73325228 05 Reporte Reduccion de Diagrama de Bloques Con Matlab (1)

Instituto Tecnológico de Morelia José María Morelos y Pavón

Asesor: Dr. Osvaldo Gutiérrez Sánchez

Control I

14/Octubre/2011

Alumno: 09120782 Ramos Albarrán Fernando

[REPORTE DE LA PRÁCTICA #5: “REDUCCIÓN DE

DIAGRAMAS DE BLOQUES CON MATLAB”.] División de Estudios Profesionales: Ingeniería Eléctrica

RESUMEN

Este documento pretende explicar algunas formas de reducir diagramas de bloques con

las utilerías de MATLAB. Se plantearán diferentes diagramas de bloques y primeramente

se usaran los comandos Series, y , después por medio de operaciones

algebraicas, luego por los comandos y , por último se verá una forma

general para resolver cualquier sistema con “n” diagramas de bloques.

INTRODUCCIÓN

MATLAB dispone en la actualidad de un amplio abanico de programas de apoyo especializados,

Adicionalmente, existen comandos en MATLAB que facilitan la labor, tediosa en ocasiones, de

reducir una representación en diagramas de bloques. Se puede utilizar MATLAB para la reducción

de diagrama de bloques. Se dispone de tres métodos

1) Solución a través de los comandos series, paralelo y ,

2) Solución mediante operaciones algebraicas y

3) Solución mediante los comandos y .

DESARROLLO

MATLAB tiene órdenes útiles para la reducción de sistemas de control en diagramas de bloques,

las instrucciones de MATLAB que se verán en el transcurso de esta práctica son:

%Conexión en cascada de G1(s) y G2(s). %Conexión en paralelo de G1(s) y G2(s). %Conexiones de lazo cerrado. G(s) en la trayectoria directa y

%H(s) como realimentación y (signo) es -1 para %realimentación negativa o +1 para retroalimentación positiva.

%Agregación de sistemas (juntar varios sistemas). %Interconexión de los argumentos donde G es la matriz de

%agregación, Q es una matriz de conexión de elementos, inputs %son las entradas del sistema y outputs son las salidas del %sistema.

Para mejor entendimiento de cada una de las funciones utilizadas en la práctica se recomienda

utilizar la ayuda de MATLAB.

Ejemplo:

Teniendo el diagrama de bloques de la figura se quiere reducir.

1. Solución a través de los comandos Series, y .

'Solución a través de los comandos Series, Parallel, & Feedback'

numg1=[-1] % Define numerador de G1(s).

numg1 =

-1

deng1=[1] % Define denominador de G1(s).

deng1 =

1

numg2=[0 2] % Define numerador de G2(s).

numg2 =

0 2

deng2=[1 2] % Define denominador de G2(s).

deng2 =

1 2

numg3=-0.125*[1 0.435]% Define numerador de G3(s).

numg3 =

-0.1250 -0.0544

deng3=conv([1 1.23],[1 0.226 0.0169]) % Define denominador de

%G3(s).

deng3 =

1.0000 1.4560 0.2949 0.0208

numh1=[-1 0] % Define numerador de H1(s).

numh1 =

-1 0

denh1=[0 1] % Define denominador de H1(s).

denh1 =

0 1

G1=tf(numg1,deng1) % Crea función de Transferencia G1(s).

Transfer function:

-1


Transfer function:

2

-----

s + 2


Transfer function:

-0.125 s - 0.05438

------------------------------------

s^3 + 1.456 s^2 + 0.2949 s + 0.02079

H1=tf(numh1,denh1) % Crea función de Transferencia H1(s).

Transfer function:

-s

G4=series(G2,G3) % Calcula el producto de G2 y G3

Transfer function:

-0.25 s - 0.1088

------------------------------------------------

s^4 + 3.456 s^3 + 3.207 s^2 + 0.6105 s + 0.04157

G5=feedback(G4,H1) % Calcula retroalimentación

Transfer function:

-0.25 s - 0.1088

------------------------------------------------

s^4 + 3.456 s^3 + 3.457 s^2 + 0.7193 s + 0.04157

Ge=series(G1,G5) % Calcula producto de G1 con G5

Transfer function:

0.25 s + 0.1088

------------------------------------------------

s^4 + 3.456 s^3 + 3.457 s^2 + 0.7193 s + 0.04157

'T(s) a través de los comandos Series, Parallel, & Feedback'

T=feedback(Ge,1) % Calcula retroalimentación

Transfer function:

