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EJERCICIOS DE PROGRAMACIN LINEAL MODELACIN, SOLUCIN E INTERPRETACIN

JEVA / PTI 1

INVESTIGACIN DE OPERACIONES

SISTEMA DE EJERCICIOS DE PROGRAMACIN LINEAL:

MODELACIN, SOLUCIN E INTERPRETACIN DE RESULTADOS.

JOS E. VZQUEZ ARVALO PROCESOS TECNOLGICOS E INDUSTRIALES ITESO


JEVA / PTI 2

PROBLEMAS TIPO "MEZCLA DE PRODUCTOS".

PROBLEMAS DE NIVEL BSICO. 1. Dijes. Un joyero puede disponer semanalmente de 800 gramos de oro, 2.4 kilogramos de plata y 14 kilogramos de cobre. Actualmente fabrica dos dijes que tienen gran demanda. Se llevan 10 gramos de oro en cualquier dije que fabrique, pero el dije 1 lleva tambin 40 gramos de plata y 150 de cobre mientras que el dije 2 requiere de 250 gramos de cobre y 20 de plata. Se tiene una utilidad total de $90 y $70 para el dije 1 y 2 respectivamente.

a. Haga una tabla con los datos del problema. b. Desarrolle un modelo que ayude a hacer un programa de produccin que maximice la utilidad total.

Tabla de Datos.

Dije

M a t e r i a l e s (gramos/dije)

Utilidad ($/dije) Oro Plata Cobre

1 2

10 10

40 20

150 250

90 70

Disponibilidad (gramos/semana)

800

2,400

14,000

Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Dije tipo "i" a fabricarse semanalmente. (d/s) Funcin Objetivo. Mx. Z = 90X1 + 70X2 $/s ($/d) (d/s) = $/s Restricciones. 1. Materiales.

Oro 10X1 + 10X2 800

Plata 40X1 + 20X2 2,400

Cobre 150X1 + 250X2 14,000 (g/d)( d/s) = g/s g/s

2. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 45.77143 X2 = 28.571|4 0ro (H1) = 57.1429 Mx. Z = 6,114.286 Interpretacin. Como los dijes son una variable discreta que solo se pueden fabricar en unidades enteras, se tienen dos posibles alternativas de fabricacin para la siguiente semana: fabricar 46 dijes 1 y 28 dijes 2 45 dijes 1 y 29 dijes 2.

Alternativa 1: si se fabrican 46 dijes 1 y 28 dijes 2, se tendr un sobrante de 60 gramos de oro y 100 gramos de cobre, con una utilidad total de $6,100.

Alternativa 2: fabricar 45 dijes 1 y 29 dijes 2, se tendrn sobrantes de 60 gramos de oro y 20 gramos de plata, con una utilidad total de $6,080.

La mejor decisin ser fabricar la alternativa 1 donde la restriccin dominante o cuello de botella es la disponibilidad de la plata.


JEVA / PTI 3

2. Productos de Moda. Una empresa fabrica tres productos de moda, que Mercadotecnia ha nombrado como producto 1, 2 y 3. Estos productos se fabrican a partir de tres ingredientes A, B y C. Los kilogramos de cada ingrediente que se requieren para fabricar un kilogramo de producto terminado se presentan en la siguiente tabla:

Tipo de Producto

Ingredientes (KgIng./kgProd. Terminado)

A B C

P1 P2 P3

4 3 2

7 9 2

8 7 12

La empresa dispone de 400, 800 y 1000 kilogramos de los ingredientes A, B y C respectivamente. Con las condiciones actuales del mercado, el margen de utilidad por kilogramo para el producto 1 es de $180, para el producto 2 es de $100 y de $120 para el producto 3. Modele el problema para determinar la cantidad de cada producto que debe fabricarse para maximizar las utilidades. Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Producto Terminado tipo "i" a fabricarse. (KgPT) Funcin Objetivo. Mx Z = 180X1 + 100 X2 + 120 X3 $ ($/Kgpt)Kgpt = $ Restricciones. 1. Ingredientes.

A 4X1 + 3X2 + 2X3 400

B 7X1 + 9X2 + 2X3 800

C 8X1 + 7X2 + 12X3 1000 (Kgi/Kgpt)Kgpt = Kgi Kgi

2. No negatividad. Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima.

X1 = 87.5 X3 = 25 Ingrediente B (H2) = 137.5 Mx. Z = 18,750 Interpretacin. Como los kilogramos son una variable continua que se pueden fabricar en cualquier valor fraccionario, el programa de produccin indica que se deben de fabricar 87.5 Kg del producto 1 y 25 Kg del producto 3 para as lograr la mxima utilidad de $18,750. Fabricando este programa, se tendr un sobrante de 137.5 Kg del ingrediente B considerando como restricciones dominantes la disponibilidad de los ingredientes A y C. 3. Paquetes de Botanas. Una empresa dedicada a la venta de botanas fabrica tres paquetes para su distribucin: el familiar, el estndar y el jumbo. El paquete familiar tiene 200 gramos de cacahuate salado, 150 gramos de cacahuate enchilado, 300 gramos de pepita y 150 gramos de pistache. El estndar tiene 150 gramos de cacahuate salado, 100 gramos de cacahuate enchilado, 200 gramos de pepita, 100 de pistache y 70 gramos de nuez de la india. Finalmente el jumbo tiene 400 gramos de cacahuate salado, 250 de cacahuate enchilado, 300 de pepita, 300 de pistache y 150 de nuez de la india. Las existencias que se tienen en la bodega son de 100 kilogramos de cacahuate salado, 80 de cacahuate enchilado, 80 de pepita, 65 de pistache y 40 de nuez de la india. El margen de utilidad de cada paquete familiar, estndar y jumbo es de $5, $7 y $10 respectivamente.


JEVA / PTI 4

a. Elabore una tabla donde resuma los datos del problema. b. Desarrolle un modelo para hacer un programa de produccin diario que indique la cantidad de paquetes que deben ser elaborados para maximizar la utilidad total.

Tabla de datos.

Tipo de Paquete

Ingredientes (gramos/paquete)

Utilidad

($/paquete) Cacahuate

Salado Cacahuate Enchilado

Pepitas Pistache Nuez de la India

Familiar Estndar Jumbo

200 150 400

150 100 250

300 200 300

150 100 300

0 70 150

5 7 10

Disponibilidad (kg/da)

100

80

80

65

40

Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Paquete de botanas tipo "i" a fabricar por da. (p/d) Funcin Objetivo. Mx. Z = 5X1 + 7X2 + 10X3 $/d ($/p)(p/d) = $/d Restricciones. 1. Ingredientes.

Cacahuate salado 0.20X1 + 0.15X2 + 0.40X3 100

Cacahuate enchilado 0.15X1 + 0.10X2 + 0.25X3 80

Pepitas 0.30X1 + 0.20X2 + 0.30X3 80

Pistache 0.15X1 + 0.10X2 + 0.30X3 65

Nuez de la india 0.07X2 + 0.15X3 40 (kg/p)(p/d) = kg/d kg/d

2. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X2 = 400 Cacahuate salado (H1) = 40 Cacahuate enchilado (H2) = 40 Pistache (H4) = 25 Nuez de la india (H5) = 12 Mx. Z = 2,800 Interpretacin. El programa de produccin para maana debe ser de 400 paquetes estndar que dar la mxima utilidad de $2,800. Al fabricar este programa, se tendrn los siguientes sobrantes: 40 Kg de cacahuate salado, 40 Kg de cacahuate enchilado, 25 Kg de pistache y 12 Kg de nuez de la india. El recurso que realmente limit la fabricacin fueron las pepitas. Si se tuviera suficiente existencia de pepitas, esta restriccin dominante podra dejar de serlo para que otro de los recursos se convirtiera en el siguiente cuello de botella. 4. Zapatos. Una fabrica de zapatos fabrica tres modelos distintos, el modelo 1, 2 y 3 que utilizan los mismos materiales y mano de obra. Se disponen de 1,000 pares de plantillas especiales para los zapatos del modelo 2 y 3 que se utilizan dos pares para el modelo 3 y un par para el modelo 2.


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Se tienen 1,200 trozos de piel del tipo "A", utilizndose 4 trozos en el modelo 1 y 2 trozos en el modelo 2. Adems hay 2,400 trozos de piel tipo "B", requirindose 4 trozos para el modelo 1 y 2 para el modelo 3. Se dispone de 40 horas para la fabricacin, considerando que el tiempo requerido para cada par de zapatos del modelo 2 es de 4 minutos, de 7 minutos para el modelo 3 y de 2 minutos para el modelo 1. Los precios de venta son de $100, $200 y $300 para los zapatos del modelo 1, 2 y 3 respectivamente. Cuntos pares de cada tipo se deben de fabricar para que el ingreso por ventas sea mximo? Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Pares del Modelo "i" a fabricarse. (p) Funcin Objetivo. Mx. Z = 100X1 + 200X2 + 300X3 $ ($/p) (p) = $ Restricciones. 1. Materiales.

