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BANCO DE PREGUNTAS DE ARITMETICA

SEMANA Nº 02

TEMA: SISTEMAS DE NUMERACIÒN

COORDINADOR: LIC EN MAT. SEGUNDO BASILIO CORREA ERAZO

1. SISTEMA DE NUMERACIÓN. Se define a un sistema denumeración como “el conjunto de reglas y principiospara leer y escribir correctamente a los números”.En la presente sección describiremos cada uno de estosprincipios, y para eso usted debe estar predispuesto, conla finalidad de no caer en algo incomprensible; por elcontrario, sentir la importancia que aquellos principiostienen en la correcta lectura y escritura de los números.

1.1. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN

Aquí es necesario introducir algunos conceptos que ennuestra formación académica quedaron ambiguos. Estoes:Orden. Se llama orden a la posición que ocupa cada unade las cifras dentro del número en estudio. Estas órdenesse

deben considerar de derecha a izquierda.

Por ejemplo. En el número o numeral 3478, se tendrá.

3478Unidades (primer orden)Decenas (Segundo orden)Centenas (Tercer orden)Millares (Cuarto orden).

.

.

Base. Es un numeral que nos indica la cantidad desímbolos o cifras diferentes que se emplean para escribir unnúmero en un sistema dado.

1.2. PRINCIPIOS IMPORTANTES

1. Cualquier numeral que usted escriba debe poseer unabase y aquella aparece escrita como un sub índice, en laparte inferior derecha del numeral. Por ejemploEl numeral (9)872567 es un número escrito en base 9 otambién llamada base nonal.

2. Existe un convenio universal de matemáticas, en el que semanifiesta que cuando se trate de un número en basedecimal (o base 10) ya no se le escriba la base 10, puestoque es el sistema utilizado por la gente de todo el mundo,Por ejemplo; si se tratara de escribir nuestro número 578,lo correcto sería escribirlo de la siguiente forma:

(10)578Pero por el comentario antes indicado solo se escribe578.

4. Los números con los que se escribe un numeral másconsiderable numéricamente hablando, se les llama cifraso dígitos. Por ejemplo en el numeral (8)5676521046 losdígitos o cifras serian: 5, 6, 7, 5, 2, 1 ,0 y 4.

5. En forma general se acostumbra a denotar a cada uno delos dígitos de cualquier numeral con letras minúsculas delalfabeto y a su base con la letra “n”, Además cuando elnumeral tiene mas de una cifra se le coloca una “rayita”sobre el Por ejemplo:

Un numeral de una cifra será ( )na ,donde: a n<

Un numeral de dos cifras se denota por ( )nab ,

donde: ,a b n<Un numeral de tres cifras se representará por

( )nabc , donde: , ,a b c n<

Asimismo un numeral de cuatro cifras será

( )nabcd ,donde: , , ,a b c d n<Y así sucesivamente.

6. Las condiciones anteriores se pueden resumir literalmentede la forma siguiente “Para que un numeral este bienrepresentado (o este bien escrito) es necesario que todoslos dígitos sean estrictamente menores que la base”.

7. El comentario anterior nos obliga a establecer losprincipales sistemas de numeración en el siguientecuadro.

SISTEMA CIFRAS A UTILIZAR

23456789

101112

BINARIOTERCIARIO

CUATERNARIOQUINARIOSENARIO

EPTALOCTAL

NONARIODECIMAL

UNDECIMALDUODECIMAL

0,10,1,20,1,2,30,1,2,3,40,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6,70,1,2,3,4,5,6,7,80,1,2,3,4,5,6,…,90,1,2,3,4,5,6,…,0,1,2,3,4,5,6,…, a

ab,

BASE

Las letras griegas a y b en numeración equivalennuméricamente a 10 y 11 respectivamente.Si analizamos en el cuadro, el sistema Eptal, significa quepara escribir un número en “base 7” usted científico solopuede utilizar los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, es decir elmáximo valor que puede tomar un digito será siempreuna unidad menos que la base.

2.- CAMBIOS DE BASECualquier número dado en cualquier base se puederescribirle en una base diferente; para esto explicaremoscon más detalle en los próximos algoritmos.

2.1. CONVERSIÓN DE BASE DECIMAL (BASE 10) ABASE DIFERENTE DE 10 (base n)

Este algoritmo es muy simple y se emplea para convertirun número escrito en nuestro sistema (base 10) acualquier base diferente de 10. Veámoslo con unejemplo concreto.

