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ASIGNATURA

MECANICA VECTORIAL

SEMANA

Centroide – Centro de Gravedad

Dr. Omar Pablo Flores Ramos

Huancayo, 2011

7



Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos2

CENTRO DE GRAVEDAD

El centro de gravedad, es un punto en donde se supone esta concentrado

todo el peso de un cuerpo, este punto puede estar dentro o fuera de dichocuerpo

Si se trata de figuras geométricas que representan cuerpos uniformes y

homogéneos, el centro de gravedad de estos se le denomina centroide

Cuando el cuerpo en estudio esta en un medio donde la gravedad es

uniforme, el centro de gravedad coincide con el centro de masa, que

como en el caso anterior es un punto donde esta concentrado toda la

masa de un cuerpo

1. CALCULO DE COORDENADAS DEL CENTRO DE GRAVEDADDado que un cuerpo esta formado por la unión de sus partes, cada uno de

las partes posee un peso determinado Wi, y el peso total será la suma de

todos los pesos parciales

Fig 6.1: Coordenadas del centro de gravedad

Aplicando el teorema de Varignön (Fig 4.1) se tiene:

n

i

iitotal

nntotal

W yW y

W yW yW yW yW y

1

332211

..

...................

despejando y , y considerando:n

i

itotal W W 1

, se tiene:

n

i

i

n

i

ii

W

W y

y

1

1

.

x

z

yW2 Wn

W1 W3

x y x

z

yn

2 y1 wtotal



Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 3

Por analogía se puede determinar las coordenadas x y z , entonces:

n

i

i

n

i

ii

W

W x

x

1

1

.

n

i

i

n

i

ii

W

W y

y

1

1

.

n

i

i

n

i

ii

W

W z

z

1

1

.

(4.1)

Propiedadesa. Para centroides, el peso Wi puede ser reemplazado por longitud,

área o volumen

b. Si un cuerpo presenta agujeros, éstas se consideran negativas

c. El C.G. de los cuerpos, ocupan un lugar fijo en él,

independientemente de su orientación

2. CENTROIDES DE PRINCIPALES FIGURAS

2.1 LINEAS

Figura coordenadas longitud

Segmento rectoPunto medio L

Cuarto de circunferencia

r x

2

r y

2

2

.r

Semi circunferencia

0 x r

y2

r .

2.2 SUPERFICIES

Figura coordenadas área

Triangulo Baricentro

1/3 de la base2/3 del vértice

2

.hb A

x

r

r

x

y




Paralelogramo

Inteseccion de las

diagonaleshb A .

Cuarto de circulo

.3

.4 r x

.3

.4 r y

4

.2

r A

Semi circulo

0 x

.3

.4 r y 2

. 2r A

2.3 VOLUMENES

Figura coordenadas volumen

Cilindro y prisma recto

2

h y

h AV .

A = área de

la base

Cono y pirámide recta

4

h

y

3

.h AV

A = área de

la base

Semi esfera

8

3r y

3.

3

2r V

x

y

r

xr

y

h

r




3. CENTROIDES POR INTEGRACION

Considerando, ya no partículas como en la fig 6.1, sino elementosdiferenciales, se tiene:

dA

dA x x

el .

dA

dA y y

el .

dA

dA z z

el .

(4.2)

Pudiendo ser: dA = diferencial de línea, área o volumen

4. TEOREMAS DE PAPPUS - GULDINUS

TEOREMA 1: El área de una superficie en revolución es igual a lalongitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida

por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie

L y A 2

TEOREMA 1: El volumen de un cuerpo en revolución es igual al área

generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del

área al momento de generar la superficie

A yV 2




EJERCICIOS

a) Pesos y Masas 1. Determinar el centro de gravedad de las partículas mostradas, si: : w1=

16 N, w2= 8 N, w3= 28 N y w4= 28 N

Rpta:

2. Determinar el centro de gravedad de las partículas, si: w1= 12 N, w2=

24 N, w3= 9 N y w4= 15 N

Rpta:

3. Si las masa de las partículas son 5 kg, 2 kg, 1 kg y mP

respectivamente, y el centro de masa esta ubicado a 2 m a la izquierda

del origen, determinar la distancia X

P y la masam

P, si la suma de lascuatro masas es 10 kg

Rpta: 2 kg y 5 m




4. Si las partículas son de 2 kg, 3 kg y 4 kg respectivamente, determinar

el centro de masa

Rpta: 1,44 m; 2,22 m y 2,67 m

5. Si la varilla de 40 mm pesa 60 N, la de 20 mm pesa 20 N y la

semicircunferencia pesa 80 N determinar el centro de gravedad del

conjunto no homogéneo

Rpta:

b) Líneas

6.

