6º Ingeniería 1 y 2 - Matemática “A”– Liceo Nº 3 – Nocturno Profs.: Marcelo Valenzuela – Patricia Camargo

cÜövà|vÉ aœ F Nota: “e” es un número irracional que será definido en el curso teórico. Acepte que 2<e<3, y que la base de los logaritmos mencionados es el mismo número e. 1) Estudiar dominio, ceros y signos, de las siguientes funciones:

xxxffxx

xxxff

xffxxxff

xxffx

xxff

xxffx

xff

xxxxxff

xxff

−−=+−−−

=

−=+−

−=

=−

=

+=−

=

−−+−−

==

9)(:10) )9)(3(

6)(:)5

25x )(:)9 2)2()(:)4

)(:)8 82

5)(:)3

3)(:7) 3)(:)2

|3|1833)(: 6) 1)(:)1

22

3 22

2

3

2

2

2

2) Estudiar dominio de las siguientes funciones:

22

32 (3

2

25 1 9) ( ) ( ) ) ( ) ( -1) ) ( ) . ) ( )2

1) ( ) ) ( ) 2 ) ( ) ) ( )2 1

1) ( )2 3

xLn xx

x xi f x L x ii f x L x iii f x L x iv f xx x x

xv f x vi f x x x vii f x e viii f x ex x

xix f x Lnx

++−

− −= = + =

+−

= = − = =− +

+= −( )

3

222

2

1) ( ) 1 ) ( ) 2

3 4 1) ( ) ) ( ) 96

xx

xx f x L x xi f x Lx

x xxii f x L xiii f x e xx x

− = + = +

− += = + − + +

=

1)

3) Estudiar el signo de las funciones del ejercicio anterior, (salvo “ii” y “xi” ) 4) Graficar las siguientes funciones (f:ℜ→ℜ)

a) f:f(x) = 5 d) f:f(x) = | x | g) f:f(x) = |Ln(x)| b) f:f(x) = 3x - 8 e) f:f(x) = |3x - 8| h) f:f(x) = |Ln|x|| c) f:f(x) = 2x2 – 3x + 2 f) f:f(x) = |2x2 – 3x + 2| i) f:f(x) = |sen(x)|

5) Deduzca dominio ceros y signos a partir de la gráfica: -3 -2 5 -5 3 -4 -2 2 4

6) Resuelva las siguientes ecuaciones: a) e) 2 22 .2 2x += 1x 12 8= x

b) 2 12 322

x

x

+

= f) 2 3x − 12 8=

c) g) ( )22 65536x = 2 10

8x x++ =2 2

d) h) 12 2 192x x++ = 3 3 12 . 2 1x x+ =

7) Resolver: a) e) e e2 5 4x xe e− + = 0 3x x− +< b) f) e e 2 2 0x xe e+ − =

2x ≥c) g) e2 1x xe e−− = 1 1x− + < d) 2 1 2 2 32x xe e e+ +− − 0= h) 3e ≥ x

8) Resolver las siguientes inecuaciones

a) ( ) ( )1 3Ln x Ln x− < − 4

b) ( )2 1 8Ln x Ln− ≥

c) ( ) ( )2 1 3Ln x Ln x− < −1

d) ( ) ( ) ( )24 3 1 25 49Ln Ln x Ln x Ln x+ − < + + − 9) Resuelve en ℜ las siguientes ecuaciones:

a) 2 ( ) ( ) 42 0Ln x Ln x− − =

b) 22

42( ) 1( )

Ln xLn x

− =

10) Dadas las siguientes definiciones:

Punto interior de un conjunto: Dado un conjunto A⊆R, decimos que a pertenece al interior de A si y sólo si, existe un entorno de centro a incluido en A.

Conjunto Abierto:

Un conjunto de reales es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. Conjunto Cerrado: Un conjunto A⊆R es cerrado si y solo sí, ( - A) es abierto. Ejercicio: Demuestre que ( NO es abierto. 2,3] Demuestre que ( es abierto. ¿Qué puede afirmar acerca de (2,3) , 2] [3, )−∞ ∪ +∞ ?

¿ es abierto? ¿es cerrado?

Punto de acumulación: Sea A⊆R, x∈R es punto de acumulación de A ⇔ ∀ Ex se cumple que (E*x∩ A)≠∅

Ejercicio: Sea A = {1/n; n∈N*}. Investigue la existencia de puntos de acumulación de A. ¿los puntos de acumulación deben pertenecer a A? ¿los puntos de acumulación deben NO pertenecer a A?