0.25 s + 0.1088

-----------------------------------------------

s^4 + 3.456 s^3 + 3.457 s^2 + 0.9693 s + 0.1503

2. Solución a través de operaciones algebraicas. ' Solución a través de operaciones algebraicas '

clear % Limpia variables.


numg1 =

-1

deng1=[1] % Define denominador de G1(s).

deng1 =

1

numg2=[0 2] % Define numerador de G2(s).

numg2 =

0 2


deng2 =

1 2

numg3=-0.125*[1 0.435] % Define numerador de G3(s).

numg3 =

-0.1250 -0.0544


%G3(s).

deng3 =

1.0000 1.4560 0.2949 0.0208

numh1=[-1 0] % Define numerador de H1(s).

numh1 =

-1 0

denh1=[0 1] % Define denominador de H1(s).

denh1 =

0 1


Transfer function:

-1


Transfer function:

2

-----

s + 2


Transfer function:

-0.125 s - 0.05438

------------------------------------

s^3 + 1.456 s^2 + 0.2949 s + 0.02079

H1=tf(numh1,denh1) % Crea función de Transferencia H1(s).

Transfer function:

-s

G4=G3*G2 % Calcula producto.

Transfer function:

-0.25 s - 0.1088

------------------------------------------------

s^4 + 3.456 s^3 + 3.207 s^2 + 0.6105 s + 0.04157

G5=G4/(1+G4*H1) % Calcula realimentación.

Transfer function:

-0.25 s^5 - 0.9728 s^4 - 1.178 s^3 - 0.5014 s^2 - 0.07679 s - 0.004521

---------------------------------------------------------------------------------------------------

s^8 + 6.912 s^7 + 18.61 s^6 + 24.36 s^5 + 15.76 s^4 + 4.705 s^3 + 0.7162 s^2 + 0.05529 s + 0.001728

G5=minreal(G5) % Cancela términos comunes.

Transfer function:

-0.25 s - 0.1088

------------------------------------------------

s^4 + 3.456 s^3 + 3.457 s^2 + 0.7193 s + 0.04157

Ge=G5*G1 % Multiplica las F.T. de los lazos internos.

Transfer function:

0.25 s + 0.1088

------------------------------------------------

s^4 + 3.456 s^3 + 3.457 s^2 + 0.7193 s + 0.04157

'T(s) a través de operaciones algebraicas'

T=Ge/(1+Ge) % F.T. de lazo cerrado.

Transfer function:

0.25 s^5 + 0.9727 s^4 + 1.24 s^3 + 0.5558 s^2 + 0.08862 s + 0.004521

----------------------------------------------------------------------------------------------

s^8 + 6.912 s^7 + 18.86 s^6 + 25.58 s^5 + 17.98 s^4 + 6.5 s^3 + 1.361 s^2 + 0.1484 s + 0.00625

T=minreal(T) % Cancela términos comunes.

Transfer function:

0.25 s + 0.1088

-----------------------------------------------

s^4 + 3.456 s^3 + 3.457 s^2 + 0.9693 s + 0.1503

2.1 Solución por medio del programa general de resolución diagramas de bloques

(transferfunction)

>> transferfunction

Introduce el número de bloques que tiene el sistema5

Al definir los bloques debes introducir primero la entrada

y al final la salida

Introduce los coeficientes del numerador: 1

Indroduce los coeficientes del denominador: 1

Transfer function:

1

Q =

1

Cuantas entradas tiene el subsistema: 1

Introduce la entrada del subsistema: 0

Q =

1 0

Introduce los coeficientes del numerador: -1

Introduce los coeficientes del denominador: 1

Transfer function from input 1 to output...

#1: 1

#2: 0


#1: 0

#2: -1

Q =

1 0

2 0


Introduce la entrada del subsistema: -4

Q =

1 0

2 -4


Q =

1 0 0

2 -4 1

Introduce los coeficientes del numerador: 2

Indroduce los coeficientes del denominador: [1 2]


#1: 1

#2: 0

#3: 0


#1: 0

#2: -1

#3: 0


#1: 0

#2: 0

2

#3: -----

s + 2

Q =

1 0 0

2 -4 1

3 0 0



Q =

1 0 0

2 -4 1

3 2 0


Q =

1 0 0

2 -4 1

3 2 -5

Introduce los coeficientes del numerador: -0.125*[1 0.435]

Indroduce los coeficientes del denominador: conv([1 1.23],[1 0.226

0.0169])


