oO

aO

a a a

a o a aiD

o a o a

SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

TEORIA Y PROBLEMASDE

MECANICA TEORICAcon una introduccin a las Ecuaciones de Lagrange y a la Teora Hamiltoniana

POR

MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D.Profesor de Matemticas Re nsselaer Poly technic Institute

TRADUCCION Y ADAPTACION

Joss ALssRro Porrorholexor Uniuersidod Nocionold,e Cslombio

o

AUCKLAND DUSSELDORF JOHANNESBURG LONDRES MONTREAL

LIBROS MeGRAW-HILL MEXICO PANAMA MADRID BOGOTA SAO PAULO NUEVA YORKPARIS SINGAPURSAN FRANCISCO ST.

LOUIS

TOK I

O

NUEVA LELHI TORONTO

MECANICA TERICA Prohibida la reproduccin ttal o parcial de esta obra, por cualquier medo, sn autorizacn escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS

Copyright @ ISZS, respecto a la edicin en espaol por LIBROS McGRAW-HILL DE MEXICO, S. A. de C. V. Atlacomulco 499- sOi , Naucatpan de Jurez, Edo. de Mxico Miembro de la Cmara Nacional de la Ind. Edtoral. Reg. nm.465

0-07-091877-5Traducido de la primera edicin en ingls de THEORICAL MECHANCS copyrisht @ tsez, by McGRAW-HILL BOOK, Co., lNC" U.S.A. 7123,5d}87 2345678901 CC-76 Printed in Mexico lmpreso en MxicoEsta obrs se termin en abril de 1977 en Offset Rebosn, S. A., Zacahuitzco 40, Mxico. D. F.Se

tiraron 2 0(X) eiemplares

PrlogoEn el siglo 17, Sir Isaac Newton, formul sus famosas leyes de Ia mecnica. Estas leyes, de una maravillosa sencillez, sirvieron para describir y predecir los movimientos de Ios objetos visibles en el universo, incluyendo los de los planetas de nuestro sistemasolar.

A comienzos del siglo 20 se descubri que varias de las conclusiones tericas deducidas de las leyes de Newton, no estaban de acuerdo con algunas conclusiones deducidas tanto de Ia teora del electromagnetismo como de los fenmenos atmicos, igualmente bien fundamentados en hechos experimentales. Estas discrepancias dieron lugar a la mecnica relatiuista de Einstein que revolucion los conceptos de espacio y tiempo, y a la mecnica cuntico. Sin embargo, para objetos que se mueven con velocidades mucho menores que la de la luz y cuyas dimensiones son grandes comparadas con las de los tomos y molculas, la mecnica newtoniana, tambin llamada clsica, sigue siendo completamente satisfactoria, y por esta razn mantiene su importancia fundamental en las ciencias y la ingeniera. EI propsito de este libro es presentar la mecnica newtoniana y sus aplicaciones. El Iibro est orientado de manera que puede usarse como suplemento a todos los textos de uso corriente, o como texto en un curso formal de mecnica. Tambin ser til a los estudiantes que siguen cursos de fsica, ingeniera, matemticas, astronoma, mecnica celeste, aerodinmica y en general cualquier campo que requiera en su formulacin los principios bsicos de la mecnica. Cada captulo comienza con una presentacin clara de las definiciones, principios y teoremas junto con ilustraciones y material descriptivo, seguido de grupos graduados de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teora, haciendo nfasis en aquellos puntos sutiles sin dominar, los cuaIes el estudiante no se siente nunca seguro, y permiten la repeticin de los principios bsicos, que es tan importante para un aprendizaje efectivo. En los problemas resueltos se incluyen muchas demostraciones de teoremas y deducciones de resultados bsicos. Un gran nmero de problemas propuestos, con sus respuestas, sirve como un repaso muy completo del material de cada captulo. En los temas tratados se incluyen Ia dinmica y esttica de una partcula, sistemas de partculas y cuerpos rgidos. Se introducen desde el comienzo y se usan a lo largo del texto los mtodos vectoriales, que se prestan tan bien para la notacin concisa y las interpretaciones fsicas y geomtricas. En el primer captulo se hace una exposicin sobre vectores que puede estudiarse al comienzo o bien utilizarse como referencia cada vez que sea necesario. Adems estn los captulos sobre las ecuaciones de Lagrange y Ia teora hamiltoniana, que dan lugar a formulaciones equivalentes de Ia mecnica newtoniana y que son de gran utilidad prctica y terica. Se ha incluido mucho ms material del que se puede ver por lo general en un curso corriente; y esto se ha hecho para dar al libro mayor flexibilidad, hacerlo ms til como obra de consulta, y estimular el inters en los temas. Aprovecho esta oportunidad para agradecer al personal de la Schaum Publishing Company su magnfica colaboracin.

M. R. Sprncnl

TABLA DE MATERIASCaptulo

I

Pgina Mecnica, cinemtica, dinmica y esttica. Fundamentos axiomticos de la mecnica. Modelos matemticos. Espacio, tiempo y materia. Escalares y vectores. Algebra vectorial. Leyes del lgebra vectorial. vectores unitarios. Vectores unitarios rectangulares. componentes de un vector. producto escalar o producto punto. Producto vectorial o producto cruz. productos triples. Derivacin de vectoes. Integracin de vectores. Velocidad. Aceleracin. velocidad y aceleracin relativas. Aceleracin nomal y tangencial. Movimiento circula. Notacin para derivadas con respecto al tiempo. Gradiente, divegencia y rotacional. Integrales de lnea. Independencia de la trayectoria. Vectores libes, deslizantes v fiios.

VECTORES, VELOCIDAD

Y ACELERACION

I

Captulo

2

Leyes de Newton. Definicin de fuerza y masa. unidades de fueza y masa. Sistemas inerciales de diferencia. Movimiento absoluto. Trabajo. potencia. Energa cintica. campo de fuerza conservativo. Energa potencial o potencial. conservacin de la energa. Impulso. Momento de una fuerza y momentum angular. conservacin del momentum. conservacin del momentum angular. Fuerzas no conservativas. Esttica o equilibrio de una partcula. Estabilidad del equilibrio.

LEYES DE NEWTON SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

33

Captulo

3

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME. CAIDA DECUERPOScampos uniformes de fuerza. Movimiento unifomemente aceleado. peso y aceleracin debidos a la gravedad. Sistema gravitacional de unidades. suposicin de que la Tiena es plana. cuerpos en cada libre. proyectiles. potencial y energa potencial en un campo uniforme de fuerza. Movimiento en un medio resistente. Sistemas aislados. Movimiento sometido a constricciones. Rnzamiento. Esttica en un campo gravitacional uniforme.

Y

62

PROYECTILES

Captulo

4

oscilado armnico simple. Amplitud, perodo y fecuencia del movimiento armnico simple. Energa de un oscilador armnico simple. oscilador armnico amortiguado. Movimiento sobreamortiguado, crticamente amortiguado y bajoamortiguado. oscilaciones forzadas. Resonancia. Pndulo simple. oscilado armnico en dos y tres dirnensiones.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

86

Captulo

o

FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

Fuezas centrales. Algunas propiedades importantes de los campos de fuerza central. Ecuaciones del movimiento para una partcula en un campo cental. Ecuaciones importantes deducidas de las ecuaciones del rnovimiento. Energa potencial de una partcula en un campo cental. conservacin de la energa. Determinacin de la rbita debida a una fueza central. Deteminacin de la fuerza central conocida la rbita. secciones cnicas, elipse, parbola e hiprbole. Algunas definiciones en astronoma. Leyes de Kepler del movimiento planetario. Ley de la gravitacin universal de Newton. Atracciones de esferas y otros objetos. Movimiento en un campo de fuerza dependiente del inverso del cuadrado.

.

I16

TABLA DE MATERIAS

Pgina Captulo

6

Sistemas coordenados no inerciales. sistemas coordenados en r 0, entonces A/A : a es un vector unitario que tiene la misma direccin de A y A : Aa. VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES Los vectores unitarios rectangulares i, j y k son vectores unitarios perpendiculares entre s, que tienen la direccin positiva de los ejes r, y y z respectivamente de un sistema coorCenado rectangular (figura 1-6). Usamos un sistema coordenado rectangular dextrgiro, a

VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION

IcAP.

1

no ser que se especifique uno diferente. Un sistema tal deriva su nombre del hecho de que un tornillo de rosca derecha que rota 90" de O a Oy avanzar en la direccin positiva de z' En general, de tres vectores, A, B y C, cuyos orgenes coincidan y no sean coplanarios, se dice que forman un siserno dextrgiro si un tornillo de rosca derecha que recorra un ngulo menor que 180" de A a B avanza en la direccin

de C (figura 1-7).Fig. 1-6

(At,44

As)

Fig.1.7

Fig.l-8

COMPONENTES DE UN VECTOR Cualquier vector A en 3 dimensiones puede ser representado con su punto inicial en el origen O de un sistema coordenado rectangular (figura 1-8). Sean (Ar, Az, A) las coordenadas rectangulares del extremo del vector A con su origen en O. Los vectores Ari, A2i y Ak se Ilaman componentes rectangulares uectoriales o simplemente componentes de A en Ias direcciones x, y y z, respectivamente. Ar, A, y At se llaman componentes rectan' gulares o simplemente componentes de A en las direcciones x, J Y z, respectivarnente' La suma o resultante de Ari, Ari y Atk es el vector A y por tanto podemos escribir

A: Ari+rj+A3kLa magnitud de Aes

(r)(2)

.4:lAl :1/fiT$TT"r = ri *ai*zk

En particular, el uector de posicin o radio uector r de O al punto (x, y, z) se escribe(3)

y tiene magnitud

r-

lrl =

12*y2*22.

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotadopor A'B (lase A punto B) se define como el producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ngulo comprendido. En smbolos,

A'B : AB cos?,

O

l0 f

,

(4)

Obsrvese

que A . B es un escalar y no un vector.

cAP.

ll

VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

Las siguientes leyes son vlidas:

i.i = j.j = k.k = 1, i.j = j.k = k.i = 0 Si A=ri+Azi+Ask y B=Bi*Bzi*Brk, entonces A.B = AtBt*AzBzIAsBz A.A=Az=A?+AZ+A3 B.B=Br=B?+83+Bz 6. Si A'B:0 y AyB nosonvectoresnulos,entonces AyB

1. 2. 3. 4. 5.

B.A Ley conmutativa para el prodcto escalar A'(B + C) = e. B + A. C Ley distributiva p(A.B) = (pA).B = A.(pB) = (A.B)p, donde p es un escalar.__

A.B

sonperpendiculares.

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ El producto vectorial o producto cruz de Ay B es un vector C : A X B (lase Acuz B)' Lamagnitudde A X B sedefinecomoelproductodelasmagnitudesde AyB yelseno del ngulo comprendido. La direccin del vector C : A X B es perpendiculai al plano de A y B y tal que A, B y c forman un sistema dextrgiro. En smbolos

AxB = ABsendu, 0 0; pero cuando N: 0 eeinminente la separaci n de la partcula de la esfera. Entonces el ngulo requerid se da por B sen e - 2 : 0, esto es,

= 2/3

o

c =gen-rL/B

(6)

()

Haciendo sen d

:

Z en (4), encontramos

i, =Entonces si u es la rapidez, tenemos u

zclgb

@

:

b6, asque de

(fl

obtenemos u2

: lbg o u:

,TTFE.

Mtodo

2. Por la conservacin de la energa, tomando al eje

r

como nivel de referencia, tenemos

E, enA

*

E" en A

: EpenP* = sen

E" enP

,tgb +Utilizando el esultado del problemade curvatura es b,1.35

0tsz

mgbsen t)

*

1*o,(8)

=

2gb(L

y la segunda ley de Newton, tenemos, debido a que el radio

F=

tna

= (*,,-#t,) \o= rr,(N

= w+Nntg coac ar(9)

-

mg senc)r

Empleando solamente la componente

tenemos que

o2lbDe(8)y(9)encontramosque

= N-mgaenc

N: ms@senr-

mtodo 1. La rapidez se encuentra a pati de (g).

