GEOMETRIA

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NUMPAGES 11CICLO PRE UNIVERSITARIO 2007-I

SEMINARIO N 05

GEOMETRIA1. Un poliedro convexo tiene 5 caras, entonces el nmero de vrtices pueden ser.

A) 6 7B) 7 8C) 4 5

D) 5 6D) 8 9

2. En un poliedro la razn entre el nmero de aristas y el nmero de caras es . Calcule el nmero de caras, si el nmero de vrtices es mayor que 6 y menor que 10. A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

D) 93. Un poliedro est limitado por n regiones triangulares y 3n regiones pentagonales. Calcule el nmero de aristas, si el nmero de vrtices es 32.

A) 40

B) 54

C)64

D) 18

E) 68

4. En un poliedro se cumple que el nmero de caras es igual al nmero de vrtices. Si la razn entre el nmero de aristas y el nmero de caras es halle la suma de los nmeros de caras, aristas y vrtices.

A) 24

B) 26

C) 28

D) 30

E) 32

5. En un tetraedro OABC, M y N son puntos medios de , OB=100u, AC=80u. Halle la longitud de . A) 12u

B) 16uC) 18u

D) 25u

E) 30u

6. En un tetraedro MABC se cumplen: MA2+MB2+MC2=40u2 y AB2+BC2+AC2=20u2. Halle la distancia de M al baricentro de la regin ABC. A)

B)

C)

D)

E) 5u

7. En un tetraedro MABC, el ngulo triedro M es trirectngulo . Demostrar :

8. Demostrar que para el poliedro no convexo mostrado se cumple el teorema de Euler V+C=A+2

9. En un poliedro convexo OABC: , OB=OC=6, AB=AC=5 y BC=8. Halle la distancia trazada del punto medio de la altura a la cara OBC. A)

B)

C)

D)

E)

10. Las caras de un poliedro convexo son: 8 regiones triangulares, 9 regiones cuadrangulares y K regiones pentagonales. Si el poliedro tiene 33 vrtices, entonces halle K. A) 10

B)12

C)14

D) 15

E) 1811. En un tetraedro regular de arista a. Calcule el rea de la regin determinada por un plano que contiene al punto de interseccin de las alturas del tetraedro y es paralelo a una de las caras. A)

B)

C)

D)

E)

12. En un tetraedro regular ABCD se ubica un punto P en la altura AH de la cara ADC, 3(AP)=2(PH). Halle la medida del ngulo diedro determinado por los planos BPD y BCD. A)

B)

C) D)

E)

13. En un tetraedro regular VABC, , se traza la altura VH y con dimetro VH se traza la semicircunferencia que intercepta a la arista VB en el punto P. Calcule la longitud de la proyeccin de VP sobre VH. A) 0,5

B) 1

C)

D)

E) 2

14. En un tetraedro regular ABCD en se ubican los puntos P y Q respectivamente tal que . Halle el rea de la regin APQ.

A)

B) C)

D)

E)

15. En un tetraedro regular, halle la medida del ngulo que determinan dos medianas de sus caras, si estas se cruzan. A)

B)

C) D)

E)

16. En un tetraedro regular de arista a, halle la distancia entre la altura del tetraedro y la altura de una de las caras, si estas se cruzan. A)

B)

C) D)

E)

17. En un tetraedro regular de arista a, halle el radio de la esfera exinscrita relativa a una de sus caras. A)

B)

C) D)

E)

18. En un hexaedro regular ABCDEFGH halle la medida del ngulo diedro que forman los planos EBC y EDG.

A)45

B) 60

C)53 D)75

E) 90

19. En un hexaedro regular de arista a, halle la distancia entre las diagonales de dos caras adyacentes, si estas se cruzan. A)

B)

C) D)

E)

20. En un hexaedro regular de arista a, halla la distancia entre la diagonal del hexaedro y la diagonal de una cara, si estas se cruzan.

A)

B)

C) D)

E)

21. Halle le nmero de diagonales del poliedro que resulta de unir los puntos medios de las aristas de un hexaedro regular. A)20

B) 30

C)35 D)40

E) 48

22. En un octaedro regular PABCDQ, en las aristas se ubican los puntos M y N tal que y en se ubica el punto F. Halle el ngulo que determinan .

