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TECSUP - PFR Matemtica Aplicada

119

Unidad VI

TTRRAANNSSFFOORRMMAADDAA DDEE LLAAPPLLAACCEE

1. CONCEPTOS BSICOS

Definicin:

Sea f(t) una funcin de t definida para t > 0. La Transformada de Laplace de f(t) se define como:

f(t)dte F(s) } f(t) { L st-

==

0

Notacin:

Cuando se indique con minsculas una funcin de t, como f(t), g(t), y(t), la transformada de Laplace de dicha funcin se denotara por la correspondiente letra mayscula, es decir, F(s), G(s), Y(s).

Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:

1. Suma y Resta: Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y

f2(t) respectivamente. Entonces:

(s)F(s)F } (t)f(t)f {L 2121 =

2. Multiplicacin por una constante: Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:

F(s)k } f(t)k {L =

3. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes y f1(t) y f2(t) son funciones cuyas

transformadas de Laplace son F1(s) y F2(s) respectivamente, entonces:

(s)F c(s)Fc} (t)L{fc(t)}L{f c } (t)fc(t)f {cL 221 12 2112 211 ==

4. Diferenciacin: Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el lmite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:

f(0) - F(s) st)f(-F(s) s dt

df(t)L

0t==

lim

Matemtica Aplicada TECSUP - PFR

120

En general, para las derivadas de orden superior de f(t):

)0(f-.......-(0)fs-f(0)s-F(s)sdt

f(t)dL 1)-(n(1)2-n1-nn

n

n=

5. Teorema del Valor Inicial: Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s),

entonces: F(s)s t)f(

s0t=

limlim si el lmite existe.

Ejemplo: Sea, f(t) = 1, calcular: L{f(t)} = F(S)

Por definicin: f(t)dte F(s) } f(t) { L st-

==

0

axax

0

st- ea

1e:recordar dt1eF(s)L{f(t)} ===

[ ] [ ] [ ] [ ]10s

1ee

s

1ee

s

1e

1F(s)L{f(t)} s0-s-0

st-st-0

st- =====

s

Si: f(t) = 1 s

1F(s)L{f(t)} ==


121

Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales

f(t) L {f(t)} = F(s)

1 k s

k s > 0

2 A t 2sA

s > 0

3 t n 1nsn!+

s > 0 n! = 1x2x3x

4 e a t a-s

1 s > a

5 t x e a t 2a)-(s1

s > a

6 sen at 22 asa

+ s > 0

7 cos at 22 ass

+ s > 0

8 sen (at+) 22 as cos a sen s

+

+ s > 0

9 cos (at+) 22 as sen a cos s

+

+ s > 0

10 e -a t sen wt 22 wa)(sw

++ s > 0

11 e -a t cos wt 22a)(sa)(s

w++

+ s > 0

12 sen h at 22 asa

s > |a|

13 cos h at 22 ass

s > |a|

14 d f / d t )f(0(s)s + F s > 0

15 tdtf )( s

)0(

s

(s) 1 ++

fF s > 0

16 f(t t1) (s)es1-t F

17 f1(t) + f2(t) (s)(s) 21 FF +

18 t1/2 s2s

1 s > 0

19 t -1/2 s

s > 0


122

Ejemplo 1: Hallar la Transformada de Laplace de: tettf = 22)(

Aplico Transformada de Laplace:

}{}{2}{}2{}2{ } )( { 222 ttt eLtLeLtLetLtfL ===

+=

=

+ 1

122

)1(

1!22} )( {

312 sssstfL

0)1(

44} )( {

3

3>

+

+= s

ss

sstfL

Ejemplo 2: Hallar la Transformada de Laplace de: )2( senh53 sen6)( tttf =

Transformada de Laplace:

)}2( senh{5}3 sen{6)}2( senh53 sen6{ } )( { tLtLttLtfL ==

+=

=

+ 4

25

9

36

2

25

3

36)}({

222222 sssstfL

2)4)(9(

1628)}({

22

2>

+

= s

ss

stfL

Ejemplo 3: Hallar la Transformada de Laplace de: 22 )1()( += ttf

Transformada de Laplace: }1{}{2}{}12{ } )( { 2424 LtLtLttLtfL ++=++=

sssssstfL

122

121!22

!4)}({

351214+=+=

++

0244

)}({ 5

24>

++= s

s

sstfL

Ejemplo 4: Hallar la Transformada de Laplace de: 2)3cos3 sen()( tttf =

Transformada de Laplace:

}3cos3cos3 sen23 sen{)3cos3 sen{( } )( { 22}2 ttttLttLtfL +==


123

22 6

61}6 sen{}1{

2

6cos1}6 sen{

2

6cos-1 } )( {

+==

++=

sstLL

tLtL

tLtfL

)36(

366)}({

2

2

+

+=

ss

sstfL

Ejemplo 5: Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f (t):

