7.3.- Movimientos curvilíneos - UNC

Curso l Física I

Autor l Lorenzo Iparraguirre

193

7.3.- Movimientos curvilíneos

Tiro oblicuo y caída libre.

Éste es un ejemplo de superposición de movimientos. Consideraremos un cuerpo de masa m

con cantidad de movimiento inicial arbitraria: 00 vmp

, sometido a partir de ese instante

inicial a una única fuerza constante, orientada verticalmente hacia abajo, de valor P = m g , la

fuerza ejercida por el campo gravitatorio (nos estamos limitando al caso ideal sin existencia

del aire).

Este caso se presta especialmente para aplicar la ley del impulso por componentes, para un

sistema de ejes fijos, ( x , y ) , horizontal el x , vertical hacia arriba el y .

Consideremos entonces: )gm;0(F Resultante

.

Fx = 0 vx (t) = vo x = cte. MRU en x

ay = m g / m = g = cte MRUV en y

Se aprecia que hay un comportamiento sencillo en la proyección sobre cada eje. El movimien-

to del proyectil puede considerarse la superposición de dos movimientos simples distintos:

Eje x :

Fuerza nula Movimiento uniforme

Velocidad y cantidad de movimiento mantienen sus valores iniciales

x(t) es una función lineal

Eje y :

Fuerza constante movimiento uniformemente variado, acelerado hacia abajo

Velocidad y cantidad de movimiento varían linealmente con el tiempo. La acelera-

ción, vy /t , tiene exactamente el valor de la intensidad del campo gravitatorio, in-

dependientemente de la masa del cuerpo que cae.

y(t) es una función cuadrática

proed

Lic Creative Commons

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Veamos los aspectos notables que resultan de esto.

1.- Forma de la trayectoria

Como y es función cuadrática de t, y éste a su vez está ligado con x por una relación lineal,

entonces y debe ser función cuadrática de x, y eso corresponde a una parábola de eje vertical

(tanto para la función y(t), como la y(x).

Ejemplo desarrollado

Se arroja un proyectil con una velocidad de 60 m/s en una dirección que forma 60º con la horizontal.

Encuentre las funciones x(t), y(t), e y(x), y grafíquelas.

Desarrollo

Comenzamos definiendo que el lanzamiento o partida ocurre en t = 0 (se dispara un cronómetro en

ese instante), en el origen de los ejes x, y (el eje y se ubica verticalmente, positivo hacia arriba).

Las velocidades iniciales en cada eje son: v0x = 60 cos60º = 30 m/s; v0y = 60 sen60º 52 m/s.

Con esto tendremos: x(t) = 30 (m/s) t ; y(t) 52 (m/s) t – 4,9 (m/s2) t2 ; si ahora sustituimos t = x / 30 en

y(t), obtenemos: y(x) 1,733 x – 0,00544 (1/m) x2 .

Graficar es más fácil si ubicamos antes algunos puntos importantes: el tiempo para la altura máxima es

t1 = v0y / g = 5,3 s; con ese tiempo averiguamos x1 159m, y1 138 m. Por otra parte, y1 también se

puede obtener aplicando d = g t2/2, o también d = vy2/(2 g).

t

(s) 1 2 3

100

20

138

y (m)

5,3 10,6

x

(m) 50 100

100

50

138

y (m)

159 318

t

(s) 1 2 3 4 5

200

100

318

x (m)

10,6

x = 30 t y = 52 t – 4,9 t2

y = 1,733 x – 0,00544 x2

2.- Superposición de movimiento horizontal con vertical

Este movimiento es un claro ejemplo de independencia de los movimientos según diferentes

direcciones, las figuras siguientes tratan de destacarlo.

La figura 7.16 pretende destacar que lo que desciende un proyectil por acción únicamente de

la fuerza peso, además de ser independiente de la masa, es independiente de que esté avan-

zando o no en sentido horizontal. Y de la misma manera, lo que avanza horizontalmente

mientras cae libremente, no es influido por esta caída. Estas afirmaciones tienen que ver con

las dudas de DESCARTES y MERSENNE enunciadas en el grabado que hemos presentado en los

primeros capítulos: si un cañón que está apuntado de manera exactamente vertical viaja hori-

zontalmente, ¿cuánto avanza horizontalmente un proyectil lanzado por este cañón? Ahora

respondemos sobre la base de las Leyes de la Dinámica: en ausencia de aire avanza exacta-

mente igual que si no hubiese salido del cañón.

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195

x

y

Fig. 7.16: en negro se muestran las posiciones cada 0,05s de una bola que rueda uniformemente

sobre una mesa, y cae luego de llegar al borde. En blanco se muestra una bola que cae desde el

reposo por el eje y, comenzando su caída en el mismo instante en que lo hace la anterior, y otra

que continúa uniformemente en línea recta. La figura destaca que la bola que cae oblicuamente,

desciende (en el mismo tiempo) exactamente tanto como la que lo hace verticalmente, y avanza

exactamente tanto como lo hubiera hecho si hubiese continuado en línea recta. Los movimientos

de las bolas blancas, por otra parte, también pueden ser interpretados como las proyecciones del

movimiento de la bola negra sobre los respectivos ejes.

