Trabajo Prctico - Lgica

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1- Sean las proposiciones Laura trabaja y Laura va de compras. Escribe la expresin simblica, enuncia en lenguaje coloquial y construye la tabla de verdad para las siguientes proposiciones

compuestas:

i) Disyuncin de la primera con la negacin de la segunda

ii) Conjuncin de sus negaciones

iii) Implicacin de la primera como antecedente y la segunda como consecuente.

iv) Negacin de la disyuncin

v) Equivalencia entre la negacin de la primera y la negacin de la segunda

vi) Disyuncin de sus negaciones

vii) Implicacin de la segunda como antecedente y negacin de la primera como consecuente

A modo de ejemplo, desarrollamos los dos primeros tems. Designamos las proposiciones simples:

p: Laura trabaja ; q: Laura va de compras

Entonces: i) Disyuncin de la primera con la negacin de la segunda

Expresin simblica: qp

Lenguaje coloquial: Laura trabaja o no va de compras

Tabla de verdad de la proposicin compuesta: p q -q qp

V V F V

V F V V

F V F F

F F V V

ii) Conjuncin de sus negaciones

Expresin simblica: qp

Lenguaje coloquial: Laura no trabaja y no va de compras

Tabla de verdad de la proposicin compuesta: p q -p -q qp

V V F F F

V F F V F

F V V F F

F F V V V

Para resolver estos ejercicios te sugerimos:

Leer la Teora y analizar sus ejemplos. Consultar con tu Tutor si tienes dudas.

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Si construyes las Tablas de verdad para cada una de las restantes proposiciones compuestas

siguiendo el mismo procedimiento, la ltima columna, en cada caso, deber ser:

iii) V iv) F v) V vi) F vii) F

F F F V V

V F F V V

V V V V V

2- Determina la verdad o falsedad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas:

a) 2 < 3 3 es un entero positivo

b) 2 3 3 es un entero positivo

c) 2 < 3 3 no es un entero positivo

d) 2 > 3 3 es un entero negativo

e) 2 3 3 es un entero negativo

Desarrollamos los dos primeros tems para ejemplificar.

a) 2 < 3 3 es un entero positivo

V V

V

b) 2 3 3 es un entero positivo

F V

F

Analizando de igual manera, los otros tems resultan: c) V d) F e) V

3- Sean los siguientes enunciados:

p: 21 es mltiplo de 3 q: 5 es divisor de 40 r: 6 y 25 son coprimos

x: 4 es mltiplo de 8 y: 20 es divisor de 10 z: 38 es nmero primo

i) Determina el valor de verdad de cada uno de ellos

ii) En base a lo obtenido en el tem anterior, determina el valor de verdad de los siguientes

enunciados compuestos:

a) ( r z ) ( y q) b) [ ( - q p ) ( - p q ) ] c) ( p q ) ( z y)

d) [ (- y z ) ( z y ) ] e) ( q x ) - ( y z ) f) ( p q ) - ( p q)

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Para responder el tem a) debes recordar que:

Un nmero entero a es mltiplo de otro nmero entero b s y slo s existe un tercer nmero entero k, tal que k . b = a . Simblicamente ab.kba , con a, b, k Z. Entonces:

a es mltiplo de b a es divisible por b b es divisor de a b divide al nmero a

Un nmero es primo s y slo s es divisible por s mismo y por la unidad

Ejemplos: 11, 23, 53, 61, 97

Un nmero es compuesto si tiene otros divisores adems de s mismo y la unidad.

Ejemplos: 8, 15, 24, 77, 100

Dos nmeros son coprimos s y slo s el nico divisor comn entre ellos es la unidad.

Ejemplos: 5 y 36, 88 y 9, 12 y 7, 26 y 57

A modo de ejemplo, desarrollamos brevemente las dos primeras proposiciones compuestas

a) ( r z ) ( y q )

( ) ( )

V V

V

b) [ ( - q p ) ( - p q ) ]

[ ( ) ( ) ]

[ ]

[ V ]

F

Las respuestas de los dems tems son: c) F d) F e) F f) V

4- Determina, en cada caso, si la informacin dada es o no suficiente para conocer el valor de verdad de

las siguientes proposiciones:

a) ( x y ) z dato: z es verdadero

b) ( x y ) ( -x -y ) dato: y es verdadero

c) x ( y z ) dato: (y z) es verdadero

d) ( x y ) ( - x -y ) dato: y es verdadero

e) ( x y ) z dato : z es verdadero

f) ( x -y) ( -x y ) dato : x es falso

Observa que no

te mostramos los

valores de verdad de

las proposiciones r,

z, y, q, porque te

pedimos que los

obtengas por t

mismo en el tem

anterior.