2)quedaelngulorequeridosen-r G)comoenel

78

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP.

3

Proble mas propuestosCAMPOS UNIFORMES DE FUERZA Y MOVIMIENTO LINEAL DE CUERPOS QUE CAEN LIBREMENTE

g.24. g.26. 3.26. g.27. 3.28. 3.29,B.BO.

Un objeto de masa m se deja cae desde una altura H. Demostrar que si la resistencia del aire es despreciable, llega al suelo: () en un tiempo \878, y (b) con velocidad \E@-

Haceelproblema 3.24 si el objetorBesp.

se

suelta verticalmente hacia abajocon rapidez inicialde magnitud u6.

(o)

(rETzsH -tso)ls,

1o

t/fi+Wu

Comprobar que el objeto del problema 3.3 regresa a la superficie de la Tiea: (o) con rapidez de magnitud igual a la r'apidez inicial, y (b) en un tiempo que es el doble del invertido en alcanza la altura mxima. Una esfera que se lanza hacia aiba alcanza una altura mxima de 100 pies y luego regresa al punto de partida. (o) Con qu rapidez se lanz? () Cunto tiempo gasta en regresar? Resp. (o) 80pies/seg, (b) 5 seg

Una esfera que se lanza hacia ariba pasa por cierta altura Il despus de un tiempo 7r cuando se mueve hale cia arriba, y despus de un tiempo r, cuando se mueve hacia abajo. Comprobarque: (c) magnitud de con que se lanz Ia esfera es Ig(r, I ,"), y () la altura 1 : lgt1r2. la velocidad inicial

CuleslaaltuamimaquesealcanzaenelproblemaS-)?Resp-

tgQr+ 'r)t

Dos objetos se dejan caer desde la cima de un faralln de altua Il. El segundo se suelta cuando el primero ha cado una distancia D. Comprobar que en el instante en que el primer objeto ha llegado al suelo el segundo

est a una distancia por encima del primero igual

a 2VDH - D'

gjl. g.g2.

Un ascensor parte del eposo y alcanza ua rapidez de 16 pies,/seg en 2 seg. Encontra el peso en el ascenso (b) 120 lb de un hombre de 160 lb si el ascensor: (o) est subiendo, (b) estbajando. ResP. (o) 200 lb' Una partcula de 3 kg de masa se mueve en lnea rectay desacelera uniformemente desde una velocidad de (b) 4O m/seg hasta 20 m/aeg en una distancia de 300 m. (a) Encontrar la magnitud de la desaceleracin. avanza antes de detenerse y cunto tiempo gasta? Cunto msResp.

(a)

2 m/seg2,

(b) lm m; 10 seg

g.Bg.

partcula desde la velociCul es el trabajo total hecho sobre la partcula del problema 3.32 para detene la newtons metro (o julios)' dad de 4O m/seg'! Resp. 24ffi

MOVIMIENTO DE PROYECTILES

3.34.

Un proyectil se dispara con una velocidad de 1800 milh formando un ngulo de 60' con la horizontal. Si cae sobre el mismo plano, encontrar: (o) la altura mxima alcanzada, (b) el tiempo para alcanzar la altua mrima, (c) el tiempo total del movimiento, (d) el alcance, (e) la rapidez despus del primer minuto del disparo, (/ ) Ia rapidez a una altura de 32.000 pies. Resp. (a) 15,5 mi, (b)7I,4 seg, (c) 142,8 seg, (d) 35'? mi/h, (l) 1558 mi,/h.

3,3. g.86. g.87.

(o)

que se dispara con velocidad de 1mi,/seg? () Qu Cur es el alcance mximo posible de un proyectil altura se alcanza en este caso? Resp. ( o ) 165 mi' (b ) 4L,25 mi

El alcance mximopo totalSe desea

""

Vfiffi.

de un can

es.tl^6r. Comprobar que: (o) la altura alcanzada es lRr6', y (b) el tiem-

disparar un proyectil desde el suelo para que haga impacto en cierto punto sobre el suelo que est a una distancia inferio a la del alcance mimo. Demostra que hay dos ngulos posibles de disparo, uno me' nor de 45' en determinada cantidad y otro mayor de 45' en la misma cantidad. Un proyectil que tiene un alcance hoizontal B llega a una altura mxima H. Demostrar que debe habese y (b) formando un ngulo con la horidisparado: (o) con rapidez inicial igual a !-FTF-A\M, zontal dado por sen-t Qn/'/-FFtaFz)'

8,g8,

CAP.

3I

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

. CAIDA DE CUERPOS

Y PROYECTILES

79

3.39.

Se dispara un proyectil desde un acantilado de altura 11 sobre el nivel del mar, formando un ngulo a. Si cae al mar a una distancia D de la base del acantilado, compobar que su altura mxima por encima del nivel del mar es

Fig.3-19

MOVIMIENTO EN UN MEDIO RESTSTENTE

3.4o.

Se lanza verticalmente hacia arriba con rapidez uo un objeto de peso W. Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantnea y que la constante de proporcionalidad es r, comprobar que: (o) el objeto alcanza una altura mima de

Wxa6 W. /. -Pr*'s-'n

y que, (b) el tiempo requerido para alcanzar la altura mxima *on\ W . /.

*ro\ \' * W )es

*,"\'*

*)

3'4r'

Un paracaidista cae del reposoy adquiere una velocidad lmite de 15 mi/h. Suponiendoque la resistencia del aire es proporcional a la rapidez instantnea, encontrar qu tiempo se requiere para adquirir una velocidad de 14 mi,/h. Resp. 1,g6 seg Una masa m se mueve en lnea recta bajo la accin de una fueza constante F. Suponiendo que hay una fueza de resistencia que es numricamente igual a ru2, donde u es la rapidez instantnea v r es una constante, demostrar que la distancia recorida desde la rapidez u hasta la rapidez u, es

3'42'

rn, /F-*?r?\ %tn\F=Ar)'3'43' 3.44. 3'45.Una partcula de masa /n se mueve en lnea recta y se ejerce sobre ella una fueza de resistencia constante de magnitud .F. Si parte con rapidez us, (o) en cunto tiempo se detiene? y () qu distancia ecorre en dicho tiempo? Resp. (a) muo/F, (b) mu?/2FPuede esolvese el problema 8.4l por consideraciones de energa? Explicar.

Una locomotora de masa m viaja con rapidez constante uo sobre rieles horizontales. (o) En qu tiempo se detiene la locomotora despus que se desconecta la ignicin, si la resistencia al movimiento se da por a I gu2, donde u es la rapidez instantnea y a y p son constantes? (b) Curl es la distancia recorri-

da?

Resp.

(a) han-,

(uol&), $) (n/zp)ln(ri

puf,/a)

3'46' 3'47' 3.48.

Una partcula se mueve en direccin x y slo experimenta la accin de una fuerza de resistencia que es poporcional al cubo de la rapidez instantnea. Si la rapidez inicial es u y despus de un tiempo r es *uo, probar que la rapidez ser iuo en un tiempo 5r.

Encontra la distancia total recorrida por la partcula del problema 3.46 para alcanzar las rapideces: (c) uo, (b) iuo. Resp. (o) lut, (b) un, Demostrar que para el proyectil el problema 8.14,

(o) el tiempopara alcanzarelpunto ms altoes

4ln -\- * 'ot"t"\ rns P 1,

/'

.

() la altura mxima

es

flLAg sarl a

+h/,\ l5-

'"n",. * u'o,ng/

MOVIMIENTO SOMETIDO A CONSTRICCIONES Y ROZAMIENM

3'49'

Un cuerpo de 100 lb parte del reposo desde el punto ms alto de un plano inclinado de 60' y de 200 pies de longitud. Despreciando el rozamiento: (o) qu tiempo requiere para llegar al punto ms bajo del plano?, v (b) con qu rapidez llega a dicho punto? Resp. (a) 3,80 seg, () ios,gpies,zses

80

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

.

CAIDA DE CUERPOS Y

PROYECTILES [CAP. 3

g.5O. g.6f.

Hacer el problema 3.49 si el coeficiente de rozamiento es

0,3.

Resp. (o) 4,18 seg, (b) 95,7 pies/seg

plano inclinado, de ngulo c Con qu rapidez debe lanzarse un objeto desde el punto ms bajo de un punto ms alto del plano. (b) Qu tiempo gasta? y longitud I para que apenas alcance a llegar al

(o)

nesp. (o)

\MQll@)

g.62. g.b3. g.b4. g.56.

po

Demostar que el coeficiente de rczamiento de un objeto cuya rapidez inicial es uo y que requiere un tiemr para detenese cuando se desliza gobre una supercie de hielo es us/g''Qu fuerza es necesaria para subir por un plano inclinado ResP. 5,87 t de rozamiento es

30'

un camin que pesa 10

t, si el coeficiente

0,1?

una masa rn sobre una tabla horizontal de madera. Se levanta la tabla por un extremo hasta que la masa m empieza a deslizarse. Si en este instante la tabla foma un ngulo a con la horizontal, demostrar que el coeficiente de rozamiento es t : tan a.Se coloca

Sobre una masa de 400 kg que est sobre un plano inctinado 30" se ejerce una fuerza de 4800 nt y que forma un ngulo de 30' con el plano, como se indica en la figura 3-20. Encontrar la aceleacin de la masa si Resp.5,5 m/seg2 , (b) 5,0 m,/seg2 el plano: () es liso, (b) tiene un coeficiente de rozamiento de 0,2'

Fig.3-20

Fig.3-2r

3.66.

Hacer el problema 3.55 si la fuerza de 48ffi nt acta como se indica en la figura 3-21. Resp. (a) 5,5 m/aeg2 , (bl 2,6m/ser2 .

ESTATICA EN UN CAMPO GRAVITACIONAL UNIFORME

3.67.

Un peso de 100 kg se suspende verticalmente del centro de una cueda, como se muestra en Ia figura 3-22. Determina Ia tensin ? en la cueda. Resp. T - 1) kg-f : 980 nt

100

h3

Fig.8-22 3.58.

Fis.3-23

Fig.3-%

En la gura 3-28, ABy AC son cuerdas fijas aI techo CD y a la pared 8D, en los puntos C y 8, respectivamente. De A se suspende un peso Il. $i las cuerdas AB y AC forman, respectivamente, ngulos 0t y 0, con la pared y el techo, enconta las tensiones Tt J Tz en las cuerdas' Resp.Wsen W cosl, rr = s (ar , T2 = "*C,;;ct

3.59.

Encontrar la magnitud de la fueza F requerida para mantener en equilibrio sobrc el plano inclinado la masa m, si: (o) el plano es liso, (b) el plano tiene un coeficiente de rozamiento p. Resp. (o)

tr'=

ffi,

(D)

'= gffi4-99t")

cAP. 3l

MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME

CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES

81

3'60.

Qu fuerza debe aplicarse a un trtn que pesa 320 t para que adquiera una rapidez de lb mi,/h en 20 segundos, partiendo del reposo, si el coeficiente de rozamiento es 0,02 y: (a) cuando la a frea es horizontal, (b) cuando la va frea foma un ngulo de 10" con la horizontal y el tren va hacia arriba. (Use sen 10o : 0,1737, cos 10" : 0,9813) Resp. (a) l?,4 t, (b) 129,6 t

3.6 f

.

Resolver el problema 3.60 ( b ) cuando el ten baia.

Resp. 3,6

tngulo

3'62'

Un tren de masa rn se desliza con rapidez constante uo sobre un plano inclinado que forma un

4 con la horizontal, y de coeficiente de rozamiento r. Demostrar que la fueza el ten en un tiempo se da por rng(seno - p cos a) I muo/r.PROBLEMAS VARIOS

necesaria para detener

3'63'

Una piedra se arroja a un pozo y el sonido producido al choca con el agua es odo un tiempo r posterior al instante en que se solt. Suponiendo que la rapidez del soniilo es c, probar que el nivel del agua del pozo est a una profundidad (@ 2ec, - c)"/28.