Plantillas especiales X2 + 2X3 1,000 (pp/p)(p) = pp pp Trozos de piel:

Tipo "A" 4X1 + 2X2 1,200

Tipo "B" 4X1 + 2X3 2,400 (t/p)(p) = t t

2. Produccin 2X1 + 4X2 + 7X3 2,400 (m/p)(p) = m m

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X2 = 600 Plantillas especiales (H1) = 400 Piel tipo "B" (H3) = 2,400 Mx. Z = 120,000 Interpretacin. Para tener el mximo ingreso posible de $120,000, se debe fabricar 600 pares del modelo 2. Al fabricar este programa, se tendr un sobrante de 400 pares de plantillas especiales y 2,400 trozos de piel tipo "B". Existen dos restricciones dominantes: produccin y la piel tipo "A". 5. Empresa Automotriz. Una empresa automotriz vende automviles y camionetas. La empresa obtiene $30,000 de utilidad en cada automvil que vende y $40,000 por cada camioneta. El fabricante no puede entregar ms de 300 automviles ni ms de 200 camionetas por mes de acuerdo a su capacidad de produccin. Para la venta de las unidades, la empresa necesita prepararlas en su taller donde se dispone de 900 horas mensuales. El arreglo de cada automvil requiere de 2 horas y 3 horas para cada camioneta. Modele el problema para determinar cuntos vehculos de cada tipo se deben comprar mensualmente para maximizar las utilidades de la empresa. Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Vehculos "i" a comprarse mensualmente. (v/m) Funcin Objetivo. Mx. Z = 30,000 X1 + 40,000 X2 $/m ($/v)(v/m) = $/m


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Restricciones. 1. Capacidad del proveedor.

Autos X1 300

Camionetas X2 200 v/m v/m 2. Capacidad del taller.

2 X1 + 3 X2 900 (h/v)(v/m) = h/m h/m

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 300 X2 = 100 Capacidad prov. camionetas (H2) = 100 Mx. Z = 13'000,000 Interpretacin. Se deben de comprar para el siguiente mes 300 automviles y 100 camionetas para obtener la mxima utilidad para la empresa de $13'000,000. Con este programa de compras, al proveedor le sobra capacidad para entregar 100 camionetas ms y la capacidad del taller se satur convirtindose en la restriccin dominante. 6. Bombas Hidrulicas. Una empresa fabrica y vende dos tipos de bombas hidrulicas, la normal y la extragrande. El proceso de manufactura para las bombas se expresa en la siguiente tabla:

Tipo de Bomba

Proceso de Manufactura (horas/unidad)

Ensamble Pintura Control de Calidad

Normal Extragrande

3.6 4.8

1.6 1.8

0.6 0.6

En la venta de cada bomba se obtiene un margen de utilidad de $500 para la bomba normal y de $750 para la extragrande. Analizando las estadsticas de las ventas pasadas, se observ que la mnima cantidad de bombas normales que se vendieron fueron de 300 semanales y 180 de las extragrandes. En el proceso de manufactura, se tienen disponibles semanalmente 4800 horas en ensamble, 1980 en pintura y 900 en control de calidad.

a. Desarrolle una tabla de datos para el problema. b. La empresa quiere hacer un modelo para programar su produccin de tal forma que le ayude a maximizar sus

utilidades.

Tabla de Datos.

Tipo de Bomba

Proceso de Manufactura (hrs/unidad)

Utilidad

($/unidad)

Ventas mnimas

(unid/sem) Ensamble Pintura Control de Calidad

Normal Extragrande

3.6 4.8

1.6 1.8

0.6 0.6

500 750

300 180

Tiempo Disponible (horas/semana)

4,800 1,980 900

Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Bomba tipo "i" a fabricarse por semana. (b/s)


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Funcin Objetivo. Mx. Z = 500X1 + 750X2 $/s ($/b) (b/s) = $/s Restricciones. 1. Produccin.

Ensamble 3.6X1 + 4.8X2 4,800

Pintura 1.6X1 + 1.8X2 1,980

Control Calidad 0.6X1 + 0.6X2 900 (h/b) (b/s) = h/s h/s 2. Ventas.

Bomba Normal X1 300

Bomba Extragrande X2 180 b/s b/s

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 300 X2 = 775 Pintura (H2) = 105.0001 C. Calidad (H3) = 255 Ventas B. Extragrande (E5) = 595 Mx. Z = 731,250 Interpretacin. El programa de produccin para la siguiente semana, debe fabricar 300 bombas normales y 775 extragrandes para tener la mxima utilidad de $731,250. Con esta fabricacin, se tendrn en pintura un sobrante de 105.0001 horas y en control de calidad de 255 horas. En lo referente a las ventas, se tendr un excedente de 595 bombas extragrandes respecto a la venta mnima de 180. La restriccin dominante est en ensamble. 7. Agricultura: Comunidad Rural. Un grupo de ingenieros agrnomos est dando asesora a una comunidad rural. Han recomendado a la comunidad cultivar brcoli y coliflor en sus 500 hectreas de terreno. Una hectrea de brcoli da una utilidad de $500 mientras que una de coliflor da $1,000. Debido a un estudio de mercado realizado por los asesores, se determin que no se podr cultivar ms de 200 hectreas de brcoli por razones de demanda. Durante la temporada de la plantacin se dispondr de 120,000 horas-plantador, considerando que una hectrea de brcoli requiere de 250 horas-hombre y una de coliflor 550. El grupo de asesores le piden que modele el problema para determinar cuntas hectreas de cada cultivo deben plantarse para maximizar las utilidades de la comunidad rural. Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Hectreas a plantarse del cultivo "i". (ha) Funcin Objetivo. Mx Z = 500 X1 + 1000 X2 $ ($/ha)ha = $ Restricciones.

1. Terreno X1 + X2 500 ha ha

2. Demanda X1 200 ha ha

3. Plantacin 250 X1 + 550 X2 120000 (h-h/ha) ha = h-h h-h


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4. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin optima. X1 = 200 X2 = 127.2727 Terreno (H1) = 172.7273 Mx. Z = 227, 272.7 Interpretacin. Se deben plantar 200 hectreas de brocol y 127.2727 de coliflor para tener la mxima utilidad posible de $227,272.70. Con este programa de cultivo se tiene un sobrante de 172.7273 hectreas de terreno y se tiene como restriccin dominante la demanda y la plantacin. 8. Bolsas de Piel. Una empresa fabrica dos bolsas de piel. El tipo "A" es fina con un precio de venta de $550 y el tipo "B" es corriente y se vende a $230. El abastecimiento de piel es suficiente para hacer 170 bolsas diarias. Se fabrican dos bolsas "B" por una de "A" y diariamente se pueden fabricar 250 bolsas del tipo "B" si solamente se hicen de stas. La bolsa "A" requiere de un broche elegante, disponindose de solo 80 broches de este tipo y para la bolsa "B" que lleva un broche ms sencillo se tienen 100. Pueden venderse por lo menos 130 bolsas diarias combinando el tipo "A" y "B". Qu cantidad de bolsas se debe fabricar para maximizar los ingresos por venta? Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Bolsa tipo "i" a fabricarse diariamente. (b/d) Funcin Objetivo. Mx. Z = 550X1 + 230X2 $/d ($/b)(b/d) = $/d Restricciones. 1. Materiales.

Piel X1 + X2 170 b/d b/d Broches:

Bolsa "A" X1 80

Bolsa "B" X2 100 (br/b)(b/d)=br/d br/d 2. Produccin.

Proporcin

1

2

X

X = 1

2

- 2X1 + X2 = 0

Bolsa "B" X2 250 b/d b/d

3. Ventas X1 + X2 130 b/d b/d

4. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 43.3333 X2 = 86.6667 Piel (H1) = 40


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Broche A (H2) = 36.6667 Broche B (H3) = 13.3333 Produccin bolsa B (H4) = 163.3333 Mx. Z = 43, 766.67 Interpretacin. La fabricacin de bolsas es una variable discreta por lo que se necesita hacer un ajuste en los valores de la solucin matemtica. El programa de produccin para maana debe fabricar 43 bolsas del tipo A y 87 bolsas del tipo B para tener la mxima utilidad posible de $43,660. Con este programa se tendr un sobrante de piel para 40 bolsas; un sobrante de broches para 37 bolsas del tipo A y 13 broches para bolsas del tipo B y tambin sobra capacidad para fabricar 163 bolsas del tipo B. La restriccin dominante en este problema est dada por la proporcin. Considerando el ajuste realizado, se tiene que la proporcin de la bolsa B es de 2.02 veces en vez de 2. 9. Productos para Computadora. Una empresa fabrica productos para el mercado de las computadoras. Produce un paquete de limpieza y dos tipos de disco de alta densidad, el de cinco un cuarto de pulgada y el de tres y media solo en lotes de 1,000 unidades. La contribucin unitaria a las utilidades es de $2 para el disco de tres y media pulgadas, $1 para el disco de cinco un cuarto y $3.50 para el paquete de limpieza. El proceso de produccin tiene tres centros de manufactura por los que pasan cada uno de los productos y mediante un estudio de tiempos, se calcularon los siguientes datos:

Tipo de Producto

Proceso de Produccin (horas/lote)

Centro1

Centro 2

Centro3

Disco 3.5 Disco 5,25

Paquete limpieza

3 4 2

2 1 2

1 3 2

Tiempo Disponible (horas/semana)

60 40 80

Costo Fijo ($/semana)

1000 2000 1500

Desarrolle un modelo para programar la produccin para la siguiente semana en lotes, de tal forma que maximice las utilidades de la empresa. Modelacin. Variables de Decisin: Xi = Lotes de 1,000 unidades del Producto "i" a fabricarse por semana. (l/s) Funcin Objetivo: Mx Z = 2,000 X1 + 1,000 X2 + 3,500 X3 $/s ($/l)(l/s) = $/s Restricciones: Los costos fijos no forman una restriccin ya que siempre se tienen haya o no produccin. 1. Produccin.

