1 Matemtica 2 Ciclo: 2011-1 CLCULO DE VOLMENES DE REVOLUCIN Suponga que se tieneuna regin plana y que se la hace girar con respecto a un determinadoeje,estasituacinprovocaquesegenereloquesellamaSLIDO DE REVOLUCIN. 1 Caso: MTODO DEL DISCO CIRCULAR Supongaquesetieneunareginplanasimple-x,comolaquesemuestraenla figura.Algirarlareginconrespectoaleje"x"seformarunslidode revolucin: Elvolumendeesteslidoderevolucinselopuedecalculardelasiguiente manera: Primero: se determina el volumen del slido diferencial que se forma al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado. 2 Observe que lo anterior tambin se lo puede ver como que se rebana el slido y sedeterminaelvolumendeunaparticin.Enestecasoelslidodiferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su volumen est dado por: [ ]22( ) dV rdx f x dx = =Segundo: El volumen de todo el slido es una suma infinita de los volmenes de las particiones, es decir: [ ]2( )baV f x dx = Ejemplos: 1.Calcularelvolumendelareginlimitadaporlaparbola 24 x x y = yel eje de las abscisas, al hacer girar alrededor del eje x. Solucin: ( ) ( )4 544 4 22 2 3 4 3 30 0 0512 16 84 16 83 4 5 5x xV x x dx x x x dx x u | |= = + = + = |\ 3 2.Calcular el volumen de la reginlimitada por:2 / ; 0 ; = = = x x x sen y , al hacer girar alrededor del eje x. Solucin:

( )/ 2 / 220 02/ 2301 cos 222 02 4 4 4 4 4xV sen x dx dxx sen x sen senu | |= = |\ | | | |= = + = ||\ \ 3.Hallar el volumen del slido generado al hacer girar la regin comprendida entre el eje y y la curva2xy= ,1 4 y , alrededor del eje y. Solucin: ( )421( ) V f y dy = 2412V dyy | |= |\ 3 = 4 4.Calcular el volumen de la regin limitada por:x eje x x y , 42+ =y las rectas 2 ; 2 = = x x , alrededor del eje x. Solucin: 3 30 2 22 2 22 00 24 3 2 4 3 22 05 50 24 416 163 32 03 3( 4 ) ( 4 )( 8 16 ) ( 8 16 )( 2 ) ( 2 )5 5256 1216 147215 15 15x xV x x dx x x dxx x x dx x x x dxx xx xu u ( = + + + = + + + + += + + + + +| |= + = |\ 5.Hallar el volumen del slido generado al hacer girar alrededor del eje x, la regin acotada por: 2y x =y las rectas0 ; 1 x x = = . Solucin: Luegoaplicandolafrmulasetiene: ( )151 22 300( )5 5xVx x dx u= = = 5 2 Caso: MTODO DEL ANILLO Suponga ahora que la regin plana fuese como la que se sombrea en la figura. Al girar la regin alrededor del eje "x" se genera un slido de revolucin de la siguiente forma: Primero: El slido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencial alrededor del eje "x", para cada particin tiene la forma de un ANILLO El volumen del slido diferencial estara dado por: 2 22 1dV r r dx ( = Pero observe que: pero observe que: 2 1( ) y ( ) r f x r gx = =entonces: ( ) ( )2 2( ) ( ) dV f x gx dx (= 6 Segundo: EL volumen total del slido que se genera al girar la regin plana alrededor del eje "x", estara dado por: ( ) ( )2 2( ) ( )baV f x gx dx (= Ejemplo1:calcularelvolumendelslidogeneradoalgirarlareginacotada por las grficas dex y =e 2x y =alrededor del eje x. Solucin:x x f = ) (, 2) ( x x g =Calculando los lmites de integracin: 2x x = 4x x =) 1 ( 0034 = =x xx x 0 = x , 1 = x Integrando entre 0 y 1 obtenemos: =102 2)) ( ) ( ( dx x g x f V ( ) =104dx x x V 103