Experiencia sencilla

Coloque dos monedas justo al borde de una mesa, una de ellas, A, a unos 5 cm de la esquina, y la

otra, B, a 20 o 30 cm de la primera.

Luego consiga una regla o varilla rectilínea de unos 40 cm de longitud, a la cual se tratará de dar un

movimiento semicircular, de manera que deslizándose sobre la mesa le pegue a ambas monedas

haciéndolas caer simultáneamente.

Se trata de que una de las monedas reciba un impulso horizontal grande, y la otra pequeño, de mane-

ra que la primera caiga a unos metros de la mesa, mientras la otra cae muy cerca, prácticamente al pie

de la mesa.

Para ello se recomienda sujetar la varilla de manera que pueda pivotear alrededor de un punto como

O, acomodarla en la posición 1, paralela al borde de la mesa de manera que toque a ambas monedas,

luego llevarla hasta la posición 2, y desde allí, pivoteando en O, girarla rápidamente para golpear las

monedas.

moneda B

moneda A

1

2

O

B

A

mesa vista desde arriba

mesa vista lateral

Con un poco de práctica puede lograrse que la moneda B caiga a 2 o más metros de la mesa, mientras

la A lo hace prácticamente al pie de la misma. Lo que se pretende es comprobar, escuchando el golpe

contra el piso, que la caída de ambas monedas es simultánea independientemente de que una tiene

una gran velocidad horizontal y la otra no.

El sonido permite detectar lo que se busca con gran sensibilidad, y es posible idear muchas variantes

que mejoren la experiencia.

El tiro presentado en la figura 7.16 es un “tiro horizontal”, y no difiere esencialmente en nada

de cualquier tiro oblicuo. En la próxima figura 7.17 mostramos un tiro oblicuo cualquiera. La

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figura 7.16 simplemente representa la parte de la figura 7.17 que continúa desde el instante en

que el proyectil pasa por la altura máxima.

y

x

Fig. 7.17: el movimiento parabólico

de un proyectil ideal es la exacta

superposición de un movimiento de

subida y bajada vertical, rectilíneo,

con aceleración constante, y un

movimiento horizontal uniforme.

También hay otra forma de descomponer el movimiento oblicuo de cualquier proyectil ideal.

La presentamos en la próxima figura 7.18.

C’

B’

B

C

A

caída libre

en 4s

movimiento rectilíneo

uniforme del proyectil si

no actuase la gravedad

c a

í d

a

l i

b r

e

e

n

9

s

Fig. 7.18: las esferas negras muestran posicio-

nes cada 1s de un proyectil ideal arrojado obli-

cuamente desde A. Se muestra cómo hubiera

continuado uniformemente de no existir grave-

dad (Inercia). Además se muestra cómo, si B’ es

el punto hasta el cual lo hubiese llevado este

desplazamiento ideal en 4 segundos, entonces

una caída libre de 4s desde B’, comenzando allí

en reposo, lo restituye al exacto lugar B por el

cual el proyectil realmente pasa en t=4s. Lo

mismo se ilustra para el punto C , al cual llega el

proyectil luego de 9s . Está claro que esto es

válido para cualquier instante: el viaje del pro-yectil sometido a la acción de la gravedad puede pensarse como la superposición del viaje sin gravedad, más la acción de la grave-dad sobre un proyectil que hubiera partido con velocidad inicial nula.

Vemos en esta figura que sería lícito decir que, con respecto al movimiento rectilíneo unifor-

me que tendría el proyectil en ausencia de gravedad (según principio de inercia), se halla en

caída libre desde el mismo instante en que parte. Tanto mientras sube como mientras baja, el

proyectil cae libremente con respecto a la trayectoria rectilínea mencionada.

Esto ocurre (con las modificaciones debidas a la presencia del aire) en todos los proyectiles. A

veces se tiene la idea errónea de que los proyectiles disparados por armas de fuego recorren un

trecho en línea recta y luego comienzan a caer. Eso claramente no es así. Es muy difícil ver

estos proyectiles, y en general el observador se imagina que viajan en línea recta; pero en rea-

lidad mientras viajan caen como cualquier piedra. Sucede que llegan tan rápidamente a cual-

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197

quier punto cercano que no tienen tiempo de caer mucho, y viajan en una trayectoria de curva-

tura muy suave, casi imperceptible. No obstante, están cayendo desde el instante en que

abandonan el cañón del arma.

