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7/25/2019 6 CINEMATICA.pdf

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Soluciones ejercicios

ota 6.1 (1), (2), y (3) representan el grado de dificultad del problema.(1) corresponde a problemas tipo prueba, el (2) corresponde a problemas

scriminatorios y el (3) a problemas de tareas.

ercicio 6.1 La posicin de una partcula que se mueve sobre el eje OXun sistema de coordenadas est dada

x(t) = 1 + 8t 2t2,

nde la posicin est en metros y el tiempo en segundos. Determine

a) La velocidad ent= 5 s.

b) La aceleracin ent= 2 s.

c) El instante en que la partcula cambia su sentido de movimiento.

d) El desplazamiento de la partcula entret= 0 yt= 4 s.

e) El espacio recorrido entret= 0 yt= 4 s.

f) El espacio recorrido entret= 0 yt= 5 s.

Solucin.Calculamos directamente

a) v(t) = dxdt = 8 4t que evaluada ent= 5 dav(5) = 1 2 ms1


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8 Soluciones ejercici

b) a(t) = dvdt

= 4constante por lo tanto a(2) = 4 m s2

c) Cuandov(t) = 8 4t= 0esto es cuandot= 2 s

d) x= x(4)

x(0) = (1 + 84

242)

1 = 0 m

e) Notemos que partcula cambia sentido del movimiento cuandov(t)8 4t= 0es decir en t= 2 s,por lo tanto

s= x(2) x(0) + x(2) x(4) = 16 m

f) Similarmente

s= x(2) x(0) + x(2) x(5) = 26 m

N

jercicio 6.2 Una partcula se mueve a lo largo del eje OX de un sistemcoordenadas con aceleracin constante. En el instante inicial pasa por

sicinx(0) =

10 m con una velocidadv(0) =

2 0 m s1 y ent = 3 s

sicin esx(3) = 52 m. Determine

a) La posicin de la partcula en funcin del tiempo x(t). (o ecuacitinerario)

b) El espacio recorrido por la partcula entret= 3 s yt= 6 s.

c) La velocidad media entret= 4 s yt= 7 s.

d) Los intervalos de tiempo en que la partcula se aleja del origen.

Solucin.Siaindica la aceleracin entonces

x(t) = x(0) + v(0)t +1

2at2

=

10

20t +1

2at2

b (3) 52 l t t


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a)

x(t) = 10 20t + 2t2

b) Para saber el espacio recorrido debemos saber cuando cambia el sentidel movimiento

v(t) = 20 + 4t= 0 t= 5 s

que est dentro del intervalo (3, 6). Como inicialmente va hacia la quierda

s= x(3) x(5) + x(6) x(5) = 10 m

c) Tenemos que calcular

vm(4, 7) =x(7) x(4)

7 4 ,

pero podemos evaluar x(7) =

52 my x(4) =

58 mluego

vm(4, 7) =52 + 58

7 4 = 2 m s1.

d) La partcula comienza a moverse hacia la izquierda hasta alcanzar mnimo que ocurre en t = 5 s. Posteriormente cruza el origen nuevmente cuando

10 20t + 2t2 = 0 t= 10. 477s

Por lo tanto la partcula se aleja del origen en los intervalos de tiem0< t 10,477s

N


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1 8765432t (s)

Vx(m/s)

30

15

-15

0

a) La aceleracin de la partcula ent= 1 s.

b) El desplazamiento de la partcula entret= 0 s yt= 3 s.

c) La velocidad media de la partcula entret= 4 s yt= 9 s.

d) La posicin de la partcula en funcin del tiempo x(t) (ecuacin itinrario) en el intervalo det= 0 s at= 2 s.

e) Los intervalos de tiempo en que la partcula se dirige hacia el orige

Solucin.Es conveniente primero evaluar las aceleraciones (pendienl grfico dado) en los tres tramos. As resulta

a1 = 45

2 m s2, a2= 0 m s

2,a3=15

2 m s2

ego al utilizar la ecuacin

x(t) =x(0) + v(0)t +12

at2,

sultax(t)para todo el recorrido

x(t) = x(0) + v(0)t +1

2a1t

2 = 30t 454

t2 parat 0 2

(2) = 15 m

x(t) = x(2) + v(2)(t 2) +12 a2(t 2)2 = 15 15(t 2)para2 0 t 0


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101

ego las respuestas sern:

N

a) a(1) = 452

m s2

b) x= x(3) x(0) = 15 15(3 2) = 0

c)

vm=x(9) x(4)

9 4 =30 15(9 5) + 15

4(9 5)2 (15 15(4 2))9 4 = 3 m

d) x(t) = 30t

45

4

t2

e) la partcula parte alejndose del origen hacia la derecha hasta quev(t) = 30 45

2t = 0 o sea t = 4

3s. Luego se mueve hacia la izquier-

da acercndose al origen hasta que x(t) = 15 15(t 2) = 0 o seahasta t= 3 s. Luego se alejar del origen nuevamente hasta que v = 0y esto ocurre si t = 7 s. De ah se acercar hasta cuando lo cruce denuevo esto es cuando 30 15(t 5) + 15

4(t 5)2 = 0, con solu-

cin t = 7 + 2

3 = 10. 4641s. En consecuencia se acerca al origen si43s < t


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a) La aceleracin deB.

b) Espacio recorrido porA desdet= 0 hasta cuandoB alcanza la velodadvB = 30 m s

1.

c) El desplazamiento deB en el intervalo det= 0 s at= 10 s.

d) La posicin de la partcula A en funcin del tiempo t, si su posiciinicial esx(0) = 8 m.

Solucin.La aceleracin de B es la pendiente de la curva vx vst.Daue la curva es una recta ella resulta constante

axB =vxt

= 408

= 8 m s2.(a)

a ecuacin de la recta es

vxB(t) = 40 8t.

e aqu se determina el instante en que el mvil B alcanza la velocidB = 3 0 m s

1 40 8t = 30 y de aqu t = 108

s = 1. 25 s. El espacorrido porAen ese tiempo ser

xA= 30t== 37. 5 m. (b)

desplazamiento deB es el rea bajo la curva (la integral de vx)

xB =Z 100

vxB(t)dt=Z 100

(40 8t)dt= 0. (c)

usted an no sabe integrar, el rea bajo la curva puede calcularla comoma de las reas de dos tringulos, una positiva y la otra negativa

xB =1

2405 1

2405 = 0 m.

a posicin de la partculaAes simplemente


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1

jercicio 6.5 Dos partculasAyB se mueven con velocidad constante e un mismo ejeOXen sentido contrario de manera que ent= 0 cuanpasa porQ su velocidad esvB(0) = 5 m s1, A pasa porP con velocid(0) = 6 m s1. La distancia entre los puntosA yB es142m. Determi

s desaceleraciones constantes que deben aplicar ambas partculas para qdetengan simultneamente justo antes de chocar.

