5to a o - Guia n 6 - m Todos Operativos i

7/15/2019 5to a o - Guia n 6 - m Todos Operativos i

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MENOS POR MENOS ES MS

Hasta fines del siglo XVIII, los nmeros negativos no fueron

aceptados universalmente. Sin embargo los matemticos de la

India, en el siglo VII usaban los nmeros negativos para indicar

deudas y los representaban con un circuito sobre el nmero:

admitan soluciones negativas en las ecuaciones pero no las

tomaban en consideracin porque decan que la gente no

aprueba las races negativas.

Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los nmeros

negativos falso, pero en su Ars Magna (1545) los estudiexhaustivamente.

John Wallis (1616 1703), en su Arithmetica Infinitorum (1655) demuestra la imposibilidad de suexistencia diciendo que esos entes tendran que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero.

Leonardo Euler, es el primero en darles estatuto legal; en su Anleitung Zur lgebra (1770) trata dedemostrar que (-1) (-1) ) = +1; argumenta que el producto tiene que ser +1 -1 y que, sabiendo que secumple (1) (-1), tendr que ser : (-1)(-1) = +1.

Hoy, una de las preguntas ms repetidas en las clases matemticas es Por qu menos por menos es ms?.

Es difcil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla e puramente arbitraria y seadopta solo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias justificaciones claras yaceptables:

Equivalente lingstico: la doble negativa equivale a una informacin: No es cierto que Pepito no tenga ellibro = Pepito tiene el libro.

Un ejemplo fcil de visualizar es el de isla Barataria, donde hay ciudadanos buenos a los que se asignan elsigno + y, ciudadanos malos a los que se da el signo -.Tambin se acuerda que : salir de la isla equivale al

signo -, y entrar a la isla equivale al signo +.

Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a Barataria, el

resultado para la isla es positivo: (+) (+) = (+)

Si un ciudadano malo (-) sale (-) de barataria, el

resultado para la isla es positivo (-) (-) = (+)

Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de barataria, el

resultado para la isla es negativo: (+) (-) = (-)

Si un ciudadano malo (-) entra (+) a barataria, el

resultado para la isla es negativo: (-) (+) = (-)

COLEGIO PREUNIVERSITARIO TRILCE I BIM RAZ. MATEMTICO 5TO. AO

COLEGIOS TRILCE: SAN MIGUEL FAUCETT MAGDALENA Dpto. de Publicaciones 25

Entraa la isla

+

Sale dela isla

-

Ciudadano

bueno +

Ciudadano

Malo -

+

-

-

+


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MTODOS OPERATIVOS - IMTODOS OPERATIVOS - I


Hemos clasificado los mtodos operativos en:

I. Mtodo de operaciones inversas (cangrejo)II. Mtodo del rombo (Falsa su suposicin)

III. Mtodo de diferencias (Comparacin de Cantidad)

IV. Mtodo de la regla conjunta (Equivalencia)

I. MTODO DE OPERACIONES INVERSAS

Se aplica en aquellos problemas donde lavariacin inicial se desconoce, hay una serie deoperaciones y nos dan como dato el valor final(resultado). El procedimiento de solucinconsiste en invertir el sentido de lasoperaciones.

La idea queda resumida en el siguienteesquema:

Ejemplo : Completa el siguiente cuadro :

EnunciadoInterpretacin(Op. Directas)

Cangrejo(Op. Inversas)

Duplic sudinero

Gast 4soles

Triplico loque tena

Gast lamitad ms 1

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Una persona ingreso aun restaurante, gast lamitad de lo que tena y dejo 3 soles de propina:Luego ingreso a una heladera, gast la mitad delos que an le quedaba y dej 2 soles de propina,quedndose sin dinero. Cunto tenainicialmente?.

a) 12 soles b) 16 c) 10d) 14 e) 18

Solucin : sus gastos fueron :

COLEGIOS TRILCE: SAN MIGUEL FAUCETT MAGDALENA Dpto. de Publicaciones

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 6 QUINTO AO

Los Mtodos Operativos(Tcnicas/artificios). Nosayudan a simplificar losproblemas, abreviandoplanteamientos tediosos yclculos saturados.

La clave para la resolucin de losproblemas radica en saber reconoceren que caso aplicar determinadomtodo y cul es el procedimiento desolucin.. He ah nuestro desafo!

ProcesoDirecto

OperacionesDirectas

Datox

Valor Inicial Valor Final

Valor Final Valor Inicial

ProcesoInverso

OperacionesInversasDato x

Ahora desarrollaremosjuntos las siguientessituaciones, aplicandooperaciones inversas.(Mtodo del cangrejo)

En la ltima lnea : gasto la mitadms uno, no se puede traducir como2, +1 por que ese mas uno es ungasto y debe ir con signo negativo,dado que la operacin final es unasustraccin .. No lo olvides!!

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En el restaurante :

..

En la heladera :

..