A)30

B) 45

C)60 D)75

E) 90

23. En un octaedro regular de arista a, halle la longitud del segmento que une un vrtice con el baricentro de la cara opuesta. A)

B)

C)a

D)2a

E)

24. Halle la medida de un ngulo diedro en el icosaedro regular de dos caras adyacentes.

A) B)

C) D)

E)

25. En un poliedro regular de 30 aristas cuya longitud mide . Calcule el rea de la superficie polidrica, si tiene el menor nmero de vrtices. A)

B)

C)

D)

E)

26. Cuntos planos de simetra tiene el octaedro regular?

A)6

B) 4

C) 8

D) 9

E) 12

27. Halle la suma de las reas de las secciones que determinan los planos de simetra en un hexaedro regular de arista a. A)

B)

C) D)

E) 9a228. Indique el valor de verdad de las proposiciones:I. El tetraedro regular tienen centro de simetra

II. El tetraedro regular tiene 6 planos de simetra

III. El hexaedro regular tiene 9 ejes de simetra

IV. El hexaedro regular tiene 9 planos de simetra

A)VVVVB)FFVVC)FVVF D)FVFVE) FVVV

29. Indique verdadero o falso:I. En todos los poliedros regulares las aristas cruzadas son ortogonalesII. En el icosaedro regular y en el dodecaedro se trazan 36 y 100 diagonales respectivamente

III. El poliedro conjugado del octaedro regular es el hexaedro regular

A)VVV

B)VVFC)VFV D)FVV

E) FFV

30. Un tetraedro regular es el simtrico respecto a un plano perpendicular al plano que contiene a su base, de otro tetraedro regular OABC. Si es paralelo al plano de simetra y dista 2u de el y . Halle (en u). A)

B)

C)

D)

E)

31. Halle el rea de la seccin determinada por un plano de simetra de un tetraedro regular de arista a. A)

B)

C)

D)

E)

32. Calcule el volumen del poliedro que se obtienen al unir un vrtice de un cubo con los centros de las caras que concurren en el vrtice opuesto, si la arista del cubo mide a.

A)

B)

C)

D)

E)

33. En un prisma de A aristas, halle el nmero total de caras. A)

B)

C)

D)

E) 34. En un octaedro regular MABCDN el rea de la regin determinada por un plano que contiene el punto medio de y paralelo a la cara MCD es . Halle el volumen del octaedro. A)

B)

C)

D)

E) 35. El volumen de un octaedro regular PABCDQ es . Calcule el rea de la seccin que determina, un plano paralelo a , si contiene al punto medio de .

A)

B)

C)

D)

E)

36. Si un prisma tiene 3n aristas. Halle el nmero de caras. A)

B)

C)

D)

E)

37. La suma de todos los ngulos diedros de un prisma oblicuo es 2160. Halle el nmero de caras del prisma. A)6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

38. es un prisma oblicuo donde la distancia de es el cudruplo de la distancia de y la suma de estas distancias es igual a la longitud de una arista lateral e igual a 10. La suma de las reas de y es la mitad del rea lateral del prisma, Halle el permetro de la seccin recta.

A)18

B) 20

C) 22

D) 24

E) 28

39. Calcule el rea lateral de un prisma oblicuo (en cm2), cuya seccin recta es un hexgono regular de de rea. La altura del prisma mide y adems se sabe que las aristas forman ngulos de 60 con la base. A)

B) C)

D)

E)

40. En un prisma triangular regular el volumen es 36m3. Calcule el rea de la seccin paralela (en cm2) a una de las caras laterales que distan 1 cm. de la arista opuesta, si el lado de la base mide 4cm. A) 3

B) 4

C) 5 D) 6

E) 741. Se tiene un prisma triangular recto y en la arista lateral se ubica el punto D tal que Por los puntos D, C y B pasa un plano y determina en el prisma una seccin de rea 9m2. Si la altura de la base ABC mide 4m, halle el volumen del prisma (en cm2). A) 32

B) 36

C) 40 D) 42

E) 5042. Una regin cuadrada en el que se ha trazado la diagonal, se dobla de modo que forma la superficie lateral de un prisma cuadrangular regular y la diagonal del cuadrado se ha convertido en una lnea quebrada no plana conformado por cuatro segmentos. Halle la medida del ngulo que determinan dos de los segmentos consecutivos.

