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Modelacin Matemtica y

Computacional de Transportede Contaminantes

Curso de Modelacin de Flujo y Transporte enAcuferosInstituto de Geofsica de la UNAM31 de mayo de 2010

presentaDr. Guillermo de Jess Hernndez Garca,Instituto de Geofsica, UNAM


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ndice

1. Introduccin. Formulacin de la ecuacin del Transporteen medios porosos

2. Transporte advectivo y ley de Darcy3. Dispersin y retardacin4. Retardacin y reacciones Qumicas5. Modelo matemtico y su solucin6. Solucin numrica del Transporte advectivo.7. Solucin del Transporte Advectivo-Dispersivo.8. Experimentos numricos


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3

1. Introduccin

Transporte en medios porososElsoluto existe solamente en el volumen de los poros de la matrizslida, el cual constituye una fraccin del mismo. As, la masa del

soluto,Ms(t), est dada por:

La propiedad intensiva asociada a la masa del soluto es el integrando enel segundo miembro de esta ecuacin; es decir, el producto de la

porosidad por la concentracin del soluto.

, ,

donde: ( , ) es la porosidad

( , ) es la concentracin del

soluto en el fluido

S

B t

M t x t c x t d x

x t

c x t


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1. Introduccin

La ecuacin global de balance para la masa de un soluto es:

, ,

equivale a dos ecuaciones, que deben satisfacerse simultneamente:la ecuacin diferencial de balance local:

Sss

B t B t

dMt g x t d x x t nd x

dt

v

y la condicin de salto correspondiente

v v 0;

Esta ltima se aplica cuando el sistema tiene discontinuidades,

pues cuando no las hay ella se satisface automti

Ss

s

cc g

t

c n x

camente.


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5

1. IntroduccinLos procesos del transporte en un medio poroso

Son: adveccin, la difusin, procesos no conservativos

(es decir, que alteran la conservacin de masa).


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6

2. Transporte advectivo y ley de Darcy

La adveccin est asociada a la velocidad de laspartculas, por lo que a esta ltima se le refieretambin como velocidad de adveccin, oadvectiva. Esto, para distinguirla de lavelocidad de Darcy, tambin utilizada en losestudios de fluidos en medios porosos.


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2.1 VELOCIDAD PROMEDIO DE PARTCULA Y TIEMPO DEDESPLAZAMIENTO

La razn de flujo a travs de laseccin de arena es:

Donde Q es la razn de flujo, volumen por

unidad de tiempo Kes la conductividad hidrulica,

h1 es la carga aguas arriba yh2 es la carga aguas abajo

La ecuacin es una forma de la leyde Darcy

1.212

L

hhKAQ


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2.1 VELOCIDAD PROMEDIO DE PARTCULA Y TIEMPO DEDESPLAZAMIENTO

Ahora podemos definir lavelocidad de filtracin

promedio, v Tambin se usar la

velocidad de Darcy, q

2.7

2.8

K dhv

dl

Q dhq KA dl


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2.2 GENERALIZACIN DE LA LEY DE DARCY Y ECUACINDE FLUJO DE AGUA SUBTERRNEA

La velocidad de filtracinpromedio es el vector develocidad de Darcy dividida

por la porosidad efectiva

2.14

2.15

xx

y

y

zz

qv

q

v

qv

qv


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2.2 GENERALIZACIN DE LA LEY DE DARCY Y ECUACINDE FLUJO DE AGUA SUBTERRNEA

En trminos de la carga, la formulacin del flujo deagua subterrnea para densidad y viscosidaduniformes, toma la forma de la ecuacin diferencial

parcial siguiente

16.2t

hSq

z

hK

zy

hK

yx

hK

x sszyx


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2.3 TRANSPORTE ADVECTIVO2.3.1 Aproximacin Euleriana al transporte advectivo yconsideraciones del balance de masa

Del anlisis en tres dimensiones se

obtiene la siguiente forma alternativa:

2.30

En forma vectorial:

2.31

2.32

o ms exactamente

sx y z s

ss

si s

i

x y

q Cv C v C v C C

x y z t

q C- C C

t

o

q Cv C Cx t

q C qx y

v

2.33z s sC

C q C q C z t


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Seguimiento de Partculas y Derivada Material

( ) ii ii i i

vCv C v C x x x

i s

i

v q

x

Este mtodo consiste en valuar la concentracin asociada a las partculasindividuales del fluido, usando el campo de velocidades del fluido de algunaregin de inters.

En el caso de flujo estacionario se tiene que:

Si sustituimos la ecuacin anterior en la de transporte advectivo:

( )si si

qDC C Cv C C

Dt t x


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Dispersin

* En matemticas, dispersin significa el grado de distanciamientode un conjunto de valores respecto a su valor medio.

