58-1 Cosmologa relativista I Las ecuaciones de campo de la Relatividad General no slo sirven para predecir y explicar las trayectorias de los planetas alrededor del Sol y la existencia de los agujeros negros, sirven tambin para intentar abarcar algo mucho ms ambicioso: el origen y el destino final del Universo.

Las ecuaciones de campo originales atribuan una curvatura en el espacio-tiempo a la presencia cercana de masa-energa, y en notacin tensorial simplificada esto se escribe simplemente como G = T. Si partimos de dichas ecuaciones, no tardamos en encontrar que si tales ecuaciones son ciertas entonces describen un Universo dinmico.

Einstein no era partidario de la idea de un Universo dinmico, l supona la existencia de un Universo esttico. Y puesto que sus ecuaciones de campo no acomodaban tal posibilidad, para adaptar sus ecuaciones de campo al concepto de un Universo esttico introdujo en las mismas una constante, la constante cosmolgica, denotada como . De este modo, las ecuaciones originalesG = T

se convertan enG + = T

Pero la suposicin de un Universo esttico fue desmoronada tras aos de investigacin por el astrnomo norteamericano Edwin Hubble, el cual public en 1929 un anlisis de la velocidad radial de las nebulosas cuya distancia a la Tierra haba calculado, anlisis en el que hablaba acerca de las velocidades de las nebulosas con respecto a la tierra. Aunque encontr que algunas nebulosas extragalcticas tenan espectros que indicaban que se estaban moviendo hacia la Tierra, la gran mayora de las nebulosas estudiadas por l mostraba corrimientos hacia el rojo (ocasionadas por el efecto Doppler) que solo podan explicarse asumiendo que dichas nebulosas se estaban alejando. Ms sorprendente an fue su descubrimiento de que exista una relacin directa entre la distancia de una nebulosa hacia la Tierra y su velocidad de retroceso con la cual se estaba alejando de la Tierra. Esto lo conocemos en la actualidad como la ley de Hubble, una ley de cosmologa fsica que establece que el corrimiento hacia el rojo de una galaxia es proporcional a la distancia a la que sta se encuentra de la Tierra. Hubble concluy que la nica explicacin consistente con los corrimientos hacia el rojo registrados era que, dejando aparte a un grupo local de galaxias cercanas, todas las nebulosas extragalcticas se estaban alejando de la Tierra y que, cuanto ms lejos se encontraban, ms rpidamente se alejaban. Esto slo tena sentido si el propio Universo, incluido el espacio entre galaxias, se estaba expandiendo. La ley de Hubble es considerada como la primera evidencia observacional que apoya uno de los descubrimientos ms sorprendentes de nuestra era: la expansin del Universo. Al enterarse de los resultados publicados por Hubble, Einstein se retract arrepentido de haber introducido artificialmente en sus ecuaciones de campo la constante cosmolgica , llamndola el mayor error de mi carrera, tras lo cual hizo un famoso viaje a Monte Wilson, en donde trabajaba Edwin Hubble en su observatorio astronmico, para agradecerle a Hubble que le proporcionara las bases observacionales de la cosmologa moderna.