Veamos números en un ejemplo: una bala disparada a 500m/s recorre 100m en 0,2s. Una pie-

dra cae gt2/2 0,2 m en ese lapso; ¡y la bala también! La trayectoria de la bala parece recta

porque nadie percibe 0,2 m en 100 m; pero el encargado de calibrar la mira del arma, si es un

arma de precisión, sí tiene en cuenta la caída de 0,2 m.

Cuando se arroja una piedra ésta a lo mejor recorre 4 o 5 m en un lapso de 0,2 s, y fácilmente

se percibe la curvatura de esa trayectoria.

3.- Vector velocidad en los distintos puntos

En la siguiente figura se muestra el vector velocidad, tangente a la trayectoria, tiene una com-

ponente horizontal constante, y una vertical variable. Un proyectil lanzado verticalmente con

velocidad inicial vAy, por ejemplo, llegaría hasta la misma altura ymáx porque vy es la velocidad

del movimiento proyectado sobre y, de subida y bajada en línea recta vertical. Por otra parte,

vx es la velocidad del movimiento uniforme que se proyecta sobre el eje x.

y B=0

ymáx v B pA

C v Cx

C IAB

v Ay v A

v Cy v C pB

IBC

pC

A

B

v Ax

En cada instante: 2

y

2

x vvv Diagrama de cantidades

de movimiento

Fig. 7.19 : vector velocidad en tres puntos arbitrarios de la trayectoria ideal de un proyectil.

Los tres tienen exactamente la misma componente x, y la componente vertical que corres-

ponda para ser tangentes a la trayectoria. La velocidad en el punto más alto, B, es la me-

nor de todo el trayecto, y vale lo mismo que la componente x de la velocidad inicial: vmín =

vB = vAx= vA cosA . El diagrama de cantidades de movimiento confirma las mismas cosas.

4.- Análisis “normal-tangencial”

Lo que hasta aquí hallamos acerca de cómo varía la velocidad, también se obtiene cualitati-

vamente a partir descomponer la única fuerza actuante, el peso, en sus componentes normal y

tangencial.

Como se ve en la figura siguiente, es claro que la fuerza tangencial frena al movimiento hasta

el punto más alto, y lo acelera luego. Por otra parte, la fuerza normal curva la trayectoria. Am-

bas componentes varían continuamente.

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y

vB

vA P C

FNC FTC

P vC

A FNA

FTA

P x

B

Fig. 7.20 : componentes normales y tangenciales del peso en distintos puntos de la

trayectoria de un proyectil. En el punto más alto, B, el peso sólo tiene componente

normal, que se confunde con él mismo.


Un inventor propone combatir incendios forestales soltando tanques llenos de agua desde aviones.

Los tanques se reventarían al chocar contra el suelo desparramando el agua en toda una zona, y se

decide poner a prueba la efectividad del método. Para ello un avión que vuela horizontalmente a 600

km/h a 400 m de altura suelta un tanque que se desea que caiga en un punto A.

Despreciando la influencia del aire, calcule cuántos metros antes de pasar sobre A debe soltarse el

tanque, y qué velocidad tiene éste cuando está por tocar tierra.

Desarrollo

Aplicamos la independencia de los movimientos verticales y horizontales. El tiempo que demora el

tanque en llegar al piso se calcula a partir de: 400 m = g t2/2 t = (2 d / g)½ 9,0 s.

En 9 s el avión avanza lo mismo que el tanque: x v9 s 1500 m el tanque debe soltarse 1500

m antes de pasar sobre el punto A (la velocidad del avión en m/s es: 6105m/3600 s 166,7 m/s).

La velocidad del tanque tendrá una componente x que será la misma velocidad del avión, y una com-

ponente y que será (en valor absoluto) vy = g t 88,3 m/s: v (166,7 m/s ; - 88,3 m/s). El módulo es: v

188,6 m/s.

Movimiento circular uniforme

La trayectoria con forma de circunferencia se logra aplicando al móvil una fuerza normal ade-

cuada; para que sea recorrida uniformemente se requiere la ausencia total de fuerza resultante

tangencial, es decir fuerza resultante estrictamente normal. Ahora bien, una vez establecido

que la rapidez del movimiento se mantiene constante, es claro que para obtener una circunfe-

rencia lo único que se requiere es mantener constante el valor de esta fuerza normal (que es la

resultante), pues ello curva uniformemente la trayectoria.

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R

vectores p consecutivos

vectores I = p

consecutivos

(t) x

y

px

py

Diagrama vectorial de

impulsos y cantidades

de movimiento

Fig. 7.21: a la izquierda se muestra la trayectoria indicando varias posiciones consecutivas del

móvil con los correspondientes vectores cantidad de movimiento y fuerza exterior aplicada. Los

mismos vectores p

se indican en el diagrama de la derecha. Se ha sombreado el ángulo entre

dos posiciones consecutivas y entre los correspondientes vectores p

consecutivos para destacar

que son exactamente iguales.