P Q

142 (m)

Solucin.De acuerdo a los datos (colocando el origen en P)

xA(t) = 142 5t +12

aAt2,

vA(t) = 5 + aAt,

xB(t) = 6t1

2aBt

2,

vB(t) = 6 aBt

ote que los signos de las aceleraciones corresponden ambas a desaceleracs de magnituda. Ellas se detienen simultneamente si

5 + aAt = 0,6 aBt = 0,

ellas deben justo estar en la misma posicin

xA = xB,

142 5t +12

aAt2 = 6t 1

2aBt

2

demos reemplazaraAt= 5 yaBt= 6 obteniendo

142 5t +12

5t= 6t 12

6t

donde

t=284

11 = 25. 818s,


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N

jercicio 6.6 Una partcula se mueve en la direccin positiva del ejeOn una rapidez constante de50 m s1 durante10 s. A partir de este ltimstante acelera constantemente durante5 shasta que su rapidez es80 m setermine:

a) La aceleracin de la partcula en los primeros10 s.

b) La aceleracin de la partcula entret= 10 s yt= 15 s.

c) El desplazamiento de la partcula entret= 0 s yt= 15 s.

d) La velocidad media de la partcula entret= 10 s yt= 15 s.

Solucin.Para el primer tramo

a) a= 0 m s2.

b) Aquaes constante

a=v

t =

80 505

= 6 m s2.

c) El desplazamiento es el rea bajo la curva (hgala)v(t). El resulta

x= 5015 +1

2530 = 825 m.

d) Esta es (rea entret= 10 hastat= 15)

vm =x(15) x(10)

5

=505 + 1

2305

5

= 65 m s1.

N


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1

a) El espacio que recorre en los siguientes cuatro segundos.

b) La velocidad inicial.

c) La aceleracin del cuerpo.

jercicio 6.8 Dos partculas A y B salen al mismo tiempo desde el on de un sistema de coordenadas movindose en el sentido positivo del X. La partcula A tiene una velocidad inicial de vA(0) = 18ms

1 y ueleracin constanteaA= 4 m s

2, mientras que la partculaB tiene una cidad inicial devB(0) = 10 m s

1 y una aceleracin constanteaB = 8 m setermine el instante en que las partculas se encuentran nuevamente.

Solucin.Podemos escribir

xA(t) = 18t +1

24t2,

xB(t) = 10t +1

2

8t2.

as partculas se encuentran cuando xA=xB y de aqu

18t +1

24t2 = 10t +

1

28t2

n solucionest= 0, yt= 4 s, la segunda sirve.

N

jercicio 6.9 En una carrera de100 m dos jvenesA yB cruzan la mempatados, marcando ambos10,2 s. Si, acelerando uniformemente,Aalcan

rapidez mxima a los 2 s y B a los 3 s y ambos mantienen la rapidxima durante la carrera, determine:

a) Las aceleraciones de A y B


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06 Soluciones ejercic

Solucin.En general sit0 es el tiempo que dura la aceleracin yV eslocidad constante final, tenemos que

x(t) = 1

2

at2, sit < t0 y

V = at0,

ego siXindica la distancia total a recorrer, el tiempoTque se emplea

T = t0 +X 1

2at02

V

T = t0 +X 1

2at02

at0

ara nuestro caso, como llegan empatados tenemos

T = (2) +100 1

2aA(2)

2

aA(2) = 10,2,

T = (3) +100 1

2aB(3)2

aB(3) = 10,2

ue danaA= 5. 4348ms

2,

aB = 3. 8314ms2,

resulta adems

VA = aAt0

A= 5. 43482 = 10. 870ms1,

VB = aBt0B = 3. 83143 = 11. 494ms1,

ara la etapa de velocidad constante tenemos que

xA(t) = 1

2aA(t

0

A)2 + VA(t t0A),

xB(t) = 1

2aB(t

0

B)2 + VB(t t0B),

reemplazando valores numricos son


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1

y parat= 10 s resultan

xA =

10. 87 + 10. 87t= 97. 83 m,

xB = 17. 241 + 11. 494t= 97. 699m,

ego va adelanteAy la distancia que los separa es

x= 97. 83 97. 699 = 0,131 m.

N

jercicio 6.10 Una partcula que se mueve en movimiento unidimensionbre el eje OX parte del origen con una velocidad inicial v(0) = 5 m s1

sacelera constantemente con una aceleracin a =1 0 m s2. Determiposicin mxima que alcanza sobre el eje de movimiento y la velocidando pasa nuevamente por el origen.

Solucin.Tenemos que

x(t) = 5t 5t2,v(t) = 5 10t,

a cambia su sentido de movimiento (est en un mximo) cuando510t=de aqut= 0,5 s. Para ese instante calculamos

xmaximo= 5(0,5) 5(0,5)2 = 1. 25 m.

uando pasa nuevamente por el origen x = 0 y de aqu5t 5t2 = 0, clucin t= 1 s. Para ese instante v(1) = 5 10 = 5 m s1.

N

jercicio 6 11 Si una partcula en que se mueve en movimiento unidime


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Solucin.Basta considerar que

x(t) =1

2at2,

s la distancia recorrida entret= n yt= n + 1 ser

xn=1

2a(n + 1)2 1

2an2 =

1

2a(2n + 1)

sea estn en la proporcin 1 : 3 : 5 : 7 :

N

jercicio 6.12 Si una partcula que se mueve en movimiento unidimeonal sobre el eje OX parte del origen con velocidad V0 y desacelera celeracin constantea, demuestre que la partcula regresar al origen

n tiempo

t=2V0

a .

Solucin.Tenemos que

x= V0t1

2at2,

ego haciendox= 0 resultaV0t 12at2 = 0, y de aqu

t= 2V0a.

N

jercicio 6.13 Dos partculasAyB que se mueven en movimiento uniensional sobre el eje OX parten del origen. La partculaA parte ent =n velocidad VA(0) = 10ms

1. La partcula B parte en t = 1 s con ve

dad VB(1) =1 0 m s1

. Ambas desaceleran con aceleracin de magnit= 6 m s2. Determine la mxima distancia entre ellas antes que se cruce


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1

ote que desaceleraciones significan aceleraciones contrarias a la velocidicial. La distancia que las separa esxA xB es decir

x= 10t 3t2 (10(t 1) + 3(t 1)2) = 26t 6t2 13.

u mximo se logra derivando e igualando a cero

26 12t= 0,

dondet= 2. 1667s y para ese tiempo

x= 26t 6t2 13 = 15. 167m.

N

jercicio 6.14 (1) Desde el origen de un sistema de coordenadas se lanna partcula con rapidez v0 formando un ngulo de 37

o con la horizonchoca al cabo de 3 s con una pared en el punto (x, y). Si se cambia

ngulo de lanzamiento a53o con la horizontal, manteniendo la misma rapidlanzamiento v0, la partcula impacta la pared en el punto (x, y+ 7).

eterminar el tiempo que demora el proyectil lanzado a53o sobre la horizonn llegar a la pared. b)Determine la rapidez de lanzamiento de la partcul

Solucin.Recordando que

x = v0t cos

y = v0t sin 1

2gt2,

condicin del problema puede escribirse

x = 3v0cos 37

y = 3v0sin 371

210(3)2,

x = v0t cos53

y+ 7 = v0t sin53 12

10t2,


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e la primera

t=3cos37

cos53 = 3. 98 4 s,

de la otra

v0 = 38 5t2

3sin37 t sin53= 30. 0 m s1

N

jercicio 6.15 (1) Por un tubo de dimetro despreciable ubicado en el su sale un chorro de agua en un ngulo de45o con la horizontal (dentro

bo las partculas de agua tienen distintas velocidades). El grueso del agrma en el suelo un charco aproximadamente circular de radio 2,2 m cuntro se encuentra ubicado a12,2 mdel origen. Determine entre que valorra la rapidez con que sale el grueso del agua por el tubo despreciando erzas viscosas.

