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Identificación de Sistemas
Identificacion de modelos parametricos
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Contenido
Los modelos parametricos Estructura de los modelos LTI discretos Estructuras de los modelos LTI estándar (Ljung) Métodos para el ajuste de parámetros Método de estimación por mínimos cuadrados
(LS)
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Los modelos parametricos
t t
YUU
YProceso
Modelo
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Los modelos paramétricos
Los modelos parametricos tienen un número finito de parámetros
relacionan las señales de interés del sistema:
» entradas, » salidas, y» perturbaciones
YUModelo
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Los modelos paramétricos
En general, la estructura del modelo podría ser cualquiera
» Regresiones lineales» Regresiones no lineales
» Modelos conceptuales “fisicos”» Modelos dinámicos Fuzzy o con redes neuronales,
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Estructura de los modelos LTI de tiempo discreto
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Estructura de los modelos
Los modelos LTI de tiempo discreto son modelos paramétricos
los datos que sirven de base para la identificación se obtienen por muestreo.
ZN = {u(1), y(1), u(2), y(2), ..., u(N), y(N)}
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Estructura de los modelos
Los modelos LTI de tiempo discreto pueden expresarse como una ecuación en diferencias finitas
1 01a ba a n b ny t n a y t n a y t b u t n b u t
0 0
a bn n
k a j bk k
a y t n k b u t n k
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Estructura de los modelos en terminos del operador de retardo
1 01a bn a d n d by t a y t a y t n b u t n b u t n n
1 11 0 11 na nd nb
na nba q a q y t q b b q b q u t
d a bn n n retardo “puro” con que aparece la entrada en la salida.
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Funcion de transferencia
La relacion de entrada-salida se puede representar en terminos del operador de retardo como una “Funcion de transferencia”
1y t G q u t
1
1 0 11
11
nbnb
nana
b b q b qG q
a q a q
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Sistema causal
Sistema causal
nb na
1
1 0 11
11
nbnb
nana
b b q b qG q
a q a q
Un sistema es causal si la respuesta del sistema en un instante t depende sólo de la entrada en ese instante y de instantes anteriores.
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Respuesta impulsiva
En terminos de la respuesta impulsiva, , la expresión general de un modelo LTI discreto es del tipo
0
l
k
y t g k q u t
0k
g k
Para sistemas estables
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Respuesta impulsiva
La respuesta impulsiva, puede verse como un operador
0k
g k
Para sistemas estables
1 1 20 1 2G q g g q g q
0
l
k
y t g k q u t
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Respuesta impulsiva
La respuesta al impulso del sistema es simplemente
la serie que resulta de la division de los polinomios del numerador por el denominador de la funcion de transferencia
1 1 20 0 1 21
nbnb
nana
b b qG q g g q g q
a q
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Respuesta impulsiva
Ejercicio: Dado el sistema LTI
Encontrar los coeficientes de la respuesta impulsiva
2 3
11 2 3
0.5 0.3
1 0.2 0.16 0.24
q qG q
q q q
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Estructuras de los modelos LTI discretos estándar
(Ljung)
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Los modelos paramétricos estándar
A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo
En la identificacion de sistemas se recurre a los modelos estándar de Ljung,
» cuya validez para un amplio rango de sistemas dinámicos ha sido comprobada experimentalmente
AR, ARX, ARMAX, . . .
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Los modelos paramétricos estándar
A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo
Al orden del modelo se le denomina complejidad del modelo
ARX de segundo orden
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Los modelos paramétricos estándar
Los modelos LTI discretos son relaciones entre polinomios,
El proposito de la identificacion es encontrar los coeficientes de los polinomios (parametros)
1
1 0 11
11
nbnb
nana
b b q b qG q
a q a q
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Presencia de perturbaciones
La salida puede ser calculada en forma exacta una vez conocida la entrada al sistema
Pero en la mayoría de los casos esto es imposible debido a que siempre existen señales espurias que afectan al sistema y se escapan de nuestro control.