* En fsica, dispersin es el fenmeno por el cual un conjunto departculas que se mueve en una direccin determinada rebotasucesivamente con las partculas del medio por el que se muevehasta perder una direccin privilegiada de movimiento.

* La teora del transporte dispersivo o de dispersin hidrodinmica, abordalos efectos de la diferencia de las velocidades individuales de las partculas dela velocidad promedio de filtracin.

3


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14

Transporte y transferencia de masa dispersivo


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15

Suma de los dos componentes. Dispersin transversal y dispersin longitudinal


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Analoga entre transporte dispersivo y difusin molecular.

Difusin Inica. a) Solucin salina y agua destilada separada por una placa,

b) distribucin inica cuando la placa es removida, c) distribucin inica en

un tiempo t1despus de que la placa fue removida, d) distribucin inica

final.

Ley de la difusin de Fick

2 1

La expresin para el

transporte difusivo es:

Donde es el coeficiente

de difusin molecular

Usando la notacin en derivadasy dividiendo ambos lados entre A:

donde es el flujo de

D

D

C CF DA

l

D

CF D

l

F

masa difusivo


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Flujo dispersivo y coeficiente de dispersinen dos dimensiones

En el transporte por fluidos enmedios porosos la matriz dedifusin se construye agregandodos procesos difusivos: La difusin molecular, debida

a los movimientosbrownianos, que a nivelmicroscpico efectan lasmolculas del soluto y delfluido;

La difusin mecnica, debidaal carcter aleatorio del medioporoso.

En consecuencia el tensor dedispersin hidrodinmica, es lasuma del tensor de dispersinmolecular y el tensor dedispersin mecnica:

donde

Tensor de dispersin hidrodinmica

Tensor de dispersin molecular

Tensor de dispersin mecnica

m M

m

M

D D D

D

D

D


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18


es un tensor isotrpico dado por

donde


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19


El tensor de dispersin mecnica se caracteriza por ser unamatriz anisotrpica con eje de simetra en la direccin de la

velocidad del fluido y cuyos valores propios son proporcionales ala magnitud de la velocidad

( )

es el coeficiente de dispersividad mecnica longitudinales el coeficiente de dispersividad mecnica transversal

i jM

ij T ij L T

L

T

v vD v

v


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Ecuacin diferencial del transporte conadveccin y dispersin en un medio poroso

Para los procesos de difusin, el campo vectorial del flujo de masa

est dado por la Ley de Fick para medios porosos:

,

la ecuacin diferencial de balance local es:

v

Sustituye

s

S s

x t D c

c c gt

sndo :

v

Esta es la ecuacin que describe el transporte advectivo dispersivo de solutos

que incluye fuentes o sumideros internos (Herrera, 2008).

Otros autores (Zheng y Bennett, 2002

s

cc D c g

t

), en Hidrogeologa lo presentan as:

s s

Cq C D C q C

t


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Figura que ilustra el efecto de la dispersividad en transporte de solutos en un campo de un flujo de dos

dimensiones. La velocidad de filtracin es de 0.33 m/da y alineada con el eje x. Los desarrollos de una pluma

desde una fuente constante con una concentracin relativa de 1.0.

En (a) se muestra la configuracin de la pluma a 500 dias con la dispersin igual a 1 y 0.3 m longitudinal ytransversalmente respectivamente. La pluma es relativamente pequea, y el sistema transporte es dominado

por la adveccin.

En (b), la dispersin longitudinal y transversal son incrementadas por dos ordenes de magnitud, resultando en

una considerable mayor pluma dispersiva.

En (c), la dispersividad longitudinal es la misma que en (b), sin embargo, la dispersividad transversal es

solamente una decima parte que en (b). Como un resultado, la pluma formada en (c) es de ms elongacin y

estrecha que en (b).


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El efecto de las reacciones qumicas en el transporte desolutos es incorporado generalmente en la ecuacin deadveccin-dispersin

Trmino Chemical sink/source

ste trmino puede ser formulado para cada especie ocomponente qumico de inters.

Representa la tasa de cambio en la masa del soluto de una especieparticular debido aNreacciones qumicas.

4. TRANSPORTE CONREACCIONES QUMICAS


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Para el transporte con reacciones qumicas se consideraran variostipos de reacciones que son frecuentemente incorporadas en losmodelos de transporte advectivo-dispersivo

Una de ellas, equilibrio controlado o reacciones con una tasa de

SORCIN limitada, la cual involucra la transferencia de masaente la fase disuelta y la matriz slida del medio poroso Otras, como decaimiento radioactivo, biodegradacin aerbica y

anaerbica, entre otros.


