5to trabajo_lognormal

8/7/2019 5to trabajo_lognormal

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GEOESTADISTICA 1 UNI-FIGMM

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL-DISTRIBUCION LOGNORMAL PARA SIMULACION DE 3000 DATOS

Introduccin

El trabajo numero 5 tiene que simular 3000 datos de la funcinrandum con parmetros establecidos (media = 2, y desv. estndar =1), esta simulacin de datos se ajustara a una distribucin NORMAL,mediante el teorema de lmite central, para obtener un gaussianototalmente simtrico, esta simulacin se hace ajustando a estadistribucin ya que en la vida real lo datos obtenidos en campo secomportan como distribucin lognormal.

Adems debemos halla del calculo los valores de las variables y

.Graficaremos igualmente el histograma de esta simulacin paraobserva el comportamiento del nuevo ajuste.

Objetivos

Simular 3000 datos, y observar el comportamiento delgaussiano en distribucin normal y log normal.

Comprobar el teorema del lmite central. Comparar los histogramas obtenidos. Graficar diagramas P-P plot

Fundamento terico

Teorema del lmite central

Si tenemos una variable aleatoria regida por , puede definirseuna nueva variable como el promedio de medicionesindependientes de dicha magnitud, es decir,

La pregunta que nos planteamos es cmo ser la distribucin de

probabilidades de esta nueva variable estocstica?Para responder esta interrogante, analicemos la funcin caracterstica

correspondiente a

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Tomando , puede desarrollarse

La exponencial oscilatoria en la integral nos permite ver que

decrece con , de modo que decrecer aun ms

rpidamente. Si cuando decae de tal forma que todos los

son finitos,

De este modo, podemos reconstruir

Completando cuadrados puede resolverse la integral para obtener

Este resultado es llamado teorema del lmite central, y nos dice que,

sin importar cul es la forma de , el valor medio de la variable

estocstica coincide con y la distribucin es gaussiana,

con . Vale la pena resaltar que los requisitos que hemospedido para nuestros experimentos son: que sean independientes,

que los momentos sean finitos y que sea grande.

Calculo

Las ecuaciones a usar para demostrar el teorema de Lmite Central

son:

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Distribucin LOGNORMAL

2)

ln.(2/1

..2

1)(

=

x

exf

Despejando y , obtenemos:

+

=

+

=

1

12

1

2

2

x

x

x

x

x

Ln

LnLn

Teorema de Limite Central:

+==

k

ky

y

k

i

i

yy

1

Donde:

iy

i

y

y

ex =

=

=

Calculo

Al aplicar las formulas indicadas en la parte superior, , con losparmetros dados en clase, obtuvimos lo siguiente

Media = 2Desviacin Estndar=1Numero de Datos (N) = 3000

Numero de datos aleatorios (k)=14

= 0.5815754

=

0.47238073

El valor de knos dice que 14 datos de la funcin Random , sontomados para obtener un dato (histograma experimental) para ladistribucin Log normal

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1,00,80,60,40,20,0

Observed Cum Prob

,

,8

,6

,4

,2

,0

Histograma con distribucin Lognormal

El histograma de la distribucin Log normal nos muestra un gaussianoperfecto, con apariencia simtrica, para observar la variabilidad dedatos y su tendencia ploteamos un grafico P-P plot.

2,00001,00000,0000-1,0000

VAR00001

200

150

100

50

0

Frequency

Mean = 0,576438Std. Dev. = 0,4755642

N = 3.000

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1,00,80,60,40,2,0

Observed Cum Prob

En este caso se observa la tendencia lineal de la grafica anterior, esoquiere decir que la variabilidad de la simulacin ha dismudo lomximo posible, lo cual indica que ha sido correcta la distribucinaplicada.

Conclusiones y observaciones

Se demostr que el teorema de lmite central es aplicable acualquier tipo de distribucin que poseamos, siempre que estaposea variables independientes.

Mientras el valor de k sea mayor, mejor ser el ajuste de ladistribucin, a una distribucin normal.

Se puede deducir que conociendo la media y la desviacinestndar se pueden generar datos que tengan distribucin

Lognormal. Los histogramas ploteados muestran el gaussiano endistribucin normal y Lognormal, es decir gaussianoperfectamente simtrico o con cola cuando la distribucin noesta ajustada.

Los valores de media y varianza obtenidas experimentalmentemediante la distribucin y el histograma (= 1.992476 y =0.9965067) son muy similares a los tericos (= 2 y =1),

Los diagramas P-P Plot, muestran que luego de la distribucinLognormal nuestro histograma refleja exactitud con el diagramaterico, por lo cual se observa un tendencia lineal, mientras que

la distribucin normal nos arroja una grafica curva la cual sealeja del comportamiento lineal ideal, esto se interpreta como

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una mayor variabilidad de los datos en la simulacin con esadistribucin (se aleja del comportamiento terico).

Cdigo de Distribucin Log Normal con datos random (Macrosde Excel)

Modificado por Carlos Quevedo.

Dim k As DoubleDim a As DoubleDim b As Double

Private Sub CommandButton1_Click()z = Val(TextBox1.Text)x = Val(TextBox3.Text)y = Val(TextBox2.Text)q = Val(TextBox4.Text)

For j = 1 To zs = 0For i = 1 To qk = Rnds = s + kNexta = Log(x) - 0.5 * Log((y / x) ^ 2 + 1)b = (Log((y / x) ^ 2 + 1)) ^ 0.5

t = Exp((a + (b * ((s - q * 0.5) / ((q / 12) ^ 0.5)))))p = (a + (b * ((s - q * 0.5) / ((q / 12) ^ 0.5))))Cells(j, 2) = tCells(j, 1) = pNext

Cells(11, 4) = aCells(12, 4) = b

End Sub

*CABE RESALTAR QUE EN EL MACROS DE EXCEL CONSIDERAEN SU SINTAXIS A LOG COMO LN.

Bibliografa

ESTADSTICA: DESCRIPTIVA E INFERENCIAL Manuel

Crdova Zamora.

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PRECIO DE LOS METALES 02/05/2008 HORA: 14:52PM

Cu 8549.88 $USS/Tm

Ni 28 088.3 $USS/Tm

Al 2869.3 $USS/Tm

Zn 2168.65 $USS/Tm

Pb 2559.6 $USS/Tm

Au 855.6 $USS/onz

Ag 16.36 $USS/onz

Pt 1900 $USS/onz

Pd 415 $USS/onz

U 143 487.8 $USS/Tm

Rh 9110 $USS/Tm

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