Ejemplo. Convertir 8975 al sistema de base 6. El algoritmo consiste en dividir el numeral dado por la

base a la que me piden llevar hasta donde sea posiblela división y los dígitos serán todos los residuos más elúltimo cociente, empezando por el último cociente. Así

Así pues el número en base 6 será (6)105315

Propiedad. A menor base le corresponde mayor númeroy viceversa a mayor base menor número.Por ejemplo:

(11) (10) (9) (6)681 8975 13272 105315a = = =


2.2. CONVERSIÓN DE BASE “n¹ 10” A BASE DECIMAL(BASE 10)El algoritmo es muy simple de comprender, se le llama“Descomposición Polinómica”, y lo veremos con unejemplo concreto.Ejemplo. Convertir (6)105315 a base decimal

5 4 3 2(6)105315 1(6) 0(6) 5(6) 3(6) 1(6) 5

7776+ 0 +1080 +108 +6 +5=8975

= + + + + +

=

Otra forma de convertir de “base diferente de 10” a“base 10” es el llamado método de Rufini. Este métodoconsiste en los siguientes pasos.1. Se trazan dos líneas perpendiculares y se anota la

base del sistema en la que esta escrito el numero. Así

2. Se anotan los dígitos del número en forma horizontalen la parte superior. Del ejemplo anterior se tendría:

3. El paso 3 consiste en multiplicar el primer digito por labase, anotar en la siguiente columna, sumarle con elsiguiente digito y repetir el proceso hasta el último.Esto es:

´

Así pues el numero en base decimal será el que apareceen el recuadro

2.3. CONVERSIÓN DE BASE “n” A BASE “m”, DONDE “n¹ m¹ 10”

Se lleva de “base n” a base decimal mediante elalgoritmo de descomposición Polinómica yposteriormente se le lleva a “base m” utilizandodivisiones sucesivas. Para mayor visualización sepresenta un cuadro sinóptico.

2.4 CONVERSION DE BASE 10 A “BASE n” PARA ELCASO DE NÚMEROS DECIMALES

Para mejor comprensión veámoslo con un ejemplo.Ejemplo. Expresar en el sistema quinario el número0,32

Entonces: 0,32= (5)0,13 .

2.5. CONVERSIÓN DE “BASE n¹ 10” A “BASE 10” PARAEL CASO DE NÚMEROS DECIMALES.Practiquemos con un ejemplito para que el aprendizajesea más fácil.Ejemplo. Convertir 0,13(5) a base decimal.

1 2(5)0,13 1.5 3.5- -= + = 1 3 5 3 8 0,32

5 25 25 25+

= + = = =

OBSERVACIONES INTERESANTESUn numero de dos cifras se descompone comosigue:

( ) .nab a n b= +Un numeral de tres cifras se descompone comosigue:

2( ) . .nabc a n b n c= + +

Un numeral de tres cifras se descompone comosigue:

3 2( ) . . .nabcd a n b n c n d= + + + .

De lo comentado anteriormente se deduce fácilmente

que .10 10ab a b a b= + = +Así pues 10ab a b= + , ojo es muy utilizado.

PROPIEDADES INTERESANTES

1.

( )

( 1)( 1)( 1) ( 1) 1k

k cifras n

n n n n n- - - - = -L1444442444443

2. Métodos de conversión simples

a)( )

( )( )

0,100

nn

n

abab =

b)( )

( )

( )

0,( 1)0

nn

n

ab aabn

-=

-

)

3. Bases sucesivas

( )

1 ( )

1

1

1 n

a n a b c x

b

c

x

= + + + + +K

O


1. Si se sabe que los números (4) ( ) ( )1 ,2 ,a caa cc bbestán bien escritos, además , ,a b c son

diferentes. Hallar (6)abc .

a) 112 b) 114 c) 116d) 118 e) 120

2. Calcular “3 2m n p+ - ”, si se sabe que lossiguientes numerales están correctamenteescritos.

(4) ( ) ( )31 ,21 , 0m nm n pp

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

3. Si 5 4 214.13 21.13 27.13 5.13 17N = + + + + .¿Cuál será la suma de cifras del numeral N alexpresarlo en base 13?

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

4. Sabiendo que 2541 3 3 3 3 3a b c d e= + + + + .Hallar a b c d e+ + + + .

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

5. Expresar en el sistema quinario el número0,6088

a) 0,30102)

b) 0, 30102

c) 0, 30104)

d) 0,4 e) 0,45

6. Hallar n , si ( 2) ( 3)554 444n n+ += .

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

7. Hallar “ a b+ ” si ( ) (8)( )15425 1 3ba a b= ´

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

8. Hallar “ w x- ” si ( )2( 4) 120 xwx w+ =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Si(2)

... 1k cifras

ww w xyz-

=123 . Hallar w x y z k+ + + + .