Las operaciones directas son :

x (2, -3, 2, -2) 0

restaurante heladera

Las operaciones inversas tenan :

0 ()x

x =

2. Aun nmero se le efectuaron las siguientesoperaciones, se le agrego 10, al resultado se lemultiplico por 5, para quitarle enseguida 26. Si aeste resultado se extrae la raz cuadrada y por

ltimo se multiplica por 3, se obtiene 24. Cul esel nmero?.

a) 12 b) 10 c) 8d) 6 e) 14

3. El nivel del agua de un pozo en cada hora desciende3 cm. por debajo de su mitad, hasta quedar vaci elpozo luego de 4 horas. Qu profundidad tena elagua inicialmente?.

a) 144cm b) 120 c) 80d) 72 e) 90

4. En un lejano pas existe una imagen milagrosa queduplica el dinero con la condicin de que elfavorecido deja una ofrenda de 80 monedasdespus de cada milagro. Uno de sus feligresesresult favorecido 3 veces seguidas y dej tambinsus ofrendas, pero que al final qued poseedor denada. Cunto tena inicialmente?.

a) 90 monedas b) 120 c) 70d) 80 e) 160

5. Dos jugadores; acuerdan que despus de cadapartida la que pierde duplicar el dinero de otra.Despus de dos partidas, que las ha ganado unasola jugadora cada una tiene 64 soles. Cuntotena la perdedora al inicio?.

a) S/.16 b) 128 c) 96d) 112 e) 32

6. Jorge le dice a Rosa : Si a la cantidad de dineroque tengo le agrego 20 soles y luego a eseresultado lo multiplico por 6, para quitarle a

continuacin 24 soles. Y si a este resultado leextraigo la raz cuadrada y por ltimo lo dividoentre 3, obtengo 8 soles, lo que tengo al inicio es.

a) S/.92 b) 24 c) 80

d) 576 e) 352

7. Lili, cada da gasta la mitad de lo que tiene msS/.20; si gast todo en 4 das. Cunto gasto elsegundo da?.

a) 100 b) 110 c) 160

d) 130 e) 140

8. Hallar la profundidad de un pozo de aguasabiendo que cada da su nivel desciende en 4metros por debajo de su mitad, quedando vaci alcabo del cuarto da.

a) 110m b) 120 c) 130d) 140 e) 150

II. MTODO DE FALSA SUPOSICIN

Se aplica cuando en un problema existen 4 datoscomo mnimo

1. ________________________________

2. ________________________________

3. ________________________________

4. ________________________________

El procedimiento de solucin radica en realizaruna falsa suposicin (asumiendo que todos loselementos son de una sola clase).

El presente diagrama resume estasapreciaciones.

Lo que despejamos al realizar estas operacioneses la cantidad de elementos que no fuerontomados en cuenta en la suposicin (Clase B)

BA

TOTAL)Axconjunto(

"B"de

elementosde#

=

=

"A"de

elementosde#


ClaseA

ClaseB

#total deelementos(Conjunto)

Valor real(Total)

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9. En un billetera hoy 24 billetes que hace un totalde $560. Si slo haban billetes de $50 y $10.Cuntas eran de cada clase?.

a) 14 y 10 b) 16 y 8 c) 12 y 12d) 15 y 19 e) N.A.

Solucin :

* Identificar los 4 datos :

1. Conjunto : ................................................2. Clase A : ................................................3. Clase B : ................................................4. Total : ................................................

* * Ahora con los datos elabore el rombo:

# billetes de $10 = ______________ =

10. En un examen, cada respuesta correcta vale 4puntos y cada incorrecta vale (-1) punto. Si unalumno, luego de responder 30 preguntas obtuvo80 puntos. En cuntas se equivoc?.

a) 7 b) 9 c) 8d) 6 e) 10

11. En un zoolgico, entre todas las jirafas yavestruces se podan contar 30 ojos y 44 patas.Determinar el nmero de alas.

a) 14 b) 28 c) 16d) 12 e) 30

12. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos, si unvendedor entreg 55 litros que pasaban 56,5 kg.Calcular la cantidad de agua que contena estaentrega.

a) 5L b) 4 c) 9d) 13 e) 11

13. En una prueba de 50 preguntas, un alumno gana 2puntos por repuesta correcta pero pierde unpunto por cada equivocacin. Cuntas respondicorrectamente, si obtuvo 64 puntos y contestotodas?.a) 42 b) 36 c) 38d) 34 e) 32

14. Se tiene 3600 soles en billetes de S/.100 yS/.50 que se han repartido entre 45 personastocndole c/u un billetes. Cuntas personasrecibieron un billete de S/.100?.

a) 30 b) 18 c) 27d) 15 e) N.A.

