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Resumen sobre Matrices(Notas de clase)
Gustavo Castaneda Ramrez
[email protected]
Universidad EafitDepartamento de Ciencias Basicas
Semestre 2 de 2010
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Indice general
1. Matrices. 1
1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1
1.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1
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Captulo 1
Matrices.
1.1. Introduccion
Las matrices son utilizadas en la solucion de de algunos
problemas propios de laadministracion y la economa. La solucion de
algunos problemas se facilita mediante laorganizacion de datos en
forma adecuada como bloques de numeros. Son de gran utilidadpara el
estudio de sistemas de ecuaciones lineales y en calculos
computacionales; lautilizacion de matrices constituye una parte
importante en los lenguajes de programacion,ya que la mayora de los
datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadasen
filas y columnas.
1.2. Matrices
A continuacion se presenta un resumen sobre matrices con base en
la tercera edicion deltexto: Matematicas para administracion y
economa de S.T. Tan.
Una matriz es un arreglo rectangular de numeros. Una matriz con
m renglones y ncolumnas tiene tamano mn. La entrada del i-esimo
renglon y de la j-esima columna sedenota por aij . Por ejemplo,
[3 2 51 0 7
].
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2 Matrices.
Esta es una matriz con dos renglones:[3 2 5
],[1 0 7
]y tres columnas:[
31
],
[20
],
[57
].
All
A =
[a11 a12 a13a21 a22 a23
]=
[3 2 51 0 7
],
y as a11 = 3,a12 = 2, a13 = 5, a21 = 1, a22 = 0, a23 = 7.
Dos matrices son iguales si son del mismo tamano y sus entradas
correspondientes soniguales. Por ejemplo,
[5 2 34 1 0
]=
[4 + 1 1 3 34 5 4 0
],
Ilustracion de la suma de matrices. Suponga que la produccion
total de cierta com-pana en el mes de junio del ano 2008 se resume
en la siguiente tabla,
Modelo A Modelo B Modelo C
Planta I 20 40 55Planta II 20 15 50Planta III 20 30 60
y suponga que la produccionn total de la compana en el mes de
julio del ano 2008 seresume en la siguiente tabla,
Modelo A Modelo B Modelo C
Planta I 25 45 50Planta II 20 25 55Planta III 25 35 55
Entonces la produccionn total en los meses de junio y julio esta
da por la suma de lasmatrices correspondientes.
20 40 5520 15 50
20 30 60
+
25 45 5020 25 55
25 35 55
=
45 85 10540 40 105
45 65 105
.
Dos matrices del mismo tamano se pueden sumar o restar para
obtener otra matriz delmismo tamano; por ejemplo.
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1.2 Matrices 3
[6 2 15 1 0
]+
[2 1 34 1 0
]=
[8 1 49 0 0
]
[6 2 15 1 0
]
[2 1 34 1 0
]=
[4 3 21 2 0
]
Definicio`n de suma y resta de matrices. Si A, B son matrices
tamano m n:A = [aij ]mn, B = [bij ]mn, entonces,A +B = [aij + bij
]mn.
AB = [aij bij ]mn.
A = [ aij ]mn, para cada R.
Leyes para la suma de matrices. Si A, B y C son matrices del
mismo tamano, entonces
1. A +B = B + A Ley conmutativa.
2. (A +B) + C = A+ (B + C) Ley asociativa.
Matriz cuadrada. Se dice que una matriz es cuadrada cuando en
numero de rengloneses igual al numero de columnas.
Matriz nula. Una matriz nula de orden m n es aquella cuyas
entradas son ceros y sedenota por Omn
Para cualquier matriz A de tamano mn se tiene que A+Omn = Omn +A
= A (Leymodulativa).
Transpuesta de una matriz. Si A = (aij)mn es una matriz de
tamano m n, lamatriz transpuesta de A es la martriz AT = (aji)nm,
es decir, es la matriz que se obtieneal intercambiar los renglones
por las columnas respectivamente.
As, si A =
[a11 a12 a13a21 a22 a23
], entonces AT =
a11 a21a12 a22a13 a23
.
si A =
[4 3 58 2 6
], entonces AT =
4 83 2
5 6
.
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4 Matrices.
Si B =
4 5 80 1 3
7 9 4
, entonces BT =
4 0 75 1 9
8 3 4
.