A) 120

B)

C) 130 D) 145

E)

43. En un prisma triangular recto ABCDEF se cumple AB=4 cm., BE=6cm y DC=10cm. O es punto medio de y la longitud del segmento que une el punto O con el centro de la cara ACFD es 5cm. Entonces el rea de la regin triangular OFA (en cm2) es: A)

B) C)

D) E)

44. En un prisma triangular regular en el cual todas sus aristas son congruentes, se ubica D en la prolongacin de de modo que . Halle la medida del ngulo diedro determinado por la base ABC y el plano que pasa por D, y el punto medio de . A) 15

B) 30

C) D)

E)

45. Calcule el volumen de un paraleleppedo rectangular, si las longitudes de 3 aristas que concurren en un mismo vrtice estn en progresin aritmtica, la suma de las longitudes de dichas aristas es 24cm y el rea total del slido es 300 cm2. A) 156cm3B) 160cm3C) 168cm3 D) 170cm3E) 176cm3

46. En el rectoedro ABCDEFGH dos caras adyacentes son regiones cuadradas, se ubica O punto medio de , tal que . Se traza un plano que pasa por los puntos P, Q y E. Halle el rea de la seccin producida en el rectoedro si la arista mide K. A)

B) k2

C)

D)

E)

47. En un paraleleppedo cada una de las aristas mide K, en uno de los ngulos poliedros, cada una de sus caras miden 60. Halle el volumen del prisma.

A)

B)

C)

D)

E)

48. Se tiene una lamina cuadrada de lado L, se construye una caja abierta cortando en las esquinas regiones cuadradas. Determine la mayor capacidad de la caja. A)

B)

C)

D)

E)

49. En un paraleleppedo rectangular se traza y . Si BH=AM=MF=K, entonces el volumen del paraleleppedo es:

A)

B)K3

C) 2K3 D)

E)

50. Las bases de un paraleleppedo recto, son rombos cuyas regiones tienen reas S1. Las reas de las regiones de las secciones que determinan los planos diagonales son S2 y S3. Halle el volumen del paraleleppedo.

A)

B)

C) D)

E) 51. Las diagonales de tres caras diferentes de un paraleleppedo rectangular miden y . Calcule su volumen (en cm3). A)200

B) 210C) 215 D)230

E) 25052. Por cada una de las aristas de un tetraedro se ha trazado un plano paralelo a la arista opuesta. Calcule la relacin entre el volumen del slido obtenido y el volumen del tetraedro.

A)2:1

B) 3:1

C) 4:1

D) 5:2

E) 7:253. El rea total de un paraleleppedo rectangular es 142cm2. La diagonal de la base mide cm. y las tres dimensiones suman 15cm, calcule el volumen del paraleleppedo en cm3.

A) 90

B) 100C) 105 D) 10

E) 11054. En un paraleleppedo rectangular la arista lateral mide (4-x) y las aristas de la base miden x y 3x. Halle el rea lateral del prisma, si el volumen es mximo (en cm2). A)

B)

C)

D) 27

E) 30 55. En un tronco de prisma recto cuadrangular con caras laterales paralelas, se determina interiormente por otro tronco cuyas bases tienen vrtices en los puntos medios de los lados de las bases del primer tronco. Qu relacin de volmenes existe entre el tronco original y el tronco formado? A)

B)

C)

D)

E)

56. ABCDEFGH es un tronco de paraleleppedo oblicuo. Si el rea de ADHE es S1, el rea de FBGC es S2 y el volumen del tronco es V; calcule la distancia entre las caras laterales opuestas ya citadas. A)

B)

C) D)

E)

57. En el rectoedro ABCDEFGH , FG=12, y AE=8. Sobre el plano que contiene a se construye el tringulo equiltero FGN cuyos lados intersecan a en P y Q respectivamente. Halle el volumen de BMNFG si y . A)

B)

C) D)

E)

58. En un tronco de prisma recto (ABCD es un rectngulo) cuya diagonal mide 5, y miden 4 y 1. Halle AB para que el volumen sea mximo.