El movimiento es uniforme si el ángulo central varía uniformemente, es decir si (t) es un

función lineal. El cociente entre lo que aumenta el ángulo central y el tiempo transcurrido es

la velocidad angular, para la cual utilizaremos la letra griega (omega):

t

(7.16)

Notar que esta velocidad angular necesariamente es la misma con la cual cambia de dirección

el vector p

, que es la que nos interesa para calcular la fuerza normal con (7.3) o (7.3’).

Para relacionar la velocidad angular con el radio de la curva, y la velocidad con que se la reco-

rre simplemente reemplacemos la definición de ángulo en radianes, ángulo = arco/radio en

(7.16) (usaremos en general l para el arco, es decir para la distancia recorrida a lo largo de la

trayectoria):

R

v

tR

1

t

R

l

l

(7.17)

Ahora bien, ya sabemos que la fuerza debe orientarse hacia el centro de la circunferencia en

todo instante, y que debe mantener constante el módulo dado por (7.3’), F = m v. Sustitu-

yendo en esta expresión a partir de (7.17), podemos tener las expresiones que más se usan:

Rmvm

R

vmvmF

2

R

2

R

v

(7.18)

Y de éstas se puede obtener la expresión para el radio de la curva que seguirá un móvil que

viaja con cierta velocidad mientras se le aplique determinada fuerza transversal:

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F

vmR

2

(7.19)

Pueden obtenerse otras expresiones, útiles para determinados casos particulares.

De manera que como conclusión podemos decir que para mantener un movimiento circular

uniforme es necesaria la aplicación de fuerzas cuya resultante esté dirigida hacia el centro, y

tenga el valor dado por (7.18). Esta fuerza se denomina “centrípeta”, queriendo significar

hacia el centro.

Por acción-reacción, la persona o elemento que aplica esa fuerza al móvil sufre la acción de

una fuerza hacia afuera que le aplica el móvil a ella, llamada fuerza centrífuga, la cual, puesto

que acción y reacción tienen siempre idéntico valor, se calcula con las mismas expresiones

(7.18).

Es errónea la sensación de que sobre el móvil actúa la fuerza centrífuga: el móvil es desviado

de la línea recta por acción de una fuerza exterior dirigida hacia donde es la desviación, es

decir hacia el centro de la curva.

También es errónea la afirmación de que centrífuga y centrípeta se equilibran: cuando las

fuerzas se equilibran el movimiento es rectilíneo además de uniforme. Este es un claro ejem-

plo de no equilibrio de fuerzas: sobre el cuerpo actúa una fuerza neta, la centrípeta, que lo

desvía continuamente. Si en un instante dado se suspende la aplicación de la fuerza sobre el

cuerpo (la centrípeta), desaparece en el mismo instante la fuerza centrífuga, y el móvil, libre

ya de fuerzas, continúa con el p

que tenía en ese instante, constante a partir de allí: es decir

continúa por la tangente (figura 7.22).

Los pasajeros de un ómnibus que toma una curva tienden a irse hacia la pared del lado externo

porque tienden a continuar en línea recta, y no porque algo los empuje, a pesar de lo que a

ellos les parezca. La pared del ómnibus del lado externo de la curva los empuja hacia adentro,

haciéndolos viajar en una línea curva, y esa fuerza de interacción pared contra pasajero / pasa-

jero contra pared da origen a los apretujones, molestias y moretones que resultan de las ten-

siones mecánicas que se desarrollan.

fuerzas centrífugas

que aplica el hilo

tirando del centro

fuerzas centrípetas

que aplica el hilo

tirando del cuerpo

se corta el hilo

vectores p consecutivos

p constante a

partir de que se

corta el hilo

fuerzas centrífugas que

aplica el cuerpo tirando del hilo

Fig. 7.22: ilustración de las fuerzas actuantes en el movimiento circular uniforme de un cuerpo

que gira sujeta por un hilo, en los instantes previos y posteriores a la ruptura del hilo. No se consi-

dera la existencia de la gravedad.

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201

Fig. 7.23: esquema de las fuerzas transversales aplicadas por el pavimento a los neumáticos de

un automóvil mientras viaja por una curva. La resultante de éstas es la fuerza centrípeta.

Ejemplo desarrollado 1

Considere el ejemplo desarrollado al comienzo de este capítulo: un automóvil de 1000 kg (incluida la

masa de los ocupantes) viaja por una carretera rectilínea horizontal a razón de 20 m/s. En el punto A la

carretera se curva suavemente hacia la izquierda, de manera que 10 m más adelante, en el punto B,

continúa en línea recta en una dirección que forma 5º con la anterior. En todo el proceso el conductor

regula la aplicación de fuerza motriz de manera de mantener constante el valor de la velocidad en 20

m/s (el valor de la fuerza de rozamiento, de 1,5 kN es equilibrado por la fuerza impulsora, mantenida

por el conductor también en ese valor).

a) Verifique que obtiene los mismos resultados aplicando las formulas correspondientes al movimiento

circular uniforme.

b) Explique qué debería hacer el conductor, y cómo serían las fuerzas actuantes si la carretera, luego

del punto B, en vez de enderezarse, continuara curvada uniformemente de la misma manera constitu-

yendo una circunferencia.

