61562261 Moises Villena Munoz Cap 2 Optimizacion de Varias Variables

Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables

19

2

2.1 OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIÓN

2.2 OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

OBJETIVO:

Optimizar funciones de dos y tres variables sin restricciones y con restricciones

Debe ser tentador y en ocasiones imprescindible para el hombre tratar de optimizar recursos, de querer obtener máximas ganancias o mínimas pérdidas. Matemáticamente existen maneras de dar solución a esta

problemática


20

2.1 OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIÓN

2.1.1 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Es casi probable que usted haya tratado la optimización de funciones de una variable real empleando el criterio de la primera derivada, trataremos ahora de

realizar la optimización empleando el criterio de la segunda derivada para que resulte fácil su generalización para dos, tres o más variables.

2.1.1.1 Definición de Máximo y Mínimo

Sea f una función de una variable definida

en un intervalo baI , , y sea Ix 0. Entonces:

1. 0xf es un valor máximo de f en el

intervalo I , si Ixxfxf );(0. Es decir, f

toma el mayor valor en 0

x .

2. 0xf es un valor mínimo de f en el intervalo

I . si Ixxfxf );(0 . Es decir, f toma el menor

valor en 0

x .

3. 0xf es un valor extremo de f en el

intervalo I , si es un máximo o un mínimo.

2.1.1.2 Punto crítico estacionario

" 0x " es llamado punto crítico estacionario de

f si y sólo si 0´ 0 xf .

Lo anterior quiere decir que en el punto " 0x " de la gráfica de f se puede

trazar una recta tangente horizontal.


21

2.1.1.3 Criterio de la segunda derivada para establecer extremos

Sea f una función dos veces derivable en un

intervalo I , y sea Ix 0 un punto crítico

estacionario de f . Entonces:

1. Si

0)( 0xf entonces 0xf es un valor

Mínimo de f .

2. Si

0)( 0xf entonces 0xf es un valor

Máximo de f .

Ejemplo

Determinar los extremos para 23 32)( xxxf

SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos.

1. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos

analizamos la derivada xxxf 66)´( 2

Ahora

0)1(6

066

0)´(

2

xx

xx

xf

, entonces serían: 0x y 1x .

2. Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual:

612)´´( xxf

a) 066)0(12)0´´( f (pos itivo) por tanto aquí hay un M ÍNIMO.

b) 066)1(12)1´´( f (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO.

Observe la gráfica:


22

Las funciones que trataremos, en su mayoría, son derivables; por tanto las definiciones y criterios que se han mencionado bastan para lo que pretendemos

proponer. Criterios para otros tipos de puntos no se los considera en este texto.

2.1.2 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

2.1.2.1 Definición de Máximo y Mínimo

Sea f una función de dos variables definida en

una región 2R , y sea Ryx 00 , . Entonces:

1. 00 , yxf es un valor máximo de f en R , si

Ryxyxfyxf ,);,(, 00 2. 00 , yxf es un valor mínimo de f en R . si

Ryxyxfyxf ,);,(, 00 3. 00 , yxf es un valor extremo de f en R , si es

un máximo o un mínimo.

Note que esta definición es análoga a la que se dio para funciones de una

variable. Algo parecido ocurrirá en adelante.

2.1.2.2. Punto crítico estacionario

" 00

, yx " es llamado punto crítico estacionario

de f si y sólo si:

0,

0,

00

00

yxy

f

yxx

f


23

2.1.2.3 Criterio de la segunda derivada para establecer extremos

Sea f una función dos veces diferenciable en

una región 2R , sea Ryx 00 , un punto

crítico estacionario de f .

Defínase la Matriz Hessiana de f en el punto

00 , yx como:

),(

),(

2

22

2

2

2

00

00

yxyyyx

xyxx

yx

ff

ff

y

f

xy

f

yx

f

x

f

H

.

Además defínanse las matrices:

00

00

,

2,1,

yxyyyx

xyxx

yxxx ff

ffHHfH

Entonces:

1. Si 0021 HH , entonces ),( 00 yxf es un

mínimo de f en la región R .

2. Si 0021 HH , entonces ),( 00 yxf es un

máximo de f en la región R .

3. Si 02H , entonces ),( 00 yxf es un punto de

silla de f en la región R .

4. Si 02H , no se puede concluir.

PREGUNTA: ¿Qué es un punto de silla? (Investíguelo)

Ejemplo 1

Hallar los extremos para 22),( yxyxf

SOLUCIÓN: PRIMERO se encuentran los puntos críticos, candidatos a ser extremos.

