5._fragmentacion

BLOQUE I CAPTULO 5. FRAGMENTACIN Emilio Andrea Blanco

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5.1. Principios generales, definiciones 5.1.1. Granulometra de los productos La fragmentacin modifica el tamao de los productos minerales desde aquel correspon-

diente al producto final del arranque, (D80, D90, D95) hasta aquel otro tamao que tiene utilidad para su uso en las etapas posteriores del proceso mineralrgico (d80, d90, d95).

Para la operacin de fragmentacin se utilizan las mquinas denominadas trituradoras y mo-linos que se caracterizan por su diseo especializado para diferentes tamaos y productos. Nor-malmente los sistemas de fragmentacin mediante trituradoras trabajan en los tamaos grandes y los molinos en los tamaos menores.

En la mayora de los procesos no se utiliza una sola mquina o equipo, la capacidad de re-duccin de tamao (razn de reduccin1) es limitada para una mquina dada, sino que se em-plea una combinacin con equipos de cribado o clasificacin dando lugar a circuitos de tritura-cin o circuitos de molienda cuyo clculo y diseo tiene gran importancia en el rendimiento del proceso.

Normalmente la reduccin de tamao se realiza en varias etapas, dependiendo de la razn de reduccin de cada mquina y de los requerimientos finales del producto.

Los materiales, alimentacin y productos, se caracterizan por el tamao de las partculas que lo componen y este valor se representa por una curva granulomtrica, y de forma resumida por un valor caracterstico dentro de esta curva granulomtrica (p.e.: D90, d90). La curva granulo-mtrica representa en abscisas los tamaos en unidades adecuadas (cm, mm m), y en el eje de ordenadas el porcentaje del total que pasa por la malla para un tamao dado. Su representa-cin es del tipo indicado a continuacin, usando para el eje de abscisas, normalmente, una es-cala logartmica (en el ejemplo que se adjunta2, escala lineal).

Ejercicio prctico. Calcular el d40 y d30, comentar su utilidad.

Figura 5.1. Anlisis granulomtrico.

La denominacin mediante un nmero representativo como el D80 expresa el tamao de la malla cuadrada terica que produce un corte de tal forma que el 80% del producto es pasante, menor que el tamao de malla, y el otro 20% es el rechazo o tamao de los productos mayor que la malla.

Para determinadas aplicaciones se utilizan definiciones adecuadas al uso y as para la fabrica-cin de hormigones se define el tamao mximo de un rido, segn la norma UNE 7.050, como la mnima abertura de tamiz por el que pasa el 90% en peso y que adems el 100% pasa por el tamiz de abertura doble. Igualmente se define el tamao mnimo como la mxima abertura del tamiz por el que pasa un mximo del 10% en peso.

1 Se define la razn de reduccin como la relacin entre el tamao de las partculas de entrada y el tamao de las partculas de salida de la mquina, medido normalmente con el mismo procedimiento. 2 Manual de ridos, 1994. ETSI de Minas de Madrid y LOEMCO.


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En general para los procesos mineralrgicos se definen los tamaos mximos, mnimos y los definidos con los subndices 50, 80, 90 y 95. Segn los usos, cribado, clasificacin, tritura-cin o molienda es ms corriente utilizar un ndice u otro que se indicar en la descripcin del equipo o durante el estudio de sus propiedades.

5.1.1.1. Etapas en la reduccin de tamaos

Una sola mquina o un determinado tipo de equipo no puede, normalmente, realizar la re-duccin requerida desde el tamao de la alimentacin hasta el tamao requerido en los produc-tos, razn por la que se definen etapas de fragmentacin que suelen estar referidas a los equi-pos que la producen o a los tamaos requeridos en el uso de los productos.

En ocasiones la granulometra requerida obliga a disponer de materiales estocados de dife-rentes grupos granulomtricos y mediante mezcla en las proporciones adecuadas obtener el producto final. Este es el caso particular de los ridos para la fabricacin de hormigones que deben tener una granulometra sometida a norma para obtener las caractersticas del hormign necesarias al uso.

En una primera etapa, la fragmentacin se dividen en trituracin y molienda y cada una de ellas se subdivide a su vez en trituracin primaria, secundaria y terciaria, y la molienda en gruesa, media, fina y ultrafina o micronizacin, normalmente. Con un deseo de normalizar criterios en mi-nera, los tamaos y sus denominaciones, Hkki propone normalizar a un criterio decimal los ta-maos y con las denominaciones que se dan en la tabla siguiente.

Propuesta de Hukki Segn el tamao de los productos - triturados / molidos (descargas o salidas de mquina)

Concepto Rango de tamao (mm) Tamao

(orientacin) Denomi-nacin Equipos utilizados

Arranque De infinito a 1.000 Tcnicas de arranque

Trituracin Primaria De 1.000 a 100 de 150 a 100

Muy grueso

Trituradoras de mandbulas, giratorias, de choque, impacto o percusin.

Trituracin Secundaria De 100 a 10 de 40 a 30 Grueso

Conos trituradores, Trituradoras de mandbulas AF, Giratorias, Impacto, choque o percusin, molinos de cilindros.