Centro 1 3X1 + 4X2 + 2X3 60

Centro 2 2X1 + X2 + 2X3 40

Centro 3 X1 + 3X2 + 2X3 80 (h/l)(l/s) = h/s h/s

2. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X3 = 20 Centro 1 (H1) = 20


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Centro 3 (H3) = 40 Mx. Z = 70,000 Interpretacin. En el programa de produccin para la siguiente semana se debe fabricar 20 lotes de paquetes de limpieza para obtener la mxima utilidad de $70,000. Realizando este programa, se tendr una capacidad sobrante de 20 horas en el centro 1 y de 40 horas en el centro 3. Considerando estos resultados, el cuello de botella est localizado en el centro 2. 10. Servicio de Transporte Terrestre. Una empresa adquiri un permiso del gobierno para realizar el transporte terrestre del aeropuerto a la ciudad. Actualmente se tiene una flotilla de 30 vagonetas que se reemplazarn totalmente ya que el costo de mantenimiento es muy alto por ser modelos viejos. Para el reemplazo se estn considerando tres tipos de vehculos: vagoneta, minibs y autobs. La empresa ha calculado las utilidades netas esperadas para cada tipo de vehculo y las presenta en el siguiente cuadro:

Tipo de Vehculo

Precio del Vehculo ($/unidad)

Utilidad Neta Esperada ($/unidad)

Vagoneta Minibs Autobs

650,000 1050,000 2900,000

200,000 280,000 650,000

El consejo de administracin ha autorizado $50 millones para la adquisicin de vehculos. La proyeccin de la demanda del transporte garantiza que todos los vehculos que se puedan comprar con el capital se usarn para el transporte; sin embargo, la capacidad del taller para dar mantenimiento a los vehculos es limitada, actualmente solo puede atender a las 30 vagonetas que se tienen. La empresa no desea hacer ninguna ampliacin a la capacidad del taller, pero debe estar preparado para atender tambin los minibuses y autobuses que se compren. Un minibs es equivalente a 1.5 vagonetas y un autobs equivale a 3 vagonetas. La empresa quiere tener un modelo que le permita determinar el nmero ptimo de cada tipo de vehculo que deba comprar para maximizar las utilidades netas esperadas. Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Vehculos del tipo "i" a comprarse. (v) Funcin Objetivo. Mx Z = 200,000X1 + 280,000X2 + 650,000X3 $ ($/v) v = $ Restricciones.

1. Capital. 650,000X1 + 1050,000X2 + 2900,000X3 50'000,000 ($/v)v = $ $

2. Capacidad del taller. La capacidad del taller est dada en vagonetas por lo que todo se debe de expresar en esta unidad de referencia.

X1 + 1.5X2 + 3X3 30 (vag/minb) (minb) = vag vag

el anlisis dimensional tambin se puede expresar como: % (v) = v v

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X3 = 10 Capital (H1) =21000,000


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Mx. Z = 6500,000 Interpretacin. El programa de compra debe ser de 10 autobuses para tener la mxima utilidad de $6500,000. Con este programa, se tendr un sobrante de $21000,000 del capital. El cuello de botella en este caso es la capacidad del taller. 11. Ensamble de Equipos Estereofnicos. Una empresa ensambladora de equipos estereofnicos para auto, produce dos tipos de estreos, el convencional que lleva radio y tocacintas y el especial que lleva adems "compact disk". Actualmente la planta trabaja 480 horas semanales con gastos fijos de $1,000 por semana. La produccin de un estreo convencional requiere de 2 horas de mano de obra y su margen de utilidad es de $200. El estreo especial requiere de 3 horas con una utilidad de $250. El departamento de Mercadotecnia ha determinado que lo mximo que puede venderse por semana son 150 estreos convencionales y 100 especiales. Modele el problema para tener un programa de produccin ptimo, es decir, que determine la cantidad a fabricar de cada tipo de estreo para maximizar las utilidades. Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Estreos del tipo "i" a fabricarse por semana. (e/s) Funcin Objetivo. Mx Z = 200X1 + 250X2 $/s ($/e)(e/s) = $/s Restricciones. Los costos fijos no son una restriccin; no influyen en el objetivo de maximizar las utilidades ya que stas solo dependen de lo que se fabrica y se vende. Los costos fijos siempre se tendrn se fabrique o no.

1. Produccin 2X1 + 3X2 480 (h/e)(e/s) = h/s h/s 2. Ventas.

Estreo convencional X1 150

Estreo especial X2 100 e/s e/s

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 150 X2 = 60 Ventas estreo especial (H3) = 40 Mx. Z = $45,000 Interpretacin. El programa de produccin para la prxima semana debe fabricar 150 estreos convencionales y 60 estreos especiales para tener la mxima utilidad de $45,000. Al fabricar este programa, se tendr un sobrante en la capacidad de ventas por 40 estreos especiales. La capacidad de produccin forma el cuello de botella. 12. Tenis. Una fbrica de tenis elabora tres modelos distintos: infantil, dama y caballero. Se dispone de 350 metros de tela, 18,000 plantillas, 500 tiras de suela y de tiempo suficiente para fabricar 10,000 pares de tenis para dama, si solamente se hicieran stos 15,000 pares infantiles si solo se hicieran stos 7,000 pares de caballero si nicamente se fabricaran stos.


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Un par de tenis para caballero requiere de 20 centmetros de tela, un par de dama de 15 centmetros y un par infantil de 14. Se sabe que de cada tira de suela puede obtenerse 4 pares de tenis para caballero 6 para dama u 11 infantiles. Si cada par de tenis infantil se vende al mayoreo en $140, los de dama en $180 y los de caballero en $190 cul es la produccin que maximiza los ingresos por ventas? Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Pares de tenis tipo "i" a fabricar. (p) Funcin Objetivo. Mx. Z = 140X1 + 180X2 + 190X3 $ ($/p)(p) = $ Restricciones. 1. Materiales.

Tela 0.14X1 + 0.15X2 + 0.20 X3 350 (m/p) (p) = m m

Plantillas X1 + X2 + X3 9,000 p p

Suelas X1/11 + X2/6 + X3/4 500 (p/1)/(p/t) = t t

3. Produccin.

Infantil X1 15,000

Dama X2 10,000

Caballero X3 7,000 p p

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X2 = 2,333.3330 Plantillas (H2) = 6,666.6670 Suelas (H3) = 111.1111 Infantil (H4) = 15,000 Dama (H5) = 7,666.6670 Caballero (H6) = 7,000 Mx. Z = 419,999.94 Interpretacin. La fabricacin de tenis es una variable discreta por lo que se tiene que ajustar la solucin obtenida. Haciendo el ajuste, se tiene que el programa de produccin debe fabricar 2,333 pares de dama para tener la mxima utilidad de $419,940. Al hacer este programa, se tendrn materiales sobrantes de 0.05 metros de tela, 6,667 pares de plantillas y 111.17 tiras de suela. Adems se tendr un sobrante en la capacidad de produccin para 7,667 pares de tenis de dama, de 15,000 pares de tenis infantil y 7,000 pares de tenis para caballero. La restriccin dominante es la tela. 13. Collares. Una pequea empresa fabrica joyera econmica pero de apariencia fina. Actualmente est fabricando un collar chico que lleva 85 piedras "ojo de tigre" y un broche; el grande lleva 110 piedras y un broche. Para esta semana se tienen en existencia 100 broches, 9,000 piedras y todo el hilo que se requiera para la fabricacin de collares. La experiencia de ventas indica que por cada collar grande que se venda, por lo menos se venden tres chicos. Los collares chicos tienen un precio de venta de $180 y los grandes de $240. Cul es la produccin que maximiza los ingresos por ventas? Modelacin.


JEVA / PTI 13

Variables de Decisin. Xi = Collar tipo "i" a fabricar semanalmente. (c/s) Funcin Objetivo. Mx. Z = 180X1 + 240X2 $/s ($/c)(c/s) = $/s Restricciones. 1. Materiales.

Piedras 85X1 + 110X2 9,000 (p/c)(c/s) = p/s p/s

Broches X1 + X2 100 (b/c)(c/s) = b/s b/s 2. Ventas.