Las derivadas parciales para 22),( yxyxf son:

yy

f

xx

f

2

2


24

El sistema

02

02

y

x da como resultado 00 x y 00 y

Por tanto tenemos en este caso un sólo punto crítico 0,0, 00 yx

SEGUNDO Clasifiquemos el punto crítico:

Las segundas derivadas parciales son:

0

2

2

yxxy

yy

xx

ff

f

f

La matriz Hessiana en este caso es:

20

02

)0,0(2

22

2

2

2

y

f

xy

f

yx

f

x

f

H

Ahora, como 021 H y 0420

022 H concluimos que en )0,0( hay un valor mínimo

para la función, que sería: 000)0,0( 22 Mínf

Ejemplo 2

Hallar los extremos para xyyxyxf 6),( 33

SOLUCIÓN: PRIMERO: Para hallar los puntos críticos, tenemos:

Las derivadas parciales son: xyf

yxf

y

x

63

632

2

Resolv iendo el sistema

063

0632

2

xy

yx tenemos:

En la segunda ecuación se obtiene 2

2yx y al reemplazarlo en la primera ecuación encontramos los

valores de 0y , es decir :

20

024

3

064

3

062

3

3

4

22

yy

yy

yy

yy

Luego; si 00 y entonces 02

02

0 x ; y ,

si 20 y entonces

22

22

0

x

Es decir, aquí tenemos dos puntos críticos 0,0 y 2,2 .

SEGUNDO: Clasificando los puntos críticos

Las segundas derivadas parciales son:

6

6

6

yxxy

yy

xx

ff

yf

xf


25

La matriz Hessiana en este caso es:

y

x

y

f

xy

f

yx

f

x

f

H66

66

2

22

2

2

2

1. La matriz Hessiana para el punto )0,0( es:

06

60

)0(66

6)0(6H

Como 03606

602 H concluimos que )0,0( hay un punto de silla.

2. La matriz Hessiana para el punto )2,2( es:

126

612

)2(66

6)2(6H

Como 0121 H y 01236144126

6122 H entonces en )2,2( hay un valor

Mínimo para la función, y es: 8)2)(2(622)2,2( 33 MINf

Ejemplo 3

Un supermercado vende 2 tipos de cerveza. Una marca local que se obtiene a un costo de

30c cada lata y una marca nacional que se obtiene a un costo de 40c por lata. El tendero

calcula que si la de marca local se vende a ""x centavos por lata y la de marca nacional a

"" y centavos por lata, se venderán cada día aproximadamente yx 4570 latas de la

marca local y yx 7680 latas de la marca nacional. ¿Qué precio debería fijar el tendero a

cada marca para maximizar las utilidades?

SOLUCIÓN: Con la información proporcionada determinamos la función utilidad

5300240720105

)7680(40)4570(30

)7680(40)4570(30)7680()4570(

22

yyxxyxU

yxyyxxU

yxyxyxyyxxU

CIU

Las derivadas parciales para la función Utilidad son:

2401410

201010

yxU

yxU

y

x

Para los puntos críticos hacemos

0

0

y

x

U

U es decir

02401410

0201010

yx

yx

Despejamos x en la primera ecuación:

2

10

2010

102010

0201010

yx

yx

yx

yx


26

Reemplazamos x en la segunda ecuación:

55

4

220

2204

0240142020

024014)2(10

y

y

y

yy

yy

Luego 532552 yx

Por tanto, tenemos un sólo punto crítico )55,53(P

La matriz Hessiana es

1410

1010

55,53yyyx

xyxx

UU

UUH

Como 010101 H y 0401001401410

10102

H entonces utilidades

máximas se producirán cuando 53x y 55y

Ejercicios Propuestos 2.1

1. Encuentre los ex tremos para:

a) 2596),( 23 yxxyyxyxf

b) 22 2),( yxyxf

c) )ln(4),( xyxyxf

2. Sea 1283

1),( 2233 yxyxyxf . Encuentre los puntos críticos y clasifíquelos en máx imos,

mínimos o punto de silla.

3. Encuentre los puntos críticos para la función )ln(2),( 222 xyyxyxf . Clasifíquelos en máximo o

mínimo relativo o punto de silla.

4. Una empresa planea introducir dos nuevos productos al mercado . Se calcula que si el primer producto se

valora en x cientos de dólares y el segundo producto en y cientos de dólares, aproximadamente

yx 5840 consumidores comprarán el primer producto y yx 7950 comprarán el segundo

producto. Si el costo de fabricación del primer producto es de $1000 por producto y el costo del segundo producto es $3000 por producto. ¿Qué precio debería fijar la empresa a los producto para generar la máxima utilidad posible?.


27

2.1.3 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE TRES VARIABLES

2.1.3.1 Definición.

Sea f una función de tres variables definida

en una región 3R , y sea Rzyx 000 ,, .

Entonces:

1. 000 ,, zyxf es un valor máximo de f en R , si

Rzyxzyxfzyxf ,,);,,(,, 000

2. 000 ,, zyxf es un valor mínimo de f en R . si

Rzyxzyxfzyxf ,,);,,(,, 000

3. 000 ,, zyxf es un valor extremo de f en R , si

es un máximo o un mínimo.