Solucin.De

x = v0t cos

y = x tan gx2

2v20cos2

,

andoy= 0 (punto de cada) se obtiene

x=2v20sin cos

g .

= 45o ello se simplifica a

x=v20

g,

bien v0=

gx.


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1

N

jercicio 6.16 (1) Una partcula ent = 0pasa por el origen de un sistecoordenadasfijo en el espacio con velocidadv0= 2

k m s1 movind

n el espacio con una aceleracin que en cualquier instante est dada porpresina(t) =t m s2. Determine ent= 2 s: a) Los vectores posicvelocidad de la partcula. b)Las componentes tangencial y normal deeleracin.

Solucin.Dea(t) =t ,

tegrando dos veces se deduce que

v(t) = 2 k+ (t2

2 t),

r(t) = (2 k)t + ( t3

6 t

2

2),

t= 2

r(2) = (2 k)2 + ( 43

2) = (163

,2,2),

v(2) = 2 k+ (2 2) = 4 2 k= (4,2,1)

Para evaluar las componentes tangencial y normal, determinemos

T(2) =v

v =

(4,2,1)21

or lo tantoaT = a(2) T(2),

roa(2) = (2,

1, 0), calculando resulta

10 2


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N

jercicio 6.17 (1) Un tanque se desplaza con velocidad constante de 1s1 por una llanura horizontal. Cuando t = 0, lanza un proyectil que

n el blanco a9 km. Si la inclinacin del can respecto de la horizontal o, determine la rapidez con que sale el proyectil respecto del can.

Solucin.Podemos escribir (g= 10 m s2)

x = 9000 = (v0cos 37 + 10)t,

y = v0t sin37 5t2 = 0,

la segundat=

v0sin 37

5 ,

emplace en la primera

9000 = (v0cos 37 + 10)v0sin 37

5mandosin 37 = 0,6, ycos 37 = 0,8

9000 = 0,096 v20+ 1. 2v0

ya solucin positiva es v0 = 300,0 m s1

N

jercicio 6.18 (1) Desde el origen de un sistema de coordenadas se la

un proyectil en direccin de un objeto situado en la posicin (2h; h). omento de lanzar el proyectil, se suelta el objeto que cae por efecto de avedad. Determine en funcin de h la separacin entre el proyectil yjeto cuando el proyectil haya recorrido horizontalmente una distancia h

Solucin.Para el proyectil

xP = v0t cos

yP = v0t sin 12

gt2,


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1

uandoxP =v0t cos = h, entonces

xP = h,

yP = h tan 1

2 g(

h2

v20cos2 ),xO = 2h,

yO = h1

2g(

h2

v20cos2

)

la distancia serd= p(xP xO)2 + (yP yO)2 = qh

2 + (h2

)2 = 12

5

N

jercicio 6.19 (1) Desde un barco que se mueve a20 km h1 se ve a orco que est a20km cruzando su trayectoria perpendicularmente con upidez de15 km h1. Despus de cunto tiempo la distancia que separa rcos es mnima?

Solucin.Respecto a un sistema cartesiano, las coordenadas de los darcos pueden escribirse

x1 = 0,

y1 = 20t,

x2 = 15t,

y2 = 20,

modo que la distancia en funcin del tiempo ser

d =p

(x1 x2)2 + (y1 y2)2 =p

(15t)2 + (20t 20)2= 5

p(25t2 32t + 16)

Un polinomio de segundo grado tiene un mnimo en el punto medio ens races que son16 12 16 12


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N

jercicio 6.20 (2) Una partcula A es lanzada sobre una lnea recta hzontal con cierta velocidad. Su aceleracin es constante. Un segundo m

rde y desde el mismo lugar otra partcula B es lanzada tras la primera cna velocidad igual a la mitad de la de A y una aceleracin el doble de uando B alcanza a A, las rapideces son22 m s1 y31 m s1 respectivamenalcule la distancia que las partculas han viajado.

Solucin.Suponiendo el movimiento sobre el eje OX tenemos

xA = vt +

1

2at2

,

xB = (1

2v)(t 1) +1

2(2a)(t 1)2,

vA = v+ at,

vB = (1

2v) + (2a)(t 1).

igualar las distancias y simplifi

car1

2vt = 1

2v+

1

2at2 2at + a

ems

vA = v+ at= 22

vB = (12

v) + (2a)(t 1) = 31

Es un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas cuyas soluciones sa= 5,0 m s2, t= 4,0 s,v= 2,0 m s1 y la distancia resulta

d= vt +1

2at2 = 48,0 m

N


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1

vx(m/s)

x (m)

15

30

Solucin.La funcin lineal del grfico corresponde a

vx15

+ x

30= 1,

donde tenemosdx

dt +

1

2x= 15,

t=

Z x0

dx

15 12

x= 2 ln 30 2ln(30 x) ,

ue tiende a infinito six

30. Cuandox= 18

t= 2 ln 30 2ln(30 18) = 1. 83 s,

rapidez resulta

vx= 151

218 = 6 m s1,

la aceleracin ser (derivando)

ax= 1

2vx= 3 m s2.

N

jercicio 6.22 (1) Una partcula se mueve a lo largo de la curvar = l que = 2t3 donde t se mide en segundos, r en metros y en radian

etermine la velocidad y la aceleracin de la partcula en coordenadas polarra= 0,2 rad.


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endo r= 6t3, r= 18t2, r= 36t, = 6t2,= 12t y el tiempo dado de

2t3 = 0,2,

t = 0,464s

t= 0,464r= 18t2 = 3. 87r= (6t3)(6t2) = 0,77

v= 3,875r+ 0,774

(r

r2) = 36t

(6t3)(6t2)2 = 15. 704

(2r+ r) = 2(18t2)(6t2) + 6t3(12t) = 13. 349

a= 15. 704r+ 13. 349

N

jercicio 6.23 (2) Desde una altura de20 m, con respecto al eje X de

stema de coordenadas ubicado en Tierra, se lanza una partcula A con upidez de50 m s1 y formando un ngulo de30o con la horizontal. Simneamente y desde la posicin X = 200m se dispara verticalmente hacriba un proyectil B de modo que cuando la partcula A llega a Tierra,oyectil B est en su altura mxima. Calcular: a)el tiempo transcurrido pae la distancia que separa A de B sea mnima; b)la velocidad relativa despecto a B en m s1.