3'64'

Un proyectil se lanza hacia abajo desde la parte superior de un plano inclinado un ngulo a, formando un ngulo 7 con el plano inclinado. Suponiendo que el proyectil golpea el plano, probar que (a) el alcancese da

por o

:

2o

sely--c5y

- ")

y que, () el arcance mximo hacia abajo del prano es

E,, =3'65'

td=;;ttan-t/=2*""21 \. \3 - cos 2a/'

T:

Un can se coloca sobre un cerro que tiene la forma de un plano inclinado que forma un ngulo c con la horizontal. Un proyectil se dispara hacia ariba formando un ngulo con el plano. probar que si se de-

seaqueelproyectilgolpeeelcerrohorizontarmente,debecumplirseque :

3'66'

Suponer que dos proyectiles se lanzan formando ngulos a y p con la horizontal desde el mismo punto en el mismo instante, en el mismo plano vertical y con la misma rapidez inicial. probar que durante el movimiento, la lnea que une los proyectiles forma un ngulo constante con la vertical dado por t@ 1-

il.

3.67. 3'68'

Es posible resolver

Explicar.

la ecuacin F : d,\mv)/dt : dp/dt por el mtodo de

separacin de variables?

Cuando un pr O y Fig.1-r3 r ) 0, la partcula est sobe el eje positivo y movindose hacia la derecha. por tanto, la fuerza de resistencia debe estar dirigida hacia la izquierda. Esto slo puede cumplirse si

dx,/dt:10,Para hallar

porrional a la rapidez; as que f : g dt/dt. don_ de es constante. Luego, si - M cuando

/

es pro_

f,

f - -zoffiEsfcilmostarquelamismaformadef dr,/dt < 0 (vase el problema 4.,15). Por la segunda ley de Newton escorctasi

e)

r)

0, dr/dt < 0,

r(

0,

dt/dt>

0,

< 0,

u#, = -zofri- 4oni ffi+tff+a, =o

(3)

(4)

Como la partcula parte del reposo a 20 cm de O, tendremos

r = 20, dr/dt = 0 -

en =0

(5)

donde suponemos que la partcula parte del Iado positivo del eje partcula parte del lado negativo, en este caso : 20).

r

(habamos podido sr.poner que la

(b) x :

eot es una solucin de (4) sia2

I4rr*8 = 0es

o

a = +(-4tlto-S2) = -Zt}icos2t

La solucin general Si

: N en t :

0, encontamos de (6) que

Diferenciando obtenemos,

A : 20, i.e., t - e-2t(20cos2t* Bsen2)

, "-zt(A

* B sen2tl

(6)

(7)

Usando el problema 4.2.

dr/dt = (e-2tx-40 se2t * 28 cos2t) * (-2e-zt)(20 cos 2t * B aen2tl Puesto que dx/dt : 0 en : 0, de (g) tenemos, B : 20, Entonces (Z) se convierte en a - 20e-2t(cos2t * sen 2) = 20t/2e-zt cos (2t - r/41

(s)

@)

20fr cn

r

98

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

lcAP.

4

(c) (d)

De (9): amplitud

:2gt$"-zt

cm, peodo

:2r/2:

seg, frecuencia

: l/r

vib/seg.a

En la figura 4-14 se muestra la gca. Ntese que la amplitud de la oscilacin decrece tendiendoceo cuando

t

crece.

4.12.

Determinar el decrecimiento logatmico en el problema 4.11.Mtodo

l.cuando

El mximo (c mnimo) de tiene lugarcuando cuando

dt/dt : 0.

De (9), en el problema 4.11,

drldt = -80e-2t sen2 = 0 t : 0, r/2, r,3"/2,2r,5/2,. El mximo ocurre cuando t : 0, ,2, ; el mnimo ocurre t : r/2,3r,/2,5r/2, La azn de dos mximos sucesivos ss -z(oll-2G) s s-2(t)f-2(2nr, etc., i.e. e2-. Entonces el decrecimiento logartmico es : ln (e2') : 2r.De (9), en el problema 4.11, la diferencia entre dos valores sucesivos de , denotados po para los cuales cos (2t - r/4) : 1 ( -1) es , que es el peodo. Entonces

Mtodo 2.

t y

fn

+r

20{2 e-2'" = "'" ,*4, = lrBli; Mtodo 3.De (I3), (18) Y (21), tenemos

Y

3 = ln(tn/xn+t) =

2o

A = ^tP = /9\/Puesto que

aTm 1\zrn )y,/n.'n -@ )

2"9

,ta*,

m

: 5, I :

20,

r:

-

p,

40 [Problema 4.11, ecuacin @\1, 6

:

2r.

4.13.

Determinar el perodo natural y Ia frecuencia de la partcula del problema 4.11.El peodo natural es aquel en que no hay amortiguamiento. En tal caso el movimiento est dado por las ecuaciones (3) o (a), de las cuales se ha quitado el trmino dx/dt, del problema 4.11. Entonces

o tr = Acos21/-2tIBsen2l/lt dzrliltz*8r=0 As: peodo natual : 2r/2{Tseg: n/frseg; frecuencia natural - fr/" viblseg. 4.14. Para qu intervalo de valores de la constante de amortiguamiento del problema 4.11 tendremos movimiento: (o) sobreamortiguado? (b) oscilatorio amortiguado? (c) crticamente amortiguado?Denotando la constante de amortiguamiento por , la ecuacin (3) del problema 4.11, queda como

^ilr 6 d2r. = -FE'-. dtriEntonces, el movimiento es:

40fl

o201f2.

ilzx + B dx , o^, 2 E -r n =

u ^

(o) (b) (c)

Sobreamortiguado si (/5)z

) 32, i.e. B >

Bajoamortiguado si (/6)2 ( 32, i.e. B

0.

En este caso, la ecuacin (1) del problema 4.21 se convierte en

*

16z

=

160 cos 5

(r)(21

y las condiciones inicialesLa solucin general de (I)Usando

son

z=0, dz/dt=0 en t:0

es (3)

z = Acosft * Bsen4 - 8cos6 las condiciones (2) y (3), encontamos A : 8, B : O y z = 8(cos4-cos6) = 8{cos(5-)-cos(6+0} =

16sensen6

La grfica de e en funcin de est representada por la curva continua de la figura 4-16. Las lneas a trazos corresponden a las curvas z : 116 sen obtenidas haciendo senSt : *1. Si consideramos que 16 sen es la amplitud de sen 5f , vemos que la amplitud vara sinusoidalmente. El fenmeno se conoce como modulocin de la amplitud y tiene importancia prctica en comunicaciones y electrnica.

Fig.4-16

EL PENDULO SIMPLE

4.23.

Determinar el movimiento de un pndulo simple de longitud I y masa m considerando oscilaciones pequeas y ausencia de fuerzas de resistencia'Consideemos que la posicin de n en cualquier tiempo est determinada por s, longitud del arco medida desde Ia posicin de equilibrio O (figura 4-17). Sea 0 el ngulo formado por el pndulo con la vertical. Si T es el vector unitario tangente a la trayectoria circular de la masa m del pndulo, entonces, de acuedo con la segunda ley de Newton,

^ffifo,comos:J0.

d,ze

^

= -mgseneT-9;seno

(l)

@=

e

\2)send

Para pequeas oscilaciones podemos remplazar

por 0 con un buen grado de precisin, de manera que la ecuacin (2) puede remplazase por

4o**1t =

o

(3)

CAP.

4]

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

r03

la cual tiene como solucin Tomandocomocondicionesiniciales

c = A eostltt * B sentlillt e - 0o, d|/dt:0 en :0, encontramos A:0=co cos

0s,

B:0y

\/i|l t

De donde observamos que el perodo del pndulo es

2r{ffi.

4.24.

Demostrar cmo puede obtenerse la ecuacin (2) para el pndulo del problem a 4.2g usando el principio de la conservacin de la energa.

OA: OC _ AC: I _ lcose : \L _ cosr). Deacuedoconelprincipio de la conservacin de la energa (tomando el nivel de refercncia para la energa potencial el plano horizontal que pasa por el punto ms bajo O) tenemos energa potencial en I * energa cintica en B : energa total : E : constanreVemos,delafigura4-l?,que

mgl(lComo

s:

-

cos cos

a)

+

tm(ds/clt)2

=

D

u)(2)

ld,

mgl(l

a)

+

+rnl2(de

/dt)2 :

E

Diferenciando ambos lados de (2) con respecto a , encontramos

mgl*ne+mlzi = 0de acuerdo con la ecuacin (Z) del problema 4.23.

o

.i+(c/lr""n,

=

o

4'26'

Resolver el problema 4.23 considerando que acta una fuerza amortiguadora proporcional a la velocidad instantnea.En este caso, la ecuacin de movimiento (i) del problema 4.28se remplaza

por

*#, = -mssenor-B#, , # = -rsnr-{-#Usando s

- ld y remplazando sen d por 0 para pequeas

oscilaciones. se obtiene

Trcs casos se presentan:Caso

#-#,#*1,-et/2m (A coso

=o{l:/t _ pt4^z

1.

F2/4rnz

< 0,,Q

=

* I senro)

donde o =

Este es el caso de oscilociones amortiguadas o mouimiento de amortigwcin dbil.Caso

2.

F2/4m2

= gll

Q

= e_Bt/2n(A+Bt)

Este es el caso de mouimiento crticamente amortiguado.Caso

3.

B2/4m2

> Clt

0 = e-Bt/2m(AertBe-\.)

donde,

tr={p/nmz_

Este es el caso de mouimiento sobreamortiguado. En cada caso las constantes A y I pueden determinarse a partir de las condiciones iniciales. En el caso t hay oscilaciones que disminuyen continuamente. En los casos y 2 B el pndulo gradualmente regrcsa a la posicin de equilibrio sin oscilar.

OSCILADOR ARMONICO EN DOS Y TRES DIMENSIONES 4.26. Hallar la energa potencial para el oscilador armnico: (o) en dos dimensiones, yen tres dimensiones.

()

104

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

[cAP.

4

()

En este caso la fuerza est dada porpuesto que

F = -rcpi-xzUies

VXF:

O, el campo de fuerza

existe una funcin Vtal que

F : -VV.KzA!

conservativo, Entonces eriete un potencial, es deci,

Tenemos

F = -K/'i_a partir de la

= -vv = -{lxza, 0Vl0z

-fft-{*o

cual av/or = rr, |Vldy =

=0

V - lrP2 |t*ra'tomando igual a cero la constante arbitraria de integracin, se obtiene as la energa potencial requerida.

(b)

F: O' EnEnestecasotenemos F: -.ri - xli - (Bzk quetambinesconservativapoque V X en la parte (a), |VlAr = xp, 0V/0U - x2A, dVl\z = xsz de la cual la energa contramos, como potencial requerida es

l/ - lxpz *

[*rU'*

$xszz

4.27.

Urra partcula se mueve en el plano xy en un campo de fuerza dado por

xyj. Demostrar que Ia partcula se mover generalmente en una trayectoriaSi la partcula tiene masa m, su ecuacin de movimiento es2r

F : -xi -

elp'

tica.

m;; o,comor:i*yi,Entonces

= F = -rri-xYi

(r)

*#r+*ffii = -rri-rvirnAF

&r

=

-Kr,

^ffi = -*uu = Blcostflimt *B2sen

(2)

Estas ecuaciones tienen soluciones dadas respectivamente por

tr =

A1

cos{t *

A2"entflimt,

'/-l^t

(3)

vector de posicin supongamos que en : 0 la partcula est localizada en un punto cuyo velocidld dr/dt : uri * uzj. usando estas condiciones, encontramos o + bj movindos!_gen

es r : At : a,(4)

lr=1, A2=oflii, Bz=rz@

Y

fr = ocoso*cseno, donde c : ur{m, d : uzYffi. Despejandocos

d =

,

A -- D cos ct * d sen o sen@t y cosot en (4) encontramos, si ad I oa-bt . sor=fi-fi

bc,

Elevando

al

cuadrado

y

oConsiderando que

y teniendo en cuenta que cos2ot * sen2ot: l, (ilr-cal2 t (aa-br\z - (oil-bc)z (b2+12)n2-2(cd'*ab)rv*(a2*c2la2 = (o'il-bczsumando,

encontramos

(5)

donde A>0, c>0'D>0 Arz*Bra*Cyz - p yaunahiprbolasi correspondeaunaelipsesi 82 - 4AC < 0, aunaparbolasi 82 - 4AC:0 82 - 4AC > 0. En (5) vemosque A: b2 + d2, B - -2(cdt ab), C: a2 * c2 asque 82-4AC = 4(cd+-ob)z-4(bt*)(az+c2l = -4(otl-bc)z ' O si A : c' pues od I bc. Por tanto, en general, la trayectoria es una elipse y ser una circunferencia : br' Si o -: bc la elipse se reduce a una lnea rccta ay

la

ecuacin

cAP. 4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

105

PROBLEMAS VARIOS 4.28. Un cilindro flota con su eje en posicin vertical en un lquido de densidad o.