Multiplicacion por un escalar. Si A es una matriz y c es un
numero real, entonces, elproducto por un escalar de la matriz A cA
es la matriz obtenida al multiplicar cadaentrada de A por c.
Ejemplo. Sean A =
[3 24 0
], y B =
[4 15 0
]. Determinar X tal que 5X +B = 2A.
Solucion: 5X +B = 2A 5X = 2AB X = 15(2AB)
X = 15
(2
[3 24 0
]
[4 15 0
])= 1
5
([6 48 0
]
[4 15 0
])= 1
5
[2 53 0
]=[
2
51
3
50
].
Ejercicio. Considere las siguientes matrices:
A =
3 2 11 5 3
7 6 1
, B =
2 1 31 0 1
4 2 6
, C =
[0 1 63 2 9
], D =
[5 2 83 2 5
].
Determinar:a) 2A+3B, b) A3B, c) CD, d) 3DC, e) 3
2D, f) AT , g) A+AT , h) 2CT +DT .
i) Determinar X tal que 3X + 2CT = DT .
Vector. Un vector de n componentes es un arreglo de numeros
reales de la forma(a1, a1, a1, ... an
)o de la forma
a1a2a3.
.
an
.
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1.2 Matrices 5
Producto escalar de vectores. El producto escalar de dos
vectores de n componentes,digamos,A =
(a1, a2, a3, ... , an
), B =
(b1, b2, b3, ... , bn
)se define como el numero
real
A B = a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn
Multiplicacion de matrices. La multiplicacion de dos matrices A
y B se define cuandoel numero de columnas de A es igual al numero
de filas de B. Si A = [aij ]mn es una matrizde tamano mn y B = [bij
]ns es una matriz de tamano ns, el produto de las matricesA y B es
otra matriz C = [cij ]ms de tamano ms, donde cij es el producto
escalar de losvectores correspondientes al i-esimo renglon de A y
la j-esima columna de B. Por ejemplo,
Sean A =
[3 4 61 1 0
], B =
2 54 12 0
, entonces A B = [cij ]22 =
[c11 c12c21 c22
], donde
c11 =(3, 4, 6
)
242
= 6 + 16 12 = 10,
c12 =(3, 4, 6
)
51
0
= 15 + 4 + 0 = 19,
c21 =(1, 1, 0
)
242
= 2 4 + 0 = 2,
c22 =(1, 1, 0
)
51
0
= 5 1 + 0 = 4.
Por tanto, A B =
[10 192 4
].
Interpretacion de la multiplicacion de matrices. Suponga que se
requiere compararel costo total de ciertos comestibles. La
siguiente tabla registra el costo en miles de pesospor libra de
cada uno los productos en tres supermercados.
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6 Matrices.
carne Pan papas cafe
Supermercado 1 5 7 2 5Supermercado 2 4 6 2 5Supermercado 3 6 7 2
4
Si se compran 6 libras de carne, 4 libras de pan, 10 libras de
papas, y 5 libras de cafe,podemos representar las cantidades
compradas mediante la matriz
B =
64105
El costo total en cada uno de los supermercados esta dado por el
producto
A B =
5 7 2 54 6 2 5
6 7 2 4
64105
=
10393
104
Lo anterior indica que el costo en cada uno de los supermercados
son de 103 000, 93 000,y 104 000 pesos respectivamente.
Una matriz cuadrada de tamano n es aquella donde el numero
renglones y el numerode columnas son iguales a n.
Si A es una matriz cuadrada, entonces las multiplicaciones A A,
A A A y A A A Ase denotan respectivamente por A2, A3 y A4. En
general,
An = A A A... A n veces
Una matriz identidad es una matriz cuadrada, A = [aij ]nn donde
aij = 1 si i = j yaij = 0 si i 6= j ; por ejemplo,
I2 =
[1 00 1
], I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1
, I4 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
.
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1.2 Matrices 7
La diagonal de una matriz cuadrada A = [aij ]nn esta conformada
por las entradasa11, a22, a33, ..., ann. Por ejemplo la diagonal de
toda matriz identidad esta conformadapor unos.