Solucin.Usandog= 10 m s2 de

xA = 50t cos 30 = 25

3t

yA = 20 + 50t sin30 5t2 = 20 + 25t 5t2,xB = 200,

yB = vB(0)t 5t2.

tiempo para que la partcula Allegue a la Tierra (yA= 0) se obtiene d


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1

dondevB(0) = 57,0 m s

1.

uegoyB(t) = 57t

5t2.

a distancia entre los dos objetos ser

d=p

(xA xB)2 + (yA yB)2

reemplazando las coordenadas

xA xB = 25

3t 200,yA

yB = 20 + 25t

5t2

(57t

5t2)

= 20 32tluego

d =

q(25

3t 200)2 + (20 32t)2

= q2899t2 10 000

3t + 40 400 1280t.

mnimo ocurre en el punto medio entre las races de 2899t2100003t400 1280t= 0, que son: t= 3. 208 + 1. 909i y

t= 3. 208 1. 909i, de modo que el tiempo est = 3,21 s. En este instans velocidades son

vA = (25

3, 25 10t)= (25

3, 25 32,1)

vB = (0, 57 32,1)la velocidad relativa resulta

vA vB =

25

3,32,0

= (43. 30,32,0)N

jercicio 6.24 (1) Un can est montado sobre un promontorio de altuSe dispara un proyectil con una rapidezv0 y ngulo de elevacin. D


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Solucin.La ecuacin de la trayectoria es

y=h + x tan gx2

2v20cos2

,

cuando y = 0 debemos despejar x de una ecuacin de segundo gradsultando

x = d=tan

qtan2 + 4gh

2v20cos2

gv20cos2

= v20cos2 g

(tan s

tan2 + 2ghv20cos

2 )

= v0(cos )

g (v0sin

qv20sin

2 + 2gh

)

N

jercicio 6.25 (1) Un can es montado sobre un promontorio de altuSe dispara un proyectil con una rapidez de salida v0. Demuestre que

cance horizontal d es mximo cuando el ngulo de elevacin es:

= sin1

s v20

2v20+ 2gh.

Solucin.La ecuacin de la parbola de seguridad es

y=h +v202g gx

2

2v20,

para llegar a puntos sobre la parbola de seguridad

tan = v20gx

.

uego, el alcance mximo x al nivel del suelo se despeja haciendo y = 0 odo que


23/59

1

sultando

tan = v20gx

= v20

gp(v20+ 2gh)v0g = v0

p(v20+ 2gh) ,

sin =

v0q(v20+2gh)q

1 + v2

0

v20+2gh

= v0p(2v20+ 2gh)

,

que prueba el resultado.

N

jercicio 6.26 (2) Una partcula es lanzada al espacio de modo que cance sobre el plano horizontal es R y su mxima altura h. Demuestre q

alcance horizontal mximo, con la misma rapidez de salidav0, es:

2h +R2

8h.

Solucin.Sabemos que el alcance horizontal y altura mxima son

R = 2v20cos sin

g ,

h = v20sin

2

2g ,

que el mximo alcance horizontal es

Rmax=

v20

g.


24/59


emplazamos en la primera

R = 2v20cos sin

g =

= 2v20

g

s2gh

v20

vuut1 (s

2gh

v20)2

= 2

2

h

sv20g 2h

,

ego R2

8h =

v20g 2h,

finalmente

Rmax=v20

g = 2h +

R2

8h.

N

jercicio 6.27 (2) Se monta un can sobre la base de un plano inclinae forma un ngulo con la horizontal. Este can dispara un proyec

acia la parte superior del plano, siendo el ngulo que forma la velocidad lida del proyectil con el plano. Calcule el ngulo de elevacin del plano pae el proyectil impacte sobre el plano inclinado paralelamente a la horizont

Solucin.La ecuacin de la trayectoria es con 0

ngulo de disparo recto a la horizontal

y=x tan 0 gx2

2v20cos2 0

,

cuandoy=x tan ,

mpacta al plano inclinado. En esa coordenada debe ser


25/59

1

tan 0 gx2v20cos

2 0= tan .

e la tercera despejamosx y reemplazamos en la ltima

x= v20cos 0 sin 0

g ,

ego

tan 0 g2v20cos

2 0v20cos

0 sin 0

g = tan ,

1

2tan

0

= tan .ero0 =+ de manera

tan( + ) = 2 tan ,

tan + tan

1 tan tan = 2 tan

de donde

tan = 14tan

1q(1 8tan2 ) .

ay solucin slo si 8tan2


26/59


N

jercicio 6.28 (3) Un proyectil se dispara con rapidez inicialv0, y nginclinacin variable. Para qu ngulo el alcance del proyectil ser mxim

lo largo de la recta y=x tan ?.

Solucin.Tenemos la ecuacin de la parbola de seguridad

y= v202g gx

2

2v20

,

para llegar a puntos sobre la parbola de seguridad

tan = v20gx

.

dems debe ser

y=x tan .e la primera y la tercera

v202g gx

2

2v20=x tan ,

donde

x= tan +q(tan2 + 1) v20

g,

luego

tan = v20gx

= 1

tan +p

(tan2 + 1)= tan + sec ,

que prueba el resultado. Sin embargo hay un resultado ms simple. ecto de la identidad


27/59

1

ego

tan = tan+

2

2 ,

donde

= 4

+2

.

or ejemplo si= 0 = 4

, = 2 =

2.

N

jercicio 6.29 (1) Un aeroplano que vuela horizontalmente a1 km de

ra y con una rapidez de 200 km h1

, deja caer una bomba contra un barue viaja en la misma direccin y sentido con una rapidez de 20 km h

ruebe que la bomba debe soltarse cuando la distancia horizontal entrein y el barco es de705 m (considereg= 10 m s2).

Solucin. Colocando el origen al nivel del mar, bajo el avin en el instansoltar la bomba, tenemos (1 km h = 1000/3600 = 5

18= 0,278ms1)

xP = 20010003600

t,

yP = 1000 5t2,xB = d + 20

1000

3600t,

yB = 0.

ara dar en el blanco, igualamos

2001000

3600t = d + 20

1000

3600t,

1000 5t2 = 0,

la ltima

t=

200s

de la anterior


28/59

24 Soluciones ejercicio

jercicio 6.30 (2) Se deja caer una pelota verticalmente sobre un punto un plano inclinado que forma un ngulo de20o con un plano horizonta

a pelota rebota formando un ngulo de40o con la vertical. Sabiendo que ximo rebote tiene lugar en B a distancia10 m de A ms abajo del plan

lcule:

a) el mdulo de la velocidad con la cual rebota la pelota en A,

b) el tiempo transcurrido desde que la pelota rebota en A hasta que pelota rebota en B.

Solucin.De acuerdo a la figura tenemos

10 m

20

x

y 100 m/s

B

40

50

y=x tan50 gx2

2v20cos2 50

,

niendo la condicin que pase porB con coordenadasxB = 10 cos 20, yB10sin20, debemos despejar v0

10 sin 20 = 10 cos 20 tan 50 g(10cos20)2

2v20cos2 50

,

v0= s5g(cos 20) sec2 50

(tan 50 + tan 20)

.

tiempo lo obtenemos de x v (cos 50)t resultano


29/59

1

N

jercicio 6.31 (1) Si el alcance mximo horizontal de un proyectil es lcular el ngulo que debe usarse, con la misma rapidez de lanzamien

ara que el proyectil impacte en un blanco situado al mismo nivel de lanziento y a una distanciaR/2.