2.1.3.2. Punto crítico estacionario

" 000

,, zyx " es llamado punto crítico

estacionario de f si y sólo si:

0,,

0,,

0,,

000

000

000

zyxz

f

zyxy

f

zyxx

f

2.1.3.3 Criterio de segunda derivada para extremos

Sea f una función dos veces diferenciable en

una región 3R , sea Rzyx 000 ,, un punto

crítico estacionario de f .

Sea


28

000 ,, zyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

fff

fff

fff

H

la Matriz Hessiana de f en el punto 000 ,, zyx .

Defínanse las matrices:

000

000

000

,,

3

,,

2,,1 ,,

zyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyxyyyx

xyxxzyxxx

fff

fff

fff

HHff

ffHfH

Entonces:

1. Si 000 321 HHH , entonces

000 ,, zyxf es un mínimo de f en la región R .

2. Si 000 321 HHH , entonces

),,( 000 zyxf es un máximo de f en la región

R .

Ejemplo 1

Hallar los extremos para 242),,( 222 zxzyxyxzyxf SOLUCIÓN: PRIMERO determinamos los puntos críticos estacionarios.

Las derivadas parciales son:

zxz

f

yxy

f

zyxx

f

2

8

4

Resolv iendo el sistema simultáneo

02

08

04

zx

yx

zyx

tenemos:

Despejando " y " en la segunda ecuación resulta 8

xy .

Despejando " z " en la tercera ecuación resulta 2

xz .

Luego reemplazando " y " y " z " en la primera ecuación, encontramos " x ", es decir:


29

0

02

1

8

14

028

4

x

x

xxx

Por lo tanto 08

0

8

xy y 0

2

0

2

xz

Hay un solo punto crítico )0,0,0(P

SEGUNDO: Clasificando el punto crítico.

La matriz Hessiana sería:

201

081

114

0,0,0zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

fff

fff

fff

H

De aquí tenemos:

201

081

114

81

144 321 HHHH

Calculando los determinantes tenemos:

054

201

081

114

03181

14044 321 HHHH

Por lo tanto, se concluye que en el punto )0,0,0(P se produce un mínimo, cuyo valor es:

2

200400020)0,0,0( 222

minf

f


1. Hallar los valores ex tremos de: 222 3),,( zyzyyxzxzyxf

2. Determine los valores de x , y , z (si es que existen) que maximicen o minimicen la función

xzyzyxzyxf 2),,( 222.

3. Los precios de tres productos están dados por

33

22

11

675

5105

463

QP

QP

QP

, y el costo total de la producción de los

productos está dado por 21520 QQC donde 321 QQQQ es la cantidad total demandada

de los productos. Determine los niv eles de demanda que hagan máx ima la utilidad.

4. Para los productos A , B y C de una empresa el costo está dada por

12222),,(322

ACBACBACBA ppppppppppC donde CBA ppp ,, son

los precios de los productos. Encuentre los precios que minimicen el costo.


30

2.1.4 MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE

"n" VARIABLES

Sea la Función Objetivo ),,,,( 321 nxxxxfw , dos

veces diferenciable. Suponga que se obtiene el

punto crítico estacionario ),,,,( 0000 321 nxxxxP ,

resolviendo el sistema simultáneo

0

0

0

0

4

3

2

1

x

f

x

f

x

f

x

f

Sea:

),,,,( 0302010321

4342414

3332313

2322212

1312111

nnnnnn

n

n

n

n

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

ffff

ffff

ffff

ffff

ffff

H

La Matriz Hessiana para f

Defínanse las matrices:

111 xxfH ,

2212

21112

xxxx

xxxx

ff

ffH ,

332313

322212

312111

3

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

fff

fff

fff

H , HHn ,

Entonces:

1.- Si 0000 321 nHHHH , entonces en

),,,,( 0030201 nxxxx la función tiene un mínimo.

2.- Si 0)1(000 321 n

n HHHH ,

entonces

en ),,,,( 0030201 nxxxx la función tiene un máximo.


31

2.2 OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

Hasta aquí se ha determinado extremos de funciones objetivos sin que exista

condicionamiento para sus variables. Suponga que sea necesario restringir las variables a ciertas condiciones, entonces habrá que considerar otro aspecto que lo vamos a tratar a continuación.

2.2.1 CRITERIO PARA ESTABLECER EXTREMOS CON UNA RESTRICCION EN FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Suponga que se desea optimizar la función de dos

variables f , dos veces diferenciable, sujeta a la

restricción o ligadura ,),( kyxg donde k es una

constante.

Defínase la Función Langragiana

kyxgyxfyxL ),(),(),,(

donde es llamado Multiplicador de Lagrange.

Suponga que se obtiene el Punto crítico

estacionario ,, 00 yx resolviendo el sistema

0

0

0

y

x

L

L

L

,

o el sistema

kyxg

gf

gf

yy

xx

),(

Defínase el Hessiano Orlado, como la matriz:

,, 00

0

yxyyyxy

xyxxx

yx

yyyxy

xyxxx

yx

LLg

LLg

gg

LLL

LLL

LLL

H

Entonces:

1. Si 0H entonces en ),(00

yx la función f tiene

un Máximo.