Trituracin Terciaria de 15 a 5 Medianos

Conos de cabeza corta, hidroconos, molinos de martillos, o de impactos, molinos de cilindros.

Molienda Gruesa De 10 a 1 de 5 a 2 Finos Molinos de impacto, choque o percusin. Molinos SAG3.

Molienda Media de 2 a 1 Molinos de barras, Molinos SAG, molinos de bolas.

Molienda Fina De 1 a 0,1 de1 a 0,1 Molinos de bolas.

Molienda Ultrafina De 0,1 a 0,01 < 0,1 Ultrafinos Molinos de bolas.

Micronizacin De 0,01 a 0,001 Molinos de bolas.

Tabla 5.1. Definicin de tamaos para fragmentacin.

3 Molinos SAG: Molinos semiautnomos (Semi Autonomo Grinding) molinos que utilizan una mezcla de hierro y el propio material a moler de tamao grande. Se caracterizan por tener un dimetro muy superior al de los molinos de bolas normales. Cuando se utilizan guijarros o elementos de slice como elementos molturadores el molino se denomina molino de guijarros.


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5.1.1.2. Tamao de las partculas La determinacin del tamao de las partculas se realiza, preferentemente, por dos procedi-

mientos industriales y de laboratorio Cribado. Clasificacin.

En el cribado se utiliza un obstculo fsico, mallas cuadradas calibradas, para realizar el proceso de clasificacin de tal forma que los granos menores de un cierto tamao pueden pa-sar y los mayores son retenidos.

Para la determinacin del tamao mediante clasificacin se utiliza la accin de arrastre por un fluido, agua o aire, que tiene un movimiento relativo con respecto a las partculas. Este efec-to se denomina clasificacin por equivalencia o clasificacin isodrmica, donde interviene, ade-ms del tamao, la densidad y la forma de las partculas. Se separan juntos granos finos den-sos con gruesos ligeros, o finos y redondeados junto a gruesos y laminados.

Un sistema complejo para la determinacin de un amplio espectro del tamao de los granos se da en la tabla siguiente, donde se indica una referencia de tamaos comparativos.

Mtodo de determinacin Ud Rango Observacin Comentario

Cribado, malla calibrada mm De 100 a 10 Mtodo industrial y laboratorio Series de tamices

Elutriacin (corrientes ascendentes) m De 40 a 5

Tamao de Clulas eucariotas de 200 m a 10 m

Microscopa (ptica) m De 50 a 0,2 Bacterias de 5 m a 1 m Sedimentacin (gravedad) m De 40 a 1

Mtodo industrial y laboratorio

Sedimentacin (centrfuga) m De 5 a 0,05

Mtodo industrial y laboratorio Tamao molculas

Microscopa electrnica m De 1 a 0,005 Laboratorio ngstron

Tabla 5.2. Mtodos para la determinacin de tamaos.

5.1.1.2.1. Tamao de una partcula El tamao exacto de una partcula irregular no se puede conocer ya que depende del mto-

do de medida e incluso en determinaciones diferentes puede dar diferentes valores. Incluso en partculas de tamao medio grande, donde el tamao se mide mediante criterios fsicos de de-terminacin de longitud, dimetro de la malla cuadrada de paso, interviene el factor de probabi-lidad de paso y esto dependiendo de que el tamao de la partcula sea ms o menos prximo al tamao de corte.

Se denomina tamao de una partcula a aquel valor que es determinado mediante un pro-cedimiento industrial o de laboratorio y que es til para un fin industrial o de mercado.

Se denomina dimetro equivalente al tamao de una partcula que se comporta como una esfera de dimetro (D d), esta definicin es til en el estudio del comportamiento de las partcu-las dentro de un fluido. La expresin que se comporta nos indica que la forma en que se mide el dimetro o el medio que se utilice, nos condiciona el valor del dimetro equivalente.

En ingeniera se debe utilizar, siempre que sea posible, un mtodo de medida que sea similar al proceso industrial que se va a desarrollar. Esto significa, como hemos indicado, que se puede obtener ms de un dimetro equivalente para cada partcula, p.e.:

Dimetro isodrmico (desplazamiento dentro de un fluido, Stokes / Newton). Dimetro de abertura de malla cuadrada (cribado). Dimetro proyectado (microscopio). Dimetro equivalente. Etc.


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Cuando se trata de determinar el valor significativo de un conjunto de partculas, una masa de mineral finamente fragmentad, la dificultad aumenta ya que a la variacin en la determinacin del dimetro de una partcula se suma la identificacin razonable y til de una masa de partcu-las en diversos tamaos.

Se utiliza, de forma generalizada, una curva granulomtrica en forma de (S) para los por-centajes de paso acumulados y, valores de corte puntuales (porcentajes de paso) que son ti-les segn el proceso en estudio, (energa consumida, toneladas pasantes, etc.).

5.1.1.3. Formas y denominacin de las partculas El tamao y la forma de las partculas determina el comportamiento de la masa de partcu-

las dentro de los procesos industriales, o participan de forma diferente dentro de las caracters-ticas estructurales y de resistencia de los materiales de los que forman parte.