A)3

B)4

C) 2

D)

E)

59. En una pirmide regular triangular los inradios de la base y de una cara lateral miden a y b. Calcule el rea lateral. A)

B)

C) D)

E)

60. En la pirmide regular OABCD, la distancia de B a es y las regiones AOC y ABCD son equivalentes. Halle el volumen de la pirmide. A)

B)

C)

D) E)

61. En el interior de un tetraedro regular se ubica un punto P. Si la suma de las distancias P a las 4 caras es 20, calcule la longitud de la arista del tetraedro. A)

B)

C)

D) E)

62. En la pirmide OABCD AB=12 y CD=6. Si el poliedro se proyecta sobre un plano perpendicular a , el rea de la proyeccin es 20u2, halle el volumen de esta pirmide (en u2).

A)100

B)110 C)120

D)140 E) 15063. Se traza desde A (punto exterior a un plano P) una perpendicular AB a dicho plano tal que con los puntos B, C y D que pertenecen al plano se determina el triedro equiltero ABCD con caras de 60. Si halle el volumen de la pirmide ABCD. A)

B) 1 C)

D)

E)

64. En la figura, SAOB=SBOC=SAOC y SABC=27u2. Halle el rea total de la pirmide OABC.

A)

B)

C) D)

E)

65. Halle el volumen de una pirmide regular cuadrangular cuya base est inscrita en una circunferencia de radio R y en cuyos diedros bsicos miden 45. A)

B)

C) D)

E)

66. En el tetraedro OABC se ubican los puntos D,E,F,G y H en respectivamente tal que y Si los volmenes de ODEF y CHFG son V1 y V2, Calcule el volumen de OABC. A)

B)

C)

D)

E)

67. Las pirmide OABC y tienen sus aristas opuestas por el vrtice O y sus bases contenidas en planos paralelas. Si la distancia entre las bases es 9 cm., S(ABC=25u2 y calcule la suma de los volmenes de OABC y

A)

B) C)

D) E) 55u368. Si OABCD es una pirmide regular cuadrangular y un plano secante intercepta a en E, a en F, a en G y a en H, demostrar que:

69. En el tronco de pirmide regular cuadrangular ABCDEFGH, Cul es la razn entre el rea de la regin BDHF y el rea lateral del tronco.

A)

B) C)

D) E)

70. A un tronco de pirmide de bases paralelas cuyas reas son S1 y S2 (S1>S2) y se le intercepta con un plano paralelo a dichas bases determinando sobre la altura del tronco segmentos de longitudes m y n. La distancia m se mide a partir de la base menor. Demostrar que el rea S de la seccin determinada por el plano secante es:

71. Un tronco de pirmide cuyas bases son regiones cuadradas y una cara lateral es perpendicular a las bases, est circunscrito a una esfera. Si los permetros de las bases suman L y el producto de las longitudes de dos aristas bsicas distintas es K, calcule el volumen del tronco de pirmide.72. En el tronco de pirmide de bases paralelas los volmenes de y son V1 y V2. Demuestre que el volumen de es:

73. En el tetraedro regular OABC se ubican sobre los puntos M, N y P tales que . Calcule la relacin entre los volmenes de los slidos OMNP y MNPABC. A)

B) C)

D) E)

74. Halle el volumen del prismatoide cuyas vistas horizontal y frontal se muestran a continuacin.

A)

B)

C)12

D) E)

75. Las aristas de la base de una pirmide triangular regular miden a y sus ngulos diedros laterales miden 90 cada uno, halle el volumen del slido piramidal. A)

B) C)

D) E)

76. Halle el recorrido mnimo que debe hacer una hormiga en ir y regresar al punto A pasando por el punto C y no por la base de una pirmide regular VABCD de arista de longitud . A)

B)

C)

D) E)

77. Halle la distancia del vrtice A al plano VCD en una pirmide regular VABCD de altura 4u y rea de su base 36u2 (en u). A)2