2. Si 0H entonces en ),(00

yx la función f tiene

un Mínimo.


32

Ejemplo

Hallar los valores máximos y mínimos de xyyxf ),( , sujeto a que 822 yx

SOLUCIÓN:

En este caso 22),( yxyxg . Por tanto la función Langragiana sería:

8),(),(),,( 22 yxxykyxgyxfyxL

8),(0

20

20

22 yxkyxgL

yxgfL

xygfL

yyy

xxx

Despejando en las dos primeras ecuaciones, e igualando se obtiene:

xyxyy

x

x

y

y

x

x

y

22

22

2

2

Reemplazando en la tercera ecuación, resulta:

2

24

82

8

2

2

22

x

xx

x

yx

Por tanto:

2

22

2

22

y

yx

y

yx

Es decir, ex isten cuatros puntos críticos: )2,2( , )2,2( , )2,2( y )2,2( .

Hallemos el Hessiano Orlado

212

122

2200

y

x

yx

LLg

LLg

gg

H

yyyxy

xyxxx

yx

Y como y

x

2 , se tiene

yx

yx

y

x

yx

H

2

2

212

122

220

Ahora clasifiquemos los puntos críticos:

1.- Para )2,2( tenemos:

114

114

440

H

Entonces, como 064)8(4)8(4 H se dice que 4)2)(2()2,2( f es un

MÁXIMO.

2.- Para )2,2( tenemos:

114

114

440

H

Ahora, como 064)8(4)8(4 H se dice que 4)2)(2()2,2( f es un MÍNIMO.

3.- Para )2,2( se tiene:

114

114

440

H

Ahora, como 064)8(4)8(4 H se dice que 4)2)(2()2,2( f es un

MÍNIMO.


33

4.- Para )2,2( se tiene:

114

114

440

H

Entonces, como 064)8(4)8(4 H se dice que 4)2)(2()2,2( f es un

MÁXIMO.

Ejemplo 2

A un editor se le han asignado 000,60$ para invertir en el desarrollo y la promoción de un

nuevo libro. Se calcula que si se gastan ""x miles de dólares en desarrollo y "" y miles en

promoción se venderán aproximadamente yxyxf 23

20),( ejemplares del libro. ¿Cuánto

dinero debe asignar el editor a desarrollar y cuánto a promoción para maximizar las ventas?

SOLUCIÓN:

En este caso la Función objetivo sería yxyxf 23

20),( sujeta a la restricción 60 yx

La función Langragiana sería: )60(20),,( 23

yxyxyxL

Para obtener los puntos críticos, hacemos:

23

23

21

21

20020)1(0

3002

320)1(0

600

xxL

yxyxL

yxL

y

x

Igualando las dos últimas ecuaciones, resulta: xyxyx3

22030

23

21

Lo último lo reemplazamos en la primera ecuación y se obtiene:

36

1205

12023

603

2

x

x

xx

xx

Por tanto:

24

)36(3

2

y

y. Es decir, ex iste sólo un punto crítico: )24,36(

El Hessiano Orlado sería:

0301

30151

110

21

21

21

x

xyxH

Y para el punto )24,36( es:

01801

180601

110

H

Como el determinante es: 0300)120(1)180)(1( H , concluimos que el editor debe invertir

$36000 en desarrollo y $24000 en promoción para obtener las máximas ventas.


34


1. Encuentre los ex tremos de la función xyyxf ),( sujeta a que 6 yx

2. Encuentre los ex tremos de la función 22),( yxyxf sujeta a que 24 yx

3. Dadas las ecuaciones de utilidad presupuestal de un consumidor

21

21

43100

23

qq

qqU

. Determine los v alores

de 1q y 2q que maximizan la utilidad del consumidor.

4. La relación entre las v entas "S" y las cantidades "x " y "y" gastadas en dos medios de publicidad está dada

por y

y

x

xS

10

100

5

200 . La Utilidad neta es

5

1 de las ventas menos el gasto en publicidad. El

presupuesto para publicidad es de $25. Determine cómo debe asignarse este presupuesto entre los dos medios para maximizar la utilidad neta.

5. Una empresa de computadoras tiene un presupuesto mensual publicitario de $60,000. Su departamento de ventas estima que si se gastan " x " dólares cada mes en publicidad en periódicos y " y " dólares cada mes

en publicidad por telev isión, las ventas mensuales estarán dadas por 43

41

90 yxS dólares. Si la utilidad

es el 10% de las ventas menos el costo de la publicidad, determine cómo asignar el presupuesto publicitario para maximizar la utilidad mensual. Compruébelo utilizando el Hessiano Orlado.

6. Usando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P

unidades de su producto, en donde )(560),( 22 KLKLP . Los costos de la mano de obra y de

capital son de $200 y $100 por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 4500 unidades. Halle el número de insumos de mano de obra y de capital que deben emplearse con objeto de minimizar el costo total.