Desarrollo

a) Valen las mismas consideraciones hechas antes sobre la fuerza vertical (el peso, de 9800 N, está

equilibrado con la reacción normal del piso en todo momento), y sobre la tangencial (hay equilibrio

entre rozamiento y fuerza impulsora, ambas de 1,5 kN, en todos los tramos).

Ahora también decimos que en la curva debe haber una resultante no nula, que debe ser hacia el cen-

tro de la curva (lo cual coincide con lo anteriormente hallado: normal a la trayectoria, horizontal, hacia

la izquierda), y el módulo debe estar dado por (7.18): FR = m v2 / R .

Debemos averiguar R, el radio de la curva que tiene la carretera. Para ello utilizamos que 5º 0,0873

rad, y dado que el ángulo en radianes arco / R, y que el arco AB es de 10 m de largo, obtenemos que

R 114 m.

A B

5º

10 m

5º = 0,0873 rad

R

10 m

R = 0,0873 R 114 m

Así resulta FR 1000 kg(20 m/s)2/114 m 3,50103 N = 3,50 kN, lo cual confirma el resultado ante-

rior.

b) En este caso la trayectoria después de A sería una circunferencia de 114 m de radio, que el móvil

recorrería uniformemente a razón de 20 m/s. Para lograr esto el conductor simplemente debería man-

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202

tener la presión sobre el acelerador para que se mantenga constante la velocidad (con esto continuar-

ía actuando la fuerza impulsora de 1,5 kN equilibrando el rozamiento y anulando la resultante tangen-

cial), y mantener el volante girado adecuadamente para que el auto se mantenga sobre la curva, con lo

cual las ruedas recibirían constantemente del piso la fuerza hacia el centro de 3,50 kN.


Una persona revolea una piedra de 0,8 kg sujeta al extremo de un cordel de 2 m de longitud, de mane-

ra que describe circunferencias horizontales uniformemente a razón de 0,8 vueltas por segundo.

Dibuje la situación. Calcule y dibuje las fuerzas actuantes sobre la piedra.

Desarrollo

Sobre la piedra sólo actúan la gravedad y el hilo, y dado que el movimiento es circular uniforme hori-

zontal, la resultante debe ser horizontal, constante, y apuntada hacia el centro del círculo. Esto signifi-

ca que el hilo aplica una fuerza vertical que equilibra al peso, y como se ve en la figura, una horizontal

que es la resultante.

Fh

O

S

A

P

L

FR

circunferencia en plano horizontal

De manera que el hilo no puede estar horizontal, y el centro de la circunferencia, O, no es el punto de

suspensión, S. El hilo debe formar cierto ángulo con la vertical, tal que Fh cos = P = m g, y se mue-

ve describiendo un cono, por lo cual esto se conoce como “péndulo cónico”. Además la fuerza resu l-

tante debe ser m 2 R, y también debe ser Fh sen.

De manera que deben cumplirse las ecuaciones:

R = OA = L sen ; m g = Fh cos ; Fh sen = m 2 R

Sustituyendo R en la tercera se tiene Fh = m 2 L (como si el hilo girase en un plano horizontal!), y

luego sustituyendo Fh en la segunda: m g = m 2 L cos, de manera que cos = g/(2 L) 9,80

(N/kg) / {[5,03 (1/s)]22 m} 0,194 78,82º ( en donde se utilizó = 20,8 (1/s) 5,03 (1/s)

= 5,03 rad/s).

A partir de estos valores lo demás es inmediato:

P = 0,89,8 = 7,84 N ; Fh = 7,84/0,194 = 40,4 N ; R = 2sen78,82º = 1,96 m ; FR = 40,4sen78,82º

= 39,6 N (que se verifica que vale lo mismo que m 2 R).

Como reflexión final es interesante notar que a medida que aumenta la velocidad angular, se tiene que

cos 0, con lo cual 90º. A determinada velocidad, a simple vista puede parecer que el hilo

llega a la horizontal, pero en realidad los 90º exactos no se alcanzan nunca, y el hilo siempre describe

un cono.

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203

Péndulos y planos inclinados.