15. Dos nios han recorrido en total 64 metrosdando entre los dos 100 pasos. Si cada paso delsegundo mide 50 cm. y cada paso del primeromide 70 cm. Cuntos pasos ms que el segundoha dado el primero?.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

TAREA DOMICILIARIA N6

1. Los mtodos operativos nos ayudan a_________________ los problemas abreviando:__________________ y ________________.

2. Relacionar correctamente :

a) Se aplica operaciones ( ) Met. Romboinversas

b) Generamos un ( ) Met.Cangrejo

valor supuestoc) Es dato el valor final ( ) Met. Rombod) Existen 4 datos ( ) Met.

Cangrejo


# Billetes Dinero Total

Ya conoces losmtodos operativos I, ahora prctica conlos siguientesejercicios yrecuerda: Muchahabilidad yrazonamiento

Ya conociendo la frmulay el procedimiento de

solucin apliquemos estmtodo de los siguientesproblemas.

algunos de:

otros de:

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3. En el siguiente problema :Tres jugadores : A, B y C convienen en que el quepierda duplicar el dinero a los dems si pierdenen ese orden quedando al final c/u con 32 soles.Responder :

a) Cunto tena c/u inicialmente?__________________________________

b) Quin gan mas y cunto?.

__________________________________

c) Quin perdi y cunto?

__________________________________

d) Quin tuvo ms dinero en las diferentesetapas del juego?.

__________________________________

4. Juan le dice a Luis : Si el doble de mi edad, lomultiplicas por 8, luego divides por 10, al cocientelo multiplicamos por 3, agregas 36 y por ltimo,ivides el resultado entre 6, obtendras 30 aos.Cuntos aos tienen Juan?.

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

5. Con 34 monedas de 5 y 10 pesos se desea colocar

una a continuacin de otra hasta alcanzar lalongitud de un metro. Si los dimetros de lasmonedas son de 20 y 30mm respectivamente, el# de monedas de 5 pesos es:

a) 20 b) 32 c) 18d) 30 e) 2

6. Paola escribe cada da la mitad de las hojas enblanco de un cuaderno ms 5 hojas. Si al cabo de4 das gast todas las hojas. Cuntas hojas tenael cuaderno?.

a) 200 b) 175 c) 225d) 120 e) 150

7. En un concurso de admisin, la prueba de R.M.tena 100 preguntas, por cada respuesta correctase le asigna un punto y cada incorrecta tienepuntaje en contra de 1/4 de punto. Csar haobtenido en dicha prueba 50 puntos, habiendorespondido la totalidad de preguntas planteadas.Cuntas err?

a) 10 b) 50 c) 30

d) 25 e) 40

8. Tres jugadores: A, B y C acuerdan que despusde cada partido el perdedor duplicar el dinero

de los otros dos. Habiendo perdido cada jugadoruna partida en el orden ABC, resulta que el 1tiene 24 soles, el 2 28 y el 3 14. Cunto dineroperdi A?.

a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 18

9. Martn trabaja en una compaa en la cual, porcada da de trabajo le pagan 300 soles y por cadada que falta le descuentan 100 soles de sussueldos. Cuntos das ha trabajado si al final de40 das adeuda a la empresa la suma de 2000soles?.

a) 12 b) 13 c) 18d) 5 e) 10

10. Cada vez que una persona ingresa a una cafeteragasta la tercera parte de lo que tiene en esemomento, ms cuatro soles. Al salir por 3ra vez

se queda sin dinero, Cunto tena al comienzo?.

a) S/.48 b) 15,6 c) 28,5d) 22,5 e) 17,5

11. A Jorgito, por cada da que asiste al colegio, ledan 4 caramelos y por cada da que falta le quitanuno. Cuntos das falt si despus de 28 dasreuni 12 caramelos?.

a) 24 b) 20 c) 25d) 12 e) 4

12. Si trabaja los lunes inclusive, Juan economiza 40soles semanales; en cambi, la semana que notrabaja el da lunes, debe quitar 20 soles. De susahorros. Si durante 10 semanas se lograeconomizar 220 soles. Cuntos lunes dej detrabajar en esas 10 semanas?.

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 8

13. Con un cierto nmero se hacen estasoperaciones : se eleva al cubo, al resultado sesuma 9 y se extrae raz cuadrada; al nmero

resultante se divide entre 3 para luego restarle 1y por ltimo elevarlo al cuadrado, obtenindose16. De qu nmero se trata?.

a) 4 b) 6 c) 9d) 12 e) N.A.

14. Un tren de 325 pasajeros tiene que recorrer 150km. Los pasajeros de 1ra clase pagan 4 soles porkm y los de 2da clase pagan 2 soles por km.Cuntos pasajeros iban en el de 1ra clase, si enese viaje se ha recaudado : 129 600 por conceptode pasajes?.

a) 125 b) 218 c) 99d) 145 e) 107

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15. El nivel del agua de una piscina desciende a 3cm.Por debajo de su mitad y luego de 4 horas sedesagua toda la piscina. Qu profundidad tenael agua actualmente?.

a) 80cm b) 90 cm c) 96 cm

d) 108 cm e) 120 cm

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