7. En un taller de mecánica se reparan 2 tipos de autos A y B . La función de trabajo conjunto está dado por:

xyyxyxf 22 2),( , donde x e y representa el números de autos por día del tipo A y B

reparados, respectiv amente. Para minimizar el trabajo, ¿cuántos autos de cada tipo deben repararse, si diariamente se puede reparar 8 autos?

8. Una compañía puede destinar su planta a la elaboración de dos tipos de productos A y B . Obtiene una

utilidad de $4 por unidad de A y de $6 por unidad de B . Los números de unidades de los dos tipos que pueden producir mediante la planta están restringidos por la ecuación del transformación del producto:

044222 yxyx Con x y y los números de unidades (en miles de dólares) de A y B

respectiv amente, producidos por semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar la utilidad.

9. Si una empresa gasta " x " miles de dólares en publicidad en la ciudad A , sus v entas potenciales (en miles

de dólares) en tal ciudad están dadas por 10

300

x

x. Si gasta " x " miles de dólares en la ciudad B , sus

ventas potenciales (en miles de dólares) en tal ciudad son 5.13

500

x

x. Si la utilidad es del 25% de las ventas

y la empresa dispone de una restricción del presupuesto de 16500 destinados a publicidad en las dos ciudades. ¿Cuánto deberá gastar en cada ciudad con objeto de max imizar la utilidad neta de la empresa? Utilice el Hessiano Orlado para verificar los resultados.


35

2.2.2 INTERPRETACIÓN DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

Suponga que M es el valor máximo (o mínimo) de ),( yxf sujeta a la

restricción kyxg ),( que usualmente significa disponibilidad o presupuesto. El

multiplicador de Lagrange "" es la razón de cambio de M con respecto a k ,

es decir: dk

dM . (Demuéstrelo)

El valor máximo o mínimo M es función de la disponibilidad k ( )(kfM ),

entonces:

)( kM

kdk

dMM

Si 1k entonces M . Es decir, es el cambio de M debido a un

incremento de 1 unidad en k .

Ejemplo 1

Si al editor del problema anterior se le asigna 200,60$ en lugar de 000,60$ para invertir en

el desarrollo y la promoción del nuevo libro. Calcular de qué manera afectará el nivel

máximo de ventas los 200$ adicionales. SOLUCIÓN:

En el ejemplo anterior teníamos la función objetivo yxyxf 23

20),( sujeta a que

k

yx

60 . Ahora

en lugar de $ 60 mil se dispone de $ 60.2 mil es decir que tenemos una variación de la disponibilidad k de $

0.2 mil; es decir 2,0k .

Del desarrollo del ejemplo anterior se tiene que yx 21

30 , por lo tanto 4320

)24(3630

Ahora, bien como kM entonces 864)2,0)(4320( MM unidades

Es decir que teniendo una disponibilidad adicional de $200 el editor verá incrementada sus ventas máximas en 864 unidades.

Ejemplo 2

Un consumidor tiene 600$ para gastar en 2 artículos, el primero de los cuales tiene un valor de

/20$ unidad y el segundo /30$ unidad. Si la utilidad obtenida por el consumidor de ""x unidades del

primer artículo y "" y unidades del segundo está dada por 4.06.010),( yxyxf .

a) ¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar su utilidad? SOLUCIÓN:

En este caso la función Objetivo es 4.06.010),( yxyxf sujeta a que 6003020 yx .

La función Langragiana es )6003020(10),,(

)),((),(),,(

4.06.0

yxyxyxL

kyxgyxfyxL

Obteniendo los puntos críticos tenemos:


36

xy

yx

yxyx

yxyx

yxyxL

yxyxL

yxyxL

y

x

9

4

4520

)3(152)10(

20

6

30

4

30

40304

20

60206

60326003020

4.04.06.06.0

4.04.06.06.0

6.06.06.06.0

4.04.04.04.0

Reemplazando en la primera ecuación (la Restricción), tenemos:

18

54030

5401218

609

122

609

432

x

x

xx

xx

xx

Y como xy9

4 entonces 8y .

Por lo tanto resulta el punto crítico )8,18( .

Para clasificar el punto crítico, calculamos el Hessiano Orlado:

6.16.06.04.0

6.04.04.04.1

)8,18(6.16.06.04.0

6.04.04.04.1

)8()18(4.2)8()18(4.230

)8()18(4.2)8()18(4.220

30200

4.24.230

4.24.220

30200

yxyx

yxyxH

Como 0H entonces el consumidor, para obtener las máximas utilidades, debe comprar 18 unidades del

primer artículo y 8 unidades del segundo artículo.

b) ¿De qué manera afectará a la utilidad máxima si el consumidor tiene 601$ para gastar en los

artículos en lugar de los 600$ ?

Ahora tenemos 1k . Por tanto:

22.0)21689.0(

30

)8()18(4

)1(30

4

6.06.0

6.06.0

M

M

yxM

kM

Las Utilidades máximas se incrementarán en $ 0.22.