5 2105 2 =((

=x xV Ejemplo 2: Hallar el volumen del slido generado al hacer rotar alrededor del eje x, la regin comprendida entre 2; y x y x = = . Solucin: ( )( )122 20V x x dx = ( )12 40V x x dx = 215= 7 Ejemplo 3: Hallarelvolumendelslidogeneradoalhacerrotaralrededordelejex,la regin comprendida entre; y x y x = = . Solucin Calculamos los lmites de integracin:2 20( 1) 0 0 1x x x x x xxx x x= = = = = = Entonces usando la frmula, se tiene: ( ) ( )12 31 12 2 2 30 001( ) ( )2 3 6x xV x x dx x x dx u | |= = = = |\ Teorema: Sean las funciones( ) ( ) f x y gxcontinuas en un intervalo cerrado[ ] b a,y seaRlareginlimitadaporlagrficadelasfunciones( ) ( ) f x y gx ,elejex x ,ylas rectas verticalesx a x b = = . El volumen del slido de revolucin que se genera al girar la reginR alrededor de la rectay c = viene dado por: ( )2 2( ( ) ) ( ( ) )baV f x c gx c dx = 8 Anlogamente se tiene:Sean las funciones( ) ( ) f y y gycontinuas en un intervalo cerrado[ ] , cdy seaRlareginlimitadaporlagrficadelasfunciones( ) ( ) f y y gy ,elejey x ,ylas rectas verticales, y c y d = = . El volumen del slido de revolucin que se genera al girar la reginR alrededor de la rectax k = viene dado por: ( ) ( )( )2 2( ) ( )dcV f y k g y k dy = Ejemplo: Hallar el volumen del slido generado al hacer rotar alrededor de la recta1 y = , la regin comprendida entre( ) ; ( ) f x x gx x = = . Solucin: En nuestro caso tenemos que1 c = Aplicandola frmula se tiene: ( )( )( )( )2 1 122 30 01 1 22v x x dx x x x dx u = + + = = 9 OBSERVACIONES A) Cuandoelejederotacinformapartedelcontornodelrea plana 1.Halleelvolumendelslidogeneradocuandolareginlimitadaporlas grficasde 2y 8x , x 2 = = gira alrededor del eje X. ( )22308 16 = = = baV y dx x dx u 2. Halleelvolumendelslidogeneradocuandolareginlimitadaporlas grficasde 2y 8x = giraalrededorde x=2 ( )424224022 28256 15= | |= |\ =V x dyydy 10 B) Cuando el eje de rotacin no forma parte del contorno del rea plana 1.Halleelvolumendelslidogeneradocuandolareginlimitadaporlas grficasde 2y 8x , x 2 = = gira alrededor del eje Y. ( )42 242244248128 5= | |= |\ =V x dyydy 2.Halleelvolumendelslidogeneradocuandolareginlimitadaporlas grficas de 2y 4x x = , eje X,gira alrededor de la recta y=6.

( )( )42204 22036 6 36 6 (4 )1408

55= = =V y dxx x dxu 11 3 Caso: MTODO DE LA CORTEZA CILNDRICA Ahora en cambio suponga que si tuvisemos que girar la regin anterior en torno al eje "y": El slido diferencial tendra la forma de una CORTEZA: Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo cortamos y lo abrimos, se obtiene un prisma rectangular: 12 Su volumen sera: 2 dV rhdx =Pero observe que: ( ) ( )r xh f x gx== Por tanto el volumen total del slido sera: [ ] 2 ( ) ( )badV x f x gx dx = Para regiones simples-y, los procedimientos son anlogos. EJERCICIOS DESARROLLADOS 1)Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana 2 y 8 y x y x = = alrededor del eje X SOLUCIN: PASO 1: trazamos las grficas de las curvas dadas. PASO 2: Identificamos la regin. PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical 13 24388( 8) 00 2x xx xxxx x== == = Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen est dado por: 2 22 1dV r r dx ( = y en este caso 28 r x = y 21r x =PASO 4: Por tanto: ( ) ( )( ) ( )22 202222024022 503( ) ( ) 8 8 82 532 16548

5V f x gx dxx x dxx x dxx xu (= (= ( ( = (= ( (= ( = 2)Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana 2 y 8 y x y x = = alrededor del eje Y SOLUCIN: PASO 1 Y PASO 2: La regin plana es la misma que la del ejercicio anterior PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y" da lugar a una Corteza 14 Cuyo volumen est dado por: 2 dV rhdx =y en este caso:28r xh x x== PASO 4: Por tanto: ( )220233202452045232 8 2 82 8 25 42 8 2 2 2 05 432 2 4524

5V x x x dxx x dxxxu (= = (= ( ( | |= (| | (\ (= ( = 3)Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana2 y 8 y x y x = =alrededor del eje y=4 SOLUCIN: PASO 1 Y PASO 2: La regin plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y=4" da lugar a una Anillo 15 El volumen de este diferencial est dado por:2 22 1dV r r dx ( = y en este caso 224 r x = y 14 8 r x = PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )22 202222022 40214 22025 3 23 205 3 23 2( ) ( ) 4 4 8 16 8 16 8 8 8 8 8 8 88 32 2 85 3 2 32 2 2 32 2 8 8 2 05 3 2 3 V f x gx dxx x dxx x x x dxx x x x dxx x xx (= (= ( (= + + (= + ( (= + ( ( | || | | |= + (| || |\ \ (\ 332 64 128165 3 3206