#1: 1

#2: 0

#3: 0

#4: 0


#1: 0

#2: -1

#3: 0

#4: 0


#1: 0

#2: 0

2

#3: -----

s + 2

#4: 0


#1: 0

#2: 0

#3: 0

-0.125 s - 0.05438

#4: ------------------------------------

s^3 + 1.456 s^2 + 0.2949 s + 0.02079

Q =

1 0 0

2 -4 1

3 2 -5

4 0 0



Q =

1 0 0

2 -4 1

3 2 -5

4 3 0

Introduce los coeficientes del numerador: [-1 0]

Indroduce los coeficientes del denominador: 1


#1: 1

#2: 0

#3: 0

#4: 0

#5: 0


#1: 0

#2: -1

#3: 0

#4: 0

#5: 0


#1: 0

#2: 0

2

#3: -----

s + 2

#4: 0

#5: 0


#1: 0

#2: 0

#3: 0

-0.125 s - 0.05438

#4: ------------------------------------

s^3 + 1.456 s^2 + 0.2949 s + 0.02079

#5: 0


#1: 0

#2: 0

#3: 0

#4: 0

#5: -s

Q =

1 0 0

2 -4 1

3 2 -5

4 3 0

5 0 0



Q =

1 0 0

2 -4 1

3 2 -5

4 3 0

5 4 0

Define las entradas: 1

Define las salidas: 4

Transfer function:

0.25 s + 0.1087

-----------------------------------------------

s^4 + 3.456 s^3 + 3.457 s^2 + 0.9693 s + 0.1503

3. Solución de otro problema diferente con los comandos Append y Connect.

' Solución a través de los comandos Append y Connect'

'G1(s) = (-K1)*(1/(-K2s)) = 1/s' % Imprime etiqueta.

G1(s) = (-K1)*(1/(-K2s)) = 1/s


numg1 =

-1


deng1 =

1 0


Transfer function:

-1

--

s

'G2(s) = (-K2s)*(2/(s+2)' % Imprime etiqueta.

G2(s) = (-K2s)*(2/(s+2)

numg2=[-2 0] % Define numerador de G2(s).

numg2 =

-2 0


deng2 =

1 2


Transfer function:

-2 s

-----

s + 2

'G3(s) = -0.125(s+0.435)/((s+1.23)(s^2+0.226s+0.0169))' % Imprime

G3(s) = -0.125(s+0.435)/((s+1.23)(s^2+0.226s+0.0169))

numg3= - 0.125*[1 0.435] % Define numerador de G3(s).

numg3 =

-0.1250 -0.0544


%G3(s).

deng3 =

1.0000 1.4560 0.2949 0.0208


Transfer function:

-0.125 s - 0.05438

------------------------------------

s^3 + 1.456 s^2 + 0.2949 s + 0.02079

System=append(G1,G2,G3) % Unir todos los subsistemas.


-1

#1: --

s

#2: 0

#3: 0


#1: 0

-2 s

#2: -----

s + 2

#3: 0


#1: 0

#2: 0

-0.125 s - 0.05438

#3: ------------------------------------

s^3 + 1.456 s^2 + 0.2949 s + 0.02079

input=1 % La entrada es el primer subsistema G1(s).

input =

1

output=3 % La salida es el tercer subsistema, G3(s).

output =

3

Q=[1 -3 0 % Subsistema 1, G1(s), obtiene su entrada del

% negative de la salida del subsistema 3,

%G3(s).

2 1 -3 % Subsistema 2, G2(s), obtiene su entrada del

% subsistema 1, G1(s), y el negativo de la

%salida

% del subsistema 3, G3(s).

3 2 0]; % Subsistema 3, G3(s), obtiene su entrada del

% subsistema 2, G2(s).

Q =

1 -3 0

2 1 -3

3 2 0

T=connect(System,Q,input,output) % Conecta los subsistemas.

Transfer function:

-0.25 s^2 - 0.1088 s - 5.81e-017

-----------------------------------------------------------------

s^5 + 3.456 s^4 + 3.457 s^3 + 0.4693 s^2 - 0.06718 s + 1.331e-017

'T(s) a través de los comandos Append & Connect'

T(s) a través de los comandos Append & Connect

T=tf(T) % Crea F.T. de lazo cerrado.

Transfer function:

-0.25 s^2 - 0.1088 s - 5.81e-017

-----------------------------------------------------------------

s^5 + 3.456 s^4 + 3.457 s^3 + 0.4693 s^2 - 0.06718 s + 1.331e-017

T=minreal(T) % Cancela términos comunes.

