CALCULO DIFERENCIAL UNIDAD 2

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Presenta: Misael Gamaliel Gómez Camacho

Los dos conceptos centrales sobre los que se fundamenta el Calculo Diferencial e Integral son los de función y límite. En la unidad 1 de este curso vimos las generalidades de las funciones y en esta unidad 2 nos adentramos en los conceptos de límite y continuidad que son la base para iniciar el estudio de la derivada; de hecho, la derivada es un límite.

Por lo que forma de calcular limites de forma grafica y numérica y vimos las propiedades de los limites, además de resolver ejercicios.

Así mismo pudimos conocer el concepto de continuidad, sus propiedades y cuando es que una función presenta Asíntotas verticales. Estas herramientas serán la base para comprender mejor el tema de la derivada.

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD 2

Límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En esencia el límite se relaciona con el comportamiento de una función cuando la variable independiente está "muy cerca" de un número constante "a" pero sin llegar a tomar ese valor.Con el álgebra de límites podemos aproximarnos a un valor ya sea un número cualquiera o el infinito de manera exacta.

Así podríamos decir que el límite de una función describe el comportamiento de una función f(x) conforme la variable independiente se aproxima a un valor constante.

Definición de limite

Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L.

Esto se escribe

Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:

cxLxf

)(lim

Lxfentoncescx )(,0

CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS MÉTODOS GRÁFICO Y

NUMÉRICO

Existen tres métodos para calcular el límite de una función, las cuales son:1. Método numérico:En donde se basa en construir una tabla de valores,

2. Método gráfico:Se basa en elaborar una gráfica a mano o con algún dispositivo tecnológico, por ejemplo el programa Graph y observar el limite.

3. Método analítico: En el cual se utiliza el álgebra o cálculo.

Para esta función se puede observar en la gráfica de la función y el cuadro anexo, forma gráfica y numérica el límite de la función cuando x tiende a 3. La obtención del límite de forma numérica se hace a partir de la tabla de datos siguiente:

1) 10)1( 2

3

xLím

x

En ella se muestran valores cercanos a 3, menores y mayores. Se observa como en la medida que los valores de x se acercan a 3, los valores de y se acercan a 10.

x f(x) x f(x)2.99 9.994 3.001 10.006

2.9991 9.9946 3.0009 10.00542.9992 9.9952 3.0008 10.00482.9993 9.9958 3.0007 10.00422.9994 9.9964 3.0006 10.00362.9995 9.997 3.0005 10.0032.9996 9.9976 3.0004 10.00242.9997 9.9982 3.0003 10.00182.9998 9.9988 3.0002 10.00122.9999 9.9994 3.0001 10.0006

Acercándose a 3 Acercándose a 3 por la izquierda: por la derecha

De forma gráfica, el Límite de f(x) = x2 + 1, cuando x tiende a 3 es 10

2) 21

1

3

) ( )f xx

x

Acercándose a 1 Acercándose a 1por la izquierda:  por la derecha:

x f(x) x f(x)0.999 2.997 1.001 3.003

0.9991 2.9973 1.0009 3.00270.9992 2.9976 1.0008 3.00240.9993 2.9979 1.0007 3.00210.9994 2.9982 1.0006 3.00179.9995 2.9985 1.0005 3.0015

0.9996 2.9988 1.0004 3.00120.9997 2.9991 1.0003 3.000890.9998 2.9994 1.0002 3.00060.9999 2.9997 1.0001 3.0003

311)1()1()1(

)1)(1(11 22

1

2

1

3

1

xxLím

xxxx

límxx

Límxxx

En este caso el límite es indeterminado y se emplea la factorización para quitar la indeterminación. Por lo tanto:

 

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-4 -2 0 2 4

Gráfica

LÍMITES QUE NO EXISTEN

x

x

0xlim

Solución

0,1 xx

x0,1 x

x

x

Como el límite cuando x se acerca por la izquierda es -1 y cuando se acerca por la derecha es 1, no son iguales, por lo tanto que el límite no existe.

x f(x) x f(x)

-0.001 -1 0.001 1-0.0009 -1 0.0009 1-0.0008 -1 0.0008 1-0.0007 -1 0.0007 1-0.0006 -1 0.0006 1-0.0005 -1 0.0005 1-0.0004 -1 0.0004 1-0.0003 -1 0.0003 1-0.0002 -1 0.0002 1-0.0001 -1 0.0001 1

Acercándose a 0 Acercándose a 0 por la izquierda:  por la derecha:

20x

1lim

x

LÍMITES QUE NO EXISTEN

Ejemplo: Comportamiento no acotado.

Analizar la existencia del límite:

Solución: Si jugamos con valores nos podemos dar cuenta que si x se aproxima a 0, f(x) crece notablemente:

1001

)(10

10

2

xxfx

10000001

)(1000

10

2

xxfx

f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando se aproxima a 0, por tanto se concluye que el límite no existe.

Cálculo de límites por medio de la definición formal

Recordemos la definición de limite:Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L.Esto se escribe

cxLxf

)(lim

Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:

Lxfentoncescx )(,0

128 2

5

ttLím

t

1911102001)5(2)5(8128 22

5

ttLím

t

2

42

2

x

xLímx

04

0

4

44

22

4)2(

2

4 22

2

x

xLímx

A) LIMITES QUE SE CALCULAN DE UNA MANERA DIRECTA.