1y t G q u t
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Presencia de perturbaciones
Hay muchas fuentes y causas de perturbaciones,
– ruido a la entrada del sistema– ruido que entra en alguna parte
dentro del sistema– ruido a la salida del sistema– entradas exógenas al sistema
YUProceso
perturbaciones
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Sistema generador de datos
Con el fin de simplificar la representacion se considera que todas las perturbaciones entran en la salida
0y t G q u t v t
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Caracterización de las perturbaciones
Una simple aproximación de v(t) podría ser
1v t H q e t
1
0
k
k
H q h k q
donde e(t) es un proceso “ruido blanco”
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Sistema generador de datos
0y t G q u t v t
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Sistema generador de datos
» G(q) modela la parte determinista.
» H(q) modela la parte estocástica.
0y t G q u t H q e t
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Sistema generador de datos
Observaciones:» » v(t), es un proceso estocástico. Pero las
perturbaciones que observamos son realizaciones del proceso estocástico
» En los métodos de estimación de parametros discretos los errores de modelado tambien se incluyen en v(t)
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Respuesta impulsiva y el modelo de ruido
Un modelo LTI puede ser especificado por
y t G q u t H q e t
1
0
k
k
G q g k q
1
1
1+ k
k
H q h k q
ef x : la funcion densidad de probabilidad de e(t)
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Modelos lineales parametricos
Descripción del modelo
, , ,y t G q u t H q e t
ef x : la fdp de e(t) (ruido blanco)
En realidad es un conjunto de modelos
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Familias de modelos (Ljung) Es posible agrupar los modelos en dos
bloques:
» Modelos en que
» Modelos en que
1 1H q
1 1H q
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Modelos en que H(q) = 1
Modelos de media ajustada, MA
1y t B q u t nk e t
1 10 1
nbnbB q b b q b q
modelos de respuesta impulso finita (FIR)
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Modelos en que H(q) = 1
Modelos del error en la salida, OE.
1
1
B qy t u t nk e t
F q
1 111 nf
nfF q f q f q
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Modelos en que H(q) ≠ 1
Modelos autoregresivos con variables exógenas, ARX
1 1A q y t B q u t nk e t
1 111 na
naA q a q a q
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Modelos en que H(q) ≠ 1
Modelos autoregresivos de media móvil y variables exógenas, ARMAX
1 1 1A q y t B q u t nk C q e t
G y H tienen el mismo denominador
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Modelos en que H(q) ≠ 1
Modelos Box-Jenkins, BJ
1 1
1 1
nkB q C q
y t q u t e tF q D q
Una propiedad particular de esta estructura es que G y H no tienen parámetros comunes.
y
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Modelos en que H(q) ≠ 1
Modelos ARARX
Modelos ARARMAX
1 1
1
1nkA q y t q B q u t e tD q
1
1 1
1
nkC q
A q y t q B q u t e tD q
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Estructura PEM
Todas estas familias de modelos se puede representar por
1 1
1
1 1
nkB q C q
A q y t q u t e tF q D q
Util para elaborar algoritmos ya que sus resultados cubren todos los casos especiales
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Estructura PEM
Util para elaborar algoritmos ya que sus resultados cubren todos los casos especiales
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Ejercicio Escriba un modelo de segundo orden con un
retardo para cada uno de los modelos propuestos
» Modelo de media ajustada, MA» Modelo del error en la salida, OE» Modelo autoregresivo con variable exógena, ARX» Modelo autoregresivo de media móvil y variable
exógena, ARMAX» Modelo Box-Jenkins, BJ
Introduzca este modelo en matlab
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Métodos para el ajuste de parámetros
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procedimiento del modelado experimental
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Eleccion de la estructura
Para elegir la complejidad de la estructura del tipo de modelo considerado hay que determinar el orden de cada uno de los polinomios
» es decir na, nb, nc, nd, nf y nk.