Se em-

puja levemente hacia abajo y luego se deja libre. Encontrar el peodo de la oscilacin si el cilindro tiene un peso Wy una seccin trasversal de rea A.Sea i?S, la posicin de equilibrio del cilindo, situada a una distancia z de la superficie PQ del lquido en cualquier tiempo . De acuerdo con el prncipio de Arqumedes, la fuerza de empuje sobe el cilindo es (Ae)o. Apli-

cando la segunda ley de Newton,

W&z e iltz = -AzoResolviendo,

#*t#"c1

=

o

+ c2"entfffit y el perodo de oscilacin es zrfr@.

z =

.os1@t

Fig. {-18

4.29.

Demostrar que si no se suponen pequeas oscilaciones, el peodo de un pndulo simple es.1-

. [7 f"''t

I s Jo tF-

da

donde k =si no se

sen(00/2\

La ecuacin de movimiento para un pndulo simple (ecuacin (31), de este captulo)

suponen pequeas oscilaciones es

(r)

Sea

d|/dt : . Entonces

y (l)

se trasfoma en(2)

Integrando (2) obtenemos

* = +coac+cCuando 0

(3)

:

Co,

u : 0 entonces c : -(C/l) cosC. Portanto (J) puede eecribirse u2 = (2clll(cosr-cosro) o itolitt = *r,/@i

como@)

Si rtstringimos el movimiento de manera que el pndulo c mueva de C : 0s a 0 : 0, lo cual corresponde en tiempo a una cuarta parte del perlodo, debemos usar el signo menos en (4) y obtenemos entonces

deldt=-\Ml

Separando las variables e integrando, tenemos

l=Como

\J ffien

[t r

dc

:0

en

0:0o y t: P/4

0:0,

dondePeselpeodo,tc

_ F fto F = o\uJ,

(5)

106

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

[cAP.

4

Haciendo uso de la identidad trigonomtrica cosd plaza 0 por de, (5) puede escribirse como

:

2 sen2(0/2)dc

- l,

y de una similar, donde se rem.(6)

P=Tomando

,rTli {;pc -sep@Iasen

sen(el2) =

(asl2) senp

t-)

Y tomando la difeencia en ambos lados.

f, cos(cl2) dc =o llamando

sen(es/2) cos d d

k:

sen (0o/2),

de=

Vemostambinde(7)quecuando0:0,:0,ycuando0:0o,:/2.Porconsiguiente,(6)setrasforma en la ecuacin requerida,

ttz d6 ? = o \;[-l J. fiur""nrrra el perodo(8),

(8)

Ntese que si se tienen pequeas oscilaciones, es decir, si & es ceo o tiende a cero, entonces se obtiene pa-

(e)

como ya lo vimos.

La integral en (8) se llama integrol eptica y no puede ser evaluada exactamente en trminos de funciones elementales. La ecuacin de movimiento del pndulo puede resolvese paa I en trminos de funciones elpticas, las cuales son generalizaciones de las funciones trigonomtricas.

4.30.

Demostar que el perodo obtenido en el problema 4.29 puede escribirse como

('\\' P = 2,t/Ugjl+(: t,*'\2'4/'" k, *'\2'4'6/'- . *, . .] - ,2/'" /11)' ( !-'3,' 1-)' )|(1,entonces

El teorema del binomo establece que si lr

(l*c)aSi

= | * pr *#*

* W*

* "'

p : - *, la ecuacin

anterio puede escribirse como

(r+a-rtz_ F = _ fnt2

= t -i" +fi"r- !'35n' 1 ...dO

Haciendo x : -h2 sen2 e integrando desde 0 a r/2, encontramos

avrio

)o

= o* !:"{t . i k2*n2 + ffit'."'no + "'}o . (;)'-, . = 2,,/Tn{' -,.ffi;;re (#+)' r + (}s. o)'" * . } n.donde hemos usado

la frmula derintegracin

I uo

senz"

6

dP

=

1.3.6"'(2n-l)r 0 es una

constante.Sient:0,:0ydx/dt:0,encontrar:(a)enfuncinde,(b)elperododela fueza externa para que haya resonancia. Resp (a) x: (8seno - 4osenzt)/( - o2) si o l2;

x:

sen2

(b) r:2

- 2cos2t si o:2

o perodo: r

4.66.

Un resote vertical de constante 17 lb/pie tiene suspendido un peso de 32 lb; se aplica una fuerza externa expresada como funcin del tiempo t por F(l) : 65 sen 4t, t > 0; se supone que acta una fueza de amortiguamiento expresada en lb por 2u, donde u es la rapidez instantnea del peso en pies/seg. Inicialmente el peso est en teposo en la posicin de equilibrio. (o) Deteminar la posicin del peso en cualquier tiempo. (b) Indica las soluciones de la oscilacin momentnea y de estado estable y dar las interpretaciones fsicas de cada una. (c) Encontrar la amplitud, el peodo y la frecuencia de la solucin de estadoestable (emPlear C

:

32 pies,/seg2).4

Resp. (a) x : 4e-'

cos 4f * sen 4t - 4 cos 4t () Transitoria,4e-t cos 4t; estado estable, sen 4t - 4 cos

(c) Amplitud : \fti pies, perodo : ,/2

seg, frecuencia

: 2/o vib/seg

4.57,

Un resorte se comprime 5 cm. al actuar sobre l una fueza de 50 dinas. Una masa de 10 g se coloca en el extemo inferior del resorte. Despus de que el equilibrio se alcanza, el extemo superior del resorte se mueve hacia arriba y hacia abajo de manera que la fuerza que acta sobre la masa est dada por F(t) : 20 cos o, > 0. (o) Encontra la posicin de la masa en cualquier tiempo medido I partir de su posi' cin de equilibrio. (b) Encontar el valo de o para que haya resonancia. Resp (a) = (20 cos o)/(1 - t2) - 20 cos , (b) o = 1Una fueza extena peridica acta sobre una masa de 6 kg suspendida del ertremo inferior de un esorte vetical de constante 150 nt/m. La fuerza de amortiguamiento es proporcional a la rapidez instantnea de la masa y es 80 nt cuando la rapidez es 2 m/seg. Encontra la frecue."ia para que haya resonancia. Resp. 5/6" vib/seg

4.6A.

PENDULO SIMPLE4.59. Encontra la longitud de un pndulo simple cuyo perodo es 1 seg. Dicho pndulo que registra segundos llamado un pndulo de segundos. Resp. 99,3 crn o 3,26 pieses

4,60.4.61.

Ser el perodo de un pndulo que registra segundos en un cierto punto, mayo o meno cuando se lleva

a otro punto donde la aceleracin de la gravedad es mayor? Explicar.

Resp. Aumenta su peodo

Un pndulo simple cuya longitud es 2 m se desplaza hasta que la cuerda foma un ngulo de 30' con la vertical Entonces se suelta. (o) Cul es la rapidez del pndulo cuando pasa por un punto ms bajo? (b) Cul es la rapidez angular en el punto ms bajo? (c) Cul es la mxima aceleracin y cundo ocure? .Resp. (a) 2,93 m/seg, () 1,46 rad/seg, (c\ 2 m/seg2Probar que la tensin en la cuerda de un pndulc simple vertical de longitud I y de masa m est dada por mg cos 0, donde d es el ngulo instantneo que forma la cuerda con la vertical.

4.62.

cAP.

4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

111

4.63.

Un pndulo de segundos que registra ei tiempo correcto en cieto lugar es llevado a otro donde se ve que pierde T seg por da. Determinar la aceleracin gravitacional en el segundo lugar. Resp. g(1 - T/86.4N)2, donde g es la aceleacin gravitacional en el primer lugar Cul es la longitud de un pndulo de segundos sobre la superficie de la Luna donde la aceleracin de la gravedad es aproximadamente l/6 de la gravedad de la Tierra? Resp. 16,5 cm. Un pndulo simple de longitud I y masa ln cuelga verticalmente de un punto fijo O. Se le da una velocidad horizontal inicial de magnitud us. Probar que el arco sobre el cual oscila en un perodo tiene una

4.64. 4.65.

longitud dada por 4l cos-t (1 -

ul/2gl).

4.66.

Encontrar el valor mnimo de us en el problema 4.65 con el fin de que el pndulo complete una cicunferencia vertical con centro en O. Resp. 2Qf

OSCILADOR ARMONICO EN DOS Y TRES DIMENSIONES

4.67.

Una partcula de masa 2 se mueve en el plano ry atrada hacia et origen por una fuerza dada por F : - 18i - 50yj. En , : 0 la partcula se coloca en el punto (3, a) V se Ie da una velocidad de magnitud l0 en direccin perpendicular al eje . (o) Hallar la posicin y velocidad de Ia partcuia en cualquier tiempo. (b) Qu curva descibe la partcula? Resp. (a) r = 3 cosS i+ [4 cos6+2 senS]j, v = -9 senS i* [10 cos 6t-20 senS]i

4.68.

Hallar la energa total de la particula del problema

4.67.

Eesp. 581

4.69.

Un oscilador armnico en dos dimensiones de masa 2 tiene energa potencial dada por V : 8(t2 I 4y'). Si el vecto de posicin y la velocidad del oscilador en el tiempo t : 0 estn dados respectivamente por ro : 2i - j y ro : 4i + 8i, (o) hallarsuposicin y velocidad en cualquier tiempo f 0, y () determinar el perodo del movimiento.Resp.

(a) r (b\ T /8

(2

cos4*sen4)i* (sen8-cos8)j, y:

(4 cos4-8sen

40i+

(8 cos8+8 sen8)j

4.70.

Desarrollar el problema 4.69 movimiento? Explicar.

si V : 8(2 + A'). Existir en este caso un

peodo definido para el

4.71.

Una partcula de masa m se mueve en un campo de fueza tridimensional cuyo potencial est dado por V : ir(t2 I 4y2 I 16z2). (a) Demostrar que si la partcula se coloca en un punto arbitrario en el espacio, diferente del origen, regresar a este punto despus de algn perodo de tiempo. Determinar este tiempo. (b) Es la velocidad con la cual regresa al punto de partida igual a la velocidad inicial? Explicar.Suponer que en el problema 4.71 el potencial es punto de partida? Explicar.

4.72.

V : lx(x2 + Zy2 + 522).

Regresar

la partcula

al

PROBLEMAS VARIOS

4'73.

Un resorte vertical de constante tiene una longitud natural I y est sostenido en un punto fijo A. Unamasa m se coloca en el extremo inferior del resorte, se eleva a una altura h por debajo de A y se suelta. Demostrar que el punto ms bajo que alcanzar est a una distancia por debajo de A dada por | * mg/, *

\/wF-+-nrn:

4.74. 4.76.

Resolver el problema 4.73 si se tiene en cuenta una amortiguacin proporcional a la velocidad instantnea.

Dada la ecuacin + pi I xt : 0 para oscilaciones amortiguadas de un oscilador armnico, demostrar que si E :^'imi2 * lrx2, entonces E : -p;2. Esto demuestra que si hay amortiguamiento la energa total E disminuye con el tiempo. Qu ocure con la energa perdida? Explicar. Demostrar

4.76. ()

que

.41 cos (o - r)

* A2cos(ot- q2) = A cos (o -

p)

donde.4

=@,

e: ,"r-, (

)

() Usar (a) para demostrar que la suma de dos movimientos armnicos simples de igual frecuencia ysobre la misma recta es un movimiento armnico simple de la misma frecuencia.

