68736991 Cap 4 Flexion de Vigas Bernoulli Timoshenko 1

8/10/2019 68736991 Cap 4 Flexion de Vigas Bernoulli Timoshenko 1

1/24


2/24

Elemento Finito Viga Pg.2

x, u

z, w

iMF

q(x)

)( xw

dxdw=

, B

, A

, B

, A

)( xu

, A

, B B

Z

Fig. 4.1.2 Desplazamientos de la seccin de una viga

Segn las hiptesis establecidas el campo de desplazamiento de un punto cualquiera se

puede escribir como:

=),,( z y xu dxdw z

0),,( = z y xv

) (1.1)(),,( xw z y xw =

La deformacin en un punto material se obtiene por las respectivas definiciones:

2

2

dxwd

zdxdu

x ==

0===== yz xz xy z y (1.2)

El nico esfuerzo no nulo x se relaciona con su correspondiente deformacin x por:

Grupo de Mtodos Computacionales para Ingeniera GMC-PUCP 2


3/24


2

2

dxwd

zE E x x == (1.3)

Se define el momento flector positivo M (segn Fig.1.3) de una seccin como:

EI dx

wd EI dA

dxwd

E zdA z M A A

x ==== 22

2

22 (1.4)

Donde I es el momento de inercia de la seccin transversal con respecto al eje y siendo

la curvatura del eje de la viga.

z

x

x

M M

x

x

x

Fig. 4.1.3 Convenio de signos para los esfuerzos y el momento flector M .

El equilibrio de la viga est dado por el principio de los trabajos virtuales ( PTV ), que se

escribe de la siguiente forma:

= =

++=

V

L P

i

q

j j

ji x x M dx

dwF wdx xwqdV

0 1 11)( (1.5)

La integral sobre el volumen de la viga del primer miembro representa el trabajo

generado por la deformacin virtual y puede simplificarse de la siguiente forma:

=

= dxdx

wd dA E zdV

V

L

A x x x 2

2

0

2

( ) Mdxdxdxwd

EI dxwd L L

=

=0

2

2

02

2

(1.6)



4/24


El trabajo de deformacin virtual, es la integral sobre la longitud de la viga del producto

del momento flector por la correspondiente curvatura virtual.

4.1.2 Discretizacin en elementos finitos de dos nodosLa ecuacin de equilibrio dada por el PTV , indica que solamente es necesario

determinar el campo de desplazamientos verticales ( ) xw , para satisfacer el equilibrio.Sin embargo se observa que el trabajo virtual interno depende de la segunda derivada de

la flecha w (curvatura ), lo cual implica que se tiene que utilizar elementos con

continuidad de clase C 1 (la variable y su primera derivada han de ser continuas) para

evitar singularidades en el clculo de las integrales. Esta condicin puede interpretarsefsicamente, pues la primera derivada

dxdw

coincide con la pendiente de la deformada de

la viga. Por tanto, dicha derivada debe ser continua para garantizar que la deformada

sea una curva suave. El elemento ms sencillo de clase C 1 es el unidimensional de dos

nodos. La condicin de continuidad de la primera derivada de la flecha, obliga a tomar

el girodxdw como variable. Por consiguiente el nmero total de variables nodales del

elemento es cuatro ( yiwidx

dw

por nodo)

L 2)(

dx

dw

)(e x

1)( dxdw

)(e z

1w 2w

1 2

Fig. 4.1.4 Variables en el elemento de dos nodos

Las variables anteriores definen perfectamente una variacin cbica de la flecha

( ) 332210 xa xa xaa xw +++= (1.7)



5/24


Las constantes se calculan sustituyendo adecuadamente los valores de la flecha y sus

derivados en los nodos, lo que genera un sistema de ecuaciones algebraicas con cuatro

incgnitas.

ia

313

2121101 xa xa xaaw +++=

213121

1

32 xa xaadxdw ++=

323

2222102 xa xa xaaw +++=

223121

2

32 xa xaadxdw ++=

(1.8)

Una vez resuelto el sistema anterior se puede escribir como:

( ) ( ) ( ) ( )2

)(222

1

)(111 22

++

+=

dxdw L N w N

dxdw L N w N w

ee (1.9)

Para lo cual se utilizan los funciones de forma hermticas en un sistema de coordenadas

parametrizado [ ]1,1 .

