DEFINICION DE MATRIZ NOTACION Y ORDEN

En matemáticas, una matriz es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.

Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.

Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

OPERACIONES CON MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 × 2 y otra de 3 × 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 × 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 × 5, la matriz resultante será de orden 2 × 5. (2 × 3) × (3 × 5) = (2 × 5) Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación. 3 × 5 por 2 × 3, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda. Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m × p y B una matriz p × n. Entonces el producto AB es la matriz m × n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.

Esto es,

Division de matrices

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

Ejemplo:

CLASIFICACION DE MATRICES

Matriz Escalonada

En álgebra lineal una matriz se dice que es escalonada, escalonada por filas o que está en forma escalonada si:

1. Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.2. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote

de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).1

Si además se cumplen las siguientes condiciones:

1. Sus pivotes son todos iguales a 12. En cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna

se dice que es escalonada reducida por filas.

Matriz Unitaria

Matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son todos iguales a uno y todos los otros elementos son iguales a cero. Símbolo: I. También se le llama matriz identidad (para la multiplicación de matrices) porque cualquier matriz M con m filas y n columnas permanece sin cambios cuando se multiplica por una matriz unitaria n×n. Es decir,

IA = A

Matriz Adjunta o Transpuesta

En la terminología matemática moderna, se denomina matriz adjunta a la matriz conjugada traspuesta.1

Dada una matriz cuadrada A, su matriz de adjuntos o matriz de cofactores cof(A) es la resultante de sustituir cada término aij de A por el cofactor aij de A. El término matriz adjunta adj(A) suele crear confusión, ya que en muchos tratados clásicos sobre álgebra lineal corresponde a la matriz de cofactores traspuesta,1 2 3

sin embargo, en otros textos, se corresponde a la matriz de cofactores, puesto que llaman de la misma manera adjunto al cofactor y de ahí que sea adjunta.4 5 Aparte, también se utiliza el símbolo adj( ) indistintamente a cof( ) para el cálculo en los elementos de una matriz, haciendo, si cabe, la confusión más amplia.6

El interés principal de la matriz adjunta es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se cumple la relación:

donde adj (A) corresponde a la matriz de cofactores traspuesta, o sea,

.

Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes, este tipo de cálculo resulta más costoso, en términos de operaciones, que otros métodos como el método de eliminación de Gauss.