Ejemplo 3

Un fabricante planea vender un nuevo producto a $350 la unidad y estima que si se invierten " x" miles de dólares en desarrollo y "y" miles en promoción, los consumidores comprarán

5

100

2

250

x

x

y

y unidades del producto, aproximadamente. Los costos de fabricación de este producto

son $150 por unidad. a) ¿Cuánto debería invertir el fabricante en desarrollo y cuánto en promoción para generar la máxima

utilidad posible, si dispone de fondos ilimitados? En este caso habrá que formar la Función Objetivo, que es la Utilidad:


37

yxx

x

y

yyxU

yxx

x

y

y

x

x

y

yU

InversiónCostosIngresosU

100010005

100

2

250200),(

100010005

100

2

250150

5

100

2

250350

El punto crítico, sin restricciones, será:

5

105

)5(100

)5(5500

5)5(

500

1000)5(

500200

01000)5(

100500100200

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

xU

x

xxU

x

x

y

8

102

)2(100

)2(5500

5)2(

500

01000)2(

250500250200

01000)2(

)2(150000

2

2

2

2

2

y

y

y

y

y

y

yyU

y

yyU

y

y

Compruebe que en el punto crítico )8,5( se produce un máximo (Hessiano).

Es decir que el fabricante debería invertir $5000 en desarrollo y $8000 en promoción del nuevo libro para obtener las máximas utilidades.

b) Si el fabricante sólo tiene $11,000 para invertir en el desarrollo y la promoción del nuevo producto. ¿Cómo debería distribuirse este dinero para generar la máxima utilidad posible?

Para este caso tenemos la misma Función Objetivo

yxx

x

y

yyxU 10001000

5

100

2

250200),(

pero ahora sujeta a la restricción de que 11 yx .

Trabajamos ahora con la función Langragiana

)11(100010005

100

2

250200),,(

yxyx

x

x

y

yyxL

Encontrando los puntos críticos, tenemos:

1000)2(

1000000

1000)5(

1000000

110

2

2

yL

xL

yxL

y

x

Igualando las dos últimas ecuaciones, resulta:

3

52

)5()2(

10000)2(

1000001000

)5(

100000

22

22

xy

xy

xy

yx

Reemplazando y en la restricción, tenemos:

4

82

1132

113

11

x

x

x

xx

yx

Entonces:

7

11

11

y

xy

yx

Compruebe que en el punto crítico )7,4( se produce un máximo. (Hessiano Orlado).


38

Por tanto, cuando sólo hay $11000 para inversión, habrá que dis tribuirlos de la siguiente manera para obtener las máximas utilidades: $4000 en desarrollo y $7000 en la promoción del nuevo libro. c) Si el fabricante decide invertir $12,000, en lugar de $11,000, en el desarrollo y la promoción del

nuevo producto, emplear el multiplicador de Lagrange para estimar ¿de qué manera afectará este cambio la máxima utilidad?

Ahora tenemos 1k , entonces:

57.234

)1(100081

100000

)(1000)5(

100000

)(

2

M

M

kx

M

kM

Es decir, si el fabricante decide invertir $1000 más en el desarrollo y la promoción, su utilidad Máxima se incrementará en $234.57


1. La función de producción para un cierto fabricante es yxyxyxf 24),(

a) Suponga que la máx ima inv ersión posible en trabajo y capital es de $2000 y que las unidades " x " de

trabajo y " y " de capital cuestan, respectivamente $20 y $4. Calcular el nivel de producción máx imo

para ese fabricante.

b) Estime en cuánto varía la producción máxima si se tuv iese para invertir $2100 en lugar de los $2000.

2. La función de producción de una empresa es 22 5.13800),( KLLKP , en donde L y K

representan el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $250 y cada unidad de capital cuesta $50 y la empresa dispone de $6750 para gastar en producción.

a) Determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a fin de obtener una producción máxima.

b) Determine el incremento en la producción máxima si la empresa destinara $6755 a la producción.

3. Cuando se inv ierten L unidades de trabajo y K unidades de capital, la producción Q de un fabricante está

dada por la función 54

51

5 KLQ , cada unidad de trabajo cuesta $11 y cada unidad de capital $33.

a) Si se v an a gastar exactamente $11880 en trabajo y capital, determine las unidades de trabajo y de capital que deben inv ertirse para maximizar la producción.

b) Si se pudiera gastar $12500 en vez de los $11880, estime en cuanto variará la producción máxima.

4. La función de producción de una empresa es 41

43

80, KLKLP , en donde L y K representan el

número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60 y cada unidad de capital cuesta $200 y la empresa dispone de $40,000 destinados a producción.

a) Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a fin de obtener una producción máxima.

b) Demuestre que cuando la mano de obra y el capital están en sus niveles máx imos, la razón de sus productividades marginales es igual a la razón de sus costos unitarios.

c) En este nivel máx imo de producción, determine el incremento en la producción si se dispone de $1

adicionales destinados a producción. Pruebe que es aprox imadamente igual al multiplicador de Lagrange.


