UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

FACULTAD DE INGENIERÍADEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

LABORATORIO DE TELECOMUNICACIONES

ELE-11016 CIVIL

LABORATORIO N 7SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO

OBJETIVOS : Caracterizar en el dominio del tiempo y de la frecuencia un sistema lineal invariante con el tiempo (LTI).

INTRODUCCION PREVIA: En Experiencias anteriores se estudiaron señales básicas con su representación temporal y en el dominio transformado. En ambos casos, se detallaron las del tipo continua en el tiempo (Ct) y discretas en el tiempo (Dt).

En Ingeniería las señales no aparecen en forma aislada, ellas son generadas, procesadas y almacenadas en sistemas. Por tanto, en la presente Experiencia veremos operaciones básicas que permiten definir sistemas. Un sistema se puede representar mediante un bloque en que opera una señal de entrada (C t), en la figura 8.1 se observa tal operación para el caso de un sistema en que es aplicable superposición (lineal) y su respuesta no cambia con el tiempo (invariable).

x(t) y(t)

Figura 8.1: Representación de un LTI

Nótese que esta representación absorbe infinidad de situaciones. Por ejemplo, en un sistema macro educacional la salida puede ser el conocimiento adquirido por los alumnos en la educación básica, el LTI (¡) nuestro sistema educacional y x(t) los recursos aplicados por el estado. Nuestro interés se centrará en el hecho que se conoce x(t) y el LTI y nos interesa evaluar su salida y(t), este proceso se conoce como análisis. Otros son los de síntesis/diseño y el menos conocido es el inverso.

Debemos de señalar que todo sistema está compuesto por sub-sistemas. Por tanto, debemos de poseer un conocimiento de redes simples y con ello bastará para extrapolar a sistemas complejos subdividiéndolos en bloques básicos. El caso en que no es aplicable la superposición, define un sistema no-lineal y su análisis es mucho más complicado que el de los LTI.

LTI

SEÑALES CONTINUAS: Bajo este enfoque, para un LTI en C t su salida viene dada por la convolución temporal entre la entrada y su respuesta impulso. Es decir:

(1)

Alternativamente, podemos aplicar transformada de Fourier a (1) para obtener:

(2)

La función de transferencia H() será motivo y centro de atención de muchas asignaturas. En la presente Experiencia, daremos una breve introducción de cómo caracterizar la respuesta impulso y la función de sistemas.

RESPUESTA IMPULSO : Aunque es de poco uso en Ingeniería Eléctrica es de mucha utilidad en ingeniería de sonido, vibraciones, etc. Aunque puede obtenerse primero la función de sistema y mediante Fourier encontrar h(t), estamos interesados en los sgtes:

- Excitar con un impulso y observar la respuesta.- Aplicar ruido blanco y observar la salida

Método Directo :El método más simple es aplicar un impulso a la entrada y observar su salida. En algunos casos, puede ser difícil implementar éste test, imaginemos que se trata de un canal celular en que en lugar de voz debemos aplicar algo que se parezca a un impulso (¡). Prácticamente, debemos simular un tren de impulsos por medio de un generador de pulsos (con ciclo de trabajo pequeño) y observar la salida en un osciloscopio. Un montaje típico en el Labtel se muestra en la Figura 8.2. :

Figura 8.2 : Obtención de h(t) mediante un tren de pulsos

Una variante práctica es aplicar un escalón (integral del impulso) como entrada. En tal caso, la respuesta impulso será la derivada de la salida. Un caso interesante es un sistema de 2 orden, es decir su función de transferencia tiene la forma:

(8.3)

m es la frecuencia libre de oscilación y es coeficiente de amortiguación. Al aplicar un escalón se logra una gráfica similar a la de la figura 8.3. La expresión (8.3) constituye un bloque básico en control de sistemas y teoría de filtros para telecomunicaciones y electrónica lineal.