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

10. Al convertir el número (7)( 3)( )( 2)a a a- + , alsistema quinario se obtiene un número capicúade tres cifras. Dar como respuesta la suma delas cifras diferentes de dicho número capicúa.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Efectuar (13) (13)8 95 238a c-

a) (13)5806 b) (13)6706 c) (13)7906d) (13)8806 e) (13)9506

12. Efectuar (7) (7)5642 42¸ . Dar como respuesta elcociente.

a) (7)132 b) (7)124 c) (7)143d) (7)136 e) (7)156

13. Si: 11 (6 )11(3)12 14ab ba= . Además:

(5)bab xyzw= . Hallar b x y z w+ + + +

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

14. Sabiendo que:

(2)

(3)

14(1 ) 10abm m

ab

abm veces

ab

= + +

ìïï- íïïî

O

Hallar “ a b m+ + ”

a) 2 b) 6 c) 7d) 8 e) 12

15. El número 44444447 , esta escrito en base 8.¿Cuáles son las tres últimas cifras que seobtienen al representarlo en base 4?

a) 313 b) 213 c) 113d) 013 e) 143

16. Al expresar el número (16)841ab en el sistemabinario ¿Cuántas cifras no significativas seutilizan?

a) 12 b) 9 c) 7d) 10 e) 4

17. ¿Cuántos numerales se escriben con 3 cifras enel sistema octonario y nonario a la vez?

a) 340 b) 294 c) 198d) 447 e) 431

18. ¿Cuantos números (9)abc igual a

(11)( 1)( 1)a b c- - existen?

a) 1 b) 2 c) 8d) 9 e) más de nueve

ANULADA


19. L a suma de las dos únicas cifras que tiene unnúmero es 9 y la mitad del número es igual acinco veces la cifra de las decenas. Dichonumero esta comprendido en el intervalo.

a) 81 94N< < b) 95 100N< <c) 45 58N< < d) 70 79N< <e) 62 70N< <

20. En dos sistemas de numeración cuyas bases sediferencian en 6 unidades, el mayor numeral de3 cifras de una de las bases excede al mayornumeral de 3 cifras de la otra base en abcd ; si

3cd ab= . Dar la suma de ambas basesdesconocidas.

a) 14 b) 20 c) 31d) 9 e) 7

21. Hallar un numero de 4 cifras que termina en uno;sabiendo que si esta cifra se traslada a laizquierda del este disminuye en 108 unidades.Indicar la suma de sus cifras.

a) 7 b) 8 c) 10d) 12 e) 13

22. Hallar a b n+ + . Si 2( ) ( )11 79n n

ab = .

a) 9 b) 10 c) 11d) 13 e) 14

23. Hallar “ s ” Si:

( ) ( ) (4)0, 0k paaa quarks kak a p´ = -

a) 6 b) 7c) 8 d) 9 e) 4

24. Si ( )(6)4( 1)3 4 nb bbb+ = , expresar ( )4 nbbb en elsistema decimal:

a) 149 b) 159c) 169 d) 205 e) 309

25. Determinar cuantos numerales de la forma( 3)( 4)( 6)(2 )w x x w- - + , en base 33 existencuyas cifras sean significativas.

a) 416 b) 260 c) 326d) 286 e) 252

26. En la numeración de las páginas de un libro deab páginas se han utilizado 506 cifras menos

que en la numeración de otro de 2ba páginas.Hallar “ a b- ”.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


TRABAJO PRÁCTICO

1. Hallar un número sabiendo que al agregarle lasuma de sus cifras se obtiene 551. Dar comorespuesta la cifra mayor.

a) 5 b) 4 c) 6d) 3 e) 7

2. Si ( 1)(8)(2 )(2 )(2 ) 06 na a a a -= . Hallar “a n+ ”.

a) 12 b) 14 c) 8d) 16 e) 10

3. Si el número (9)242424...24 de 30 cifras seconvierte al sistema de base 3. ¿Cuántos ceroshabrán en su escritura?

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 30

4. Hallar “ .a b ”, si ( )ab a a b= + .

a) 30 b) 31 c) 32d) 34 e) 36

5. Si se cumple: )5()50( 2m4)m6(abba31)ba)(ba(122 =--

Calcular: a x b + m

a) 2 b) 4c) 5 d) 6 e) 3

Curso: ARITMÉTICASemana: 02

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Dificultad

TRABAJO PRÁCTICO

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