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Sorcin con Equilibrio ControladoProceso de SorcinCuando un medio poroso estsaturado con agua conteniendomateria disuelta, sucedefrecuentemente que ciertossolutos son removidos de lasolucin e inmovilizados en osobre la matriz slida delmedio poroso por fuerzasqumicas o electrostticas.

(el proceso contrario esconocido como desorcin)ste proceso involucraadsorcin y absorcin


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Isotermas de sorcin y la representacin desorcin en las ecuaciones de transporte

En un experimento el agua en laarena es desplazada repetidamente,y en cada ciclo la concentracin vaaumentando, cada equilibrio daruna fase sorbida y una fase disuelta

: grfico de la concentracin en la fase disuelta

versus la concentracin en la fase sorbida

a temperatura constante. Para qumicos de inters

se puede describir por una ecuacin.

la pendie

af

Isoterma

C K C

1

nte de la isoterma es dada por:

y en funcin de cada qumico en cada medio poroso

a

f

f

CK aC

C

K a


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Isoterma Freundlich : para ciertos qumicos,generalmente concentraciones bajas lasorcin es gobernada por sta isoterma,donde a es 1 y Kd es el coeficiente dedistribucin [l/kg].Sorcin infinita

Isoterma Lagmuir donde S es lamxima capacidad de Sorcin


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Concepto de retardo

Caso de laboratorio (Cherry et al., 1984)


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28

Caso hipottico de campo (Cherry et al., 1984)


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29

Ec.4.8

AsumiendoReacomodando los trminos


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30

Factor de retardoAsumiendo un comportamientono lineal de la Isoterma deFreunlinch

Asumiendo un comportamientono lineal de la Isoterma deLangmuir


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31

Cuando las reacciones qumicas tienen decaimientoradioactivo, hidrlisis o alguna de las formas debiodegradacin, puede ser caracterizado como

un proceso irreversible de primer orden

Cte. de velocidad de reaccin o

decaimiento

CC

t


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Concentracin vs. Tiempo en un proceso irreversible deprimer orden. es la constante de primer orden


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33

Para las reacciones irreversibles de primer orden la frmula sedescribe:

Asumiendo que no hay cambio de porosidad con el tiempo, sepuede obtener una ecuacin general para el transporte advectivo-dispersivo incorporando el equilibrio controlado por la sorcin ylos procesos irreversibles de primer orden

1 2

1

N

n b

n

CR b C C

t

1 2

1

2

( )

Cte. de velocidad de reaccin de fase disuelta

Cte. de velocidad de reaccin de fase sorbida

ij i s s b

i j i

C CR D q C q C C C

t x x x


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5. MODELO MATEMTICOY SU SOLUCIN

5.1 El modelo matemtico de transporte de soluto.

Las ecuaciones diferenciales parciales descritas sonllamadas ecuaciones gobernantes; rigen y describen

el transporte y transformaciones de soluto.Para obtener una solucin nica, en cualquierecuacin diferencial parcial, y aplicarla como ecuacingobernante, hay que agregar informacin sobre: 1. las condiciones iniciales que especifican el estado

inicial de soluto en el sistema 2. Las condiciones de frontera que controlan el modo

en el rea en cuestin.


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5.1.1 Ecuaciones Gobernantes

De la ecuacin diferencial parcial que rige el transporte tridimensional con un soloconstituyente qumico de las aguas subterrneas, teniendo en cuenta la adveccin,dispersin, sorcin de equilibrio controlado y reaccin irreversible de primer orden:

MODELO MATEMTICO Y SU SOLUCIN


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Las ecuaciones que rigen el transporte estn vinculados a la ecuacin que rige el flujo a travs dela Ley de Darcy:

Donde h es la carga hidrulica, que se obtiene a partir de la solucin de la ecuacin que rige paratres dimensiones el flujo de las aguas subterrneas totalmente saturadas:

Tensor de la

Conductividad

hidrulica

Valor especifico

De almacenamiento

En medio poroso


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Suponiendo que los cambios en la concentracin de soluto dado por la solucin de laecuacin de transporte causan una variacin insignificante en la densidad del agua, laecuacin de flujo y la de transporte de soluto se pueden resolver independientemente. Estaaproximacin DESACOPLADA es eficiente computacionalmente y ha sido implantada en

varios cdigos de transporte comnmente usados, como el MOC (Konikow andBredehoeft, 1978) RANDOM WALK (Prickett, 1981), MT3D (Zheng, 1990),MODFLOW-SURFACT (HGL, 1996).