4.77.

Dar una interpretacin vectoial a los resultados del problema 4.?6

ttz4.78. 4-79.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

Discutir el problema

4.76 en caso de que las frecuencias de los dos movimintos armnicos simples no sean iguales. El movimiento resultante ser amnico simple? Justificar su respuesra.

Una partfoula oscila en un plano de manea que sus distancias pendiculares estn dadas como funciones del tiernpo por

r y y desde

dos ejes respectivamente per-

= A cos(o*Pt), U = B cos(o*d2) (o) Demostrar que la partcula se mueve en una elipse inscrita en el rectngulo definido por r : I : +8. () Demostrar que el perodo en su trayectoria elptica es 2*/o. 4.8O.Suponer que la partcula del problema 4.?9 se mueve de manera que

:EA,

r = Acos(or*41), A =

B cos(o*cttezl

donde e se considera una constante positiva que se supone mucho mayor que o, Defnostrar que la partcula oscila en elipses que otan lentamente inscritas en el rectngulo : +A, y : 9.4.8

r.

Ilustrar el problemayectoria

4.80 haciendo

una grfica del movimiento de una partcula que se mueve en la tra4 cos(2,4)

r = 3cosl2ttrl(l, a =4.42.Una masa rn que se coloca sobre una mesa sin rozamiento (figura 4-21) se acopla a dos resortes fijos en los puntos A y .B, como se ilustra en la figua 4-21. Los resortes tienen igual longitud natural, masas despreciables y constantes r r 12, respectivamente. La masa rn se desplaza horizontalmente y lego se suelta. Demostrar que el perodo de oscilacin estdadopo P : 2ffiT ,)-. Un resorte de constante r y masa despreciable tiene uno de sus extemos fijo en el punto A. En el otro extremo se coloca una masa m sobre un plano inclinado c, como se indica en la figura 4-22. Si la masa n se hala una distancia re por debajo de la posicin de equilibrio y luego se suelta, hallar el desplazamiento en cualquier tiempo referido a la posicin de equilibio, si: (o) el plano inclinado no presenta rozamiento, () si el plano inclinado tiene un coeficiente de rozamiento .

AFig. l-21

4.83.

flig.l-22

4.84.

Una partcula se mueve con movimiento armnico simple a lo largo del eje .r. En el tiempo to, Zto est situada en : a, b y c, respectivamente. Demostrar que el perodo de oscilacin es

y

Bto

"o"_r4.85.

4tt 1ol

c)l2b

Un pndulo de segundos que da el tiempo corecto en un lugar, se lleva a orro lugar donde pierde 5 minutos por da. En cunto deber alargarse o acortase para que mida el tiempo correcto?

4.86.

Un pndulo que tiene una masa rn se suspende del punto O. Cuando oscila, la cuerda est constrelda a moverse segn las curvas ODA (u OC), como se indica en la figura 4-23. Poba que si la curva ABC es una cicloide, entonces el perodo de oscilacin ser el mismo, independientemente de la amplitud de la oscilacin. En este caso el pndulo se llama un pndulo cicloidal. Las curvas ODA y OC se construyen de manera que sean las euolutas de la cicloide.(Sugerencia. Usar el problema 4.31.)

Fig.l-23

4.a7.

Una cuenta se desliza sobre un alambre sin rozamiento colocado en un plano vertical. Se desea encontrar la forma que debe tener el alambre para que la cuenta al moverse por accin de la gravedad llegue al punto inferio del alambe en el mismo tiempo, independientemente del punto donde se coloque inicialmente la cuenta sobre el alambre. Este es fecuentemente un problema llamado de perodos iguales. Demostrar que el alambre debe tener la forma de una cicloide. (Sugerencia. Usar el problema 4.31.)

cAP. 4l

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

113

4'88' 4'89'

Demostrar que las curvas oDA

cloide ABC.

y OC del problema 4.86

son cicloides que tienen

la misma forma de la ci-

El punto soporte de un pndulo simple de longitud I se mueve hacia adelante y hacia atrs, a lo largo de una recta horizontal, de manera que su distancia a un punto fijo sobe la recta es A sen o, > 0. Hallar la posicin de la masa pendular en cualquier tiempo cons'ideando que sta se encuenta en reposo en la posicin de equilibrio en : 0.Desarrollar el problema 4.89 si el punto soporte se mueve verticalmente en lugar de moverse horizontalmente y si en : 0 la cuerda del pndulo forma un ngulo 0s con ra vertical.

4'9o' 4'91'

una partcula de masa n se mueve en un plano bajo la influencia de fuerzas de atraccin hacia puntos fijos' las cuales.son directamente proporcionales a su distancia instantnea a estos puntos. Demostrar que, en general, la partcula describir una elipse.

4'92'

ta. Demostrar que la tensin en el esorte no excede 2IV.

un resorte elstico vertical de peso despreciable que tiene su extremo superior fijo, soporta un peso w en el otro extremo' El peso es levantado de tal maneia que la tensin en el esorte es cero y entonces se suelun platillo en la par24). Determina la freoscila de ma'nera que

4.93.

4.95.

x : A 4.96.

de parbola.

Una particula se mueve en el plano .ry y su posicin est dada por cos @, y : B cos 2ot. Demostra que describe u.,

"."o

Fig.4-24

Una partcula se mueve en el plano.ry y su posicin est dada por .r : A cos (o1 * t), y : B cos (o2f * dr)' Demostrar que la partcula describe una cuva cerrada o no segn si o1/o2 sea o no racional. En qu caso el movimiento es peridico?

4'97'

y se expresa mediante las ecuaciones d2x/dt2 : -4x. En el tiempo f : 0 la particula se encuenta en reposo en el punto (6,3). Hallar en cualquier tiempo posterior: (o) su posici.r, V tbl su velocidad. -4y' dzy/z :Hallar el

La posicin de una partcula que se mueve en el plano

4'98' 4'99'

tical es: (o) J0", (b) 60., (c) 90..

perod^o de

un pndulo simple de

I metro de longitud si el ngulo mximo que forma con la ve-

Un pndulo simple de 3 pies de longitud se suspende verticalmente de un punto fijo. En t : 0 se le comunica una velocidad horizontal de 8 pies,/seg. Hallar: (o) el ngulo mximo que forma el pndulo con la vertical, () el perodo de las oscilaciones. Resp. (a) cos-t 2/B = 4Lo 49,, (b) 1,92 seg Demostra que los promedios de.tiempo sobre un perodo de energa potencial y energa cintica de un oscilado armnico simple son iguales a 2T2A2/P-2 donde A es la amplitud y p es el perodo del movimiento.

4'loo'

4'lol' 4'lo2'

un cilindo de 10 pies de radio con su eje vertical oscila verticalmente en agua de densidad 62,5 lb/piea con un perodo de b segundos. Cul es su peso? Resp. B,9g X 105 lbuna partcula que se mueve en el plano y en un campo de fuerza cuyo potencial est dado por v : x2 | xy + v2' si la partcula inicialmente est en el punto (3, 4) y tiene una velocidad de magnitud l0 en la dieccin paralela al eje positivo : (a) hallar la po.i.ion "en cualquier tiempo, y () determinar el perododel movimiento si existe.

4'lo3'

En el problem"minado (o, yo) no podr ser alc

arbitrariamente

.' que o1,/r2 es irracional y que en t : 0 la partcula est en un punto deterrectngulo definido por : +A, .y : tB. Demostrar que el punto (o, yo) evamente sino que la particula a., de su movimiento cerra la curva "l "rr..o er Dunto.

114

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE

IcAP.

4

4.104,

Una partcula oscila sin rozamiento sobe una cicloide vertical con su vrtice la proyeccin de la particula sobre un eje vertical oscila con movimiento armnico simple'

hacia abajo' Demostrar que

4.105. Una masa

de elasticidad 20 de b kg en el extremo inferio de un resorte vertical que tiene una constante perodo de 10 segundos. Hallar: (o) la constante de amortiguamiento, (b) el perodo nt,/m oscila con un natural, y (c) el dececimiento logartmico. Resp (a) 19 nt seglm, () 3'r4 seg de 100 g se sostiene en equilibrio mediante dos resortes idnticos de masas despreciables y de constantes iguales a 50 di-

4.106. Una masa

A

B

nas/cm. En la posicin de equilibrio mostrada en la figura 4-25' los resortes forman un ngulo de 30" con la horizontal y tienen una longitud de 100 cm. Si la masa se hala hacia abajo una distancia de 2 cm y luego se suelta, encontrar el perodo de la oscilac

in. esultante.

4.107. un cilindo circular

hueco de radio interno 10 cm de paredes delgadas se mantiene fijo con su eje horizontal' Se coloca una partcula

sobre Ia superficie interna sin rozamiento del cilindro de manera que su distancia vertical con respecto al punto ms bajo sea 2 cm' Hallar: (o) el tiempo que trascurre para que la partcula alcance el punto ms bajo, y (b) el periodo de la oscilacin'

100 g

Fig.4-25

4.log. Una caja cbica 4.1O9. Un resorte

que el perode lado o y peso !l/oscila verticalmente en aguade densidad o. Demostrar es (2"/o)\f6-7W: do de vibracin en oscilacin tiene como ecuacin de movimiento

mdzxldtz+Kr

= F(0

Si:0,dr/dt:0ent:0,hallarrcomofuncindeltiempo'Resp.

r

=

+rymK vo

F(z)

sen

,/it^

A

-

u) dn

4.110. Desarollar el problema

4.10g

si se tiene en cuenta un amortiguamiento proporcional a dx/dt.

4.1f 1, Un resorte en oscilacin tiene como ecuacin de movimiento

*zs/flfz ! rr Si:0,;:usenl:0:(o)encontrarxencualquiertiempot'y(b)determinarlosvaloresdeopara que haYa resonancta.

infeior' En 4.112, Un resorte vertical que tiene una constante r tiene acoplada una masa /n en su extremo : 0 estando el resorte en equilibrio su extremo superior se mueve sbitamente en la direccin vertical t Z 0 Hallar: (o) la posicin de de manera que su distancia al punt 0, resPectivamente.Mtodo

l.es

(a)

La energa potencial

v = -fJ'" Olo, = Jf Wnlo, = -Klr = -Kudonde usamos u : l/r y elegimos la constante de integracin tal que ecuacin (5) del poblema 5.13,

U)

lim

V

: 0. Ahora de la(2)

7t = tlr =(l),

K/nh2

*

Ccosa

As del problema 5.11(b) y la ecuacin

tenemos

(csen r)z

+ (ffi+c

.o.r)' = ffio

ohaciendo C > 0.

G=

#.*h

c=\ffi(r)(4)

+

#(#+

c"o"c)

(b)

Usando el valor de C en la parte (o), la ecuacin de la cnica es

comparndola con la ecuacin (4) del problema 5.16 vemos que la ercentricidad es

Trzo^tr c = {r__W_

De donde puede concluirse que la cnica es una elipse

unaparbolasirespectivamente.

E:0 yunahiprbolasi E>b, Iocualesequivalentea c a de su centro.

Sea O el centro de la esfera. Subdividiendo la superficie de la esfera en elementos citulares tales coABCDA, en la figura 5-rB, usando planos paralelos perpendiculares a op. El rea del elemento de superficie ABCDA, como se muestra en la figura 5-13, es

2t(asenc)(ad,cl -

2zraz Eeno do

ya que el radio es d sen 0 (de manera que el permeto es 2r (o sen 0)) y el espesor es a d0. Entonces o eg la masa por unidad de rea, la masa de ABCDA es 2a2o sen| d0.

t32

FUERZAS CENTRALES

Y

MOVIMIENTO PLANETARIO

IcAP.