Un péndulo ideal consiste en un cuerpo pequeño, asimilable a una partícula puntual de masa

m, suspendido de un hilo de longitud L. Sobre el cuerpo actúan la fuerza gravitatoria, o peso,

vertical, hacia abajo, de valor constante P = m g , y la fuerza del hilo, hF

orientada a lo largo

del hilo, de un valor por ahora desconocido.

m hiloF

sentido del

movimiento

P

Fig. 7.24: se muestran los vectores fuerza actuantes sobre el cuerpo en varias po-

siciones sucesivas de un péndulo, en una pasada de izquierda a derecha. Nótese

como P

es un vector totalmente constante, mientras que hF

varía en todas sus

características, pero manteniendo la orientación del hilo. Nótese también, una vez

más, que no hay ninguna fuerza hacia adelante aplicada sobre m más que las que

resultan de proyectar tangencialmente el peso.

Acción de las fuerzas tangenciales

La única de las dos fuerzas actuantes que tiene componente tangencial es el peso, de manera

que PT es la única que necesitamos considerar para decidir acerca de la rapidez de este movi-

miento.

Así es que aplicamos (7.1), con FT = m g sen, y decimos: m g sen t = m v. Es decir que

la variación de la velocidad de este cuerpo en cada intervalo t es absolutamente independien-

te de la masa del mismo.

En la próxima figura se muestran los elementos geométricos que debemos tener en cuenta.

P

dirección vertical

TP

Fig. 7.25: fuerza tangencial en un péndulo. Obsérvese que el ángulo que forma el hilo con

la vertical es el mismo que forma el movimiento (es decir la dirección tangencial) en cada

instante, con la horizontal.

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204

El cociente v /t, que es la aceleración tangencial del movimiento, resulta totalmente inde-

pendiente de la masa, depende solamente de la intensidad del campo gravitatorio y de la incli-

nación de la trayectoria en cada instante:

t

vg sen (7.20)

Asimismo resultan independientes de la masa en este caso, tanto la velocidad que adquiere el

móvil luego de cierto intervalo cualquiera de tiempo, como la función (t), o cualquiera de las

funciones que indican la posición con respecto a cada eje.

Antes de seguir con el péndulo es importante advertir que estas conclusiones son válidas para

cualquier cuerpo que se desliza sin rozamiento, y sin más acciones motrices que el peso

por una pista de cualquier forma.

Dado que el rozamiento es la fuerza tangencial que aparece en la superficie de contacto en-

tre el móvil y la pista, la ausencia del mismo es sinónimo de que la pista no aplica fuerza tan-

gencial. Por lo tanto, en los casos en que la única otra acción sobre el cuerpo se deba a la gra-

vedad, la única fuerza tangencial actuante será la componente tangencial del peso, y para estu-

diarla o describirla deberemos hacer siempre el mismo esquema geométrico, y siempre ob-

tendremos:

Fuerza tangencial resultante = m g sen

t

vg sen

Y en todos los casos llegaremos a la conclusión de que cualquiera de las funciones que sirve

para describir la posición del móvil a través del tiempo es independiente de la masa.

Por ejemplo en una calle con pendiente, todos los vehículos en buen estado que partan del

reposo o con igual velocidad, sin freno y sin motor, tardarán aproximadamente lo mismo en

recorrer la misma distancia, tanto si es pendiente abajo como si es pendiente arriba. Y llegarán

con la misma velocidad a los mismos lugares, independientemente de que sean bicicletas, mo-

tocicletas, automóviles, o camiones cargados o descargados (para que estas afirmaciones sean

estrictamente ciertas hay que considerar algunos detalles pero, de todos modos, la idea esen-

cial es que la masa no influye directamente).

Otro ejemplo sería considerar una montaña rusa de los parques de diversiones y preguntarse si

es mejor que vaya cargada o descargada para que sea más rápida, o más lenta, o para que haya

seguridad de que no va a detenerse sin poder trepar alguna cuesta. Si el artefacto está en buen

estado, carece en absoluto de importancia que vaya lleno o descargado, cargado con flacos o

con gordos; siempre completará su circuito en el mismo tiempo, y trepará con la misma segu-

ridad por todas las cuestas.

Las figuras siguientes ilustran para algunos casos típicos.

P sen

P

Fig. 7.26: única fuerza tangencial actuante

sobre el carrito de una montaña rusa ideal.

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205

P sen = constante

Fig. 7.27: fuerza tangencial en el plano in-clinado.

En este caso se tiene un movimiento rectilí-

neo uniformemente variado, con aceleración

v/t = g sen , independiente de m.

centro

de curvatura

R

P sen

Fig. 7.28: deslizamiento ideal en una pista con

forma de arco de circunferencia de radio R

ubicado en un plano vertical. Este movimiento,

además de realizarse con velocidad indepen-

diente de la masa, es idéntico al movimiento

de un péndulo de longitud igual a R.

Por último, si se desea aplicar una fuerza externa a un móvil en algún caso similar a éstos, los

razonamientos acerca de la condición de equilibrio o cosas similares, en la dirección tangen-

cial deben centrarse en la necesidad de equilibrar, o superar, a esta fuerza de valor Psen que

estamos tratando aquí.

