Tema 6.b CURVAS CÓNICAS .

1. CURVAS GEOMÉTRICAS.

2. CURVAS TÉCNICAS.

3. CURVAS CÓNICAS.

3.1. CIRCUNFERENCIA.

3.2. ELIPSE.

3.3. HIPÉRBOLA.

3.4. PARÁBOLA.

4. ELIPSE.

5. HIPÉRBOLA.

6. PARÁBOLA.

CURVAS CÓNICAS .

3. EL CONO DE REVOLUCIÓN Y LAS CURVAS CÓNICAS. http://www.youtube.com/watch?v=FYFMJBAIuH4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=wBp1OiVt-Go

Un cono de revolución es un cuerpo geométrico que puede considerarse engendrado por una línea

recta denominada generatriz, que se mueve pasando por un punto (centre de generatriz o vértice del

cono), alrededor de un eje y con una dirección circular denominada directriz.

Las curvas cónicas se obtienen al seccionar un cono de revolución por un plano. Según la posición del

plano respecto al cono obtenemos las diferentes curvas.

A excepción de la circunferencia, se construyen por medio de puntos que configuran la curva y que

posteriormente hay que unirlos, bien a mano o utilizando una plantilla de curvas.

3.1. CURVAS CÓNICAS:

3.1.1. CIRCUNFERENCIA. Se genera cuando el plano secante (o plano sección) es

perpendicular al eje del cono. Corta a todas las generatrices de éste a la misma

distancia del vértice.

3.1.2. ELIPSE.

Cuando el plano de sección es oblicuo con respecto al eje, formando un ángulo mayor

del que forman las generatrices, por lo que corta a todas ellas.

3.1.3. HIPÉRBOLA

Cuando el plano sección es paralelo u oblicuo al eje, pero formando un ángulo menor

del que forman las generatrices. Resulta una curva abierta de dos ramas, denominada

hipérbola.

3.1.4. PARÁBOLA.

Si el plano de sección es oblicuo al eje y paralelo a una generatriz. La curva que resulta

es abierta y con un punto en el infinito.

3.1. ELEMENTOS DE LAS CURVAS CÓNICAS.

Son los elementos importantes necesarios para su construcción.

Vértices: son los puntos extremos de los ejes de la curva.

Ejes: Son los ejes de simetría de la curva. La parábola tiene uno, pero la elipse y la hipérbola

tienen dos, perpendiculares entre sí. Al mayor se le denomina a y al menor b.

Centro: Es el punto donde se cortan los ejes de simetría, y por lo tanto, el centro de la curva.

Focos: Son los puntos de contacto de las esferas inscritas en el cono con el plano secante que

genera las secciones cónicas, y están situadas en el eje de simetría. La elipse y la hipérbola tienen

dos focos, y la parábola tiene sólo uno.

Radios vectores: Son las rectas que unen cualquier punto de la curva con los focos (o el foco en

la parábola).

Directrices: Son las rectas de intersección que realiza el plano secante con los planos que

contienen a las circunferencias tangentes de las esferas del cono.

Circunferencia principal: Es el lugar geométrico de las proyecciones de los focos sobre las rectas

tangentes a la cónica. El centro de esta circunferencia es el centro de la elipse o de la hipérbola, y

el radio es igual a la mitad de su eje mayor. En la parábola, el radio es infinito.

Circunferencia focal: Es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de las

rectas tangentes a la cónica. El centro de estas circunferencias son los focos, y en la elipse y la

hipérbola, los radios la longitud del eje mayor, en la parábola, el radio es infinito.

4. ELIPSE. http://www.educared.org/wikiEducared/Elipse.html

Es una curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos

fijos, llamados focos (F1 y F2) es constante e igual al eje mayor (2a). http://www.youtube.com/watch?v=FW5zsN-

QztYhttp://www.youtube.com/watch?v=81NbgFpAfOU&feature=related

PF1 + PF2 = 2a

4.1. ELEMENTOS DE LA ELIPSE. http://www.youtube.com/watch?v=-Oq_4w51Jag&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=rPJophokZXg&feature=related

Ejes: Tiene dos ejes perpendiculares entre sí y que se cortan en O. Se llaman eje mayor o real

AB y eje menor o virtual CD. A la distancia OA o semieje mayor se le llama a y a la distancia

OC o semieje menor b, por lo que el eje mayor mide 2a y el menor 2b.

Focos: Están situados en el eje real y se hallan haciendo centro en uno de los extremos del

eje menor, C o D y de radio el semieje mayor a, de tal manera que se forma un triángulo

rectángulo, y por lo tanto, se cumple Pitágoras, lo que permite determinar un parámetro si se

conocen cualquiera de los otros dos.

a2 =b2 +c2

La distancia focal es la distancia entre los dos focos 2c. la distancia de cada foco al centro de

la curva será c.

La circunferencia principal se determina haciendo centro en O, centro de la elipse, y radio el

semieje mayor 2a.

La elipse tiene dos circunferencias focales, cada una con centro en un foco y radio el eje

mayor.