5

Como todos los puntos de ABCDA estn a la misma distancia w : AP de P, la fuerza de ataccin del elemento ABCDA sobre n escos C

n

(t)

teniendo en cuenta que por simetra la fuerza neta actuar en la direccin del vector unitario n desde P hacia 0. Ahoa, de la figura 5-13,

coso= PE lp=Usando (2) en (1)

PO-EO pa2

r-a,cose

Q)

y

empleando la ley de los cosenos

u)2hallamos

=

Irz-2arcososen

Qlcos a)

dF=

G(2ra2o(a2

e de\m(r

|

Entonces la fuerza total

es /. F = 2rGa2onn Icos e\3/2 J o=o

r2

2or

-

@

Fig.5-r3(a2

(/ - o cos d) sen,

I

r2

-

2ar

eose)3/2

de

\4)

Podemos calcular la integral usando la variable dada por (3) en lugar de d. Cuando d : 0, u:2: a2 - 2arl r2: (r - o)2 demaneraque , : r- a si r) . Tambincuando f :v, '2: a2 I 2ar* 12: (rI al2, asque p: r* o. Porconsiguientetenemos 2w du = Zar sene do u2-a,2+12 z2\ 12 ocosa : r-a\-- /a2 * %r2r )

Entonces (4) se convierte

en n ^r+a / 12 - o2\ ' F = oGao:mn ('-" (, J,-o\+w2)au'

4rGa2omn

P

5.30.

Desarrollar el problema 5.29

si r 2o, (figrua 7-E). Encon.

Fig.7-2t

Fig.7-29

Fig. ?-30

7'9o' 7'91' 7"92' 7"93' 7.947'glt' 7'94'

Una cadena unifome de 45 kg de peso se suspende de dos soportes fijos separados lb metros. Si la flecha en la mitad es 20cm, encontrar la tensin en los soportes. Resp. 450kg

Una cadena de longitud L y densidad constante o se suspende de dos puntos fijos colocados al mismo ni. vel horizontal. Si la flecha en la mitad est a una distancia D por debajo de la lnea hoizontal que une los puntos fijos, demostar que la tensin en el punto mrs bajo de la cadena es o(L2 4Dr)/gi.

-

Se colocan tres partculas de masas iltt,,nz, rn3 en los vrtices de un tringulo de manera que queden opuestas a los lados de longitudes at, oz ! o, respectivamente. Demostrar que el centro de masa est colocado en la interseccin de las bisectrices del tringulo si y slo si mt/at : mz/az : ms,/as.

Dos masas, t ! mz, estn colocadas sobe un cilindro sin rozamiento y unidas entre s mediante una cueda inextensible de masa despreciable (gura 7-%). (a) Usando el principio de trabajo virtual, demos.

trar que el sistema esti en equilibrio si rn sen at

:

m2sena2. () EI equitibrio es estable? Erplicar.

Resolver el problema 2.93 consideando que existe ozamiento.

Deducir una expresin para la energa cintica total de un sistema de partculas con relacin a un punto que puede moverse en el espacio. Con qu condiciones la expresin matemtica puede simplificarse? Dis. cutir el significado fisico de la simplificacin. Encontrar el centro de masa de la placa unifome que aparece sombreada en la figura ?.80 y que eat limitada po la hipocicloide r2/A -r U2ts =-- d23 y las rectas : 0, y : 0. (Sugerencio. Las ecuaciones para.

mtricasdelahipocicloideson

l:

ocosC,

y:

asena

A.)

Resp.

X:_f :2ffio,/Bl|

r92

SISTEMAS DE PARTICULAS

lcAP. (o)

7

7.57.

Sean m, mz y ma las maeas de tes patcul8s v vrz, vza, v3 su9 velocidades relativas. trar que la energa cintica total del sistema con respecto a su centro de masa esm

Demos-

1m2r!2

* mmglr2zs * m 1ms1)ls m* m2* mg

(b) Generalizar el resultado obtenido en (a).

Z.gt. 7,gg..

Una cadena de densidad variable se suspende de dos puntos fijos colocados al mismo nivel horizontal. Si la densidad de la cadena vara en funcin de la distancia hoizontal referida a la vertical que pasa por su centro, demostrar que la cadena toma foma de parbola.

Discuti las relaciones que pueden existir entre el problema ?.98 y la forma de suspensin de un puente.

Z.fOO. Un elido formado po un cono recto circula uniforme de ngulo c en el vrtice, y una semiesfera de la misma densidad acoplados como se indica en la figura ?-31. Demostrar que el slido slo puede estar enequilibrio estable soDre un plano horizontal si y slo

si a > 60''

Fig.7-31

Fig.7-82

7.lol.

Un slido uniforme (figura ?-32) consiste en una semiesfea de radio o sobre la cual se ha montado un cubo de lado colocado simticamente con relacin al eje que pasa po el cento de la semiesfera. Hallar la condicin que deben satisfacer d y para que el equilibrio sea estable. Resp. olb > lIffiel centroide del ea limitada por la cicloide

7.1O2. Hallary el

n =eje

a,(C

-sen,),

u = a(l -cosr)

r.

Resp.

(a,5a/6)

7.103.

Si la componente del momento con respecto a un punto P en cualquie direccin es cero, demostrar que la componente del momentum angularcon respecto a Pen esadieccin seconserva si: (a) Pesunpunto fijo, (b ) P coincide con el centro de masa, o (c ) P es un punto que se mueve en la misma direccin del centro de masa.En el problem a 7.103, el momentum angular se conserva slo si se cumple(o

7

,1O4.

)'

(b

)o

(

c

)?

Explicar'

?.106. Z.fO6.

Demostrar que el tabsjo virtual de una fuerza es igual a la suma de los trabajos virtuales correspondientes a todas las componentes de la fueza. Demostra que es imposible el equilibrio estable de una esfera colocada sobe otra de superficie perfectamente rugosa (es decir con coeficiente de ozamiento p : 1). Es posible alguna clase de equilibio? Erplicar'

7.1O7. Un slido uniforme que tiene la forma del paraboloide de evolucin cz - { + y2, c > 0 estcolocada sobre el plano ry ionsiderado horizontal. Si la altua del paraboloide es I1, demostrar que el equilibrio es estable si y slo si H < lc.

Z.lO8.

Resolve el problema 7.10? si el plano

ry

est inclinado un ngulo a con la horizontal'

cAP. 7l

SISTEMAS DE PARTICULAS

r93

7.109.

Sobre un plano vertical se colocan dos alambres AC y BC que forman ngulos de 60' y S0' respectivamente con la horizontal, como se indica en la figura ?-33. Dos masas de Bg y 6g unidas mediante una varilla delgada de masa despreciable se colocan sobre los alambres. Demostrar que el sistema estar en equilibrio cuando la vailla foma un ngulo con la horizontal dado por tan-ti6/l.

Fis.7-33

7.llo.

Denostrar cada uno de los siguientes teoremas enunciados por pappus.

() Si una curva cerada C en un plano1,

da por el centroide del rea.

se mueve alrededo de un eje en el plano que no se intersecta con entonces el volumen generado es igual al rea limitada por C multiplicada por la distancia ecori-

(b) Si un

arco de una curva plana (cenada o no) rota alrededor de un eje en un plano que no se intersecta con 1, entonces el rea de la superficie generada es igual a la longitud deiarco multiplicada por la distancia recorida por el centroide del arco.

7'l I l'

de un cilindro.

Usa el teoema de Pappus para encontra: ( o ) el centroide de una placa semicircular, ( el centroide de un ) alambre eemicircular, (c) el centroide de una placa en forma de un tringulo rectngulo, (d) el volumen

7.112.

Hallar: (a) el rea superficial, y (b) el volumen de la regin toroidal obtenida al hacer rotar un crculo de adio c alrededor de una lnea en su plano a una distancia , ) a de su centro. Resp. (a) 42ab, (b) 22d2b

Coptulo 8Aplicociones o sistemos oscilontes, cohetes y colisionesSISTEMAS OSCILANTES DE PARTICULAS Si se conectan mediante resortes dos o ms partculas (o interactan de alguna manera equivalente), entonces las partculas oscilarn o vibrarn unas con respecto a otras. Como vimos en el captulo 4, una partcula que vibra o que oscila, tal como el oscilador armnico simple o Ia masa de un pndulo simple, tiene una frecuencia nica de oscilacin. En el caso de sistemas de partculas, generalmente existe ms de una frecuencia de vibracin. Tales frecuencias se llaman frecuencias normales. Los movimientos de las partculasen estos casos son frecuentemente uibracipnes multiperidicas. lJn modo de uibracin (es decir, una manera peculiar como ocurre la vibracin, debido por ejemplo a condiciones particulares iniciales) en el-cual se presenta solamente una de las

frecuencias normales se llama modo normal de uibracn Vanse los problemas 8.1-8.3.

o simplemente modo normal

PROBLEMAS RELACIONADOS CON MASAS VARIABLES. COHETES Hasta ahora hemos restringido nuestro estudio al movimiento de partculas que tienen masa constante. Existen situaciones importantes que se refieren a masas variables. Un ejemplo, es un cohete que se mueve hacia adelante a causa de la expulsin hacia atrsde las partculas de una mezcla de combustible. Vanse los problemas 8.4 y 8.5.

COLISIONES DE PARTICULAS Durante el curso de suF movimientos dos o ms partculas pueden chocar. Los problemas en los cuales consideremos el movimierto de tales partculas se Ilaman problemas de colisin o de choque. En la prctica al considerar objetos que chocan, tales como esferas, suponemos que son elsticos. El tiempo durante el cual estn en contacto comprende: el tiempo de compresin, durante el cual ocurre una ligera deformacin, y el tiempo de restitucin durante el cual se recupera la forma original. Consideramos que las esferas son Iisas de maneraque Ias fuerzas ejercidas actan a lo largo de una normal comn a las esferas en el punto de contacto (y que pasa por sus centros). Una colisin puede ser frontal u oblicua. En una colisin frontal, la direccin del movimiento de ambas esferas se realiza a lo largo de Ia normal comn en el puntb de contacto tanto antes como despus de la colisin. Una colisin que no es frontal se llama oblicua. En los problemas de colisiones es fundamental el siguiente principio llamado regla de colisiones de Newton, basado en Ia evidencia experimental. Se considera como un postulado. Regla de colisin de Newton. Sean v,, y v,', las velocidades relativas de las esferas a Io Iargo de la normal comn antes y despus de la colisin. Entonces v'r, : -ev*194

CAP.

8I

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

Y

COLISIONES

La cantidad e, llamada el coeficiente de restitucin, depende de los materiales de los objetos y se toma generalmente como una constante cuyo valor vaa entre 0 y 1. Si e : 0 la colisin se denomina totalmente inelstico o simplemente inelstica. Si e : 1 Ia colisin se denomina totalmente elstica o simplemente erstica. En el caso de colisiones totalmente elsticas Ia energa cintica total antes y despus del choque es la misma.SISTEMAS CONTINUOS DE PARTICULAS En algunos problemas el nmero de partculas por unidad de longitud , rea o volumen es tan alto que, para propsitos prcticos, el sistema puede considerarse continuo. Como ejemplos, una cuerda de violn en vibracin, una membrana en vibracin o una esfera que rueda hacia abajo sobre un plano inclinado. Las leyes bsicas del captulo 7 son vlidas para tales sistemas continuos de partculas. Sin embargo, al aplicarlas es necesario usar integracin en lugar de sumatoria ranro para el nmero total de partculas como para el concepto de densidad. CUERDAS EN VIBRACION Consideremos una cuerda elstica tal como una cuerda de piano que est ligeramente tensionada entre dos puntos fijos r : 0 y : I a lo Iargo del eje de las r (figura 8-1). Si la cuerda se desplaza de su posicin inicial y luego se suelta, vibrar u oscilar alrededor de la posicin de equilibrio.

r=0II

a=lFig.

t-l

Fig. E-2

Si Y(x,t) denota el desplazamiento de cualquier punto de la cuerda desde su posicin de equilibrio en el tiempo (figura 8-2), entonces Ia ecuacin que rige las vibraciones est dada por la ecuacn diferencial parciala2yat2

donde si ? es la tensin (constante) de la cuerda y unidad de longitud de la cuerda).c2

"dzy = "'#

(1) es

r

la densidad (constante) (masa por(2)

: T/o

La ecuacin (1) es vlida para el caso de vibraciones que se consideren tan pequeas que la pendiente 0Y/0r en cualquier punto arbitrario de la cuerda sea mucho menor que l.