Solucin.Sabemos que

R=2v20cos sin

g , Rmax=

v20g

,

Rmax=R/2 entonces

sin2=1

2, 2= 30o, = 15o.

N

jercicio 6.32 (2) Una partcula se mueve a lo largo de una parbolay

de tal manera que para todo instante se cumple quevx = 3 m s1

. Calcvelocidad y aceleracin de la partcula cuando x= 2/3 m.

Solucin.Este problema requiere de conocimientos de clculo. En efecbemos que

dx

dt = 3, y=x2,

rivando la segunda

dydt

= 2xdxdt

= 6x,

rivando de nuevo,d2x

dt2 = 0,

d2y

dt2 = 6

dx

dt = 18,

aceleracin ha resultado constante

a= (0, 18)ms2.


30/59


jercicio 6.33 (1) Una partcula se mueve en el plano XY de acuerdoley: ax =4sin t; ay = 3cos t. Se sabe que cuandot = 0, x = 0; y == 4;vy = 0. Encuentre la expresin cartesiana de la trayectoria y adem

lcule la velocidad cuandot= /4. Exprese sus magnitudes en unidades

Solucin.Tenemos que

d2x

dt2 = 4sin t, d

2y

dt2= 3cos t,

tegrando dos veces con las condiciones iniciales dadas resulta

dx

dt = 4 + 4(cos t 1) = 4 cos t,

dy

dt = 3 sin t,

x = 4 sin t,

y = 3 3(cos t 1) = 6 3cos t,

iminando el tiempo resulta la ecuacin de la trayectoria

x2

16+ (

y 63

)2 = 1.

a velocidad esv= (4 cos t, 3sin t)

ent= /4

v= (2

2,3

2

2) = (2. 83, 2. 12) m s1

N

jercicio 6 34 (1) Una partcula se mueve sobre el plano XY de mane


31/59

1

Solucin.Tenemos

x= t, y= t3

6,

rivando dos veces

vx= 1, vy = t2

2,

ax= 0, ay =t,

vector unitario tangente es

T =vv

= (1, t2

2)q1 + t

4

4

.

nt= 2 scalculamos

vx = 1, vy = 2,

ax = 0, ay = 2,

T = (1, 2)

5

ego

a = 2 m s2,

v =

5 m s

1

aT = a T =ayTy = 2 2

5= 1. 7 9 m s2,

aN =q

a2 a2T =2

5

5 = 0,8 9 m s2,

= v2

aN=

5

2

5 = 5. 59 m.

N


32/59


Solucin.De los datos

s= R =t3 + 2t2,

donde=

3t2 + 4t

R , =

6t + 4

R

a aceleracin en polares tiene las dos componentes

a= (R2, R) = ((3t2 + 4t)2

R , 6t + 4),

t= 2 sa=

400

R , 16

,

se sabe que la magnitud esr4002

R2 + 162 = 16

2,

dondeR= 25 m.

N

jercicio 6.36 (1) Una partcula describe una trayectoria dada por las ientes ecuaciones paramtricas: x= t; y=t2/2. Determinar la curva y

dio de curvatura.Solucin.Elimine el tiempo y se obtiene la curva

y=1

2x2.

radio de curvatura es

= (1 + y02

)3/2

|y00| = (1 + x2)3/2 = (1 + t2)3/2.


33/59

1

Solucin.Similarmente resulta

y = x2,

=

(1 + y02)3/2

|y00| =

(1 + 4x2)3/2

2 ,

K = 1

=

2

(1 + 4x2)3/2,

enx=

a

=(1 + 4a)3/2

2

.

N

jercicio 6.38 (2) Demuestre que la curvatura de la elipsex2/a2+y2/bes:

K= a4b

[a2 (a2 x2) + b2x2]3

2

.

Solucin.Es conveniente derivar en forma implcita

x

a2+

yy 0

b2 = 0,

y0 = b2x

a2y,

y00

= b2

a2y +

b2x

a2y2y0

= b2

a2yb2x

a2y2b2x

a2y

= b2

a2y b

4x2

a4y3.

uego

K = |y00|

(1 + y02)3/2b2 b4x2


34/59


ego

K= a4b4

(a4y2 + b4x2)3

2

= a4b

(a2(a2 x2) + b2x2) 32.

N

jercicio 6.39 (1) La aceleracin de una partcula es:a= 2et +5cosn el instante t = 0 se encuentra en el punto P(1;3) siendo su velocid= 4 3. Encuentre su posicin y velocidad para cualquier instantet >

Solucin.Tenemos que

dvdt

= 2et + 5 cos t ,

tegrando con las condiciones iniciales dadas

v = 4 3 + 2(1 et) + 5 sin t = 6 2e

t

+ (5 sin t 3) .tegrando de nuevo

r = + 3 +

6t 2(1 et)

+ (5(1 cos t) 3t) = (2et + 6t 1) + (8 5cos t 3t).

N

jercicio 6.40 (1) Una partcula se mueve sobre una trayectoria tal qvector de posicin en cualquier instante es: r=t + t

2

2 + tk . Determin

la velocidad, b)la rapidez c)la aceleracin, d)la magnitud de la aceleracingencial y e)la magnitud de la aceleracin normal.

Solucin.De

r=t +t2

2 + tk,

rivando dos veces


35/59

1

vector unitario tangente es

T =v

v =

(1, t, 1)2 + t2

,

or lo tanto

aT = a T = t2 + t2

,

aN =q

a2 a2T =r

1 t2

2 + t2 =

r 2

2 + t2.

N

jercicio 6.41 (2) Una partcula se mueve en el plano XY de tal manee: ax = 4pe

4t y vy = 2qcos2t donde p y q son constantes positivuando t = 0; x=p/4; y = 0; vx =p. Determinar: a)el vector posicin,ctor velocidad y el vector aceleracin de la partcula en funcin del tiempla trayectoria de la partcula.

Solucin.Tenemos que

ax = dvx

dt = 4pe4t,

vy = dy

dt = 2qcos2t.

ara la aceleracin derivamos la segunda

ay = 42qsin2t,

egoa= (4pe4t,42qsin2t).

ara la velocidad debemos integrar la primera

v = p +

Z t4pe4tdt = pe4t


36/59


tegramos de nuevo

r=p

4 + (

1

4pe4t 1

4p, qsin2t) = (

1

4pe4t, qsin2t).

ara obtener la trayectoria debemos eliminar tentre

x=1

4pe4t,

y=qsin2t,

teniendo

y=qsin(

2ln

4x

p)

N

jercicio 6.42 (2) Una partcula se mueve en el plano XY describiendo

rvay = ln x; calcule: a) la rapidez en funcin dex yx , b) la magnitla aceleracin en funcin dex , x yx , c)six= c , calcule enx= a, agnitudes de la aceleracin tangencial y normal.

Solucin.De

y= ln x,

obtiene

y = 1

xx,

y = 1

xx 1

x2x2,

modo que

p r 1 r 1


37/59

1

x= c entonces x= 0 y sabemos que x= a. Por lo tanto

v = cr1 + 1

x2,

aT = dv

dt =c

2x2x

2q

1 + 1x2

= c2 2

x2

2q

1 + 1x2

= c2

ap

(a2 + 1)

Adems

a =

rx2 + (

1

xx 1

x2x2)2 =

x2

x2 =

c2

a2,

aN =q

a2 a2T =s

c4

a4 c

4

a2 (a2 + 1)=

c2

a2p(a2 + 1)

.