En un problema en el que el soluto de inters est presente en concentraciones baja, aligual que en muchas situaciones que afecta el materia de contaminacin por productos

qumicos orgnicos, la densidad puede ser generalmente considerada constante y el flujode transporte y ecuaciones se pueden resolverse independientemente.



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La ecuacin de flujo, que a menudo se expresa en trminos de presin, se resuelve para un primerpaso de tiempo, aplicando una supuesta distribucin de la densidad para ese paso.Las velocidades son calculadas y usadas en la ecuacin de transporte para obtener una primeraaproximacin de la concentracin de soluto al final del primer paso.Estas concentraciones de soluto se utilizan para desarrollar una versin actualizada de la densidad

del agua sobre el terreno, que a su vez se utiliza como insumo en la nueva solucin de la ecuacinde flujo en el primer paso.Este proceso es seguido iterativamente hasta que una distribucin de presin y de concentracinfinal se obtienen para el final del primer paso de tiempo. El procedimiento se repite en el segundotiempo y posteriores pasos.

Si el movimiento de soluto predicho por la ecuacin de transporte causa cambio significativo enla densidad del agua, las ecuaciones de flujo y transporte deben ser resuelto como UN SISTEMAACOPLADO.Esta aproximacin ha sido implementada en varios cdogos multipropsito de transporte, comoel SUTRA(Voss, 1984), HST3D(Kipp, 1987), CFEST (Gupta et al., 1987), SWiFT/386 (Ward,1991), FEMWATER (Lin et al., 1997).



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5.1.2 Condiciones iniciales

Las condiciones iniciales son una parte integral del modelo matemtico que describe elcambio transitorio de la concentracin de soluto en el agua subterrnea, y debe serespecificado antes de la solucin del modelo matemtico puede ser intentado. La condicininicial en forma general puede escribirse como

Cuando C0 (x, y, z) indica una concentracin conocida de distribucin y denota todo eldominio de inters.Un caso especial de la ecuacin (5.5) (fig. 5.1 (a)) es

Donde la concentracin inicial en el campo de inters es cero en todas partes. Muchos de losproblemas de transporte tiene como objetivo evaluar el impacto de posibles fuentescontaminantes tienen este tipo de condicin inicial


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5.1.3 Condiciones de frontera

La solucin del modelo matemtico tambin requiere condiciones de frontera. En general,hay tres tipos de condicin de frontera en los modelos de transporte:

1. Las concentraciones se especifican a lo largo de una frontera; llamada condicin deDirichlet,

2. Se especifican los gradientes de concentracin a travs de una frontera; condicin deNeumann, y

3. Las dos concentraciones, a lo largo de una frontera y la concentracin de gradientes atravs de esa frontera se especifican, rindiendo una combinacin de 1 y 2, llamada lacondicin de Cauchy.


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5.1.4 Solucin del modelo matemtico

El proceso de formulacin y de la solucin de un modelo matemtico que se conocecomo modelacin matemtica.Los mtodos para la obtencin de la solucin de un modelo matemtico se puede dividiren dos clases, analticos y numricos, un hbrido de estas dos clases no es poco comn.Los mtodos de analticosproducen soluciones exactas de las ecuaciones diferenciales

gobernantes; los mtodos numricos aproximan las ecuaciones diferenciales medianteun conjunto de ecuaciones algebraicas.En general, soluciones analticas slo puede obtenerse en virtud de la simplificacin demuchos supuestos, tales como un campo de velocidades unidireccional, de un conjuntode propiedades de transporte uniforme, una simple corriente de dominio de la

geometra, y un simple patrn de los sumideros y fuentes de distribucin.Por estas razones, las soluciones numricas, que son capaces de aproximar condicionesms generales, son ms ampliamente utilizados en aplicaciones de campo.El centro de atencin en general es de las soluciones numricas problemas de transportede soluto, o de la modelacin computacional.

6 Si l i d l


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6. Simulacin delTransporte Advectivo El transporte advectivoest relacionado con el

movimiento de los solutos a la velocidad de filtracinpromedio del agua subterrnea.

En la mayora de las situaciones de campo, el terminode transporte advectivo es mas grande que el terminodispersivo, y un clculo puramente advectivo es una

buena primera estimacin para el movimiento de lossolutos.

Cuando la sorcin debe ser considerada, el clculopuede ser reducido a una forma puramente advectiva,introduciendo el factor de retardo.


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En forma Euleriana, la ecuacin de transporte connicamente adveccin sera:

sta ecuacin puede ser resuelta usando mtodosnumricos estndar (ej. mtodos de diferencias finitaso elementos finitos), basados en el principio de

conservacin de masas. Sin embargo poseen problemasnumricos.