La determinacin de la forma de las partculas se realiza mediante imgenes o formas com-parativas y se utilizan tarjetas de siluetas o los nmeros de la matriz en que se representan y coeficientes o factores de forma que relacionan la longitud mayor (L), la intermedia (A) y la me-nos o espesor (E).

El factor de forma que relaciona la elongacin (A/L) y la delgadez (E/A), cuando es mayor de uno representa formas alargadas y cuando es menor representa formas aplanadas.

En minera y para procesos de isodroma (comportamiento de las partculas dentro del agua) se utiliza el factor que compara los granos con la esfera como referencia o patrn, y se define el concepto de redondez4.

Como ejemplo se incluyen las tarjetas de las categoras de las formas de Zingg, y la tarjeta de siluetas para identificar la forma de las partculas y determinar la esfericidad y redondez.

Figura 5.2. Categoras de las formas de Zigg.

4 Redondez, o su inversa la angularidad, se definen como la relacin entre el radio medio de curvatura de los bordes y ngulos de la partcula y el radio de la esfera inscrita de mayor volumen.


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Se da a continuacin un ejemplo5 de determinacin para arenas. Se utiliza la carta de Russel y Taylor y la denominacin granulomtrica incluida en el Cdigo Tcnico de la Edificacin y que se corresponde con la norma DIN 4022 para tamaos de partculas.

5 Ejemplo del Prof. Ing. Ral S. Escalante; Ingeniera de Dragados.

Figura 5.3. Forma de las partculas.

Figura 5.3.

Figura 5.4

Figura 5.4. Ejemplos de formas de granos de arena.


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Segn la forma se utilizan diversas denominaciones entre las que se puede indicar la deno-minacin que se adjunta para definir los tipos de grano:

Denominacin del grano Forma preferente de las partculas

Acicular Forma de aguja Angular Forma puntiaguda o forma burdamente polidrica

Cristalina Forma geomtrica libremente desarrollada en un medio fluido Dentrtico Ramificaciones en forma cristalina Fibroso Regular o irregularmente filamentoso

Escamoso En forma de hojas o lminas Granular Tiene aproximadamente una misma forma irregular equidistante Irregular Carece de cualquier simetra Modular Tiene forma redonda irregular Esfrica Forma globular

Tabla 5.3. Denominacin del grano segn su forma.

Identificado un nmero representativo (D) del tamao de una partcula, las distintas propie-dades dimensionales y geomtricas quedan definidas basndose en este nmero y a una serie de constantes adimensionales que son caractersticas de la forma de la partcula6.

Se da a continuacin la denominacin general utilizada en los productos de cantera para obras y construccin, establecida por la norma DIN 4022, de uso generalizado, y se adjunta la denominacin conforme al Cdigo Tcnico de la Edificacin, marzo del 20067.

Denominacin Tamao (mm) DIN 4022 Denominacin Tamao (mm) CTE

Bolos y bloques > 60 Roca Tamaos grandes Grava gruesa 60 - 20 Grava gruesa > 20 Grava media 20 - 6 Grava media 20 - 6

Grava fina 6 - 2 Grava fina 6 - 2 Arena gruesa 2 - 0,6 Arena gruesa 2 - 0,6 Arena media 0,6 - 0,2 Arena media 0,6 - 0,2

Arena fina 0,2 - 0,06 Arena fina 0,2 - 0,06 Limo grueso 0,06 - 0,02 Limo < 0,06 Limo medio 0,02 - 0,006 Limo 0,06 - 0,002

Limo fino 0,006 - 0,002 Limo > 0,002 Arcilla < 0,002 (2m) < 0,002 (2m)

Tabla 5.4. Clasificacin y denominacin de los ridos.

6 Ver teora de Rittinger, demostracin, para detalles. 7 Aprobado por Ley 38/1999, de 5 de noviembre, de Ordenacin de la Edificacin. Esta ley habilita a las titulaciones de arquitecto, arquitecto tcnico, ingeniero o ingeniero tcnico para su aplicacin.


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5.2. Teora sobre el trabajo de fragmentacin 5.2.1. Introduccin, modelos de sistema y equipos industriales El estudio de un modelo, como un conjunto de ecuaciones que gobiernan o describen el

funcionamiento de un sistema, debe adaptarse a las necesidades, facilitar los resultados y ayu-dar a la comprensin del mismo indicando las variables preferentes.

En general, el modelado de un determinado proceso o sistema es la obtencin de un con-junto de funciones matemticas que permiten representar, con la precisin y aproximacin sufi-ciente el comportamiento de las variables de mayor inters del sistema sometido a estudio.

La complejidad del sistema debe estar en concordancia con lo que de l se espera, un au-mento de la complejidad de las ecuaciones da resultados ms finos en teora, pero puede ser de difcil verificacin prctica, aunque siempre nos dar una indicacin de la tendencia del pro-ceso. Hay que indicar que la dificultad de verificacin prctica puede dar lugar a errores de cri-terio por un planteamiento incorrecto.