1= 1+=

L

Fig. 4.1.5 Coordenadas parametrizadas

En este sistema parametrizado la flecha se aproxima como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2221

111 ++ +=

d dw N w N

d dw N w N w (1.10)



6/24


1 N

2 N

2 N

1

11

1

1 N

Fig. 4.1.6 Funciones Hermticas

Las funciones de forma hermticas estn dadas por:

( ) ( )2231 3241;32

41

+=+= N N

( ) ( )32231 141;32

41

++=+= N N (1.11)

Con ( )me x x L= )(2 y 2

21 x x xm += (1.12)

La ecuacin (1.9) puede escribirse haciendo uso del clculo matricial de la siguiente

manera:

(1.13))(ew Nu=

donde:

=2

;;2

,)(

22

)(

11

ee L N N

L N N N y

T

e

dxdw

wdxdw

w

=

22

11

)( ;;;u (1.14)

Son las matrices de las funciones de forma y el vector de desplazamientos nodales del

elemento.

Las funciones de forma estn aproximados por polinomios hermticos la figura 1.6

muestra las funciones de forma hermticas , se puede observar que las funciones y1 N



7/24


8/24


(1.18))()()()( eeee f quK =

donde la matriz de rigidez se calcula en forma explcita por:

( ) ( )

( )

==

+

2)(

)(

2)()(2)(

)()(

1

1

)(

3

)()(

4612

264612612

2e

e

eee

ee

ee

f T f

e

Lsim

L

L L L

L L

L EI

d L

EI BBK (1.19)

La matriz de rigidez coincide con las obtenidas haciendo uso de las clsicas ecuaciones

de resistencia en el clculo matricial de estructuras. Esto se debe a que las funciones

hermticas que aproximan al desplazamiento en el elemento de dos nodos, coincide

exactamente con la que se obtiene integrando la ecuacin diferencial de equilibrio de la

viga.

Por otra parte, el vector de fuerzas nodales equivalentes debido a una fuerza

uniformemente distribuida de intensidad q sobre el elemento es:

== +

1221

,12;21

2

)()()(

1

1

)()(

eee

eT e L L

qLd L

q Nq (1.20)

Y el vector de fuerzas nodales de equilibrio necesario para el ensamblaje)(ef

(1.21)[ T e M V M V 2211)( ,,,=f ]

una vez determinados los desplazamientos y giros nodales, se puede calcular el

momento flector en cualquier punto del elemento a travs de la siguiente expresin:

(1.22))(e f EI EI M uB==



9/24


Ejemplo: Calcular los desplazamientos en los extremos y las reacciones en el extremoempotrado de una viga en voladizo bajo la accin de una carga uniformemente

distribuida, utilizando un solo elemento.

q

EI

L

olucin por el Mtodo de los Elementos Finitos ( Diagrama de Cuerpo Libre)

1V

q

1Mu x ,

w z,

Fig. 4.1.7 Viga en voladizo bajo carga uniforme

=

12

2

2

2

4612

264612612

2

1

2

1

2

2

1

1

2

22

3

qL

qL

M qL

V qL

W

W

L

L

L L L

L L

L EI (1.23)

Sabiendo que y1w 1 = 0 , por ser un empotramiento, se pueden prescindir de las dos

primeras filas y columnas correspondientes a dichos grados de libertad, obteniendo

luego los desplazamientos ( y2w 2 ) del nodo dos.