Proporcin de ventas 3

1

1

2 X

X La proporcin

1

2

X

X es inicialmente de 3

1 pero al aplicar la condicin

c/s)/(c/s) = % % de al menos tres chicos, el valor de la proporcin va disminuyendo

3X2 X1 al crecer el valor de1X . Por ejemplo, si el valor de 1X fuera 6

3X2 - X1 0 (podra ser cualquier valor superior a 3) el valor de la proporcin

1

2

X

X

ser menor que 3

1

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 73.9726 X2 = 24.6575 Broches (H2) = 1.3699 Mx. Z = 19,232.88 Interpretacin. Para obtener el mximo ingreso por ventas de $19,080 para la prxima semana, es necesario un programa de produccin que fabrique 74 collares chicos y 24 collares grandes. Con este programa se tiene un sobrante de 70 piedras "ojo de tigre", 2 broches y un 0.9% de la proporcin de ventas. La restriccin dominante es la proporcin de ventas, que an con los ajustes es prcticamente cero. 14. Portafolios. Una fbrica de portafolios de piel hace tres modelos que utilizan piel sinttica, cartn, forro y chapas en las cantidades que se muestran en la siguiente tabla:

Modelo de Portafolio Piel (cm)

Cartn (metros)

Forro (cm)

Chapa (unidades)

Chico Mediano Grande

80 130 150

1.5 2.0 2.30

70 100 120

1 2 2

Las existencias para el programa de produccin mensual son: 6 rollos de piel sinttica, 10 rollos de forro de 50 metros cada uno, 4 rollos de cartn de 80 metros cada uno y 500 chapas. Se conoce que se puede vender toda la produccin que se haga pero la experiencia de ventas indica que por cada tres portafolios medianos se venden por lo menos dos grandes y que se venden tantos chicos como la suma de los otros dos. Cul ser el programa de produccin para tener la mxima utilidad considerando que el portafolio chico tiene una utilidad de $150, el mediano de $300 y el grande de $350?


JEVA / PTI 14

Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Portafolio tipo "i" a fabricar para el mes. (p/m) Funcin Objetivo. Mx. Z = 150X1 + 300X2 + 350X3 $/m ($/p)(p/m) = $/m Restricciones. 1. Materiales.

Piel 0.80X1 + 1.30X2 + 1.50X3 300

Cartn 1.50X1 + 2X2 + 2.30X3 320

Forro 0.70X1 + X2 + 1.20X3 500 (mts/p)(p/m) = mts/m mts/m

Chapa X1 + 2X2 + 2X3 500 (ch/p)(p/m) = ch/m ch/m 2. Ventas.

Proporcin medianos y grandes X2/X3 3/2 Proporcin chicos X1 = X2 + X3 % %

2X2 3X3

2X2 - 3X3 0

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 88.3978 X2 = 53.0387 X3 = 35.3591 Piel (H1) = 1077.2928 Forro (H3) = 342.6519 Chapa (H4) = 234.8066 Mx. Z = 41,546.96 Interpretacin. Haciendo el ajuste por ser variables discretas, quedara que el programa de produccin para el prximo mes, debe fabricar 88 portafolios del modelo chico, 53 del modelo mediano y 35 del modelo grande para alcanzar la mxima utilidad de $41,350. Al hacer este programa, se tendrn sobrantes de materiales por 108.2 metros de piel, 1.5 metros de cartn, 3433.4 metros de forro y 236 chapas. La proporcin de ventas del modelo chico se cumple exactamente (88=53+35). La proporcin pedida entre los modelos medianos y grandes que es de 1.5 veces (3/2=1.5), fue superada ya que la proporcin es de 1.514 veces (53/35=1.514). La restriccin dominante es la proporcin de las ventas del modelo chico. 15. Maletas. Una fbrica de maletas de piel fabrica dos modelos distintos para los que se utiliza la misma materia prima en diferentes proporciones. La maleta chica utiliza piel, cartn, 90 centmetros de forro y una chapa; la maleta grande usa piel, cartn, 180 centmetros de forro y 2 chapas. De una tira de piel se pueden obtener 12 maletas chicas 5 maletas grandes. De una hoja de cartn se obtienen 7 maletas chicas 3 grandes. Se tienen en existencia 500 hojas de cartn, 300 hojas de calidad B para el corte de maletas chicas y 200 hojas de calidad A para las maletas grandes. Mensualmente surten 300 tiras de piel, 50 rollos de forro de 50 metros cada uno y 4,000 chapas. Se sabe que se puede vender toda la produccin de maletas pero el comportamiento de las ventas indica que por cada 3 maletas chicas se pueden vender como mximo 3 maletas grandes. La capacidad de la fbrica es tal, que si solamente se hicieran maletas chicas se podran fabricar 3,600 mensualmente pero tambin se conoce que la maleta grande requiere el doble de tiempo que la maleta chica. La utilidad marginal de las maletas chica y grande son de $150 y $240 respectivamente.


JEVA / PTI 15

Desarrolle un modelo para tener el programa de produccin para el siguiente perodo de tal forma que se maximice la utilidad. Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Maletas del tipo "i" a fabricar por mes. (mal/m) Funcin Objetivo. Mx. Z = 150X1 + 240X2 $/m ($/mal)(mal/m) = $/m Restricciones. 1. Materiales.

Piel 300512

21 XX

(mal/m)/(mal/t) = t/m t/m Cartn:

Chica 3007

1 X

Grande 2003

2 X

(mal/m)/(mal/h) = h/m h/m

Forro 0.90X1 + 1.80X2 2,500 (mts/mal)(mal/m) = mts/m mts/m

Chapa X1 + 2X2 4,000 (ch/mal)(mal/m) = ch/m ch/m

2. Ventas 3

3

2

1 X

X

3X1 - 3X2 0 %(mal/m) = mal/m mal/m 3. Produccin.

Chica X1 3,600

Grande 1

2

1

2 X

X

2X1 = X2 2X1 -X2 = 0

%(mal/m) = mal/m mal/m

4. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima.

X1 = 300.0003 X2 = 600.0006 Piel (H1) = 154.9999 Cartn chica (H2) = 257.1429 Forro (H4) = 1,149.9990 Chapa (H5) = 2,499.9980 Ventas (H6) = 600.0006 Produccin chica (H7) = 3,300 Mx. Z = 189,000.20 Interpretacin. Como el problema tiene variables discretas, es necesario hacer un ajuste de la solucin matemtica obtenida en la computadora para poder hacer la siguiente interpretacin: el programa de produccin para el prximo mes debe fabricar 300 maletas chicas y 600 maletas grandes para lograr la mxima utilidad de $189,000. Al hacer este programa se tienen materiales sobrantes: 155 tiras de piel, 257.14 hojas de cartn programadas para la maleta chica,


JEVA / PTI 16

1,150 metros de forro y 2,500 chapas. En las ventas, se tiene una proporcin de 0.5 que es menor al 1.5 pedido, teniendo una diferencia sobrante de 1 que equivale a una vez la cantidad fabricada de maletas grandes que son 600. En produccin sobra capacidad para fabricar 3,300 maletas chicas. Las restricciones dominantes son el cartn para la maleta grande y la produccin de la maleta grande. 16. Cuadros Tejidos de Tamaos Diferentes. Un artesano fabrica y vende cuadros tejidos, de los cuales tiene tres tipos: el barco, la cruz y los amantes. El primero requiere triplay, 200 metros de estambre y 85 clavos; el segundo necesita triplay, 300 metros de estambre y 100 clavos; el tercero utiliza triplay, 400 metros de estambre y 125 clavos. De una hoja de triplay se pueden obtener 12 cuadros chicos u 8 medianos 5 grandes. Cada mes se cuenta con 15 hojas de triplay, 68 madejas de estambre de 500 metros cada una y 10 cajas de clavos equivalentes a 12,500. El barco requiere de 3 horas, la cruz de 5 horas y los amantes de 6 horas para su elaboracin. Mensualmente se dispone de 530 horas para la fabricacin de los cuadros. La experiencia que se tienen de las ventas muestra que mnimo se venden 25 cuadros grandes por cada 60 cuadros chicos. El margen de utilidad para los cuadros chicos, medianos y grandes son $22, $35 y $45 respectivamente. Cuntos cuadros de cada tipo deben hacerse para que la utilidad sea mxima? Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Cuadros tipo "i" a fabricarse mensualmente. (u/m) Funcin Objetivo. Mx. Z = 22X1 + 35X2 + 45X3 $/m ($/u)(u/m) = $/m Restricciones. 1. Materiales.

Triplay 155812

321 XXX

(u/m)/(u/h) = h/m h/m

Estambre 200X1 + 300X2 + 400X3 34,000 (mts/u)(u/m) = mts/m mts/m

Clavos 85X1 + 100X2 + 125X3 12,500 (c/u)(u/m) = c/m c/m

2. Produccin 3X1 + 5X2 + 6X3 530 (h/u)(u/m) = h/m h/m

3. Ventas 60

25

1

3 X

X

% %

- 25X1 + 60X3 0 %(u/m) = u/m u/m

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 60 X2 = 40 X3 = 25 Clavos (H3) = 275 Mx. Z = 3,845 Interpretacin. Para que el prximo mes se tenga una utilidad de $3,845, se debe fabricar 60 cuadros chicos (barco), 40 cuadros medianos (cruz) y 25 cuadros grandes (amantes). Con este plan de fabricacin, sobrarn 275 clavos y todos los dems recursos se terminarn. Las restricciones dominantes son el triplay, el estambre y la capacidad de produccin.