39

2.2.3 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE 3 VARIABLES SUJETA A UNA RESTRICCIÓN

Suponga que se desea optimizar la función de tres

variable f , dos veces diferenciable, sujeta a la

restricción kzyxg ),,( .


)),,(),,(),,,( kzyxgzyxfzyxL

Suponga que se obtiene el Punto Crítico ,,, 000 zyx

resolviendo el sistema

0

0

0

0

x

y

z

L

L

L

L

o el sistema

zz

yy

xx

gf

gf

gf

kyxg ),(


,,, 000

0

zyxzzzyzxz

yzyyyxy

xzxyxxx

zyx

LLLg

LLLg

LLLg

ggg

H

Sean

yyyxy

xyxxx

yx

LLg

LLg

gg

H

0

3 y HH 4

Entonces

1. Si 0043 HH entonces en ),,( 000 zyx la

función f tiene un Máximo.

2. Si 0043 HH entonces en ),,( 000 zyx la

función f tiene un Mínimo.

Ejemplo

Encuentre los extremos de zyxzyxf 953),,( sujeta a que 25xyz .

SOLUCIÓN:

La función Langragiana es: )25(53),,,( xyzzyxzyxL

Para el punto crítico obtenemos:

)(0)(90

)(0)(50

)(0)(30

250

zxyL

yxzL

xyzL

xyzL

z

y

x

Multipl icando por yx, y z respectivamente las tres últimas ecuaciones, y despejando, resulta:


40

zyx

xyzy

xyzz

xyzx

953

5

9

3

39

3

5

3

xz

xz

xy

Reemplazando en la restricción:

5

5

2535

3

33

x

x

xxx

De donde :

3

5

3

z

y

Por lo tanto hay un solo punto crítico: 35,3,5

Para este caso 5

332

y

y el Hessiano Orlado sería:

0315

301

105

1550

0

0

0

0

59

325

59

325

5

33

535

z

yx

xyxy

xzxz

yzyz

xyxzyz

H

De aquí tenemos:

01

105

50

325

325

3H

Los determinantes sería: 03

2503 H y 06754 HH

Por tanto en 3

5,3,5 la función tiene un mínimo.


1. Determine el v alor máximo o mínimo de la función 222 32),,( zyxzyxf si

49432 zyx . Emplee el Hessiano Orlado.

2. Determine el v alor máx imo o mínimo de la función zxyzyxzyxf 222 2),,( si

35 zyx . Emplee el Hessiano Orlado.

3. Determine el valor máximo de xyzzyxf ),,( si 6 zyx . Emplee el Hessiano Orlado.

4. Encuentre el mínimo para 222),,( zyxzyxf siempre que 1 zyx


41

2.2.4 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE n VARIABLES SUJETA A UNA RESTRICCIÓN

Para el caso de funciones de n variables tenemos:

Sea la Función Objetivo ),,,,( 321 nxxxxfw sujeta a

la restricción kxxxxg n ),,,,( 321 .


kxxxxgxxxxfxxxxL nnn ),,,,(),,,,(),,,,,( 321321321

Suponga que se obtiene el Punto Crítico

),,,,,( 0030201 nxxxx resolviendo el sistema:

nnn xxx

xxx

xxx

xxx

gfL

gfL

gfL

gfL

kxxxgL

0

0

0

0

),,,,(0

333

222

111

321


),,,,,(321

2232221

1131211

0030201

2

1

3210

nn

n

xxxxnnnnnx

nx

nx

xxxx

LLLLg

LLLLg

LLLLg

gggg

H

Sea

2221

12113

2

1

210

LLg

LLg

gg

H

x

x

xx

,

333231

232221

1312114

3

2

1

3210

LLLg

LLLg

LLLg

ggg

H

x

x

x

xxx

,…, HH n

Entonces:

1. Si 0)1(000543

nn HHHH

entonces en ),,,,( 0030201 nxxxx la función tiene un

Máximo.

2. Si 0000543

nHHHH (todos

negativos) entonces en ),,,,( 0030201 nxxxx la función

tiene un Mínimo.


42

2.2.5 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE 3 VARIABLES

SUJETA A DOS RESTRICCIONES.

Suponga que se desea optimizar la Función

Objetivo ),,( zyxfw sujeta a que

2

1

),,(

),,(

kzyxh

kzyxg.

Defínase la función Langragiana:

21 ),,(),,(),,(),,,,( kzyxhkzyxgzyxfzyxL

Entonces el máximo o el mínimo de la función se

produce en el Punto Crítico ),,,,( 000 zyx que se

obtiene al resolver el sistema:

zzzz

yyyy

xxxx

hgfL

hgfL

hgfL

kzyxhL

kzyxgL

0

0

0

),,(0

),,(0

2

1

Ejemplo

Encuentre los puntos críticos de yzxyzyxf ),,( sujeta a que 822 yx y

8yz

SOLUCIÓN: En este caso la función Langragiana es:

)8()8(),,,,(

),,(),,(),,(),,,,(

22

21

yzyxyzxyzyxuL

kzyxhkzyxgzyxfzyxuL

Para los puntos críticos tenemos:

yy

zyzx

xy

yz

yx

hgfL

hgfL

hgfL

kzyxhL

kzyxgL

zzzz

yyyy

xxxx

0

2

02

8

8

0

0

0

),,(0

),,(022

2

1

De la última ecuación 1 .