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Gen de pulsosHP 8005A

LTICRT

Vo(t)Tm

K

ttr

Figura 8.3 : Respuesta de un sistema de orden 2 a un escalón

La tasa de decaimiento es de la forma e-t y la frecuencia libre puede obtenerse a partir de:

(8.4)

Método del Correlómetro :Se aprovecha las propiedades de un generador de ruido blanco y se observa la correlación entre la entrada y la salida. Un montaje con instrumentos del Labtel se muestra en la figura.

Figura 8.4 : Obtención de h(t) mediante correlación

FUNCIÓN DE SISTEMA : La función de transferencia H() es de tremenda importancia en Ingeniería eléctrica. Los métodos para obtenerla caen en:

- Método punto a punto- Generador de barrido- Analizador de espectro

Método Punto a Punto: Consiste en aplicar a la entrada un tono de una frecuencia dada. Se mide mediante un VTVM la salida y la entrada para luego aplicar:

(8.5)

El gráfico correspondiente entrega la respuesta de amplitud (módulo) y de fase del sistema. La derivada de la fase se llama retardo de grupo. En el caso de filtros, se acostumbra utilizar una escala logarítmica y en control se denomina diagrama de Bode.

Método del Generador de Barrido: Consiste en automatizar la medición anterior mediante una electrónica que entregue la respuesta de amplitud en un CRT. Un esquema simplificado se muestra en la figura 8.4. El conjunto VCO+Generador se denomina Gen de barrido, sweeper o vobulador y es de amplio uso en RF.

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Gen de Ruido BlancoHP 3722A

LTICorrelator

HP3721A

FM

Placas Horizontales

Figura 8.4 : Obtención de H() mediante un Gen de barrido

Método del analizador de espectro: En este método se aplica a la entrada la señal de un generador de ruido blanco (espectro plano). El sistema acentuará algunas y atenuará otras mostrando en la salida un espectro ponderado por el sistema.

CASO DISCRETO: Si bien es cierto se puede hacer un paralelo con C t , procederemos en forma directa aunque ciertos conceptos se duplicarán. En el caso de un sistema que opere con secuencias tendremos que es posible evaluar la secuencia de salida por medio de:

(8.6)

A modo de ejemplo (Ref. 2, pág. 295) consideremos la aplicación de una secuencia excitación 3[n-2] y el sistema responde con:

n 2 (8.7)

Para evaluar la respuesta impulso, dado que es un LTI, corresponderá a [n] y no a 3[n-2]. Un cambio de variables entregará:

(8.8)

En el caso de secuencias de duración finita, se puede lograr la secuencia de salida mediante una tabla. Sea a modo de ejemplo, h[n]={1,2,0,-1,1} y la excitación dada por x[n]={1,3,-1,2}, entonces la tabla asociada se puede construir por medio de :

1) Copiando los h[k] con los valores en la columna respectiva.2) Creando la siguiente línea con los valores de x[k].3) Invirtiendo en torno a k=0 para lograr x[-k].4) Desplazar en 1,2,3.... los valores de x[-k].5) La columna de y[n] se logra aplicando sucesivamente (6).6) Finalmente y[n]={1,5,5,-5,-6,4,1,-2}.

k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 n y[n]h[k] 1 2 0 -1 1 -

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VCO LTICRT

Generador diente de sierra

x[k] 1 3 -1 -2 -x[-k] -2 -1 3 1 0 1X[1-k] -2 -1 3 1 1 5X[2-k] -2 -1 3 1 2 5X[3-k] -2 -1 3 1 3 -5X[4-k] -2 -1 3 1 4 -6X[5-k] -2 -1 3 1 5 4X[6-k] -2 -1 3 1 6 1X[7-k] -2 -1 3 1 7 -2

Las propiedades de la convolución pueden ser aprovechadas para minimizar el trabajo del cálculo de (8.6), sobretodo cuando se trata de secuencias periódicas.