N

jercicio 6.43 Una partcula se mueve de modo que sus coordenadas csianas estn dadas como funciones del tiempo por

x = 3t

y = 2t 5t2

etermine a)Las componentes cartesianas de la velocidad y de la aceleraciLas componentes polares de la velocidad y de la aceleracin. c)Las conente normal y tangencial de la velocidad y aceleracin. d)La ecuacin trayectoria en coordenadas cartesianas. e)La ecuacin de la trayectoria ordenadas polares.

Solucin.


38/59


b)r= 3t+(2t5t2)

9t2+(2t5t2)2, =kr= 3t(2t5t

2)9t2+(2t5t2)2

vr = vr=9t + (2t 5t2)(2 10t)p

9t2

+ (2t 5t2

)2

v = v=3t(2 10t) (2t 5t2)3p

9t2 + (2t 5t2)2

ar = a r= (10)(2t 5t2)p

9t2 + (2t 5t2)2

a = a = (10)3tp9t2 + (2t 5t2)2

T = vv

= 3+(210t)9+(210t)2

, N= Tk= 3+(210t)9+(210t)2

entonces

vT = v T =v =p

9 + (2 10t)2vN = 0

aT = a T = 10(2 10t)p9 + (2 10t)2

aN = a N= 30p9 + (2 10t)2

y=2

3x

5

9x2

Sera necesario expresarr=r() donde

r =p

9t2 + (2t 5t2)2

tan = y

x=

2 5t3

dondet=

2

5 3

5tan


39/59

1

N

jercicio 6.44 Una partcula se mueve sobre una elipse de semi ejes acentrada en el origen de un sistema de coordenadas con rapidez constan

, siendo la ecuacin de la elipse:

x2

a2+

y2

b2 = 1

Determine la magnitud de la aceleracin de la partcula en los puntos mejado y ms cercano de la partcula al centro. b) El tiempo que emplea

artcula en recorrer toda la elipse. c) La determinacin de la ecuacin partrica de la trayectoria con parmetro tiempo es un problema complicadro explique el mtodo a seguir.

Solucin.De la elipsex2

a2+

y2

b2 = 1

seamos obtener el radio de curvatura. Derivando implcitamente obtenem

yy 0

b2 = x

a2

y0 = b2

a2x

y, y00 = b

2

a21

y+

b2

a2x

y2y0 = b

4

a2y3

tonces

=(1 + y02)3/2

|y00| =

(1 + b4a4x2y2 )

3/2

b4

a2y3

=(a4y2 + b4x2)3/2

a4b4

a > bel punto ms alejado es x= a, y= 0,= b2

a. El punto ms cerca

x= 0, y=b, = a2

b

a)

a= v20

=(

v2

0ab2v20b


40/59


donde

p1 + (y0)2dx

dt = v0

dt = 1

v0

p1 + (y0)2dx

nto a

x2

a2 +

y2

b2 = 1

y0 = 1p

(a2 x2)b

ax

dt = 1

v0

1

a

sb2x2 + a4 a2x2

a2 x2

dx

la ltima expresin pudiera integrarse se tendra t = t(x) y problemsuelto.

N

jercicio 6.45 La ecuacin de una elipse en coordenadas polares puecribirse como

r= c

1 e cos

endo c y e constantes. Si el ngulo vara proporcionalmente al tiemp

n constante de proporcionalidad, determine las componentes polares velocidad y de la aceleracin en funcin del tiempo.


41/59

1

s componentes polares estn dadas por

vr = r= ec sin t

(1

e cos t)2

v = r= c1 e cos t

ar = r r2

= r r2

=

e cos t

(1 e cos t)+ 2e2 sin2 t

(1 e cos t)2 1

2c

1 e cos t

a = 2r+ r= 2r = 2e2c sin t

(1 e cos t)2N

jercicio 6.46 Una partcula se mueve sobre una circunferencia de radion aceleracin angular constante partiendo del reposo. Si la partcula realvueltas completas a la circunferencia en el primer segundo, determine

eleracin angular de la partcula. Determine adems el nmero de vuele realiza la partcula durante el siguiente segundo del movimiento.

Solucin.Aqu

=1

2t2

tonces

2n =1

2, = 4n

durante el siguiente segundo realiza

(2) (1)2

=n(22 12) = 3n

ueltas.

N


42/59


Solucin.La altura en funcin del tiempo ser

y=h + v0t1

2gt2

ego, tomandog= 10 m s2

y=h + 12,5t 5t2

endoa)h + 12,5(4,25) 5(4,25)2 = 0,h= 37. 19 mb)vy = 12,5 10t= 12,5 10(4,25) = 30,0 m s1

N

jercicio 6.48 Se deja caer un cuerpo desde una altura inicial de33 mmultneamente se lanza hacia abajo otro cuerpo con una rapidez inicial m s1. Encontrar el instante en que la distancia entre ellos es de18 m.

Solucin.

y1 = 33 5t2

y2 = 33 t 5t2

y1 y2=ttonces la distancia entre ellos es 18 ma los18 s.

N

jercicio 6.49 Un cuerpo que cae, recorre en el ltimo segundo 68,3ncontrar la altura desde donde cae.

Solucin.Suponiendo que se solt del reposo

y=h 5t2

tiempo en que llega al suelo es t=q

h5

la distancia recorrida en el ltim

gundo ser

y(r

h5 1) y(rh

5)


43/59

1

N

jercicio 6.50 Desde lo alto de un acantilado, se deja caer una piedresde la misma altura se lanza verticalmente hacia abajo una segunda p

a, 2 s ms tarde, con una rapidez de 3 0 m s1. Si ambas golpean el pi

multneamente, encuentre la altura del acantilado.

Solucin.

y1 = h 5t2y2 = h 30(t 2) 5(t 2)2

endo al mismo tiempo

y1 = h 5t2 = 0y2 = h 30(t 2) 5(t 2)2 = 0

aqut= 4 s,h= 80 m

N

jercicio 6.51 Desde el piso, se lanza hacia arriba una pelota con upidez de40 m s1. Calcule el tiempo transcurrido entre los dos instantes e su velocidad tiene una magnitud de2,5 m s1 y la distancia respecto

so que se encuentra la pelota en ese instante.

Solucin.

y = v0t1

2gt2

vy = v0 gt

aqu

vy = v0 gt1= 2,5


44/59


dems de40 gt1 = 2,5

spejamos

t1=37,5

10 = 3,75 s

por lo tantoy1= 40(3,75) 5(3,75)2 = 79. 69 m

N

jercicio 6.52 Una roca cae libremente recorriendo la segunda mitad distancia de cada en3 s. Encuentre la altura desde la cual se solt y

empo total de cada.