Existen diferentes tcnicas para el modelado de sistemas dinmicos, variables en el tiempo, pero de una forma muy esquematizada se pueden dividir en dos grandes grupos que estn re-lacionados con el modelado experimental y con el modelado analtico.

El modelado experimental (emprico8) hace uso de la respuesta del sistema ante determina-das entradas, para obtener una funcin matemtica que relaciona las variables de salida del sistema con las variables de entrada del mismo. Se puede considerar que esta metodologa ve el sistema como una caja negra en la que no se analiza de ninguna forma el tipo de componen-te o reacciones que se producen en su interior. Este tipo de modelado se puede utilizar para analizar la respuesta transitoria a las demandas del equipo, o simplemente la respuesta a de-terminadas solicitaciones para un equipo dado y definido en el que no vamos a introducir cam-bios internos.

Var (entrada) Var (salida)

Esta metodologa es poco til o no sirve para disear los equipos, pero si para estudiar su

comportamiento ante solicitaciones y par ensayar determinadas soluciones o variaciones sobre un modelo, ya que simplifica su manipulacin.

El modelado analtico (terico-emprico) intenta obtener el conjunto de funciones que repre-

sentan el comportamiento del sistema, sobre la base de un conocimiento profundo y detallado de cada uno de los componentes o reacciones que lo integran y de las interacciones entre ellos. Es-ta metodologa proporciona un mayor volumen de informacin acerca del funcionamiento del sis-tema, del comportamiento de las variables y de la interrelacin entre ellas.

Var (entrada) Var (salida)

Este segundo procedimiento, ms complejo y de mayor volumen de trabajo, es muy til, e

incluso necesario cuando se intenta definir o modificar los componentes de un sistema, ya que el conocimiento de las relaciones facilita los diseos y modificaciones dentro de un sistema.

8 DRAE. Relativo a la experiencia o fundado en ella.

f (?)

f (x, y, z, u, ...) g (x, y, z, u, ...)


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Desde un punto de vista formal, el compromiso entre ambos sistemas es tcnicamente de-seable, y este es el procedimiento utilizado en el estudio del comportamiento de estos equipos mineros, equipos de fragmentacin, donde se utiliza el diseo analtico cuando se interesan di-seos eficientes de los componentes (circuito de molienda, equipos de fragmentacin), y el di-seo experimental cuando se persiguen tipos de respuesta ante solicitaciones externas para un equipo dado funcionando con una demanda externa.

En un molino, por ejemplo, existen interacciones de procesos hidrulicos (movimiento de fluidos), trmicos (transferencia de calor), elctricos (suministro de energa y consumos), elec-tromecnicos (alimentacin a mquinas, motores, convertidores, acoplamientos), material a tra-tar, etc., que pueden dotar al modelo analtico de una complejidad elevada.

En los estudios de fragmentacin se utilizan ambos sistemas de modelacin y as se em-plea el modelo emprico para determinar las necesidades energticas de la fragmentacin, indi-cando aqu que en la determinacin se considera tanto la energa propia de la fragmentacin (reduccin de tamao) como aquella necesaria para el accionamiento de los equipos y los efec-tos no deseados pero inherentes al proceso tecnolgico (ruidos, calor, accionamientos, etc.).

La energa consumida en la fragmentacin se distribuye entre todos los procesos de tal for-ma que en la molienda se utiliza entre un 3% y un 5% de la energa realmente involucrada en el proceso para el efecto terica de moler o disminuir de tamao.

Por otro lado para la determinacin de las caractersticas de los productos se utiliza el mo-delado analtico que permite determinar a partir del diseo y de la forma de trabajar de una tri-turadora, el tamao y forma de los granos segn la tecnologa utilizada y las caractersticas del material. Se deduce de su diseo, forma de la mandbula, velocidad de rotacin etc., cual sern los resultados.

Por comparacin de ambos mtodos se disean las instalaciones o se afinan parmetros y valores de la misma.


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5.2.2. Energa necesaria para la fragmentacin Dentro de los procesos de la tecnologa mineralrgica, la fragmentacin, es la operacin de

mayor consumo energtico, y normalmente la de mayor coste dentro del conjunto por lo que su determinacin adquiere una gran importancia.

Cuando se aplica una fuerza de intensidad creciente a una partcula que se quiere fragmen-tar, esta se deforma en un primer momento y aumenta esta deformacin hasta que se rebasa el lmite de resistencia y se rompe, creando superficies nuevas a partir de una partcula inicial.

El estudio de este proceso en lo referente a la energa consumida se aborda en minera considerando el total de la energa necesaria y dentro de este proceso se considera la energa total necesaria para actuar las mquinas que lo producen y los procesos no deseados que se desarrollan asociados al proceso principal si deseado y que es la fragmentacin.

As, en un proceso de fragmentacin la energa total consumida, adems de en el propio proceso de fragmentacin, se transforma en calor, ruido, energa cintica, energa de rotacin, desgaste de equipos, rendimientos, mantener masas en movimiento, etc.