15u (= + ( = 16 4)Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana2 y 8 y x y x = =alrededor del eje y=-1 SOLUCIN: PASO 1 Y PASO 2: La regin plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y=-1" da lugar a una Anillo El volumen de este diferencial est dado por:2 22 1dV r r dx ( = y en este caso 211 r x = + y 21 8 r x = + Por tanto: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )22 202222022 40212 420( ) ( ) 1 8 1 1 2 8 8 1 2 2 8 8 2V f x gx dxx x dxx x x x dxx x x x dx (= (= + + ( (= + + + + (= + ( 17 23 2 2 3 503 2 2 3 53 2 8 8 232 3 522 2 2 2 2 8 8 2 032 3 5232 16 32 163 3 5174

15x x x xu (| | | | (= + || (\ \ ( | || | | | (|= + || (|\ \ \ (= + ( = 5)Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana2 y 8 y x y x = =alrededor del eje x=2 SOLUCIN: PASO 1 Y PASO 2: La regin plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "x=2" da lugar a una corteza El volumen de este diferencial est dado por: 2 dV rhdx =y en este caso:228r xh x x= = 18 PASO 4: Por tanto: ( )( )22023 12 32 2023 53 42 2053 423232 2 8 2 4 2 2 8 2 4 2 2 2 23 53 42 28 2 2 2 2 2 2 2 4 2 03 3 5 432 16 32 16 23 3 5 488

15V x x x dxx x x x dxx x x xu (= = + (| | (= + | (\ ( | || | (| = + | | (\ \ (= + ( = 6)Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana2 y 8 y x y x = =alrededor del eje x=-1 SOLUCIN: PASO 1 Y PASO 2: La regin plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "x=-1" da lugar a una corteza El volumen de este diferencial est dado por: 2 dV rhdx =y en este caso:218r xh x x= += 19 Por tanto: ( )( )22023 12 32 2023 53 42 2053 423232 1 8 2 2 2 8 2 2 2 2 23 53 42 24 2 2 2 2 2 2 4 2 03 3 5 416 8 32 16 23 3 5 4152

15V x x x dxx x x x dxx x x xu (= + = + ( (= + ( ( | | (| = + | (\ (= + ( = Ejercicios propuestos1.Halleelvolumendelslidogeneradocuandolareginlimitadaporlas grficas de3 , 1 , 0 ,412= = = = x x y x x ygira alrededor del eje X. 2.Hallarelvolumengeneradoenlarotacindelreadelprimercuadrante limitada por la parbolax y 82=y la recta2 = x, con respecto al eje x. 3.HalleelvolumendelslidogeneradoalgiraralrededordelejeXlaregin quesehallaenelprimercuadranteyqueestlimitadaporlasgrficas 4 , 1 , 0 ,2= = = = x x y x y . 4.Calcular el volumen del slido generado al girar la regin dada alrededor del eje indicado: a. 22 , 0, 0, 5; y x y x x eje x = = = =b. 2 216, 0, 8; x y y x eje x = = =c. 24 , 0, 16; y x x y ejey = = =d. 24 , 0, 16 y x x y = = = ;y=16 e. 2 3, 0, 2; y x y x eje x = = =f. 3, 0, 2 y x y x = = = ; x=2 20 g. 2 4 2(1 ) ; y x x eje x = h. 2 24 9 36 ; x y eje x + =i. 2 24 9 36, x y ejey + =j. 22 , 0, 0, 5; y x y x x ejey = = = =k. 2 216, 0, 8 ; x y y x ejey = = =l. 24 , 0, 16 ; y x x y eje x = = =m. 3, 0, 8; 2 y x x y x = = = =n. 2 2, 4 ; y x y x x eje x = = o. 2 2, 4 ; 6 y x y x x y = = =p. 29 , 7 0 ; 4 x y x y x = = =q. 2 2, 4 ; 5 y x y x x x = = =r. 25 6, 0 ; y x x y ejey = + =s.Dentro de 29 , x y = entre7 0, 0 ; 3 x y x y = = = . t.Dentro de 29 , x y = entre7 0, 0 ; x y x ejey = =u.y x =, las rectas y =1, x =4, alrededor de la recta y =1 v. 21 x y = +y la recta x=3 alrededor de la recta x =3.