JEVA / PTI 17

17. Raquetas de Tenis. Una empresa fabrica y vende raquetas de tenis. Actualmente produce tres tipos de raquetas, una estndar y dos profesionales. El proceso de manufactura de las raquetas est formado por dos operaciones por las que pasan todas las raquetas. Cada raqueta requiere de 3 horas en la operacin 1. En la operacin 2, la raqueta estndar requiere de 2 horas, la profesional tipo 1 de 4 horas y la profesional tipo 2 de 5 horas. La operacin 1 tiene disponible 50 horas semanales para produccin y la operacin 2 tiene suficiente mano de obra para 80 horas por semana. El departamento de Mercadotecnia ha proyectado que la demanda de la raqueta estndar no ser ms de 25 por semana. Debido a que las raquetas profesionales son de la misma calidad, se ha pronosticado que la demanda combinada para stas, ser de 10 o ms pero no ms de 30 por semana. La venta de la raqueta estndar tiene una utilidad de $70, en tanto que las raquetas profesionales tienen $180 y $205 para el tipo 1 y 2 respectivamente. Modele un programa de produccin que maximice las utilidades para la empresa determinando cuntas raquetas de cada tipo deben de fabricarse semanalmente. Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Raquetas del tipo "i" a fabricar por semana. (r/s) Funcin Objetivo. Mx Z = 70X1 + 180X2 + 205X3 $/s ($/r)(r/s) = $/s Restricciones. 1. Proceso.

Operacin 1 3X1 + 3X2 + 3X3 50

Operacin 2 2X1 + 4X2 + 5X3 80 (h/r)(r/s) = h/s h/s 2. Demanda de raquetas.

Estndar X1 25

Profesionales 30 X2 + X3 10 Esta restriccin doble se puede poner como si fueran dos restricciones quedando:

X2 + X3 10

X2 + X3 30 r/s r/s

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 1.1111 X3 = 15.5556 Demanda raq. estndar (H3) = 23.8889 Demanda raq. profesional (E4) = 5.5556 Demanda raq. profesional (H5) = 14.4444 Mx. Z = 3,266.675 Interpretacin. Haciendo el ajuste por ser variables discretas, el programa de produccin debe de fabricar una raqueta estndar y 15 raquetas profesionales del tipo 2 para la prxima semana, para tener la mxima utilidad posible de $3,145. Se tendrn recursos sobrantes en el proceso de produccin, 2 horas en la operacin 1 y 3 horas en la operacin 2. Mientras que en la demanda, se tiene una demanda sobrante de 24 raquetas estndar que se dej de aprovechar. En la demanda de las raquetas profesionales, como se debe de fabricar 16 raquetas en total, se tendr un excedente de 6 raquetas profesionales del tipo 2 respecto a la demanda mnima pronosticada y 14 por debajo de la mxima. A pesar de que ningn recurso se agot en la solucin ajustada, se puede considerar que el cuello de botella es el proceso de produccin de acuerdo a la solucin matemtica. 18. Procesos de Mezclado.


JEVA / PTI 18

En una refinera se deben de programar dos procesos de mezclado. Una hora de trabajo del proceso 1 produce 4,000 litros de gasolina magna y 1,750 litros de gasolina nova, consumiendo 100 barriles de petrleo crudo del pozo 3 y 300 barriles del pozo 10. En una hora de trabajo, el proceso 2 consume 100 barriles de petrleo crudo del pozo 3 y 200 del pozo 10, para producir 3,500 litros de gasolina magna y 2,250 litros de gasolina nova. Para la siguiente corrida de produccin se tienen disponibles 1,200 barriles de petrleo crudo del pozo 3 y 1,800 del pozo 10. Los contratos que se tienen con diferentes clientes, dan pedidos por 28,000 litros de gasolina magna y 12,000 litros de nova. El gobierno como responsable del control ambiental de la nacin ha dictaminado que se debe limitar la produccin de gasolina nova a no ms de la mitad de gasolina magna. La refinera tiene una utilidad por hora del proceso 1 de $10,000 y en el proceso 2 de $11,000.

a. Desarrolle un modelo para establecer un programa de produccin que maximice la utilidad para la empresa. b. En los datos del problema hay algunos que entran en contradiccin, por lo que el modelo no tiene una

solucin factible. Encuentre el error y formule nuevamente el modelo para encontrar la solucin ptima del problema.

Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Horas de operacin del Proceso "i" (h) Funcin Objetivo. Mx Z = 10,000X1 + 11,000X2 $ ($/h)h = $ Restricciones. 1. Disponibilidad de petrleo crudo.

Pozo 3 100X1 + 100X2 1,200

Pozo 10 300X1 + 200X2 1,800 (b/h)h = b b 2. Ventas. Gasolina magna 4,000X1 + 3,500X2 = 28,000 Gasolina nova 1,750X1 + 2,250X2 = 12,000 (l/h)h = l l 3. Control ambiental.

1,750X1 + 2,250X2 0.5 (4,000X1 + 3,500X2) (l/h) h = l % [(l/h) h] = l

- 250X1 1250X2 0 250X1 + 1250X2 0 Se multiplica por -1 y cambia el signo de la desigualdad 4. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. Al resolver en la computadora este modelo, se encuentra que no tiene una solucin factible, indicando que existe algn conflicto entre las restricciones. Se detect que el conflicto est en las restricciones de venta. Para desaparecer el conflicto, se necesita cambiar el sentido de la restriccin de gasolina magna en la forma siguiente:

Gasolina magna 4,000X1 + 3,500X2 28,000 Con este cambio en el sentido de la restriccin, se tiene la siguiente solucin ptima: X1 = 5.0769 X2 = 1.3846 Pozo 3 (H1) = 553.8462 Gasolina magna (H3) = 2,846.1540 Control ambiental (H4) = 576.9231 Mx. Z = 66,000 Interpretacin.


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Para la siguiente corrida de produccin, se debe programar 5.0769 horas (5 horas 5 minutos) el proceso 1 y 1.3846 horas (1 hora 23 minutos) el proceso 2, para tener la mxima utilidad de $66,000. Al trabajar con esta programacin, se tendr un sobrante de 553.8462 barriles de petrleo crudo, en el pedido de gasolina magna se dejaron de entregar 2,846.1540 litros y el control ambiental est dentro de lo exigido por el gobierno pudiendo fabricar hasta 576.1540 litros ms de gasolina magna sin ningn problema. 19. Transporte de Carga Area. Una empresa tiene un avin para transportar carga. Debido a los elevados costos de operacin, el avin no sale hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. El avin tiene tres bodegas, una inferior, una media y una superior. La capacidad de carga mxima del avin es de 100 toneladas por viaje. La capacidad de la bodega inferior es 40 toneladas como mximo en cada viaje. Por razones de equilibrio para el avin, la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga de la bodega inferior y la superior de llevar dos quintas partes de la carga de bodega inferior. Sin embargo existe una poltica de la empresa, que no deben de llevar ms de 60 toneladas de carga en las bodegas intermedia y superior combinadas. Despus de deducir todos los gastos, se ha calculado una utilidad neta de $80 por tonelada de carga en la bodega inferior, de $100 por tonelada de carga en la bodega intermedia y $120 en la bodega superior. La empresa quiere obtener la mxima utilidad por viaje por lo que quiere desarrollar un modelo que le permita determinar el mejor programa de carga para el avin. Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Toneladas de carga a poner en la Bodega "i" (t) Funcin Objetivo. Mx Z = 80X1 + 100X2 + 120X3 $ ($/t) t = $ Restricciones. 1. Capacidad.

Avin X1 + X2 + X3 100

Bodega inferior X1 40

Bodega intermedia 3

1

2

1 X

X

% % - X1 + 3X2 = 0 %(t) = t t

Bodega superior 5

2

2

1 X

X

% % - 2X1 + 5X3 = 0 %(t) = t t

2. Poltica de la Empresa X2 + X3 60 t t

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 40 X2 = 13.3333 X3 = 16 Cap. Avin (H1) = 30.6667 Poltica (H3) = 30.6667 Mx. Z = 6,453.333 Interpretacin. La forma ptima de cargar el avin es poner 40 toneladas en la bodega inferior, 13.3333 toneladas en la bodega intermedia y 16 toneladas en la bodega superior para tener la mxima utilidad de $6,453.333. Al cargar el avin en


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esta forma, se tendr una capacidad desperdiciada del avin de 30.6667 toneladas; la poltica de la empresa se cumple satisfactoriamente quedando un margen de 30.6667 toneladas. Las restricciones dominantes son todas las bodegas del avin, tanto la inferior, la intermedia como la superior. 20. Guantes de Proteccin. Una empresa fabrica guantes de proteccin industrial en tres modelos. El modelo "A" requiere de 0.06 metros cuadrados de carnaza tipo 1, 0.05 metros cuadrados de carnaza tipo 2 y de piel. El modelo "B" requiere de piel, de 0.09 de carnaza tipo 2 y de 0.05 de carnaza tipo 1. Los requerimientos del modelo "C" son de 0.07 y 0.08 de carnaza tipo 1 y 2 respectivamente y tambin usa piel. Se sabe que de una pieza de piel pueden salir 8, 9 5 pares de guantes de los modelos 1, 2 y 3 respectivamente. Si se usara todo el tiempo disponible en producir guantes de un solo tipo saldran 600, 700 500 de los modelos 1, 2 y 3 respectivamente. El metro cuadrado de carnaza del tipo 1 cuesta $400, $500 la del tipo 2 y $1,000 la pieza de piel. Los guantes modelo 1, 2, y 3 se vendern en $229, $241 y $348 respectivamente. Si se dispone de 45 metros cuadrados de carnaza tipo 1, de 40 del tipo 2 y 80 piezas de piel, desarrolle un modelo que permita maximizar la utilidad, determinando cuntos guantes hay que producir de cada tipo y cunto sobra de cada recurso utilizado. Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Pares de guantes tipo "i" a fabricar (p) Funcin Objetivo. El margen de utilidad para cada tipo de guante es:

Tipo de Material Modelo de Guante

A B C

Carnaza Tipo 1 Carnaza Tipo 2

Piel

0.06 (400) = 24 0.05 (500) = 25 1,000/8 =125

20 45

111.10

28 40 200

Costo ($/par) 174 176.10 268

Precio Venta ($/par) Utilidad ($/par)

229 55

241 64.90

348 80

Mx. Z = 55X1 + 64.90X2 + 80X3 $ ($/p)(p) = $ Restricciones. 1. Materiales. Carnaza:

Tipo 1 0.06X1 + 0.05X2 + 0.07X3 45

Tipo 2 0.05X1 + 0.09X2 + 0.08X3 40 (m2/p)(p) = m2 m2

Piel X1/8 + X2/9 + X3/5 80 (p/1)/(p/pza) = pza pza 2. Produccin.