Sin embargo, siete aos antes de que Hubble anunciara la relacin velocidad-distancia, en 1922-1924 un meteorlogo sovitico que se convirti en Profesor de Matemticas en la Universidad de Leningrado, Alexander Friedman, encontr las primeras soluciones dinmicas a las ecuaciones originales de Einstein sin inclur la constante cosmolgica . Desafortunadamente sus trabajos permanecieron ignorados en aqul entonces pese a que fueron publicados en un medio de comunicacin de amplio prestigio y pese a que el mismo Einstein estaba al tanto de los trabajos de Friedman. Unicamente hasta que Georges Lematre, conocido como el padre de la gran explosin (big-bang) redescubri independientemente por cuenta propia las ecuaciones de Friedman la cosmologa moderna logr establecer firmemente sus races sobre un andamiaje matemtico. Desafortunadamente (por segunda ocasin) los trabajos de Lematre tambin permanecieron ampliamente ignorados hasta que el prestigioso astrnomo Arthur Eddington seal la importancia de los mismos en 1930. (Esto nos debe poner a meditar en la posibilidad de que en estos precisos momentos hay trabajos cientficos ya publicados cuya importancia desconocemos por no haber alguien importante que los saque de la obscuridad.) Las contribuciones posteriores a estos trabajos que fundaron la cosmologa moderna fueron tambin de naturaleza matemtica. Los matemticos Howard P. Robertson y Arthur Walker demostraron que las soluciones encontradas por Friedman eran de hecho las soluciones ms generales posibles que se podan encontrar a las ecuaciones de campo de Einstein, siempre y cuando se partiera del supuesto de que el Universo es espacialmente homogneo e isotrpico. La suposicin de un Universo homogneo debe ser tomada con un poco de f, ya que supone que podemos ir subdividiendo el Universo en regiones suficientemente grandes y del mismo tamao encontrando para cada regin ms o menos (aproximadamente) la misma cantidad de estrellas y galaxias y agujeros negros y todo lo dems que pueda estar repartido en el Universo, o sea, una densidad de cuerpos celestes que no vara mucho de una regin a otra:

Y en lo que respecta a la isotropa, esto supone que el espacio-tiempo del Universo tiene el mismo comportamiento hacia cualquier direccin a donde apuntemos con nuestros telescopios, ya que de no ser as ello tendra que verse reflejado necesariamente en la mtrica.

Robertson y Walker demostraron adems que el espacio-tiempo cuatri-dimensional poda ser descompuesto en un espacio tri-dimensional y un mismo tiempo comn a todos los observadores que se hallasen en movimiento conjunto. El fruto final de estos trabajos combinados deriv en lo que hoy se considera el punto de partida convencional para el estudio de la cosmologa relativista, la mtrica de Friedman-Lematre-Robertson-Walker o modelo FLRW, la cual es una solucin exacta a las ecuaciones de campo de Einstein y partiendo de una suposicin de homogeneidad e isotropa del Universo es capaz de describir un universo en expansin o en contraccin:

En esta mtrica, k es un parmetro que mide la curvatura, y a(t) es un factor de escala que es explcitamente dependiente del tiempo.

Si el Universo est en expansin constante, como parecen indicarlo las mediciones astronmicas que se han estado llevando a cabo desde los tiempos de Edwin Hubble, si el Universo empez con una explosin estruendosa a partir de un punto infinitesimalmente pequeo dentro del cual haba una cantidad infinitamente grande de masa-energa as como de espacio-tiempo, una duda natural que puede surgir en una mente inquisitiva es la siguiente: Cul es el centro de la explosin?

Puesto que nosotros, desde la Tierra, vemos a travs de nuestros telescopios que en su conjunto todas las estrellas parecen estarse alejando de nosotros por donde quiera que miremos, y considerndonos adems no por cuestiones de carcter cientfico sino por cuestiones de carcter religioso como el centro del Universo, resulta tentador suponer que nosotros ocupamos actualmente el centro de la explosin inicial, y si no estamos en el centro de la explosin entonces debemos estar muy cerca de l. Pero estas son ilusiones que se van cayendo al examinar el asunto ms a fondo. En primer lugar, el concepto de que la Tierra (y con ella el hombre) es el centro del Universo, la teora geocntrica, se vino abajo desde los tiempos de Coprnico y de Galileo cuando se dedujo que no es el Sol el que est girando alrededor de nosotros sino que somos nosotros los que estamos girando alrededor de l. Este concepto sumado al hecho de que nosotros no somos el nico sistema planetario del Universo as como nuestra galaxia tampoco es la nica galaxia del Universo deben ser razn ms que suficiente para quitarnos de encima la ilusin vanidosa y egosta de que toda la Creacin gira alrededor de nosotros.