Propiedades sobre multiplicacion de matrices. Si A,B, y C son
matrices donde lassiguientes sumas y multiplicaciones esten bien
definidas, entonces
a. (A B) C = A (B C). Ley asociativa.
b. (A+B) C = (A C) + (B C), C (A +B) = (C A) + (C B),(A B) C =
(A C) (B C), C (A B) = (C A) (C B). Ley distributiva.
c. Si A = [aij ]mn, entonces A In = A y Im A = A. Ley modulativa
de la multiplicacion.
d. (A B)T = BT AT
Ejercicio.
1. Suponga que las acciones de dos empresas estan dadas por la
matriz A, correspon-diente a:
Accion tipo 1 Accion Tipo 2 Accion Tipo 3 Accion Tipo 4
Empresa 1 120 100 200 150Empresa 2 200 300 50 80
y suponga que al cierre de operaciones de cierto da el valor de
cada accion enunidades monetarias (u.m.) estan dadas por la matriz
B, correspondiente a:
Accion tipo 1 40Accion tipo 2 20Accion tipo 3 10Accion tipo 4
30
Calcule A B y explique el significado de las entradas de A
B.
2. Sea A =
[5 55 5
].
Muestre que A2 = 0. Compare esto con la ecuacion a2 = 0, donde a
es un numeroreal.
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8 Matrices.
3. Sean A =
[1 23 4
], B =
[2 14 3
].
Calcule A B, B A y deduzca que la multiplicacion de matrices no
es conmutativaen general.
4. Sean A =
[3 10 2
], B =
[4 20 1
].
a) Calcular (A+B)2
b) Calcule A B, B A, y muestre que A B 6= B Ac) Calcular A2 + 2A
B +B2
d) Con base en los resultados de a) y c), muestre que (A+B)2 6=
A2 + 2A B +B2
5. Sean A =
[2 45 6
], B =
[4 87 3
].
a) Calcule AT , (AT )T , y muestre que (AT )T = Ab) Muestre que
(A+B)T = AT +BT
c) Muestre que (A B)T = BT AT
Inversa de una matriz. Dada una matriz cuadrada A de tamano n,
si existe unamatriz B de tamano n tal que A B = In = B A, entonces
se dice que B es la inversade A y de denota por A1, es decir, B =
A1.
Ejemplos.
1. La matriz A =
[3 51 2
]tiene como inversa la matriz B =
[2 51 3
].
En efecto, A B =
[3 51 2
]
[2 51 3
]=
[1 00 1
]=
[2 51 3
]
[3 51 2
]; y
as A1 =
[2 51 3
].
En general, si A =
[a b
c d
]es una matriz tal que ad bc 6= 0, entonces A tiene
inversa y
A1 =1
ad bc
[d bc a
]
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1.2 Matrices 9
2. Si A =
2 0 00 5 0
0 0 32
, entonces la matriz A tiene inversa. En efecto, si B =
1
20 0
0 15
00 0 2
3
entonces
A B =
2 0 00 5 0
0 0 32
1
20 0
0 15
00 0 2
3
=
1 0 00 1 0
0 0 1
=
1
20 0
0 15
00 0 2
3
2 0 00 5 0
0 0 32
; y as
A1 =
1
20 0
0 15
00 0 2
3
Metodo para hallar la inversa de una matriz mediante operaciones
derenglon. Cuando una matriz tiene inversa, se puede determinar la
matriz inversamediante operaciones de renglon. Utilizaremos las
siguientes convenciones:
c Ri indica multiplicar el renglon i por c, con c 6= 0.Ri Rj
indica intercambiar el renglon i por el renglon j.Ri + cRj indica
sumar al renglon i el renglon j multiplicado por c.
Ilustracion de como hallar la inversa de una matriz cuadrada A
de orden n:
a. Agregue la matriz identidad In para obtener la matriz
aumentada
[A|In].
b. Use operaciones de renglon para reducir [A|In] a la forma
[In|B].
La matriz B es la inversa de A.
Ejemplo. Determinar la inversa de la matriz A =
[2 35 8
].
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10 Matrices.
Solucion.
[2 35 8
1 00 1] 1
2R1
[1 3
2
5 8
1
20
0 1
]R2 + (5)R1
[1 3
2
0 12
1
20
5
21
]2R2
[1 3
2
0 1
1
20
5 2
]R1 + (
3
2)R2
[1 00 1
8 35 2];
y as A1 =
[8 35 2
].