Modelo "A" X1 600

Modelo "B" X2 700

Modelo "C" X3 500 p p

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 483.9025 X2 = 175.6097


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Carnaza tipo 1 (H1) = 7.1854 Produccin "A" (H4) = 116.0975 Produccin "B" (H5) = 524.3903 Produccin "C" (H6) = 500 Mx. Z = 38,011.71 Interpretacin. En este problema se tienen variables discretas por lo que es necesario ajustar los valores de X1 y X2 a valores enteros. Se tienen dos soluciones lgicas, X1 = 484 X2 = 175 (solucin 1) y X1 = 483 X2 = 176 (solucin 2) que se deben de probar para ver cul se acerca ms al valor ptimo y que cumpla con todas las restricciones del modelo. La solucin 2 es la seleccionada, quedando la siguiente interpretacin: El programa de produccin debe fabricar 483 pares de guantes del modelo "A" y 176 del modelo "B" para tener la mxima utilidad de $37,987.40. Al hacer este programa, se tienen recursos sobrantes tanto en los materiales como en produccin. Sobran 2.22 metros cuadrados de carnaza tipo 1 y 0.01 metros cuadrados del tipo 2. En produccin, no se utiliz la capacidad de 117 pares de guantes del modelo "A", ni la capacidad para 524 pares del modelo "B", tampoco la capacidad de 500 pares del modelo C. Se pueden considerar la carnaza tipo 2 y la piel como restricciones dominantes ya que prcticamente sus valores son muy cercanos a cero.

PROBLEMAS DE NIVEL MEDIO. 21. Agricultura: Cultivos. Un agricultor quiere cultivar maz y trigo en un terreno de 70 hectreas. Sabe que una hectrea puede rendir 30 toneladas de maz y 25 de trigo. Cada hectrea requiere de un capital de $9,000 si se cultiva con maz y de $10,000 si se cultiva con trigo. El capital disponible es de $1000,000. La necesidad de agua de riego es de 900 metros cbicos por hectrea de maz y 500 por hectrea de trigo en octubre pero en noviembre se requieren de 1,200 para el maz y 850 para el trigo. La disponibilidad del agua en octubre es de 57,900 metros cbicos y en noviembre de 15,200. Los precios de venta de maz y trigo son de $14,500 y $16,000 por tonelada respectivamente. Desarrolle un modelo que determine la cantidad de maz y trigo a sembrar para maximizar los ingresos por ventas. Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Hectreas a sembrarse del Cultivo "i" (ha) Funcin Objetivo. Los ingresos por venta son: Maz 30 (14,500) = 435,000 Trigo 25 (16,000) = 400,000 (t/ha) ($/t) = $/ha Mx. Z = 435,000X1 + 400,000X2 $ ($/ha)(ha) = $ Restricciones.

1. Terreno X1 + X2 70 ha ha

2. Capital 9,000X1 + 10,000X2 1000,000 ($/ha)(ha)=$ $ 3. Agua:

Octubre 900X1 + 500X2 57,900

Noviembre 1,200X1 + 850X2 15,200 (m3/ha)(ha)=m3 m3

4. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X2 = 17.8824


JEVA / PTI 22

Terreno (H1) = 52.1176 Capital (H2) = 821,176.50 Agua octubre (H3) = 48,958.82 Mx. Z = 7152,941 Interpretacin. El programa de siembra debe ser de 17.8824 hectreas de trigo para lograr el mximo ingreso por ventas de $7152,941. Con este programa de cultivo, quedarn los siguientes sobrantes: 52.1176 hectreas de terreno, $821,176.50 del capital y 48,958.82 metros cbicos de agua en el mes de octubre. La restriccin dominante es la disponibilidad del agua en noviembre. 22. Agricultura: rboles Frutales. En un cierto poblado, la Nacional Financiera S.A. (Nafinsa) pretende hacer una cuantiosa inversin para estimular el cultivo de aguacate, lima reina, mango y zapote. Nafinsa quiere reducir el desempleo rural y aumentar las exportaciones que vendrn a equilibrar la Balanza de Pagos de la nacin. Se conoce que la produccin promedio de cada rbol es:

Tipo de rbol Produccin (unid./rbol)

Promedio Anual (kgs/rbol)

Observacin

Aguacate 350 150 Una vez por ao Lima Reina

Mango Zapote

230 150 400

200 50 150

Una vez por ao Una vez por ao Una vez por ao

El precio promedio en el mercado internacional es de $10 por kilogramo para el aguacate, de $4 para la lima reina, de $15 para el mango y de $7 para el zapote. Existe una superficie de 250 hectreas de propiedad federal propicia para el cultivo de estos productos. Considere que los ingenieros agrnomos enviados por Nafinsa, determinaron las extensiones mnimas para el cultivo de esos productos de acuerdo a la siguiente tabla:

Tipo de rbol

Extensin Mnima (m2/rbol)

Aguacate Lima Reina

Mango Zapote

4 5 3 6

Afortunadamente no existe problema de agua, pues hay varios manantiales dentro de la propiedad que aseguran su existencia para los prximos 20 aos. El costo por sembrar un rbol de aguacate es de $200, $50 para la lima reina, $100 para el mango y $150 para el zapote. Estos costos ya incluyen la compra del rbol ms su cuidado y mantenimiento. Cada rbol empieza a ser productivo, aproximadamente a los tres aos de ser plantado. Cada rbol de aguacate requiere de cuidados equivalentes a 36 horas-hombre por ao, 72 para el mango, 50 para la lima reina y 10 para el zapote. Nafinsa pretende hacer una inversin de 20 millones de pesos pensando en exportar toda la produccin a partir del tercer ao. El desempleo del pueblo se ha calculado en 5,000 personas y el Gobierno Federal ha delineado que este proyecto emplee al menos 2,000 personas en forma continua. Bajo estas circunstancias, cuntos rboles de cada tipo debern sembrarse para maximizar el valor de la futura exportacin anual? Modelacin. Variables de Decisin. Xi = rboles tipo "i" a sembrarse por ao (rb/a) Funcin Objetivo. Mx. Z = 10(150)X1 + 4(200)X2 + 15(50)X3 + 7(150)X4 = 1500X1 + 800X2 + 750X3 + 1050X4 $/a ($/kg)(kg/rb)(rb/a) = $/a Restricciones.


JEVA / PTI 23

1. Cultivo. 4X1 + 5X2 + 3X3 + 6X4 2'500,000 (m2/rb)(rb/a) = m2/a m2/a

2. Inversin. 200X1 + 50X2 + 100X3 + 150X4 20000,000 ($/rb)(rb/a) = $/a $/a

3. Empleo. 2,000(365)(8) 36X1 + 72X2 + 50X3 + 10X4 5,000(365)(8) (h-h/rb)(rb/a)= h-h/a h(d/a)(h/d)= h-h/a

5840,000 36X1 + 72X2 + 50X3 + 10X4 14600,000

4. No negatividad Xij 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X2 = 193,203.90 X4 = 68,932.04 Cultivo (H1) = 1120,388 Empleo (E3) = 8'760,000 Mx. Z = 226941,700 Interpretacin. Haciendo los ajustes por ser variables discretas, se considera sembrar 193,203 rboles de lima reina y 68,932 rboles de zapote para lograr el mximo valor de la exportacin anual de $226941,000. Con este plan de cultivo, sobrarn 1379,607 metros cuadrados del terreno federal, $50 de la inversin y se tendr un excedente de 8759,936 horas-hombre al ao respecto a las 5840,000 horas-hombre proyectadas como lmite inferior y respecto al lmite superior se quedar 64 h-h por abajo. De acuerdo a la solucin matemtica, la restriccin cuello de botella es la inversin y el lmite superior del empleo. 23. Mquinas Procesadoras con Precisiones Diferentes. Una fbrica tiene tres tipos de mquinas procesadoras que pueden trabajar los mismos productos pero cada tipo tiene diferente velocidad y recuperacin. La mquina tipo 1 puede procesar 80 piezas por hora con una recuperacin del 80%, la mquina tipo 2 puede hacer 60 piezas por horas con una recuperacin del 90% y la tipo 3 hace 40 piezas por hora con 95% de recuperacin. El funcionamiento de las mquinas tipo 1, 2 y 3, tiene un costo por hora de $45, $70 y $80 respectivamente. Se trabajan 8 horas diarias debindose fabricar diariamente cuando menos 3,500 piezas buenas. Actualmente hay 8 mquinas tipo 1, 10 del tipo 2 y 20 del tipo 3. Cada pieza defectuosa le cuesta a la fbrica $60. Cuntas mquinas de cada tipo se deben utilizar para minimizar el costo total? Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Mquinas tipo "i" a utilizar. (m) Funcin Objetivo. Para calcular el costo total diario de cada tipo de mquina, se debe sumar el costo de las piezas defectuosas con el costo de operacin como a continuacin se muestra:

Tipo de Mquina

Produccin (piezas/h)

Recup.