En un estudio realizado en Canad para un proceso de concentracin de Cu se determin la distribucin energtica que se da en la tabla siguiente.

Fase del proceso Energa ( kWh/t ) Porcentaje (%)

Trituracin 2,2 13,4

Molienda 11,6 70,7

Flotacin 2,6 15,9

Total 16,4 100,0

Tabla 5.5. Ejemplo de concentracin de Cu. Mina en Canad.

Se han formulado diferentes teoras en relacin con el gasto de energa en trituracin y mo-lienda entre las que podemos indicar las siguientes

5.2.3. Teora de Rittinger (1867) Rittinger consider que el trabajo necesario ser proporcional a la nueva superficie creada

La energa necesaria para fragmentar una partcula, producir una cierta reduccin de tamao, es proporcional a la nueva superficie creada. Las fuerzas de unin son proporcionales a las superfi-cies de fractura.

La formulacin correspondiente a esta hiptesis se formula, dependiendo que se calcule el incremento de superficie sobre el volumen o sobre la masa, tal como se indica:

Donde WR es el trabajo en kWh/t, KR es una onstante del proceso, D el tamao de las partcu-las de la alimentacin, d el tamao correspondiente a los productos y la densidad media del mi-neral. La justificacin abreviada, conforme al principio de Rittinger, se da a continuacin.

Dado un cuerpo genrico en el espacio, caracterizado por una dimensin principal tal como se representa en minera, sus tres dimensiones sern:

Dimensiones Superficie Volumen a = D

b = k1a = k1D

c= k2a = k2D

S = 2(k1 + k2 + k1k2)D2

= ksD2

V = k1k2D3

= kvD3

WR = KR11d

1D

WR = KR1d

1D


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Se fragmenta en n bloques homotticos, se mantiene la proporcionalidad formal en las di-mensiones, y se tiene, mediante operaciones aritmticas:

El incremento de superficie, la nueva superficie creada, por unidad de volumen viene dado por la expresin:

Que reordenada da la expresin indicada anteriormente:

La constante toma diferentes valores segn la forma preferente del grano y as se tienen las curvas que se representan a continuacin y que dan la variacin del incremento de superficie en funcin de la relacin de reduccin y de la forma caracterstica de los granos.

Figura 5.5. Variacin de la superficie segn la forma del grano.

La variacin de la superficie creada, para una reduccin de un tamao de 1Ud a 0,1Ud, re-lacin de reduccin de Rr = 10, vara de 18 a 54 dependiendo que la forma de la partcula sea plana preferentemente o cbica sin considerar la rotura preferente por ningn lado. Se observa que no slo la superficie creada, sino la forma de las partculas adquiere tambin relevancia en esta formulacin.

n de partculas Dimensiones Superficie Volumen n = D3 / d3 a = d

b = k1a = k1d

c = k2a = k2d

s = 2.(k1 + k2 + k1k2)d2

= ksd2

v = k1k2d3

= kvd3

Variacin de la superficie creada en funcin de la forma y de la relacin de reduccin.

SV =

n s SV = 2

1k1

+1k2

+1

1D

Dd 1

Variacin-S/V.

WR = KR1d

1D


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Este principio de la forma de las partculas no es descartable de forma general en la fragmen-tacin, influye en la forma de fracturacin y afecta a la energa consumida, si bien su influencia no est determinada con precisin. Diferentes granos y distintas formas, a igualdad de grado de re-duccin, necesitan energas diferentes.

El principio que subyace en esta teora es que las fuerzas de cohesin actan en la superfi-cie de rotura oponindose a dicha fragmentacin y que esta se produce cuando se rebasa di-cho lmite.

Expresado en funcin de la relacin de reduccin, Rr = D/d, se obtiene:

Se indica aqu que la formula de Rittinger expresa la energa necesaria pero la calcula por

exceso. Este exceso es tanto mayor a medida que aumenta la relacin de reduccin. De forma general, y por la simplicidad de la formulacin, se pueden deducir algunos princi-

pios relacionados con la fragmentacin y con la consistencia de las formulaciones que se obtie-nen para cuantificar la energa necesaria.

a) Para reduccin de tamao nula, no hay fragmentacin, la energa necesaria es cero con-forme a la expresin. Esto es correcto formalmente (matemticamente) pero falso en la prctica ya que el mantenimiento de los equipos en movimiento, incluso a carga nula, adems, de no ser deseable por desgastes y averas, consume mucha energa.

b) Como ampliacin del concepto anterior, se puede indicar que para reducciones de ta-mao, con valor Rr 0, valores muy pequeos, las expresiones no trabajan bien.

c) Los bloques ms grandes se rompen con menos energa por unidad de volumen que las partculas pequeas y esto es congruente con el factor (1/D). A igualdad de relacin de reduccin, una partcula menor necesita ms energa que otra de mayor tamao y esto se cumple as en la prctica (si D1 > D2, entonces 1/D1 < 1/D2).

d) Al aumentar la relacin de reduccin se necesita ms energa y esto es congruente con la realidad de las instalaciones. Se indica que la proporcin indicada por la frmula de Rittinger es mayor de la necesaria realmente.