Existe una gran diferencia en relación al Ct , en el presente caso, dado que podemos tener secuencias como resultado de una conversión, podemos implementar todo con software. Es decir, si se requiere filtrar, podemos hacerlo con una programación adecuada. El arte de lograrlo, se denomina procesamiento digital de señales (DSP).

Otra alternativa para describir un sistema, es mediante la Transformada de Fourier Discreta. Para tal modelo (8.6) es equivalente a:

(8.9)

Como ejemplo, consideremos un filtro con respuesta del tipo LPF:

(8.10)

Por tanto, la respuesta a una secuencia impulso es (transformada de Fourier inversa):

(8.12)

Lo cual es relativamente fácil de graficar. Nuevamente, cualquier excitación x[n] con TF X() generara una respuesta Y() dada por (8.9). Para conocer y[n] basta con calcular su TF inversa en forma similar a (8.12). La conveniencia de calcular y[n] directamente vía (8.6) o mediante Fourier (ec 8.9) es asunto de gusto en forma similar a lo que ocurría en el dominio continuo. Sin embargo, nótese que el filtro digital LPF siempre se da en la forma (8.12), lo cual da para pensar que la mitad el esfuerzo ya esta hecho!

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CUESTIONARIO: Las preguntas dadas a continuación permiten verificar su comprensión sobre el tema y serán la base para una interrogación previa antes de realizar la parte experimental en el Laboratorio de Simulación.

1.- Dé un ejemplo no-eléctrico de un sistema Ct relacionado con la economía u otra ciencia del diario vivir.

2.- Encuentre la función de transferencia para los sistemas descritos por las siguientes respuestas impulsos:

3.- Encuentre la función de sistemas para las siguientes redes (use Workbench o uCap)

R1

1 0.1 HC R2 0.1 uF

R1=9R2 R1C=/2

A que tipos de filtros corresponden (LP, HP, BPF, etc.).

4.- Una malla pasiva es excitada por un impulso y a su salida se observa h(t)=3e -3tu(t). Cual sería la respuesta a un escalón de 10 volts?

5.- Demuestre que si un LTI causal es excitado por un escalón, ( i.e. x[n]=u[n] ) responde con s[n], entonces la respuesta impulso puede evaluarse por medio de:

6.- Un sistema descrito por h[n]={2,3,0,-5,2,1} es excitado por la secuencia x[n]={3,11,7,0,-1,4,2 . Determine la convolución y[n]=x[n]*h[n].

RESP: y[n]={6,31,47,6,-51,-5,41,18,-22,-3,8,2

7.- Un sistema con respuesta impulsiva dada por h[n]=(0.9)n u[n] es excitado por 10 impulsos de la forma x[n]=u[n]-u[n-10]. Cual es la salida correspondiente? (Ref 1, ejemplo 2.5, pag 23).

8.- Un sistema discreto posee una respuesta al impulso dada por (9) con c=/8. Calcule la respuesta a la excitación dada por (Ref 2, ejercicio 7.4.6, pág. 360).

9.- Otra forma de describir un sistema es mediante su ecuación diferencia (relación entrada-salida). Para el sistema dado por (Ref 2, ejemplo 6.5.1, pág. 306)

n0 y[-1]=1 , y[-2]=0

Determine la repuesta al impulso.

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PARTE EXPERIMENTAL: El trabajo mínimo a realizar en el Laboratorio se muestra a continuación. Se recuerda el uso de un cuaderno para anotar todo lo pertinente y de esa manera elaborar un Informe para nota máxima.

1.- Para uno de los filtros de la figura, obtenga la función de transferencia mediante el método punto a punto.

19 mH 19 mH 38 mH53000 53000

0.106 uF pF pF

Si el tiempo lo permite obtenga la respuesta por medio de un sweeper.