EI

ql

dx

dw

EI

qlw

6;

8

3

2

2

4

2 =

== (1.24)

Con estos valores se determinan las reacciones en el empotramiento.



10/24


yqlV =1 2

2

1ql

M = (1.25)

Dichos valores coinciden con los valores exactos, sin embargo dicha coincidencia

ocurre slo en los nodos ya que la variacin exacta de la flecha es un polinomio de

cuarto grado, mientras que la utilizada en la aproximacin es una de tercer grado.

En la figura a continuacin se muestra la ley de momentos flectores obtenida por el

mtodo de los elementos finitos y la exacta.

46

22 qlql EI EI M f MEF === uB

(2

2

18 = qL

M Ex ) (1.26)

-1=

Elemento)(1MEFSolucin

1+=

ExactaSolucin

2

2qL

3

1-=

3

1+=

Fig. 4.1.8 Ley de momentos

Es interesante advertir que amas soluciones coinciden con los dos puntos de Gauss para

31= . Esta coincidencia no es fortuita y dada su importancia en la integracin

numrica estudiaremos con ms detalle en el apartado siguiente.



11/24


4.1.3 Puntos ptimos para el clculo de esfuerzos y deformaciones

Al obtener los esfuerzos a partir de las derivadas de los desplazamientos su

aproximacin es siempre de menor orden que la de los desplazamientos. Por lo general,

si las funciones de forma son polinomios de grado p, la aproximacin de las tensiones

ser de polinomios de grado p-1 p-2, segn se obtenga en funcin de la primera o

segunda derivada del campo de desplazamientos.

Est demostrado que las tensiones obtenidas en el mtodo de los elementos finitos

pueden considerarse como un ajuste por mnimos cuadrados ponderados de la solucin

exacta de los esfuerzos ( Zienkiewcz ). Esta propiedad cobra una vital importancia en

la evalucin de los esfuerzos dentro de los elementos finitos, que justamente

coinciden en los puntos de interseccin con la solucin exacta . La dificultad surge

que en la mayora de los casos no se conoce una distribucin real del campo de

esfuerzos.

Esta dificultad puede sortearse haciendo uso de la siguiente propiedad de la integracin

numrica de Gauss Legendre : en los puntos de una cuadratura de Gauss- Legendre de

orden n, un polinomio de grado n y otro de grado n-1, obtenido como ajuste por mnimo

cuadrado del anterior toman el mismo valor. Aclaremos esta propiedad en dos

ejemplos.



12/24


Ejemplo 1: comprobar que un polinomio de segundo orden y otro de primer ordenobtenido por ajuste por mnimo cuadrado del anterior se cortan en los puntos de la

cuadratura de Gauss-Legendre de orden 2.

Tomemos un polinomio de segundo grado ( n = 2)

( ) 21 x x x f ++=

y obtengamos el de primer grado (n = 1) que ajusta a por mnimos cuadrados. Tal

que:

)( x f

bxa xg +=)(y de forma que:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] dx x xbadx xg x f M +

+

++==1

1

1

1

222 11

Sea un mnimo

Las constantes a y b se obtienen de las siguientes condiciones:

( ) ( )[ ]+

=++= 1

1

2 01120 dx x xbaa

M

( ) ( )[ ]+

=++= 1

1

2 01120 dx x xbabb

M

y resolviendo se obtiene34=a y b =1.

En la figura 1.9, se muestran las funciones f ( x) y g( x). Puede observarse que ambos

polinomios se cortan en los puntos de la cuadratura de Gauss-Legendre de orden 2.