Solucin.

y=h 12

gt2

tiempo en que alcanza h/2 es t1 =q

hg y el tiempo en que h = 0

=q

2hg

a) por lo tanto el tiempo empleado en la segunda parte de recorrido ess2h

g

sh

g = 3 = h= 524. 6 m

t=

s2h

g =

r524. 6

5 = 10,2 s

N

jercicio 6.53 Se dispara un proyectil desde la cima de una colina de150altura con una rapidez de 180ms1 y formando un ngulo de 30o con


45/59

1

Solucin.

x = 180(cos /6)t

y = 150 + 180(sin /6)t

5t2

Punto de cada150 + 180(sin /6)t 5t2 = 0, t= 19. 5 s

x= 180(cos /6)(19,5) = 3039. 8 m

b) Tiempo para la altura mxima180(sin /6)10t= 0, t= 9,0 sentonmax= 150 + 180(sin /6)(9)

5(9)2 = 555,0

ymax= 555,0 m

c) El vector unitario tangente es

T = v

v = cos /6 + sin /6,

a = 10tonces

aT = a T = 10sin /6 = 5 m s2

aN =q

a2 a2T =

100 25 = 8,6 6 m s2

N

jercicio 6.54 Un can de artillera lanza proyectiles con una rapidez0ms1. El artillero debe darle a un blanco que se encuentra a8640 mdetun cerro cuya altura es de1000mubicado a1200mdel can. Demues

e es posible darle al blanco y determine el ngulo de elevacin para cumpobjetivo.

Solucin.Supondremos que damos en el blanco entonces


46/59


ue tiene dos races reales

1 = 53. 03o

2 = 36. 97o

bemos verificar que el disparo pasa sobre el cerro, para ello evaluamos mbos ngulosy(1200)

y1(1200) = 1373,0 m

y2(1200) = 777,95 m

endo la altura del cerro excedida en el primer caso.

N

jercicio 6.55 Se dispara un proyectil de modo que su alcance horizonigual al triple de la altura mxima. Encuentre el ngulo de lanzamiento

Solucin.Sabemos que

xmax = v20sin 2

g

ymax = v20sin

2

2g

tonces v20sin 2

g = 3

v20sin2

2g

tonces 2 cos = 3 sin

tan =2

3, = = 33,69o

N


47/59

1

Solucin.La ecuacin de la parbola de seguridad es

y=h +v202g gx

2

2v20

abemos tambin que parah= 0 la distancia mxima alcanzable es

x(0) =v20

g = 300

para una altura h la distancia horizontal mxima ser

x(h) = q(v20

+ 2hg)v0

g = 400m

la primeraa)

v0=

3000 = 54. 7 7 m s1

dep

((54. 77)2 + 2h10)54. 7710

= 400b)

h= 116. 701mc) El ngulo de lanzamiento cuando el blanco est sobre el lmite de

arbola de seguridad est dado por tan = v20/gx entonces

= 36,87o

N

jercicio 6.57 Se dispara a un objeto que se encuentra sobre un placlinado en ngulo.El disparo se hace desde un punto del plano inclinan rapidez inicialv0. Determine la mxima distancia sobre el plano inclinacanzable por el disparo y el ngulo de lanzamiento para lograrlo.

Solucin. Este problema es parecido a otro anterior. Denotaremos pel ngulo del disparo respecto a la horizontal. Tenemos la ecuacin de

arbola de seguridady

v20 gx2


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dems debe sery=x tan .

e la primera y la tercera

v202g gx2

2v20=x tan ,

donde

x=

tan +

q(tan2 + 1)

v20g

,

ego la distancia sobre el plano ser

d =p

x2 + y2 =xp

1 + tan2 = x sec

= sec

tan +

q(tan2 + 1)

v20g

.

clculo del ngulo:

tan 0

=

v20gx =

1

tan +p

(tan2 + 1)= tan + sec .

que prueba el resultado. Sin embargo hay un resultado ms simple. Eecto de la identidad

tan

2 =

1 cos sin

sultatan

+ 2

2 =

1 + sin

cos = tan + sec ,

ego

tan 0 = tan +

2

2 ,

donde

0

=

4+

2 .

N


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1

Solucin.En la ecuacin de la parbola de seguridad

y=h +v202g gx

2

2v20,

acemosy= 0 obteniendo

xmax=v0

g

q(v20+ 2gh),

de

tan = v20

gx

,

obtienetan =

v0p(v20+ 2gh)

,

enor de45o.

N

jercicio 6.59 Un cazador que no sabe que los proyectiles caen, disparectamente a un mono que est sobre un rbol. El mono que tampoco sasica, se deja caer justo cuando el cazador dispara. Pruebe que el dispga justo al mono.

Solucin.Seah la altura inicial del mono, d su distancia horizontalzador. Entonces el ngulo de disparo est dado por

tan =h

d.

as ecuaciones de movimiento del proyectil (P) y mono (M) son

xP = v0t cos , xM=d,

yP = v0t sin 1

2gt2, yM =h

1

2gt2,


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ara ese tiempo comparemos las alturas

yP = v0t sin 1

2gt2 =d tan 1

2gt2,

yM = h 12

gt2,

ue son iguales porque d tan = h.

N

jercicio 6.60 En una feria de diversiones, se dispara al blanco sobre u

lera de blancos que pasan frente al que dispara, a una distanciad con upidez u0. Los disparos salen con una rapidez v0. Determine el ngulo

delanto en que hay que apuntar para dar en el blanco al objeto que pasto frente al que dispara.

Solucin.Seaese ngulo. Debe cumplirse que

tan = u0t

d ,

v0t =q

d2 + u20t2,

speje el tiempo de la segunda y obtenga

tan = u0

pv

2

0 u2

0

.

N

jercicio 6.61 Una piedra se deja caer a un pozo de profundidad desconda. El ruido del impacto en el fondo se escucha un tiempo T despus ltada la piedra. Si la rapidez del sonido esuSdetermine en trminos deyg, la profundidad del pozo.

Solucin. Sea t1el tiempo de cada de la piedra y t2el tiempo que demo


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1

ego

T=t1+ t2=

s2h

g +

h

uS,

despejeh

h=u2S2g

r1 +

2gT

uS 1!2

.

N

jercicio 6.62 Una pelota se deja caer desde una alturahy en cada reb

ntra el suelo, la rapidez del rebote es un factore de la rapidez que testo antes de chocar contra el suelo(e


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48 Soluciones ejercicio

la distancia total recorrida es

s=h + 2(e2h + e4h + e6h + ) =h1 + e2

1 e2

N

jercicio 6.63 Una persona lanza un objeto con rapidez inicialv0 formanun ngulo respecto a la horizontal. Determine la aceleracin constant

n que debe correr la persona, partiendo del reposo, para justo alcanzar ejeto al mismo nivel de lanzamiento.

Solucin.Tenemos

x = v0t cos

y = v0t sin 1

2gt2,

y= 0, t= 2v0sin /g,y debe tenerse

v0t cos = 12at2,

biena=g cot .

N

jercicio 6.64 Un automvil viaja hacia el norte con una rapidez de60 kmn una carretera recta. Un camin viaja en direccin opuesta con una rapiz de50 km h1. (a) Cul es la velocidad del automvil respecto al camin) Cul es la velocidad del camin respecto al automvil?