(%)

Calidad de Piezas

(pzas/h-mq)

Costo de Piezas Defectuosas ($/da-mq)

Costo de Operacin ($/da-mq)

Costo Total

($/da-mq) Acept. Def.

1 2 3

80 60 40

80 90 95

64 54 38

16 6 2

16(8)(60)=7,680 2,880

960

45(8)=360 560 640

8,040 3,440 1,600

La funcin objetivo quedar:

mn. Z = 8,040X1 + 3,440X2 +1,600X3 $/d ($/d-m)(m) = $/d


JEVA / PTI 24

Restricciones.

1. Produccin 64(8)X1 + 54(8)X2 + 38(8)X3 3,500

512X1 + 432X2 + 304X3 3,500 (p/d-m)(m) = p/d p/d 2. Mquinas.

Tipo 1 X1 8

Tipo 2 X2 10

Tipo 3 X3 20 m m

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X3 = 11.5132 Mquina 1 (H2) = 8 Mquina 2 (H3) = 10 Mquina 3 (H4) = 8.4868 mn. Z = 18,421.05 Interpretacin. Se deben utilizar 11 mquinas del tipo 3 para tener el mnimo costo total diario de $18,421.05. Con esta programacin, se tiene disponibles las 8 mquinas tipo 1, 10 mquinas tipo 2 y 9 del tipo 3. La restriccin dominante es produccin. 24. Aisladores Industriales. Una empresa fabrica aisladores industriales para servicio electrnico. Actualmente se fabrican tres tipos de aisladores, el de aplicacin general, de aplicacin especial y el de alto voltaje. Cada aislador pasa por tres operaciones de produccin: horneado, lavado-laminado y pulido. Solo hay una mquina en cada una de las operaciones del proceso. Se han obtenido los siguientes datos de produccin mostrados en la siguiente tabla:

Tipo de Aislador

Proceso de Fabricacin (unidades/hora)

Horneado Lavado-laminado Pulido

Aplicacin General Aplicacin Especial

Alto Voltaje

50 40 25

40 20 10

25 20 10

El costo de la materia prima que requiere cada tipo de aislador es de $50 para el de aplicacin general, $60 para el de aplicacin especial y $100 para el de alto voltaje, as como los precios de venta son respectivamente, $250, $397.5 y $675. Los costos por hora para las operaciones de produccin son de $250 para horneado, $200 para el lavado-laminado y $100 para el pulido.

a. Haga la tabla de datos para el problema. b. La empresa quiere un modelo que le permita hacer un programa de produccin para optimizar el tiempo

que se debe emplear en la fabricacin de cada producto de tal forma que maximice las utilidades por hora. Tabla de Datos.

Tipo de Aislador

Proceso de Fabricacin (unid/h) Costo Mat. Prima

($/unid)

Precio Venta

($/unid) Horneado Lav.-Lam. Pulido

Aplicacin General Aplicacin Especial

Alto Voltaje

50 40 25

40 20 10

25 20 10

50 60 100

250 397.50 675

Costo ($/hora) 250 200 100

Modelacin.


JEVA / PTI 25

Variables de Decisin. Xi = Aislador tipo "i" a fabricar por hora (u/h) Funcin Objetivo. Se calcula el margen de utilidad para cada tipo de aislador, considerando que: Utilidad = Precio de Venta - Costo Total

Concepto Tipo de Aislador

General Especial Alto Voltaje

Precio de Venta 250 397.50 675

Costo de Materiales 50 60 100

Costo de Mano de Obra: Horneado Lav-Lam Pulido Total Costo de Materiales

250/50 = 5 200/40 = 5 100/25 = 4 14

50

250/40 = 6.25 200/20 = 10 100/20 = 5 21.25

60

250/25 = 10 200/10 = 20 100/10 = 10 40

100

Costo Total 64 81.25 140

Margen de Utilidad ($/unid)

186 316.25 535

La Funcin Objetivo es: Mx. Z = 186X1 + 316.25X2 + 535X3 $/h ($/u)(u/h) = $/h Restricciones.

1. Produccin. Como no se tiene el tiempo disponible de las operaciones del proceso se puede considerar como referencia el 100% de la capacidad de cada una de ellas.

Horneado X1/50 + X2/40 + X3/25 1

Lav-Lam X1/40 + X2/20 + X3/10 1

Pulido X1/25 + X2/20 + X3/10 1 (u/h)/(u/h) = % %

2. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X2 = 20 Horneado (H1) = 0.50 Mx. Z = 6,325 Interpretacin. Se deben fabricar 20 aisladores de aplicacin especial por hora para lograr la mxima utilidad de $6,325. Este programa de produccin dejar disponible el 50% de la capacidad de horneado, encontrando que el cuello de botella est en lavado-laminado y pulido que utilizan el 100% de su capacidad. 25. Agricultura: Cooperativa Agrcola. Una cooperativa agrcola tiene 130 hectreas de terreno donde se cultivan frijol soya, trigo y maz. La cosecha que se obtiene se destina a satisfacer la demanda de los miembros de la cooperativa y el excedente se vende al precio del mercado. La cooperativa quiere determinar las hectreas que se deben programar a cada cultivo para maximizar sus utilidades, para sto se han concentrado los siguientes datos:

Tipo de Cultivo Rendimiento

(toneladas/ha)

Demanda de la Cooperativa (toneladas)

Demanda del Mercado

(toneladas)

Utilidad Estimada ($/tonelada)

Frijol soya 105 500 3,000 1500


JEVA / PTI 26

Trigo Maz

50 17

1250 250

3,250 1,000

1800 2500

Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Hectreas programadas para sembrar el Cultivo "i" (ha) Funcin Objetivo. Para construir la Funcin Objetivo es necesario calcular la utilidad para cada uno de los cultivos, quedando:

Frijol soya 1,500(105X1 - 500) = 157,500X1 - 750,000 Trigo 1,800( 50X2 - 1,250) = 90,000X2 2250,000 Maz 2,500( 17X3 - 250) = 42,500X3 - 625,000 ($/t) {(t/ha)ha - t} = $ $ 3625,000

Mx Z = 157,500X1 + 90,000X2 + 42,500X3 3625,000 $ $ Restricciones.

1. Terreno para cultivo. X1 + X2 + X3 130 ha ha 2. Demanda de los productos.

El objetivo de la cosecha es cubrir la demanda de la cooperativa y luego vender los excedentes de cada cultivo, quedando:

Frijol soya 3,000 105X1 500

Trigo 3,250 50X2 1,250

Maz 1,000 17X3 250 t (t/ha)ha = t

3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 28.5714 X2 = 65 X3 = 36.4286 Frijol soya (E3) =23.8095 Trigo (E5) = 40 Maz (H6) = 22.3950 Maz (E7) = 21.7227 Mx. Z = 11898,210 Recordar que la Funcin Objetivo tiene un trmino constante de 3'625,000 que afecta al valor calculado de Mx. Z = 11'898,210, por lo que el valor real es de Mz. Z = 8'273,210. Interpretacin. El programa de cultivo destina 28.5714 hectreas a sembrar de frijol soya, 65 hectreas de trigo y 36.4286 hectreas de maz para tener la mxima utilidad de $8'273,210. Al hacer este programa, se tiene el siguiente anlisis de recursos: en el frijol soya se rebasa el mnimo especificado en 23.8095 hectreas (2,500 toneladas); en el trigo se rebas el lmite inferior en 40 hectreas (2,000 toneladas) y en el maz se est por arriba del mnimo en 21.7227 hectreas (369.2857 toneladas) y por abajo del mximo en 22.3950 hectreas (380.7143 toneladas). La restriccin dominante es el terreno. 26. Mercadotecnia: Seleccin de Medios Publicitarios. Un fabricante de rasuradoras elctricas ha destinado un presupuesto de $3800,000 para la publicidad de las nuevas rasuradoras que ha desarrollado para hombres. Los estudios de mercado que se han realizado para la empresa, muestran que el segmento de mercado que desea atacar est conformado en su mayor parte por hombres entre 20 y 45 aos de edad, que tienen ingresos de $15,000 o ms y han cursado dos o ms aos de educacin universitaria.