PROBLEMAS CON VALORES DE CONTORNOLos problemas donde se debe resolver una ecuacin tal como (l) sometidos a varias condiciones, llamadas condiciones de contorno se suelen llamar problemas con ualores de contorno. Un mtodo importante para resolver tales problemas hace uso de las series de Fourier.

196

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES. COHETES

Y

COLISIONES

[cAP.

8

SERIES DE FOURIERCon ciertas condiciones una funcin /(), definida en el intervalo 'y < x < tenga un perodo 2l fuera de este intervalo tiene el desarrollo en serie

t + 2l

y que

f(r) = ? . ft(o,"o.ff + a^"""ff)donde los coeficientes en serie, llamados coeficientes de Fourier, estn dados por

(3)

fi.tx . f'*'t ., (ln = I ), /(r) cos i dr i

V)(5)

'bn

= i1J"

("*" ,, --, ---- rlnx r /(c)sen

Td*

Una serie de stas se llama serie de Fourier de /(). En muchos problemas

r: 0 o -1.

FUNCIONES PARES E IMPARES Si y: -1,'pueden hacerse ciertas simplificaciones en los coeficientes (4) y (5) como se indica a continuacin:

1. Sii(-x)--f(x),A

tL 2 (r.,, = )o r\4 "o" j d'r,

b' =

0

(6)

En tal caso /() se llama una funcn par y la serie de Fourier correspondiente a /(r) tiene solamente trminos en coseno

2. Si i(- t : -f

(x),

dn=0,

bn =

2,

!,' rc1""nff a*

(7)

En tal caso /() se llama una funcin impar y la serie de Fourier correspondiente a f (x) tiene solamente trminos en seno. Si /() es una funcin que no es par ni impar la serie de Fourier contendr trminos tanto en coseno como en seno. Son ejemplos de las funciones pares ra, 3ro * 4x2 - 5, cos x, e'* e-' y la funcin representada grficamente en la figura 8-3. Ejemplos de funciones impares son r3,2xt 53 * 4, sen x, ' - e' y la funcin representada en la figura 8-4. Ejemplos de funciones que no son pares ni impares son a * rt, * cosr y la funcin representada grficamente en la figura 8-5.

Fig. t-3

Fig.

t-l

Fis.8-5

Si una funcin se define en el "semiperiodo" x--0 a x,: I y se especifica como impar entonces la funcin se conoce en el intervalo .- I I x 1 l, de manera que la serie que contiene solamente trminos en seno puede encontrarse. Esta serie frecuentemente se

cAP.8l

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y

COLISIONES

r97

suele llamat serie seno de Fourier en un sem-interualo. Similarmente, una funcin definida desde : 0 hasta : I la cual se especifica como par tiene un desarrollo en serie que se suele llamar serie coseno de Fourier, en un sem,i-interualo.

CONVE,RGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER Supongamos las siguientes condiciones de /():1.

2.

dice que una funcin es continua por segmentos en un intervalo, si el inter_ valo puede dividirse en un nmero finito de subintervalos en cada uno de los cuales la funcin es continua y acotada, esto es, existe una constante B>0 talque -B< f\x) < B. Un ejemplo de una funcin de esta clase se indica en la figura 8-6.)

/()estdefinidaenT( x 1t*2l. f(x) y su derivada /'() son continuas porsegmentos en 1 < x, ( r t 21. (Se

@)

Fig. t-6

3.

Y

En cada punto de discontinuidad, por ejemplo, rr (o rr) en la figura g-6, tiene lmites finitos a la izquierda y la derecha dlsignados, respectivamente, por /() /(r1 * 0) 0) (o (xz

/(rr -

f

*

0),

/(z -

0)).

4. /()

tiene perodo 2l esto es

/(r * 2l) : f(x).

Estas condiciones, si se satisfacen, son suficienes para garantizar la validez de la ecuacin (3) (esto es, las series a la derecha de (3) conu.rg"r, a (x)) en cada punto donde f /() es continua' En cada punto en que /() es discontinua, (3) permanece vlida si se rem/(r) plaza por LUG -t 0) * /( - 0)) es decir, el valor medio de los lmites a la derecha y a la izquierda. Las condiciones descritas anteriormente se conocen como condiciones de Dirichlet.

Problemas resueltosSISTEMAS OSCILANTES DE PARTICULAS 8.f. Dos masas iguales m se conectan por resortes que tienen la misma constan_ te x, como se muestra en la figura g_Z de modo que las masas estn librespara deslizarse sobre una superficie lisa AB. Los extremos del resorte se hallan fijos a las paredes A y B. Determinar las ecuaciones diferenciales del movi_ miento de las masas.Sean Fig. t-Z

Ct xi ABFis.8-E

Di

rzi

mientos de las masas desde sus posiciones equilibrio C y D'en cualquier tiempo f .

r,i y 12i (figura g_g) los

desplaza_de

198

APLICACIONES A SISTEMAS OSCLANTES, COHETES

Y COLISIONES

tCAP.8

esorte hacia la deecha dada por hacia la izquierda dada por -rri.

Consideremos las fuerzas que actan sobre

x(r2i - ri) : x(xz - r)i' y una fuerza debida al esorte As la fuerza neta que acta sobre la primera masa en P es x(r2- u)i - xrlies

la primera masa en P. Hab una fuerza debida al

En la misma forma la fuerza neta que acta sobre la segunda masa en Q

x(n1- r2liEntonces por la segunda ley de Newton tenemos

-

xr.2i

mfu(xil =2m

i2

x(t2-

r)i - "trixr2i

j*(xzil = x(t1- r2li r"it = r(n2-Zxl m'dz = r(n1-2x2)

(I)

o

e)

B.Z. Hallar: (a) las frecuencias

normales,

y

(b) los modos normales de vibracin delecuaciones

sistema del problema 8.1. (o) Sea .r : Ar coso, xz: At cos@t en lasencontramos, despus de simplificar,

(I) y (2) del problema 8.1. EntoncesQ

- rA2 -xA*(2x-rnozlA2(2r-mo2\A1Ahoa si

(r)(21

0

At ! Az son distintos

de ceo, tenemos

2r - ma2

-r

2x

-x - ma2

=00

(3)

oDespejando

t'2o4-4pnu2* 3r2 = o (r*-^"2\(2x-m.21 -x2 = 0 tz*4n2 *m = {la* de donde o2, encontramos cr2 :

,2 = *ltn

!

o2 = }rln

Ul

Entonces las frecuencias normales (o naturales) del sistema estn dadas po

._ 1.f; r=2"\^

v Y

f -u\'^ r =1^/E

(5)se

Las frecuencias normales se llaman tambin frecuencias coractersticas y el determinante (3)llama determinonte caractestico o determinante secular'

() Para encontrar el modo normal correspondiente a o : !7, tomamos o2 : ,/m en las ecuaciones (l) y (2). Entonces encontramos At=Az En este caso el modo normal de vibracin corresponde al movimiento de las masas en la msma direccin (es decir, ambas a la derecha y ambas a la izquierda) como se indica en la figura 8-9. + '

r-o000L{ y0000\r-r0000 Modo normal correspondiente a o : \trlmFis.

Modo normal correspondiente Fig' t'10

a o : Vffi

t-9At = -Az

Similarmente encontramos el modo normal corrtspondiente a ': en las ecuaciones (I) y (2). Entonces encontramos

l57l'

tomando o2 :\x/m

cAP. El

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

Y COLISIONES

En este caso el modo normal de vibacin correaponde al movimiento de la masas en direccionea opuestas (es decir, cuando una se mueve a la derecha la otra se rDueve a la izquierda, y viceveraa) como ee indica en la figura 8-10. Al reeolver este problema podramos haber considerado, r : Br sen ot, x2 Il2 senor o Ir : ArCoso +Beeno, 1.z:AzCOs, *8snrt o r.1:Qrlot, t2:Qr1o3. -

8.3.

Supongamos que en el problema 8.1 la primera masa se mantiene en su posicin de equilibrio en tanto que la segunda masa se desplaza hacia la derecha un valor a > 0 de su posicin de equilibrio. Luego las masas se sueltan. Hallar la posicin de cada masa en cualquier instante posterior.Escribiendomediante

tt : lffi t1 = t2 =

! oz : Vffi, * D1 cos o1t *C1

el movimiento general de amba masas

se describe

coso

C2 senr^r1

D2 aeno{

* *

* ps cos o2 *Cs cos o2t

Caaeno2t

(r)(2',)

D4 senlrt

donde loe coeficientes son todoe constantes. Suetituyendo Iao ecuacioee anterioree en la ecuacin (I) o ) del problema 8.1 (ambae dan et mismo esultado) encohtramos los coeficientes correspondiente de cos@r r, genol t, coe @zt, aener2 respectivamente,

D =

C

Dz

= Cz, Da = -Cs, Dt = -Cq(3) (4)

As las ecuacioneg (1) V Q) pueden escribirse

Ahora

t1 = C cosol * C2senor * Cscos o2t l- Caeeno4t 2 = C1 cosol * C2senort - C cos o2t _ Caaeno\t determinamos cr, cz, cs, cn teniendo en cuenta las condiciones iniciales t=0, t2=o, it=0, iz-O en :0C1* Cs = Q, C1- C, = 6,Q2o1

(5)

De eetas condiciones encontamos, respectivamente,

!

C4o2

= e,C^

Cz,t 0

-

C4ro2

=

g (6)

De donde hallamos

Ct

= ta, Cz= 0, rt = 12 =

C" =

-\a,cos

=

As, las ecuaciones (3) y (a) proporcionan las ecuaciones rcqueridas$c(cos o {o(cosr,r

donde o,

: {,

tz: fiffi.

*

ro2)

(7) (8)

coso2)

Obsrvese que en el movimiento descrito por (7) y (8), estn prcsentes ambas fiecuencias nomales. Egtas ecuaciones demuestran que el movimiento general es una srperposicin de los modos normoles, que algunas veces se llama el prncpio de superposicin.

MASA VARIABLE. COHETES 8.4. Deducir una ecuacin de movimiento para un cohete que se mueve en lnearecta,Sea m la masa total del cohete en el tiempo . Un tiempo mCs tade f A euponemos que la masa es n * An debida a la etpulsin de una masa -Arn de gas que se desprcnde delO

cohete. Ntese que -Arn es ealmente una cantidad positiva porque An se considera negativa.

Flg.t-U

con origen en o' La velocidad de la masa del gas expulaado dei cohee relativo a es la velocidad del gaa con relacin al cohete.

SeanvYv*avlasvelocidadesdelcoheteenloetiemposy+Jttrrpectoalistenrainerial o es v { v donde -v6

2OO

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y

COLISIONES

[CAP.8

Como el cambio de momentum del sistema es igual al impulso, tenemos momentum total en

t + Lt - momentum total en t : impulso ((m*6m)(v 4av) * (-az)(v*v6)) - mv =sobre el cohete.

Fa

(r)

donde

F es la fuerza neta extena que acta La ecuacin (I) puede escribirse comorfu

Entonces tomando

A,n AY - "0t + J-L^ = I' ^t el lmite cuando A-. 0, encontramos ilv m&,-voE .lm = !' Av : u6i,

(2\

Escribiendo

v:

ui, vo

F : .Fi, esto se convierte^d,dn tvt+ ooE

en

= r'

(3)

8.5.

E:ncontrar

la velocidad del cohete del problema 8.4 considerando que el gas es expul' sado a una tasa y velocidad constantes con respecto al cohete y que se mueve verticalmente hacia arriba en un campo gravitacional constante.Sielgasesexpulsadoaunatasaconstantec)0entoncesm:ms-at,dondemeslamasa :0. Como F: -mgi (o F: -me) y dm/dt: -c, laecuacin(3)delproblema

delcoheteen

8.4 puede escribirse

Qno-atl#-'o, = -(mo-otlsIntegrando

.

