-
8/15/2019 7ª Sesión de Clase de Matemática IV
1/5
7ª sesión de clase de matemática IVIngeniería civil
Resolver las EDO que se proponen:
1 y''
+ y'
=cos2
x+e x
+ x2
=(1
2+ x2
)⏟ R
1( x)
+ e x
⏟ R2( x)
+1
2 cos2 x⏟
R3( x)
y'' + y ' =( 12+ x2)⏟
R1( x)
+ e x⏟ R
2( x)
+1
2cos2 x⏟
R3( x)
!aso 1: Si R ( x )= Pn( x)
a" si r=0
no es raí# de P (r ) ⇨
y p=
~ Pn( x )
$" si r=0 es raí# de P (r ) ⇨
y p= xs~ Pn( x)
donde s es la multiplicidad de r=0
!aso %: Si R ( x )= Pn ( x )
Cosβx+Qm ( x ) Senβx≡ 1
2cos 2 x+0 sen2 x
a" si r=± iβ no es raí# de P (r ) ⇨
y p=~ Pk ( x
)Cosβx+~Qk ( x ) Senβx donde: k =max {m
,n }
$" si r=± iβ es raí# de P (r ) ⇨
y p= xs [~ Pk ( x)
Cosβx+
~Q k ( x ) Senβx ] donde: k =max {m ,n }
& s
es la multiplicidad de r=± iβ
'
yv+4 y '' ' = e x⏟
R 2( x)
+3 sen2 x⏟
R 3( x)
+ 1⏟ R1( x )
!aso 1: Si R ( x )= Pn( x)
a" si r=0 no es raí# de P (r ) ⇨
y p=~ Pn( x )
$" si r=0 es raí# de P (r ) ⇨
y p= xs~ Pn( x)
donde s es la multiplicidad de r=0
(olución y= y g+ y p
-
8/15/2019 7ª Sesión de Clase de Matemática IV
2/5
1) Determinación de yg :
p (r )=r5+4 r3=r3 (r2+4)⇰ { r
1=o
r2=2i
r3=−2i
r1=o ⇰ {
y1=1
y2= x
y3= x2
r2=2 i ⇰ y4=cos2 x
r3=−2 i ⇰ y5=s en2 x
*sí: yg=c1+c2 x+c3 x
2+c4cos2 x+c5 sen2 x
') Determinación de y p :a" !álculo de
y p1 : R1 ( x )=1
!aso 1$ + r=o es raí# de p+r" demultiplicidad
s,%"
y p= xs~ Pn ( x
)⇰ y p1= A x3
Reempla#ando en: y
v+4 y' ' ' = 1⏟ R
1( x)
(e tiene: A=
1
24⇰ y p
1
= 1
24 x
3
$" !álculo de y p
2 : R2 ( x )=e x
c" !álculo de y p3 : R3 ( x )=3
sen2 x
En e-ecto: R
3 ( x )=0cos2 x+3 sen2 x ≡ Pn ( x
) Cosβx+Q m ( x ) Senβx
⇰ { Pn ( x )=0Q m ( x )=3 ⇰
{n=0m=0 ⇰k =0 & β=2
. ± β=
±2 i esraíz de P (r ) ? (I⇰
caso %$:
-
8/15/2019 7ª Sesión de Clase de Matemática IV
3/5
y p= xs [~ Pk ( x )
Cosβx+~Q k ( x ) Senβx ]
y p= x [ A cos 2 x+BSen2 x ]
Reempla#ando en: y
v+4 y' ' ' =3Sen2 x
(e tiene:¿
A=¿B=¿¿
V*RI*!I/0 DE *R23E4RO(!onsideremos la EDO no 5omog6nea
decoecientes constantes siguiente:
d
3 y
d x3+a
d2 y
d x2+
dy
dx+cy=! ( x ) 8 +1"
Donde: a , , c son constantes &
! ( x)
sólo de x o constante
(i la EDO dada tiene la siguiente yg :
yg=c1 y1+c2 y2+c3 y 3 ⇨
y p="1 y1+"2 y2+"3 y3
Donde las -unciones "i se determinan
mediante el sistema siguiente:
{ " '
1 y
1+" '
2 y
2+" '
3 y
3=0
" ' 1 y '
1+" '
2 y '
2+" '
3 y '
3=0
" ' 1 y ' '
1+" '
2 y ' '
2+"'
3 y ' '
3=! ( x)
Resolver:
1 d
2 y
d x2−
dy
dx=Sen2 x
-
8/15/2019 7ª Sesión de Clase de Matemática IV
4/5
E!9*!IO0E( DIERE0!I*;E( DE!*9!E9;ER
Son ED de la forma:
an xn d
n y
d xn +an−1 x
n−1 dn−1
y
d xn−1 +#+a1 x
dy
dx+a
0 y=0
Donde los ai son constantesara resolver estas ED se
utili#a elsiguiente reempla#o:
x=e $ de aquí se tiene:$ =%nx
dy
dx=e−$
dy
d$
d2 y
d x2=e−2 $ (d
2 y
d $ 2 −
dy
d$ )d
3 y
d $ 3 −3
d2
y
d $ 2 +2
dy
d$ ¿¿¿
d
2
yd x
2=e−3
$ ¿
¿
0ota: 4am$i6n son EDO de6ste tipo las siguientes:
x+a ¿¿
x+a ¿¿
an ¿
Donde los ai son constantesara resolver estas ED se
utili#a elsiguiente reempla#o:
ax+=e$
de aquí se tiene:
-
8/15/2019 7ª Sesión de Clase de Matemática IV
5/5
{
$ =ln(ax+)dy
dx=a e−$
dy
d$
d2 y
d x2=a2e−2 $
(d
2 y
d $ 2−
dy
d$
)d2 yd x
2=a3 e−3 $ (
d3 y
d $ 3 −3
d2 y
d $ 2 +2
dy
d$ )
an xn d
n y
d xn+an−1 x
n−1 dn−1
y
d xn−1 +#+a1 x
dy
dx+a
0 y= xa Pm(%nx)
Estas EDO se resuelven de la
misma forma que las EDanteriores.