Ejemplo desarrollado.

Un ciclista de 70 kg está con su bicicleta de 15 kg en reposo en A en lo alto de una colina, y tiene dos

caminos para llegar al punto B, en una calle horizontal 20 m más abajo. El camino 1 es una recta incli-

nada de 100 m de longitud que desemboca justo en B; el 2 tiene una bajada recta, de 50 m de longitud

hasta el punto C de la calle horizontal, seguido del trayecto horizontal restante CB, de 80 m de longi-

tud, como se muestra (visto desde arriba ACB no es rectilíneo, por eso es un poco más largo).

Suponiendo que el ciclista desciende sin pedalear y sin aplicar los frenos (y que no hay rozamientos

apreciables), averigüe, calculando lo que sea necesario, en cuál de los dos caminos adquiere mayor

velocidad, y en cuál llega antes al punto B. A

B C 20 m

Desarrollo

Sabemos que para el descenso en línea recta, sin rozamiento y sin motor, la sola acción de la compo-

nente tangencial del peso hace que cualquier cuerpo independientemente de su masa, adquiera una

aceleración a = g sen (en este caso puede ser o ). Al cabo de una distancia d partiendo del

reposo, con aceleración a, adquiere velocidad tal que v2 = 2 a d = 2 g sen d = 2 g h (donde h es el

desnivel total, ya que h/d = sen).

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Esto ya responde a una pregunta: la velocidad que adquiere la bicicleta es la misma en AB que en AC,

porque sólo depende del desnivel: v = (29,820)½ = 19,80 m/s, (y como veremos en el próximo capí-

tulo esto es muy general y tiene que ver con la conservación de la energía).

Ahora bien, el tiempo demorado en cada plano inclinado se puede calcular como t = d / vm, y dado

que vm = 19,8 / 2 = 9,90 m/s tanto para AB como para AC, tendremos: tAB = 10,10 s, y tAC = 5,05 s.

Ahora bien, la bicicleta que baja por AC, luego debe recorrer CB a la velocidad máxima, demorando

allí: 80 / 19,80 = 4,04 s, con lo cual, para el tramo ACB tarda 9,09 s, alrededor de 1 s menos que por

AB.

Acerca de las fuerzas normales

Las fuerzas normales tienen que ver con la curvatura de la trayectoria.

En el plano inclinado, la trayectoria es recta y no hay fuerza normal resultante. En ese caso

podemos prever que la reacción normal del plano equilibra exactamente a la componente

normal del peso, la cual vale Pcos .

reacciones del piso. Su resultante equilibra a PNormal = P cos

P cos

P Fig. 7.29: fuerzas normales en el plano

inclinado.

Cuando la trayectoria es curva, como en el caso del péndulo, debe haber además una resultan-

te con componente normal, centrípeta, de valor mv2/R. Como las componentes normales exis-

tentes en este caso son: hiloF

, la cual actúa puramente en esta dirección, y la componente nor-

mal del peso, de valor Pcos, entonces la resultante normal en general se expresa como Fhilo

Pcos (ver figura 7.29), y no es cero, sino que como estamos diciendo, vale m v2/ L.

Es decir:

Fhilo = Pcos + L

vm 2

(7.21)

Fh 1

máx

Fh 2

Fh 1

Fh 2

PN1

v2

P

P

Fig. 7.30: fuerzas normales en el péndulo. Se indican

también las fuerzas con las que el hilo tira del punto de

suspensión. El subíndice 1 se refiere a la posición de

reposo instantáneo, en la máxima elongación.

En la posición de reposo instantáneo, en las máximas elongaciones, tenemos v1 = 0 y por lo

tanto: Fhilo 1 = P cos1 .

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Cuando la masa pasa con máxima velocidad por la posición más baja, = 0 , tenemos la

máxima tensión del hilo. La fuerza resultante allí es hacia arriba y responsable de la curva de

la trayectoria según: Fhilo P = m v 2

/L.

NOTA PRÁCTICA.

En la vida práctica a veces es más fácil imaginar la fuerza centrífuga que la

centrípeta. Eso puede ser fuente de algunos errores, y hay que tener cuidado

para evitarlos.

Pero es interesante pensar, por ejemplo, que en el punto más bajo el hilo tiene la

máxima tensión porque allí tira de él la máxima fuerza centrífuga, además

del peso, según la expresión (7.21) : Fhilo 2

= P + m v2

2

/L.


Un automóvil de 1000 kg (incluida la masa de los ocupantes) viaja por una carretera rectilínea horizon-

tal a razón de 20 m/s. En el punto A la carretera se curva suavemente hacia arriba, de manera que 10

m más adelante, en el punto B, continúa en línea recta con pendiente positiva, formando 5º con la

horizontal.