13/24


31-= x 3

1+= x1- 1+

2xx1f(x) ++=

x+=34

g(x)

x

y

Fig. 4.1.9 Puntos de interseccin de los polinomios )()( xg y x f

Ejemplo 2:comprobar que un polinomio cbico y otro cuadrtico obtenido por ajuste por mnimos cuadrados del anterior se cortan en los puntos de la cuadratura de Gauss-

Legendre de orden 3. (se deja al lector la solucin de este ejemplo, los puntos de la

cuadraturas de Gauss-Legendre son: x1 = -0.7746; x2 = 0; x3 = 0.7746)

De lo anterior pueden realizarse las dos siguientes conclusiones:

1) Si la distribucin exacta de los esfuerzos (o las deformaciones ), es un

polinomio de grado n, y la aproximada obtenida por elementos finitos es de grado

n-1, la evaluacin de los esfuerzos o de las deformaciones en los puntos de la

cuadratura de Gauss-Legendre de orden n es exacta.

2) Si los polinomios que representan las soluciones exactas y de elementos finitos para

y difieren en ms de un grado, la evaluacin de y en los puntos de la

cuadratura de Gauss-Legendre aproxima un trmino ms del desarrollo de la serie

de Taylor de la solucin exacta que en cualquier otro punto del elemento.

Resumiendo se puede decir que los puntos de la cuadratura de Gauss-Legendre tienen la

interesante propiedad de aproximar con un orden mayor los esfuerzos (y las

deformaciones) y por consiguiente deben evaluarse en dichos puntos y a partir de los

valores obtenidos proceder si se desea, a la extrapolacin a los nodos. Por ello dichos

puntos de consideran ptimos para el clculo de los esfuerzos y deformaciones. Los



14/24


conceptos anteriormente mencionados son rigurosamente vlidos para elementos

unidimensionales. Asimismo, se ha comprobado que la utilizacin de las mismas ideas

para la integracin numrica de Gauss-Legendre en dos y tres dimensiones lleva a una

mejora sustancial en la evaluacin de los esfuerzos y deformaciones.

En la Fig. 1.10 se muestran los puntos ptimos para el clculo de esfuerzos y

deformaciones en algunos de los elementos uni y bidimensionales.

Barra a traccin Flexin de vigas

1C

{0C

xx

xx x

x

x

x

Elasticidad 2D

XX

X

x

x x xx

xxO

xx

xx

Placas y Lminas

{0C

1C

x

x

x

xx

xx

X xx

xx

x

x

xO

xx

xx

Fig. 4.1.10 Puntos ptimos para la evaluacin de los esfuerzos



15/24


4.2 FLEXIN DE VIGAS DE TIMOSHENKO

4.2.1 Teora bsica

La nueva hiptesis introducida por Timoshenko es la de considerar que las secciones

planas normales al eje de la viga antes de la deformacin, permanecen planos pero nonecesariamente normales al eje despus de la deformacin.

iF

q(x)

)( xw

=dxdw

u x,

w z,

Fig. 4.2.1 Teora de flexin de vigas de Timoshenko

Esta hiptesis represente una mejor aproximacin a la deformacin real de la seccintransversal. Esta hiptesis tiene su sustento para las vigas de gran canto donde lassecciones transversales dejan de conservarse despus de la deformacin. Esta hiptesisasume un giro medio para la seccin, de manera que para efectos prcticos se considera plana. De la figura 1.11 se deduce que el giro de la seccin se expresa como

+= xd wd

(1.27)

dondedxdw

es la pendiente de la deformada del eje de la viga y un giro adicional

debido a la deformacin por cortante.El campo de desplazamiento se expresa como

( ) ( ) x z z y xu =,,

( ) 0,, = z y xv

( ) ( xw z y xw =,, ) (1.28) De dicho campo de desplazamientos podemos ahora determinar las deformaciones no

nulas



16/24


xd

d z

xd

ud x

==

==+= xd

wd

zd

ud

xd

wd xz (1.29)

Por lo tanto la teora de Timoshenko equivale a considerar el efecto de la deformacin por cortante transversal coincidiendo la magnitud de dicha deformacin con el giroadicional de la normal .