JEVA / PTI 27

Con esta informacin, el departamento de Mercadotecnia ha dado una importancia relativa a cada caracterstica para definir el perfil del cliente potencial en la siguiente forma: edad 40%, ingresos 35% y educacin 25% Mercadotecnia ha contratado a una agencia de publicidad que le ayude a desarrollar un plan para llegar al cliente potencial en la mejor forma posible. Despus de estudiar el perfil del cliente potencial, la agencia recomend que se coloquen anuncios publicitarios en tres revistas de consumo popular. Los datos obtenidos por la agencia se presentan en la siguiente tabla:

Caractersticas del

Cliente Potencial

Importancia Relativa de la Caracterstica

(%)

Porcentaje de Clientes Potenciales por Anuncio

(%)

Revista A

Revista B

Revista C

Edad (20 a 45 aos)

Ingresos ($15,000 o ms)

Educacin (2 aos de universidad o ms)

40

35

25

40

60

30

70

50

20

60

40

60

Total de Lectores (miles) 780 940 1,250

La agencia ha recomendado que una meta apropiada sera maximizar los clientes potenciales expuestos a la publicidad, por lo que ha recomendado formar un indicador de "exposicin efectiva" expresado en clientes potenciales por peso invertido en publicidad. Conjuntamente con la agencia de publicidad, se ha decidido que lo mximo de anuncios que se deben poner en la revista "A" son 36, en la revista "B" 40 y en la revista "C" 45 y que se deben de colocar cuando menos 9 anuncios en la revista "A" y 5 en la "C". El costo por anuncio en la revista "A" es de $500, de $750 en la "B" y de $800 en la "C". Se quiere desarrollar un modelo que le permita a Mercadotecnia determinar cunto se debe invertir en cada revista para maximizar los clientes potenciales expuestos a la publicidad, as como los anuncios que se deben poner en cada una de ellas. Modelacin. Variables de Decisin. Xi = Dinero a invertir en anuncios de la Revista "i". ($) Funcin Objetivo. Se formula un indicador de "exposicin efectiva" que permita la construccin de la funcin objetivo, en la siguiente forma: Revista A {[0.40(0.40)+0.35(0.60)+0.25(0.30)] 780,000} / 500 = 694.20 B {[0.40(0.70)+0.35(0.50)+0.25(0.20)] 940,000} / 750 = 632.93 C {[0.40(0.60)+0.35(0.40)+0.25(0.60)] 1'250,000}/ 800 = 828.13 {[% (% de cp/a)] (cp)} / ($/a) = cp/$ cp/$

Mx. Z = 694.20 X1 + 632.93 X2 + 828.13 X3 cp (cp/$)$ = cp Restricciones. 1. Inversin en publicidad.

X1 + X2 + X3 3800,000 $ $ 2. Anuncios.

Revista A 9 X1/500 36 ($/1)/($/a)= a a

X1 18,000 X1 4,500 $ $


JEVA / PTI 28

Revista B X2/750 40

Revista C 5 X3/800 45

X3 36,000 X3 4,000 3. No negatividad Xi 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X1 = 18,000 X2 = 30,000 X3 = 36,000 Inversin (H1) = 116,000 Anuncios rev. A (E3) = 13,500 Anuncios rev. C (E6) = 32,000 Mx. Z = 61'296,180 Interpretacin. El programa de inversin en publicidad debe gastar $18,000 en la revista "A", equivalente a 36 anuncios; $30,000 en la revista "B", equivalente a 40 anuncios y $36,000 en la revista "C" que son 45 anuncios, logrando de esta forma el mximo nmero de clientes potenciales de 61'296,180. Al hacer este programa, sobrarn $116,000 del presupuesto para publicidad; respecto a los 9 anuncios mnimos especificados para la revista "A" nos pasamos con $13,500 equivalentes a 27 anuncios; tambin nos pasaremos en $32,000 , es decir 40 anuncios del mnimo especificado para la revista "C". Las restricciones dominantes son el nmero mximo de anuncios fijados por la agencia de publicidad para cada revista.

PROBLEMAS DE NIVEL SUPERIOR. 27. Muebles de Oficina. Una empresa de muebles de oficina est fabricando escritorios ejecutivos y secretariales en dos plantas diferentes. En la planta 1, es una fbrica antigua que trabaja dos turnos, es decir, 80 horas por semana. La planta 2 es una fbrica nueva que no trabaja a toda su capacidad. Sin embargo, se quiere trabajar doble turno como en la planta 1 por lo que ha contratado personal para trabajar un segundo turno. Actualmente, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas semanales. Los tiempos de produccin y los costos estndar de cada planta se muestran en la siguiente tabla:

Tipos de Escritorio

Tiempos de Produccin

(horas/unidad)

Costo Estndar ($/unidad)

Planta 1 Planta 2 Planta 1 Planta 2

Ejecutivo Secretarial

7 4

6 5

25,000 20,000

26,000 18,000

Se ha competido con xito en el mercado vendiendo el escritorio ejecutivo a $35,00. Pero en el escritorio secretarial, la empresa est forzada a bajar el precio a $27,500 para mantener su ventaja competitiva. La empresa ha tenido costos excesivos en las ultimas 10 semanas por lo que los administradores han establecido presupuestos semanales para produccin como una medida de control. Para la fabricacin de los escritorios ejecutivos se fij un presupuesto de $200,000 mientras que para los secretariales se estableci en $220,000.

a. Elabore la tabla de datos para el problema. b. A la empresa le gustara tener un programa de produccin que le diga cuntos escritorios de que tipo y en que

planta se deben de fabricar para maximizar las utilidades.

Tabla de Datos.

Tipo de Escritorio

Tiempos de Produccin (horas/unidad)

Costo Estndar ($/unidad)

Precio Venta

($/unidad)

Presupuesto ($/semana) Planta1 Planta 2 Planta 1 Planta 2


JEVA / PTI 29

Ejecutivo Secretarial

7 4

6 5

25,000 20,000

26,000 18,000

35,000 27,500

200,000 220,000

Tiempo Disponible (hrs/sem)

80 50

Modelacin. Variables de Decisin. Xij = Escritorio "i" a fabricarse por semana en la Planta "j" (e/s) Funcin Objetivo. Para la Funcin Objetivo, es necesario calcular la utilidad para cada uno de los escritorios, en la siguiente forma:

Planta 1 Planta 2 Ejecutivo 35,000 - 25,000 = 10,000 35,000 26,000 = 9,000 Secretarial 27,500 - 20,000 = 7,500 27,500 18,000 = 9,500

Mx. Z = 10,000X11 + 9,000X12 + 7,500X21 + 9,500X22

$/s ($/e)(e/s) = $/s Restricciones. 1. Produccin.

Planta 1 7X11 + 4X21 80

Planta 2 6X12 + 5X22 50 (h/e)(e/s) = h/s h/s 2. Presupuesto.

Ejecutivo 25,000X11 + 26,000X12 200,000

Secretarial 20,000X21 + 18,000X22 220,000 ($/e)(e/s) = $/s $/s

3. No negatividad Xij 0 Anlisis Dimensional: Probado. Solucin Optima. X11 = 8 X21 = 2 X22 = 10 Planta 1 (H1) = 16 Mx. Z = 190,000 Interpretacin. El programa de produccin para la prxima semana, debe fabricar en la planta 1, 8 escritorios ejecutivos y 2 secretariales mientras que en la planta 2, se fabricarn 10 escritorios secretariales. Con este programa se lograr tener la mxima utilidad de $190,000, considerando que se tendr una capacidad sobrante en la planta 1 de 16 horas. Las restricciones dominantes son la capacidad de produccin de la planta 2 y el presupuesto para el escritorio ejecutivo y secretarial. 28. Lnea de Produccin para Equipos Estereofnicos. Un fabricante de equipos estereofnicos est considerando aadir una nueva lnea con cuatro productos diferentes. La empresa tiene dos plantas donde se puede fabricar la lnea nueva. La planta 1 tiene un proceso con tres operaciones mientras que la planta 2 lo tiene con 2 operaciones. Como las plantas tienen diferente proceso de fabricacin, se puede pensar que es ms econmico fabricar algunos de los productos en una planta que en la otra. Despus de un estudio para obtener los tiempos de los procesos, la demanda mxima, el precio de venta y los costos variables, se presentaron los siguientes datos:

Proceso de Fabricacin

Producto (horas/unidas)

Concepto

Producto ($/unidad)

1 2 3 4 1 2 3 4


JEVA / PTI 30

Planta 1: Operacin 1 Operacin 2 Operacin 3 Planta 2: Operacin 1 Operacin 2

6 18 2

8 10

7 20 2

8 16

4 16 1

4 8

7 18 1

8 6

Precio de venta Costos variables: Planta 1 Planta 2

200

160 220

300

270 300

250

240 200

280

270 220

Demanda mxima (miles unidades/mes)

1 3 4 6

El gerente de la planta 1 ha sealado que puede disponer de 30,000 horas mensuales en la operacin 1 para la fabricacin de la nueva lnea, en la operacin 2 de 100,000 horas y en la operacin 3 de 16,000 horas. En cada una de las operaciones de la planta 2 se tienen disponibles 20,000 horas mensuales. A la empresa le gustara tener un modelo que le ayude a determinar la cantidad de cada uno d

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