Calcule la reacción normal del piso mientras el automóvil viaja horizontalmente, inmediatamente des-

pués de pasar por A, y después de B, mientras viaja en línea recta por la pendiente.

¿Qué cambiaría si la pendiente (y la curva AB) fuera hacia abajo? ¿A qué velocidad las ruedas dejar-

ían de pisar el pavimento? ¿Qué sentirían los pasajeros?

A B v0

5º

10 m

Desarrollo

Este ejemplo ya fue desarrollado para una pista que se curva horizontalmente. Ahora podremos utilizar

los números de aquellos ejemplos, adaptándolos a esta situación.

Sabemos que la fuerza tangencial resultante debe ser nula siempre, y que la resultante normal (ahora

en el plano vertical) debe ser de FR = 3,49 kN. Sabemos también que este valor puede tanto obtenerse

del dato de que la inclinación cambia 5º en 10 m, como de que el radio de la curva es aproximadamen-

te 114 m.

De manera que inmediatamente después de pasar A, la reacción normal del piso debe valer: RN = PN +

FR 9,80 + 3,49 13,3 kN.

Ahora bien, en este caso en que la inclinación cambia poco, tendremos que a lo largo del tramo AB

puede despreciarse tanto la variación de la componente normal del peso, como la diferencia entre

proyectar sobre la dirección normal, o la dirección vertical, ya que PN = 9,80cos5º 9,76 kN (dado

que la pendiente es pequeña, la disminución resulta casi imperceptible, del 0,4 %).

Esto significa que podemos decir que la reacción normal del piso debe mantener aproximadamente

constante el valor aumentado de 13,3 kN a lo largo de todo el tramo, y durante los 0,5 s que dura, los

pasajeros sentirán un aumento (proporcional a la masa de cada uno) en la fuerza con que el asiento

los sostiene. Dado que esa fuerza es reacción a la que cada uno ejerce contra el asiento, los pasajeros

tendrán la sensación de un aumento (temporal) de peso.

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En cambio en la dirección tangencial habrá una componente tangencial del peso, PT = 9,80sen5º =

0,854 kN, que deberán ser compensados con un aumento de 0,854 kN en la fuerza motriz, que deberá

pasar a valer 1,50+0,85 = 2,35 kN, para seguir manteniendo nula la resultante tangencial.

A B

9,80 kN

9,80 kN

9,80 kN

9,80 kN

9,76 kN 13,3 kN

9,80 kN

13,3 kN

1,50 kN 1,50 kN 1,50 kN 1,50 kN

1,50 kN 2,35 kN

Para el tramo posterior a B, el conductor deberá mantener este valor aumentado de la fuerza motriz

para que se pueda conservar la velocidad en 20 m/s.

Veamos ahora cuando la carretera se curva hacia abajo.

Ahora la fuerza resultante normal, entre A y B debe ser de 3,50 kN pero hacia abajo, para lo cual, debe

disminuir la reacción normal del piso: RN = PN FR 9,80 – 3,50 6,30 kN. Por otra parte, en la direc-

ción tangencial la fuerza motriz debe disminuir en una cantidad igual a la componente tangencial del

peso (0,854 kN), ahora hacia delante después de B, o sea que debe pasar de 1,50 kN antes de A, a

0,65 kN después de B.

Veamos ahora a qué velocidad las ruedas pierden contacto con el piso: debemos plantear que RN = 0,

y eso significa FR = 9,80 kN = m v2 / R v = (R g)½ 33,4 m/s.

A B

9,80 kN

9,80 kN

9,80 kN

9,80 kN

9,76 kN

9,80 kN

33,4 m/s

33,4 m/s 1,50 kN

1,50 kN

1,50 kN 0,65 kN

A esa velocidad las ruedas pierden contacto con el piso, y el automóvil está en caída libre durante un

breve lapso. Mientras dure, ni el piso sostiene al vehículo, ni los asientos sostienen a los pasajeros,

quienes comienzan a sentir ingravidez. A más velocidad esto podrá durar cada vez más hasta que el

automóvil retome el contacto, lo cual podrá ocurrir cada vez más lejos.

Comentarios sobre las preguntas referidas al movimiento oscilatorio.

a) Un cuerpo no tiene “fuerza de avance”. Eso no existe. Fuerza es lo que el resorte le aplica,

en este caso tirando de él para frenarlo. Por Acción y Reacción el cuerpo tira del resorte hacia

adelante con una fuerza de exactamente la misma intensidad en todo momento.

b) Una fuerza nunca puede igualar a una velocidad, ya que son cosas de diferente naturaleza y

dimensión.

c) Vale el mismo comentario a).

d) Obviamente hay que aplicar la Ley del Impulso: m v2 = m v1 + Ix(t1t2) e igualar esta expre-

sión a cero.

proed

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7.3.- Movimientos curvilíneos - UNC