Las deformaciones no nulas generan tensiones que estn relacionadas por lasrespectivas ecuaciones constitutivas:

zE

xd

d zE E x x ===

==

xd wd

GG xz xz (1.30)

Aqu G es el mdulo de corte y xd

d = la curvatura del eje de la viga.

El momento flector y el esfuerzo cortante que generan dichas tensiones se defines como

EI dA xd d

E z Ad z M A A

x === 2

con zd yd dA =

xz A

xz GA xd wd

GA Ad Q =

== (1.31)

x M

x

z

x xz

Q

z z

x

Q

Tensin NormalDistribucin supuesto=Distri. exacta

x Tensin tangencialDistri. supuesto

Tensin TangencialDistri. exacta

xz

xz

xz

Fig. 4.2.2 Teora de vigas de Timoshenko. Distribucin de tensiones normales y tangenciales



17/24


Obsrvese que la variacin de x en el canto es lineal, lo cual puede considerarse comoexacto dentro de la hiptesis de la teora de vigas. Por el contrario, la variacin de latensin tangencial xz en el canto se supone constante, lo cual est en claracontradiccin con la distribucin polinmica de la teora de vigas. Para sortear este problema se acepta la hiptesis de tensin tangencial constante pero modificada por uncoeficiente de manera que el trabajo de deformacin de tensin tangencial constantecoincida con el exacto de la teora de vigas. As se toma

xz xy G = y

(1.32) xz xz G AG AQ ==

donde es el coeficiente de forma o distorsin de la seccin y se denominarea reducida. Con las tensiones, deformaciones y desplazamientos antes planteados

podemos ahora expresar el principio de los trabajos virtuales (PTV ) de la siguienteforma

A A =

(1.33)( ) ==

++=+q

j j j

p

iii

L

v xz xz x x M F w xd qwdV

110

El primer miembro de la ecuacin anterior puede modificarse como:

dV xd wd

xd d

zV

xz x

+

=

= =dxdAdA z L

A xz xz

A x

+

0

= [ ] =dxQ M L

xz +0

= dx xd

wd GA

xd

wd

xd

d EI

xd

d L

+

0

(1.34)

En la ecuacin (1.34) se aprecia que en el integrando aparecen nicamente derivadas primeras de las flechas y el giro. Esto exige nicamente su continuidad para garantizarla integrabilidad, lo que permite la utilizacin de elementos finitos de clase C 0.



18/24


4.2.2 Elementos Finitos para la flexin de vigas de Timoshenko

Primeramente consideraremos el elemento viga de Timoshenko ms sencillo de dosnodos. A diferencia de la teora de vigas de Euler Bernoulli, la flecha y el giro sonvariables independientes y de continuidad C 0. As podemos interpolar por separado

cada una de ellas por

( ) ( ) ( )2211 w N w N w +=

( ) ( ) ( )2211 N N += (1.35)

con ( = 121

1 N ) ;y ( += 121

2 N ) y adems 11 , w y ,2w 2 son lasflechas y giros de los nodos 1 y 2 del elemento.

Haciendo uso de la ecuacin (1.35) la curvatura se obtiene

+=== 2211

d

dN

d

N d

xd

d

d

d

xd

d

xd

d (1.36)

y la deformacin de cortante (o cizalladura)

( )22112211

N N wd

dN w

d

dN

xd d

xd wd

xz +

+== (1.37)

Utilizando una formulacin isoparamtrica se tiene que ( )e L xd d 2= y con ello las

ecuaciones (1.36) y (1.37) pueden ser escritas en forma matricial como

( )e f uB=

(1.38)( )ec xz uB=

donde

( ) ( ) ( ) ( )

=

=eeee f L Ld

dN Ld

dN L

1;0;1;02;0;2,0 21

B

( ) ( ) ( )( )

+=

=2

)1(;1;2

1;1;2;;2 )(22

11

eeeec L L N

d dN

L N

d dN

LB (1.39)

Son las matrices de deformacin de flexin y cortante del elemento, y

(1.40)( ) [ ]T e ww 2211 ;;; =u es el vector de desplazamientos nodales.