Trabajo Prctico - Lgica

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Desarrollamos, a modo de ejemplo, los tems a) y c). Las respuestas a lo planteado en el enunciado

surgen de la aplicacin de las tablas correspondientes.

a) ( x y ) z

? V

V

c) x ( y z )

? V

?

Las respuestas de los otros tems propuestos son:

b) es suficiente d) no es suficiente e) es suficiente f) es suficiente

5- Encuentra el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) ! x R / x 2 = x b) x Z / x

3 + 1 = ( x + 1 )

3

c) x R : ( x + 1 ) 2 = x

2 + 2x + 1 d) ! x N / x

2 = x

e) x N : x 2 es par f) x Np : x

2 es par

g) ! x Z / x < 1 h) ! x Z / 2x + 5 = 1

i) x, y N : )yx(22

yx j) x , y R : )yx(2

2

yx

k) x R / x2 = x x + 1 = x l) x R / x

2 2x- 3 = 0

m) x R : x 2 2 x 3 = ( x + 1) . ( x - 3 ) n) x N : ( x 1 ) . ( x 2 ) = 0

o) ! x R / 7 x 14 = 7 p) ! x R / x2 + 4 x + 3 = 0

Para ejemplificar, desarrollamos los tres primeros tems.

a) ! x R / x 2 = x es F

pues 01-x x 0xx 2 1x

0x

2

1 existen 2 valores reales tales que xx 2

11

002

2

no es nico no se cumple la proposicin propuesta

el dato no es suficiente.

Se necesitan conocer los valores de

verdad de ambas proposiciones para

determinar el valor de verdad de la

conjuncin propuesta.

el dato es suficiente.

En efecto, la implicacin es V siempre

que el consecuente sea V.

Trabajo Prctico - Lgica

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b) x Z / x 3 + 1 = ( x + 1 )

3 es V

Operando con ambos miembros de la igualdad: 1x3x3x1x 1x1x 23333

01x3x 0x3x3 2 1x

0x

2

1 existe al menos un x Z que cumple la proposicin

propuesta.

Verifiqumoslo: 00 1111

11 101033

33

c) x R : ( x + 1 ) 2 = x

2 + 2x + 1 es V

pues es una identidad (igualdad que se verifica para todo valor asignado a la variable)

se verifica la proposicin propuesta

Analizando de igual manera, las respuestas de los otros tems propuestos son:

d) V e) F f) V g) F

h) V i) V j) F k) F l) V

m) V n) F o) V p) F

Auto-evaluacin - Lgica

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AUTO-EVALUACION

1 - En una empresa familiar, los hermanos Pedro y Pablo presentan esta situacin:

"p": Pedro es gerente de la empresa.

"q": Pablo es el ingeniero de la empresa

Escriba en forma simblica:

a) Pedro es gerente y Pablo es ingeniero de la empresa.

b) Si Pablo es el ingeniero, Pedro es el gerente.

c) Pedro es gerente de la empresa o Pablo no es ingeniero de la misma.

2 - Siendo "p": los precios son altos y "q": los precios suben, escribir en lenguaje coloquial las

expresiones simblicas siguientes y construya la tabla de verdad correspondientes dichas

proposiciones compuestas:

a) - p - q

b) p - q

c) (p q)

3 - Dada la siguiente proposicin compuesta: (p q) (p r). Determinar su valor de verdad si

p es V y r es F.

4 - Rubro "Prstamos del Banco N.N. para construccin", si "p(x)": es prstamo hipotecario, hallar el

valor de verdad de:

a) x / p (x)

b) x : p (x)

5 - Si "x": es nmero natural, analizar el valor de verdad de:

x : 2x + 1 es un nmero impar

Soluciones

1 - a) p q

b) p q

c) p -q

2 - a) Los precios no son altos y no suben.

b) Los precios son altos y no suben

c) No es cierto que los precios son altos o suben.

p q - p -q -p -q p - q - (p q) p q

V V F F F F F V

V F F V F V F V

F V V F F F F V

F F V V V F V F

Auto-evaluacin - Lgica

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3 - ( p q) ( p r)

V F

V

4 a) Existe al menos un x , tal que ese x es prstamo hipotecario, eso es V.

x / P (x) V

b) Para todo x se verifica que es un prstamo hipotecario, es F

x : P (x) F

5 - "x" : es nmero natural x : 2x + 1 es nmero impar V

V

Si en una implicacin el consecuente es V, su valor de

verdad ser siempre V.