e) El factor (1/) indica que los cuerpos ms densos necesitaran menos energa para la frag-mentacin que otro similar pero ms ligero, y esto se ha demostrado falso en la prctica. De hecho no se conoce una relacin cierta o probada del ndice de Bond y algn factor co-mo la densidad o propiedad del material ligada a su constitucin.

f) La energa terica necesaria para una reduccin de tamaos de D a d es igual a la suma de las energas de los escalones en que se divida. WD d = WD x + Wx d = WD x + Wx y + Wy d

5.2.4. Teora de Kick (1885) Esta teora se enuncia como: La energa necesaria para una cierta reduccin de tamao es

proporcional a la reduccin de volumen de las partculas. Tambin se puede formular como El trabajo necesario para producir cambios anlogos en la configuracin de los cuerpos geomtri-camente semejantes y del mismo estado tecnolgico, es proporcional a los volmenes o a las masas de esos cuerpos.

La formulacin correspondiente a esta hiptesis es la expresin que se indica a continua-cin, siendo las variables las definidas anteriormente pero referenciadas a Kick:

WK = KK log Rr( )

WR = KR1D Rr 1( )

WK = KK logDd


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Esta teora no se adapta bien a las observaciones, dando valores por defecto, inferiores a los necesarios en la prctica. En general las teoras con formulaciones sencillas para explicar proce-sos sumamente complejos no pueden interpretar el campo de actuacin global de la tecnologa utilizada de forma satisfactoria.

Justificacin terica Se utilizan los principios dimensionales indicados en la teora de Rittinger, y se supone un

bloque que en una primera fragmentacin en N bloques de dimensiones caracterstica d1, se-mejantes al de partida, Se tiene:

N = D3

d3 o tambin:

d = DN3

Fragmentamos de nuevo uno de los bloques formados, como resultado de la primera frag-mentacin, en N bloques de dimensin caracterstica d2, es decir una fragmentacin de anlo-gas caractersticas a la primera.

Demostramos que el trabajo de la primera y segunda fragmentacin es el mismo:

Sean W: El trabajo de la primera fragmentacin, al partir de un bloque. w: El trabajo de la segunda fragmentacin para un bloque y N.w el correspondien-

te al conjunto de la segunda fragmentacin. Al tener la relacin correspondiente al nmero de bloques formados por:

N = D3 / d13 y tambin la relacin n = d13 / d23, se cumple que D / d1 = d1 / d2

La hiptesis de Kick hace que la relacin entre W y w, sea igual a aquella de sus volme-nes o sus masas, es decir:

w / W = v / V = d13 / D3 = 1 / N; de donde W = Nw; los trabajos de ambas fragmentaciones deben ser iguales.

De esta manera el trabajo total necesarios para pasar de la situacin inicial a la final a tra-vs de una doble fragmentacin, y para todos los bloques formados, ser:

W (para la 1) + Nw (= W para la 2) = 2W; y as en general si se consideran (p) fragmen-taciones sucesivas, en lugar de las dos consideradas, el trabajo total empleado ser:

Wt = pW

Considerando ahora que mediante p tericas fragmentaciones sucesivas, de relacin de re-duccin (n) cada una, llegamos, produciendo cambios anlogos y partiendo de un bloque inicial de dimensin caracterstica D, a obtener n1 bloques de dimensin caracterstica d1. Siendo n1 la relacin de reduccin final, se deduce:

n1 = np = (D / d1)p y como se tiene que

d1 =DN13

se deduce:

log(n1) = plog(n); p = log(n1) / log(n);

y necesitando cada fragmentacin un trabajo (consumo de energa) W, ya que en las (p) operaciones se parte del mismo volumen (y tambin igual masa), el trabajo total, es decir, la energa consumida, ser:

W1 = W{log(n1) / log(n)} o lo que es igual: W1/ log(n1) = W / log(n) = Cte; y en general:

W = Kklog(n) que se puede expresar como Wk = Kklog(D / d)


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5.2.5. Tercera teora o teora de F.C. Bond (EEUU 1951) La energa necesaria para la fragmentacin, reduccin de tamao de los materiales, es pro-

porcional a la nueva longitud de fisura creada. Este desarrollo se fundamenta en la experiencia, los estudios y la prctica industrial realizados durante ms de 25 aos de Bond (Se conoca tam-bin que C.E. Inglis, en 1931, demostr que el incremento del esfuerzo en un punto en particular es proporcional a la raz cuadrada de la longitud de la grieta perpendicular a la direccin del es-fuerzo).

Bond indic que el trabajo real es intermedio entre los calculados por las dos teoras ante-riores y se considera conocido que la tensin acumulada en el extremo de una fisura est en relacin con la raz cuadrada de la longitud de la fisura.