Ec.(6.1)

Introduccin


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44

El transporte advectivo puede ser resuelto msefectivamente usando mtodos basados en unaaproximacin Lagrangiana:

Es sta aproximacin el fluido es visto como unensamble de un nmero infinito de partculas de fluido,

la cual representa una porcin infinitesimal del fluido. En ste caso Cesta asociada con una partcula y

D( )/Dtdenota la derivada material

Introduccin

(6.2)


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45

Mtodo de Seguimiento dePartculas

ste mtodo es el mas general para calcular lastrayectorias de las partculas de soluto con transporteadvectivo.

Si la densidad del fluido es uniforme, las trayectoriasde contaminantes bajo adveccin coincide con lastrayectorias del flujo de agua subterrnea, y songobernadas por la siguiente ecuacin


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La Ec.(6.3) es una ecuacin diferencial de primer orden, por tanto lasolucin de sta para un tiempo t expresando la ubicacin de la

partcula sera:

Seguimiento de Partculas

(6.3)

(6.4)

Es el vector de posicin

Es el vector de velocidad de filtracin


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1. Si la distribucin de velocidad es suficientementesimple, la ecuacin puede ser integrada directamente

2. En caso de que no, es necesario algoritmos deintegracin. Un procedimiento numrico general esdefinir una posicin inicial de una partcula a un t=to,

y encontrar posiciones subsecuentes en pasos detiempo finitos.A sta forma de solucin se le llamaSeguimiento de partculas

Seguimiento de PartculasEc.(6.4)


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Los efectos de sorcin acoplados con el transporteadvectivo son representados usando un retardo en lavelocidad, por tanto las ecuaciones 6.3 y 6.4 se pueden

reescribir:

Ec.(6.5)

Ec.(6.6)

Seguimiento de Partculas


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Interpolacin de Velocidad Para darle solucin a la ecuacin 6.4 se requiere evaluar el

campo de la velocidad (v) en un punto arbitrario (x,y,z) y enun tiempo t.

Si existiera una solucin analtica , la velocidad v, sera

conocida en cualquier punto, sin embargo un modelo de flujonumrico es usado para resolver sta distribucin y en stecaso la velocidad es conocida en solo ciertas locaciones ytiempos.

Por ello un esquema de interpolacin debe ser usado paraobtener las velocidades en puntos y tiempos arbitrarios.


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Referencias y ejemplos de interpolacin develocidad.

Discusiones sobre el mtodo de diferencias finitas sepueden encontra en publicaciones como: Prickett andLonnquist (1971), Bennett (1976), y Wang y Anderson

(1982) para nivel intriductorio. Para nivel intermedio aavanzado: Peaceman (1977), Huyacorn y Pinder(1983), Kinselbach (1986), y Bear y Verruijt(1987)

Varios cdigos bien documentados han tenido un

amplio uso: el cdigo PLASM (Prickett y Lonnquist,1971), el cdigo USGS 2D/3D (Trescott et al., 1976), yel USGS MODFLOW (McDonald y Harbaugh,1988)


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Centrado en el bloque: la

regin est dividida en celdas obloques alrededor de cadanodo. Las propiedadeshidrulicas son especficas para

cada celda y son uniformes en

Centrado en la malla: Losnodos estn localizados en lainterseccin de las mallas. Las

propiedades de transmisividadson diferentes


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Interpolacin en 3D

El procedimiento parainterpolacin develocidad puede ser

extendido a ladimensin vertical


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d l d fl j l


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Modelo de flujo con Elementosfinitos

ste mtodo tambin ha sido ampliamenteusado en la simulacin de flujo en aguasubterrnea. Comparado con el mtodo de

diferencias finitas, ste ofrece una mayorflexibilidad en la discretizacin espacial acambio de una mayor complejidad matemtica.

En la malla 2D para elementos finitos, el

rgimen de flujo es dividido en subdominios,generalmente triangulares o cuadrilteros.


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La interseccin de laslneas constituyen losnodos. Las propiedadeshidrulicas se asumen

uniformes en toda elrea del elemento.

ste tipo de modelosnormalmente usan un

sistema de coordenadaslocalpara facilitar elclculo relativo a loselementos individuales.


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La distribucin de la carga dentro de un elemento e,h(x,y)puede ser expresado como:

La velocidad dentro del elemento epuede ser obtenidaderivando la anterior ecuacin:

Mtodo elementos finitos


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Para una malla cuadriltera(x,y), puede sertransformado en unelemento rectangularcambiando a unascoordenadas locales


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Cordes y Kinzelbach (1992) proponen un esquema que divide cada

elemento triangular en cuatro subtriangulos. Un nico flujo yvelocidad de filtracin es asociado con cada subtriangulo y puedeser calculado a travs del balance de masa, demostrando as unsignificativo mejoramiento en la aproximacin a la velocidad.