Sin embargo, queda el asunto indiscutible de que todas las dems estrellas y galaxias parecen estarse alejando de nosotros como si estuviramos precisamente en el centro de los cascos de expansin. El principal obstculo en tratar de aferrarnos a tal suposicin es que est basada en un concepto tri-dimensional del Universo cuando el Universo en que vivimos es un Universo cuatri-dimensional. Y en un Universo cuatri-dimensional, relativista, cualquier planeta, cualquier sistema solar, cualquier estrella, cualquier galaxia, se puede considerar como el centro de la explosin, no hay observadores privilegiados ni siquiera en ste asunto. Esto lo podemos visualizar mejor considerando a todos los astros del cosmos colocados sobre la superficie de una 2-esfera que se ha ido inflando con el paso del tiempo:

del mismo modo en que pudiramos pintar sobre la superficie de un globo de hule varios puntitos viendo lo que sucede al ir inflando el globo:

Si en cada uno de los puntos que hemos pintado sobre la superficie del globo inflable ponemos una hormiga, o mejor an, un conglomerado de pequeos seres inteligentes que viven confinados por siempre a las dos dimensiones que ellos pueden trazar sobre la superficie del globo con las cuales efectan sus mediciones, entonces cualquiera de ellos al ver a los dems puntos alejarse a la misma velocidad concluir errneamente ser el centro privilegiado de la explosin, cuando en realidad nosotros que somos capaces de ver por fuera lo que est sucediendo nos damos cuenta de que no existe sobre la superficie del globo ningn centro privilegiado de la explosin. Del mismo modo, nosotros mismos no podemos apuntar hacia alguna parte del Universo diciendo all es donde comenz todo porque no existe un lugar especfico al cual se le pueda sealar como el centro de la explosin. En todo caso, todo lo que hay en este Universo puede ser considerado como el centro de la explosin del universo inflacionario.

Utilizando una proyeccin de superficie rectangular plana en lugar de una 2-superficie esfrica, podemos visualizar la evolucin del Universo entero de la siguiente manera:

La solucin ampliada encontrada por los matemticos Robertson y Walker a las ecuaciones de campo de Einstein aplicadas al Universo a gran escala condujo a la consideracin del tipo de geometra espacial (hablando en cuatro dimensiones) que pueda tener el Universo, segn la cantidad de materia o energa que contenga as como la distribucin de la misma. Lo curioso es que la Relatividad General permite como posibilidad cualquiera de las tres geometras que son posibles de segn las matemticas (la geometra Euclideana convencional, la geometra no-Euclideana elptica y la geometra no-Euclideana hiperblica), de acuerdo con el valor que posea un parmetro crucial conocido como 0 Las dos soluciones encontradas por Friedman permiten un espacio esfrico de curvatura positiva constante y un espacio hiperblico de curvatura negativa constante. A estas dos soluciones se aadi una tercera solucin encontrada por Robertson y Walker, que corresponde a la de un espacio plano de curvatura cero. En un espacio esfrico de curvatura positiva dos rayos paralelos de luz lser lanzados sobre un mismo plano van a terminar encontrndose tarde o temprano sin importar la direccin en la cual est situado el plano; este es el caso para el cual el parmetro 0 toma un valor mayor que la unidad. En un espacio hiperblico de curvatura negativa dos rayos paralelos de luz lser no slo no se van a encontrar, ni siquiera permanecern paralelos; este es el caso para el cual el parmetro 0 toma un valor menor que la unidad. Y en un espacio plano de curvatura cero, dos rayos paralelos de luz lser permanecern paralelos por toda la Eternidad sin separarse ni acercarse jams; este es el caso para el cual el parmetro 0 toma el valor mayor de la unidad ( 0 = 1). La siguiente figura ilustra las tres posibilidades:

De nuestras suposiciones de la homogeneidad e isotropa del Universo, deducimos que la estructura espacial del Universo debe ser la de una esfera 3-dimensional, la de un hiperboloide 3-dimensional, o la de un 3-espacio Euclideano plano. Para completar la especificacin de la geometra espacio-tiempo del Universo, tenemos que determinar el factor de escala a (posiblemente dependiente del tiempo, como lo propone la mtrica Friedman-Lematre-Robertson-Walker al escribir dicho factor de escala como a(t) en la expresin de la mtrica) que fija la escala de distancia en cada una de las superficies espaciales de homogeneidad e isotropa. En el caso de la esfera y del hiperboloide, el factor de escala a tambin determina la magnitud de la curvatura espacial. En cada superficie espacial de homogeneidad, la distancia entre cada par de galaxias es proporcional al factor de escala a. Si a tomara el mismo valor en cada superficie, las distancias entre las galaxias no cambiaran con el tiempo. Por otro lado, si a fuera aumentando de valor con el tiempo, las distancias entre las galaxias aumentaran y las galaxias retrocederan una con respecto a la otra a una velocidad proporcional a la distancia entre ellas. Y si a disminuyera con el tiempo, las galaxias se estaran acercando la una a la otra de modo similar. Es extraordinario el hecho de que este movimiento de acercamiento o alejamiento entre las galaxias es atribuble a la expansin o a la contraccin del espacio que hay entre ellas.

Si metemos en el panorama a las ecuaciones de campo de Einstein, la curvatura del espacio-tiempo del Universo depende nicamente del factor de escala a y de la naturaleza de las superficies de homogeneidad e isotropa, cantidades que a su vez dependen de la densidad y de la presin P de la materia-energa que hay en el Universo. Para escribir explcitamente las ecuaciones que describen al Universo, tenemos que identificar cada superficie de homogeneidad e isotropa en el Universo mediante el tiempo t medido con un reloj en nuestra galaxia (o cualquier otra galaxia); esto es, identificamos cada superficie de acuerdo con la lectura en nuestro reloj cuando la lnea del mundo de nuestra galaxia (como se le representara en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski) atraviesa dicha superficie. Si se hace esto, las ecuaciones de campo de la Relatividad General nos producen el siguiente par de ecuaciones:

En estas ecuaciones, da/dt representa la razn del cambio del factor de escala a con respecto al tiempo, o sea la razn a la cual se est llevando a cabo la expansin o la contraccin de las secciones espaciales del Universo, da/dt representa la rapidez a la cual se est llevando a cabo la razn del cambio del factor de escala con respecto al tiempo, o sea la aceleracin de la expansin, con G y c denotando a la constante de gravitacin universal G y la velocidad de la luz. Por ltimo, k es un nmero que toma el valor de cero para el 3-espacio Euclideano plano (0 = 1 en el diagrama de arriba)), el valor de +1 para la 3-esfera (0 mayor que 1 en el diagrama de arriba), y el valor de -1 para el hiperboloide 3-dimensional (0 menor que 1 en el diagrama de arriba).

Las dos ecuaciones puestas arriba nos deparan una sorpresa. En las representaciones grficas dadas a los tres tipos de Universo, sera natural suponer que cada una de ellas representa a un Universo que permanece constante manteniendo el mismo aspecto con el correr del tiempo, de modo tal que la estructura a gran escala del Universo siempre ha sido en el ayer lo que es hoy y lo que ser maana. Pero estas ecuaciones nos dicen que tal cosa es imposible! Si hay materia-energa presente en el Universo, entonces el lado derecho de la primera ecuacin necesariamente debe ser positivo, puesto que la densidad de la materia-energa siempre es positiva y la presin P no puede tomar valores negativos. Entonces la aceleracin de la expansin ( da/dt en el lado izquierdo de la primera ecuacin) no puede ser cero (y de hecho debe tomar un valor negativo). Esto quiere decir que, exceptuando el breve instante de tiempo en el que la expansin se detiene y se convierte en una contraccin, el Universo siempre debe estarse expandiendo o contrayendo. La nocin de un Universo esttico es incompatible con las ecuaciones de campo de la Relatividad General, el Universo necesariamente tiene que ser un Universo dinmico. Esto fue precisamente lo que llev a Einstein, quien se senta incmodo con la posibilidad de un Universo dinmico, a injertar en sus ecuaciones de campo la famosa constante cosmolgica que tiempo despus llam el mayor error de mi carrera al confirmarle Edwin Hubble mediante las observaciones astronmicas recabadas por l que efectivamente el Universo era un Universo dinmico que se estaba expandiendo. Si Einstein hubiese hecho lo mismo que lo que hizo desde un principio cuando present al mundo su Teora Especial de la Relatividad, aferrndose a la validez total de los dos postulados bsicos de dicha teora pese a que de inmediato condujeron a aparentes paradojas y efectos tan bizarros como la dilatacin del tiempo y la contraccin de longitud, Einstein habra hecho lo que indudablemente podra haber sido el mayor descubrimiento terico de su vida, el anuncio de que el Universo es dinmico y no esttico. Al ser confrontado por los datos experimentales, Einstein no tard en darse cuenta de la magnitud de su yerro. Pero el error cometido por Einstein fue de hecho ms lamentable porque al aferrarse a su nocin de un Universo esttico l mismo pas por alto otro argumento formulado antes del advenimiento de la Relatividad General que por s solo hubiera bastado para buscar otros argumentos de ndole terica -como la Relatividad General- para desechar la creencia en un Universo esttico: la paradoja de Olbers, enunciada por el astrnomo Heinrich Olbers que public un artculo en 1823 planteando el problema enunciado de una manera muy sencilla:Por qu es obscuro el cielo en la noche?