Considerando el alambre uniforme y homogéneo, determinar sucentroide

Rpta: 45,5 mm; -22,5 mm y -0,805 mm




7. Determinar la abscisa del centroide del alambre mostrado, si r = √5 my BC = 5 m

Rpta: 0

8. En la espiral uniforme y homogénea mostrada, determinar elcentroide, si a = 77 cm y los puntos A, B y C son los centros de los

alambres 1; 2 y 3 respectivamente

Rpta: 363 cm y 91 cm

c) Superficies

9. Determinar el centroide del segmento circular sombreado, si el

cuadrado es de L= 36 cm de lado

Rpta: 21.023 cm; 21.023 cm




10. Determinar el centroide de la figura mostrada, a la cual se le ha

practicado un corte semicircular de 9 cm de radio

Rpta:

11. El centroide del rombo mostrado, tiene por abscisa x = 30 cm, calcular

la medida del ángulo α si el lado del rombo es 40 cm

Rpta: 60°

12. Hallar la altura h del triangulo isósceles que se debe extraer del

cuadrado de lado L = 2(3 + √3 ) m, para que el cent roide concuerdecon el vértice M del triángulo

Rpta: 3 m

d) Volumen

13. Determinar la coordenada z del centroide del sólido uniforme y

homogéneo, formado por una semiesfera y un tronco de cono, al que

se le ha practicado un agujero cilíndrico de 25 mm de radio.




Rpta: 14,6 mm

14. Si el centroide del sistema mostrado coincide con el punto de contacto

entre la esfera y el cono, calcular la altura “h” del cono, se sabe que elradio R = √2 m, además que la densidad del de la esfera es el dobleque la del cono

Rpta: 8 m

15. Para el sólido mostrado, determine las coordenadas del centroide

Rpta:




e) Centroide por integración

16. Determine el centroide de la varilla homogénea doblada en forma

parabólica

Rpta: xc = 0,531 piesyc = 0,183 pies

17. Determine la abscisa del centroide de la varilla homogénea doblada

en forma de arco circular, en términos del radio “r ” y el ángulo “α”

Rpta: (r.sen α)/ α

18. Determinar el centroide de la varilla homogénea doblada en forma

de arco circular

Rpta: xc = 124 mm

yc = 0 mm




19. Determinar el centroide de la varilla doblada en forma parabólica

Rpta: xc = 0 piesyc = 1,82 pies

20. Determine el centroide de la superficie sombreada

Rpta: xc = 0 pies

yc = 1,82 pies

21. Determine el centroide de la superficie parabólica sombreada

Rpta: xc =3b/8yc = 3h/5




22. Determine la ubicación rc del centroide C de la porción superior de

la cardioide r = a (1 – cos θ)

Rpta rc = 5 a /6


Rpta: x = y = 9a /20


Rpta:




25. Determine el centroide del elipsoide de revolución

Rpta: xc = 0

yc = 3b/8

zc = 0

26. Determine el centroide del solido mostrado

pta: xc = 0

yc = 0

zc = 5h/6




27. Por integración determine el área y la distancia centroidal yc de la

región sombreada. luego utilizando el segundo teorema de Pappus y

Guldinus determine el volumen del solido formado por el giro del

área sombreada con respecto al eje x

Rpta: A = 3.33 pies2

yc = 1,2 pies

V = 25.1 pie3

28. Por integración determine el área y la distancia centroidal xc de la

región sombreada. luego utilizando el segundo teorema de Pappus -

Guldinus determine el volumen del solido formado por el giro del área

sombreada con respecto al eje y

Rpta: A = 1.33 m

2

yc = 0,6 m

V = 5.03 m3




BIBLIOGRAFIA

1 BEDFORD &

FOWLER (1996)

Mecánica para ingeniería, Estática. USA

2 BEER &

JHONSTON

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Mecánica vectorial para ingenieros,Estática, editorial Mc Graw Hill, Bogota,

Colombia

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Ingeniería Mecánica-Estática. Edit.

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Ingeniería Mecánica, Estática, editorial

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6 RILEY-STURGES

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