19/24


La expresin de los trabajos virtuales (1.33) puede escribirse como

=( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

( )e

L

cT c f

T f

T e

e

dxGA EI uBBBBu

+

= (1.41)( )[ ] ( )( )

( )

+ e

L

T T e xd que

f N

y tras simplificar los desplazamientos virtuales queda

( ) ( ) ( ) ( ) ( )eeeec

e f f quKK =+ (1.42)

donde( ) ( ) ( )e

ce

f e KKK +=

y( ) ( )

( )

( ) ( )( )

xd GA xd EI c L

T c

ec f

L

T f

e f

ee

BBKBBK == ; (1.43)

son las matrices de rigidez correspondientes a los efectos de flexin y cortante cuyasuma es la matriz de rigidez total del elemento;

con( )( )

; xd qe L

T e

= Nq [ ]0;0; 21 N N =N (1.44)

es el vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a la carga distribuida q; y

(1.45)( ) [ ]T e M V M V 2211 ;;;=f el vector de fuerzas nodales de equilibrio que permite ensamblar las contribuciones delos distintos elementos en la matriz de rigidez y el vector de fuerzas globales.

Todas las integrales anteriores pueden transformarse sobre el dominio normalizado del

elemento. As teniendo en cuenta que ( ) d L xd e

2= se tiene que:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

d L

GAd L

EI e

cT c

ec

e

f T f

e f 2

;2

1

1

1

1

BBKBBK

== (1.46)

y( )

( )

=1

1 2 d

Lq

eT e Nq (1.47)

Expresiones que pueden evaluarse numricamente por una cuadratura unidimensionalde Gauss-Legendre.



20/24


4.2.3 Efecto del bloqueo de la solucin

Para determinar los valores exactos de la matriz de rigidez a la flexin es necesarioun solo punto de integracin ya que todos los trminos del integrando son constantes,obteniendo finalmente

f K

( )( )

=

101000001010

0000e

e f L

EI K (1.48)

Para determinar la matriz de rigidez de cortante es necesario la utilizacin de dos puntosde integracin para hallar los valores exactos por aparecer en el integrando detrminos de segundo orden en

cK (debido a los productos ), obtenindose ji N N

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

=

3

21

6)(

23

21

21

2

22

e

e

eee

ee

e

ec

L

L

L L L

L L

LGAK (1.49)

Para apreciar el efecto de la integracin numrica estudiaremos la flexin de la viga envoladizo bajo la accin de una carga puntual. La ecuacin matricial del equilibrioglobal es la siguiente:

L b

h

P

1 2 A

A

A -A

Fig. 4.2.3 Viga en voladizo con un elemento de viga de Timoshenko de 2 nodos

( ) ( ) ( ) f uKK =+ 111 c f (1.50)



21/24


=

+

+

0

3

2

623

22

1

1

2

2

1

1

P

M

V

w

w

L EI

LGA

Simtrico

GA L

GA

L EI

LGAGA

L EI

LGA

GA L

GAGA L

GA

(1.51)

sabiendo que por el empotramiento se tiene la siguientes condiciones de borde00 11 == yw

Eliminando fila y columna correspondiente a los desplazamientos anteriores se obtieneel sistema de ecuaciones simplificado:

=

+

032

22

2 Pw

L EI

LGAGA

GA L

GA

(1.52)

La solucin se encuentra por

+

+==

031 2

23

2

2 P

EI L

EI L

EI

L

EI

L

GA

Lw

f F (1.53)

donde es la matriz de flexibilidad y1=KF 212

LGA EI

= . De (1.53) se deduce la flecha

en el extremo libre y vale

P EI L

GA L

w

+

+=

31

3

2 (1.54)

En el caso de una seccin rectangular12

3bh I = ; bh A

65= y 25,0=

2

3

= Lh

= 23

(1.55)

donde

=

h L

se denomina coeficiente de esbeltez de la viga.