84

35cos

2

13)( 34 +++= ttetf t


} 84

35cos

2

13 { } )( { 34 +++= tteLtfL t (1)

Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada trmino, (1) se puede expresar como:

} 8 { } 4

3 { } 5cos

2

1 { }3 { } )( { 34 LtLtLeLtfL t +++=

} 8 { }{ 4

3}5{cos

2

1}{ 3} )( { 34 LtLtLeLtfL t +++= (2)

Ahora slo queda reemplazar cada trmino de (2) por su correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades:

sss

s

ssFtfL

8! 3

4

3

52

1

4

13 )(} )( {

422++

++

+==

por lo tanto:

( ) ssss

sF8

2

9

524s

2 )(

422+

+

++

+=

Ejemplo 6: Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f (t):

12 52cos34)( += etttf


} 52cos34 { } )( { 12 += ettLtfL (1)


124

Ya que la Transformada de Laplace de una suma y/o diferencia es igual a la suma y/o diferencia de las Transformadas de Laplace de cada trmino, (1) se puede expresar como:

} 5{}2cos3{}4 { } )( { 12 += eLtLtLtfL

} {5}2{cos3}{ 4} )( { 12 += eLtLtLtfL (2)

Ahora slo queda reemplazar cada trmino de (2) por su correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades:

++

+==

1

15

23

!24)(} )( {

223 ss

s

ssFtfL

1

5

4

38)(

23 ++

+

=

ss

s

ssF

2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Conceptos bsicos

Definicin:

Sea F(s) la Transformada de Laplace de una funcin f(t). La Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s) se denota:

L-1 { F(s) } = f(t)

Mtodo para hallar la antitransformada de Laplace:

Existen varios mtodos para determinar la antitransformada de Laplace; a continuacin se explicar el Mtodo de las Fracciones Parciales. Cualquier funcin racional de la forma P (s) / Q (s), donde: P (s) y Q (s) son polinomios en los cuales el grado de P (s) es menor que el de Q (s), puede escribirse como una suma de fracciones parciales de la forma:

rb)(as

A

+ donde: A es una constante y r = 1,2,3, ....

Al hallar las antitransformadas de cada fraccin parcial, se halla

)(

)(1sQsP

L


125

Ejemplo 1: Hallar

++

+

4

5

16

3

2

422

1

ss

s

sL

++

+

4

15

163

2

14

21

211

sL

s

sL

sL

++

+

221

2211

2

15

43

2

14

sL

s

sL

sL

tttf t 2 sen2

54cos3e4)( 2 +=

Ejemplo 2: Hallar

+

32

732

1

ss

sL

Como se ve, es de la forma

)(

)(1sQsP

L

Donde: P (s) = 3s + 7

Q (s) = s 2 - 2s 3, el grado de Q (s) > P (s).

El polinomio Q (s) se puede expresar como s 2 - 2s - 3 = (s + 1) (s 3). Entonces:

13)1)(3(

73

32

732 +

+

=+

+=

+

s

B

s

A

ss

s

ss

s

(1) Multiplicando por (s 3) (s + 1) se obtiene: 3s + 7 = A (s + 1) + B (s 3) = (A + B)s + A 3B (2) Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s a ambos lados de la ecuacin resultante (2), hallamos los valores de los coeficientes A y B: A + B = 3 A 3B = 7

Calculando, resulta: A = 4 y B = -1

Reemplazando en (1): 11

3

4

13)1)(3(

73

+

=

++

=

+

+

sss

B

s

A

ss

s

(3)


126

Para hallar la Antitransformada de Laplace, se busca en la Tabla de Transformadas de Laplace y se reemplazan los trminos:

+

=

+

=

+

+

1

1

3

14

1

1

3

4

)1)(3(

73 11111s

Ls

Ls

Ls

Lss

sL

t3t e4ef(t) =

Ejemplo 3: Hallar

+

)5(11ss

L

)5(

5)(

)5(

5

)5(

)5(

5)5(

1

+

++=

+

++=

+

++=

++=

+ ss

ABAs

ss

ABsAs

ss

BssA

s

B

s

A

ss

51

51

150

5)(105)(1 ==

==+

++=+++= BAABA

ABAssABAs

+

+=

+

++=

+

55151

)5(1

5)5(1 11

ssL

ssL

sB

sA

ss

+

=

+

+

51

511

51

55151 1111

sL

sL

sL

sL

)e1(51

e51

)1(51

)( 55 tttf ==

3. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Aplicacin de la Transformada de Laplace a las Ecuaciones Diferenciales

La Transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales. Si se quiere resolver una ecuacin diferencial de segundo orden:

)('" sea o )(2

2

tFyyytFydt

dy

dt

yd=++=++ (1)

Donde: y son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera y (0) = A e y '(0) = B (2) Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y usando (2), se obtiene una ecuacin algebraica para determinar L { y (t) } = Y(s).