Una vez elegidos estos valores, queda determinar el vector de coeficientes
» ai, bi, ci, di y fi
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Eleccion de la estructura
El vector de coeficientes hace que el modelo se ajuste a los datos de entrada-salida del sistema real
Puede ser necesario ensayar
» con varias estructuras» y con varios órdenes dentro de una misma estructura
hasta encontrar un modelo satisfactorio.
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Eleccion de la estructura
Cada una de las estructuras (ARX, ARMAX, OE o BJ) tiene sus propias características
y debe ser elegida fundamentalmente en función del punto en el que se prevé que se añade el ruido en el sistema.
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Eleccion de la estructura
Ejemplo: Supóngase el sistema
¿Cuál es el tipo de estructura más apropiada a elegir para identificación?
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Eleccion de la estructura: Ejemplo
El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE).
2 3
1 21 2 3
1 2 31
b q b qy t u t e t
f q f q f q
Por tanto nb = 2, nf = 3 y nk = 2.
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Eleccion de la estructura: Ejemplo
El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE).
¡ Sin embargo, en la mayoría de los casos el diseñador no dispone de la información sobre el sistema real !
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Objetivos de los métodos de estimación paramétricos
Hemos denominado error de predicción
ˆt y t y t
y t es la salida estimada por el modelo en el instante t.
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Los métodos de estimación de parametros tienen por objetivo:
Según el modelo considerado
Estimar los parámetros de los polinomios: A, B, C, D y/o F,
de forma que, en algun sentido, el error de predicción sea mínimo.
Objetivos de los métodos de estimación paramétricos
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En el caso de la ecuación general PEM
1 1
1
1 1
nkD q B q
t A q y t q u tC q F q
Objetivos de los métodos de estimación paramétricos
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La ecuación de los residuos se puede evaluar considerando dos términos:
» Modelización de la parte determinista
» Modelización de la parte estocástica
Objetivos de los métodos de estimación paramétricos
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Modelado de la parte determinista
1 1
1
1 1
nkD q B q
t A q y t q u tC q F q
Relación lineal entre el error de predicción y los coeficientes de los polinomios A y B
Relación no lineal entre el error de predicción y los coeficientes del polinomio F
métodos analíticos métodos iterativos
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Modelado de la parte estocástica
Los errores de modelado, representados, en parte, en e(t), no son conocidos y la relación que hay entre los coeficientes de los polinomios y los residuos es no lineal.
1 1
1
1 1
nkD q B q
t A q y t q u tC q F q
métodos de estimacion iterativos
se deben tambien estimar los valores de e(t)
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Método de estimación por mínimos cuadrados (LS)
t t
YUU Y
Proceso
Modelo
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Las estructuras ARX y FIR
Las estructuras ARX y FIR tienen la propiedad que:
la predicción con un paso de anticipacion es una función lineal de los coeficientes de los polinomios,
los que constituyen el vector de parámetros
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Modelo de predicción para una estructura ARX
1 1ˆ 1 1y t t B q u t A q y t
Todos los términos de la derecha son simples productos de una muestra de los datos y un coeficiente
de los polinomios
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Solucion: Minimos cuadrados
En estas condiciones
Forma alterna equivalente
11 1ˆ T T
N YN N
1
1 1
1 1ˆN N
TN
t t
t t t y tN N
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Problemas
Ver el documento Tema 3_problemes.pdf
De los profesores Teresa Escobet y Bernardo Morcego
de la Escola Universitària Politècnica de Manresa [Escobet et al., 2003].
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Fuentes Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control.
Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004
Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003
Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003
López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002.
Rengifo Carlos Felipe, Identificacion de Sistemas. Notas de Clase. Departamento de Electronica, Control e Instrumentacion. Universidad del Cauca. Marzo 2005.
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ULTIMA DIAPOSITIVA