La expresin exacta de la matriz de flexibilidad de una viga con y sin la inclusin delefecto del esfuerzo cortante de acuerdo con la teora de vigas clsica es:



22/24


a) Sin esfuerzo cortante b) Con esfuerzo cortante(Euler-Bernoulli) (Timoshenko)

= EI L

EI L EI

L

EI

L

223 2

23

F

+

=

EI L

EI L

EI L

EI L

GA

L

2

232

23

F (1.56)

Por lo tanto, la flecha exacta en el extremo de la viga es:

a) Sin esfuerzo cortante b) Con esfuerzo cortante

( ) P EI L

w f exacta 3

3

2 = ( ) P EI L

GA

Lw C exacta

+=

3

3

2 (1.57)

Para una viga esbelta (valores de elevados) el efecto del esfuerzo cortante esdespreciable y la solucin numrica obtenida debe coincidir con la expresin (a) de laecuacin (1.57). De la ecuacin (1.54) y (1.57) se deduce el cociente entre la solucinde elementos finitos y la teora para vigas esbeltas es

( )( )

( )34343

3

31 22

2

3

3

2

2

++=

+

+==

P EI L

P EI L

GA L

w

w f exacta

(1.58)

Lgicamente, el valor de debera tender a la unidad a medida que la esbeltez de laviga aumenta (mayor ).

Solucin exacta

1 elemento

1 elemento

2 elementos )1( punto

(e)ckdereducidanIntegraci}

puntoscon 2

(e)ckdereducidanIntegraci

}= ;938,0

= ;75,0

2

2

4

34

+

)3(4

)34(322

2

++

1 2 3 4 5

1

2

3

4

Fig. 4.2.4 Viga en voladizo analizado con un elemento de Timoshenko de dos nodos. Variacin delcociente entre la solucin obtenida para la flecha en el extremo y la exacta de la teora deEuler-Bernoulli con el coeficiente de esbeltez



23/24


La figura 4.2.4 nos muestra que para vigas muy esbeltas el valor de tiende acero. Este comportamiento nos dice que el elemento finito viga de Timoshenko de dosnodos es incapaz de reproducir en el lmite la solucin de la teora clsica de vigas. Existe un fenmeno de sobre rigidizacin numrica que llega a bloquear la solucin

hacindola en el lmite infinitamente rgida. Este elemento slo funciona para vigasde relacin canto/longitud elevadas y an as su precisin no es buena, lo que lo haceinutilizable para la mayora de los casos.Para sortear este problema, buscaremos disminuir la influencia de la cortantesubintegrando los trminos de ( )ecK utilizando un nmero de puntos de integracininferior al necesario para su clculo exacto. Este procedimiento parece queintuitivamente realizamos una subevaluacin de los trminos de rigidez que tendrncomo consecuencia que la flexibilidad de la viga aumente.

Integraremos ahora con un punto de integracin( )ecK

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

=

4

21

424

21

21

2

22

e

e

eee

ee

e

ec

LSimtrico

L

L L L

L L

LGAK (1.59)

Utilizando esta matriz de rigidez de cortante encontraremos la matriz de rigidez yflexibilidad de la viga en voladizo estudiado en este ejemplo

+

=

L EI

LGA

LGA

GA L

GA

4

2K y

+

=

EI L

EI L

EI L

EI L

GA

L

2

242

23

F (1.60)

Observamos que F coincide con la expresin (1.56) a excepcin del coeficiente .Resolviendo obtenemos el valor de la flecha

11F

P

EI L

GA L

PF w

+==

4

3

112 (1.61)

La relacin entre este valor y el exacto para vigas esbeltas nos da:

( ) 22

2

2

433

+==

f exactaw

w (1.62)



24/24

Documents

68736991 Cap 4 Flexion de Vigas Bernoulli Timoshenko 1