127

La solucin requerida se obtiene al calcular la antitransformada de Laplace de Y(s).

Ejemplo 1: Resolver

1 (0) :para 08)(' sea o 08

)(

==+=+ fttfttdtfd

Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacin diferencial:

01

8)()(0}8{)}('{0}8)('{2

=

+=+=+

sofsstLtfLttfL F

Utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:

322

81)(

181)(0

181)(

sss

sss

sss =

==

+ FFF

Aplicando Antitransformada a cada trmino:

= 3

11 81L)}({Lss

sF

=

= 2

81)(1

L81

L)}({L2

3111 ttf

sssF

241)( ttf =

Ejemplo 2: Resolver 1 (0) :para 0)(2)(' ==+ ftftf

Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacin diferencial:

0)(2)()(0)}({2)}('{0)}(2)('{ =+=+=+ sofsstfLtfLtftfL FF Utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:

[ ]2

1)(012)(0)(21)(

+==+=+

sssssss FFFF


+=

2ss

1L)}({L 11 F

ttf 2e)( =


128

Ejemplo 3: Resolver y'' + y = t, con y (0) = 1, y'(0) = -2

Tomando la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuacin diferencial, y utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:

L { y '' } + L { y } = L { t }..ver anexo (a)

22

s

1(s)(0)y'sy(0)(s)s =+ YY

}

22

s

1(s)2)(s(1)(s)s =+ YY

[ ]

22

22

s

12)(s1s(s)

s

1(s)2s(s)s =+=++ YYY

[ ] 2)(ss

11s(s)

22 +=+Y

1s

2)(ss

1

(s)2

2

+

+=Y

1s

2

1s

s

1s

1

s

1(s)

2222 +

++

+=Y

1s3

1s

s

s

1(s)

222 +

++=Y


+

++=

1s

13

1s

s

s

1L(s)}{L

22211 Y

tttty sen 3cos)( += Anexo (a)

L { y'' }

L{ y } = Y(s) L{ y' } = s Y(s) y(0)

L{ z } = Z(s) L{ z' } = s Z(s)

z(0)

Y' = z L{ y' } = L{ z }

L{ y' } = Z(s) L{ z' } = s Z(s) z(0)

L{ ( y' )' } = s [L{ y' }] y '(0)

L{ y'' } = s [s Y(s) y(0)] y'(0)

L{ y' } s Y(s) y(0)

L{ y'' } s2 Y(s) s y(0) y'(0)

L{ y''' } s3 Y(s) s2 y(0) - s y'(0) y ''(0)

L{ yIV } s4 Y(s) s3 y(0) s2 y'(0) s y''(0)

y'''(0)


129

4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Circuitos Elctricos y Transformada de Laplace

PROBLEMA 1: En el circuito elctrico serie RL con R = 20 ohmios y L = 0,1 henrio se aplica en el instante t = 0 una tensin constante de 80 voltios. Hallar la intensidad de la corriente en el circuito aplicando el mtodo de la transformada de Laplace.

Donde: R = 20 ohmios

L = 0,1 henrio

E = 80 voltios

Paso 1. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff: aresistencibobinatotal VVV +=

Paso 2. Donde: RiVtdid

LV resisteniabobina

==

Paso 3. Sustituyendo: itdid

+= 20

1,080 Modelo matemtico del circuito.

Paso 4. Aplicando la transformada a toda la ecuacin:

}{20)](}{[1,080

soisss

II +=

Paso 5. Factorizando la transformada: }{2010

}{80s

sss

II

+

=

Paso 6. Resolviendo: ]200[)(800)(200)(800 22 sssssss +=+= III

Paso 7. Despejando la transformada: )200(

800)(

+=

sssI

Paso 8. Aplicando la transformada inversa a toda la ecuacin:

+=

)200(800

)( 1ss

Lti

Paso 9. Simplificando la expresin, en una suma de fracciones parciales:

)200(200)(

)200(200

)200()200(

200)200(800

+++

=+

++=

+++

=+

+=+ ss

ABAsss

BsAAsss

BssAs

BsA

ss

E

R

I

+-

L


130

Paso 10. Resolviendo se tiene:

==

==+

++=+4

4800200

0200)(8000

BA

ABA

ABAss

Paso 11. Sustituyendo stos valores

+

=

+

+= 20044

200)( 11

ssL

sB

sA

Lti

Paso 12. Obteniendo la transformada inversa mediante las frmulas:

)e1(4)( 200tti =

PROBLEMA 2: En el circuito elctrico serie RC, con resistencia R= 10 ohmios y condensador C = 50 F, la carga inicial del condensador es q (0) = 2 500 C. En el instante t = 0 se cierra el interruptor con lo cual se aplica al circuito una fuente de tensin constante de 100 voltios. Obtener la carga y la corriente para cualquier tiempo, aplicando el mtodo de la transformada de Laplace.