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59

El mtodo de elementos finitos es discutido envarias referencias muy completas, como las deZienkiewicz (1977), Pinder y Gray (1977),

Huyakorn y Pinder (1983), Wang y Anderson(1982) e Iztok (1989). Algunos de los cdigos ms ampliamente

usados son: AQUIFEM (Wilson, et al.,1979),

SUTRA (Voss,1984), FEMWATER (Yeh yWard, 1980) y FEFLOW (Kaiser, 1998)


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Comunmente los cdigos de seguimiento de partculas se basan enla solucin semianaltica de los cdigos USGS MODPATH(Pollock 1989, 1994) y el cdigo USEPA WHPA (Blandford yHuyakorn, 1991).

MODPATH fue diseado para utilizar la solucin del cdigo

USGS MODFLOW (McDonald y Harbaugh, 1988; Harbaugh yMcDonald, 1996). WHPA es una coleccin de soluciones analticas y numricas para

delimitar reas de proteccin de pozo. Incluye el codigoseguimiento de partculas, GPTRAC, que se basa en la solucinsemianaltica y puede aceptar la solucin de la carga, ya sea un

bloque centrado con diferencias finitas de flujo o un cuadrilterocon elementos finitos para flujo. Ambos MODPATH y WHPA estn disponibles fcilmente en la

Red.

6.5 Cdigos generales de seguimiento de partculas


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61

El rastreo de partculas basado en la solucin numricaincluye GWPATH (Shafer, 1987), FLOWPATH (Franz yGuiguer, 1990), y PATH3D (Zheng, 1989).

GWPATH utiliza el cuarto orden de Runge-Kutta y elmtodo est diseado para aceptar el estado de la carga de

una solucin de dos dimensiones como el cdigo de modelode flujo del PLASM (Prickett y Lonnquist, 1971). FLOWPATH es un cdigo bidimensional de flujo estado de

estable y de seguimiento de partculas. El componente derastreo de partculas se basa en el mtodo de Euler concontrol adaptable de dimensiones de los pasos.

PATH3D acepta ya sea soluciones del estado estable o detransitorio de la carga desde MODFLOW o cualquier modeloen diferencias finitas de bloque centrado.


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7.

Simulacin de transporteadvectivo-dispersivo


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7.1 METODOS EULERIANOS

Mtodo de diferencias finitas

ste mtodo es un mtodo numrico bien establecidoque ha sido aplicado tanto en la modelacin de flujo ytransporte.

Las teoras y tcnicas de solucin han sido presentadasen varios libros: Remson et al 1971; Peaceman ,1971;

Wang and Anderson, 1983; Huyakorn and Pinder,1983; Kinkelbach 1986; Bear y Verruijt,1987.


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Discretizacin espacial y temporal

Consideremos un problema que involucra flujoadvectivo-dispersivo en una campo de una dimensin.

Con condiciones iniciales C(x,0)=0 y condiciones defrontera C(0,t)=C0 t>0 y C(,t)/x=0 t>0


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La ecuacin vista anteriormente puede ser aproximadacon ecuaciones de diferencia finita. Para ello, dividimosel dominio en un enrejado de diferencias finitas

1(Opcin) Con mismo ancho y nodos centrados en lacelda Central Scheme.

Discretizacin espacial y temporal


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El primer trmino de la ecuacin puede ser aproximadoal nodojpor

Donde C/ x representa los gradientes de concentracin

a la derecha e izquierda de la celdaj y son aproximadaspor los trminos (Cj-Cj-1)/x y (Cj+1-Cj)/x


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El segundo trmino de la ecuacin 7.2 puede seraproximado al nodo j por

Donde Cj+1/2 y Cj-1/2 son concentraciones a la derecha eizquierda de la interfase de la celda. Una formulageneral para expresar esta concentracin en la interfacees

Si aproximamos a =0.5 (Central Scheme)


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68

El esquema de carga central tiende a crear oscilacionesartificiales

Debido al anterior problema, se ha desarrolladoesquemas con cargas espaciales alternativas. Elesquemas mas usado (Segunda opcin) es el esquemaUpstream aguas arriba. El cual puede ser expresado

como lo siguiente:

Este esquema evade la oscilacin artificial asociada alesquema de la carga central.


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69

La solucin

numrica

oscila con

respecto a laverdadera

solucin


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El termino de la derivada del tiempo puede seraproximado

Donde n es un nivel de tiempo anterior y n+1 un nuevotiempo. Si utilizamos Cn (t) para aproximar la dispersiny la adveccin en la Ec. de Transporte, la discretizacin

es explcita


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Cuando los pasos detiempo usados en elmtodo explicito son 1da y 5 das, los perfilesde concentracin sonsimilares. Sin embargocuando se usan 10 das,excede el criterio deestabilidad.