La formulacin correspondiente a esta hiptesis, en su forma ms conocida, es la expresin que se indica a continuacin:

La frmula expresada en funcin de la relacin de reduccin se da a continuacin9: Siendo:

WB: Energa necesaria en kWh por tonelada corta tratada (1 tonelada corta = 907,2 kg). D80: Tamao de malla por la que pasa el 80% de la alimentacin, expresado en m. D80: Tamao de malla por la que pasa el 80% del producto, expresado en m. Rr: Relacin de reduccin dada por D80/d80. Wi: ndice de Bond, ndice de trabajo, work index. Magnitud que representa la resistencia

que ofrece un material a ser fragmentado y que depende de su propia naturaleza. Puede haber una dependencia subsidiaria del tamao de grano (ver comentarios a la frmula de Rittinger). Sus unidades son kWh/tc. Su significado fsico sera, el del trabajo necesa-rio para reducir una tonelada corta desde un tamao muy grande infinito, hasta 100 m.

El ndice de Bond permite comparar la eficiencia de distintas plantas de tratamiento o de di-ferentes equipos y as aquella instalacin que trate un mineral similar y tenga un valor de este parmetro inferior esta trabajando con mayor eficiencia.

En el clculo del ndice de Bond interviene el molino, la instalacin de forma general, por lo que es necesario fijar unas condiciones de referencia y as se considera:

El molino de referencia es un molino de bolas. El ndice de triturabilidad se fija para un dimetro interno del molino de 2,44 m. Los di-

metros mayores dan un mejor rendimiento y los inferiores peor y se utiliza la expresin (2,44/Di)0,2 como factor multiplicador.

Wi est referido a un funcionamiento en circuito cerrado con una carga circulante del 250%. Se admite una correccin, cuando se trate de otra carga circulante, multiplicando Wi por el factor (250/Cc)0,1.

Estos efectos, para la molienda de forma genrica, estn recogidos como factores y se indican en el apartado correspondiente.

9 Se observa la similitud de la expresin con la obtenida por Rittinger pero sustituyendo D por D y Rr por su raz cuadrada.

WB =10Wi1D80

Rr 1( )

WB =10Wi1d80

1D80


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Los datos disponibles en la bibliografa estn referenciados a tonelada corta, pero ya exis-ten publicaciones en toneladas mtricas y el cambio de unidad, adaptacin al sistema mtrico, es sencillo, en este supuesto, cuando se utiliza la unidad mtrica, la energa que da la frmula est tambin referida a la tonelada mtrica. Para evitar confusin en minera, donde ambas son utilizadas regularmente, conviene indicar claramente cual se utiliza.

La tonelada10 es una unidad derivada. Est definida en el R.D. 1.317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las Unidades Legales de Medida en Espaa confor-me al Sistema Internacional.

Se representa: t Equivale: 1.000 kg

La norma UNE 82.104 de representacin de las unidades para el tratamiento de la informacin admite dos formas.

Forma I (minscula / mayscula) t / T Forma II (minscula / mayscula) tne / TNE

Otras denominaciones de uso en minera. Tonelada corta (2.000 libras), representacin: tc / Tc

Equivale: 907,18 kg En sudamerica, para indicar la tonelada en unidades mtricas se utiliza: tm / Tm

Tabla 5.6. Consideraciones sobre las publicaciones en minera, unidades.

Esta frmula es la que mejor se ajusta al proceso de fragmentacin, su valor es intermedio entre el obtenido mediante la frmula de Rittinger y la de Kick, y es tambin la ms utilizada pa-ra los procesos mineros. Por su generalizacin se han desarrollado diversos factores que mejo-ran la precisin del clculo.

La frmula de Bond da la energa gastada por la mquina contando todas las prdidas11 y no la tericamente necesaria, de forma estricta, para la reduccin de tamao12.

Por la similitud formal con la expresin de Rittinger, le es de aplicacin las conclusiones y re-servas all indicadas, resaltando nicamente que la variacin es ms suave. En el grfico com-parativo que se adjunta posteriormente se observa, para diferentes relaciones de reduccin, la diferente magnitud que adquiere la energa calculada con cada uno de los mtodos.

Se puede indicar como referencia que las trituradoras de mandbulas y las giratorias son las que ms consumen por unidad tratada, luego se considera los molinos de impacto y finalmente los equipos energticamente ms eficientes son los molinos de bolas y barras. En general las mquinas que aplican un esfuerzo de compresin firme y continuo sobre el material son las que consumen menos energa13.

5.2.5.1. Potencia del motor de accionamiento

La frmula de Bond se utiliza para calcular la potencia del motor necesario que ha de accionar el equipo minero. Para este clculo se utiliza el resultado de la energa obtenida por esta procedimiento, formula de Bond, y se tiene en cuenta las toneladas tratadas por hora, en unidades adecuadas, y se obtiene la potencia terica.

10 La denominacin deriba de tonel y en su origen se utiliz por relacin con el peso o volumen de los toneles para calcular el arqueo o carga de un buque. 11 Un estudio realizado en una mina de Cu en Canad asigna al trabajo terico de fragmentacin entre el 3% y el 5% del total del proceso, siendo el resto utilizado en producir calor, ruido, desgaste de equipos y elementos molturado-res, prdidas por rendimientos y mantener las masas en movimiento. 12 Para una serie de cribas de razn raiz(2), por cada disminucin de tamao en la serie, moler a ms fino, se consu-me un 9% ms aproximadamente. 13 B.A. Wills, Tecnologa de procesamiento de minerales.