C = 50 faradios

E = 100 voltios

q (0) = 2 500 coulomb

Paso 1. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff: capacitoraresistencitotal VVV +=

Paso 2. Donde: Cq

VRiV capacitoresistenia ==

Paso 3. Sustituyendo: 61050

10100

+=q

i

Paso 4. Resolver primero para q (t): sustituir td

qdi

=

Paso 5. 61050

10100

+=

qtdqd Modelo matemtico del circuito.


}{1050

1)]0(}{[10

1006

qLqqLss

+=

E

R

C

I

+-


131

Paso 7. Reemplazando valor inicial: }{1050

1]10500 2}{[10

1006

6 qLqLss

+=

Paso 8. Factorizando la transformada: }{)50

1010(105,2

100 62 qLss

+=++

Paso 9. Despejando la transformada: )000 2(

1025,010}{

2

++

=

sss

qL

Paso 10. Aplicando la transformada inversa a toda la ecuacin:

++

=

)000 2(101025,0

)(2

1

sss

Ltq

Paso 11. Simplificando, en una suma de fracciones parciales:

)000 2()000 2(101025,0 2

++=

++

sB

sA

sss

Paso 12. Resolviendo se tiene: sBsAs ++=+ )2000(101025,0 2

AsBAs ++=+ 000 2)(101025,0 2

4001

2001

000 210)(1025,0 2 ===+= BAABA

Paso 13. Sustituyendo stos valores:

+

=

+

+=

++

=

000 21

40011

2001

000 24001

2001

)000 2(101025,0

)( 1112

1

sL

sL

ssL

sss

Ltq

Paso 14. Obteniendo la transformada inversa mediante las frmulas:

ttq

= 000 2e

4001

2001

)(

= ttq 000 2e

21

12001

)(

Clculo de la corriente:

=

== tt eti

tdqd

ti 000 2000 2 )000 2(21

02001

)(e21

12001

)(

tti = 000 2e5)(


132

PROBLEMA 3: En el circuito elctrico que se indica obtener la carga y la corriente para cualquier tiempo.

Si para: t = 0, tenemos q = 0, i = 0.


L = 1 henrio C = 1 x 10-2 faradios

E = 10 voltios

Paso 1. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff:

capacitoraresistencibobinatotal VVVV ++=

Paso 2. Donde: c

qVRiV

td

idLV capacitoresisteniabobina ===

Paso 3. Sustituyendo: qitd

id++= 10020

110

Paso 4. Resolver primero para q (t ): sustituir td

qdi

=

Paso 5. qtd

qd

td

qd

td

d++=

100

20

110

Paso 6. qtd

qd

td

qd++= 100

20

110

2

2

Modelo matemtico del circuito.


}{100}{20}{10 2 qLqLsqLss

++=

Paso 8. Factorizando la transformada: }{)10020(10 2 qLsss

++=

Paso 9. Despejando la transformada: )10020(

10}{

2 ++=

sssqL

E

R

C

I

+-

L


133

Paso 10. Aplicando transformada inversa:

+=

++=

21

21

)10(

10

)10020(

10)(

ssL

sssLtq

Paso 11. Simplificando la expresin, en una suma de fracciones parciales:

2)10()10()10(

102 +

++

+=+ s

C

s

B

s

A

ss

Paso 12. Resolviendo se tiene:

sCssBsA ++++= )10()10(10 2

sCsBsBAsAsA +++++= 101002010 22

ACBAsBAs +++++= 100)1020()(10 2

A = 0,1 ; B = - 0,1 ; C = - 1

Paso 13. Sustituyendo stos valores:

+

+

+

+=

+=

21

21

)10(

1)10(

1,01,0

)10(

10)(

sssL

ssLtq

Paso 14. Obteniendo la transformada inversa mediante las frmulas: tt ttq = 1010 ee1,01,0)(

Clculo de la corriente:

ttt t

tdqd

ti ++== 101010 ee10e)10(1,00

)(

ttti = 10e10)(


134

Las grficas correspondientes se presentan a continuacin. Grfica de la carga Grfica de la corriente

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