La paradoja de Olbers (el trmino paradoja de Olbers fue popularizado por el cosmlogo Hermann Bondi en los aos cincuenta en honor de Olbers) slo constituye un verdadero problema en un Universo que es eterno tanto en el futuro como en el pasado, esttico, infinitamente grande y que no cambia con el tiempo, porque en un Universo as uno debe encontrar una estrella en cualquier direccin del cielo hacia donde uno apunte su vista, de la misma manera que en un bosque suficientemente grande uno debe encontrar el tronco de un rbol en la lnea de visin en cualquier direccin en que se le ocurra mirar:

El problema se puede plantear de una manera un poco ms formal suponiendo un Universo eterno e infinitamente grande y esttico que contenga una densidad de estrellas ms o menos constante (un Universo homogneo). Aplicando una ley del inverso del cuadrado de la distancia, en una superficie esfrica centrada en un observador a una distancia 2r del observador dicho observador debe poder encontrar exactamente cuatro veces ms estrellas que en una distancia situada a una distancia r del mismo:

Pero a la vez el flujo de luz recibido de una estrella situada a una distancia 2r debe ser exactamente cuatro veces menor, por lo que la cantidad de luz recibida tanto de la esfera situada a una distancia r como de la esfera situada a una distancia 2r debe ser exactamente la misma. Si vamos sumando las contribuciones de todas las esferas situadas a cualquier distancia del observador, obtenemos una cantidad infinita de luz recibida por el observador, puesto que la cantidad de esferas posibles es infinita en un Universo infinito. Esto, desde luego, no concuerda con la realidad. Para reducir la cantidad de luz que recibe el observador, se puede intentar eliminar la luz interceptada por los discos estelares que se encuentran ms cerca del observador. Pero an habiendo hecho esto, el cielo debera ser al menos tan brillante como la superficie solar. El cielo no debera ser obscuro de noche. Y en esto radica precisamente la paradoja.