# = -c+#

(I)

u : - gt - ue ln (no - a) * cr encontramos Ql Si u : 0 en : 0, es decir, si el cohete parte del eposo, entonces cr = uqlnth o Q = 0-oolnm|q mo \ ./ u : - gt * u ln As, (2) se puede expesa como \rrr"-) que da la velocidad en cualquier tiempo. La velocidad es v : ui. Ntese que debe tenerse ms - at > 0, porque de otra manera el cohete no expulsara gas' caso

en el cual el cohete no tendra combustible.

COLISIONES DE PARTICULAS 8.6. Dos masas rn, y mz que se mueven sobre la misma recta chocan. Encontrar las velocidades de las partculas despus de la colisin en funcin de las velocidades antes del choque.Consideemos que

mueven es el eje

partculas antes

vz

despus del choque son vr, y v{, vl, resPectivamente. De acuedo con la regla de colisin de Newton

y

r y que las velocidades de las

la recta sobe la cual

se

^rO_\,

nr@_\,-n

vi-viSegnmentum,

=.(vz-vr)

(l)mo-

Fig.8-12

el prir{cipio de la conservacin del

Momentum total despus del choque: momentum total antes del choque

rnpl*rn2vl =

m1v1 1-m2v2

(21

CAP.

8J

APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES

Y COLISIONES

Resolviendo simultneamente (I)

y

(2),

(m1m1(l

cm2)v1

i

m2(L

t

c'lv2

rnr + ,nz

v!2 =

I clvl * Qn2- em)v2 m1*m2

8.7.

Discutir el problema 8.6 para el caso de: (o) choque perfectamente inelstico, () choque perfectamente elstico.(a) Hagamos e : 0 en (3) V Q) del problema9.6 para obtene

-,, = tutyt*.m2v2 vt _

-6f,'

ty!*mrv, , v;= ffi

De modo que despus del choque las dos partculas se mueven con la misma velocidad, es decir, se mueven conjuntamente como si formaran una sola partcula.

() Hacemos c : I

en (3) V U) del problema 8.6 y obtenemos

oi -

(*'-^'l'''* 2^'"" ,nr+,n2 '.

vL =

2mp1

* (mz,nr + m2

m)vz

Estas velocidades no son iguales.

8'8'

la energa cintica total antes del choque es igual a la energa cintica total despus del choque.Usando el resultado (b) del poblema 8.7 tenemos

Demostrar que en un choque perfectamente elstico de las partculas del problema g.6

Energa cintica total despus del choque

=

L^rnit +

Lrm2v,22

| (m2-m)v2 mr+hl^1 = i^r" + )rnar,

l'

=

energa cintica

total antes del

choque

8'9'

Dos esferas de masas m t Y mz chocan oblicuamente. Encontrar sus velocidades despus del choque en trminos de sus velocidades antes del choque.Sean v,, v:, y V,r, v,2 las velocidades antes y despus del choque, respectivamente, como se indica en la figura 8-1S. Escogemos un sistema de coodenadas tal que el plano ry sea el plano de v ! vz y que en el instante del choque el eje r pase

por los centros C, y C9 de las esferas. Segn la consevacin de momentum, tenemosm1v1

*

tttzy2

= rnpi *

m2v'2

(1)

En la figura 8-13 podemos ver que

Fig.

t-lt(2) (3) (4) (5)

v1 =

or(cos a,

i-

sen a1

j)

v, = o2(cos A2 I - sen , j v = o(cos p1 i - senp, j) v = oLkos4ri-sen6rj)sustituyendo las ecuaciones (2)-(5) en (I) e igualando coeficientes de i y de tenemos i,

n2

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y

COLISIONES

IcAP.

I

* nxLarser.et Irz,rucogCl

m2a2cose2 m2ttgsen02

= mta| cosg, * = nr10l senpl I

m2a'2cosg2m2a'2 senq2

(6) (7)

Por la regla de Newton sobre colisiones, tenemos

Velocidad elativa a lo largo de r despus del choque - c I velocidad relativa a lo largo de antes del choque

I

ottlcos

vi41

'i - vi'io'2 coa

=

-e(v -c(o

'i - vz'i)cos e L

(8)

lo cual usando las ecuaciohes (2)-(5) se convierte en

-

q2 =

-

02 cos ez)

(e)

Adems, como las velocidades tangenciales antes y despus del choque son iguales

vr'j = v'j vz'i = vL'j 0t sen At = l,i sen ru23en02

(10)

(lr)(12)

=

aLsenqz

(r3)

La ecuacin (7) se satisface remplazando las ecuaciones (I2) v (I3). De las ecuaciones (6) y (9) encontramos

oi

(m1cos Cr

=

,'2coa62

=

dl + m2(1 * e)tt2 cos e 2 fr\ -f fitz rnt(1 *c)o1 cos c1 * (m2-m)o2coae2m2r)a1cos

m1*m2i)

Entonces, utilizando (I2) y (13) hallamos

v'1 :

oi(cos P1 i - sen Pt (m - m2c)a 1 cos ,rtt'2@os 62

rnr

i * nz$ * + ftuz

e)o2 cos a2

i

- olsendlj

v'2 =

i-

sen

P, i)_

=

m{l*

c)o1 cos

cri * (mz-tuf)ozcosez -a2seno2i rnLtm2

SISTEMAS CONTINUOS DE PARTICULAS 8.10. Hallar la ecuacin diferencial parcial (/) de las oscilaciones trasversalesen vibracin.

de una cuerda

Fig. t-14Consideremos el movimiento de un elemento de aumentado en la figura 8-14.

la

cuerda de longitud As, que se rpresenta muy

Las fuerzas que actan sobe el elemento, debidas al resto de la cuerda, son las tensiones mostadas en la figura 8-1,1, de magnitudes T(r) y T(x * A) en los extemos x y x * A del elemento.

CAP,

8J

APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES

Y COLISIONES

203

La fuerza neta horizontal que acta sobre el elemento en la direccin i

es

lT(r

1- Lr) cos

r(, * Ac) - f(c)

cos

a(r)li

(r)

La fuerza neta que acta sobe el elemento en la direccin

j

es

Si suponemos la fuerza neta dada en (I) es nula. Teniendo en cuenta que la aceleracin del elemento es azY/P, aproximadamente, y que su maaa es oAs donde c es la masa por unidad de longitud, tenemos a partir ae iZ) v de la segunda ley de Newron,

[?(r * ar) sen d(r * tr) - T(rl sen r(r)]i que el movimiento horizontal en la direccin i es despreciable,

(z)

'o, dividiendo por Arj,

*ffi i =Aa 02Y t^"dt,

lT(r

*

a,r)

sen

0(,

+ trl

-

T(r)sen a(r)li

(3)

=azY

(4)

/ \*) iFAl tomar el lmite cuando A

tY\z

.- 0. tenemos

=Como

S{r."na}dYl0n

(5)

,/t + txWse puede

la ecuacin (5)

, / aY\z azr - \d, / es pequea en

(6)

Para simplificar esta ecuacin, suponemos que la oscilacin es pequea de modo que la pendiente dYlilx valor absoluto comparado con l. Por tanto (6Y/0r)z es despreciable en comparacin con l, v (6) se convierte en azy ay\ a /- 'a, = 0) '

at2

a" \t'

)

Si posteriormente suponemos que la tensin ? es constante a lo largo de la cuerda y que d tambin lo es, (7) se puede expresar como

Azy

dtz =

donde c2 : T/o. A menos que se especifique lo contrario, utilizaemos la ecuacin (8) en la oscilacin de una cuerda.

^Azy "" aa

(8)

8.11. Hallar la ecuacingravedad.

del problema 8.10 si la cuerda es horizontal y se tiene en cuenta la

En este caso debemos agregar al lado derecho de la ecuacin (3) del problema 8.10 la fuerza sobre el elemento debida a la gravedad

_rng =

_o

LB

gi

El efecto de esto es remplazar la ecuacin (8) del problema g.l0 por

#SERIES DE FOURIER

= "'#-o

a-12.

Representar grficamente cada una de las siguientes funciones.

(a)f(r) =t_g

| 3 0(o(6 _5(c(0

, ?erodo:10

204

APLICACIONES A STSTEMAS OSCIANTES. COHETES Y COLISIONES

IcAP.

8

l(r)I

Perodo

+

-

Fig. t-15Puesto que el perodo es 10, la porcin de la grfica de -5 ( ( 5 (lnea gruesa en la figura 8.15) se extiende peridicamente por fuera de este intervalo de variacin (lnea a trazos). Ntese aue /() no est definida en .r : 0,5, -5, f0, -f0, 15, -15, etc. Estos son los valores de discrn-

tinuidad de f(x).

(b) /(c)

fsettc 0 m,,1rl+4,)l.o"B + j2*"@?+u?)l 12*, 0 tenemos . ilu r-;;--u==Vlu')

Integrando

t = !f*."

rm(7)son peridicas.

La integral puede calcularse en trminos de funciones elpticas, las cuales

rO.3l. (a) Demostrar qne d : 0 en aquellos valores de u para los cuales f (u) = (a - Bu)(L - u2) - (t, - 8z)' - 0 (b) Demostrar que la ecuacin en (a) tiene tres races reales, ttr, ttz, u3, auDQen general, no todos los ngulos correspondientes a stas son reales.(o)

- ?u)(l - 6\ - (y - 6u\z Como r?: -senc :O sededuceque :0 donde :0, o f(u\:0.As, d:0 aces de la ecuacin rfu) = (a- Fu)ll-uzl - (l-dzz : gSegn el problema 10.30()

irz = l(u') =

(a

(t) enlas(2')

(b)

La ecuacin (I) puede escribirse como

@l =Como P

put

- (62* a\uz 4 (2.16-

P)u

t

a

-

72

(3)

> 0, se deduce que

/(.) - ., /(-.) - -. /(1) - -(7 - 6)2, /(-1) = -(r + 0,f(ul

Entonces hay un cambio de signo de -. a * cuandou vara de I a -, y por tanto debe existir una ra2, digamos u, entre 1 e como se indica en la figu-

ra

10-19.

se mueva debe cumplirse fu) 2 Z o. Adems, como 0 3 c < r/2, debemos tener 0 < u 5 1. De dondeut ! uz entre 0 yla figura.

Sabemos que para que

el

tromPo

se deduce que deben existir dos races 1, como se indica enSe deduce que en general haY dos ngulos correspondientes 0 y 02 tales

que cosC : tttt cos02 : u2. En casos especiales puede ocurrir que u, :II2Oll2:U:I.

Fig. l0-19

cAP.

101

MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO

273

f O.32. Dar una interpretacin fsica de los resultados encontados en el problema 10.31.

El hecho de que existan dos aces ut y uz conespondientes a 0 ! a 0z respectivamente, demuestra que el movimiento del trompo es tal que su eje siempre forma un ngulo e con la vertical ubicada entre ct ! 0. Este movimiento, de cabeceo del eje entre los lnites 0t ! 02, se llama nutacin y tiene lugar simultneamente con el mouimiento de precesin del eje del trompo alrededor de la vertical, y con el de spin del tr,ompo con especto a su eje. Debido a que el movimiento puede erpresarse en trminos de funciones elpticas (vase el problema f0.104), podemos demostar que es perirdico. En general el extremo superior del eje del trompo describir uno de los diferentes tipos de curvas que se indican en las figuras 10-20, 10-21 y L0-22. El tipo de curva depender de la raz de la ecuacin (vase la ecuacin (6) del problema 10.30)

6=#=o

(t)

la curva de la figura

es mayor que ur, se obtiene la cuva de la figura 10-20. Si es igual a ur, ser Si est entre ut ! uz, describir la curva de la figura 10-22. Pueden presentarse otros casos si la raz es igual o menor que u1 (vase el problema 10.124).10-21.

Si la raz dada por

t/

0=or

0 = 0l

yl6

)

u"

f/8:u2Fig.10-21

tt, 1 yl6 1u2Fig.10-22

Fig. l0-20

Adems del movimiento general en el cual ocurre nutacin y precesin, pueden presentarse varios

cuardo u2

casos especiales. Uno de stos es el de precesin estable sin nutacin (vase el problema f0.28). En este caso lz u2 de manera que 02