Interpolacion.

A partir de una serie de datos experimentales (xi,yi) con i=0,1,2,...,n que representan a la funcion f(x), la cual desconocemos. Las xi's se suponen distintas, es decir la funcion es continua. El objetivo es encontrar un valor de y dado un valor de x, tal que x0≤x≤xn. En general, en la interpolacion nos interesa el comportamiento local de los datos y no el comportamiento global de la funcion.

Interpolacion lineal.Para predecir un valor de y dado cierto valor de x, vamos a utilizar una linea recta que una los puntos experimentales (xk,yk), (xk+1,yk+1) tal que xk≤x≤xk+1. Esto es:

y− ykx−xk

=yk+ 1− ykxk+ 1−xk

Despejando para y, tenemos

y= yk+yk +1− y kxk +1− xk

( x−xk )

Un problema de la interpolacion lineal es el error de prediccion que presenta, una alternativa es utilizar un polinomio de orden superior para interpolar.

Interpolacion polinomial.

Queremos encontrar un valor de y dado un valor de x dentro de un set de datos experimentales. El objetivo es generar un polinomio de grado n que cumpla con las siguientes restricciones

Pn(x i)= y i∀ i=0,1,2,. ..n

Metodo de Lagrange para generar polinomios de interpolacionEste metodo genera un polinomio de grado n de la forma

Pn(x )=L0(x ) y0+L1( x) y1+ ...+Ln( x) yn=∑i=0

n

Li(x ) y i

donde

Li( x)=∏j=0j≠i

n x−x jx i− x j

Metodo de Newton para generar polinomios de interpolacion.El polinomio de Newton esta dado por:Pn(x )=c0+c1(x−x0)+c2(x− x0)( x−x1)+...+cn( x−x0)(x− x1) ...(x− xn−1)

los coeficientes ci's se calculan mediante diferencias divididas

c0= f ( x0)= y0

c1= f [ x1 , x0]

c2= f [ x2 , x1 , x0]⋮

cn= f [ xn , xn−1 , ... , x1 , x0]

donde las diferencias divididas estan dadas por

f [ x i , x j]=f (x i)− f ( x j)x i− x j

f [ x i , x j , xk ]=f [x i , x j]− f [ x j , xk ]

x i−xk⋮

f [ xn , xn−1 ,... , x1 , x0]=f [ xn , xn−1 ,... , x2 , x1]− f [ xn−1 , xn−2 , ... , x1 , x0]

xn−x0

Esto facilita los calculos, ya que se puede generar una tabla de diferencias divididas

Ejemplo.

Trazadores cubicos.El objetivo del metodo es generar un polinomio cubico en cada intervalo de datos, esto es

P i(x )=ai(x−x i)3+bi( x−x i)

2+c i( x−x i)+d i

Para poder aplicar este metodo se debe de tener algo de conocimiento sobre la dinamica del sistema real, ya que debe de ser continue y debe de tener 1er y 2da derivada.

Ademas, el polinomio de aproximacion de la funcion real f(x) en el intervalo (xi,yi) a (xi+1,yi+1) debe de satisfacer las siguientes restricciones

P i(x i+1)=P i+1(x i+1)

P i(x i+1)= ˙P i+1(x i+1)

P i(x i+1)=P i+1( x i+1)

Para n pares de datos tenemos n-1 intervalos, por lo que tambien tendremos n-1 polinomios. Ya que se conoce la forma del polinomio tambien se conocen sus derivadas.

P i(x i)= y i=d iP i(x )=3a i( x−x i)

2+2b i(x− x i)+ciP i(x )=6a i( x−x i)+2b i

Con esta informacion hay que encontrar los valores de ai's, bi's, ci's y di's para los n-1 polinomios.Si definimos la variable auxiliar si como si=P i(x i) podemos encontrar bi como

b i=si2

Ahora, usando la condicion de continuidad de las 2das derivadas

P i( x i+1)=P i+1(x i+1)

6a i(x i+1−x i)+2b i=si+1

sustituyendo el valor de bi, tenemos

a i=si+1−si

6h ih i=x i+1−x i

Para determinar ci, hacemos uso de la condicion de continuidad de los polinomiosP i(x i+1)=P i+1(x i+1)= y i+1

lo que resulta eny i+1=ai( x i+1−x i)

3+bi( xi+1− x i)

2+ci( x i+1−x i)+d i

haciendo uso de las definiciones de ai, bi, di y hi y despejando para el valor de ci da

c i=y i+1− y i

6h i−hi6

(2s i+si+1)

Los valores de las constantes dependen de la variable auxiliar si, por lo que hacemos uso de la condicion de continuidad de las 1eras derivadas para encontrar los valores de las si's, esto es

P i−1(x i)=P i( x i)

3a i−1(x i−x i−1)2+2bi−1( xi−x i−1)+c i−1=c i

3a i−1hi−12

+2b i−1hi−1+c i−1=c i

Sustituyendo las expresiones para las constantes y agrupando terminos, tenemos:

hi−1 s i−1+2(hi−1+hi) si+hi si+1=6 ( yi+1− y ih i

+y i−1− y ihi−1

)∀ i=2,3,. .. , n−2,n−1

Tan solo faltan dos ecuaciones para completar el sistema de n ecuaciones y encontra los n valores de si. Para estas 2 ecuaciones faltantes tenemos 3 alternativas:i) Definir diferente concavidad inicial y final

s1=α

sn=β

ii)Misma concavidad inicial y finals1=sn=α

iii) Linealizar las concavidades iniciales y finalesh2 s1−(h1+h2) s2+h1 s3=0hn−1 sn−2−(hn−1+hn−2)sn−1+hn−2 sn=0

Ya con las n ecuaciones se pueden resolver el sistema lineal para encontrar los valores de si, y a su vez encontrar los coeficientes ai, bi, ci y di de los polinomios.

Ejemplo.