Transfer function:

-0.25 s - 0.1088

------------------------------------------------

s^4 + 3.456 s^3 + 3.457 s^2 + 0.4693 s - 0.06718

3.1 Solución por medio del programa general de resolución diagramas de bloques

(transferfunction)

>> transferfunction

Introduce el número de bloques del sistema: 3



Introduce los coeficientes del numerador: [-1]


Transfer function:

-1

--

s

Q =

1



Q =

1 -3


Q =

1 -3 0

Introduce los coeficientes del numerador: [-2 0]



-1

#1: --

s

#2: 0


#1: 0

-2 s

#2: -----

s + 2

Q =

1 -3 0

2 0 0



Q =

1 -3 0

2 1 0

Introduce la entrada del subsistema-3

Q =

1 -3 0

2 1 -3

Introduce los coeficientes del numerador: -0.125*[1 0.435]

Indroduce los coeficientes del denominador: conv([1 1.23],[1 0.226 0.0169])


-1

#1: --

s

#2: 0

#3: 0


#1: 0

-2 s

#2: -----

s + 2

#3: 0


#1: 0

#2: 0

-0.125 s - 0.05438

#3: ------------------------------------

s^3 + 1.456 s^2 + 0.2949 s + 0.02079

Q =

1 -3 0

2 1 -3

3 0 0



Q =

1 -3 0

2 1 -3

3 2 0


Q =

1 -3 0

2 1 -3

3 2 0

Define las entradas:1

Define las salidas: 3

Transfer function:

-0.25 s - 0.1088

------------------------------------------------

s^4 + 3.456 s^3 + 3.457 s^2 + 0.4693 s - 0.06718

EJERCICIOS:

Hacer un programa general que funcione para resolver diferentes diagramas de bloques y

probarlo con la reducción de los diagrama de bloques de las figuras, además de utilizar

otros dos diagramas de bloques complejos para probarlo.

function T= transferfunction( system, Q ) %Obtiene la función de transferencia de un sistema %de diagrama de bloques numbloq=input('Introduce el número de bloques del sistema: ');%Define el %numero de bloques y lo almacena en numbloq disp('Al definir los bloques debes introducir primero la entrada'); disp('y al final la salida'); for i=1:1:numbloq %En cada bucle entra a un bloque diferente numg=input('Introduce los coeficientes del numerador: '); deng=input('Indroduce los coeficientes del denominador: '); G=tf(numg,deng); %Crea la función de transferencia y la va

almacenando system(i,i)=G %en forma de diagonal en una mtriz system Q(i,1)=i %Define la primera columna de la matriz Q para cada bloque numentr=input('Cuantas entradas tiene el subsistema: '); suma=1; for j=1:1:numentr suma=suma+j;%En cada bucle se le suma 1 a j para que se no se

tome %en cuenta la columna 1 definida previamente Q(i,suma)=[input('Introduce la entrada del subsistema: ')]%Se

guardan %datos en la matriz aumentando el número de columnas %hasta que termine el bucle suma=1; %Se asigna 1 a suma nuevamente, para que entre al

ciclo end end x=input('Define las entradas: '); y=input('Define las salidas: '); T=connect(system,Q,x,y);%Se conectan los subsistemas T=tf(T); %Crea la función de transferencia T=minreal(T); %Cancela términos comunes end

Ejercicio 1 Reducir el siguiente diagrama de bloques por el método analítico y utilizando la función transferfunction de Matlab.

Reduciendo el lazo cerrado que conforman y , tenemos:

Ahora se desplazará el primer punto de toma a la posición entre y , pero esto nos altera la

función y ahora será

, entonces podemos sacar el paralelo de con

, por lo

tanto:

Ahora está en serie con y reduciéndolos tenemos:

Ahora nos queda en lazo cerrado con y reduciéndolos nos queda:

Por ultimo está en serie con y reduciéndolos tenemos:

(

) (

)

Ahora le asignaremos valores a cada función esto con la finalidad de llegar a una función de

transferencia en forma no simbólica y poder comparar los resultados con los que arroga matlab

cuando se introduce el mismo diagrama de bloques.