Si las concentraciones que tomamos son ahora las del nuevo nivel,


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la discretizacin se dice que es hacia atrs o implcita

En las anterior expresiones las concentraciones son desconocidas enc alq ier nodo a n tiempo n e o depende de las concentraciones de


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cualquier nodo a un tiempo nuevo, depende de las concentraciones denodos adyacentes, las cuales tambin son desconocidas

es el factor de peso temporal, anlogo a la funcin alfa en espacial


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Donde los coeficientes y trminos de la mano derecha de la ecuacinestn dados por:


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En general lasanterioresecuaciones sereducen a la

forma explicitacuando =0e implicitacuando =1, en

=1/2 es centradoen el tiempo omtodo Crank-

Nicolson

SOLUCIN A LAS ECUACIONES


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SOLUCIN A LAS ECUACIONESMtodo iterativo

En principio se da una estimacin inicial de los valoresque sern determinados; la estimacin es mejorada atravs de clculos numricos sucesivos.

Los procesos iterativos toman los pasos de clculo quesean necesarios dependiendo de la tolerancia de error, parallegar a la solucin.

Requiere menos memoria en la computadora.

SOLUCIN A LAS ECUACIONES


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SOLUCIN A LAS ECUACIONESMtodo directo

Ejecuta un nmero fijo de operaciones y se obtiene unasolucin exacta para el sistema de ecuaciones, en elsentido de que no hay implicacin de tolerancia.

El mtodo directo es por lo general ms eficiente que elmtodo iterativo.


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El mtodo de discretizacin espacial no est libre de errores..

La forma del frente de concentracin para un problemadominado por adveccin es medido mediante el nmero de

Peclet (Pe).Para un campo de flujo en una dimensin est dado por la

siguiente frmula:

Oscilacin artificial y dispersin numrica


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Para problemas advectivoPe tiende a infinito.La oscilacin artificial puede ser reducido mediante

un cambio en el espaciamiento de la malla

Dependencia entre la osc

Artifical y el nmero de

7 1 METODOS EULERIANOS(cont)


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Como el mtodo de diferencias finitas, el mtodo de elementosfinitos se ha utilizado ampliamente en el flujo de agua subterrneay simulacin de transporte de soluto. Esta seccin est destinada a

proporcionar una comprensin bsica de los elementos finitos conenfoque aplicado a la solucin de la ecuacin de adveccin-dispersin.

Un cuerpo extenso existe en la literatura sobre la teora y laaplicacin numrica de los mtodos de elementos finitos tanto demodelos de flujo y de transporte. Los lectores interesados puedenconsultar varios textos, Pinder y Gray (1977), Zienkiewicz (1977),Huyakorn y Pinder (1983), y Sun (1996). Wang y anderson (1982)y de Istok (1989) proporcionan las discusiones a nivel de

introduccin del tema.

7.1 METODOS EULERIANOS(cont)Mtodo de Elemetos Finitos

Resultados obtenidos para el problemadi i d t t l


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en una dimensin de transporte, con elmtodo de elementos finitos y con elmtodo de diferencias finitas, usandouna malla de espaciamiento y pasos de

tiempo idnticos y los siguientesparmetros:v=1 m/da; = 0.1 m;x=10 m; t=1 da.

La solucin de elementos finitospresenta menor dispersin numrica que

la solucin de diferencias finitas conclculo aguas arriba del termino deadveccin, y la ms pequea oscilacinartificial.

Sin embargo, la solucin de elementosfinitos todava exhibe una considerabledispersin numrica y oscilacinartificial, para este problema dominadopor adveccin. Para reducir este errornumrico la malla espacial deberefinarse.

Cdigos generales que aplican elementos finitos


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SUTRA (Voss, 1984) es un cdigo de transporte de dos dimensiones queutiliza elementos de cuadriltero. FEMWASTE (Yeh y Ward, 1981) es un cdigo de transporte de dos

dimensiones por elementos finitos que utiliza elementos cuadriltero.FEMWASTE est diseado para trabajar con el cdigo FEMWATERdelos mismos autores (Yeh y Ward, 1980). Una versin ms reciente de

FEMWATER (Lin et al., 1997) es un cdigo de elementos finitostridimensionales para las situaciones que el flujo depende de la densidady simulacin de transporte en virtud de diversas condiciones desaturacin.