Aunque la paradoja es atribuda al astrnomo Olbers, la interrogante se remonta a filsofos y pensadores anteriores a Olbers (1758 - 1840). Rompiendo con el esquema de Aristteles y Ptolomeo bajo el cual el Universo era finito y todas las estrellas estaban situadas en una misma esfera, en 1576 el ingls Thomas Digges introdujo el concepto del infinito en nuestra concepcin moderna del Universo, y al hacerlo el problema de explicar la obscuridad del cielo cay directamente en sus manos. Para darle una salida al problema, Digges argument que la obscuridad del cielo era debida a una disminucin de la cantidad de luz recibida desde las estrellas ms alejadas, argumento que se desecha como errneo en base a lo que se acaba de explicar arriba. Posteriormente, la paradoja fue estudiada por Kepler en 1610, quien parece haber sido el primero en darse cuenta del conflicto que hay al plantear la infinitud del Universo contrastando dicha infinitud con la obscuridad observada del cielo. La solucin dada por Kepler era que la obscuridad que hay entre las estrellas se deba a la existencia de un borde del Universo, en pocas palabras, un Universo finito. Un siglo ms tarde el astrnomo Edmund Halley volvi a investigar la paradoja retomando la explicacin errnea de Digges como solucin de la misma, leyendo dos artculos referentes a la paradoja ante la Royal Society en 1721 en la presencia del mismo Newton. Pero ni siquiera al mismo Newton se le ocurri que la solucin de la paradoja podra estar ubicada en otra posibilidad, la de un Universo con una edad finita. Considerando que la Iglesia tena ubicada la fecha de la creacin en el ao 4004 A.C., este dato implicaba que el tamao del Universo visible, tomando en cuenta la velocidad finita de la luz, tena que ser menos que unos 6000 aos-luz, lo suficientemente pequeo para eliminar la paradoja. El que Newton y sus contemporneos no dieran importancia alguna a tal posibilidad nos confirma la poca fe que tenan en la fecha oficial de la Creacin dada por la Iglesia.

La primera persona en plantear la paradoja en una forma en la que Olbers lo hara posteriormente fue el astrnomo Jean-Philippe Loys de Chsaux, quien la solucion introduciendo la hiptesis de que la luz era absorbida por el espacio vaco, explicacin que fue considerada tambin por el mismo Olbers que supuso la existencia de algn tipo de materia situada entre las estrellas capaz de absorber la luz. Sin embargo Olbers, quien obviamente no era un experto en el rea de la termodinmica, no se di cuenta de que la materia interestelar propuesta por l se calentara a causa de la luz absorbida y terminara radiando tanta energa como la que estaba recibiendo, con lo cual el problema segua igual que antes.

La primera explicacin en acercarse a la realidad provino no de algn astrnomo profesional sino de un escritor norteamericano, Edgar Allan Poe, el cual era tambin un cientfico amateur, y el cual public en febrero de 1848 un ensayo titulado Eureka en el que di la siguiente explicacin a los vacos obscuros entre las estrellas:Podramos comprender los vacos que nuestros telescopios encuentran en innumerables direcciones suponiendo que la distancia hasta el fondo invisible es tan inmensa que ningn rayo de luz procedente de all ha sido todava capaz de alcanzarnos.Esta propuesta en realidad equivala a dar al traste con la suposicin de que el Universo ha existido eternamente en el pasado, lo cual a su vez equivala a dar al traste con la nocin de un Universo esttico e inmutable, y lo cual equivala a dar credibilidad a la propuesta de la misma Biblia de que el Universo no ha existido por siempre en el pasado sino que fue de hecho el resultado de un acto de proporciones colosales.

Como suele ocurrir en muchos casos, la enorme trascendencia de la propuesta hecha por Edgar Allan Poe en su calidad de cientfico amateur, el cual muri antes de que se divulgara su argumento, pas desapercibida, pese a que la misma encerraba la clave para la resolucin total de la paradoja de Olbers, como tampoco hubo alguien que se percat de la trascendencia de la idea cuando en 1907 el cientfico irlands Fournier dAlbe escribi en un artculo:Si el mundo fue creado 100 mil aos atrs, entonces la luz de los cuerpos que estuvieran situados a ms de 100 mil aos luz no podra habernos alcanzado en el tiempo presente.Fournier dAlbe haba tomado la idea de Lord Kelvin, quien public dicha idea en un volumen de conferencias en 1904, siendo tambin ignorado hasta que Eduard Harrison, Profesor Emrito de Fsica y Astronoma en la Universidad de Massachusetts nacido en Inglaterra, rescatara estos antecedentes publicndolos en su libro Darkness at Night publicado en 1987. Resulta casi increble el comprobar que desde Newton hasta el mismo Einstein, pasando por los numerosos hombres de ciencia que estuvieron al tanto de la paradoja de Olbers, ninguno de ellos se diera cuenta cabal del hecho de que el cielo fuese tan obscuro se deba a que el Universo no era infinitamente viejo. Hoy en da, aunque la paradoja de Olbers ya no es ninguna paradoja, el hecho de contemplar un cielo nocturno en lugar de un cielo iluminado es una de las grandes evidencias a favor de que tiempo atrs hubo un Big Bang que di origen a la creacin del Universo en que vivimos.