Ejemplo. Determinar la inversa de A =
2 3 40 0 1
1 2 1
Solucion. 2 3 40 0 1
1 2 1
1 0 00 1 00 0 1
R1 R3
1 2 10 0 1
2 3 4
0 0 10 1 01 0 0
R3 + (2)R1
1 2 10 0 1
0 1 6
0 0 10 1 01 0 2
R2 R3
1 2 10 1 6
0 0 1
0 0 11 0 20 1 0
R1 + 2R2
1 0 110 1 6
0 0 1
2 0 31 0 20 1 0
1R3
1 0 110 1 6
0 0 1
2 0 31 0 20 1 0
R1 + 11R3
1 0 00 1 6
0 0 1
2 11 31 0 20 1 0
R2 + 6R3
1 0 00 1 0
0 0 1
2 11 31 6 20 1 0
y as A1 =
2 11 31 6 2
0 1 0
.
Pero no toda matriz cuadrada tiene inversa. Si al realizar
operaciones de renglonsobre la matriz ampliada de una matriz
cuadrada A se obtiene en el lado izquierdo
-
1.2 Matrices 11
un renglon de ceros, se puede concluir que la matriz A no tiene
inversa.
Veamos que la matriz A =
1 2 13 1 4
5 3 2
no tiene inversa.
1 2 13 1 4
5 3 2
1 0 00 1 00 0 1
R2 + (3)R1
1 2 10 7 7
5 3 2
1 0 03 1 00 0 1
R3 + (5)R1
1 2 10 7 7
0 7 7
1 0 03 1 05 0 1
R3 + (1)R2
1 2 10 7 7
0 0 0
1 0 03 1 02 1 1
Como en el lado izquierdo aparece un renglon de ceros, entonces
la matriz A notiene inversa.
Ejercicio. Analizar cuales de las siguientes matrices tienen
inversa. En caso de tenerinversa, determinar la inversa y
verificarla (comprobando que la matriz multiplicadapor su inversa
es igual a la matriz identidad).
1. A =
[5 23 4
]; 2. B =
[4 22 1
]; 3. B =
[a 22 a
];
4. D =
4 3 20 1 1
0 0 4
; 5. E =
4 0 02 2 01 0 1
; 6. F =
4 1 01 1 01 3 1
.
Las matrices tambien se utilizan en la solucion de sistemas
lineales de ecuaciones.Consideremos el siguiente sistema lineal de
tres ecuaciones con tres incognitas:x, y, z.
a11x + a12y + a13z = aa21x + a22y + a23z = ba31x + a32y + a33z =
c
Este sistema se puede expresar en la forma AX = B, donde
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
, B =
xyz
, y C =
abc
.
-
12 Matrices.
Ahora se tiene la siguiente propiedad: Si la matriz A de
coeficientes del sistema tieneinversa entonces el sistema tiene una
unica solucion y la solucion esta dada por
X = A1B, es decir,
xyz
=
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
1
abc
.
Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
lineales.
2x 3y 4z = 100x + 0y z = 3x 2y + z = 6
Solucion. Este sistema se puede expresar en la forma
2 3 40 0 1
1 2 1
xyz
= 1036
,es decir, en la forma AX = B donde,
A =
2 3 40 0 1
1 2 1
, X =
xyz
y B = 1036
.Ahora, en un ejemplo anterior se mostro que la matriz A tiene
inversa,
A1 =
2 11 31 6 2
0 1 0
. Por tanto la solucion esta dada por X = A1B,
es decir,
xyz
= 2 11 31 6 2
0 1 0
1036
= 543
y as la solucion es: x = 5, y = 4, z = 3.
Ejercicios. Expresar el sistema de ecuaciones lineales en la
forma AX = B, donde A esla matriz de coeficientes del sistema.
Analizar si A tiene inversa, y en tal caso determinarla solucion
del sistema.
a)2x + 3y = 7x + 4y = 14
; b)2x 3y = 7x + 4y = 14
; c)3x 6y = 72x 4y = 14
;
d)2x 3y 4z = 52x 3y + z = 5x 2y + z = 2
-
1.2 Matrices 13
Respuestas:
a) A1 =
[4
11
3
111
11
2
11
],
[x
y
=
[14
1135
11
b) A1 =
[4
5
3
51
5
2
5
],
[x
y
=
[70
521
5
c) No tiene inversa, no tiene solucion.
d) A1 =
1
5
11
53
1
5
6
52
1
5
1
50
,
xyz
= 632