B) 4

C)5.2

D)4.8 E) 578. Se traza un plano secante paralelo a la cara ABE y secante a las aristas de una pirmide regular ABCDE de volumen V en los puntos P, Q, R y T respectivamente. Si AP=PC calcule el volumen del slido QDRPCT. A)

B)

C)

D) E)

79. Un slido piramidal cuyas aristas laterales de longitudes , forman con la base trapecial issceles ngulos de 60. Si los tres lados de menor longitud en la base miden cada uno, entonces el volumen del slido piramidal es: A)

B)

C)

D) E)

80. Una hoja cuadrada ABCD es doblada por un ngulo de 30 en donde 3PB=PC=3u. Halle el volumen del slido limitado por la pirmide cuya base es la regin ABPD y el vrtice es la posicin final del punto C. A)2u3

B) 3u3C)4u3

D)5u3 E) 6u381. Las caras laterales de una pirmide OABC forman con la base ngulos de 45, si AB=13u, BC=15u, AC=14u entonces el volumen del slido piramidal OABC es:

A)80u3

B) 100u3C) 112u3

D)116u3 E) 120u382. Por una arista bsica de una pirmide cuadrangular regular de rea lateral 4b2 se trazan un plano que determina en la cara opuesta una regin triangular de rea a2, halle el rea de la superficie lateral de la pirmide determinada por encima del plano P1. A)ab

B)

C) a2+b2

D)(a+b)2 E) (a-b)283. En las aristas laterales de un pirmide regular OABCD de volumen V y aristas congruentes. Se ubican los puntos F y E tal que DE=5EO y OF=FA, el plano determinado por E, F y B intercepta a la arista en G halle el volumen del slido OEFBG A)

B)

C)

D)

E)

84. Halle el volumen del slido piramidal triangular, cuyas caras laterales de arista comn de 8u y perpendiculares entre s, miden S1 y S2 . A)

B) C)

D)

E)

85. La suma de las alturas de dos pirmides con vrtice comn y bases paralelas y aristas colineales en correspondencia es de 10u, las reas de las bases miden 2 y 8u2. Halle la suma de los volmenes de las pirmides. A) 18u3

B) 20u3 C) 25u3 D)

E)

86. Halle el volumen del slido cuyas aristas resultan de unir los puntos medios de las aristas de una pirmide triangular de volumen V.

A)

B)

C)

D)

E)

87. Por un punto de una arista lateral de una pirmide triangular de volumen V se trazan dos planos uno paralelo a una cara lateral y el otro paralelo a la base determinndose dos nuevas pirmides de volmenes V1 y V2, halle una relacin entre V1, V2 y V. A)

B)

C) D)

E)

88. En una pirmide VABC se ubica el punto D en y E en la mitad de tal que el plano que contiene al tringulo ABD sea plano bisector del ngulo diedro VADE; la prolongacin de la altura trazada desde V hacia el plano bisector intercepta a la cara ABC en G punto medio de , el volumen de ABGD es V, calcule el volumen de VABC. A)3V

B)4V C)5V

D)6V E) 7V89. Un plano P intercepta a las arista laterales OA, OB, OC, OD de una pirmide regular OABCD de aristas congruentes en los puntos E, F, G y M respectivamente, si las distancias de O a y son iguales y EG mide 6u. Calcule FM

A)3u

B)4u C)5u

D)6u E) 7u90. Un plano P intercepta a las aristas laterales de una pirmide triangular regular de aristas congruentes determinndose por encima de P una nueva pirmide cuya suma de las inversas de sus aristas laterales es 2u, calcule la longitud de la porcin de altura que determina el plano P en la pirmide inicial. A)

B)

C)

D)

E)

91. Halle el volumen mnimo limitado por una pirmide regular cuadrangular cuyas aristas laterales pasan por los vrtices de la cara superior de un cubo de arista a y cuya base esta en el mismo plano que contiene a la cara interior del cubo. A)

B)

C)

D)

E)

M

A

50 cm

3

EMBED Equation.DSMT4

Perfil D

Frontal

Horizontal

A

B

C

O

CEPRE-UNI GEOMETRIA - 8 -

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