Si en la mtrica Friedman-Lematre-Robertson-Walker el parmetro a va incrementando su valor con el tiempo, como corresponde a un Universo en expansin, entonces la distancia entre las galaxias va aumentando a la vez que se va creando espacio entre ellas, y en tal caso las galaxias del Universo se estarn alejando de nosotros a una velocidad v dada por la siguiente frmula conocida como la ley de Hubble:v = HR

en donde R es la distancia que nos separa de dicha galaxia y H es un parmetro definido por la frmula:

conocido como la constante de Hubble, aunque aqu la palabra constante es engaosa porque de hecho H es algo que vara con el tiempo, aunque lo hace a una razn tal que en la escala del tiempo humano la variacin es insignificante.

En la creencia de que, haciendo la analoga que corresponde al hecho de que el efecto de toda explosin va disminuyendo con la distancia y con el paso del tiempo, la expansin del Universo se est decelerando, todava hasta mediados de la dcada de los noventas se defina un parmetro de deceleracin de la siguiente manera:

que nos dice qu tanto se est decelerando la expansin del Universo (estrictamente hablando, la frmula tambin nos define qu tanto se est acelerando la expansin del Universo, aunque todava a fines del milenio anterior tal cosa no se consideraba posible). En trminos de los parmetros H y q, el par de ecuaciones dadas arriba toman la siguiente forma:

Gracias a los datos recabados por el telescopio espacial Hubble, hoy sabemos que la expansin del Universo no solo no est perdiendo vigor, sino que por el contrario, la expansin del Universo se est acelerando. Y para poder ajustar y explicar este descubrimiento dentro la Relatividad General, hay prominentes investigadores que han estado proponiendo agregar a las ecuaciones de campo de Einstein una constante cosmolgica !, la misma constante cosmolgica que en su tiempo Einstein se vi orillado a abandonar llamndola el mayor error de mi carrera. Lo cual nos puede servir como moraleja para demostrar que en la Ciencia no hay verdades que se puedan considerar intocables, slo hay teoras que en su momento pueden ser muy populares como en su momento lo fue la teora Newtoniana de la gravitacin universal, y que tiempo despus pueden terminar en un aparador exhibidas como piezas de museo.

La nocin de un Universo cerrado, finito, definido por el 3-espacio de una esfera (0 mayor que 1 en el diagrama de arriba), es lo que conlleva la posibilidad de que si empezamos a viajar estrictamente en lnea recta hacia cualquier direccin partiendo desde cualquier punto del Universo, despus de cierto tiempo eventualmente regresaremos por detrs al mismo punto desde donde partimos, el mismo punto desde el cual comenz nuestra travesa. Esto puede dar lugar a la especulacin clsica de que si el Universo es finito, entonces tenemos una paradoja porque un Universo que ocupa el volumen finito de una 3-esfera supuestamente debera tener algo afuera:

Sin embargo, esta concepcin es errada, porque la curvatura sobre la cual se puede encerrar el espacio-tiempo del Universo sobre s mismo corresponde a un espacio cuatri-dimensional, no es un espacio-tiempo tri-dimensional. Y nosotros estamos confinados a vivir dentro de este espacio cuatri-dimensional porque no contamos con los medios (ni con la teora fsica o matemtica) para poder salir fuera de este espacio cuatri-dimensional.

Para quienes estn interesados en obtener informacin adicional sobre las otras geometras de las cuales casi nunca ensean nada en las escuelas, las geometras no-Euclideanas, est colocado un trabajo en Espaol accesible bajo el siguiente enlace:

http://www.geometrias-no-euclideanas.blogspot.com