Sustituyendo los valores de las funciones de transferencia en , tenemos:

( ) ((

) (

)

)

( ) (

) (

) (

)

( ) (

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

Ejercicio 1, resuelto con transferfunction

>> transferfunction

Introduce el número de bloques que tiene el sistema = 8



Q =

1 0 0 0

2 6 -7 1

3 2 0 0

4 3 0 0

5 2 0 0

6 2 0 0

7 3 0 0

8 4 5 0

Define las entradas = 1

Define las salidas = 8

Transfer function:

s

-------------------------------------------------

s^4 + 0.3333 s^3 + 0.3333 s^2 - 0.3333 s - 0.3333

Ejercicio 2

Si movemos el tercer punto de suma hacia la entrada del sistema con el sumador 2, el

bloque se ve afectado, por lo que cambia a

. Entonces y están en serie, se

tiene entonces que:

Con el bloque y el se tiene una retroalimentación. Se aplica la fórmula:

El bloque queda en serie con

Ahora se tiene una retroalimentación con los bloques y

. Se aplica nuevamente la

fórmula:

(

) (

)

El bloque queda en serie con

Por último está en retroalimentación con

Como transferfunction no trabaja con variables simbólicas, nos daremos la tarea de definir

un valor numérico para cada bloque de los sistemas dados, para al momento de

introducirlos a MATLAB comprobar la correcta programación de la función así como la

comprobación de nuestros resultados, mediante la función de transferencia obtenida.

(

)

( )

( )

( )


Como la salida del programa es muy extensa, solo se mostrará cómo se llenó la matriz de

conexiones, al igual el diagrama de cómo se renombraron dichos diagramas.

Q = 1 0 0 2 1 -7 3 2 -8 4 3 6 5 4 0 6 5 0 7 5 0 8 4 0 Define las entradas: 1 Define las salidas: 5 Transfer function: s^2 + 1.494e-016 s + 5.678e-016 ------------------------------- s^3 + s^2 - s + 6 El resultado es correcto ya que las expresiones están elevadas a las -16, lo cual es prácticamente cero, por lo tanto el termino del numerador es s^2

Ejercicio 3

Reducir el siguiente diagrama de bloques por el método analítico y utilizando la función transferfunction de Matlab.

(

)(

)


Como la salida del programa es muy extensa, solo se mostrará cómo se llenó la matriz de

conexiones, al igual el diagrama de cómo se renombraron dichos diagramas.

>> transferfunction

Introduce el número de bloques que tiene el sistema = 6



Q =

1 0 0 0 0

2 1 -5 -3 -2

3 2 0 0 0

4 3 0 0 0

5 6 0 0 0

6 4 0 0 0

Define las entradas = 1

Define las salidas = 6

Transfer function:

s + 1

---------------------------

s^4 + 2 s^3 + 2 s^2 + s + 1

Ejercicio 4

Si movemos el tercer punto de suma hacia la entrada del sistema junto al segundo punto

de suma, el bloque se ve afectado y se divide entre :

De la misma forma, el punto de toma que alimenta se mueve, pero hacia la salida,

modificándose como

Por lo tanto los bloques quedan en serie

Y nos quedan dos retroalimentaciones, primero hacemos la retroalimentación con

Ahora la retroalimentación con

(

) (

)

Por último queda una retroalimentación con 1.

Ahora le damos valores numéricos a las variables


Q = 1 0 0 0 2 1 -4 6 3 -5 2 0 4 3 0 0 5 4 0 0 6 3 0 0 Define las entradas: 1 Define las salidas: 4 Transfer function: 0.6667 s^2 + 0.6667 s --------------------- s^2 + s + 0.3333

CONCLUSIONES

Para la programación de transferfunction, se requirió únicamente el comando , ya

que dentro del bucle se creó un vector que realizará la misma matriz que realiza el

comando , este no fue necesario, porque se ser así se tendría que introducir una

condición para cada caso, y así poder dar valores específicos al , ya que no se

puede cambiar su sintaxis. Se analizó durante el desarrollo de la práctica, que es posible

realizar una función que admita a un vector con “n” elementos y a partir de dicho vector

crear una matriz que ponga todos sus elementos en la diagonal principal, sería un caso

parecido a la instrucción utilizada en transferfunction como usando un

es decir, se puede crear una función “ ” que reconozca a un vector como su

entrada

BIBLIOGRAFÍA

[1] Dr. Osvaldo Gutiérrez Sánchez, “Control I”, Instituto Tecnológico de Morelia, Departamento de

Ingeniería Eléctrica.

[2] David Báez López, “MATLAB con Aplicaciones a la Ingeniería, Física y Finanzas”, 1ra. Edición,

Editorial Alfaomega, septiembre 2006.

[3] Javier García de Jalón, José Ignacio Rodríguez, Alfonso Brazález, “Aprenda Matlab 5.3 como si

estuviera en primero”, Perteneciente a la colección: “Aprenda…, como si estuviera en primero”,

San Sebastián, Agosto 1999.

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