Ejemplo 2.- Calcular el siguiente límite

Ejemplo 1.- Calcular el siguiente límite

MÉTODO ANALÍTICO

B) LIMITES INDETERMINADOS O INDEFINIDOS.

En los ejemplos anteriores se pueden observar que los límites calculados existen, pero no bastará con hallar la imagen en un punto deseado x = c, una nueva lectura de la definición del límite nos hace reflexionar que f puede no estar definido en c, esto lo podemos ver en el siguiente ejemplo:

3

352 2

3

x

xxlímx

Si en este ejemplo, evaluáramos directamente, se tendría:

El cociente 0/0 no es un número real, se conoce en el cálculo como una forma indeterminada (no puede determinarse a primera vista el valor exacto del límite). Sin embargo, usando manipulaciones algebraicas, se puede transformar la función en una función equivalente que tiene límite.

Efectuar el proceso algebraico y simplificar, se conoce en el lenguaje del cálculo como: "Eliminar la indeterminación".

PROPIEDADES DE UN LÍMITE

Límites Básicos: Si b y c son números reales y n un entero positivo.

bbcx

lim

cxcx

lim

nn

cxcx

lim

Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:

33lim2

x

4lim4

x

x

42lim 22

2

x

x

Sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes:

1. Múltiplo Escalar:

2. Suma o Diferencia

3. Producto:

Lxfcx

)(lim

Kxgcx

)(lim

bLxfbcx

)(lim

KLxgxfcx

)()(lim

LKxgxfcx

)()(lim

4. Cociente:

5. Potencias:

0,)(

)(lim

KquesiempreK

L

xg

xfcx

nn

cxLxf

)(lim

Ejemplo: Límite de un Polinomio

3lim4lim)34(2

2

2

2

2 xxx

xxlím

19

316

3)2(4

3lim)lim(4

2

2

2

2

xx

x

Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real:

Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos

)()(lim cpxpcx

)(

)()()(lim

cq

cpcrxr

cx

Ejemplo: Límite de una Función racional

Como el denominador no es 0 cuando x=1

1

22

1

x

xxlímx

22

411

2112

1

xlím

Límite de una Función radical

Si n es un entero positivo:

• Para toda c si n es impar• c > si n es par

nn

cxcx

lim

Límite de una Función Compuesta

Si f y g son funciones tales que:

Entonces:

Lxgcx

)(lim )()(lim LfxfLx

)())(lim())((lim Lfxgfxgfcxcx

Límites de funciones trigonométricas

Sea c un número real:

csenxsencx

)(lim cxcx

cos)cos(lim

cxcx

tan)tan(lim

cxcx

cot)cot(lim

cxcx

sec)sec(lim

cxcx

csc)csc(lim

Ejemplos

00tan)tan(lim0

xx

)cos(coslimlim)cos(lim xxxxxxx

00)(limlim 22

0

2

0

xsenxsen

xx

LÍMITES INFINITOS

Definición de Límites Infinitos

cxxf

)(lim

cxxf

)(lim

Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión

Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

1

1lim1 xx

1

1lim1 xx

Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

21 )1(

1lim

xx

CONTINUIDAD

Definición de Continuidad

Una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene “huecos”.Suponga que f es una función que está definida en algún intervalo abierto que contenga a c. Decimos que la función f es continua en x = c si se tienen las siguientes condiciones (RUIZ, Ángel; BARRANTES, Hugo, Elementos de Calculo Diferencial Volumen I. Costa Rica 1996, Pág. 70.)

1. Existe f(c), esto es: c está en el dominio de f.2. También existe

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.

xxf

1)(

Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.

xxf

1)(

Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

Ejemplos:.

xseny Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞)

Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado

)()(lim)()(lim bfxfyafxfbxax

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el Intervalo abierto (a,b)n

La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b

Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado

Analizar la continuidad de

Se concluye que f es continua en [-1,1]

21)( xxf

)1(01lim 2

1

fx

x

)1(01lim 2

1fx

x

Continua por la derecha

Continua por la izquierda

Ejemplos para determinar si una función es continua o discontinua.

Ejemplo 1Sea , en el intervalo cerrado [-3,3]

Su representación grafica es:

Tenemos que la función es continua desde -3→-∞ y 3→+∞La función no es continua en el intervalo [-3,3]

Lo podemos observar a través de la realización de la función que nos da los siguientes valores

 X f(x)  X f(x)-4 2.64575131 0.1 #¡NUM!-3.9 2.49198716 2.9 #¡NUM!-3.8 2.33238076 3 0-3.7 2.16564078 3.1 0.78102497-3.6 1.98997487 3.2 1.11355287-3.5 1.80277564 3.3 1.37477271-3.4 1.6 3.4 1.6-3.3 1.37477271 3.5 1.80277564-3.2 1.11355287 3.6 1.98997487-3.1 0.78102497 3.7 2.16564078-3 0 3.8 2.33238076-2.9 #¡NUM! 3.9 2.49198716-0.1 #¡NUM! 4 2.645751310 #¡NUM!