Solucin.Si el norte corresponde al sentido positivo, entoncesa)60 (50) = 110 km h1 b)50 60 = 110kmh1

N

6 65 U l h l b l R I


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1

Solucin.Similarmente si el Oeste indica el sentido positivo entoncesa)80 95 = 15kmh1 b)95 80 = 15 km h1

N

jercicio 6.66 Un ro tiene una rapidez uniforme de0,5 m s1. Un esante nada corriente arriba una distancia de 1 km y regresa al punto

artida. Si el estudiante puede nadar con una rapidez de1,2 m s1 en aguanquilas, cunto dura el recorrido? Compare este resultado con el tieme durara el recorrido si el agua estuviera tranquila.

Solucin. La rapidez absoluta (respecto a la ribera) cuando nada c

ente arriba es1,20,5 = 0. 7y cuando nada corriente abajo es1,2 + 0,57 entonces el tiempo de ida y vuelta ser

t=1000

0,7 +

1000

1,7 = 2016. 81 s = 0,56 h

N

jercicio 6.67 Dos remeros en idnticas canoas ejercen el mismo esfuremando en un ro, uno corriente arriba (y se mueve corriente arrib

ientras que el otro rema directamente corriente abajo. Un observador, poso sobre la orilla del ro, determina sus rapideces que resultan ser deV2 respectivamente. Determine en trminos de los datos la rapidez de uas del ro.

Solucin. SeaW la rapidez del ro y u la rapidez de los botes respecagua, (igual en ambos), entonces

V1=u W, V2 =u + W

modo que

W =V2 V1

2 .

N


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uerdo a los datos Cul es la velocidad del bote respecto a un observadtenido en la orilla? Hasta dnde estar el bote, medido corriente aba

aralelamente al ro, desde la posicin inicial hasta cuando alcance la oriuesta?

Solucin. Sea x paralelo al ro e y perpendicular al ro de ancho ntonces seav la velocidad del bote respecto al ro, u la velocidad del ro,velocidad absoluta del bote (respecto a tierra). Luego

a)V =u + v

b) La componente de la velocidad absoluta perpendicular al ro determi

tiempo de cruce de acuerdo a

t=w

v

r lo tanto el bote avanza paralelamente al ro una distancia

d= ut =u

vw

N

jercicio 6.69 Un comprador que est en una tienda puede caminar se una escalera mecnica en30 s cuando est detenida. Cuando la escaleecnica funciona normalmente, puede llevar al comprador sin caminarguiente piso en20 s. Cunto tiempo le tomara al comprador al subir cinando con la escalera mecnica en movimiento? Suponga que el comprad

ace el mismo esfuerzo al caminar sobre la escalera mecnica en movimiencuando est parada.

Solucin.SeaL el largo de la escalera. Entonces la velocidad de la pena respecto a la escalera es

v0 = L

30.

avela velocidad de la escalera. Ella corresponde a la de la persona cuan

camina, es decirL


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1

donde el tiempo ser

t= 12 s

N

jercicio 6.70 Un avin va dirigindose hacia el oeste. La rapidez in respecto al aire es de 150kmh1. Si existe un viento de 30kmh

acia el norte, calcule la velocidad del avin respecto a la Tierra.

Solucin.

N

O

v

vv

a velocidad del viento es vv = 30 y la rapidez del avin respecto al aire= 150, en magnitudes. Pero

v=v= 30 + v0

dondev0 =v

30

si tomamos magnitudes

150 =

v2 + 302

dondev= 146. 969kmh1

N


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52 Soluciones ejercicios

Solucin.Usaremos la figura anterior pero ahora la velocidad del vientot hacia el Sur. Ahora la velocidad del viento es vv = 50 y la rapidez delin respecto al aire es v0 = 200, en magnitudes. Pero

v=v=

50 + v0

similarmente resultav0 = 200 =

v2 + 502

dondeb)

v= 193. 65kmh1

a)v0 = 50 + 193. 65

a la direccin en que debe dirigirse el avin.

N

jercicio 6.72 Un automvil viaja hacia el Este con una rapidez de50 km hst lloviendo verticalmente con respecto a la Tierra. Las marcas de la llu-

a sobre las ventanas laterales del automvil forman un ngulo de60o

convertical, calcule la velocidad de la lluvia con respecto al automvil y conspecto a la Tierra.

Solucin. La velocidad relativa v0 de la lluvia forma un ngulo de 60o

n la vertical y la velocidad vde la lluvia con respecto a la Tierra es vertical.ntonces de

v=vA+ v0,

nemos que

vA v0 sin 60 = 0,v0 cos 60 = v,

donde la velocidad de la lluvia respecto al auto tiene magnitud

v0 = vA

sin60

= 50

123=

100

3km h1

l id d d l ll i t l ti ti it d


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1

N

jercicio 6.73 Un nio en peligro de ahogarse en un ro est siendo llevarriente abajo por una corriente que fluye uniformemente con una rapi

2,5 k m h1. El nio est a0,6 km de la orilla y a0,8 km corriente arr

un embarcadero cuando un bote de rescate se pone en camino. a)Si el bocede a su rapidez mxima de20 km h1 con respecto al agua, cul esreccin, relativa a la orilla, que deber tomar el conductor del bote? bul es el ngulo que hace la velocidadv del bote con respecto a la oril Cunto tiempo le tomar al bote para alcanzar al nio?

Solucin.

0.6 Km

0.8 Km

x

y

ara el nio

x = 2,5t

y = 0,6

ara el bote

x = 0,8 + vxt

y = vyt

bote encuentra al nio cuando

2,5t = 0,8 + vxt0,6 = vyt


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endov0 = 20de modo que si tomamos mdulo dev0 resultar

(vx 2,5)2 + v2y = 400

reemplazamos aquvx 2,5 = 0,8t yvy = 0,6t resultar

(0,8

t )2 + (

0,6

t )2 = 400

dondec)

t= 0,0 5 hb) Ahora podemos calcular vx, vy

vx = 2,50,8

t = 2,5 0,8

0,05= 13,5,

vy = 0,6

0,05= 12.

sea, como se supuso en la figura, el bote va corriente arriba formando ngulo con la orilla determinado de

tan = 12

13,5, = = 41,63o.

a) El conductor del bote debe dirigirlo segn

v0 = (vx 2,5) + vy= 16 + 12,

sea formando un ngulo0 respecto a la orilla aguas arriba dado por

tan 0 =12

16= 0 = 36,87o.

N


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1

Solucin.Siy es la vertical hacia arriba y x es la direccin de la acecin del tren, entonces

a)a0 =

2,5

9,8.

b)a= 9,8.

N

jercicio 6.75 Un estudiante de la Facultad de Ingeniera est parado se el vagn de un tren que viaja a lo largo de una va horizontal recta a u

pidez constante de V m s1. El estudiante lanza una pelota al aire a lo lar

una trayectoria que inicialmente forma un ngulo de con la horizonest en lnea con la va. El profesor del estudiante, que est parado cerbre la tierra, observa que la pelota sale verticalmente. Qu altura subipelota?

Solucin. Si V 0 es la rapidez relativa al tren inicial de lanzamien

tonces en la direccin del movimiento xtenemos

Vx=V 0 cos V = 0

rque el Profesor observa que sale verticalmente. Entonces

V 0 = V

cos

toncesV = V 0 = V 0 sin = V tan

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