4.2. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE. http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/conicas/elipse01.php

4.2.1. SACAR UN PARÁMETRO A PARTIR DE LOS OTROS DOS Importante

4.2.1.1. SACAR EJE MAYOR CONOCIENDO 2b Y 2c. http://trazoide.com/elipse_948.htm

4.2.1.2. SACAR LA DISTANCIA FOCAL DADOS 2a Y 2b. http://trazoide.com/elipse_947.htm

4.2.1.3. DETERMINAR EL EJE MENOR DADOS 2a Y 2c. http://trazoide.com/elipse_946.htm

4.2.2. CONOCIENDO LOS DOS EJES. (O sacándolos por los métodos anteriores).

4.2.2.1. POR PUNTOS. Importante http://www.youtube.com/watch?v=jGYoxh84pWw

4.2.2.2. POR HACES PROYECTIVOS. Ver 4.2.

4.2.2.3. POR AFINIDAD CON DOS CIRCUNFERENCIAS. http://trazoide.com/elipse_952.htm

4.2.3. CONOCIENDO LOS DIÁMETROS CONJUGADOS. http://trazoide.com/elipse_950.htm

4.2.4. CONSTRUCCIÓN DE LOS EJES A PARTIR E DOS DIÁMETROS CONJUGADOS. http://www.youtube.com/watch?v=b8FikaDZu5w&feature=results_main&playnext=1&list=PLC61DB776B29A32E4

4.3. RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE.

4.3.1. TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR. http://www.youtube.com/watch?v=G9L4eVQ1k7Y

4.4. PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA ELIPSE. Repasar potencia. http://www.youtube.com/watch?v=wmIaa5aEYAI

5. HIPÉRBOLA.

Es una curva plana y abierta, lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a

dos puntos fijos llamados focos, es constante e igual a 2a, es decir, a la distancia entre los vértices.

http://www.youtube.com/watch?v=yBTdSYYUHow

PF1 – PF2 = 2a

La hipérbola consta de dos ramas simétricas respecto de los dos ejes.

5.1. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA.

Ejes: Tiene dos ejes perpendiculares entre sí y que se cortan en O. Se llaman eje mayor o real

AB y eje menor, virtual o imaginario CD. Igual que en la elipse, a la distancia OA o semieje real

se le llama a y a sus extremos, vértices y a la distancia OC o semieje virtual b, por lo que el eje

mayor mide 2a y el menor 2b.

Focos: Están situados en el eje real. Se hallan haciendo centro en O y radio igual a AC, de tal

manera que se forma un triángulo rectángulo, y por lo tanto, se cumple Pitágoras. Esto

permite sacar uno de los parámetros a partir de los otros dos.

o c2 =a2 +b2

La distancia focal es la distancia entre los dos focos 2c. la distancia de cada foco al centro de

la curva será c.

La circunferencia principal se determina haciendo centro en O, centro de la hipérbola, y radio

el semieje real 2a.

La hipérbola tiene dos circunferencias focales, cada una con centro en un foco y radio el eje

real.

Las asíntotas son las tangentes a la hipérbola en el infinito. Pasan por el centro de la curva y

son simétricas respecto a los ejes. Se determinan trazando la circunferencia principal con

centro en O. Se dibujan rectas tangentes desde un foco a dicha circunferencia, determinando

así los puntos de tangencia, que al unirse con O producen las asíntotas.

5.2. CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA.

5.2.1. SACAR UN PARÁMETRO A PARTIR DE LOS OTROS DOS Importante

5.2.1.1. SACAR EJE MAYOR CONOCIENDO 2b Y 2c. http://trazoide.com/hiperbola_992.htm

5.2.1.2. DETERMINAR EL EJE MENOR DADOS 2a Y 2c. http://trazoide.com/hiperbola_978.htm

5.2.1.3. SACAR LA DISTANCIA FOCAL DADOS 2a Y 2b. Se deduce como los anteriores.

5.2.2. HIPÉRBOLA CONOCIENDO LOS DOS EJES. (O sacándolos por los métodos anteriores).

5.2.2.1. Por puntos: http://www.youtube.com/watch?v=8P2ejtZLQlE Importante

5.3. INTERSECCIONES DE UNA RECTA CON UNA HIPÉRBOLA. http://trazoide.com/hiperbola_989.htm

6. PARÁBOLA.

La parábola es una curva abierta, lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de

uno fijo llamado foco y de una recta denominada directriz.

PF = Pd

6.1. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.

6.1.1. Ejes: Tiene sólo un eje de simetría, perpendicular a la directriz, y que contiene el vértice y

el foco.

6.1.2. Radios vectores: Al tener un solo foco, son las rectas que unen cualquier punto con el foco

o con la directriz perpendicularmente.

6.1.3. La circunferencia principal tiene un radio infinito y es tangente a la parábola en su vértice.

6.1.4. La circunferencia focal también tiene radio infinito y se convierte en la directriz.

6.1.5. Parámetro: Es la longitud de la cuerda de la parábola, perpendicular al eje, que pasa por el

foco.

6.1.6. Semiparámetro: Es la distancia desde el foco hasta la directriz.

6.2. CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA.

6.2.1. PARÁBOLA CONOCIENDO LA DIRECTRIZ Y EL FOCO. POR PUNTOS: Importante

http://www.youtube.com/watch?v=KsGnbWdu8QU http://www.youtube.com/watch?v=HaY2Wwn3lJo&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=sqi6ckqtIro&feature=related