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Este valor terico se mayora con un factor que tiene en cuenta la forma de trabajar del equi-po minero, de tal forma que pueda absorber las irregularidades de la carga y los imprevistos del proceso. A medida que el proceso es ms regular el factor de mayoracin (por discontinuida-des, desconocimiento o imprevistos) disminuye y as se utiliza normalmente, en minera, los va-lores que se dan a continuacin:

Fs: Factor de seguridad para mayorar los resultados y que toma el valor: 2 para las machacadoras de mandbulas. 1,6 para las trituradoras giratorias y las de impactos. 1,3 para las trituradoras secundarias tipo cono, trituradoras de cilindros, molinos de

barras y molinos de bolas. La potencia del motor necesario para un equipo minero, con la energa calculada por la ex-

presin de Bond, y para tratar T (t/h) ser:

P(kW) = WB (kWh/t)T(t/h)Fs

El valor de la potencia calculada se considera en el pion de ataque al molino o en general al punto de entrega de la potencia al equipo que realiza la fragmentacin.

5.2.6. Frmula de Charles (1958) Charles unifica en una teora el trabajo de los anteriores mediante la expresin siguiente:

Esta expresin permite el estudio discreto y continuo (y = f(x)) de la molienda, con las limita-ciones indicadas anteriormente para los procesos descritos de los que toma la referencia. Se particulariza segn el valor de n y asi:

n = 1, Frmula de Kick. n = 2, Frmula de Rittinger. n = , Frmula de Bond.

dw = Kc dxxn


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5.2.7. Resumen de las teoras de fragmentacin, grfico comparativo

Tabla 5.7. Resumen de teoras.

Figura 5.6. Grfico comparativo de la energa necesaria para la fragmentacin calculada por los

diferentes mtodos en funcin de la relacin de reduccin (Rr de 1 a 15).


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5.2.8. Generalizacin de la frmula de Bond La expresin de Bond se adapta, mediante factores adecuados, a las diversas situaciones

que se dan en las instalaciones y se corrigen de esta forma las anomalas de diseo consi-guiendo ms precisin en el clculo.

Tabla 5.8. Factores para generalizar la frmula de Bond a los molinos.


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5.2.9. ndices de Bond o ndices de triturabilidad

Tabla 5.9. ndices de Bond en kWh/t y kWh/st.


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5.2.9.1. Determinacin del ndice de Bond Este ndice, Wi, se determina mediante un ensayo con una muestra comparativa, muestra pa-

trn, de ndice de Bond conocido. Berry, T.F. y Bruce, R.W.14 proponen un mtodo que requiere una mena de referencia con ca-

ractersticas de molienda conocidas, Wi determinado. La mena de referencia se muele, en un mo-lino durante un cierto tiempo y se registra el consumo de energa.

Un peso idntico de la mena de prueba a determinar se muele por un tiempo tal que la energa consumida sea idntica a la mena de referencia (muy similar para permitir la correccin lineal simple). Con este mtodo que utiliza el mismo molino en ambos casos, se elimina el efec-to debido al molino, y si las menas de muestra y la mena patrn se muelen hasta obtener casi las mismas distribuciones de tamao del producto, el ensayo es fiable.

El fundamento terico es el siguiente (m: muestra y p: patrn):

Wp = Wm Wip10(1 / D80p 1 / d80p)Fi = Wim10(1 / D80m 1 / d80m)Fi ;

Fi: Factores que influyen en el proceso (dimetro de alimentacin, dimetro interno del moli-no, carga circulante, otros indicados anteriormente) y que se minoran o anulan igualando am-bas determinaciones.

El valor del ndice a determinar se obtiene entonces por:

Wim = Wip(1 / D80p 1 / d80p) / (1 / D80m 1 / d80m)

Nota. La determinacin de forma directa para Wi tiene un factor de indeterminacin sujeto a mltiples variables del proceso y del molino tal como se indica en la expresin siguiente, con lo cual solo es posi-ble obtener un orden de magnitud asumiendo un valor para el factor molino-proceso. En un ensayo se puede medir el consumo de energa y los valores de D80m y d80m obtenidos, y se puede plantear la igualdad Wim = {W(kWh) / T(t)} / {(1 / D80m 1/d80m)F(molino)}, que tiene una indeter-minacin de difcil estimacin. El factor molino depende del dimetro del molino, la velocidad de giro, el tipo de protecciones internas, la carga de material molturador, el dimetro de este y un largo etc., que imposibilita la obtencin del n-dice de Bond de manera directa, slo se puede obtener por comparacin con una muestra patrn.

14 A simple method of determining the grindability of ores, 1966.


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5.2.10. Capacidad de los molinos

Tabla 5.10. La capacidad se puede estimar mediante grficos orientativos como el que se adjunta o procesos de clculo segn tipo de equipo. Referencia: Profesor Eduardo Pardo de Santallana.


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5.2.11. Ejemplo de aplicacin

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