De la penúltima ecuación

y

xyx

zyzx

22

12

De la antepenúltima ecuación: x

yxy

22

Igualando se obtiene 22

22

yx

x

y

y

x


43

Reemplazando en la primera ecuación:

2

82

8

8

2

22

22

x

x

xx

yx

Por tanto 22

22

yx

yx y como

yz

8 resultan los siguientes puntos críticos: )4,2,2( ,

)4,2,2( , )4,2,2( y )4,2,2(


1. Encuentre los puntos críticos de 22 2),,( zyxzyxf sujeta a que 02 yx y a que

0 zy .

2. Encuentre los puntos críticos de 222),,( zyxzyxf sujeta a que 1 zyx y a que

1 zyx .

3. Encuentre los puntos críticos de xyzzyxf ),,( sujeta a que 12 zyx y a que 0 zyx .

4. Encuentre los puntos críticos de 222),,( zyxzyxf sujeta a que 42 zx y a que

8 yx .

Misceláneos

1. Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e y galones, respectiv amente.

Suponga que el precio de la leche entera es xxp 520)( , y el de la leche descremada es

yyq 24)( . Suponga que 42),( xyyxC es la función de costos conjuntos de los productos.

¿Cuáles deberían ser x e y para maximizar las utilidades?

2. Un fabricante planea v ender un nuevo producto al precio de 150$ por unidad y estima que si se gastan x

miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores comprarán

aprox imadamente 4

160

2

320

x

x

y

y unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto

son 50$ por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuánto en promoción para generar la may or utilidad posible en la venta de este producto?

3. Un consumidor tiene 200$ para gastar en dos artículos, el primero de los cuales cuesta 2$ por unidad y

el segundo 5$ por unidad. Suponga que la utilidad obtenida por el consumidor de x unidades del primer

artículo e y unidades del segundo es 75.025.0100),( yxyxU .

a) ¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar las utilidades?

b) Calcule la utilidad marginal del dinero e interprete el resultado en términos económicos.

4. Una empresa emplea dos tipos de materia prima, A y B en la elaboración de su producto. Usando x

UNIDADES de A e y UNIDADES de B , la empresa puede elaborar T UNIDADES de su producto, en

donde:

22 54324070),( yxxyyxyxT

a) ¿Cuántas unidades de su materia prima debería utilizar la empresa a fin de MAXIMIZAR su producción?

b) Si le cuesta a la empresa $ 5 por cada unidad de A y $ 7 por cada unidad de B y la empresa puede vender todo lo que produce a $ 10 por unidad. ¿Qué cantidad de A y B MAXIMIZARÁN la utilidad de la empresa?


44

c) Si los costos de la materia prima son los mismos de la parte b) y si la empresa dispone de $ 250 para materia prima ¿Qué cantidades MAXIMIZARÍAN la producción de la empresa?

d) Si lo que se dispone incrementa en $ 3 ¿cómo CAMBIA la producción?

5. Las funciones de COSTO MARGINAL y de INGRESO MARGINAL de una empresa son:

2)5(5)(́ xxC y xxR 437)(́ respectiv amente.

En donde " x " denota el número de unidades producidas. Los costos fijos son de 25.

a) Encuentre el nivel de producción que MAXIMIZARÁ las utilidades de la empresa.

b) Calcular la UTILIDAD TOTAL de la empresa en este nivel de producción.

c) Determine la UTILIDAD si el nivel de producción se INCREMENTA EN 2 UNIDADES más allá del nivel de utilidad máximo.

6. Suponga que un monopolista está practicando discriminación del precio en la venta de un producto cobrando

diferentes precios en dos mercados separados. En el mercado A la función de demanda es:

AA qp 100 , y en B es: BB qp 84 ; donde Aq y Bq son las cantidades

vendidas por semana en A y en B y Ap y Bp son los precios respectiv os por unidad. Si la función

de costo del monopolista es: )(4600 BA qqc . Entonces:

a) ¿Cuánto debe venderse en cada mercado para maximizar la utilidad ?

b) ¿Qué precios de v enta dan la utilidad máxima?

c) Encuentre la utilidad máxima .

7. Determine el valor mínimo de la función 222),,( zyxzyxf si 6 zyx . Emplee el

Hessiano Orlado.

8. Encuentre los puntos críticos de xyzzyxf ),,( sujeta a que 32 zyx y a que

0 zyx .

Documents

61562261 Moises Villena Munoz Cap 2 Optimizacion de Varias Variables