2.- Para verificar su cálculo del problema 6, construya el siguiente código en Matlab.

x=[3,11,7,0,-1,4,2] % Un vector de entradah=[2,3,0,-5,2,1] % Otra señal como vectory= conv(x,h) % la convolucion con una funcion interna

Desgraciadamente ésta solución no indica una referencia temporal. Para mejorarlo, cambie la última línea por [y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh) , donde esta función es:

function[y,ny]= conv_m(x,nx,h,nh)nyb = nx(1)+nh(1);nye = length(x) + length(h);ny = [nyb:nye];y = conv(x,h);

3.- Vamos a usar el MatLab en un asunto mas interesante. Veamos una señal de audio consistente en la suma de dos sen de 400 y 100 Hz.

t = [0:0.001:0.6]; % Define un vector de 0 a 0.6x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); % Suma dos sinusoidalesy = x + 0.2*rand(size(t)); % Agrega ruido a lo anteriorsound(y,100); % Manda al parlante el resultadoSubplot(2,2,1); ; % Define una ventanaplot(y(1:50)); % Plotea 50 valores de y

Escuche y juegue para diferentes frecuencias y amplitud de ruido. Pasemos ahora a un análisis de frecuencia, por medio de la FFT agregando:

Z = fft(y,512); % Una FFT de 512 valoresZZ = abs(Z); % Solo nos interesa el moduloSubplot(2,2,2); f = 1000*(0:255)/512; % Cambio de escala para ploteoplot(f,ZZ(1:256)); %

Y lo mas interesante, un procesamiento básico con software.

Z (0:20) = 0+j*0; % Hace cero las de abajoZ (251:512) = 0+j*0; % Hace cero las de arribayy = fft(Z) % Vuelve al dominio del tiempoSubplot(2,2,3); plot(yy(1:50)); % Plotea 50 valores de y en la ventana 3

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REFERENCIAS

[1] INGLE V, PROAKIS J.: Digital Signal Processing using Matlab V.4, PWS Co, 1997

[2] SOLIMAN S.,SRINATH M.: Señales y Sistemas – continuos y discretos, P&H, 1999

[3] OPPENHEIM, WILLSKY, NAWAB : Señales y Sistemas, Ed. Prentice Hall,

[4] OROZCO RUBEN, BOLAÑOS H. : Ejercicios en MATLAB para Procesamiento Digital de Señales. Ed. Feijóo, 1999

TÓPICOS AVANZADOS

1.- Demuestre que en el montaje de la figura 2 se obtiene h(t).

2.- Con ayuda de un par transformadores de balanceo (HP- AC 60B), encuentre la función de transferencia de una línea telefónica de 200+200 mt. disponible en el LABTEL.

3.- Una variante para obtener la función de sistema de un filtro es utilizar un generador pseudo aleatorio con su salida filtrada por un LPF y observar la salida en un analizador de espectro. Será verdad tanta belleza ?

4.- En la Guia se ha descrito siempre sistemas con entrada de la misma naturaleza. Es decir Ct – Ct o Dt – Dt. Puede dar un ejemplo de mezcla y como se describiría tal sistema ?

5.- En la parte simulación se inicio con una par de sinusoidales. Como hacerlo con una señal que proviene de un micrófono ?

INSTRUMENTOS DEL LABTEL

HP 8690 B HP 8350

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ELE 9105 : LABORATORIO DE ANÁLISIS DE SEÑALES

EXPERIENCIA N 8 : SISTEMAS LINEALES

OBJETIVOS OPERACIONALES

Al final de la Información Previa el alumno será capaz de :

1.- Clasificar los sistemas de acuerdo al tipo de señales que manejan.

2.- Comprender diferentes técnicas que permiten describir un LTI.

3.- Conocer los principios de funcionamiento de un generador de barrido y su uso en sistemas de telecomunicaciones.

Al final de la Experiencia el alumno será capaz de :

1.- Medir respuesta de un filtro de audio mediante un vobulador.

2.- Simular señales discretas procesadas en sistemas LTI.

3.- Realizar simulaciones en que se realicen procesamientos simples (DSP).