: f ′(a) = f ′−(a) = f ′+(a).

Notar: si las derivadas laterales en un punto x = a de una función no existen, o existenpero son distintas, entonces la función no es derivable en x = a.Éstos son los casos estudiados en la Figura 5.11 C.

Figura 5.14: Porción de la gráficade una función cuyas derivadas la-terales existen en x = 3 pero sondistintas.

Actividad 5.16 Estudien las derivadas laterales de las siguientes funciones en el valor dex = a indicado y decidan si la función es derivable allí. En cada caso, realicen la gráfica dela función.

a) f (x) =

x2 para x ≥ 0

x3 para x < 0para a = 0.

b) g(r) =

3r + 1 para r ≤ 1

r + 3 para r > 1para a = 1.

�

Retomamos el problema de estudiar la existencia del límite lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

Figura 5.15: Porción de la gráfica deuna función en la que no existe ellímite de f (x) para x → 3.

Teorema 5.4.2 Considerando f es una función definida en un intervalo abierto (c, d) quecontiene a x = a.

Si f es derivable en x = a =⇒ lı́mx→a

f (x) = f (a).

La existencia de la derivada en el valor x = a garantiza que el límite lı́mx→a

f (x) tambiénexiste y puede calcularse por simple evaluación.Notar: si el lı́m

x→af (x) no existe o, existe pero es distinto a f (a), entonces la función no es

derivable en x = a.Éstos son los casos estudiados de la forma Figura 5.11 B.

Las funciones que cumple quelı́mx→a

f (x) = f (a) (o sea, aquellaspara las cuales el límite se puede cal-cular simplemente por evaluación)se denominan continuas en x = a.En el próximo Módulo 6 las estudia-remos con más detalles.

Actividad 5.17 Proponemos que, siguiendo el hilo del razonamiento y completando losespacios en blanco, realicen una demostración del Teorema 5.4.2.

Partimos de la hipótesis de que el lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

y vale .

Sabemos también que el lı́mx→a(x − a) y vale .

Usando la propiedad del podemos decir que el límite

lı́mx→a

.

también y vale .

O sea, lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

.(x − a) = lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

.(x − a) = lı́mx→a

f (x) − f (a) = .

Pero decir lı́mx→a

f (x) − f (a) = es equivalente a decir lı́mx→a

f (x) = .�

5.4 Existencia de la derivada. 13

Trabajaremos a continuación una última situación en este módulo en relación a nuestro

problema de determinar la existencia del límite lı́mx→a

f (x) − f (a)x − a

.

x y Vprom[0, x]

1.51.5.1.01

−.01−.1−.5−1−1.5

Tabla 5.5: Actividad 5.18.

Actividad 5.18 La Figura 5.17 presenta la gráfica de la función f (x) = 3√x (recordar lasfunciones radicales del Módulo 3 en página 9).

Nos proponemos estudiar la existencia de la recta tangente a la gráfica en el punto (0, 0).

a) Completen la segunda columna de la Tabla 5.5 con los valores de y correspondientesa los puntos de abscisa x. Grafiquen en la figura las rectas secantes entre los puntos(0, 0) y (x, y).

b) Completen la Tabla 5.5 con los valores correspondientes de las pendientes de lasrectas secantes graficadas en el item a).

c) Se observa que para valores de x que se aproximan a 0 las rectas secantes se“aproximan” a una recta de ecuación . . . ¿qué ecuación tiene la recta tangente a lagráfica en el punto (0, 0)?

d) ¿Qué ocurre con los valores de Vprom[0, x] si agregamos más filas a la tabla tomandovalores de x cada vez más cercanos a 0?

�

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

y = 3√x

x

y

Figura 5.16: Gráfica de la función radical f (x) = 3√x.

14 Capítulo 5. Derivada.

Para determinar si la función f (x) = 3√x es derivable en x = 0 debemos estudiar laexistencia del límite

lı́mx→0

f (x) − f (0)x − 0

= lı́mx→0

3√xx= lı́m

x→0

1x2/3︸ ︷︷ ︸(∗)

El límite (∗) no puede calcularse por evaluando porque el denominador se anula (no sonválidas las propiedades de cálculo de límites del Módulo 4. La exploración numérica de laActividad 5.18b) y la exploración geométrica de la Actividad 5.18c) muestran que tomandox → 0 (tanto para x → 0+ como x → 0− los valores de Vprom[0, x] son cada vez más grandesy positivos a la vez que la rectas secantes se “ponen” cada vez más verticales. Escribimos

cuando x se aproxima a 0 entoncesf (x) − f (0)

x − 0aumentan ilimitadamente

O de manera compacta

lı́mx→0

f (x) − f (0)x − 0

= +∞

usando el símbolo de∞ (infinito) para describir el comportamiento de los númerosf (x) − f (0)

x − 0que aumentan indefinidamente tomando valores tan grandes como se quiera; no tienen ningúntecho que les impida seguir creciendo.

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

Figura 5.17: Gráfica de la funciónradical f (x) = 3√x.

Por lo tanto, el límite

lı́mx→0

f (x) − f (0)x − 0

= lı́mx→0

3√xx= lı́m

x→0

1x2/3 = +∞

no existe (no es ningún número real finito) y la función f (x) = 3√x no es derivable enx = 0. Es necesario marcar aquí la diferencia con los casos anteriores porque la gráfica tienerecta tangente en el punto (0, 0) pero es vertical por lo que no tiene pendiente o como a vecesse dice, tienen pendiente infinita.

C Quedará pendiente para más adelante cuando estudiemos funciones trigonométricas elcaso en el que las rectas secantes oscilan indefinidamente sin tender a una recta rectatangente fija.