El Cdigo de Transporte Princeton (PTC) (Babu y Pinder, 1984) es uncdigo de transporte tridimensional que utiliza la formulacin deelementos finitos en direccin horizontal y la formulacin de diferencias

finitas en la direccin vertical. Otro codigo de elementos finitos tridimensional es CFEST (Gupta et al.

1987), que resuelve corriente, soluto, y el transporte de calor en mediosporosos o fracturados.

Cdigos generales que aplican elementos finitosdisponibles para la solucin de diversosproblemas de transporte.


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7.2 MTODOS LAGRANGIANOSMtodo de camino aleatorio(Random Walk)

Este mtodo usa la tcnica de seguimiento de partculapara aproximar el transporte por adveccin;

el efecto de la dispersin es incorporado por la adicinde un desplazamiento aleatorio a la localizacin de la

partcula despus de cada movimiento advectivo.

La sorcin y el decaimiento son manejados ajustandola velocidad de las partculas y la masa acarreada porlas partculas.


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Cdigos

El cdigo RANDOM WALK de Prickett et al.(1981), ha sido con mucho el primer modelo depropsito general bidimensional basado en el

mtodo de camino aleatorio. Este cdigo, juntocon su compaero de modelacin de flujo endiferencias finitas PLASM (Prickett y

Lonnquist, 1971), han sido usadosextensamente en aplicaciones de campo.

7 3 MTODOS


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7.3 MTODOSEULERIANO-LAGRANGIANOS

Resuelven el trmino de adveccin con unaaproximacin LAGRANGIANA,y los trminos de dispersin y reaccin con

una aproximacin EULERIANA.

MTODOS


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MTODOSEULERIANO-LAGRANGIANOS

Dependiendo del uso de las tcnicas Lagrangianas para aproximar eltrmino de adveccin los mtodos Euleriano-Lagrangianos se

pueden agrupar en:

mtodo de caractersticas de seguimiento hacia delante MOC

(Konikow y Bredehoeft, 1978; Douglass y Russell, 1982; Zheng,1993);

Mtodo modificado de caractersticas de seguimiento hacia atrsMMOC (Russell y Wleeler,1983; Bentley y Pinder, 1992);

Combinaciones de estos dos mtodos.

Otro esquema es el Mtodo Adjunto Localizado Euleriano-Lagrangiano ELLAM (Herrera, et al., 1993), el cual da seguimientoa la masa asociada con volmenes de fluidos para conservar masalocalmente y globalmente.


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MTODO DE CARACTERSTICAS. (MOC)

Aplicado por Garder et. al (1964) para estudiar el transporte en porosidad media.

Se simulaba el desplazamiento y depsito de partculas.

Tiempo despus el mtodo fue utilizado para el modelo de trasporte de solutos en

dos dimensiones de Konikow y redehoeft. Este mtodo es mejor conocido como

MOC.

Pasos esenciales para el uso del MOC


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ASIGNACIN DE LA PARTCULA INICIAL.

El MOC utiliza una tcnica de seguimiento de partcula convencionalpara solucionar el termino advectivo.

A cada partcula se le asigna una concentracin igual a laconcentracin de la celda cuando inicia.

Partcula dinmica de patrn al

azar

Partcula uniforme de patrn

establecido


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Al final de cada paso de tiempo, elpromedio de las concentraciones delas partculas en la celda esevaluado.

Para poder calcular el movimiento

de las partculas 4-7 se hace unpromedio aritmtico de laconcentracin expresado por laecuacin:

*

1

10

mNPn n

m p m

pm

C C if NP NP

8 E i t i


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8. Experimentos numricosEcuacin de transporte

en Hidrologa subterrnea los modelos detransporte estacionario para dos dimensionestienen la siguiente ecuacin:

S

S

q

C D C vC C C L

Sq

SC

D

flujo volumtrico de agua desde o hacia el acufero.

es la concentracin en fuentes o sumideros,

es la porosidad del medio, adimensional.

escalar que puede ser trmino de reaccin qumica o decaimiento radiactivo.

es el tensor de dispersin hidrodinmica

es el vector de velocidadv

8 E i t i


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8. Experimentos numricosProblema con saltos prescritos

Transporte con adveccin dominante

Parmetros y condiciones de

salto prescrito

0.a u bu

11 12

21 22

1

2

1 0

0 1

1

1

0

0

a aa

a a

b v

b b v

c

f

0 ,0.5 4; 0,1j x x

8. Experimentos numricos


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TH en mallas cuadrilteras en regionesirregulares

Problema consaltos prescritos

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 6.15: Malla para

dominio irregular cncavo yconvexo, con la solucinobtenida en paralelogramos,para el problema con saltosprescritos con 10x10elementos, y 40x40

elementos .

Documents

6-Transporte2010.pdf